学易金卷：高一数学下学期期末模拟卷（天津专用，范围：人教A版必修第二册）

**基本信息** 高一数学期末模拟卷立足必修二核心内容，以抗战胜利80周年阅兵、投壶传统游戏等真实情境为载体，融合空间几何、统计概率等知识，凸显数学建模与数据分析能力考查。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|9/45|复数、向量投影、斜二测画法等|第6题比较统计量考查数据意识，第9题结合概率事件独立性培养逻辑推理| |填空题|6/30|分层抽样、解三角形测量、信号传输概率等|第11题以抗战阅兵为背景体现数学与现实联系，第15题向量最值发展空间观念| |解答题|5/75|正四棱柱证明、频率分布直方图、投壶概率等|18题投壶游戏融合文化与概率计算，17题通过频率分布直方图考查数据分析，20题动点最值培养创新意识|

2025-2026学年高一数学下学期期末模拟卷 （考试时间：120分钟 分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教A版必修第二册。 第一部分（选择题 共45分） 一、选择题：本题共9小题，每小题5分，共45分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知复数，则的虚部为（   ） A． B． C． D． 2．已知平面向量满足，记在上的投影向量为，则的值为（    ） A． B． C．1 D．2 3．如图，一个水平放置的梯形由斜二测画法得到的直观图是面积为2的等腰梯形OA'B'C'，则原梯形面积为（   ） A． B． C． D． 4．已知的内角的对边分别为，若，则中线的长为（ ） A． B． C． D． 5．某件精品瓷器可近似地看作由一个半球和一个圆台构成的组合体，如图所示，该瓷器的体积为（    ） A． B． C． D． 6．某中学校园十佳歌手比赛中，7位评委对某歌手的评分分别为，记为数组，将数组中去掉一个最高分和一个最低分后保留的5个有效评分记为数组，对这两个数组进行比较，有（    ） A．极差相同 B．方差相同 C．分位数相同 D．平均数相同 7．在空间四边形中，点，分别是边，的中点，点，分别是边，上的点，且，以下四个结论中正确的为（    ） A．与平行 B．与异面 C．与的交点可能在直线上，也可能不在直线上 D．与的交点一定在直线上 8．已知扇形中，点为弧上任意一点（不含点，），若，，则的取值范围是（） A． B． C． D． 9．有4个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，从中不放回的随机取两次，每次取1个球．甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是5”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是4”，则下列选项不正确的是（    ） A．甲与丙相互独立 B．甲与乙相互独立 C．丙与丁互斥 D．乙与丁互斥 第二部分（非选择题 共105分） 二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。 10．已知是虚数单位是关于的方程（其中）的一个根，则=__________． 11．2025年9月3日，以“铭记历史，开创未来”为核心的纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年阅兵在天安门广场隆重举行，已知从11000名甲校大学生，10000名乙校大学生和4000名丙校大学生中采用分层抽样方法抽取名大学生组成志愿者，若乙校大学生比丙校大学生多抽取60人，则_____． 12．如图，为测量山高MN，选择水平地面上一点A和另一座山的山顶C为测量观测点，从A点测得M点的仰角，C点的仰角，以及，从C点测得．已知山高米，则山高_______米． 13．在信道内传输信号，信号的传输相互独立．发送时，收到1的概率为，收到0的概率为；发送1时，收到的概率为，收到1的概率为．现依次发送1、1、0三个信号，则至少收到两个0的概率为______． 14．已知正四棱台的上､下底面边长分别为2和4，侧棱长为，则其外接球的表面积为__________． 15．如图，在菱形ABCD中，，，以BC为直径的半圆与AB交于点M，P是半圆上的动点，则______；的最大值是______． 三、解答题：本题共5小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16．（14分） 如图，在正四棱柱中，，，是的中点． (1)求证：平面； (2)证明：平面． 17．（15分） 某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：得到如图所示的频率分布直方图．    (1)求频率分布直方图中a的值； (2)求样本成绩的上四分位数； (3)已知落在的平均成绩是57，方差是7，落在的平均成绩为69，方差是4，求两组成绩的总平均数和总方差． 18．（15分） 投壶，源于射礼，是中国古代宴饮时的一种投掷游戏及礼仪，参与者需在一定距离外将箭投入壶中计算得分，每场投中情况分“有初”、“贯耳”、“散射”、“双耳”、“依竿”五种，其中“有初”算“两筹”，“贯耳”算“四筹”，“散射”算“五筹”，“双耳”算“六筹”，“依竿”算“十筹”，投不中算“零筹”．现有比赛分两轮，第一轮是每人单独进行两场，只要获得筹数之和不为零就可以进入第二轮；第二轮为淘汰赛，两人比赛三场，以获得的总筹数多者为胜．假设每场比赛中甲投中“有初”的概率为，投中“贯耳”的概率为，投中“散射”的概率为，投中“双耳”的概率为，投中“依竿”的概率为，乙的投掷水平与甲相同， (1)求乙每场比赛获得的筹数不超过两筹的概率； (2)求甲能进入第二轮的概率； (3)现甲、乙两人均进入第二轮．且比赛第一场，两人平局，第二场，甲投中“贯耳”，乙投中“双耳”，则三场比赛结束时，求甲获胜的概率． 19．（15分） 如图，正方体的棱长为4，，分别是，上的点，且，． (1)求直线与所成角的余弦值． (2)设是线段上的动点（含端点）． （i）判断三棱锥的体积是否为定值．若是，求出该定值；若不是，求出体积的最小值． （ii）当平面时，求的值． 20．（16分） 已知的内角的对边分别为，且． (1)求． (2)已知为边上的一点，且． （i）求； （ii）若是线段上（不与重合）的一个动点，求的最小值． 4 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $ 学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 2025-2026学年高一数学下学期期末模拟卷 答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 一、选择题（每小题5分，共45分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 9 [A] [B] [C] [D] 二、填空题（每小题5分，共30分） 10．____________________ 11．____________________ 12．____________________ 13．____________________ 14．____________________ 15．____________________ ____________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 三、解答题（共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16．（14分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 20．（16分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $ ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年高一数学下学期期末模拟卷 （考试时间：120分钟 分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教A版必修第二册。 第一部分（选择题 共45分） 一、选择题：本题共9小题，每小题5分，共45分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知复数，则的虚部为（   ） A． B． C． D． 2．已知平面向量满足，记在上的投影向量为，则的值为（    ） A． B． C．1 D．2 3．如图，一个水平放置的梯形由斜二测画法得到的直观图是面积为2的等腰梯形OA'B'C'，则原梯形面积为（   ） A． B． C． D． 4．已知的内角的对边分别为，若，则中线的长为（ ） A． B． C． D． 5．某件精品瓷器可近似地看作由一个半球和一个圆台构成的组合体，如图所示，该瓷器的体积为（    ） A． B． C． D． 6．某中学校园十佳歌手比赛中，7位评委对某歌手的评分分别为，记为数组，将数组中去掉一个最高分和一个最低分后保留的5个有效评分记为数组，对这两个数组进行比较，有（    ） A．极差相同 B．方差相同 C．分位数相同 D．平均数相同 7．在空间四边形中，点，分别是边，的中点，点，分别是边，上的点，且，以下四个结论中正确的为（    ） A．与平行 B．与异面 C．与的交点可能在直线上，也可能不在直线上 D．与的交点一定在直线上 8．已知扇形中，点为弧上任意一点（不含点，），若，，则的取值范围是（） A． B． C． D． 9．有4个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，从中不放回的随机取两次，每次取1个球．甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是5”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是4”，则下列选项不正确的是（    ） A．甲与丙相互独立 B．甲与乙相互独立 C．丙与丁互斥 D．乙与丁互斥 第二部分（非选择题 共105分） 二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。 10．已知是虚数单位是关于的方程（其中）的一个根，则=__________． 11．2025年9月3日，以“铭记历史，开创未来”为核心的纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年阅兵在天安门广场隆重举行，已知从11000名甲校大学生，10000名乙校大学生和4000名丙校大学生中采用分层抽样方法抽取名大学生组成志愿者，若乙校大学生比丙校大学生多抽取60人，则_____． 12．如图，为测量山高MN，选择水平地面上一点A和另一座山的山顶C为测量观测点，从A点测得M点的仰角，C点的仰角，以及，从C点测得．已知山高米，则山高_______米． 13．在信道内传输信号，信号的传输相互独立．发送时，收到1的概率为，收到0的概率为；发送1时，收到的概率为，收到1的概率为．现依次发送1、1、0三个信号，则至少收到两个0的概率为______． 14．已知正四棱台的上､下底面边长分别为2和4，侧棱长为，则其外接球的表面积为__________． 15．如图，在菱形ABCD中，，，以BC为直径的半圆与AB交于点M，P是半圆上的动点，则______；的最大值是______． 三、解答题：本题共5小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16．（14分） 如图，在正四棱柱中，，，是的中点． (1)求证：平面； (2)证明：平面． 17．（15分） 某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：得到如图所示的频率分布直方图．    (1)求频率分布直方图中a的值； (2)求样本成绩的上四分位数； (3)已知落在的平均成绩是57，方差是7，落在的平均成绩为69，方差是4，求两组成绩的总平均数和总方差． 18．（15分） 投壶，源于射礼，是中国古代宴饮时的一种投掷游戏及礼仪，参与者需在一定距离外将箭投入壶中计算得分，每场投中情况分“有初”、“贯耳”、“散射”、“双耳”、“依竿”五种，其中“有初”算“两筹”，“贯耳”算“四筹”，“散射”算“五筹”，“双耳”算“六筹”，“依竿”算“十筹”，投不中算“零筹”．现有比赛分两轮，第一轮是每人单独进行两场，只要获得筹数之和不为零就可以进入第二轮；第二轮为淘汰赛，两人比赛三场，以获得的总筹数多者为胜．假设每场比赛中甲投中“有初”的概率为，投中“贯耳”的概率为，投中“散射”的概率为，投中“双耳”的概率为，投中“依竿”的概率为，乙的投掷水平与甲相同， (1)求乙每场比赛获得的筹数不超过两筹的概率； (2)求甲能进入第二轮的概率； (3)现甲、乙两人均进入第二轮．且比赛第一场，两人平局，第二场，甲投中“贯耳”，乙投中“双耳”，则三场比赛结束时，求甲获胜的概率． 19．（15分） 如图，正方体的棱长为4，，分别是，上的点，且，． (1)求直线与所成角的余弦值． (2)设是线段上的动点（含端点）． （i）判断三棱锥的体积是否为定值．若是，求出该定值；若不是，求出体积的最小值． （ii）当平面时，求的值． 20．（16分） 已知的内角的对边分别为，且． (1)求． (2)已知为边上的一点，且． （i）求； （ii）若是线段上（不与重合）的一个动点，求的最小值． 试题 第3页（共6页） 试题 第4页（共6页） 试题 第1页（共6页） 试题 第2页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高一数学下学期期末模拟卷 参考答案 第一部分（选择题 共45分） 一、选择题：本题共9小题，每小题5分，共45分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B D B B D D D B 第二部分（非选择题 共105分） 二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。 10． 11． 12． 13． 14． 15． 3 / 三、解答题：本题共5小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16．（14分） 【解析】（1）证明：设，连接， 在正四棱柱中，四边形为正方形， ，又是的中点，， ，又平面，平面， 平面．（7分） （2）在正四棱柱中，平面， 又平面，， 在正方形中，， 又，平面，平面， 平面．（14分） 17．（15分） 【解析】（1）因为每组小矩形的面积之和为1， 所以，则；（5分） （2）成绩落在内的频率为， 落在内的频率为， 设上四分位数为m，由，得， 故上四分位数为84；（10分） （3）成绩在的市民人数为， 成绩在的市民人数为， 故这两组成绩的总平均数为， 由样本方差计算总体方差公式可得总方差为 ．（15分） 18．（15分） 【解析】（1）每场比赛获得的筹数与概率列表如下： 筹数 2 4 5 6 10 0 设乙每场比赛获得的筹数不超过两筹为事件，．（5分） （2）设甲能进入第二轮为事件B，．（8分） （3）若甲获胜，则在第三场比赛中，甲比乙至少多得三筹．分以下四种情况： ①甲得“四筹”，乙得“零筹”，此种情况发生的概率； ②甲得“五筹”，乙得“零筹”或“两筹”，此种情况发生的概率； ③甲得“六筹”，乙得“零筹”或“两筹”，此种情况发生的概率；． ④甲得“十筹”，乙得“零筹”或“两筹”或“四筹”或“五筹”或“六筹”，此情况发生的概率， 故甲获胜的概率．（15分） 19．（15分） 【解析】（1）在棱长为4的正方体，过点作交于，连接， 由正方体的对角面是矩形，得，则， 即为直线与所成的角或其补角， 由，，得，，，， 因此， 所以直线与所成角的余弦值为．（5分） （2）（i）三棱锥的体积不是定值． 假设三棱锥的体积是定值，则线段上任意每一点到平面的距离都相等， 又平面，于是平面，由（1）知，且平面， 则平面，而平面，则平面平面， 又平面，因此平面，取中点，连接，显然为的中点， 则，又与平面交于点，于是与平面相交，两者矛盾， 即假设不成立，所以三棱锥的体积不是定值， 由图知，线段在平面的同侧，且在线段的所有点中，到平面的距离最小， 则当与重合时，三棱锥的体积最小， 且， 所以三棱锥体积的最小值为．（10分） （ii）连接，由正方体的对角面是矩形， 得，且平面，则平面，同理平面， 而平面，因此平面平面， 此时线段平面，满足平面， 设，到平面的距离分别为，，则． 是边长为的等边三角形，则， 由，得，解得， 由，得，解得， 所以．（15分） 20．（16分） 【解析】（1）由正弦定理得， 得 则．由，得， 所以，则． 因为，所以．（5分） （2）（i）在中，由正弦定理得，； 在中，由正弦定理得， 因为，所以． 故．（10分） （ii）由余弦定理，得 结合，得． 如图，作（点在的下方），，垂足为，过点作，垂足为． ， 则． 故的最小值为．（16分） 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高一数学下学期期末模拟卷 全解全析 第一部分（选择题 共45分） 一、选择题：本题共9小题，每小题5分，共45分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知复数，则的虚部为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由复数的乘法、除法运算，和虚部概念即可求解 【详解】，则， 其虚部为． 2．已知平面向量满足，记在上的投影向量为，则的值为（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】B 【分析】代入投影向量公式求解． 【详解】在上的投影向量为， 所以． 3．如图，一个水平放置的梯形由斜二测画法得到的直观图是面积为2的等腰梯形OA'B'C'，则原梯形面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由斜二测画法还原梯形，明确线段的等量关系，根据梯形的面积公式，可得答案． 【详解】过作，垂足为，如下图： 由题意可得，， 由斜二测画法，还原可得下图： 易知，，， 所以原梯形面积为． 4．已知的内角的对边分别为，若，则中线的长为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用余弦定理求出角，结合图形写出中线向量的表达式，由向量数量积的运算律，代入即可求得中线的长度． 【详解】在中, 由余弦定理，， 则． 因点是的中点，则， 两边平方得 ， 故． 5．某件精品瓷器可近似地看作由一个半球和一个圆台构成的组合体，如图所示，该瓷器的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】半球的半径为6，半球的体积为， 圆台的体积为， 故该瓷器的体积为． 6．某中学校园十佳歌手比赛中，7位评委对某歌手的评分分别为，记为数组，将数组中去掉一个最高分和一个最低分后保留的5个有效评分记为数组，对这两个数组进行比较，有（    ） A．极差相同 B．方差相同 C．分位数相同 D．平均数相同 【答案】D 【分析】分别求出数组A和数组B的极差、平均数、方差、分位数，即可得答案． 【详解】去掉最高分和最低分后，数组B的数据为， 选项A：数组A的极差为， 数组B的极差为，故A错误； 选项B、D：数组A的平均数， 数组B的平均数，故D正确； 数组A的方差为 ， 数组B的方差为，故B错误； 选项C：，则数组A的分位数为， ，则数组B的分位数为，故C错误． 7．在空间四边形中，点，分别是边，的中点，点，分别是边，上的点，且，以下四个结论中正确的为（    ） A．与平行 B．与异面 C．与的交点可能在直线上，也可能不在直线上 D．与的交点一定在直线上 【答案】D 【分析】先利用三角形中位线性质与平行线分线段成比例定理证明且长度不等，得与共面且相交，再结合平面交线的公理判断交点位置． 【详解】连接、： 因为、分别为、的中点，由三角形中位线定理得：，且． 在中，，由平行线分线段成比例定理的逆定理得：，且． 判断与的位置关系： 由且，可知四边形为梯形，、为梯形两腰，必相交且共面，故A（平行）、B（异面）错误． 判断交点的位置： 设，因为平面，故平面；又平面，故平面．平面与平面的交线为，根据公理3：两个不重合的平面若有公共点，则所有公共点都在它们的交线上，可得，即交点一定在直线上，故C错误，D正确． 8．已知扇形中，点为弧上任意一点（不含点，），若，，则的取值范围是（） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设扇形各点坐标并表示出向量，利用建立坐标方程组，解出关于的表达式，代入整理成辅助角公式形式，再结合θ的范围确定的范围，由正弦函数单调性和值域求出的取值范围． 【详解】以为坐标原点，所在的直线为直角坐标系的轴，建立如图所示的平面直角坐标系． 设扇形的半径为1，则，， 设，所以， ． 因为，所以， 解得 所以， 由此可知，，，． 因为,所以． 当,即时,,此时取最大值． 当时,因为即; 当时,因为 所以． 由于,且不含端点,故． 综上,的取值范围是． 9．有4个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，从中不放回的随机取两次，每次取1个球．甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是5”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是4”，则下列选项不正确的是（    ） A．甲与丙相互独立 B．甲与乙相互独立 C．丙与丁互斥 D．乙与丁互斥 【答案】B 【分析】根据题意列出两次取球所有可能情况，并分别列出甲、乙、丙、丁可能的情况，然后根据独立事件、互斥事件的定义判断即可． 【详解】由题意可得两次取球所有可能情况为，，，，，，，，，，，共种情况； 第一次取出的球的数字是1，所有可能为，，共3种情况； 第二次取出的球的数字是2，所有可能为，，共3种情况； 则两次取出球的数字之和为的所有可能为，，，共种情况； 两次取出球的数字之和为的所有可能为，共种情况； 记“第一次取出的球的数字是1”为，“第二次取出的球的数字是2”为， “两次取出的球的数字之和是5”为，“两次取出的球的数字之和是4”为， 则，，，． A：当甲丙同时发生时，取出的恰是，此时， 故甲丙相互独立，故A正确； B：当甲乙同时发生时，取出的恰是，此时，， 故甲乙不相互独立，故B错误； C：由不可能同时发生，故丙与丁互斥，故C正确； D：当第二次取出的球的数字是2时，第一次不可能取2，即两次取出的数字之和不能为4，故乙丁不能同时发生，则乙与丁互斥，故D正确； 故选：B． 第二部分（非选择题 共105分） 二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。 10．已知是虚数单位是关于的方程（其中）的一个根，则=__________． 【答案】 【详解】由题目可得另一个根为，原式可化为， 则，故． 11．2025年9月3日，以“铭记历史，开创未来”为核心的纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年阅兵在天安门广场隆重举行，已知从11000名甲校大学生，10000名乙校大学生和4000名丙校大学生中采用分层抽样方法抽取名大学生组成志愿者，若乙校大学生比丙校大学生多抽取60人，则_____． 【答案】 【分析】利用分层抽样比相等来求解即可． 【详解】设甲校大学生抽取的人数为，丙校大学生抽取的人数为，则乙校大学生抽取的人数为， 所以，解得，， 从而． 故答案为： 12．如图，为测量山高MN，选择水平地面上一点A和另一座山的山顶C为测量观测点，从A点测得M点的仰角，C点的仰角，以及，从C点测得．已知山高米，则山高_______米． 【答案】 【分析】要求山高，放在直角中，已知一角，故需再求一边即可，根据已知条件，放在直角与中计算即可． 【详解】在中，已知，，故米； 在中，，，故， 由正弦定理可得：，即，解得米； 在中，因为，故米； 所以山高为米． 13．在信道内传输信号，信号的传输相互独立．发送时，收到1的概率为，收到0的概率为；发送1时，收到的概率为，收到1的概率为．现依次发送1、1、0三个信号，则至少收到两个0的概率为______． 【答案】 【分析】将目标事件合理拆分，再利用互斥事件的概率公式和独立事件的概率公式求解即可． 【详解】由题意得至少收到两个可拆分为恰好收到个和恰好收到个， 且两种情况互斥，对于恰好收到个，可拆分为如下三种情况， 第1位发送1时，收到，第2位发送1时，收到，第3位发送0时，收到， 第1位发送1时，收到，第2位发送1时，收到，第3位发送0时，收到， 第1位发送1时，收到，第2位发送1时，收到，第3位发送0时，收到， 而每一位收发数字的情况相互独立， 对于第一种情况，由独立事件的概率公式得概率为， 对于第二种情况，由独立事件的概率公式得概率为， 对于第三种情况，由独立事件的概率公式得概率为， 由互斥事件的概率公式得恰好收到个的概率为， 当恰好收到个时，由独立事件概率公式得概率为， 由互斥事件的概率公式得至少收到两个0的概率为． 故答案为： 14．已知正四棱台的上､下底面边长分别为2和4，侧棱长为，则其外接球的表面积为__________． 【答案】 【分析】根据几何体的对称性，可得正四棱台的外接球的球心在上下底面中心的连线上，设球心到下底面的距离为，外接球的半径为，根据球的截面圆的性质，列出方程组，即可求解． 【详解】如图所示，正四棱台下底面对角线交点为，上底面对角线交点为， 因为正四棱台下底面边长为，上底面边长为，侧棱长为， 可得上、下底面正方形的对角线长为和，可得， 根据几何体的对称性，可得正四棱台的外接球的球心在直线上， 设外接球的球心为，球心到下底面的距离为，外接球的半径为， 因为正四棱台的高为， 所以若球心在线段上，则，解得， 所以，所以外接球表面积为． 15．如图，在菱形ABCD中，，，以BC为直径的半圆与AB交于点M，P是半圆上的动点，则______；的最大值是______． 【答案】 3 / 【分析】取中点，连接，由条件得到是等边三角形，进而求出，在中，由余弦定理求出，即可求出；取中点，连接，交半圆于点，将转化为，分析出即点与点重合时，取到最大值1，即可求出的最大值． 【详解】 如图所示，取中点，连接， 因为四边形是菱形，，， 所以，所以可得是等边三角形，所以． 在中，由余弦定理可得 ， 所以，所以； 如图所示，取中点，连接，交半圆于点， 则，． 所以 ， 因为，所以当，即点与点重合时， 取到最大值1，此时取到最大值． 三、解答题：本题共5小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16．（14分） 如图，在正四棱柱中，，，是的中点． (1)求证：平面； (2)证明：平面． 【答案】(1)证明见详解 (2)证明见详解 【分析】（1）设，连接，利用中点关系，得到，满足线面平行判定定理的条件，从而得出证明； （2）由正棱柱侧棱垂直底面，进而得到，又正方形对角线互相垂直，从而得到满足线面垂直判定定理的条件，得出证明． 【详解】（1）证明：设，连接， 在正四棱柱中，四边形为正方形， ，又是的中点，， ，又平面，平面， 平面． （2）在正四棱柱中，平面， 又平面，， 在正方形中，， 又，平面，平面， 平面． 17．（15分） 某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：得到如图所示的频率分布直方图．    (1)求频率分布直方图中a的值； (2)求样本成绩的上四分位数； (3)已知落在的平均成绩是57，方差是7，落在的平均成绩为69，方差是4，求两组成绩的总平均数和总方差． 【答案】(1)； (2)84； (3)总平均数为65；总方差为37． 【分析】（1）由频率直方图小矩形的面积和为1列方程求参数； （2）由百分位数的定义及直方图求上四分位数； （3）应用分层抽样的均值和方差公式求总平均数和总方差． 【详解】（1）因为每组小矩形的面积之和为1， 所以，则； （2）成绩落在内的频率为， 落在内的频率为， 设上四分位数为m，由，得， 故上四分位数为84； （3）成绩在的市民人数为， 成绩在的市民人数为， 故这两组成绩的总平均数为， 由样本方差计算总体方差公式可得总方差为 ． 18．（15分） 投壶，源于射礼，是中国古代宴饮时的一种投掷游戏及礼仪，参与者需在一定距离外将箭投入壶中计算得分，每场投中情况分“有初”、“贯耳”、“散射”、“双耳”、“依竿”五种，其中“有初”算“两筹”，“贯耳”算“四筹”，“散射”算“五筹”，“双耳”算“六筹”，“依竿”算“十筹”，投不中算“零筹”．现有比赛分两轮，第一轮是每人单独进行两场，只要获得筹数之和不为零就可以进入第二轮；第二轮为淘汰赛，两人比赛三场，以获得的总筹数多者为胜．假设每场比赛中甲投中“有初”的概率为，投中“贯耳”的概率为，投中“散射”的概率为，投中“双耳”的概率为，投中“依竿”的概率为，乙的投掷水平与甲相同， (1)求乙每场比赛获得的筹数不超过两筹的概率； (2)求甲能进入第二轮的概率； (3)现甲、乙两人均进入第二轮．且比赛第一场，两人平局，第二场，甲投中“贯耳”，乙投中“双耳”，则三场比赛结束时，求甲获胜的概率． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据互斥事件的概率加法公式计算即可． （2）根据对立事件的概率公式计算即可． （3）根据独立事件的概率乘法公式及古典概型枚举法计算即可． 【详解】（1）每场比赛获得的筹数与概率列表如下： 筹数 2 4 5 6 10 0 设乙每场比赛获得的筹数不超过两筹为事件， （2）设甲能进入第二轮为事件B，． （3）若甲获胜，则在第三场比赛中，甲比乙至少多得三筹．分以下四种情况： ①甲得“四筹”，乙得“零筹”，此种情况发生的概率； ②甲得“五筹”，乙得“零筹”或“两筹”，此种情况发生的概率； ③甲得“六筹”，乙得“零筹”或“两筹”，此种情况发生的概率；． ④甲得“十筹”，乙得“零筹”或“两筹”或“四筹”或“五筹”或“六筹”，此情况发生的概率， 故甲获胜的概率． 19．（15分） 如图，正方体的棱长为4，，分别是，上的点，且，． (1)求直线与所成角的余弦值． (2)设是线段上的动点（含端点）． （i）判断三棱锥的体积是否为定值．若是，求出该定值；若不是，求出体积的最小值． （ii）当平面时，求的值． 【答案】(1) (2)（i）不是，体积最小值为；（ii） 【分析】（1）根据给定条件，利用几何法，结合余弦定理求出异面直线夹角的余弦值． （2）（i）利用反证法证明不平行于平面即可判断，再求出线段上到平面距离最小值即可；（ii）根据给定条件，确定点的位置，再利用等体积法求解． 【详解】（1）在棱长为4的正方体，过点作交于，连接， 由正方体的对角面是矩形，得，则， 即为直线与所成的角或其补角， 由，，得，，，， 因此， 所以直线与所成角的余弦值为． （2）（i）三棱锥的体积不是定值． 假设三棱锥的体积是定值，则线段上任意每一点到平面的距离都相等， 又平面，于是平面，由（1）知，且平面， 则平面，而平面，则平面平面， 又平面，因此平面，取中点，连接，显然为的中点， 则，又与平面交于点，于是与平面相交，两者矛盾， 即假设不成立，所以三棱锥的体积不是定值， 由图知，线段在平面的同侧，且在线段的所有点中，到平面的距离最小， 则当与重合时，三棱锥的体积最小， 且， 所以三棱锥体积的最小值为 （ii）连接，由正方体的对角面是矩形， 得，且平面，则平面，同理平面， 而平面，因此平面平面， 此时线段平面，满足平面， 设，到平面的距离分别为，，则． 是边长为的等边三角形，则， 由，得，解得， 由，得，解得， 所以． 20．（16分） 已知的内角的对边分别为，且． (1)求． (2)已知为边上的一点，且． （i）求； （ii）若是线段上（不与重合）的一个动点，求的最小值． 【答案】(1) (2)（i）；（ii） 【分析】（1）根据正弦定理进行边角互化，结合两角和的正切公式可得； （2）（i）先根据正弦定理，分别将表示出来，再直接计算即可． （ii）根据余弦定理结合（i），求出，作（点在的下方），，垂足为，过点作，垂足为，根据三角形性质易知其最小值为，计算即可． 【详解】（1）由正弦定理得， 得 则．由，得， 所以，则． 因为，所以． （2）（i）在中，由正弦定理得，； 在中，由正弦定理得， 因为，所以． 故． （ii）由余弦定理，得 结合，得． 如图，作（点在的下方），，垂足为，过点作，垂足为． ， 则． 故的最小值为． 11 / 18 学科网（北京）股份有限公司 $■■■■ 2025-2026学年高一数学下学期期末模拟卷 答题卡 姓 名： 准考证号： 注意事项 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清 贴条形码区 楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用 n 0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答 题；字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出 巢 区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题 缺考 无效。 此栏考生禁填 4.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 标记 5.正确填涂■ 一、 选择题（每小题5分，共45分） 1[A][B][C][D] 4[A][B][C][D] 7[A][B][C][D] 2[AB][C][D] 5[A]B][C]D] 8[A][B][C]D] 4 3[A][B][C][D] 6[A]B][C]D] 9[A][B][C]D] 闻 二、填空题（每小题5分，共30分） 10. 11 12 13. 14 15 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效： 数学第1页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 三、解答题（共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16.(14分) D C M D 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第2页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17.(15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第3页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18.(15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第4页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19.(15分) D F --- ‘D A B 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第5页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 20.(16分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第6页（共6页）