湖北省武汉市第十一中学2025-2026学年高一下学期四月月考数学试卷

**基本信息** 武汉十一中高一下四月月考数学卷以雷峰塔测量、费马点等文化与数学史情境为载体，覆盖复数、向量、解三角形等核心知识，梯度设计合理，注重数学思维与应用能力考查。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8题|复数运算、向量共线、解三角形|第4题雷峰塔测量情境，体现数学眼光观察现实世界| |多选题|3题|三角函数性质、向量命题判断|第10题结合外心性质，考查逻辑推理能力| |填空题|4题|向量夹角、三角形面积|第14题等腰直角三角形动态问题，培养空间观念| |解答题|6题|复数应用、解三角形、函数性质、费马点|第19题融入数学史，通过费马点问题考查创新应用与数学语言表达|

武汉十一中高一下学期四月月考数学试卷 时间：2026.4.22 一、单选题 1．已知（为虚数单位），则（    ） A． B． C． D． 2．已知向量，，，若，，则（   ） A． B． C．5 D．6 3．在中，角A､B､C所对的边为a､b､c，若，则最大角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 4．雷峰塔是“西湖十景”之一，中国九大名塔之一，为中国首座彩色铜雕宝塔．如图，某同学为了测量雷峰塔的高度，在地面C处时测得塔顶A在东偏北45°的方向上，向正东方向行走50米后到达D处，测得塔顶A在东偏北75°的方向上，仰角为45°，则可得雷峰塔离地面的高度值为（    ） A．米 B．50米 C．米 D．米 5．设，，且，则（    ） A． B． C． D． 6．在中，分别是内角所对的边，若（其中,且则的形状是（    ） A．有一个角为的等腰三角形 B．正三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 7．如图，在中，是的中点，在边上，，与交于点.若，则的值是（    ） A． B． C． D． 8．已知，，其中的内角的对边分别是，则线段长度的最小值为（    ） A．2 B． C．3 D． 二、多选题 9. 已知，函数的最小正周期为，则下列结论正确的是（    ） A．点是函数的一个对称中心 B．函数在区间上单调递增 C．将函数的图象向左平移个单位长度可得函数的图象 D．函数的图象关于直线对称 10．下列说法正确的是（    ） A．已知向量，则“与共线”是“”的充要条件 B．若，、分别表示、的面积，则 C．若为的外心，且，则是等边三角形 D．已知单位向量满足，则 11．已知，，分别是的三个内角，，的对边，其中正确的命题有（    ） A．已知，，，则有两解 B．若，，要使满足条件的三角形有且只有两个，则 C．若，，，内有一点使得与夹角为，与夹角为，则 D．已知，，设，若是钝角三角形，则的取值范围是 三、填空题 12．已知，如果与的夹角为钝角，则的取值范围是 . 13．在中,,,,则 ,则 . 14．已知等腰直角的斜边长为，其所在平面上两动点、满足（且、、），若，则的最大值为 ． 四、解答题 15．已知复数，，其中是虚数单位，． (1)若为纯虚数，求的值； (2)若，求的取值范围． 16．在中，内角所对的边分别是，且，. (1)求角； (2)若，求边上的角平分线长； 17．已知函数． (1)求函数的解析式及对称中心； (2)若，且，求的值． (3)在锐角中，角、、分别为、、三边所对的角，若，求周长的取值范围． 18．已知函数在上为奇函数，，. (1)求实数的值； (2)指出函数的单调性（说明理由，不需要证明）； (3)设对任意，都有成立；请问是否存在的值，使最小值为，若存在求出的值. 19．“费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题，该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小.”意大利数学家托里拆利给出了解答，当的三个内角均小于120°时，使得的点O即为费马点；当有一个内角大于或等于120°时，最大内角的顶点为费马点.试用以上知识解决下面问题：已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且. (1)求角A； (2)若，设点P为的费马点，求； (3)设点P为的费马点，，求实数t的最小值. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 B A B A A D A D ABD BCD CD 1．B【详解】，而为实数，故，故选：B. 2．A【详解】向量，，，，又， ，即，解得实数．故选：． 3．B【详解】由正弦定理得：，可知：，设，则最大角为C，，故选：B 4．A【详解】由题可得，，， 则，， 由正弦定理可得：，即，解得， 在中，.故选：A 5．A【详解】，， ， ，. ，，， 或，即或（舍去）.故选：A. 6．D【详解】试题分析：在边AB，AC上分别取点D，E，使，以AD，AE为邻边作平行四边形ADFE，则：四边形ADFE为菱形，连接AF，DE，AF⊥DE，且；∵；∴；∴AF⊥BC；又DE⊥AF；∴DE∥BC，且AD=AE；∴AB=AC，即b=c；∴延长AF交BC的中点于O，则：S△ABC＝，b=c； ∴；∴；∴； ∴∠BAC=90°，且b=c；∴△ABC的形状为等腰直角三角形． 7．A【详解】由已知得：，设，所以，又点C、O、E三点共线，所以，解得，所以，又， 所以， 所以，即，所以.故选：A. 8．D【详解】因为， 所以由正弦定理可得，即， 由余弦定理可知，因为，所以. 因为，所以， 将上式两边平方可得， 即 ， 当且仅当，即时等号成立， 所以线段长度的最小值为. 9．ABD【详解】由题可知，最小正周期为， ，，令， 点是的一个对称中心，A正确； ， 函数在区间上单调递增，B正确； ，C错误； ， 当，函数的图象关于直线对称，D正确.故选：ABD. 10．BCD【详解】对于A，若，则有与共线，但不可能成立，故A错误；若，设，，可得为的重心， 设，，， 则，，，由， 可得，故B正确； 对于C，因为为的外心，所以，而，同理有， ， 又因为， 所以，即， 也就是说是等边三角形，故C正确； 对于D，因为，所以， 所以，，解得， 从而 ，故D正确.故选：BCD. 11． CD【详解】对A：，故有唯一解，故A错误； 对于选项B：由余弦定理可得，即， 整理可得，由题意可知：关于c的方程有2个不相等的正根， 则，解得，且，可得，故B错误； 对C：设，则在直角三角形中，，， 在中，有，即， 即有，整理可得，即，故C正确； 对D：若为钝角，如图，作于点，有， 即，即， 若为钝角，如图，作于点，有， 即，即， 综上所述， 的取值范围是，故D正确.故选：CD. 12． 【详解】向量与的夹角为钝角，则，解得或； 又向量与不共线，所以，解得且； 故所求的取值范围是. 13． 【详解】， ，. .故答案为：；. 14． 【详解】因为 ， 所以，，所以，， 所以，，因为且、、，所以，、、， 所以，点在内或其边界上，取线段的中点， 则， 故当最大时，取最大值， 如下图所示，当点与的顶点重合时，取得最大值，且最大值为， 因为，所以，， 当且仅当、、三点共线且在线段上时，等号成立，故.故答案为：. 15．(1)(2) 【详解】（1）由z1为纯虚数，则，解得m＝－2. （2）由，得∴ ∵，∴当时，，当时，，∴实数的取值范围是. 16．(1)(2) 【详解】（1）因为， 所以，所以， 又，所以，又，所以； （2）由及余弦定理得，即， 又因为，所以，所以， 所以，即； 17．(1),对称中心为(2)(3) 【详解】（1）. 令，则，，函数的对称中心为，. （2）由可知，，化简得， ，，， . （3）由可得， 即， 又，则，则，所以.由正弦定理有 所以 ， 因为为锐角三角形，所以，解得.所以，则，所以，则， 所以的周长的取值范围为. 18．(1)；(2)减函数；(3). 【详解】（1）因为函数在上为奇函数，所以恒成立，即恒成立，所以，又，所以； （2）由（1）知因为在是减函数，又， 所以在上为减函数； （3）因为对任意都有,所以对任意都有，由在上为减函数； 所以对任意都有，所以对任意都有， 因为，所以即，解得 因为，令，则， 令，它的对称轴为， 当，即时，在上是增函数，， 解得舍去， 当即时，此时，解得，所以. 19．(1)(2)(3) 【详解】（1）由，得， 故.由正弦定理可得，故直角三角形，即. （2）由（1）可得，所以三角形的三个角都小于，则由费马点定义可知：， 设， 由，得，整理得， 则. （3）如图，点为的费马点，则， 设， 则由，得； 由余弦定理得， ， ， 故由，得， 即，而，，故， 当且仅当，结合，解得时，等号成立. 又，即有，解得或（舍去）， 故实数的最小值为. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $