精品解析：山东省济南市平阴县实验学校2025—2026学年八年级下学期数学期中测试卷

2025—2026学年第二学期八年级数学期中检测卷 用时：120分钟 总分：150分 一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分) 1. 道路交通标志是用文字和图形符号向车辆或行人传递指示、指路、警告、禁止性指令等交通管理信息．下列交通标志图案中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：A．是中心对称图形，符合题意； B．不是中心对称图形，不符合题意； C．不是中心对称图形，不符合题意； D．不是中心对称图形，不符合题意． 2. 下列从左到右的变形，是分解因式的是（　　） A. xy2（x﹣1）=x2y2﹣xy2 B. 2a2+4a=2a（a+2） C. （a+3）（a﹣3）=a2﹣9 D. x2+x﹣5=（x﹣2）（x+3）+1 【答案】B 【解析】 【分析】根据因式分解的意义对各选项进行逐一分析即可． 【详解】解：、等式右边不是整式积的形式，故不是分解因式，故本选项错误，不符合题意； 、符合因式分解的意义，是因式分解，故本选项正确，符合题意； 、等式右边不是整式积的形式，故不是分解因式，故本选项错误，不符合题意； 、等式右边不是整式积的形式，故不是分解因式，故本选项错误，不符合题意． 故选：B． 【点睛】本题考查的是因式分解的意义，解题的关键是把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式． 3. 如图，将平移到，点A的对应点是D，则线段的对应线段是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查平移，熟练掌握平移的性质是解题关键． 由点A的对应点是点，可得点B对应点E，点C对应点F，可得线段的对应线段是． 【详解】解：由图可知，线段的对应线段是， 故选：C． 4. 如图，四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，下列条件不能判定这个四边形是平行四边形的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定，（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形，（2）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，（3）对角线互相平分的四边形是平行四边形．根据平行四边形的判定方法判断得出即可． 【详解】解：A、，，推出，，则能判定这个四边形是平行四边形，本选项不符合题意； B、，，不能判定这个四边形是平行四边形，本选项符合题意； C、由，推出，又，能判定这个四边形是平行四边形，本选项不符合题意； D、，，能判定这个四边形是平行四边形，本选项不符合题意； 故选：B． 5. 下列多项式在实数范围内能用平方差公式分解因式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平方差公式分解因式，平方差公式为，适用于两个平方项的差．需逐一分析选项是否满足该形式． 【详解】A．，不符合平方差公式，排除． B．，括号内为平方和，无法用平方差分解，排除． C． 仅含一项平方项和一次项，无法构成平方差，排除． D．，满足平方差公式． 故选D． 6. 如图，小明想测量池塘A，B两点之间的距离．他先在A，B外选一点C，然后找到，的中点D，E，测得，则A，B之间的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了三角形的中位线定理应用. 根据D，E是的中点，即是的中位线，根据三角形的中位线定理：三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半，即可求解． 【详解】解：∵D，E是的中点，即是的中位线， ∴ ∵， ∴． 故选：D． 7. 若解分式方程 产生增根，则m=（　　） A. 1 B. 0 C. ﹣4 D. ﹣5 【答案】D 【解析】 【分析】增根是分式方程化为整式方程后产生的使分式方程的分母为0的根．把增根代入化为整式方程的方程即可求出m的值． 【详解】解：方程两边都乘，得 原方程增根为 把代入整式方程，得 故选D． 【点睛】本题考查了分式方程的增根，增根确定后可按如下步骤进行：化分式方程为整式方程；把增根代入整式方程即可求得相关字母的值． 8. 如图，点E是的边CD的中点，AD、BE的延长线相交于点F，DF=3，DE=2，则的周长为( ) A. 5 B. 7 C. 10 D. 14 【答案】D 【解析】 【详解】∵四边形ABCD是平行四边形 ∴AB=CD,AD=BC, AD∥BC ∴∠F=∠CBE ∵E是CD的中点 ∴DE=CE=2,CD=2DE=4 在和中 ∴BC=DF=3 ∴平行四边形ABCD的周长= 故选D． 9. 若关于x的分式方程的解是正数，则m的取值范围是（ ） A. 且 B. C. D. 且 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了根据分式方程解的情况求参数，首先将分式方程转化为整式方程，求解得到关于的表达式，再根据解为正数及分母不为零的条件确定的取值范围． 【详解】解：原方程为． 方程化简为： ． ． 两边同乘得： ． ∵，即， ∴； ∵，即， ∴． 综上，的取值范围为且， 故选D． 10. 如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠ACB=30°，将△ABC绕点C顺时针旋转60°得到△DEC，点A、B的对应点分别是D、E，点F是边AC中点，①△BCE是等边三角形，②DE=BF，③△ABC≌△CFD，④四边形BEDF是平行四边形．则其中正确结论的个数是(　　) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】D 【解析】 【分析】由直角三角形的性质和旋转的性质可得，，，，可判断①②；由“”可证，可判断③，延长交于点，可证，由一组对边平行且相等可证四边形是平行四边形，即可判断④，即可求解． 【详解】∵点F是边AC中点，∴CF=BF=AFAC． ∵∠BCA=30°，∴BAAC，∴BF=AB=AF=CF，∴∠FCB=∠FBC=30°． ∵将△ABC绕点C顺时针旋转60°得到△DEC，∴∠BCE=∠ACD=60°，CB=CE，∠DEC=∠ABC=90°，AB=DE，∴△BCE是等边三角形，DE=BF，故①②正确； ∵CD=AC，AB=CF，∴Rt△ABC≌Rt△CFD(HL)，故③正确； 延长BF交CE于点G，则∠BGE=∠GBC+∠BCG=90°， ∴∠BGE=∠DEC，∴BF∥ED，∴四边形BEDF是平行四边形，故④正确． 故选：D． 【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，直角三角形的性质，平行四边形的判定等知识，灵活运用这些知识进行推理是本题的关键． 二、填空题(本大题共5小题，每小题4分，共20分) 11. 若分式的值为0，则实数x的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据分式值为的条件，即分子等于，分母不为，计算即可． 【详解】解：由题意得 且 ， 由 解得 ， 由 ，因式分解得， 解得 或 ，不符合分母不为的条件，舍去， 所以实数的值为． 12. 已知4x2+mxy+y2是完全平方式，则m的值是_____． 【答案】±4 【解析】 【分析】利用完全平方公式的结构特征判断即可得到m的值． 【详解】解：∵4x2+mxy+y2是完全平方式， ∴m=±4． 故答案为：±4． 【点睛】本题考查了完全平方式，解题的关键是掌握完全平方公式进行求解． 13. 如图，在中，将沿折叠后，点D恰好落在的延长线上的点E处若，则为_________． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查了折叠的性质，平行四边形的性质，三角形内角和定理，含的直角三角形．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 由折叠的性质与题意可得，，由，可知，则，，进而可求的值． 【详解】解：由折叠的性质可得，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：6． 14. 在平面直角坐标系中，已知点，，．若以点A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形，则点D的坐标为_______________________． 【答案】或或 【解析】 【分析】分三种情况，得出点的坐标，即可解决问题． 【详解】解：如图， 分三种情况： ①当，时，点的坐标为； ②当，时，点的坐标为； ③当，时，点的坐标为； 综上，点的坐标为或或． 15. 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D是BC的中点，DE⊥BC，CE//AD，若AC＝2，CE＝4，则四边形ACEB的周长为________． 【答案】## 【解析】 【分析】先证明四边形ACED是平行四边形，可得DE=AC=2．由勾股定理和中线的定义可求AB和EB的长，从而求出四边形ACEB的周长． 【详解】∵∠ACB=90°，DE⊥BC， ∴AC∥DE． 又∵CE∥AD， ∴四边形ACED是平行四边形． ∴DE=AC=2． 在Rt△CDE中，DE= 2，CE＝4，由勾股定理得． ∵D是BC的中点， ∴BC=2CD=4． 在△ABC中，∠ACB=90°，由勾股定理得． ∵D是BC的中点，DE⊥BC， ∴EB=EC=4． ∴四边形ACEB的周长=AC+CE+EB+BA=10+． 故答案为：10+． 三、解答题(本题共10小题，共90分) 16. 计算： （1）因式分解： （2）计算： 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 17. 解分式方程 【答案】 【解析】 【分析】先把分式方程去分母化为整式方程，然后解整式方程，最后检验即可． 【详解】解：， 方程两边都乘以得：， 解得：， 检验：当时，， 所以是原方程的解， 即原方程的解为． 【点睛】本题主要考查了解分式方程，熟知解分式方程的步骤是解题的关键，注意解分式方程最后一定要检验． 18. 先化简：，再从3、，0中选一个合适的数作为的值代入求值． 【答案】，当时，原式 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值及分式有意义的条件，解题的关键是把握好通分与约分，分式加减的本质是通分，分式乘除的本质是约分．熟练掌握分式混合运算的运算法则是解题的关键．先根据分式的运算法则把所给代数式化简，再根据分式有意的条件，求出x的取值范围，再在所给的值中取一个符合题意的值代入求值即可． 【详解】解：  ， ， ， 且， 且， ∴x只能取， 当时，原式． 19. 如图，在四边形中，，且C为的中点． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，，，求四边形的面积． 【答案】（1）见解析 （2）60 【解析】 【分析】（1）根据全等三角形的性质得到，且，由C为的中点，推出，再结合平行四边形的判定即可求出； （2）利用等腰三角形的性质求得，得到，根据勾股定理求得，利用平行四边形的面积公式计算结果即可． 【小问1详解】 证明：∵， ∴，， ∴， ∵C为的中点， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形； 【小问2详解】 解：∵，C为的中点， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴四边形的面积． 【点睛】本题主要考查勾股定理，平行四边形的判定与性质，全等三角形的性质，等腰三角形三线合一的性质；证明四边形是平行四边形是解题的关键． 20. 如图，每个小正方形的边长为1个单位、每个小方格的顶点叫格点，的三个顶点都是格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成下列画图． （1）在图1中画出向右平移4个单位后的； （2）在图2中画出绕点顺时针旋转后的； （3）在图3中画出所有格点，使面积与面积相等（点与点不重合）． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）见解析 【解析】 【分析】本题考查作图平移变换、旋转变换、三角形面积，熟练掌握平移、旋转的性质是解答本题的关键． （1）将三个顶点向右平移4个单位长度得到其对应点，再首尾顺次连接即可； （2）作出A、C绕点顺时针旋转后的对应点、，顺次连接即可； （3）过点A作的平行线与网格线的交点即为所求的点M． 【小问1详解】 如图所示，即为所求； 【小问2详解】 如图所示，即为所求； 【小问3详解】 如图所示，点，即为所求； 21. 综合与实践 “文房四宝”是中国传统的书法绘画工具，即笔、墨、纸、砚．文房四宝之名起源于南北朝时期．某校为了落实“双减”政策，丰富学生的课后服务活动，开设了书法社团，计划为学生购买甲、乙两种型号的“文房四宝”．经过调查，得知每套甲型号“文房四宝”的价格比每套乙型号的价格贵30元，用640元购买甲型号“文房四宝”的数量和用400元购买乙型号“文房四宝”的数量相同． （1）求甲、乙这两种型号的“文房四宝”每套的价格． （2）若该校需购进甲、乙两种型号“文房四宝”共100套，总费用不超过5840元，并且要求购进乙型号“文房四宝”的数量少于甲型号“文房四宝”数量的3倍，请问共有几种购买方案？最低费用是多少？ 【答案】（1）乙型号的“文房四宝”每套的价格为50元，甲型号的每套为80元 （2）共有三种购买方案，最低费用是5780元 【解析】 【分析】本题主要考查了列分式方程解决实际问题，列一元一次不等式组解决方案问题，解题的关键是准确找出等量关系和不等关系． （1）假设出两种型号“文房四宝”的价格，根据数量找出等量关系，列出方程求解即可； （2）假设出两种型号“文房四宝”的数量，根据不等关系列出不等式组，确定取值，然后制定方案求出花费的钱数即可． 【小问1详解】 解：设乙型号的“文房四宝”每套的价格为元，则甲型号的每套为元，根据题意得， 解得， 经检验，是原分式方程的根，并符合题意， 此时，， 所以，乙型号的“文房四宝”每套的价格为50元，甲型号的每套为80元； 【小问2详解】 解：设购买甲型号“文房四宝”套，则乙型号为套，根据题意得， 解得， ∵取值为正整数， ∴可取26,27,28， 所以有以下三种购买方案： 方案一：当时，即购买甲套，乙套， 此时费用为（元）； 方案二：当时，即购买甲套，乙套， 此时费用为（元）； 方案三：当时，即购买甲套，乙套， 此时费用为（元）； ∵ ∴共有三种购买方案，且方案一最省钱，最低费用是5780元． 22. 如图，在直角梯形中，，动点P从点A开始沿边向点D以的速度运动，动点Q从点C开始沿边向点B以的速度运动，点P、Q分别从点A、C同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t秒，求：t为何值时，其中一个四边形为平行四边形？ 【答案】当秒时，四边形为平行四边形；当秒时，四边形为平行四边形． 【解析】 【分析】分类讨论：①当四边形为平行四边形时，②当四边形为平行四边形时，逐个分析求解即可． 【详解】解：①当四边形为平行四边形时，如图 由题意得：，， 由，可得 当时，四边形为平行四边形， ∴， 解得， ∴当秒时，四边形为平行四边形； ②当四边形为平行四边形时，如图 由题意得：，， 由，可得 当时，四边形为平行四边形， ∴， 解得， ∴当秒时，四边形为平行四边形， 综上所述，当秒时，四边形为平行四边形；当秒时，四边形为平行四边形． 23. 如下表： “算两次” 素材 “算两次”，又称“富比尼原理”，是指把同一个量用两种不同的方式表示出来，通过等量关系进行求解的一种数学策略．通过把面积“算两次”，可以巧妙地解决一些数学问题．例如，如图，已知直角三 角形的三边长，，，可用“算两次”求斜边上的高．面积“算两次”：，化简得：． 图 素材 长为，宽为的长方形，按如图分割为若干个正方形和长方形，根据“算两次”，可得等式：． 问题解决 任务 边长为的正方形，按图分割成几个小正方形与小长方形，请你用“算两次”直接写出一个关于，，的等式． 任务 如图，用两个全等的直角三角形和一个等腰直角三角形拼接成一个梯形，结合此图，用“算两次”可得到一个关于，，的等式，请你写出这个等式并化简． 任务 图案设计：如图，请你用张边长为的正方形纸片、张边长为的正方形纸片和张长为、宽为的长方形纸片拼接出一个大长方形（每张纸片均要使用）．请画出你设计的大长方形的示意图．（画出一种即可） 【答案】任务：； 任务：，； 任务：见解析． 【解析】 【分析】此题考查的是多项式乘多项式的几何意义，掌握正方形的面积公式和长方形的面积公式是解题的关键． 【详解】解：任务：； 任务：； ∴， ∴， ∴； 任务： 方法一：， 方法二： ， 方法三：， 方法四：， 方法五：． 24. 阅读与思考 阅读材料：我们把多项式及叫做完全平方式．如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些求代数式的最大值，最小值的问题． 例如：分解因式． ． 又例如：求代数式的最小值． ∵． 又∵， ∴当时，有最小值，最小值是． 根据阅读材料，利用“配方法”，解答下列问题． （1）分解因式：______． （2）若多项式的最小值为1，求出k的值． （3）已知a，b，c是的三边长，且满足，试判断的形状． 【答案】（1） （2） （3）是等腰三角形 【解析】 【分析】（1）根据题意，先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再利用平方差公式分解因式即可； （2）首先利用“配方法”将变形为，然后得到最小值为，根据题意得到，进而求解即可； （3）首先利用“配方法”将变形为，得到，，，求出，，即可得出结论． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解：∵ ∵ ∴ ∴的最小值为 ∵多项式有最小值为1， ∴ ∴； 【小问3详解】 解：∵ ∴，，， ∴， ∴， ∴是等腰三角形． 25. 综合与探究 （1）如图1，在中，，，D（不与点B，C重合）为边上的一点，将线段绕点A逆时针旋转后，得到，连接，． ①求的度数． ②探究线段，，之间的数量关系，并说明理由． （2）如图2，在中，，，D（不与点B，C重合）为边上的一点，将线段绕点A逆时针旋转后，得到，连接．请探究线段，，之间的数量关系，并说明理由． （3）如图3，在四边形中，，，，，直接写出的值． 【答案】（1）①；②；理由见解析 （2），理由见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）①证明，根据全等三角形的性质解答； ②由可得，即可得到； （2）根据全等三角形的性质得到，，得到，根据勾股定理计算即可； （3）过点作交于点，连接，证明，求得，，利用勾股定理先后求得和的长，再利用勾股定理求解即可． 【小问1详解】 解：①∵在中，，， ， ，即， 在和中， ， ∴， ，， 故答案为：； ②，理由如下： ∵， ， ； 故答案为：； 【小问2详解】 解：， 理由如下： 在中，，， 由（1）同理可得，， ，， ， ， 在中，，又， ； 【小问3详解】 解：过点作交于点，连接， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查的是全等三角形的判定和性质、勾股定理、等腰直角三角形的判定和性质以及旋转变换的性质．作出合适的辅助线是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年第二学期八年级数学期中检测卷 用时：120分钟 总分：150分 一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分) 1. 道路交通标志是用文字和图形符号向车辆或行人传递指示、指路、警告、禁止性指令等交通管理信息．下列交通标志图案中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列从左到右的变形，是分解因式的是（　　） A. xy2（x﹣1）=x2y2﹣xy2 B. 2a2+4a=2a（a+2） C. （a+3）（a﹣3）=a2﹣9 D. x2+x﹣5=（x﹣2）（x+3）+1 3. 如图，将平移到，点A的对应点是D，则线段的对应线段是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，下列条件不能判定这个四边形是平行四边形的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 5. 下列多项式在实数范围内能用平方差公式分解因式的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，小明想测量池塘A，B两点之间的距离．他先在A，B外选一点C，然后找到，的中点D，E，测得，则A，B之间的距离为（ ） A. B. C. D. 7. 若解分式方程 产生增根，则m=（　　） A. 1 B. 0 C. ﹣4 D. ﹣5 8. 如图，点E是的边CD的中点，AD、BE的延长线相交于点F，DF=3，DE=2，则的周长为( ) A. 5 B. 7 C. 10 D. 14 9. 若关于x的分式方程的解是正数，则m的取值范围是（ ） A. 且 B. C. D. 且 10. 如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠ACB=30°，将△ABC绕点C顺时针旋转60°得到△DEC，点A、B的对应点分别是D、E，点F是边AC中点，①△BCE是等边三角形，②DE=BF，③△ABC≌△CFD，④四边形BEDF是平行四边形．则其中正确结论的个数是(　　) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题(本大题共5小题，每小题4分，共20分) 11. 若分式的值为0，则实数x的值为______． 12. 已知4x2+mxy+y2是完全平方式，则m的值是_____． 13. 如图，在中，将沿折叠后，点D恰好落在的延长线上的点E处若，则为_________． 14. 在平面直角坐标系中，已知点，，．若以点A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形，则点D的坐标为_______________________． 15. 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D是BC的中点，DE⊥BC，CE//AD，若AC＝2，CE＝4，则四边形ACEB的周长为________． 三、解答题(本题共10小题，共90分) 16. 计算： （1）因式分解： （2）计算： 17. 解分式方程 18. 先化简：，再从3、，0中选一个合适的数作为的值代入求值． 19. 如图，在四边形中，，且C为的中点． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，，，求四边形的面积． 20. 如图，每个小正方形的边长为1个单位、每个小方格的顶点叫格点，的三个顶点都是格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成下列画图． （1）在图1中画出向右平移4个单位后的； （2）在图2中画出绕点顺时针旋转后的； （3）在图3中画出所有格点，使面积与面积相等（点与点不重合）． 21. 综合与实践 “文房四宝”是中国传统的书法绘画工具，即笔、墨、纸、砚．文房四宝之名起源于南北朝时期．某校为了落实“双减”政策，丰富学生的课后服务活动，开设了书法社团，计划为学生购买甲、乙两种型号的“文房四宝”．经过调查，得知每套甲型号“文房四宝”的价格比每套乙型号的价格贵30元，用640元购买甲型号“文房四宝”的数量和用400元购买乙型号“文房四宝”的数量相同． （1）求甲、乙这两种型号的“文房四宝”每套的价格． （2）若该校需购进甲、乙两种型号“文房四宝”共100套，总费用不超过5840元，并且要求购进乙型号“文房四宝”的数量少于甲型号“文房四宝”数量的3倍，请问共有几种购买方案？最低费用是多少？ 22. 如图，在直角梯形中，，动点P从点A开始沿边向点D以的速度运动，动点Q从点C开始沿边向点B以的速度运动，点P、Q分别从点A、C同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t秒，求：t为何值时，其中一个四边形为平行四边形？ 23. 如下表： “算两次” 素材 “算两次”，又称“富比尼原理”，是指把同一个量用两种不同的方式表示出来，通过等量关系进行求解的一种数学策略．通过把面积“算两次”，可以巧妙地解决一些数学问题．例如，如图，已知直角三 角形的三边长，，，可用“算两次”求斜边上的高．面积“算两次”：，化简得：． 图 素材 长为，宽为的长方形，按如图分割为若干个正方形和长方形，根据“算两次”，可得等式：． 问题解决 任务 边长为的正方形，按图分割成几个小正方形与小长方形，请你用“算两次”直接写出一个关于，，的等式． 任务 如图，用两个全等的直角三角形和一个等腰直角三角形拼接成一个梯形，结合此图，用“算两次”可得到一个关于，，的等式，请你写出这个等式并化简． 任务 图案设计：如图，请你用张边长为的正方形纸片、张边长为的正方形纸片和张长为、宽为的长方形纸片拼接出一个大长方形（每张纸片均要使用）．请画出你设计的大长方形的示意图．（画出一种即可） 24. 阅读与思考 阅读材料：我们把多项式及叫做完全平方式．如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些求代数式的最大值，最小值的问题． 例如：分解因式． ． 又例如：求代数式的最小值． ∵． 又∵， ∴当时，有最小值，最小值是． 根据阅读材料，利用“配方法”，解答下列问题． （1）分解因式：______． （2）若多项式的最小值为1，求出k的值． （3）已知a，b，c是的三边长，且满足，试判断的形状． 25. 综合与探究 （1）如图1，在中，，，D（不与点B，C重合）为边上的一点，将线段绕点A逆时针旋转后，得到，连接，． ①求的度数． ②探究线段，，之间的数量关系，并说明理由． （2）如图2，在中，，，D（不与点B，C重合）为边上的一点，将线段绕点A逆时针旋转后，得到，连接．请探究线段，，之间的数量关系，并说明理由． （3）如图3，在四边形中，，，，，直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $