精品解析：河南商丘市柘城县实验中学2025-2026学年九年级下学期5月阶段检测数学试题

2025－2026学年初中生第六次学情分析与测评 九年级 数学 注意事项： 1．本试卷共6页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟． 2．本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求直接把答案填写在答题卡上，答在试卷上的答案无效． 一、选择题（共10小题，每题3分，共30分） 1. 在“2025年河南乡村足球联赛”中，若规定球队净胜球为表示赢3球，那么输2球可表示为（ ）． A. B. C. D. 2. 如图为出现在深圳街头的新型无线充电石墩，关于石墩的三视图的描述，正确的是（ ） A. 主视图和左视图相同 B. 主视图和俯视图相同 C. 左视图和俯视图相同 D. 三个视图都相同 3. 2025年12月4日，“春节-中国人庆祝传统新年的社会实践”列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录．2026年是第一个“非遗版”春节，某电商平台年货节期间，河南特产销售总额突破了12600000000元．将数据“12600000000”用科学记数法表示为（ ） A. 1 B. C. D. 4. 如图，矩形的四个顶点分别在直线，，，上，若直线且相邻两直线间距离相等．若，，则，之间的距离为（ ）． A. 5 B. C. D. 5. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，小逸同学利用刻度直尺（单位：）测量三角形纸片的尺寸，点，分别对应刻度尺上的刻度2和8，为的中点，若，则的长为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在中，D是边的中点，是的平分线，于点E，连接．若，则等于（ ） A. 7 B. 6.5 C. 6 D. 5.5 8. 物理活动中，小明探究了物质质量与体积的关系，得到甲、乙、丙三个实心物体的质量（单位：）与（单位：）之间的关系如图所示（表示密度），则下列说法正确的是（ ） A. 甲物质的质量随着其体积的增加而减小 B. 随着体积的增加，乙物质的质量的变化是不“均匀”的 C. 丙物质的质量为 D. 丙物质的密度最大 9. 如图，在矩形中，点在的延长线上，且，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 10. 河南是中原粮仓，粮食的水分含量是评价粮食品质的重要指标，粮食水分检测对粮食的收购、运输、储存等都具有十分重要的意义．其中，电阻式粮食水分测量仪的内部电路如图甲所示，将粮食放在湿敏电阻上，使的阻值发生变化，其阻值随粮食水分含量的变化关系如图乙所示．观察图象，下列说法不正确的是（ ） A. 当没有粮食放置时，的阻值为 B. 粮食水分含量为时，的阻值为 C. 的阻值随着粮食水分含量的增大而减小 D. 该装置能检测的粮食水分含量的最大值是 二、填空题（共5小题每题3分，共15分） 11. 若有意义，则x的取值范围为_____． 12. 对于非零实数a、b，规定，若，则x的值为______________． 13. 长方形窗户上的装饰物如图所示，它是由半径均为b的两个四分之一圆组成，则能射进阳光部分的面积是______． 14. 现将一块含的直角三角板按如图放置，顶点C落在以为直径的半圆上，斜边恰好经过点B，一条直角边与半圆交于点D，若，则弧的长为______． 15. 等腰三角形纸片中，，将纸片沿直线l折叠，使点A与点B重合，直线l交于点D，交直线于点E，连接，若，，则的面积为__________． 三、解答题（共8小题，共75分） 16. 计算及化简． （1）计算： （2）化简： 17. 随着人工智能的快速发展，初中生使用大模型辅助学习快速普及，并呈现出多样化趋势．某研究性学习小组采用简单随机抽样的方法，对本校九年级学生一周使用大模型辅助学习的时间（用x表示，单位：）进行了抽样调查，把所得的数据分组整理，并绘制成频数分布直方图： 抽取的学生一周使用大模型辅助学习时间频率分布表 组别 时间 频率 A B C D E 合计 1 根据提供的信息回答问题： （1）请把频数分布直方图补充完整（画图后标注相应数据）； （2）调查所得数据的中位数落在________组（填组别）； （3）该校九年级共有750名学生，根据抽样调查结果，估计该校九年级学生一周使用大模型辅助学习的时间不少于的学生人数． 18. 如图，点在反比例函数的图象上，点． （1）求的表达式； （2）将线段向右平移得到，当点落在的图象上时，求平移的距离． 19. 如图，四边形是平行四边形． （1）尺规作图：作线段的垂直平分线交于点E，交于点O，过点C作，交延长线于点F； （2）在（1）的条件下，连接、，求证：四边形为菱形． 20. 2025年全国新能源汽车销量再创新高，充电桩建设成为乡村振兴的新重点．某县计划在A、B两个乡镇共建60个充电桩，其中A乡的数量不超过B乡数量的2倍，且A乡的数量不低于20个．设A乡的充电桩数量为a个． （1）求A乡充电桩数量的取值范围． （2）已知甲型充电桩的造价为2万元/个，乙型充电桩的造价为3万元/个．为节约成本，决定在A乡全部安装甲型，在B乡全部安装乙型．设总造价为W万元，求W与a的函数关系式，并求出总造价最低时的安装方案和最低总造价． 21. 某小区在设计时，计划在如图①的住宅楼正前方建一栋文体活动中心．设计示意图如图②所示，已知，该地冬至正午太阳高度角为．如果你是建筑设计师，请结合示意图和已知条件完成下列任务． 任务一：计算冬至正午太阳照到住宅楼的位置与地面之间的距离的长； 任务二：为符合建筑规范对日照的要求，让整栋住宅楼在冬至正午太阳高度角下恰好都能照射到阳光，需将活动中心沿方向移动一定的距离（活动中心高度不变），求该活动中心移动了多少米？ （参考数据：．结果保留小数点后一位） 22. 数形结合是一种重要的数学思想，在中学有着极为广泛的应用，很多复杂的问题结合图形能够快速直观得到结论．在中学阶段，一元二次函数、一元二次方程和一元二次不等式简称为“三个二次”，它们之间有着密切的联系，其中一元二次函数居于核心地位，利用一元二次函数的图象能够很方便地解决很多一元二次方程和一元二次不等式问题． 【特例感知】 如解不等式，我们构造函数，作出它的图象，易得它与x轴的两个交点分别为和，结合图象易得不等式的解集为或，同时易知函数与x轴交点的横坐标和3为方程的两个根． 【理解运用】 结合上述知识请解决下面的问题： （1）不等式的解集为 ； （2）对任意实数b，关于x的一元二次方程恒有两个不等的实数根，求实数a的取值范围． 23. 综合与实践 定义：在四边形中，若有一个角是直角，且从这个直角顶点引出的对角线，把对角分成的两个角中，有一个是直角，我们称这样的四边形为“和谐四边形”． （1）【初步探究】如图1，在“和谐四边形”中，，若 ，则的值为 ． （2）【问题解决】如图2，在“和谐四边形”中，，E为线段上一点，且，求的值． （3）【拓展应用】如图3，在“和谐四边形”中， ，E为线段上一动点，且，连接，将沿翻折，得到，连接，若，请直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025－2026学年初中生第六次学情分析与测评 九年级 数学 注意事项： 1．本试卷共6页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟． 2．本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求直接把答案填写在答题卡上，答在试卷上的答案无效． 一、选择题（共10小题，每题3分，共30分） 1. 在“2025年河南乡村足球联赛”中，若规定球队净胜球为表示赢3球，那么输2球可表示为（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：∵题目规定赢球用正数表示，赢球与输球是相反意义的量， ∴输球需要用负数表示， 因此输球可表示为． 2. 如图为出现在深圳街头的新型无线充电石墩，关于石墩的三视图的描述，正确的是（ ） A. 主视图和左视图相同 B. 主视图和俯视图相同 C. 左视图和俯视图相同 D. 三个视图都相同 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了三种视图，熟知三视图的观察方向是解题的关键．在正面内得到的由前向后观察物体的视图，叫做主视图；在水平面内得到的由上向下观察物体的视图，叫做俯视图；在侧面内得到由左向右观察物体的视图，叫做左视图．仔细观察图中几何体摆放的位置，根据三种视角观察到的图形判定则可． 【详解】解：根据三视图的定义，可知该几何主视图和左视图相同． 故选：A． 3. 2025年12月4日，“春节-中国人庆祝传统新年的社会实践”列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录．2026年是第一个“非遗版”春节，某电商平台年货节期间，河南特产销售总额突破了12600000000元．将数据“12600000000”用科学记数法表示为（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查科学记数法的表示方法，科学记数法的表示形式为，要求满足，为整数． 【详解】将 的小数点向左移动10位得到，满足 ， 因此，， ∴． 4. 如图，矩形的四个顶点分别在直线，，，上，若直线且相邻两直线间距离相等．若，，则，之间的距离为（ ）． A. 5 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例，矩形的性质，勾股定理以及平行线的定义等知识，熟练掌握平行线分线段成比例以及平行线之间等距离是解答本题的关键． 过A点作于点N，交于点M，根据平行线分线段成比例以及平行线之间等距离可得，进而可得，再利用勾股定理可得，结合三角形的面积即可求解． 【详解】过A点作于点N，交于点M，如图， ∵在矩形中，， ∴，， ∵直线且相邻两直线间距离相等，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴在中，， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 5. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了同底数幂乘除法运算，幂的乘方运算和完全平方公式，根据相关运算法则求解判断即可． 【详解】解：A、，原式计算错误，不符合题意； B、，原式计算正确，符合题意； C、，原式计算错误，不符合题意； D、，原式计算错误，不符合题意； 故选：B． 6. 如图，小逸同学利用刻度直尺（单位：）测量三角形纸片的尺寸，点，分别对应刻度尺上的刻度2和8，为的中点，若，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形的性质，斜边上的中线等于斜边的一半，据此作答即可． 【详解】解：根据题意得：， ∵D为的中点，， ∴， 故选：A． 7. 如图，在中，D是边的中点，是的平分线，于点E，连接．若，则等于（ ） A. 7 B. 6.5 C. 6 D. 5.5 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查的是三角形中位线定理、全等三角形的判定与性质等知识；熟练掌握三角形中位线定理，证明三角形全等是解题的关键． 延长交于点F，通过证明，根据全等三角形的性质得到，，根据三角形中位线定理得出，即可得出结果． 【详解】解：延长交于点F， ∵平分， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， 又∵D是中点， ∴， ∴是的中位线， ∴ ∴， 故选：A． 8. 物理活动中，小明探究了物质质量与体积的关系，得到甲、乙、丙三个实心物体的质量（单位：）与（单位：）之间的关系如图所示（表示密度），则下列说法正确的是（ ） A. 甲物质的质量随着其体积的增加而减小 B. 随着体积的增加，乙物质的质量的变化是不“均匀”的 C. 丙物质的质量为 D. 丙物质的密度最大 【答案】D 【解析】 【分析】从函数图象中获取信息，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、甲物质的质量随着其体积的增加而增大，原说法错误； B、随着体积的增加，乙物质的质量的变化是“均匀”的，原说法错误； C、无法求出丙物质的质量，原说法错误； D、相同体积下，丙物质的质量最大，故丙物质的密度最大，原说法正确． 9. 如图，在矩形中，点在的延长线上，且，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查矩形的性质，等腰三角形的性质，连接，根据矩形的性质得出，即可求出，进而可求出，熟练掌握矩形的性质是解题关键． 【详解】解：连接，交于点O，如图， 四边形是矩形， ，，， ， ， ， ， ， ，， ． 故选：C． 10. 河南是中原粮仓，粮食的水分含量是评价粮食品质的重要指标，粮食水分检测对粮食的收购、运输、储存等都具有十分重要的意义．其中，电阻式粮食水分测量仪的内部电路如图甲所示，将粮食放在湿敏电阻上，使的阻值发生变化，其阻值随粮食水分含量的变化关系如图乙所示．观察图象，下列说法不正确的是（ ） A. 当没有粮食放置时，的阻值为 B. 粮食水分含量为时，的阻值为 C. 的阻值随着粮食水分含量的增大而减小 D. 该装置能检测的粮食水分含量的最大值是 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了从函数图象获取信息，根据图象对每一个选项逐一判断即可． 【详解】解：A、当没有粮食放置时，即水分含量为0，由图象可知的阻值为，故本选项不符合题意； B、由函数图象可知，当粮食水分含量为时，的阻值小于，故本选项符合题意； C、由图象可知，的阻值随着粮食水分含量的增大而减小，故本选项不符合题意； D、由图象可知，该装置能检测的粮食水分含量的最大值是，故本选项不符合题意． 故选：B． 二、填空题（共5小题每题3分，共15分） 11. 若有意义，则x的取值范围为_____． 【答案】且 【解析】 【分析】本题考查二次根式和分式有意义的条件，熟练掌握二次根式和分式的概念是关键． 分式有意义的条件是分母不为零，二次根式则要求被开方数非负，结合在一起解不等式组即可． 【详解】解：∵有意义， ∴， 解得且， 故答案为：且． 12. 对于非零实数a、b，规定，若，则x的值为______________． 【答案】 【解析】 【分析】根据新定义列出分式方程，按照分式方程的解法求解并检验即可得到结果． 【详解】解：∵， ∴， 去分母，得 去括号，得， 移项并合并同类项，得， 系数化为1，得， 经检验，是原分式方程的解， ∴． 13. 长方形窗户上的装饰物如图所示，它是由半径均为b的两个四分之一圆组成，则能射进阳光部分的面积是______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了列代数式，解决问题的关键是读懂题意，找到所求的量的等量关系．阴影部分的面积一般应整理为一个规则图形的面积． 【详解】解：能射进阳光部分的面积是： ， 故答案为：． 14. 现将一块含的直角三角板按如图放置，顶点C落在以为直径的半圆上，斜边恰好经过点B，一条直角边与半圆交于点D，若，则弧的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查弧长公式，圆周角定理等知识；解题的关键是理解题意，记住弧长公式．连接，利用圆周角定理求出，利用弧长公式求解即可． 【详解】解：连接， ，， 的长， 故答案为：． 15. 等腰三角形纸片中，，将纸片沿直线l折叠，使点A与点B重合，直线l交于点D，交直线于点E，连接，若，，则的面积为__________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题主要考查折叠的性质，等腰三角形的性质，勾股定理以及相似三角形的判定与性质，分为锐角和钝角两种情况讨论求解：①当为锐角时求出，，由折叠得，可求得，过点作于点，证明，可求出，可求出，根据可得结论；②当为钝角时，过点作于点，得出，可求出，，从而可得． 【详解】解：当为锐角时，如图， 根据题意得， ∵， ∴设，则， ∵， ∴，即，解得， ∴，， 由折叠得， ∴； ∴， 过点作于点，则， ∴， ∴，即， ∴ ∴， ∴； 当为钝角时，如图， 过点作于点，则， ∴， 同（1）可得，， ∴， 同理可得 ∴； 综上所述，的面积为或． 故答案为：或． 三、解答题（共8小题，共75分） 16. 计算及化简． （1）计算： （2）化简： 【答案】（1） （2）1 【解析】 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 解： 17. 随着人工智能的快速发展，初中生使用大模型辅助学习快速普及，并呈现出多样化趋势．某研究性学习小组采用简单随机抽样的方法，对本校九年级学生一周使用大模型辅助学习的时间（用x表示，单位：）进行了抽样调查，把所得的数据分组整理，并绘制成频数分布直方图： 抽取的学生一周使用大模型辅助学习时间频率分布表 组别 时间 频率 A B C D E 合计 1 根据提供的信息回答问题： （1）请把频数分布直方图补充完整（画图后标注相应数据）； （2）调查所得数据的中位数落在________组（填组别）； （3）该校九年级共有750名学生，根据抽样调查结果，估计该校九年级学生一周使用大模型辅助学习的时间不少于的学生人数． 【答案】（1）图见解析 （2）C （3）该校九年级学生一周使用大模型辅助学习的时间不少于的学生人数约为450人 【解析】 【分析】本题考查频数分布直方图，掌握频数、频率、总数之间的关系是正确计算的前提，解题的关键是正确的从表中读出有关的信息． （1）根据频数、频率、总数之间的关系可求出总人数，进而求出D组人数， （2）50个人的中位数是第25和26人的平均数； （3）由这所学校共有学生人数乘以一周使用大模型辅助学习的时间不少于的学生的频率即可． 【小问1详解】 解：． D组人数：人． 如图为所求： 【小问2详解】 解：总人数有50人，从小到大排列后，中位数为第25人和26人的学习时间的平均数， 从统计图，可知，组8人，组12人，组15人，那么第25人和26人的数据落在组， 故答案为：C； 【小问3详解】 解：， （人）． 答：该校九年级学生一周使用大模型辅助学习的时间不少于的学生人数约为450人． 18. 如图，点在反比例函数的图象上，点． （1）求的表达式； （2）将线段向右平移得到，当点落在的图象上时，求平移的距离． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数图象的性质和平移的性质，求出反比例函数解析式是解决本题的关键． （1）将代入中即可求解； （2）设平移后点的坐标为，将代入中，即可求解． 【小问1详解】 解：将代入中， 得， 解得， ∴的表达式为； 【小问2详解】 解：设平移后点的坐标为， 将代入中， 得， 解得， ∴平移的距离为：． 19. 如图，四边形是平行四边形． （1）尺规作图：作线段的垂直平分线交于点E，交于点O，过点C作，交延长线于点F； （2）在（1）的条件下，连接、，求证：四边形为菱形． 【答案】（1）解：所作图形如图： （2）证明：∵是线段的垂直平分线， ∴， ∵， ∴， ∴四边形为菱形． 【解析】 【分析】（1）分别以点B、C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于两点，过两点作直线，交于E，交于O，即得的垂直平分线；以点C为圆心，长为半径画弧，交的延长线于点F，即得． （2）利用垂直平分线直接得到两组邻边相等，再结合 ，即可解答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 20. 2025年全国新能源汽车销量再创新高，充电桩建设成为乡村振兴的新重点．某县计划在A、B两个乡镇共建60个充电桩，其中A乡的数量不超过B乡数量的2倍，且A乡的数量不低于20个．设A乡的充电桩数量为a个． （1）求A乡充电桩数量的取值范围． （2）已知甲型充电桩的造价为2万元/个，乙型充电桩的造价为3万元/个．为节约成本，决定在A乡全部安装甲型，在B乡全部安装乙型．设总造价为W万元，求W与a的函数关系式，并求出总造价最低时的安装方案和最低总造价． 【答案】（1） （2）；A乡安装40个甲型充电桩，B乡安装20个乙型充电桩；140万元 【解析】 【分析】（1）设乡充电桩数量为个，则乡充电桩数量为个，根据“其中A乡的数量不超过B乡数量的2倍，且A乡的数量不低于20个”列不等式组求解即可； （2）根据“甲型充电桩的造价为2万元/个，乙型充电桩的造价为3万元/个”得到W与a的函数关系式，根据一次函数的性质作答即可． 【小问1详解】 解：设乡充电桩数量为个，则乡充电桩数量为个， 根据题意得：， 解得：． 答：乡充电桩数量的取值范围是． 【小问2详解】 解：已知乡充电桩数量为个，则乡充电桩数量为个，根据题意得： ， ∵， ∴随的增大而减小． 由（1）知， ∴当时，取最小值． 此时个，万元． 答：与的函数关系式为；总造价最低时的安装方案是乡安装40个甲型充电桩，乡安装20个乙型充电桩，最低总造价为140万元． 21. 某小区在设计时，计划在如图①的住宅楼正前方建一栋文体活动中心．设计示意图如图②所示，已知，该地冬至正午太阳高度角为．如果你是建筑设计师，请结合示意图和已知条件完成下列任务． 任务一：计算冬至正午太阳照到住宅楼的位置与地面之间的距离的长； 任务二：为符合建筑规范对日照的要求，让整栋住宅楼在冬至正午太阳高度角下恰好都能照射到阳光，需将活动中心沿方向移动一定的距离（活动中心高度不变），求该活动中心移动了多少米？ （参考数据：．结果保留小数点后一位） 【答案】任务一：，任务二：该活动中心移动了2米； 【解析】 【分析】本题考查的是矩形的判定与性质，解直角三角形的实际应用； 任务一：如图，过作于，结合题意可得：四边形为矩形，，可得，，求解，进一步可得答案； 任务二：如图，过作的平行线，过作的平行线，两线交于点，交于点，过作于，可得，四边形为矩形，，求解，进一步可得答案. 【详解】解：任务一：如图，过作于， 结合题意可得：四边形为矩形，， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴； 任务二：如图，过作的平行线，过作的平行线，两线交于点，交于点，过作于， ∴，四边形为矩形， ∴， ∴， ∴； ∴该活动中心移动了2米. 22. 数形结合是一种重要的数学思想，在中学有着极为广泛的应用，很多复杂的问题结合图形能够快速直观得到结论．在中学阶段，一元二次函数、一元二次方程和一元二次不等式简称为“三个二次”，它们之间有着密切的联系，其中一元二次函数居于核心地位，利用一元二次函数的图象能够很方便地解决很多一元二次方程和一元二次不等式问题． 【特例感知】 如解不等式，我们构造函数，作出它的图象，易得它与x轴的两个交点分别为和，结合图象易得不等式的解集为或，同时易知函数与x轴交点的横坐标和3为方程的两个根． 【理解运用】 结合上述知识请解决下面的问题： （1）不等式的解集为 ； （2）对任意实数b，关于x的一元二次方程恒有两个不等的实数根，求实数a的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据【特例感知】结合图象解答即可； （2）根据一元二次方程恒有两个不等的实数根，得到判别式并化简，即 ，然后令，看成关于的二次函数，结合图象求解即可． 【小问1详解】 解：解不等式，我们构造函数， 作出它的图象如图1所示，可知它与x轴的两个交点分别为和， 结合图象可知不等式的解集为； 【小问2详解】 解：∵对于任意实数，关于的方程恒有两个不等的实数根， ∴方程恒有两个不等实数根对任意的恒成立． ∴ 对任意的实数恒成立． 令，则有 ，即． 令作出其函数图象如图2所示， 当时，实数的取值范围为． 23. 综合与实践 定义：在四边形中，若有一个角是直角，且从这个直角顶点引出的对角线，把对角分成的两个角中，有一个是直角，我们称这样的四边形为“和谐四边形”． （1）【初步探究】如图1，在“和谐四边形”中，，若 ，则的值为 ． （2）【问题解决】如图2，在“和谐四边形”中，，E为线段上一点，且，求的值． （3）【拓展应用】如图3，在“和谐四边形”中， ，E为线段上一动点，且，连接，将沿翻折，得到，连接，若，请直接写出的值． 【答案】（1） （2）1 （3）或 【解析】 【分析】（1）证明为等边三角形，可得，再利用锐角三角函数解答即可； （2）证明，可得，即可解答； （3）过点作于点，同理（2）可得，，，再由折叠的性质可知四边形为正方形，连接，则，然后分两种情况：当点的对应点在的上方时，当点的对应点在的下方时，即可求解． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴为等边三角形； ∴， ∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：如图，过点作于点， 由（2）知，， ∴， ∵， ∴． 同理（2）可得，， ∴， 由折叠的性质得： 四边形为正方形， 连接， 则， 分两种情况： ①如图，当点的对应点在的上方时， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； ②如图，当点的对应点在的下方时， 同理， ∴， ∵， ∴， ∴； 综上，的值为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $