专题03 四边形（11常考1易错3压轴70题）（期末复习专项训练）八年级数学下学期新教材人教版

**基本信息** 以“基础-综合-突破”为逻辑主线，覆盖四边形全体系知识，通过11类常考题型夯实基础，1类易错题型辨析概念，3类压轴题型提升综合应用能力，培养几何直观与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |多边形与平行四边形|题型1-3（14题）|内角和计算、性质应用、判定证明|从多边形概念延伸至平行四边形，构建“定义-性质-判定”基础框架| |特殊平行四边形|题型4-9（21题）|矩形/菱形/正方形性质与判定综合|以平行四边形为基础，通过边角特殊化形成特殊四边形认知链| |关联定理应用|题型10-11（7题）|中位线计算、斜边中线性质|联结三角形与四边形，强化知识横向联系| |易错辨析|题型12（6题）|判定条件辨析、命题判断|聚焦概念易混点，培养严谨思维| |压轴突破|题型13-15（22题）|动点、综合证明、折叠旋转|整合多知识点，提升复杂问题建模与推理能力|

函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题03四边形（11常考1易错3压轴) 题型归纳·内容导航 题型1多边形及其内角和（常考） 题型9正方形的判定与性质综合（常考） 题型2平行四边形的性质（常考） 题型10三角形中位线（常考） 题型3平行四边形的判定与性质综合（常考) 题型1直角三角形斜边中线（常考） 题型4矩形的性质（常考） 题型12特殊平行四边形判定辨析（易错） 题型5矩形的判定与性质综合（常考） 题型13（特殊）平行四边形+动点（压轴） 题型6菱形的性质（常考） 题型14特殊平行四边综合证明+计算（压轴） 题型7菱形的判定与性质综合（常考） 题型15折叠、旋转与特殊四边形结合（压轴） 题型8正方形的性质（常考） 题型通关·靶向提分 题型1多边形及其内角和（常考）（共5小题） 1.(25-26八年级上湖南张家界·期末)从边形的一个顶点出发的对角线的条数是() A.n-3 B.n-2 C.n-1 D.n 【答案】A 【详解】解：，'从边形的一个顶点出发，总共有个顶点，但不能连接到自身(1个)和相邻的两个顶 点(2个)， .可连接的对角线条数为n-3。 故选A 2.(24-25七年级上广东清远期末)过七边形的一个顶点可以画n条对角线，将它分成个三角形，则 m+n的值是() A.7 B.8 C.9 D.10 【答案】C 【详解】解：过七边形的一个顶点可以画出条对角线， 1/97 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .n=7-3=4, ∴m=7-2=5, .m+n=4+5=9. .m+n的值是9 故选：C 3.(2526八年级上：云南昆明期末)把一个多边形用连接它的不相邻顶点的线段（这些线段不在多边形 内部相交)划分为若干个三角形，叫作多边形的三角剖分，部分多边形的三角剖分方法如下图，如：四边 形三角剖分得到两个三角形，它的内角和为180°×2=360°，用你发现的规律求七边形的内角和是() A.1260° B.900° C.720° D.540° 【答案】B 【详解】解：由题意得，七边形三角剖分得到五个三角形， .它的内角和为180°×5=900° 故选：B 4.(25-26八年级上山东济南期末)如图所示，第四套人民币中1角硬币边缘镌刻的图形是正九边形，正 九边形每个内角为度 【答案】140 先用多边形内角和公式 80°.(n-2) 求出正九边形的内角和，再根据正多边形的每个内角相等求解即可 =180°×(9-2)=1260° 【详解】解：该正九边形内角和 1260° 则每个内角的度数=9=140° 故答案为：140 2/97 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 5.(24-25八年级上广东惠州期末)一个多边形的每一个外角都等于60°，则这个多边形的边数为 【答案】6 【详解】解：：多边形的外角和等于360°，每个外角为60°， ∴，边数n=360°÷60°=6. 故答案为：6. 题型2平行四边形的性质（常考）（共5小题） 6.(25-26八年级上山东淄博期末)在口ABCD中，若 B+∠D=3(2A+∠C).则∠A=— 【答案】45 【详解】解：：四边形ABCD是平行四边形， ∴∠A=∠C,∠B=D,且AD∥BC, .∠A+∠B=180°（平行四边形邻角互补）， :∠B+∠D=3(∠A+∠C) 又∠B=∠D,∠A=∠C, .2∠B=3×2∠A,即∠B=3∠A, 将∠B=3∠A代入∠A+LB=180°， 得：∠A+3∠A=180°， 4∠A=180° ∠A=45°. D 7.(25-26八年级上山东淄博期末)如图，口ABCD的对角线交于点O,且CD=4,若它的对角线的和是 32,则△AOB的周长为 3/97 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【答案】20 【详解】解：：四边形ABCD是平行四边形， :.01-4C,0B=8D,B=CD=4 2 ,AC+BD=32, .OA+OB= (4C+BD)=16, ∴△AOB的周长=OA+OB+AB=16+4=20. 故答案为：20 8.(25-26八年级上山东淄博期末)如图，口ABCD中，E是边AB(不含端点)上任意一点，若S△=3， SEBc=5。 ,则 S.BDC= H 【答案】8 【详解】解：：四边形ABCD是平行四边形， S.DEC=AC=S.ADE+S.c=5+3=8. S.BDC=SDEC =8 9. (24-25八年级下·福建厦门期末)如图，在平行四边形ABCD中，∠A=30°，AD=4,则直线AB, CD之间的距离为 D B 【答案】2 【详解】解：作DE L AB,如图所示： 4/97 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D EB 则∠AED=90°」 :∠A=30°，AD=4, :DE=24D=2, :.AB与CD之间的距离为2， 故答案为：2. 10.(24-25八年级下·湖北黄石期末)如图，在口ABCD中，E,F分别是边AB,CD上的点，AF与 DE 相交于点”，时与C5相交于点°，若四边形 Q PFO 20cm2 的面积，则图中阴影部分的面积为 A D 【答案】20 【详解】解：如图，连接EF, E B ~四边形ABCD是平行四边形， AB∥CD :△AED和△AEF等底同高， .S。AED=S.AEF 5/97 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .S.AED-S.AEP=S.AEF-S.AEP .S.APD=S.EPF S.mOC=S.FOF 同理可得： ·图中阴影部分的面积 =S.APD+S.BOC =S.EPF+S.EOF =S四边形EPFO =20cm2 故答案为：20 题型3平行四边形的判定与性质综合（常考）（共4小题） 11.(25-26八年级上山东青岛期末)己知：如图，在口ABCD中，E,F分别是边BC和AD上的点，且 ∠I=∠2.求证：四边形AFCE是平行四边形. 【详解】证明：，四边形ABCD是平行四边形， ∴AB=CD,∠B=∠D,AD=BC, 又∠1=∠2， 、△ABE≌ACDF(ASA) .'BE=DF,AE=CF, ∴.AD-DF=BC-BE,即AF=CE, :,四边形AFCE是平行四边形 12.(25-26八年级上山东日照期末)如图，口ABCD的对角线AC,BD相交于点O,点E,F在对角线 BD上，且BE=FD,连接AE,EC,CF,AF. 6/97 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 求证：四边形AECF是平行四边形 F 【详解】证明：ABCD ..OA=OC.OB=OD, .BE=FD, ..OB-BE =OD-FD. :.OE=OF, .四边形AECF是平行四边形. 13.(25-26八年级上山东期末)如图，平行四边形ABCD,分别延长BA,DC至点E,F,使 AE=CF,连接EF,分别交AD,BD,BC于点M,O,N.求证：MO=ON.(请用两种方法证 明) A 备用图 【详解】证明：①法一：，四边形ABCD是平行四边形， AB∥DC,AB=DC,AD∥BC, ∴.∠EAM=∠FDM,∠E=∠F,∠FDM=∠FCN, ∴、∠EAM=∠FCN, 在△EAM和△FCN中， ∠E=∠F AE=CF ∠EAM=∠FCN' △EAM≌△FCN(ASA) 7/97 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.EM=FV, AE=CF, ∴BE=DF, 在△OBE和△ODF中， ∠E=∠F ∠BOE=∠DOF BE=DF △OBE≌AODF(AAS) ∴OE=OF, ∴.QE-EM=CF-FN,即MO=ON. ②法二：如图，连接BM,DN, E D 四边形ABCD是平行四边形， AB∥DC,AD∥BC,AD=BC, ∴.∠E=∠F,∠EAM=∠FDM,∠FDM=∠FN, ∴∠EAM=∠FCN, 在△EAM和△FCN中， ∠E=∠F AE=CF ∠EAM=∠FCN' △EAM≌△FCN(ASA) ∴AM=CN, .MD BN, 8/97 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 MD∥BN ∴四边形BNDM是平行四边形， .MO=ON 14.(25-26八年级上山东淄博期末)如图，在△ABC中，∠ACB=90°，D为AB边上一点，连接CD,E 为CD中点，过点C作CF∥BD,交BE的延长线于点P,连接DF交AC于点G. D B (1)判断四边形DBCF的形状，并说明理由； 2诺4=30,4C=45,CF=6求4D 的长. 【详解】(1)解：四边形DBCF是平行四边形，理由如下： E为CD中点， ..CE=DE, .CF∥BD ∴.∠CFE=∠DBE,∠FCE=∠BDE, 在△CEF和△DEB中， [∠CFE=∠DBE ∠FCE=∠BDE CE=DE ∴ACEF≌△DEB(AAS) ∴.CF=DB CF∥DB, ∴四边形DBCF是平行四边形. (2)解：·四边形DBCF是平行四边形， ∴.CF=BD=6, ~∠ACB=90°，∠A=30° 9/97 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :.AB=2BC, ∴在Rt△ACB中，AC2+BC2=AB2, 设BC=x,则AB=2x, (43+x2=(2x, 解得x=4(负值舍去)， .AB=8. ∴.AD=AB-BD=8-6=2 题型4矩形的性质（常考）（共4小题） 15.(25-26八年级上：福建福州期末)如图，在矩形ABCD中，对角线AC,BD相交于点O,如果 ∠ADB=26°，那么∠AOB的度数为() A.50° B.52° C.56 D.58° 【答案】B 【详解】解：：四边形ABCD是矩形， :0A=)4C.0D=BD 2 2 AC=BD' ..OA=OD ∴∠OAD=∠ADB=26° ∠AOB=∠OAD+∠ADB=52°」 故选：B 16.(25-26八年级上重庆期末)如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O,过点D作 DN LAC于点N,连接BN,点M为BN的中点，连接OM,若AC=I0,ON=3,则OM的长度为 D M 10/97 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【答案】2 【详解】解：：矩形ABCD中，对角线ACBD相交于点O,且AC=10, .BD=AC=10, 08=00=号8D=5, .ON=3,DN LAC, :DN=V0D2-0W2=4 点M为BN的中点， .BM=MN, .OM=DN=2 故答案为：2. 17.(2425八年级下·福建福州期末)如图，在矩形ABCD中，对角线AC,BD相交于点O,过点O的 直线分别交AD,BC边于点E,F,若AB=AO=2,则图中阴影部分的面积为 【答案】V5 【详解】解：四边形ABCD是矩形， OA=OC=OB=OD,∠BAD=90°， 又：AB=AO=2, ∴D0=BO=AB=2, BD=4, AD=VBD-AB=25 S矩形BCD=AB×AD=2×2V3=4V5 ,OA=OC,AD‖BC, .∠AEO=∠CFO, 11/97 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 又：∠AOE=LCOF, ∴.在△AOE和△COF中， [∠AEO=∠CFO OA=OC ∠AOE=∠COF' 、△AOE≌aCOF(ASA), S.AOE=S.COF .5.cor+...00.3 18.(24-25八年级下·吉林白山期末)如图，在矩形ABCD中，点E是BC上一点，AE=AD,DF⊥AE 于点F (1)求证：DF=DC: (2)连接DE,若AD=10,AB=6,求DE的长. 【详解】(1)证明：四边形ABCD是矩形， .AB=CD,∠B=∠C=90°，AD‖BC, ∴.∠DAE=∠AEB, ,DF⊥AE, .∠AFD=90°， ∴.∠AFD=∠B AD=AE, ,△ADF≌AEAB(AAS) ∴.DF=AB AB=CD. 12/97 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .DF=CD (2)解：由(1)得△ADF≌△EAB, AE=AD, ,AD=10, .AE=10. 在Rt△ABE中，AB=6, BE-VAE-AB-8 :四边形ABCD是矩形， ∴BC=AD=10,DC=AB=6, EC=BC-BE=10-8=2, 在Rt△CDE中，DE=VCD+EC=V36+4=2Wo 题型5矩形的判定与性质综合（常考）（共3小题） 19.(24-25八年级下广东湛江期中)如图所示，在△ABC中，AD是BC边上的中线，点E是AD的中点， 过点A作BC的平行线交CE的延长线于点F,连接BF, D (1)求证：AF=BD: (2)如果AB=AC,试证明：四边形AFBD为矩形. 【详解】(1)证明：，点E是AD的中点， ..AE=DE, 又AF‖BD, .∠AE=∠CDE, 又∠FEA=∠CED, ∴.△AFE≌△DCE, 13/97 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.AF=CD 又，AD是BC边上的中线， ∴BD=CD ∴.AF=BD (2)解：AB=AC,BD=CD, .AD⊥BC, ∠ADB=90°， 由(1)得AF=BD, 又：AF‖BD ∴四边形AFBD为平行四边形， ∠ADB=90°， ∴四边形AFBD为矩形. 20.(24-25八年级下广东汕尾·期末)如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥BC交BC边于点E, 点F在边AD上，且DF=BE」 B (1)求证：四边形AECF是矩形. (2)若BF平分∠ABC,且DF=1,AF=2,求线段BF的长. 【详解】(1)证明：：四边形ABCD是平行四边形， :.AD=BC,ADIl BC, .BE=DF, .AF =EC, ∴四边形AECF是平行四边形， ,AE⊥BC, ∠AEC=90°， :.四边形AECF是矩形： (2)解：BF平分∠ABC,AD∥BC, 14/97 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.∠ABF=∠CBF=∠AFB. .AB=AF=2,AD=BC=AF+DF=2+1=3. 在Rt△ABE中，DF=BE=1, AE=CF=AB2-BE2=3 在Rt△BFC中， BF=BC2+CF2=3+(3)=23 即F的长是25 21.(24-25八年级下四川南充期末)如图，在口ABCD中，O为AD的中点，延长B0交CD的延长线于 点E,连接AE,BD,BE=BC. B D (1)求证：四边形ABDE是矩形： (2)连接0C,若AB=2,∠A0B=60°，求0C的长. 【详解】(1)证明：：O为AD的中点， ..AO=DO ,四边形ABCD是平行四边形， .AB∥CD,BC=AD, .∠BAO=∠EDO 又：∠AOB=∠DOE. △AOB≌△DOE(ASA) .'AB=DE, .四边形ABDE是平行四边形， .BE BC. 15/97 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .BE=AD, .四边形ABDE是矩形； (2)解：，四边形ABDE是矩形， ∴.OB=OA, :∠A0B=60°， :△AOB是等边三角形， ..OB=AB=2, .'BE BC=4,CE=2DE=2AB=4. ∴.△BCE是等边三角形， BO=OE=2, OC⊥BE, :0C=V4-22=25 即o V3 的长为 题型6菱形的性质（常考）（共4小题） 22.(24-25八年级下·辽宁大连期末)如图，菱形ABCD的两条对角线相交于点O,若∠ABC=50°，则 ∠CAD的度数是() A D B C A.65° B.55o C.50° D.60° 【答案】A 【详解】解：，四边形ABCD是菱形， AD∥BC, ∠CAD=∠CAB=)∠BAD ∠ABC+∠BAD=180°， .∠BAD=180°-∠ABC=180°-50°=130°， 16/97 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∠CAD=∠BAD 2 2×130°=650 故选：A 23.(25-26八年级上山东烟台期末)如图，在菱形ABCD中，E,F分别为AB,BC的中点，且 OE=2.5,EF=3,则菱形ABCD的面积为 B 【答案】24 【详解】解：在菱形ABCD中，AC⊥BD,AC=2OA,BD=2OB, ,E为AB的中点， .AB=20E=5, :E,F分别为AB,BC的中点，且EF=3, ∴AC=2EF=6, 0A=5AC=3 2 OB=AB2-OA2=4 由勾股定理得 .BD=20B=8. 菱形的面积为24C-BD=)×6x8=24 1 2 故答案为：24 24.(25-26八年级上·吉林长春期末)如图，菱形ABCD的对角线ACBD交于点O,∠CBD=30°，过点 O作OE⊥BC于点E,若CE=2,则OE的长为一· 17/97 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A D 0 E 【答案】 25 【详解】解：，菱形ABCD中，AC L BD ∴.∠BOC=90° .∠CBD=30° ∴.∠BCO=90°-∠CBD=60° .OE⊥BC .∠CE0=90° .∠COE=90°-∠BC0=30° .CE=2 ∴.0C=2CE=4 :0E=V0C2-CE2=25 2√5 故答案为： 25. (24-25八年级下·全国期末)如图，矩形EFGH的顶点E,G分别在菱形ABCD的边AD,BC上，顶 点F,H在菱形ABCD的对角线BD上. A (1)求证：BG=DE: (2)若E为AD中点，FH=1,求菱形ABCD的周长 【详解】(1)解：，四边形EFGH是矩形， 18/97 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .EH=FG,EH∥FG, .∠GFH=∠EHF. ∠BFG=180°-∠GFH,∠DHE=180°-∠EHF, ∴.∠BFG=∠DHE :四边形ABCD是菱形， .AD∥BC, .∠GBF=∠EDH、 在△BGF和△DEH中， ∠GBF=∠EDH ∠BFG=∠DHE FG=EH ∴.△BGF≌△DEH(AAS) :.BG=DE: (2)解：连接EG, E D H 四边形 是菱形， B ABCD ∴AD=BC,AD∥BC. :E为AD中点， .AE ED .BG=DE. ∴AE=BG,AE∥BG. ∴四边形ABGE是平行四边形， ∴.AB=EG ~四边形EFGH是矩形， ∴.EG=FH=1, 19/97 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 AB=1, ∴.菱形ABCD的周长=1×4=4 题型7菱形的判定与性质综合（常考）（共3小题） 26.(25-26八年级上·江苏淮安期末)如图，矩形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,将△AOB沿直 线AB翻折得到△AEB (1)求证：四边形AOBE是菱形： (2)若AB=2,BD=5,则菱形AOBE的面积为 【详解】(1)证明：“ABCD是矩形， ..AO=BO=OD=OC, :△AOB沿直线AB翻折得到△AEB, .△ABO≌△ABE, .AE=EB=BO=OA. ∴四边形AOBE是菱形. (2)解：~ABCD是矩形， ∴.∠BAD=90°， ..AD=BD2-AB2 =25-4=21 1 SMwp=ABx AD=21 √21 2 2 △ABO≌AABE ·S菱形40BE=2SMB0=V2 √21 故答案为： 27.(24-25八年级上北京期末)如图，矩形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,DE∥AC,CE∥BD 20/97 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D (1)求证：四边形OCED是菱形： (2)若∠BDC=60°，DC=2,求矩形ABCD的面积. 【详解】(1)证明：：DEI‖AC,CE∥BD, ∴四边形OCED是平行四边形， ,矩形ABCD的对角线AC,BD相交于点O, (.AC=BD.OC=-AC OD-BD 2 ..OC =OD. :四边形OCED是菱形： (2)解：，四边形ABCD是矩形， ∴.OA=OB=OC=OD,∠BCD=90°， :∠BDC=60°， ∴.△OCD为等边三角形， ,DC=2, ..OD=DC=2, .BD=2OD=4, BC=BD:-DC=23 S矩形BcD=BC×DC=2V5×2=4V3 28.(24-25八年级下·云南红河期末)如图，在平行四边形ABCD中，BE,DF分别是∠ABC,∠ADC 的平分线，且E,F分别在边AD,BC上，BE=BF, 21/97 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 E B (1)求证：四边形BFDE是菱形： (2)若∠A=60°，AB=2,求平行线AD与BC间的距离. 【详解】(1)证明：：四边形ABCD是平行四边形， ∴∠ABC=∠ADC,AD∥BC, ∴.∠BEA=∠EBF,∠ADF=∠CDF, :BE,DF分别是∠ABC,∠ADC的平分线， ∠EBF=∠ABE-)∠ABC,∠ADF=∠CDF ∠ADC 2 .LEBF=∠CDF, BE∥DF, ∴.四边形BFDE是平行四边形， BE=BF, ∴.四边形BFDE是菱形： (2)解：如图，过B作BH⊥AD于点H,则∠AHB=90°， H E B F ∴.∠ABH=90°-∠A=30°， &4H=3AB=1, 2 :.BH-VAB-AH ---3 ∴平行线AD与BC间的距离为V3。 题型8正方形的性质（常考）（共4小题） 29.(25-26八年级上甘肃天水期末)如图，四边形ABCD是正方形，△PAD是等边三角形，则∠BPC 22/97 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 等于() A.15° B.30° C.35° D.45° 【答案】B 【详解】解：四边形ABCD是正方形，△PAD是等边三角形， .AD=CD=PD:∠APD=60°，∠PDC=90°+60°=150° ∴.∠CPD=(180°-150)÷2=15° 同理，∠APB=15° .∠BPC=60°-15°-15°=30°， 故选：B 30.(24-25八年级下·云南普洱期末)如图，四边形ABCD是正方形，E是AD延长线上一点，已知 DE=6cm,CE=I0cm,则正方形ABCD的面积是() D A.36cm2 B.64cm2 C.100cm2 D. 256cm 【答案】B 【详解】解：，四边形ABCD是正方形，E是AD延长线上一点， .∠CDE=90° .DC=VCE2-DE-10-6=8cm 23/97 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .正方形ABCD的面积为DC2=82=64cm2. 故选B。 31.(24-25八年级下·上海虹口期末)如图，正方形ABCD的边长为2，对角线AC,BD交于点O,P为 边BC上一点，且BP=OB,则CP的长为 B 【答案】 2-√2 【详解】解：~正方形ABCD的边长为2，对角线AC,BD交于点O, BC=DC=2.ZBCD=90.OB=OD-1BD 在R△BCD中，由勾股定理得：BD=VBC+DC=V2+2=22. :.0B-OD-BD- 2 .BP=OB, ∴BP=V2 ..CP=BC-BP=2-2 ..CP -V2 的长为 32.(24-25八年级下·云南临沧期末)如图，在正方形ABCD中，点E在线段BC上，且不与点B重合， AE⊥EF且AE=EF,过点F作FG⊥BC交BC的延长线于点G,连接CF, 24/97 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (1)若∠BAE=26°，求∠FEG的度数； (2)求证：CG=FG 【详解】(1)解：：四边形ABCD是正方形， ∴.∠B=90°， 又：∠BAE=26°， ∴.∠AEB=90°-∠BAE=64°， 又，∠AEF=90°， ∴.∠FEG=180°-∠AEB-∠AEF=26° (2)证明：由题意知，∠BAE+∠AEB=∠AEB+∠FEG=90°， ∴、∠BAE=∠FEG, 在△ABE和△EFG中， ∠B=∠FGE=90° ∠BAE=∠FEG AE=EF △ABE≌△EFG(AAS) ∴AB=EG,BE=FG, 又：四边形ABCD是正方形， .AB=BC ∴.BE+EC=EC+CG,即BE=CG, ..FG=CG 题型9正方形的判定与性质综合（常考）（共3小题） 33.(24-25八年级下·陕西商洛期末)如图，在矩形ABCD中，BE平分∠ABC,CE平分∠DCB交BE于 点E,点E在AD边上，BF∥CE,CF∥BE.求证：四边形BECF是正方形. 25/97 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【详解】~BF∥CE,CF∥BE “四边形BECF是平行四边形， :四边形ABCD是矩形， ∠ABC=LBCD=90°， :BE平分∠ABC,CE平分∠DCB, .∠EBC=∠ECB=45°， ∴.EB=EC,∠BEC=180°-∠EBC-∠ECB=90° ∴.平行四边形BECF是正方形. 34.(24-25八年级下·湖北十堰期末)如图，在矩形ABCD中，AE平分∠BAD,交BC于点E,过点E 作EF⊥AD于点F,连接BF交AE于点O,连接OD, (1)求证：四边形ABEF是正方形： F0=2,0D=3v2 (2)如果 求四边形DCEF 的周长、 【详解】(1)证明：四边形ABCD是矩形， ∴.∠BAD=∠ABC=∠C=∠ADC=90°， :EF⊥AD, ∴.∠EFA=∠EFD=90°， .∠BAD=∠ABC=∠EFA=90°， 四边形ABEF是矩形， :AE平分∠BAD,∠ABC=90°，EF⊥AD, 26/97 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :.BE=EF, ∴.矩形ABEF是正方形： (2)解：过点O作OH L AD于点H,如图所示： 四边形 是正方形， ABEF F0=2 ∴.AO=FO=2,∠AOF=90°，AF=EF, AOAF是等腰直角三角形， :OH⊥AD于点H, 1 ..OH =HA=HF=-AF 2 在RtOAF中，由勾服定理得：MF=VA0+F0=V2+2=2V2】 F-EF2 OH=HA-HF-2AF-2 在RaD0H中，OD-=35 由勾股定理得：DH=V0D-0H=32y-(W2=4 .DF=DH-HF=4-√2 ∠C=∠ADC=∠EFD=90°， ∴四边形DCEF是矩形， DF=CE=4-2 ∴四边形DCEF的周长为：2(DF+EF)=2×(4-V2+22)=8+2N2 35.(24-25八年级下甘肃陇南期末)如图，在口ABCD中，对角线AC,BD交于点E,CF∥BE, BF∥CE 27/97 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (1)当BC平分LEBF时，口ABCD是_一形：（填特殊平行四边形名称） (2)证明：当 C=√2BF=V2BE口ABCD 时， 为正方形 【详解】(1)证明：口ABCD是矩形，过程如下： .BF CE .∠ACB=LCBF, 又：BC平分∠EBF, ∴∠DBC=∠CBF, ..BE=CE, 又四边形ABCD是平行四边形， .AE=CE,BE=DE, ∴AC=BD :.口ABCD是矩形， (2)解：：CF∥BE,BF∥CE ∴四边形BFCE是平行四边形， BC-BF=BE ∴BF=BE, ∴四边形BFCE是菱形， ∴.BE=CE, BC-BF-BE .BC2 =2BF2, 则BE2+CE2=2BF2=BC2, 即∠BEC=90°， 28/97 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 故AC L BD :四边形ABCD是平行四边形， ∴四边形ABCD是菱形， BE=CE, .AC=BD, ABCD为正方形. 题型10三角形中位线（常考）（共3小题） 36.(2425八年级下·云南保山期末)如图，学校要在一片空地上搭建一个三角形形状的绿植装饰架ABC, 为了提前制作支撑框架，工作人员取AB,AC边的中点M,N进行测量，经测量MN的长度为8OCm,那 么装饰架底边BC的长度为， cm B 【答案】160 【详解】解：：点MN分别是AB,AC边的中点， ∴.MN是△ABC的中位线， ∴.BC=2MN=160cm 故答案为：160. 37.(24-25八年级上山东威海期末)在△ABD中，E是AB的中点，DB,CE相交于点F,DF=FB, AF∥D C.连接4C交DB于点O,若CE1DB,EF=1,4=下，求4C的长. 【答案】5 【详解】解：：E是AB的中点，DF=FB, 29/97 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .EF是△ABD的中位线， .AD=2EF=2,EF∥AD, 即：CF∥AD, AF∥DC, .四边形AFCD为平行四边形， &CF=0=2,CD=4p=N3.oF=Dr,0=20 CE⊥DB, 即∠DFC=90°， DF=CD:-CF2=3 、○F=5DF二2 .OC=CF2+0F2=5 .AC=20C=5 38.(25-26八年级上山东泰安期末)如图所示，在△ABC中，点D、E分别为AB、AC的中点，点H在 线段CE上，连接BH,点G、F分别为BH、CH的中点. D E H (1)求证：四边形DEFG为平行四边形： (2)若DG⊥BH,AD=4,EF=3,求线段HG的长度. 【详解】(1)证明：：点DE分别为AB、AC的中点， 0EWac:且e-8c. :点G、F分别为BHCH的中点， ·GF∥BC,且GF= BC 30/97 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .DE∥GF,且DE=GF, ∴四边形DEFG是平行四边形. (2)解：DG⊥BH, ∠BGD=90°， ,四边形DEFG是平行四边形， .'DG=EF=3. ,点D为AB的中点， .'BD=AD=4, :BG=VBD-DG-④-3=万 点G为BH的中点， HG=BG=√万 题型11直角三角形斜边中线（常考）（共4小题） 39.(25-26八年级上·浙江金华期末)如图，在△ABC中，点D在BC上， AB=AD=13,BD=10,CD=I山，E,F分别是AC,BD的中点，则EF的长为() A.13 B.10 c.13.5 D.11.5 【答案】B 【详解】解：如图，连接AF. B ,AB=AD,F为BD的中点， AF⊥BD,即△AFC为直角三角形. 31/97 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ,BD=10, 1 .FD=BD=5 在RtAFD 中，由勾股定理得F=VAD-FD=12 .CD=11, ∴.FC=FD+CD=5+11=16 在R△MFC中，由勾股定理得4C=VAF+FC=20 ,E为AC的中点， 即号4c=0 故选：B 40.(25-26八年级上·浙江台州期末)如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=8,BC=6,点D,E 分别在边AB,BC上，连接DE,点F,G分别是AC,DE的中点，连接FG,若DE=6,则FG的最小 值是() A A.1.8 B.2 C.5 D.2.5 【答案】B 【详解】解：连接BF,BG, A B E 在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=8,BC=6, 32/97 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .AC=AB2+BC2=10 ∴·点F为AC的中点， 1 ∴BF=5AC=5 2 D,E分别是AB、BC边上的点，且DE=6, :.BG=1DE=3 2 ∴点G在以点B为圆心，半径为3的圆弧上运动， 且当点B,F,G三点共线时，FG最小， FG=BF-BG=2, 故选：B 41.(25-26八年级上：江苏准安期末)在矩形ABCD中，点E在边BC上，DE与AB的延长线交于点F, ∠AED=2∠CED,若AB=3BE=3,则DF=— D E 2v10 【答案】 【详解】解：取DF的中点G,连接AG, :在矩形ABCD中，∠BAD=90°， .AG=DG-FG-IDF 2 ∴.∠GAD=∠ADE, .∠AGE=2∠ADE, ..ADl BC, .∠ADE=∠DEC, 又∠AED=2∠CED ∴∠AED=∠AGE, 33/97 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ,AB=3BE=3, .BE=1, .∠ABC=90°， 4E-AB+BE=0 :E=AG=10 DF=2AG=210 D G B 42.(25-26八年级上：广东深圳期末)如图，等腰三角形ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=3,D为AB边 的中点，连接CD并延长至点P,作AP1P吧交BC于点O,若CQ=l,则CP= 【答案】 2v2 【详解】解：：等腰三角形ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=3 .AB=VAC2+BC2=V32+32=3V2 ∠CAB=∠CBA=45° 又·D为AB边的中点， CD=AD=BD=AB=3V2 2 CO=1. 34/97 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .AQ=VAC2+CQ2=V32+1=10 如图，过点P作PN⊥BC, .∠CPN=45 .PN=CN, 设DP=x,则CP=CD+DP=3V 2 +X, 在RtACNP中，CN2+PN2=CP2, PN=CN-3 22 OV-CN-cO- 2x, 2 在RtAADP中，AD+DP2=AP2, Ap2=9 +x2 tPNO中， 在 PN2+ON2=PO2 w层g可川 AP⊥P9, .∠APQ=90° 在 RtAAPO AP2+PO2=A02 中 35/97 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2x2+2W2x-3=0 化简整理得： 32 （2x-2x+2】 =0 解得：5=2 3√2 2 (舍去) Dp 2 CP=CD+DP=32 22 =2√2 题型12特殊平行四边形判定辨析（易错）（共6小题） 43.(25-26八年级上山东泰安期末)如图，下面能判断四边形ABCD是平行四边形的是() B A.AB=CD,AD∥BC B.∠A=∠B,∠C=∠D C.AB=CD,AB∥CD D.AB=AD.AD=BC 【答案】C 【详解】解：A、:AB=CD,AD∥BC,不能得出四边形ABCD是平行四边形，错误； B、:∠A=∠B,∠C=∠D,邻角相等，∴不能得出四边形ABCD是平行四边形，错误： C、:AB=CD,AB∥CD,∴四边形ABCD是平行四边形，正确： D、:AB=AD,AD=BC,不能得出四边形ABCD是平行四边形，错误. 故选：C 44.(24-25八年级下·云南红河期末)如图，在四边形ABCD中，AC与BD相交于点E,点E是AC的中 点，要判定四边形ABCD是平行四边形，能添加的条件是() B 36/97 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.BE=DE B.AD=BC C.AC=BD D.AB=CD 【答案】A 【详解】解：~点E是AC的中点， ..EA=EC, BE =DE, ,四边形ABCD是平行四边形，故A正确： 选项B,C,D均不能证明四边形ABCD是平行四边形， 故选：A 45.(24-25八年级下陕西西安期未)如图，在口ABCD中，AC,BD相交于点O,下列条件不能判定 口ABCD为矩形的是() A.∠BAD=90° B.AC=BD C.OA=OB D.AC LBD 【答案】D 【详解】解：A、根据一个角为直角的平行四边形为矩形，可以判定口ABCD为矩形，不符合题意； B、根据对角线相等的平行四边形为矩形，可以判定口ABCD为矩形，不符合题意： C、口ABCD中OA=OB,可以得到AC=BD,根据对角线相等的平行四边形为矩形，可以判定口ABCD为 矩形，不符合题意： D、根据对角线互相垂直的平行四边形为菱形，可以得到口ABCD为菱形，不能判定口ABCD为矩形，符合 题意： 故选D。 46.(24-25八年级下·湖北黄冈期末)如图，口ABCD的对角线AC,BD交于点O,要使口ABCD成为菱 形，则可添加一个条件是() 37/97 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 C A.AD=BC B.AB⊥AD C.AB=AD D.AC=BD 【答案】C 【详解】解：A、AD=BC是口ABCD的性质，不能作为菱形的判定条件，故不符合题意： B、当AB⊥AD时，则口ABCD是矩形，不能判定是菱形，故不符合题意： C、当AB=AD时，则口ABCD是菱形，故符合题意； D、当AC=BD时，则口ABCD是矩形，不能判定是菱形，故不符合题意： 故选C. 47.(25-26八年级上·湖南张家界·期末)下列命题中正确的是() A.四边都相等的四边形是正方形 B.对角线互相平分的四边形是平行四边形 C.对角线互相垂直的四边形是菱形 D.对角线相等的四边形是矩形 【答案】B 【详解】解：A、四边都相等的四边形是菱形，不一定是正方形，原说法错误，不符合题意： B、对角线互相平分的四边形是平行四边形，原说法正确，符合题意： C、对角线互相垂直且平分的四边形是菱形，原说法错误，不符合题意： D、对角线相等的四边形不一定是矩形，例如等腰梯形的对角线也相等，原说法错误，不符合题意： 故选；B 48.(24-25八年级下河北石家庄·期末)在复习特殊四边形的关系时，嘉祺同学整理出如图所示的转换图， ①、②、③、④处需要添加条件，则下列条件添加错误的是() ① 菱形 ② A 平行 B 四边形 正方形 C ③ ④ B 距形 B A.①处可填AD=CB B.②处可填AD⊥AB 38/97 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 C.③处可填∠A=90° D.④处可填AD=AB 【答案】A 【详解】解：一组对边相等是平行四边形的性质， ∴选项A符合题意， ,一组邻边互相垂直的菱形是正方形， ∴选项B不符合题意， :有一个角是直角的平行四边形是矩形， ∴选项C不符合题意， ,一组邻边相等的矩形是正方形， 选项D不符合题意， 故选：A. 题型13（特殊）平行四边形+动点（压轴）（共4小题） 49.(24-25八年级上·新疆昌吉期末)如图，在正方形ABCD中，AB=4cm，E是BC上的一点且 CE=3cm,连接DE,动点M从A点出发，沿着路径AB-BC-CD-DA以2cm/s的速度运动，运动到A 点停止，设点M的运动时间为t秒，当△ABM和△DCE全等时，t的值是() D M B E A.3.5s B.5.5s c.5.5s或6.5s D.3.5s或6.5s 【答案】D 【详解】解：△DCE中∠C=90°， 当△ABM和△DCE全等时，△ABM一定为直角三角形， 当点M在AB上时，不能构成三角形： 当点M在CD上时，如下图所示， 39/97 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D M B E 构成的不是直角三角形，此时△ABM和△DCE不全等： 当点M在BC上时，如下图所示， A D B C :△ABM≌△DCE, 则有BM=CE=3cm, 此时点M运动的路程为AB+BM=4+3=7cm, 运动的时间为t=7÷2=3.5s: 当点M在AD上时，如下图所示， M D B C E :△ABM≌ACDE. .AM=CE=3, 此时点M运动的路程为AB+BC+CD+AD-AM=4+4+4+4-3=13cm, 运动的时间为13÷2=6.5s. 综上所述，当△ABM和△DCE全等时，t的值是3.5s或6.5s. 故选：D 50.(23-24八年级下·辽宁鞍山期末)如图，正方形ABCD的边长为4，点E是BC边上一点，且CE=1, 对角线AC,BD交于点O,点F是AO中点，连接BF: 40/97 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 图1 图2 (1)如图1，过点F作FH∥AD交CD于点H,判断四边形BEHF的形状并证明： (2)如图2，若点P是对角线BD上的动点，当BD平分∠EPF时，判断EP,FP,EF之间的数量关系， 并计算EP-FP的值. 【详解】(1)解：四边形BEHF是平行四边形： 证明：如图，过点F作FG⊥AD于点G, 、∠AGF=90°， ,四边形ABCD是正方形，且边长为4， .∠ADC=90°，BC=AD=DC=4,AO=OC,AC 1 BD,∠ODC=∠BAC=∠CAD=45°，AD∥BC .GF∥DH, FH∥AD, ∴四边形FHDG是矩形， ..GD=FH,GF=DH, ,∠ADC=90°，AD=DC=4, 4C-AD+DC4 &40=54c=4w5=25, 点F是AO中点， 40-40-25=5, 2 在AGAF中，∠AGF=90°，∠FAG=45°， .∠AFG=90°-∠FAG=90°-45°=45°=∠FAG, .'.AG=FG, 41/97 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 4F-AG+FG-AG+AG-AG 即2=V2AG AG=1, .FH=DG=AD-AG=4-1=3, CE=1, BE=BC-EC=4-1=3, ∴FH=BE=3, ,FH∥AD,AD∥BC, .FH∥BC, 四边形BEHF为平行四边形： G D F B (2)EP,FP,EF之间的数量关系为：EP2+PF2=EF2. 如图，设平行四边形BEHF的边FH与BD交于点P, FH∥AD,∠ADC=90°，∠PDH=45°， .∠PHD=180°-∠ADC=180°-90°=90°， :.∠DPH=90°-∠PDH=90°-45°=45°=∠DPH,∠PHC=90°， .PH=DH=FG=AG=1, .EC=PH=1, FH∥BC, ∴四边形PHCE是平行四边形，∠FPB=∠PBC=45°， :∠PHC=90°， ∴四边形PHCE是矩形， .PE=HC,∠EPF=∠EPH=90°， 42/97 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .∠EPB=∠EPF-∠FPB=90°-45°=45°， ∴∠EPB=∠FPB, 即BD平分∠EPF, 即FH与BD的交点为符合条件的点P, 在△PEF中，∠EPF=90°，FP=FH-PH=3-1=2,EP=HC=DC-DH=4-1=3, .EP2+PF2=EF2,EP-FP=3-2=1. F 51.(25-26八年级上吉林长春期末)如图1，在四边形ABCD中，AD∥BC,∠C=90°，AD=8, DC=3,BC=12.动点P从点B出发以每秒1个单位的速度沿BC向终点C运动，点O从点D出发，以每 秒2个单位的速度沿射线DA运动，点P和点Q同时出发，当点P运动到点C时，点Q也停止运动，设点P 的运动时间为t(秒)(t>0). A A 图1 图2 (1)AB= (2)当点P运动到AB的垂直平分线上时，求t的值. (3)当以点A,点B,点P,点Q为顶点的四边形是平行四边形时，求的值. (4)如图2，作点P关于直线B的对称点P,则当点P落在直线AB上时，直接写出t的值. 【答案】(1)5 ar-号 8 B),=8或1 43/97 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ar-演号 【详解】(1)解：如图，过点A作AE⊥BC,则AE∥DC, A 9 D B C.:AD∥EC∠C=90° .AD=EC=8,AE=DC=3, BC=12, .BE=BC-EC=12-8=4. .AB=VAE2+BE2=V32+42=5 (2)解：如图，同(1)，过点A作AE⊥BC,则BE=4,AE=3, A 0 点在的垂直平分线上， PE CPAB ∴PA=PB=tPE=t-4 .在Rt△PAE中，PA=PE+AE2, 则=(-4}2+9 25 化简得81=25，解得1= 8 (3)解：：点Q沿射线DA运动， A0=21-8 ABPO BP=t 四边形 是平行四边形， .AO=BP 1=21-8 44/97 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 当Q点未到达A点时，即t=2t-8,解得t=8: 8 当0点过4点后，即1=-(21-8)=-21+8，解得1=3. 故=8安 (4)解：如图，当P在AB上时： D P B P 根据对称的性质，可知∠PBQ=∠PBQ」 AQ∥BP .∠AQB=∠PBQ .∠AQB=∠P'BQ, ..AB=AO=5. AQ=8-2t, .8-2t=5, 3 :解得2： 如图，当P'在AB延长线上时： D C 此时，点O已过A点，延长CB于点E, 根据对称的性质，可知∠PBQ=∠P'BQ, ∠EBP'=∠ABP .∠PBQ-∠ABP=LP'BQ-LEBP', ∠QBE=∠QBA :DA∥CB. 45/97 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .∠QBE=∠AQB .∠AQB=∠QBA, .AB=A0=5 AQ=2t-8, 2t-8=5, 解智尽 13 故= 或=2 52.(2425八年级下·重庆巴南期末)如图，在矩形ABCD中，点E为直线BC上一动点，连接AE,作等 腰直角三角形AEF,使∠AEF=90°，AE=EF. D 图1 图2 图3 a图1，若<Cr=30.AE-8 ,BC=6,求四边形AECD的面积： (2)如图2，若点E为线段BC的中点，且AB>CE,连接DF,试探究线段AB,CE,DF之间的数量关系， 并证明你的猜想； (3)如图3，连接DF,若AB=4,BC=6.请思考AF+DF是否存在最小值，若存在，请直接写出 AF+DF的最小值，若不存在，请说明理由， 85 +24 【答案】(1)3 (2)DF=2(4B-CE) 证明见解析 ,2分 【详解】(1)解：：∠AEF=90°，∠CEF=30° 46/97 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :.∠AEB=60°， :四边形ABCD为矩形， ∴∠ABE=90°， ∠EAB=30°， 又：AE= 3 BE=AE=V3 1 3· 在Ri△ABE中，∠ABE=90e' AE=8 ,BE-45 3 根据勾股定理得，AB= 45 3 3 =4 ∴EC=EB+BC= 4v -+6. 3 5m-c+0466小4-54 3 (2) DF=√2(AB-CE) 理由如下： 如图所示，过点F作FG⊥BC于点G,作FH⊥CD于点H. D CG :∠AEF=90°AE=EF ∴∠AEB+∠FEG=90° FG⊥BC,FH⊥CD ∴.∠EFG+∠FEG=90°，∠ABE=∠EGF=90°， .∠AEB=∠EFG. ,∴，△ABE≌△EGF(AAS) ∴EG=AB=CD,BE=GF 47/97 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :点E为线段BC的中点， .BE=CE=FG :∠CHF=∠CGF=∠GCH=90°， ∴四边形FHCG是矩形， ..CH=FG.FH=CG. .DH=CD-CH=AB-FG=EG-CE=CG. :.DH=FH, △DHF为等腰直角三角形， :DF=√DΠ+FH=V2DH=√2DH=V2(AB-CE) (3)如图所示，在AB的延长线上截取BG=BE,连接EG,在BC上截取BM=BA=4,连接FM,设 ∠EAG=∠I,∠FEM=∠2，∠EMF=∠3， D B G .BG=BE BM=BA=4 BC=6 .AB+BG=BM+BE,CM=BC-AB=2,∠BEG=∠G=45°， ∴AG=EM, :∠ABE=90° ∴∠AEB+∠1=90°， :∠AEF=90°，AE=EF, .∠AEB+∠2=90°， ∠1=∠2， ,∴.△AEG≌△EFM(SAS) .∠G=∠3=45° ∴.∠NMC=∠3=45° 48/97 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .∠NWMC=∠MNC=45°， ∴.CM=CN=2. ∴.点F轨迹为如图过CD中点，与CD夹角为45的直线I上， 如图所示，作点D关于I的对称点D', AF+DF AF +D'F, 当AF+DF取最小值时，A,F,D'三点共线，最小值为AD', 延长AD交直线I于点P,连接D'P, 3 M .'∠NMC=∠MNC=45° .∠DNP=∠DPW=45° AB=4, :DN DP=2. .PD'=2,AP=AD+DP=6+2=8. 由勾股定理可得，最小值1D=P+PD=V尽+2=2万 题型14特殊乎行四边综合证明+计算（压轴）（共10小题） 54.(25-26八年级上山东济南期末)如图，在正方形ABCD中，AB=4,点E在对角线AC上，且不与 A,C重合，过点E作EF⊥AB于点F,EG⊥BC于点G,连接ED,FG. D G (1)求AC的长： (2)求证：DE=FG: 49/97 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (3)求FG的最小值. 【详解】(1)解：：四边形ABCD为正方形， ,AB=BC=4,∠B=90°， 由勾股定理得 AC=AB2+BC2=16+16=42 (2)证明：如图，连接BE, ,四边形ABCD为正方形， .AB=AD,∠ABC=90°，∠BAC=∠DAC=45°， 又AE=AE, △ABE≌△ADE(SAS) ∴DE=BE, EF⊥AB,EG⊥BC, .∠EFB=∠EGB=90°， ∴四边形BGEF为矩形， .BE=FG. ..DE=FG: (3)解：由(2)得，DE=FG, 当DE⊥AC时，DE的值最小，即FG的值最小， 四边形ABCD为正方形， .CD=AD,∠ADC=90 ∴.△ADC为等腰直角三角形， 此时，DE=)4C=22. 2 ,2√2 即FC的最小值为22. 50/97 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 55.(24-25八年级下·广东广州期末)如图，平行四边形ABCD中，BC=BD,点F是线段AB的中点， 过点C作CG⊥BD交BD于点G,CG的延长线交DF于点H,且CH=DB. D D D H H 图1 B 图2 B 图3 (1)如图1，若DH=1,求FH的值： 2)如图2，连接PG,求证：DB=2FG+HG HG 3)如图3，延长FG交CD于点N,求DN的值. 【详解】(1)~四边形ABCD是平行四边形， ∴AD=BC,AB=CD .BD=BC, :AD=BD. .AF=FB, .DF⊥AB, :AB∥CD .DF⊥DC CG⊥BD .∠CDH=∠CGD=∠DFB=90° ∴.∠BDF+∠CDG=90°，∠CDG+∠DCH=90° ∠BDF=LDCH, 在△DFB和△CDH中， ∠CDH=∠DFB ∠BDF=∠DCH CH=DB DFBCDH(AAS) 51/97 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴DH=BF, CD=DF, :AB=DF. .AB=2BF, .DF=2DH=2, ∴FH=DH=1: (2)证明：如图，过点F作FJ⊥BD于J,FK⊥CH交CH的延长线于K过点D作DT⊥BD交FG的延 长线于T,连接CT,设FT交CD于N. H C.∠K=∠FJG=∠KGJ=90° ∴四边形FKGJ是矩形， .∠KFJ=90°. ∠DFB=90°， .∠KFH=LBFJ, 在△FKH和△FJB中， ∠KFH=∠BFJ ∠K=∠FJB=90° FH=FB FKHFB(AAS) ∴.FK=FJ FK⊥GK,FJ⊥GH, :FG平分LKGJ, .∠FGH=∠FGJ=45° :∠DGT=∠FGJ=45°，∠GDT=90°， .DG=DT :∠FDC=∠GDT=90° 52/97 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .∠FDG=LCDT, 在△FDG和△CDT, DF=DC ∠FDG=∠CDT DG=DT aFDG≌CDT(SAS) .FG=CT,∠DFN=∠TCN, :∠DNF=∠CNT, .∠FDN=∠CTN=90° ∠TGC=∠FGK=45°， ..TG=TC CG=2CT=2FG :..BD=CH=GH+CG=GH+2FG ..DB=2FG+HG (3)如图，过点N作NR⊥DG于R,NS⊥CG于S. 设AF=FB=FH=DH=a, 则AB=DF=CD=2a, BD=CH=5a 则由勾股定理可得 B 由(2)可知，∠DGN=∠CGN=45°， :NR⊥DG.NS⊥CG, .NR=NS 53/97 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1 S.DGN DN DG·NR DG S.CGN CN 2CG.NS GC. 最据S.DG-IC=0I-Dc可：得 1 DG= DH·DCa2a2N5 HC 5a 5-a 在Rt△CDG中，由勾股定理得： cG=vcD-DG=2a-(2y5。 25 DN-DG5 41 CN CG4V52· s a .DC=DF=2a. .1 2 ∴DN=5DC= 3 a 3· 在Rt△HGD中，由勾股定理得： HG=DH2-DG2 a 5 a HG 35 51 DN 2 10· 56.(24-25八年级下·上海浦东新·期末)已知：如图，正方形 6CD中，B=25,点F为对角线4C上 一点，联结DF,过点F作FE⊥DF交线段BC于点E(点E不与点B,点C重合)，过E作EG⊥FE, 过D作DG⊥DF,EG与DG交于点G. 54/97 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (1)证明四边形DFEG为正方形： (2)联结CG,设CG=x,FC=y,求y关于x的函数关系式，并写出定义域： (3)当△ECG为等腰三角形时，直接写出CG的长度. 【详解】(1)证明：，FE⊥DF,EG⊥FE,DG⊥DF, .LDFE=∠FEG=∠FDG=90°， ∴四边形DFEG是矩形， 过F作FM⊥BC于M,FN⊥CD于N,则∠FMC=∠FNC=∠FND=90°， D F G B M E ,四边形ABCD是正方形， ∴∠BCD=90°，∠ACB=∠ACD=∠CAD=45°， ∴.四边形FMCN是矩形，FM=FN, ·.∠MFN=90°，则∠MFE+∠EFN=90°， 又∠EFD=∠NFD+∠EFN=90°， .∠MFE=∠NFD, 在△FME和△FND中， ∠MFE=∠NFD FM=FN ∠FME=∠FND=90° △FME≌△FND(ASA) 55/97 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.EF=FD, ∴四边形DFEG为正方形： (2)解：，四边形DFEG为正方形，四边形ABCD是正方形， G ∴.DF=DG,AD=DC,∠ADC=∠FDG=∠DGE=∠B=∠BCD=90°，AB=BC=CD=22, :∠ADF=∠CDG,AC=VAB+BC=4 △ADF≌ACDG(SAS) ∴AF=CG=x, FC=y,AC=4,点E不与点B,点C重合， 0 B C(E) :少=4-x0<x<2) (3)解：，△ADF≌aCDG, ∴.∠AFD=∠CGD,∠DCG=∠FAD=45°， 又∠BCD=90°， ∴.∠ECG=135°， ∴当△ECG为等腰三角形时，CE=CG, .∠CEG=∠CGE=22.5°， 又∠DGE=90°， 56/97 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .∠AFD=∠CGD=90°+22.5°=112.5°， ∴∠DFC=180°-112.5°=67.5°， 在△AFD中，∠ADF=180°-∠DAF-∠AFD=22.5°， ∠CDF=90°-22.5°=67.5°」 .∠CDF=∠CFD, CF=CD=2 AF=AC-CF=4-2√2 .CG=AF=4-2√2 57.(24-25八年级下·浙江绍兴期末)如图1，在平行四边形ABCD中，E是BC上一点，连结AE,使 AE=AD,F是AE上一点，满足∠DFE=∠BAD. E 图1 图2 (1)求证：AF=EB. (2如图2，连结DE,过点F作FG∥AD交DE于点G,连结CG. ①求证：四边形FECG为菱形. AB=5+1,∠B=I20°，DF LDC,求EG ②若 的长， 【详解】(1)证明：：四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC,AD=BC. ∴.∠DAF=∠AEB,∠B=I80-∠BAD ,∠AFD=180°-∠DFE. 又，∠DFE=∠BAD ∴.∠B=∠AFD .AE AD, △DAF≌△AEB(AAS) 57/97 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴AF=EB: (2)①证明：：四边形ABCD为平行四边形， .AD=BC,∠BAD=∠BCD,AB=CD, AE=AD, ·AE=BC, .AF+EF BE+EC, AF =EB, .EF =EC, ,∠DFE=∠BAD, .LDFE=∠BCD 由(1)知：△ADF≌△EAB, :∴.DF=AB ∴DF=CD, 在△DEF和△DEC中， DF=DC ∠DFE=∠BCD EF=EC △DEF≌△DEC(SAS) ∠DEF=∠DEC, ,FG∥AD ∴LFGE=LDEC, ..ZFGE ZDEF, ∴FG=FE .FG=EC, ∴，四边形EFCG为平行四边形， ..EF=EC, ∴，四边形FECG为菱形： 58/97 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ②连接FC,FC交DE于点O,过点G作GH⊥CD于点H,如图， ,四边形ABCD为平行四边形， :AB=CD=V5+l,∠B+∠BCD=180 ∠DCB=60°. 由(2)①知：DF=DC, ,DF⊥DC, ·.△DCF为等腰直角三角形， FC=V2DC=V6+√2，∠DCF=45° ∴由勾股定理得 .∠ECF=60°-45°=15°， ,四边形FECG为菱形， ·DE⊥FC,F0=OC,OG=OE,LGCF=∠ECF=15°， 、∠DCG=45°-15°=30°，a0CD为等腰直角三角形， ∠0DC=45°， :GH⊥CD, .GH=DH,CG=2GH .DG=√2GH,CH=V3GH .CD=DH+CH. GH+3GH=3+1 GH=1, DG= :DO是等腰直角三角形DFC斜边上的高线， 59/97 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ÷D0=Fc=6+2 2 2 0G=D0-DG-6+2-2=6-2 EG=20G=√6-V2 58.(24-25八年级下·浙江宁波期末)如图1，口ABCD中，对角线BD的中垂线EF分别交AD,BD,BC 于点E,O,F (1)连结BE,DF,请判断四边形EBFD的形状，并说明理由： (2)若∠A=130°，∠OED=70°，连结DF,求∠CDF的度数： 3)如图2，连结MF交BD于点G,若 =6Sar,BF=45,FG=4,求∠1G 的度数和1B的长。 【详解】(1)解：四边形EBFD是菱形 理由如下： 在口ABCD中， :AD∥BC, ∴.∠EDO=∠FBO A E D ,EF为BD中垂线， BO=DO,∠EOD=∠FOB,EF⊥BD. △BOF≌ADOE(ASA) ∴BF=DE :AD∥BC,BF=DE, ∴.四边形EBFD是平行四边形. 60/97 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 EF⊥BD, .四边形EBFD是菱形： (2)解：在口ABCD中， ,AB∥CD. .∠EDC=180°-∠A, :∠A=130°， .∠EDC=50° EF⊥BD, ∴.∠ED0=90°-∠0ED=90°-70°=20°， 由(1)得，四边形EBFD是菱形， .∠EDF=2∠EDO=40°， .∠CDF=∠EDC-∠EDF=I0°. (3)解：在口ABCD中， :AD∥BC, S.ABF=S.EBF :四边形EBFD是菱形， 5.F28.w :So+S.ac=2(Sor+Sor） SABG=6SOGF 六6S.oe+Ssas=2S.oar+5ar）,即5a=45ar， ∴.BG=40G .设OG=m,则BG=4m,OB=OG+BG=5m, 在Rt△BOF中：OB2=BF2-0F2=112-OF2=25m2,即OF2=112-25m2, 在Rt△0GF中：OF2=GF2-OG=16-m2, .112-25m2=16-m2, 61/97 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 解得m=±2， m>0, .m=2, BG=8, 在R△0GF OG=2 GF=4 OF=23 ∠0GF=60° .∠AGB=∠OGF=60°， 5.or23 5.406.mor=12 过点A作AH⊥BG于点H AH×BG=12√3 解得 AH =3V3 在RiAHG中， ∠AGB=60°AH=3V3 ∴.HG=3 ∴BH=BG-HG=8-3=5, 六在Rt△ABH中，AB=VBH+AH=2√3 59.(24-25八年级下江苏南通期末)综合与实践： 矩形ABCD中，点E在射线BC上，连接OE,过点O作OF⊥OE,交直线DC于点F,连接EF. 【特例探究】(1)如图1，当E是线段BC中点时，BE=4,DF=3,则EF的长为一： 【一般情形】(2)当点E在线段BC的延长线上时，依题意补全图2，用等式表示线段BE,DF,EF之 间的数量关系，并证明； 【拓展运用】(3)如图(3)，△ABC中，∠C=90°，点D在BC的延长线上，点E在CA的延长线上， 连接DE,F是DE的中点，连接AF,若AE2+BD=DE2,且DE-AB=4,求AF的最小值. 62/97 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 E D 图1 图2 图3 【答案】(1)5：(2)BE2+DF2=EF2:证明见解析；(3)AF的最小值为2 【详解】解：(1)：四边形ABCD为矩形， ∴AO=CO=B0=D0 ∠BCD=∠CDA=∠BAD=∠ABC=90°， :E是线段BC中点， .OE⊥BC,CE=BE=4. ∴.∠0EC=90°， OF⊥OE, ∠EOF=90°， ∴四边形OECF为矩形， ∴.∠0FC=90°， OF⊥CD, .OC =OD .'CF=DF=3, 根据勾股定理得： EF=VCE2+CF2=V32+42=5 (2)BE2+DF2=EF2;理由如下： 延长DA,EO交于点G,连接GF,如图所示： 63/97 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 G---- D B E ,四边形ABCD为矩形， AD∥BC,OA=OC,AD=BC, ∴.∠AGO=∠CEO,∠GAO=∠ECO. △AOG≌aCOE(AAS) ..OE=OG,CE=AG. .'BC+CE=AD+AG. 即BE=DG, ,∠FOE=∠FOG=90°，OF=F0. △EOF≌aGOF(SAS) ·GF=EF ,∠GDF=180°-90°=90°， ∴.根据勾股定理得：GF2=DF2+DG, 即BE2+DF2=EF2 (3)过点A作GA⊥CE,过点B作GB⊥BD,GA与BG交于点G,连接CG交AB于点O,连接DO,并 延长交AG的延长线于点H,连接EH,OF,如图所示： 64/97 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 G H B 则∠GAC=∠GBC=∠ACB=90°， .四边形ACBG为矩形， :.A0-8O=1A ，CO=OG,AG∥BC,AG=BC? ∴∠GAO=∠CDO,∠HGO=∠DCO, ∴.△GOH≌aCOD. ...OD=OH,GH=CD. .AG+GH=BC+CD. .AH =BD, .∠HAE=180°-90°=90°. ∴根据勾股定理得：HE2=AH+AE2=BD2+AE2, .AE2+BD2=DE2, .HE2=DE2, .HE=CE, ..OE=OE, ∴.△OEH≌AOED .∠EOH=∠EOD」 ,∠EOH+∠EOD=180°， ∴.LEOH=∠EOD=90°， :点F为DE的中点， .OF-DE :AF之OF-OA,且当O、A、F三点共线时，等号成立， 65/97 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 4F≥5DE-B 21 .DE-AB=4, 42DE-4间）=2， ∴.AF的最小值为2 60.(24-25八年级下·四川成都期末)在口ABCD中，E,F分别是边BC,AB上的点，AE与CF相交于 点M. D D 图1 图2 (1)如图1，若AE⊥BC,CF⊥AB,AE=EC,求证：CM=CD: (2)在(1)的条件下，连接BM,DM,AC.若CE=5,以BM,DM,AC三条线段为边构成的三角形 是什么特殊三角形？请说明理由： (3)如图2，当LB=60°，AB=BC=kBF=kEC,连接DM,若CM=2,求线段DM的长（用含k的代数 式表示) 【详解】(1)证明：如图1，过点D作DH⊥BC交BC的延长线于点H, D 3 2 B 图1 在ABCD中，AD=BC,AD∥BC,AB∥CD. AE⊥BC, AE⊥AD, ∴，四边形AEHD是矩形， .AE=DH, 66/97 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ..AE=EC, ∴DH=EC, CF⊥AB, CF⊥CD .∠1+∠2=90°=∠2+∠3， ∠1=∠3， ,在△MEC和△CHD中 1=∠3 CE=DH ∠MEC=∠H=90°' △MEC≌ACHD(ASA) .:.CM=CD: (2)解：CE=AE=5,∠AEC=90°， ∴.AC=VAE2+CE2=5V2 aMEC≌aCHD, ·.EM=CH, :四边形AEDH是矩形， .AD=EH, .AD=BC, .BC=EH, .BC=EH, 即BE+CE=CE+CH, .BE=CH, .BE =CH=EM, BE=CH=EM=a,AM=AE-EM =5-a,BC=BE+CE=a+5=AD ,∠BEM=90°， 67/97 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.BM=√BE2+EM2=V2a .∠MAD=90°， DM2=AM2+AD2=(5+a)2+(5-a)2=2a2+50 (5v2j+(N2a'=50+2a2 .AC2+BM2 =DM2, ∴.以BM,DM,AC三条线段为边构成的三角形是直角三角形. (3)解：如图，延长AM至W,使MW=CM,连接CW, D M E 设CE=a,则AB=BC=ka, ∠B=60°，AB=BC, ∴△ABC是等边三角形， ∠ACB=∠B=60°，AC=BC=ka, ,在ABCD中，AD=BC,AB=CD. .'AD=AC=CD. :△ACD是等边三角形， BF=EC,∠ACE=∠B=60°，BC=AC, .ABCF≌ACAE(SAS) .∠CAE=∠BCF ∴.∠CAE+∠ACM=∠BCF+∠ACM=∠ACB=60°， .∠CME=60°， :.△CMW是等边三角形， 68/97 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .∠W=∠WCM=60°，CW=CM=MW, ∴.∠WCM=∠ACD .∠WCM+∠ACF=∠ACD+∠ACF, .∠ACW=∠DCM, ∴.△AWC≌△DMC(SAS) ∴.DM=AW,∠DMC=∠W=60° ∴.∠AMD=180°-∠DCM-∠CEW=60°， ∴∠AMD=∠DMC, 如图，过点M作MK⊥AC,过点G作GP⊥AM,过点G作G0⊥MC, D 则GP=G0, 1 1 、.Swc=7AM-PG,ScMc=CM·0G, 2 2 SAMG= AMPG 2 AM .S.cG 2CM.QG CM, 1 .S.AMG AG·MK,S.cMG= CG-MK, 2 SAMG= 、4AG.MKAG :.S.CMG 2CG-MK CG, AM AG CMCG· :∠WCE=∠MCG=60°-∠ECM,CW=CM,∠W=∠CMG=60° 69/97 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 △WCE≌△MCG(ASA) ∴CG=CE=a, 则AG=ka-a, .AM=ka-a 2 a' ∴AM=2k-2. .AW AM+MW=2k-2+2=2k .DM=2k 61.(24-25八年级下江苏南京期末)对于平面直角坐标系xO少y中的图形M、N,给出如下定义：P为图 形M上任意一点，Q为图形N上任意一点，称P、Q两点间距离的最小值为图形MN间的“最近距离”， 记作d(M,W在ABCD中，点4(6,12)，B(6,0),C(-6,-12),D(6,0) B B 图1 图2 d( ABCD)= (1)点0， 2)若点P在y轴正半轴上，d(点卫口ABCD)=2,求点P的坐标： E(a,-a）F(a+2,-a）G(a+l,-a-1)H(a+3,-a-l) (3)若已知点 顺次连接点B、R、H、G,将得到 的四边形记为图形W. ①当a=0时，直接写出d(W,口ABCD)的值： ②若d(W,a4BCD)≥1，直接写出a的取值范围. 70/97 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【答案1但，35 2点P坐标为0.6+22)或06-22) d(W.ABCD 的值为② ②as-5V2 36或a23+2 或3+955-1 2 2 【详解】(1)解：由A,B,C,D的点坐标可知O为口ABCD对角线的交点， 点O到BC,AD的距离相等且为6；点O到AB,CD的距离相等： 如图1，记AB与y轴的交点为M, B D衣 图1 AD=12=BD ∠ABD=∠BMO=45°， ..OM=OB=6. 在Rt△OBM中，由勾股定理得BM=VOB+OM=6N2, 设O到AB的距离为h, 5w-08.oM=号wA. 2 26x6= 2 解得35 3N2<6 71/97 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.d( ABCD) 32 点O 的值为， 3V2 故答案为： (2)解：作PO L AB于Q, 如图1，当点P在点M的上方时， B D 点B 图1 oABCD)=2 .PQ=2 :∠PMQ=∠BMO=45 ∴.Mg=PQ=2. 在Rt△POM中，由勾股定理得， PM=MO+PO=22 :.0P=6+22, ∴点P坐标为 0,6+22) 如图2，当点P在点M的下方时， 72/97 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 9 M B 图2 PM=22 同理可得： .0P=6-22 点P坐标 0,6-22, 综上，点P坐标为 06+2w2成06-2) (3)解：①a=0, ∴.E(0,0),F(2,0),G(1,-1),H(3,-1) 在坐标系中描点，依次连接如图3所示，口EFHG即为图形W,过点H作HK⊥BD,垂足为K,延长FH, 交CD于N, B FK E(0,0),F(2,0),G(1,-1),H(3,-1) .K(3,0) .FK=3-2=1,HK=0-(-1)=1 73/97 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :FK =HK ∠KFH=45°=∠FHK, .BD=BC=12 ∴.∠BDC=45°=∠BCD, ∴∠BDC=∠KFH=45°， .∠FND=90°，FN=DN, d(W,oABCD)=HN ..FN2+DN2 =DF2, .2FN2=DF2=16, ∴.FN=2W2 (负值舍去)， ∴.FK2+KH2=FH2, FH=2, :HIN=FN-FH= .d(W,口ABCD） 的值为V2 ②如国，指108C向左向右备十移1个单位距离，BC 向上或向下各移动 个单位距离，如图： A A B D2 当 在 内或 外时，符合题意， B EFHG ABCD. ABCD 74/97 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 6,12),B(-6,0),C(-6,-12)D(6,0) :点 .直线AB:y=x+6,直线CD:y=x-6,直线BC:x=-6,直线AD:x=6, 六直线4：y=+6+5,直线9：y=-65,直线G=-7, 直线4D:x=7 直线4：=+6-5.直线CD:y=-6+5,直线8，CX=-5 直线4D:x=5 点E(a,-F(a+2,,G(a+l-a-)Ha+3,-a-) E y=-x 、G在直线 =-x+2 上，F、H在直线 上 a2-3+2 2 3如+3s-2-2或 2 ≥3+或 2 +3s4-2’ 解得：as-3V 36 或a≥3+2 或-3+ 2 sas-1-V2 62.(24-25八年级下·黑龙江哈尔滨期末)在四边形ABCD中，对角线AC⊥CD,AB2+AC2=BC2, ∠B=∠D D 图1 图2 图3 (1)如图1，求证：AB=CD； (2)如图2，点F为AB上一点，点E为BA延长线上一点，连接CF,DE,∠FCB=∠EDA,若 ∠AED-3LEAD=3∠FCB,求证：AF=AC: (3)在(2)的条件下，如图3，点H在BC上，AH交CF于点G,∠BAH=∠DAC,连接EG,若AG=3, EG=5,求线段AB的长. 75/97 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【详解】(1)证明：，AC⊥CD ∴.∠ACD=90° AB2+AC2=BC2 .△ABC是直角三角形.∠BAC=90°， .∠ACD=∠BAC=90° 又：∠B=∠D,AC=CA, .△ABC≌△CDA(AAS) ∴AB=CD (2)∠FCB=∠EDA,∠AED-3∠EAD=3LFCB, ∴.∠AED=3∠EDA+3∠EAD 又：∠AED+∠EAD+∠EDA=180° ∴.4∠EAD+4∠EDA=180°. .∠EAD+∠EDA=45°，∠AED=135° ,△ABC≡△CDA, .AB=CD,AD=BC, ∴四边形ABCD是平行四边形， BC∥AD .∠B=∠EAD ∴.∠AFC=∠B+∠FCB=∠EAD+∠ADE=45° 又：∠BAC=90°， .∠ACF=∠AFC=45°， .AF=AC (3)在AD上截取AM=AG, B H 'AF=AC,∠BAH=∠DAC .△AFG≌△ACM(SAS) 76/97 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.FG=CM=3.∠AFG=∠ACM=45 ∴.∠AFG=∠MCD=45° 由(2)得EFCD,∠BFC=∠AED=135°， DE∥CF, ∴.四边形EFCD是平行四边形 ∴.EF=CD △EFG≌△DCM(SAS) ∴EG=MD=5. .AD=AM+DM=AG+EG=3+5=8 作MK⊥CD,MN⊥AC,CL⊥AD, :∠MCD=∠ACM=45°， .MN =MK, S.CM=AC_AM3 .S.DCM CD MD 5 设AC=3a,CD=5a 由勾股定理得，AC2+CD2=AD 4V34 ∴(3)2+(5a)2=82a= 17 20W34 ∴.AB=CD=5a= 17 题型15折叠、旋转与特殊四边形结合（压轴）（共8小题） 63.(25-26六年级上山东烟台期末)如图，矩形ABCD中，点M,N分别为边AD,BC上两动点，且 AB=8,BC=10,沿MN折叠矩形，使得D点恰好落在边AB(含端点)上，记作点D',翻折后点C对 应点C,则CN的最小值为 77/97 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D 9 【答案】5 【详解】解：连接DN, B 矩形 中， D ABCD AB=8 BC=10 ∴.CD=AB=8.∠C=90° 由折叠性质可知，CD'=CD=8,CN=CN,∠C'=∠C=90°， 设CN=CN=x,则BN=10-x, .C'N=D'N2-C'D2=D'N2-64 D'Nz BN .当D'V取最小值10-x时，CN取最小值， 即当D与B重合时，C"N取最小值， 在RiCND中，x=V(10-x)}-64 9 解得x=5: 9 故答案为：5· 64.(24-25八年级下·黑龙江哈尔滨期末)如图，在正方形ABCD中，AB=6,点E在边CD上，且 CD=3DE,将△ADE沿AE对折至△AFE,延长EF交BC于点G,连接AG,CF,BF,则OAG垂直平分 BF:②∠GFC=∠GCF:@S=17:④∠GE-D,下列结论正确的是 (填编号) 78/97 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :D 【答案】①②④ 【详解】解：：四边形ABCD是正方形， .AB=BC=CD=AD=6,∠ABG=∠ADE=∠ECG=∠BAD=90°， 由折叠可得，AF=AD,∠AFE=∠ADE=90°，∠EAF=∠EAD, ∴AB=AF,∠AFG=90°， .∠ABG=∠AFG=90°， 在Rt△ABG和Rt△AFG中， AB=AF AG=AG, Rt△ABG≌Rt△AFG(HL) .GB=GF,∠GAB=∠GAF, .AB=AF,GB=GF, :AG垂直平分BF,故①正确： Rt△ABG≌Rt△AFG(HL) .BG=FG∠BAG=∠FAG. EG2=EC2+CG2, :(2+BG)=16+(6-BG BG=3. ∴.CG=BC-BG=3=BG ∴FG=CG, 、.∠GFC=∠GCF;故②正确： ·EG=5,AF=AD=6,AF⊥EG, 79/97 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :5e8GA=5x6=15, 故③错误： .∠EAF=∠EAD,∠GAB=∠GAF, &∠EAF=DAP,∠GaF=)∠BAF 2 &∠GAB=∠EF+GAF=)DF+BAF-(DHF+∠BMF)-=BMD, ∠GAE三)D.故④正确3 综上，正确的结论为①②④， 故答案为：①②④， 65.(24-25八年级下湖北荆州期中)如图，在矩形ABCD中，AB=4,BC>AB,P,Q分别是边 AD,BC上的点，将四边形APQB沿PQ翻折，A,B两点的对应点分别为F,E. D(E 01 02 03 (1)如图1，当点E落在AD上时，求证：BQ=PE; (2)如图2，若BC=8,点E与点D重合，求AP的长： (3)如图3，当点E恰好落在CD的中点，EF交AD于点G,连接DF,若△DFG为等腰三角形，求折痕PQ 的长 【详解】(1)证明：，四边形ABCD是矩形， .AD BC, .∠EPQ=∠PQB, .将四边形APQB沿PQ翻折， ∴.∠PQB=∠PQE,BQ=EQ, ∴.∠EPQ=∠PQE, ∴.PE=EQ, 80/97 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.BQ=PE (2)解：.四边形ABCD是矩形， ∴.AD=BC=8,AB=CD=4,∠C=90 设BQ=DQ=PD=x,则CQ=AP=8-X, 在Rt△CDQ中，根据勾股定理，CD2+CQ=DQ2:即4+8-x=X 解得x=5, ∴.AP=8-x=3: (3)解：如图3，过点P作PH⊥BC于H D ○ 图3 ‘四边形ABCD是矩形， ∴.AD=BC,AB=CD=4,∠A=∠B=∠C=∠ADC=90°， ∴.四边形APHB是矩形， ∴.AP=BH,PH=AB=4, .E为CD的中点， ∴DE=CE=2, .将四边形APQB沿PQ翻折， ∴.∠PFG=∠A=90°，EF=AB=4,AP=PF, ∴.∠FGD>90°， ,△DFG为等腰三角形， ∴.FG=DG, ‘.·∠PFG=∠EDG=90°，∠FGP=ㄥEGD, .∴.△PFG≌△EDG, ∴.PF=DE=2,PG=EG, 81/97 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .AP=PF=BH=2,PD=EF=4, .∴.AD=AP+PD=6, 设BQ=EQ=y,则CQ=6-y, 在Rt△CEQ中，根据勾殷定理，CE2+CQ2=EQ2即22+16-y=y 1 解得y= 3,即BQ=10 1 ..HQ=BQ-BHI=4 Γ31 .在Rt△PHQ中，根据勾股定理， PQ=PH2+HQ2=42+ 4-40 3 66.(25-26八年级上福建泉州期末)如图，在口ABCD中，点E是BC的中点，连接AE.将AB沿AE翻 折至AF,点B的对应点F,落在ABCD内.射线AF交DC于G,与射线BC相交于P,延长EF交DC 于2. D B △EFP≌△ECQ (1)求证： 2)连接A0,若AB=AE,AP平分∠DAE ①求证：∠A0D=90°， ②若CG=,G0=b,求证：b2-a2=ab. 【详解】(1)证明：：四边形ABCD是平行四边形， .AB II DC. .∠B=∠DCP, 由折叠的性质得△ABE≌△AFE, ∴.∠B=∠AFE, 82/97 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.∠AFE=∠DCP, .180°-∠AFE=180°-∠DCP,即∠EFP=∠ECQ, ,点E是BC中点， .BE=EC, 由翻折知BE=EF, .EF=EC: :∠FEP=∠CEQ △EFP≌△ECQ(AAS) (2)①证明：如图， A D AB=AE, ∴，△ABE是等腰三角形， ∴.∠B=∠AEB, 由翻折可得∠BAE=∠EAP,∠AEB=∠AEF,即∠AEB=∠AEQ, :AP平分∠DAE, ∴.∠DAP=∠EAP: ,在ABCD中，AD‖BC, ∠DAE=∠AEB,∠DAP=∠P, ÷∠BAE=∠EAP=∠P=号∠AEB=∠B 2 设LBAE=∠EAP=∠P=u,则∠B=2a, ∠BAE+∠EAP+∠P+∠B=180°， ∴.a+a+2a+a=180°， a=36°. 83/97 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 △EFP≌△ECQ 由(1)知 .∠E0C=∠P=a=36°，E0=EP, ∠P=∠EAP, ∴.AE=EP, ..AE=EO, 片∠0AE=∠EQA, ,∠AEQ=∠AEB=2Q=72° ÷201E=∠E0A=)180°-∠AB0)=54e. .∠AQC=∠E0A+∠EQC=90°， ∠A0D=90°： ②由①知∠E0C=36°，∠AEB=∠AEF=72°， .∠FEP=180°-∠AEB-∠AEF=36°， 、.∠FEP=∠E0C=36, ..EC=CO=CG+GO=a+b ,点E是BC中点， ..BE=EC=a+b,BC=2EC=2a+2b. 在ABCD中，AD=BC, .'AD=2a+2b ,∠DCP=∠D=∠B=72°， .∠AGD=∠CGP=180°-∠P-∠DCP=72°， .∠AGD=∠D=72°. ∴△AGD是等腰三角形，即AG=AD=2a+2b, ∠AQD=90°，即A0⊥DG, ..DO=GO=b .'DG=2b △EFP≌△ECQ ∴.EQ=EP 84/97 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .EF=EC, ∴F№=CP. LEOC=∠P,∠QGF=∠PGC, △FQG≌ACPG(AAS) ∴FG=CG=a,GP=GQ=b, .AF=AG-FG=a+2b. 由折叠的性质得AB=AF=a+2b, .'CD=AB=a+2b. .DG=CD-CG=2b ∠DCP=∠AEF=∠B=72°，∠AFE=∠QFG, .∠AGD=∠QFG ..OF=GO=b .△QFG是等腰三角形， 过点作QH1AG于点H, H G E 则所=GM-, .、.1=4G-1—3+2b OH=Go-GH2=b2 4， 40=4H+QH2=号a2+6ab+4h+_g-2a'+56+6b, 4 4 AD2=A02+DO2 2a2+56+6ab+b2=(2a+2b}=4a2+4h2+8ab 85/97 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .2b2-2a2=2ab, b2-a2=ab」 67.(25-26八年级上·湖南株洲期末)综合与实践课上，同学们以“折纸中的角”为主题开展数学活动. 【操作判断】 (1)如图①，将边长为10cm的正方形ABCD对折，使点D与点B重合，得到折痕AC.打开后，再将正 方形ABCD折叠，使点D落在边BC上的点P处，得到折痕GH,折痕GH与折痕AC交于点O.打开铺平， 连接P吧，PD,PH.若点P的位置恰好使得PH⊥AC. D A G P P M ① ② ③ (1)∠PDH= 【探究提炼】 (2)如图②，若(1)中的P是BC上任意一点，求∠DP巴的度数： 【理解应用】 (3)如图③，某广场上有一块边长为80m的菱形草坪ABCD,其中∠BCD=60°.现打算在草坪中修建步 道AC和MN-ND-DM,使得点M在BC上，点N在AC上，且MN=ND.请向：步道MN-ND-DM 所围成的△MND(步道宽度忽略不计)的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，说明 理由 【详解】解：(I)正方形ABCD中， ∠BCD=90°， ∠4CD=∠ACB=∠BCD=45° PH⊥AC, .∠PHC=180°-90°-∠ACD=45°， 由折叠可知：PH=DH, ∴.∠PDH=∠DPH, 86/97 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ,∠PDH+∠DPH=∠PHC=45°， ∠PDH=22.5°： (2)如图，过点O作QE1BC,垂足为E,过点O作QF⊥CD,垂足为F, D B E ·.∠QEP=∠QFD=90° :AC是∠BCD的角平分线，∠BCD=90°， .OE=QF,∠EQF=90° :折叠， ..OP =OD. :在RtAOEP和RtAOFD中， OP=OD OE=OF, Rt△QEP≌Rt△QFD(HL) ·.∠DOF=∠PQE」 :∠EQF=∠PQE+∠PQF=90°， ∠POF+∠DQF=∠DQP=90°， 、.△DQP为等腰直角三角形， .∠DPe=∠QDP=45°： (3)如图，过点N作NE⊥BC,垂足为E,过点N作NF⊥CD,垂足为F, 87/97 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 -1K BEM :∠BCD=60°， ∴.∠ENF=360°-∠NFC-∠WEC-∠BCD=120°， :在菱形ABCD中，AC是∠BCD的角平分线， .NE =NF, ,在Rt△NEM和RtANFD中， MN =DN NE=NF RtANEM≌Rt△NFD(HL) ∴.∠ENM=∠FND, ÷.∠ENM+∠MNF=∠MNF+LFND, .∠DNM=∠ENF=120°， ..DN MN &∠NMD=∠NDM=180°-DNM-30 2 过点N作NK⊥DM于点K,设DM=a, 则MK-)DM=g.K=MN. 2 :MN2=NK+MK2,即2NK)=K2+(号， 怀=3 6 2.5.vow-MD.NK 2 12 当a最小时，即DM最小时，△MND面积最小， ∴当DM⊥BC时，即DM最小，△MND面积最小， 88/97 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 如图， D N B M .:DM⊥BC,∠BCD=60°， .∠CDM=30°， :wc=cD=×80=40m), DM=CD-CM4040 AMIND 400W3m2 的面积存在最小值是 68.(25-26八年级上：山东青岛期末)已知在矩形ABCD中，AB=4cm,BC=8cm.点E从点A出发向 点D运动，同时点F从点C出发向点B运动，运动速度都是lcm/s,设它们的运动时间为 s(0<t<8) 解 答下列问题： E ------D G 图1 图2 图3 (1)如图1，求证：在运动过程中BD,EF总是互相平分： (2)如图2，若四边形BEDF是菱形，求t的值： (3)如图3，将△BEF沿BC翻折，得到△BGF.运动过程中，是否存在某一时刻t使四边形BEFG是菱形？ 若存在求出的值：若不存在说明理由， 89/97 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【详解】(1)解：如图，连接BE,DF, 》E D F 图1 ,四边形ABCD是矩形， .AD∥BC,AD=BC=8, AE=CF=t, ∴.DE=BF=8-t, .四边形BEDF是平行四边形， ∴.BD,EF总是互相平分 (2)解：若四边形BEDF是菱形，则DF=BF=8-t, E D F 图2 ∴.在RtADCF中，由勾股定理，得CF2+CD2=DF2, t2+42=(8-t)2 解得t=3, .t的值为3 (3)解：存在. 如图，连接EG交BC于点O, 90/97 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D 图3 :四边形BGFE是菱形， 1 EG L BC. B=5r=8-. ,四边形ABCD是矩形， 、∠A=∠AB0=90° ∴.四边形ABOE是矩形， ..OB=AE=t. 1=28-0, 8 解得1=3 8 ∴当=3秒时，四边形BGFE是菱形. 69.(24-25八年级下·江西吉安期末)在平行四边形纸片ABCD中，E为CD边上一点，将△ADE沿AE折 叠，点D的对应点为D D G H E E E 图① 图② 图③ (1)如图①，当点D恰好落在AB边上时，四边形D'BCE的形状为_， (2)如图②，当E,F为CD边的三等分点时，连接FD'并延长，交AB边于点G.试判断线段AG与BG的数 量关系，并说明理由： (3)如图③，当∠ABC=60°，∠DAE=45°时，连接DD'并延长，交BC边于点H.若ABCD的面积为24， 91/97 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 AD=4,求线段D'H的长， 【详解】(1)解：：四边形ABCD是平行四边形， .AB∥CD,AB=CD则∠DAE=∠AED, 由折叠可知： AD=AD'∠DAE=∠DAE ∴∠DAE=∠AED .'AD=DE AD', ∴.四边形ADED'是平行四边形， 又：AD=AD .四边形ADED'是菱形， ∴.DE=AD', .BD'=CE, ∴.四边形D'BCE是平行四边形， 故答案为：平行四边形： (2)(2)BG=2AG,理由如下： ,四边形ABCD是平行四边形， ∴.AB∥CD,AB=CD 又，E,F为CD边的三等分点， DE-EF-CF-3DC, 由折叠可知：ED=ED',∠AED=∠AED', 则ED=ED'=EF, .∠ED'F=∠EFD', 由三角形外角性质可知：∠DED'=∠EDF+∠EFD'=∠AED+∠AED', ∴∠AED'=∠ED'F, AE∥FG, ∴，四边形AEFG是平行四边形， 、.EF=AG 92/97 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .EF=ID 1 3 ,，AB=CD, :AGAB.则8G,E ..BG=2AG: (3)(3)由折叠可知：∠DAE=∠DAE=45°，AD=AD, :∠DAD=90°，则△DAD为等腰直角三角形， .∠ADH=∠ADD=45°， 延长AD交BC于M,则∠MD'H=∠ADD=45°， B ,四边形ABCD是平行四边形， AD∥BC, .∠DHM=∠ADH=45°=∠MD'H,∠AMH=∠DAD'=90°，即AM⊥AD, ∴.MD'=MH, ,口ABCD的面积为24，AD=4,即：AD·AM=24, .AM=6, MD'=AM-AD'=AM-AD=2, D'H=VMD2+MH=2√2 70.(25-26八年级上山东淄博·期末)【问题情境】 同学们以“特殊平行四边形的旋转”为主题开展探究活动. 【操作发现】 (1)如图1，正方形ABCD和正方形AEFG,连接DG,BE.线段DG与线段BE之间的数量关系是 一：直线DG与直线BE的夹角度数为一——一：（注：两条直线的夹角是指两条直线相交所形成的 小于等于90°的角) (2)如图2，当正方形4EFG绕点A旋转时，线段DG与线段BE之间的数量关系是一一；直线DG与 直线BE的夹角度数为 93/97 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【深入探究】 (3)如图3，若四边形ABCD与四边形AEFG都为菱形，且AB=2AE,∠DAB=∠GAE=60°，猜想线段 DG与BE的数量关系及直线DG与BE的夹角度数，并说明理由. 【迁移探究】 (4)如图3，在(3)的条件下，AB=2,在菱形AEFG绕点A旋转过程中，求线段CE的最小值. B 图1 图2 图3 备用图 【详解】(1)解：~四边形ABCD和四边形AEFG为正方形， AB=AD,AG=AE,∠GAE=∠DAB=90°， 在△GAD和△EAB中， AG=AE ∠GAD=∠EAB=90° AD=AB △GAD≌AEAB(SAS) ∴DG=BE,∠AGD=∠AEB, 如图，延长BE交DG于点H, D FH以E A B 图1 :∠AEB+∠ABE=180°-∠BAE=90°， ∴.∠AGD+∠ABE=90°， ∠BHG=180°-（∠AGD+∠ABE)=90° .直线DG与直线BE的夹角度数为90°： 94/97 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2):四边形ABCD和四边形AEFG为正方形， .AB=AD,AG=AE,∠GAE=∠DAB=90°， ·∠GAE-∠DAE=∠DAB-∠DAE, ∴.∠GAD=∠EAB, 在△GAD和△EAB中， AG=AE ∠GAD=∠EAB AD=AB △GAD≌△E.AB(SAS) DG=BE,∠ADG=∠ABE, 如图，延长BE交DG于点M, D E 图2 :∠ABE+∠BNA=180°-∠DAB=90°，且∠BNA=∠DNM, .∠ADG+∠DNM=90°， ∠DMN=180°-（∠ADG+∠DWM)=90° 即DG与直线BE的夹角度数为90°： (3)解：DG=BE,直线DG与BE的夹角度数为60°，理由如下： ,四边形ABCD与四边形AEFG都为菱形， AG=AE,AD=AB,∠DAB=∠GAE=60°， ∴∠DAB-∠DAE=∠GAE-∠DAE, ∴∠GAD=∠EAB. 在△GAD和△EAB中， 95/97 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 AG=AE ∠GAD=∠EAB AD=AB △GAD≌△EAB(SAS) ∴.DG=BE,∠ADG=∠ABE, 如图，延长BE交DG的延长线于点H,交AD于点T, G H. B 图3 :∠DTH=∠ATB,∠H+∠DTH+∠ADG=180°，∠DAB+∠ATB+∠ABT=180°， .∠H=∠DAB=60°， ∴.直线DG与BE的夹角度数为60°： (4)解：CE≥AC-AE. ∴如图，当点E在AC上时，线段CE取得最小值， G D B 图4 连接BD,交AC于O ,四边形ABCD是菱形，∠DAB=60°， .∠OAB=30°，∠AOB=90°，AC=2A0, AB=2, OB=号AB=1 1 96/97 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 04=VAB2-0B=3 :4C=201=2W5 :4E=专A8=1, :CE=4C-AB=2V5-1 CE 3-1 ∴线段的最小值为 97/97专题03 四边形（11常考1易错3压轴） 题型1 多边形及其内角和（常考） 题型9 正方形的判定与性质综合（常考） 题型2 平行四边形的性质（常考） 题型10 三角形中位线（常考） 题型3 平行四边形的判定与性质综合（常考） 题型11 直角三角形斜边中线（常考） 题型4 矩形的性质（常考） 题型12 特殊平行四边形判定辨析（易错） 题型5 矩形的判定与性质综合（常考） 题型13 （特殊）平行四边形+动点（压轴） 题型6 菱形的性质（常考） 题型14 特殊平行四边综合证明+计算（压轴） 题型7 菱形的判定与性质综合（常考） 题型15 折叠、旋转与特殊四边形结合（压轴） 题型8 正方形的性质（常考） 3 / 23 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型1 多边形及其内角和（常考）（共5小题） 1．（25-26八年级上·湖南张家界·期末）从n边形的一个顶点出发的对角线的条数是（    ） A． B． C． D．n 2．（24-25七年级上·广东清远·期末）过七边形的一个顶点可以画n条对角线，将它分成m个三角形，则的值是（   ） A．7 B．8 C．9 D．10 3．（25-26八年级上·云南昆明·期末）把一个多边形用连接它的不相邻顶点的线段（这些线段不在多边形内部相交）划分为若干个三角形，叫作多边形的三角剖分，部分多边形的三角剖分方法如下图，如：四边形三角剖分得到两个三角形，它的内角和为，用你发现的规律求七边形的内角和是（   ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级上·山东济南·期末）如图所示，第四套人民币中角硬币边缘镌刻的图形是正九边形，正九边形每个内角为______度． 5．（24-25八年级上·广东惠州·期末）一个多边形的每一个外角都等于，则这个多边形的边数为______． 题型2 平行四边形的性质（常考）（共5小题） 6．（25-26八年级上·山东淄博·期末）在中，若，则_______． 7．（25-26八年级上·山东淄博·期末）如图，的对角线交于点，且，若它的对角线的和是，则的周长为_________ ． 8．（25-26八年级上·山东淄博·期末）如图，中，E是边AB（不含端点）上任意一点，若，，则_____ ． 9．（24-25八年级下·福建厦门·期末）如图，在平行四边形中，，，则直线，之间的距离为______． 10．（24-25八年级下·湖北黄石·期末）如图，在中，，分别是边，上的点，与相交于点，与相交于点，若四边形的面积，则图中阴影部分的面积为_______________． 题型3 平行四边形的判定与性质综合（常考）（共4小题） 11．（25-26八年级上·山东青岛·期末）已知：如图，在中，分别是边和上的点，且．求证：四边形是平行四边形． 12．（25-26八年级上·山东日照·期末）如图，的对角线，相交于点O，点E，F在对角线上，且，连接，，，． 求证：四边形是平行四边形． 13．（25-26八年级上·山东·期末）如图，平行四边形，分别延长，至点，，使，连接，分别交，，于点，，．求证：．（请用两种方法证明） 14．（25-26八年级上·山东淄博·期末）如图，在中，为边上一点，连接为中点，过点C作，交的延长线于点F，连接交于点G． (1)判断四边形的形状，并说明理由； (2)若，，．求的长． 题型4 矩形的性质（常考）（共4小题） 15．（25-26八年级上·福建福州·期末）如图，在矩形中，对角线，相交于点，如果，那么的度数为（    ） A． B． C． D． 16．（25-26八年级上·重庆·期末）如图，在矩形中，对角线相交于点O，过点D作于点N，连接，点M为的中点，连接，若，，则的长度为________． 17．（24-25八年级下·福建福州·期末）如图，在矩形中，对角线，相交于点，过点的直线分别交，边于点，，若，则图中阴影部分的面积为_________． 18．（24-25八年级下·吉林白山·期末）如图，在矩形中，点E是上一点，，于点F． (1)求证：； (2)连接，若，求的长． 题型5 矩形的判定与性质综合（常考）（共3小题） 19.（24-25八年级下·广东湛江·期中）如图所示，在中，是边上的中线，点E是的中点，过点A作的平行线交的延长线于点F，连接． (1)求证：； (2)如果，试证明：四边形为矩形． 20．（24-25八年级下·广东汕尾·期末）如图，在平行四边形中，过点A作交边于点E，点F在边上，且． (1)求证：四边形是矩形． (2)若平分，且，求线段的长． 21．（24-25八年级下·四川南充·期末）如图，在中，O为的中点，延长交的延长线于点E，连接，，． (1)求证：四边形是矩形； (2)连接，若，，求的长． 题型6 菱形的性质（常考）（共4小题） 22．（24-25八年级下·辽宁大连·期末）如图，菱形的两条对角线相交于点O，若，则的度数是（　　） A． B． C． D． 23．（25-26八年级上·山东烟台·期末）如图，在菱形中，，分别为，的中点，且，，则菱形的面积为________． 24．（25-26八年级上·吉林长春·期末）如图，菱形的对角线交于点O，，过点O作于点E，若，则的长为_____．    25．（24-25八年级下·全国·期末）如图，矩形的顶点E，G分别在菱形的边，上，顶点F，H在菱形的对角线上． (1)求证：； (2)若E为中点，，求菱形的周长． 题型7 菱形的判定与性质综合（常考）（共3小题） 26．（25-26八年级上·江苏淮安·期末）如图，矩形的对角线，相交于点，将沿直线翻折得到. (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，则菱形的面积为______． 27．（24-25八年级上·北京·期末）如图，矩形的对角线，相交于点O，，． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求矩形的面积． 28．（24-25八年级下·云南红河·期末）如图，在平行四边形中，，分别是，的平分线，且，分别在边，上，． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求平行线与间的距离． 题型8 正方形的性质（常考）（共4小题） 29．（25-26八年级上·甘肃天水·期末）如图，四边形是正方形，是等边三角形，则等于（    ）    A． B． C． D． 30．（24-25八年级下·云南普洱·期末）如图，四边形是正方形，是延长线上一点．已知，，则正方形的面积是（    ） A． B． C． D． 31．（24-25八年级下·上海虹口·期末）如图，正方形的边长为，对角线，交于点，为边上一点，且，则的长为 _________________ ． 32．（24-25八年级下·云南临沧·期末）如图，在正方形中，点E在线段上，且不与点B重合，且．过点F作交的延长线于点G，连接． (1)若，求的度数； (2)求证：． 题型9 正方形的判定与性质综合（常考）（共3小题） 33．（24-25八年级下·陕西商洛·期末）如图，在矩形中，平分，平分交于点E，点E在边上，．求证：四边形是正方形． 34．（24-25八年级下·湖北十堰·期末）如图，在矩形中，平分，交于点，过点作于点，连接交于点，连接． (1)求证：四边形ABEF是正方形； (2)如果，求四边形的周长． 35．（24-25八年级下·甘肃陇南·期末）如图，在中，对角线交于点E，，． (1)当平分时，是______形；（填特殊平行四边形名称） (2)证明：当时，为正方形． 题型10 三角形中位线（常考）（共3小题） 36．（24-25八年级下·云南保山·期末）如图，学校要在一片空地上搭建一个三角形形状的绿植装饰架，为了提前制作支撑框架，工作人员取，边的中点M，N进行测量，经测量的长度为，那么装饰架底边的长度为______． 37．（24-25八年级上·山东威海·期末）在中，E是的中点，相交于点F，，．连接交于点O，若，，，求的长． 38．（25-26八年级上·山东泰安·期末）如图所示，在中，点D、E分别为的中点，点H在线段上，连接，点G、F分别为的中点． (1)求证：四边形为平行四边形； (2)若，，，求线段的长度． 题型11 直角三角形斜边中线（常考）（共4小题） 39．（25-26八年级上·浙江金华·期末）如图，在中，点在BC上， 分别是AC，BD的中点，则的长为（   ） A． B． C． D． 40．（25-26八年级上·浙江台州·期末）如图，在中，，，，点，分别在边，上，连接，点，分别是，的中点，连接，若，则的最小值是（   ） A．1.8 B．2 C． D．2.5 41．（25-26八年级上·江苏淮安·期末）在矩形中，点在边上，与的延长线交于点，，若，则_____． 42．（25-26八年级上·广东深圳·期末）如图，等腰三角形中，，，D为边的中点，连接并延长至点P，作交于点Q，若，则________． 题型12 特殊平行四边形判定辨析（易错）（共6小题） 43．（25-26八年级上·山东泰安·期末）如图，下面能判断四边形是平行四边形的是（   ） A．， B．， C．， D．， 44．（24-25八年级下·云南红河·期末）如图，在四边形中，与相交于点E，点E是的中点，要判定四边形是平行四边形，能添加的条件是（   ） A． B． C． D． 45．（24-25八年级下·陕西西安·期末）如图，在中，，相交于点，下列条件不能判定为矩形的是（   ） A． B． C． D． 46．（24-25八年级下·湖北黄冈·期末）如图，的对角线，交于点O，要使成为菱形，则可添加一个条件是（   ） A． B． C． D． 47．（25-26八年级上·湖南张家界·期末）下列命题中正确的是（    ） A．四边都相等的四边形是正方形 B．对角线互相平分的四边形是平行四边形 C．对角线互相垂直的四边形是菱形 D．对角线相等的四边形是矩形 48．（24-25八年级下·河北石家庄·期末）在复习特殊四边形的关系时，嘉祺同学整理出如图所示的转换图，①、②、③、④处需要添加条件，则下列条件添加错误的是（    ） A．处可填 B．处可填 C．处可填 D．处可填 题型13 （特殊）平行四边形+动点（压轴）（共4小题） 49．（24-25八年级上·新疆昌吉·期末）如图，在正方形中，，是上的一点且，连接，动点从点出发，沿着路径以的速度运动，运动到点停止，设点的运动时间为秒，当和全等时，的值是（    ） A． B． C．或 D．或 50．（23-24八年级下·辽宁鞍山·期末）如图，正方形的边长为，点是边上一点，且，对角线，交于点，点是中点，连接； (1)如图1，过点作交于点，判断四边形的形状并证明； (2)如图2，若点是对角线上的动点，当平分时，判断，，之间的数量关系， 并计算的值． 51．（25-26八年级上·吉林长春·期末）如图，在四边形中，，，，，．动点从点出发以每秒个单位的速度沿向终点运动，点从点出发，以每秒个单位的速度沿射线运动，点和点同时出发，当点运动到点时，点也停止运动，设点的运动时间为（秒）（）． (1)_________． (2)当点运动到的垂直平分线上时，求的值． (3)当以点，点，点，点为顶点的四边形是平行四边形时，求的值． (4)如图，作点关于直线的对称点，则当点落在直线上时，直接写出的值． 52．（24-25八年级下·重庆巴南·期末）如图，在矩形中，点为直线上一动点，连接，作等腰直角三角形，使，．       (1)如图1，若，，，求四边形的面积； (2)如图2，若点为线段的中点，且，连接，试探究线段，，之间的数量关系，并证明你的猜想； (3)如图3，连接，若，．请思考是否存在最小值，若存在，请直接写出的最小值，若不存在，请说明理由． 题型14 特殊平行四边综合证明+计算（压轴）（共10小题） 54．（25-26八年级上·山东济南·期末）如图，在正方形中，，点E在对角线上，且不与A，C重合，过点E作于点F，于点G，连接． (1)求的长； (2)求证：； (3)求的最小值． 55．（24-25八年级下·广东广州·期末）如图，平行四边形中，，点是线段的中点，过点作交于点，的延长线交于点，且． (1)如图，若，求的值； (2)如图，连接，求证：； (3)如图，延长交于点，求的值． 56．（24-25八年级下·上海浦东新·期末）已知：如图，正方形中，，点F为对角线上一点，联结，过点F作交线段于点E（点E不与点B，点C重合），过E作，过D作，与交于点G． (1)证明四边形为正方形； (2)联结，设，，求y关于x的函数关系式，并写出定义域； (3)当为等腰三角形时，直接写出的长度． 57．（24-25八年级下·浙江绍兴·期末）如图1，在平行四边形中，是上一点，连结，使，是上一点，满足． (1)求证：． (2)如图2，连结，过点作交于点，连结． ①求证：四边形为菱形． ②若，，，求的长． 58．（24-25八年级下·浙江宁波·期末）如图1，中，对角线的中垂线分别交于点E，O，F． (1)连结，请判断四边形的形状，并说明理由： (2)若，连结，求的度数： (3)如图2，连结交于点G，若，，，求的度数和的长． 59．（24-25八年级下·江苏南通·期末）综合与实践： 矩形中，点E在射线上，连接，过点O作，交直线于点F，连接． 【特例探究】（1）如图1，当E是线段中点时，，，则的长为______； 【一般情形】（2）当点E在线段的延长线上时，依题意补全图2，用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明； 【拓展运用】（3）如图（3），中，，点D在的延长线上，点E在的延长线上，连接，F是的中点，连接，若，且，求的最小值． 60．（24-25八年级下·四川成都·期末）在中，E，F分别是边，上的点，与相交于点M． (1)如图1，若，，，求证：； (2)在（1）的条件下，连接，，．若，以，，三条线段为边构成的三角形是什么特殊三角形？请说明理由； (3)如图2，当，，连接，若，求线段的长（用含k的代数式表示）． 61．（24-25八年级下·江苏南京·期末）对于平面直角坐标系中的图形M、N，给出如下定义：P为图形M上任意一点，Q为图形N上任意一点，称P、Q两点间距离的最小值为图形M、N间的“最近距离”，记作在中，点，，，． (1)点O，______． (2)若点P在y轴正半轴上，点P，，求点P的坐标； (3)若已知点，，，，顺次连接点E、F、H、G，将得到的四边形记为图形 ①当时，直接写出的值； ②若，直接写出a的取值范围． 62．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期末）在四边形中，对角线，，． (1)如图1，求证：； (2)如图2，点为上一点，点为延长线上一点，连接，，，若，求证：； (3)在（2）的条件下，如图3，点在上，交于点，，连接，若，，求线段的长． 题型15 折叠、旋转与特殊四边形结合（压轴）（共8小题） 63．（25-26六年级上·山东烟台·期末）如图，矩形中，点，分别为边，上两动点，且，，沿折叠矩形，使得点恰好落在边（含端点）上，记作点，翻折后点对应点，则的最小值为________． 64．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期末）如图，在正方形中，，点在边上，且，将沿对折至，延长交于点，连接，则①垂直平分；②；③；④，下列结论正确的是___________填编号 65.（24-25八年级下·湖北荆州·期中）如图，在矩形中，，，分别是边上的点，将四边形沿翻折，两点的对应点分别为． (1)如图1，当点落在上时，求证：； (2)如图2，若，点与点重合，求的长； (3)如图3，当点恰好落在的中点，交于点，连接，若为等腰三角形，求折痕的长． 66．（25-26八年级上·福建泉州·期末）如图，在中，点是的中点，连接．将沿翻折至，点的对应点，落在内．射线交于，与射线相交于．延长交于． (1)求证：； (2)连接，若，平分． ①求证：； ②若，求证：． 67．（25-26八年级上·湖南株洲·期末）综合与实践课上，同学们以“折纸中的角”为主题开展数学活动． 【操作判断】 （1）如图①，将边长为的正方形对折，使点与点重合，得到折痕．打开后，再将正方形折叠，使点落在边上的点处，得到折痕，折痕与折痕交于点．打开铺平，连接，，．若点的位置恰好使得． （1）___________； 【探究提炼】 （2）如图②，若（1）中的是上任意一点，求的度数； 【理解应用】 （3）如图③，某广场上有一块边长为的菱形草坪，其中．现打算在草坪中修建步道和，使得点在上，点在上，且．请问：步道所围成的（步道宽度忽略不计）的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，说明理由． 68．（25-26八年级上·山东青岛·期末）已知在矩形中，，．点从点出发向点运动，同时点从点出发向点运动，运动速度都是，设它们的运动时间为，解答下列问题： (1)如图1，求证：在运动过程中，总是互相平分； (2)如图2，若四边形是菱形，求t的值； (3)如图3，将沿翻折，得到．运动过程中，是否存在某一时刻使四边形是菱形？若存在求出的值；若不存在说明理由． 69．（24-25八年级下·江西吉安·期末）在平行四边形纸片中，E为边上一点，将沿折叠，点D的对应点为． (1)如图①，当点恰好落在边上时，四边形的形状为 ． (2)如图②，当E，F为边的三等分点时，连接并延长，交边于点G．试判断线段与的数量关系，并说明理由； (3)如图③，当，时，连接并延长，交边于点H．若的面积为，，求线段的长． 70．（25-26八年级上·山东淄博·期末）【问题情境】 同学们以“特殊平行四边形的旋转”为主题开展探究活动． 【操作发现】 （1）如图1，正方形和正方形，连接，．线段与线段之间的数量关系是________；直线与直线的夹角度数为________；（注：两条直线的夹角是指两条直线相交所形成的小于等于的角） （2）如图2，当正方形绕点旋转时，线段与线段之间的数量关系是________；直线与直线的夹角度数为________． 【深入探究】 （3）如图3，若四边形与四边形都为菱形，且，，猜想线段与的数量关系及直线与的夹角度数，并说明理由． 【迁移探究】 （4）如图3，在（3）的条件下，，在菱形绕点旋转过程中，求线段的最小值． $