专题09 期末真题易错百练通关（期末复习专项训练+14大题型）八年级数学下学期新教材北师大版

**基本信息** 聚焦初中数学期末14大高频易错题型，精选80道真题，以题突破多解、参数、检验等核心易错点，强化数学思维与应用意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |选填易错|40题（8题型）|等腰/直角三角形多解、不等式组参数、分式方程参数等|从几何图形性质到代数参数求解，覆盖三角形到不等式与分式方程综合| |解答易错|40题（6题型）|分式方程检验、化简求值取值、HL证全等、图形判定与性质等|从基础运算检验到几何推理证明，衔接代数运算与几何逻辑推理|

专题09 期末真题易错百练通关（80题14大易错题型） 选填易错 解答易错 题型1 等腰三角形多解易错问题 题型9 解分式方程忘记检验易错问题 题型2 直角三角形多解易错问题 题型10 分式化简求值中取值易错问题 题型3 由不等式组的解集情况求参数问题 题型11 直角三角形中用HL证全等易错问题 题型4 由不等式组中整数解的情况求参数问题 题型12 垂直平分线与角平分线判定易错问题 题型5 分式方程的增根求参数易错问题 题型13 等腰（等边）三角形性质和判定易错问题 题型6 分式方程无解求参数易错问题 题型14 平行四边形性质和判定易错问题 题型7 分式方程解的情况参数易错问题 题型8 不等式组与分式方程综合含参数问题 题型一 等腰三角形多解易错问题（共5小题） 1．（25-26八年级上·福建漳州·期末）如图，在中，，，，点P在上，当点P与中的两个顶点构成等腰三角形时，的长为______． 【答案】2或5或6或 【分析】本题主要考查了勾股定理、等腰三角形的定义和性质等知识，分情况讨论是解题关键． 首先根据勾股定理确定的长度，然后结合等腰三角形的定义和性质，分情况讨论，即可获得答案． 【详解】解：∵，，， ∴， 根据题意，点P与中的两个顶点构成等腰三角形，可分情况讨论， ①当为等腰三角形，且时，如下图， 则； ②当为等腰三角形，且时，如下图， 则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； ③当为等腰三角形，且时，如下图， 则； ④当为等腰三角形，且时，如下图，过点作于点， ∵， ∴，解得， ∴， ∵，， ∴， ∴． 综上所述，的长为2或5或6或． 故答案为：2或5或6或． 2．（25-26八年级上·陕西西安·期末）如图，中，，点E、F分别是边、上的动点，将沿折叠，使点A落在直角边上的D点处，如果折叠后与均为等腰三角形，那么______． 【答案】或． 【分析】先确定是等腰三角形，得出，由于不确定是以哪两条边为腰的等腰三角形，需分三种情况，分别利用角的关系求解即可． 【详解】解：∵在中，，且是等腰三角形， ∴， ∴， 设，由对称性可知，， ∴， ①如图1：当时，， 由，得，解得：． ∴． ②如图2：当时，则． 由得：，解得x＝37．5°， ∴． ③当时，则， 由得，，此方程无解． ∴不成立． 综上所述，或． 【点睛】在不确定等腰三角形的腰时要注意分类讨论，不要漏解，另外要注意方程思想在求解几何问题中的应用． 3．（25-26八年级上·河南周口·期末）如图，在中，，点从点出发，以的速度沿路径A→B行进，到达点B后停止，设移动时间为，当是以BC为腰的等腰三角形时，__________s． 【答案】或 【分析】本题主要考查勾股定理，等腰三角形的定义，熟练掌握勾股定理是解题的关键．根据勾股定理求出的长度，以为腰时分点在上两种情况，分别列出等式进行计算即可． 【详解】解：，，， ， 当点在上时，① 点走的路程为：， ． ②， 过点作于点， ， ， 在中，， ，..， ， 点走的路程为：， ， 故答案为：或． 4．（25-26八年级上·河北石家庄·期末）如图，中，，现有两点分别从点同时出发，沿三角形的边运动．已知点的速度为，点的速度为．设点运动后停止运动，则其中运动______时，为直角三角形． 【答案】或 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质，直角三角形的性质，先证明是等边三角形，则有，设运动时间为，当，点的运动路程为，的运动路程为，则当点在上，在上运动时，此时，然后分若，若，两种情况分析；当点在上，在上运动时，此时，点，，不能构成三角形；从而即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键 【详解】解：∵， ∴是等边三角形， ∴， 设运动时间为，当， ∴点的运动路程为，的运动路程为， 当点在上，在上运动时，此时， 如图，若， 由题意得，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得：， 如图，若， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得：， 当点在上，在上运动时，此时，点，，不能构成三角形； 综上可得：运动或时，为直角三角形， 故答案为：或． 5．（25-26九年级上·河南开封·期末）如图，在中，，，，点E、F分别在上，把沿折叠，点B恰好落在边上的点D处．若是以为腰的等腰三角形，则的长为______． 【答案】5或 【分析】求出，，分当时，过点D作于点G，则，设，则，得，得，解方程即可；当时，，得，解方程即可． 【详解】解：∵在中，，，， ∴， ∴， 当时，过点D作于点G， 则， 设， 由折叠知，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得： 当时， ， ∴， ∴． 综上，或． 故答案为：5或． 题型二 直角三角形多解易错问题（共5小题） 6．（25-26八年级上·江西赣州·期末）如图， 在中，，， 若以为一边画等腰三角形， 且使它的第三个顶点在边或上，则画出的等腰三角形的顶角的度数为_____________． 【答案】或或 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，关键是由等边对等角求出角的度数；分别按三边两两相等进行分情况讨论． 【详解】解：当时，顶角为； 当时，，顶角为； 当时，在边上，， 顶角； 当时，在边上，顶角为； 综上所述：顶角为：或或； 故答案为：或或． 7．（25-26七年级上·河南平顶山·期末）如图，在中，，，平分．从点画射线交于点，当时，的度数为______． 【答案】或 【分析】本题考查了三角形的外角的性质，角平分线的定义，直角三角形的两个锐角互余，分两种情况讨论，当点在上时，当点在上时，根据三角形的外角的性质，即可求解． 【详解】解：在中，，，平分． ∴， 如图，当点在上时， ∴ 如图，当点在上时， ∴ ∴ 综上所述的度数为或 故答案为：或． 8．（25-26八年级上·江西南昌·期末）在钝角中，，过点作一条直线，将分成两个新的三角形．若这两个三角形中，一个是直角三角形，另一个是等腰三角形，则的度数为________． 【答案】或或 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质、三角形内角和定理，三角形外角性质等，解题的关键是综合运用这些性质和定理． 过点A作直线交于点D，分两种情况讨论：一是为直角三角形且为等腰三角形；二是为等腰三角形且为直角三角形，每种情况又分子情况，结合及三角形内角和即可求解． 【详解】解：设过点作的直线交于点D． 情况1：为直角三角形，为等腰三角形。 子情况：． 在中，，， ∴， 则中，， ∴； 子情况：． ∵， ∴， 则中，， ∴； 情况2：为等腰三角形，为直角三角形。 子情况：． ∵， ∴， 则中，， ∴，则与矛盾， ∴此种情况不存在； 子情况：． 在等腰中，若，即，则， ∴； 在等腰中，若，即， ∴， ∵， ∴与三角形内角和为矛盾， ∴此种情况不存在； 在等腰中，若，即，则， ∵， ∴与三角形内角和为矛盾， ∴此种情况不存在； 综上所述，可能为或或． 故答案为：或或． 9．（24-25七年级下·河南南阳·期末）如图，在中，，，是边上的一个动点，连接，将沿着翻折得到，当与的一边垂直时，_______． 【答案】或 【分析】本题主要考查了三角形折叠中的角度问题，直角三角形两锐角互余，正确进行计算是解题关键，当D点在线段上时，画出对应的图形，根据三角形内角和定理和折叠的性质求解即可． 【详解】解：当D点在线段上且时， 由折叠可知：， ， ， ， ； 当D点在线段上且时， 由折叠的性质可得， ； 故答案为：或． 10．（25-26八年级上·河南新乡·期末）小华用一张直角三角形纸片玩折纸游戏，如图1，在中，，．第一步，在边上找一点D，将纸片沿折叠，点A落在处，如图2；第二步，将纸片沿折叠，点D落在处，如图3．当点恰好落在原直角三角形纸片的边上时，的度数为______． 【答案】或 【分析】本题考查了轴对称变换，直角三角形两锐角互余，正确的作出图形是解题的关键．因为点恰好在原直角三角形纸片的边上，所以分为当落在边上和边上两种情况分析求解即可． 【详解】解：将纸片沿折叠，点A落在处，将纸片沿折叠，点D落在处， ． 分两种情况讨论∶如图，当点恰好落在边上时， 则． ， ． 如图，当点恰好落在边上时， 根据轴对称的性质知， ， ． ， ． ， ． ， ； 综上所述，的度数为或． 故答案为：或． 题型三 由不等式组的解集情况求参数问题（共5小题） 11．（25-26八年级上·山东聊城·期末）若关于的不等式组有解，则的取值范围是_____． 【答案】 【分析】本题考查解一元一次不等式组，求得不等式组中每个不等式的解集，再根据题意得到不等式，即可得出答案．正确求出不等式组的解集是解题的关键． 【详解】解： 解不等式①，得：， 解不等式②，得：， ∵关于的不等式组有解， ∴， 解得：． 故答案为：． 12．（25-26八年级下·全国·期末）若关于的不等式组的解集是，则的取值范围是____________． 【答案】 【分析】先分别解出不等式组中两个不等式的解集，再根据“同大取大”的原则，结合已知的解集，确定参数的取值范围． 【详解】解：解不等式组 解不等式， ． 解不等式， 得． 已知不等式组的解集为，根据“同大取大”的原则，要使成为解集，必须满足． 故答案为:． 【点睛】本题考查了一元一次不等式组的解法和不等式组解集的确定。解题关键是熟练掌握“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到”的原则来确定参数的范围． 13．（24-25七年级下·云南丽江·期末）若关于x的不等式组的解集为，则a的取值范围是______． 【答案】 【分析】本题主要考查解一元一次不等式组，解答的关键是明确“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则． 用含a的式子表示出不等式的解，结合条件进行求解即可． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， 不等式组的解集是， ． 故答案为：． 14．（24-25七年级下·青海海北·期末）已知关于的不等式组的解集为，则的取值范围是__________． 【答案】 【分析】本题考查解一元一次不等式组，能根据不等式的解集和已知不等式组的解集得出关于的不等式是解题关键．先求出不等式的解集，根据已知不等式组的解集即可得出关于的不等式，求出不等式的解集即可． 【详解】解： 解不等式①得， 解不等式②得， 关于的不等式组的解集为， ， 解得， 故答案为：． 15．（24-25八年级上·河南周口·期末）（1）关于x的分式方程无解，则_______； （2）若（1）中的方程的解为正数，且关于y的不等式组的解集为，则满足条件的整数a的值之和为______． 【答案】 5 13 【分析】本题考查分式方程无解问题，根据不等式组的解集求参数的值，熟练掌握解分式方程的步骤，求不等式的解集，是解题的关键： （1）将方程化为整式方程，根据方程无解，得到方程有增根，进行求解即可； （2）求出每一个不等式的解集，根据不等式组的解集求出参数的范围，结合方程的解为正数，确定满足条件的整数，再求和即可． 【详解】解：（1）， 去分母，得， 解得， ∵方程无解， ∴方程有增根， ∴， ∴， ∴，解得； 故答案为：5； （2）解，得， ∵关于y的不等式组的解集为， ∴， ∴， 由（1）且， ∴且； 综上：且； ∴满足条件的整数为3，4，6， ∴； 故答案为：13． 题型四 由不等式组中整数解的情况求参数问题（共5小题） 16．（25-26八年级上·山东济南·期末）关于x的不等式组有且只有3个整数解，则m的取值范围为______． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元一次不等式组的整数解．先对不等式组进行求解，再根据不等式组有且只有3个整数解确定m的取值范围即可． 【详解】解：， 解不等式可得，； ∴该不等式组的解集为． ∵不等式组有且只有3个整数解，即3，2，1， ∴． 故答案为：． 17．（25-26八年级上·四川成都·期末）关于x的不等式组有且只有三个整数解，则a的取值范围是_______． 【答案】 【分析】此题考查了一元一次不等式组的整数解，正确理解“不等式组有且只有三个整数解”是解本题的关键．表示出不等式组的解集，根据解集中有且只有三个整数解，确定出a的范围即可． 【详解】解：解不等式组 ， 由得， 由得，即， 故不等式组的解集为． 由于解集有且只有三个整数解，且， ∴整数解为 ，，． ∴． 故答案为：． 18．（25-26八年级上·重庆·期末）关于的不等式组有且只有个整数解，则满足条件的整数的和为________． 【答案】 【分析】本题考查了不等式组的整数解，关键是根据不等式组的整数解求出取值范围，用到的知识点是一元一次不等式的解法．先分别解两个不等式，得到不等式组的解集，再根据有且只有三个整数解，确定参数的范围，进而求出所有满足条件的整数并求和． 【详解】解：解不等式，得，即， ∴ 解不等式，得， ∴不等式组的解集为， ∵有且只有三个整数解，整数解为， 故需满足，即 ∴整数为和，和为 故答案为：． 19．（24-25七年级下·四川资阳·期末）已知关于x的不等式组有5个整数解，则a的取值范围是____________． 【答案】 【分析】本题考查了根据不等式的解的情况确定字母的取值范围．先解不等式组，得到解集，由有个整数解可知整数解为，，，，，从而确定需满足． 【详解】解：解不等式，得； 解不等式，得， 故不等式组的解集为． 因有个整数解，即可取，，，，， 故需满足，以确保包含但不包含． 故答案为：． 20．（24-25七年级上·辽宁盘锦·期末）已知关于x的不等式组的整数解有且只有2个，则m的取值范围是______． 【答案】 【分析】本题考查了根据不等式组的解集求参数． 分别求解两个不等式，得到不等式组的解集，再根据整数解的个数确定参数的取值范围． 【详解】解：解不等式，得； 解不等式，得； 因此不等式组的解集为． 由于整数解有且只有2个， 可知整数解为和， 故需满足， 解得． 故答案为：． 题型五 分式方程的增根求参数易错问题（共5小题） 21．（25-26八年级上·河南许昌·期末） 若关于x的分式方程有增根，则________． 【答案】 【分析】本题主要考查了根据分式方程的解的情况求参数，把原方程去分母化为整式方程，再解方程得到，分式方程有增根的条件是分母为零，则可得到关于a的方程，解方程即可得到答案． 【详解】解： 方程两边同时乘以得， 去括号得， 移项，合并同类项得， 解得， ∵原方程有增根， ∴，即 ∴， ∴， 故答案为：． 22．（25-26八年级上·河南周口·期末）若关于x的分式方程有增根，则________． 【答案】2 【分析】本题主要考查了分式方程有增根的问题，先确定分式方程的增根，再将分式方程去分母化为整式方程，把增根代入整式方程即可求出k的值． 【详解】解：原方程可变形为， 两边同乘最简公分母，得， 因为分式方程有增根，所以最简公分母，即增根为， 将代入整式方程，得， 即， 解得． 故答案为：2． 23．（25-26八年级上·湖南益阳·期末）若分式方程有增根，则a的值为______． 【答案】 【分析】本题考查了分式方程的增根问题． 先求解分式方程，分式方程有增根，则分母为零，即，代入方程的解中求a即可． 【详解】解：方程两边同乘，得， 整理得， 即． ∵分式方程有增根， ∴， 即， 解得． 故答案为：． 24．（25-26八年级上·山东威海·期末）若分式方程有增根，则k的值是________． 【答案】1 【分析】本题考查了分式方程的增根，增根确定后可按如下步骤进行：①化分式方程为整式方程；②把增根代入整式方程即可求得相关字母的值． 分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程有增根求出x的值，代入整式方程计算即可求出k的值． 【详解】解：， ， 因为方程有增根， 所以， 所以， 所以把代入整式方程，得， 解得， 故答案为：1． 25．（25-26七年级上·上海·期末）若关于的方程有增根，则的值为________． 【答案】或22 【分析】本题考查了分式方程的增根．首先把分式方程化为整式方程，然后根据分式方程有增根，得到或，据此求出或，分别代入整式方程求出m的值即可． 【详解】解：方程两边都乘以，得 ， ∵方程有增根， ∴或， 解得或， 当时，， 解得； 当时，， 解得； 故答案为：或22． 题型六 分式方程无解求参数易错问题（共5小题） 26．（25-26八年级上·山东日照·期末）若关于x的分式无解，则a的值是______． 【答案】1或3 【分析】本题考查分式方程的解法与恒等变形，分式方程的无解问题，分式方程无解的情况包括化简后的整式方程无解或解出的根为增根，据此解答即可． 【详解】解：， ，即 ， 整理得：， 当时，即时，方程无解； 当时，， 若，则，解得，此时为增根，方程无解； 综上，或， 故答案为：1或3． 27．（25-26八年级上·湖北荆州·期末）若关于的分式方程无解，则的值是______． 【答案】 【分析】本题主要考查了分式方程无解的条件，熟练掌握分式方程增根的产生原因及求解方法是解题的关键． 先将分式方程化为整式方程，再根据分式方程无解的条件（解为增根），求出的值． 【详解】解：， ， ， ， ， 当时，原方程分母为零，是增根，此时方程无解， ， ， ， 故答案为：． 28．（25-26八年级上·陕西商洛·期末）若关于的分式方程无解，则______． 【答案】 【分析】本题考查了解分式方程，关键是将分式方程化为整式方程后，讨论无解的条件；将分式方程化为整式方程得到，把增根代入求解． 【详解】解： ， 两边同乘 （）得 ： ， 整理得 ， 移项得 ， 即 ， 解得 ， ∵分式方程无解时， ∴根为增根，即 ， 代入得 ， 解得 ． 故答案为：． 29．（25-26八年级上·黑龙江大兴安岭·期末）若关于x的分式方程无解，则满足条件的k值为_____． 【答案】或 【分析】本题考查了分式方程无解，理解分式方程无解的含义是解题的关键． 分式方程无解的情况有两种：一是化简后的整式方程无解；二是整式方程的解是增根（使原方程分母为零），分别求解即可． 【详解】解：方程两边同时乘以最简公分母 ，得： 整理得： 移项得： 当 即 时， 方程左边为 ，右边为 ，即 ，矛盾，整式方程无解，故原分式方程无解， 当 时，， 若解为增根，则 或 ， 当 时，，解得 ，即 ，得 ，不成立，无解， 当 时，，解得 ，即 ，整理得 ，所以 ，此时解为增根，故原方程无解， 综上，满足条件的 值为 或 ． 故答案为： 或 ． 30．（25-26八年级上·河北邯郸·期末）若关于x的方程无解，则m的值______． 【答案】，， 【分析】本题考查分式方程的解，熟练掌握分式方程的解的定义是解题的关键． 分式方程无解的情况有两种：整式方程无解或整式方程的解为增根．先化为整式方程，再分别讨论系数为0时整式方程无解，以及解为增根1或2的情况． 【详解】解：方程两边同乘最简公分母，得 整理得 移项得 当且时，整式方程无解 解得； 当整式方程的解为增根时，原方程无解， 增根为或 若，代入整式方程得 解得； 若，代入整式方程得 解得； 综上，的值为，，． 题型七 分式方程解的情况参数易错问题（共5小题） 31．（25-26八年级上·甘肃武威·期末）已知关于x的方程解为正数，则k的取值范围是______． 【答案】且 【分析】本题考查了分式方程的解，解题的关键是熟练运用分式方程的解法． 先解分式方程，得到解 ，再根据解为正数和分母不为零的条件，列出不等式和不等关系求解． 【详解】解：， 方程化为 ． 两边同乘 ，得， 即， 所以， 解得． 由于解为正数， 故， 解得． 又因为， 所以， 即． 因此，k的取值范围为且． 故答案为：且． 32．（25-26八年级上·湖北武汉·期末）关于的分式方程的解为非负数，则所有满足条件的正整数的值之和为____________． 【答案】 14 【分析】本题考查根据分式方程解的情况求参数，熟练掌握解分式方程是解题的关键． 先解分式方程，得到解的表达形式，再根据解为非负数和分母不为零的条件确定的取值范围，最后求满足条件的正整数的和． 【详解】解：分式方程，方程两边同时乘以， 得， 整理得， 解得． 由于解为非负数，即，且分母（即）， 因此且． 解得且． 又∵为正整数， ∴． 这些值的和为． 故答案为：14． 33．（25-26八年级上·内蒙古乌兰察布·期末）已知关于的分式方程有整数解，则满足条件的所有整数的和为________ ． 【答案】 【分析】本题主要考查解分式方程，掌握解分式方程的方法是解题的关键． 解分式方程，用含的代数式表示，根据方程有整数解求出的所有值，再去掉产生增根的的值，再求出满足条件的所有整数的和即可． 【详解】解：原方程化为， 去分母得， 整理得， 解得 ∵方程有整数解， ∴为整数，且， ∴为的约数，即 ∴ 当时，，为增根，舍去， ∴满足条件的整数为， 和为， 故答案为：． 34．（25-26八年级上·湖南湘西·期末）若关于x的方程的解为负数，则a的取值范围是______． 【答案】且 【分析】本题主要考查分式方程的解、解分式方程、不等式的解法等知识点，解分式方程需要考虑分母不为零的条件是解题的关键． 先解分式方程得到，再根据解为负数列不等式，解得：，并排除使分母为零的a的值，进而确定a的取值范围． 【详解】解：方程两边同乘，得： ， 展开并化简： 移项整理：，解得： ∵关于x的方程的解为负数， ∴，解得：， 又∵分母， ∴，即， ∴且， ∴且． 故答案为：且． 35．（25-26九年级上·山东烟台·期末）已知是关于的分式方程，若该方程的解为正数，求的取值范围_____． 【答案】且 【分析】本题主要考查了根据方程解的情况求参数，先化简分式方程，得到，再根据解为正数和分母不为零的条件，列出不等式求解的取值范围即可． 【详解】解：， 原方程可变为：， 即， 去分母得：， 解得：， ∵方程的解为正数， ∴， 解得：， ∵， ∴， ∴， 解得：， 综上，且， 故答案为：且． 题型八 不等式组与分式方程综合含参数问题（共5小题） 36．（25-26八年级上·重庆·期末）若关于x的一元一次不等式组的解集为，且关于y的分式方程有正整数解，则所有满足条件的整数a的值之和是________． 【答案】 【分析】本题主要考查了不等式组的解集和分式方程的正整数解的问题，读懂题意，正确解不等式组和分式方程是做题的关键．首先根据不等式组的已知解集求出的取值范围，然后利用分式方程的正整数解求出的取值范围，最后结合两个条件即可得出答案． 【详解】解：解不等式组： 解第一个不等式，可得， 解第二个不等式，可得， 又不等式组的解集为， ，即； 解分式方程： 可化为 ， 两边乘（）得，，即； 因为要求为正整数且， 所以且，即且， 同时为偶数，故为奇数， 结合，可得满足条件的整数为、、、， 故和为． 故答案为：． 37．（25-26八年级上·重庆·期末）若关于的不等式组有解且最多有3个偶数解，且关于的分式方程的解为非负整数，则所有满足条件的整数的和是___________． 【答案】2 【分析】本题主要考查了根据不等式组的解集情况求参数，根据分式方程的解的情况求参数，首先解不等式组中的两个不等式，利用最多有3个偶数解的条件确定a的取值范围；然后解分式方程，得到分式方程的解，并利用非负整数解的条件确定a的取值；最后综合两个条件得到满足条件的整数a并求和． 【详解】解：解不等式， 不等式的两边同时乘以6得， 解得， 解不等式得， ∵关于的不等式组有解且最多有3个偶数解， ∴ ∴， 解分式方程： 方程两边同时乘以得， 解得， ∵关于的分式方程的解为非负整数， ∴是非负整数， ∴，且a是偶数， ∴，且a是偶数， 又∵原分式方程不能有增根， ∴， ∴， ∴， ∴， 综上所述，满足条件的整数a的值可以为0和2， ∴所有满足条件的整数的和是， 故答案为：2． 38．（25-26八年级上·重庆·期末）若关于的分式方程的解为非负数，关于的一元一次不等式组有解且最多有个整数解，则所有满足条件的整数的值的和是_____． 【答案】 【分析】本题考查分式方程，一元一次不等式组，先解分式方程得到与的关系，根据解为非负数确定的范围；再解不等式组，根据有解且最多有个整数解确定的范围；综合两个范围得到整数的值并求它们的和．掌握一元一次不等式组的整数解的定义以及分式方程的解法是解题的关键． 【详解】解：将分式方程 去分母得：， 即， ∵关于的分式方程有解， ∴且， 解得：， ∵关于的分式方程的解为非负数， ∴，且， ∴且， ∵不等式组 ， 解不等式①，得：， 解不等式②，得：， ∵关于的一元一次不等式组有解且最多有个整数解， ∴， ∴， 综上所述，的取值范围是且， ∴整数可取，，，，，且， ∴所有满足条件的整数的值的和是． 故答案为：． 39．（25-26八年级上·江西南昌·期末）若关于的不等式组有且只有3个整数解，且关于的分式方程的解为非负整数，则符合条件的所有整数的和为___________． 【答案】4 【分析】本题主要考查已知不等式组解集求参数，已知分式方程解求参数，先解不等式组，得到解集范围，根据有且只有3个整数解，确定m的取值范围；再解分式方程，得到x关于m的表达式，根据解为非负整数且不为增根，确定m的值；最后求满足条件的整数m的和． 【详解】解：解不等式组： 由，得； 由，得． 所以不等式组的解集为． 因为有且只有3个整数解，所以整数解为1，2，3，故， 解得，所以整数m的值为2，3，4，5． 解分式方程： 方程化为， 解得． 由解为非负整数且， 所以且为整数，且， 即且是3的倍数且． 当时，不是整数； 当时，不是整数； 当时，符合要求； 当时， 不是整数． 所以符合条件的整数m只有4，故和为4． 故答案为：4． 40．（25-26八年级上·重庆渝北·期末）若关于的不等式组有且仅有3个整数解，且关于的分式方程有非负整数解，则所有满足条件的整数的值之和是_____． 【答案】0 【分析】本题考查解不等式组和解分式方程，准确的计算是解决本题的关键． 先解不等式组，解得取的整数，再解分式方程，根据分式方程的解，确定的取值范围，最后综合两个取值范围，即可解题． 【详解】解：， ∴， 不等式组有且仅有3个整数解， ， ∴， 由题意得， 解得， 关于的分式方程有非负整数解， 有， 解得，即， ∴， 解得，且为2的倍数，为整数， 综上所述，可取，1， 则所有满足条件的整数的值之和是， 故答案为：0． 题型九 解分式方程忘记检验易错问题（共5小题） 41．（25-26八年级上·黑龙江鹤岗·期末）解方程 (1)； (2)． 【答案】(1) (2)分式方程无解 【分析】（1）根据解分式方程的步骤计算即可得出结果； （2）根据解分式方程的步骤计算即可得出结果． 【详解】（1）解：去分母可得：， 去括号可得：， 移项可得：， 合并同类项可得：， 检验，当时，， ∴分式方程的解为； （2）解：将方程整理可得：， 去分母可得：， 去括号可得：， 移项可得：， 合并同类项可得：， 检验，当时，， ∴分式方程无解． 42．（25-26八年级上·山东临沂·期末）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)无解 (2) 【分析】（1）先将方程两边乘转化为整式方程，再解整式方程，注意检验是否为原方程的根； （2）先将方程两边乘转化为整式方程，再解整式方程，注意检验是否为原方程的根． 【详解】（1）解： 方程两边乘，得， 解得， 检验：当时，， 所以，原分式方程无解； （2）解： 方程两边乘，得， 解得， 检验：当时，， 所以，原分式方程的解为． 43．（25-26八年级上·湖南常德·期末）解方程： (1)； (2)5． 【答案】(1)无解 (2) 【分析】（1）先变形，再方程两边同乘(，将分式方程化为整式方程求解即可； （2）先变形，再方程两边同乘，将分式方程化为整式方程求解即可． 【详解】（1）解： ， 方程可化为， 方程两边同乘(，得， 解得， 检验：当时，， 所以是分式方程的增根， 所以原分式方程无解； （2）解：， 方程可化为， 方程两边同乘，得， 解得， 检验：当时，， 所以原分式方程的解是． 44．（25-26八年级上·江西宜春·期末）解方程 (1)； (2)． 【答案】(1) (2)无解 【分析】本题考查了解分式方程． （1）方程两边同乘最简公分母，化为整式方程，解方程，并检验，即可求解； （2）去分母 方程两边同乘最简公分母，化为整式方程，解方程，并检验，即可求解． 【详解】（1）解： 方程两边同乘最简公分母，得： ， 解得： 当时，，因此是原方程的解． （2）解： 方程两边同乘最简公分母，得： ， 解得 当时，，因此是增根，原方程无解． 45．（25-26八年级上·四川绵阳·期末）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解分式方程，解题关键是熟练掌握解分式方程的一般步骤，注意最后一定要检验． （1）先对分母分解因式，并写成含有的形式，然后方程两边同乘最简公分母，把分式方程化成整式方程，解方程求出x，最后进行检验即可； （2）方程两边同乘，把分式方程化成整式方程，解方程求出x，最后进行检验即可． 【详解】（1）解：， ， ， 方程两边同乘，得：， 解得， 检验：当时，， ∴是原分式方程的解； （2）解：， 方程两边同乘，得：， ， 整理得：， 解得， 检验：当时，， ∴是原分式方程的解． 题型十 分式化简求值中取值易错问题 （共5小题） 46．（25-26八年级上·山东临沂·期末）先化简，然后从0，1，2，3中选取一个合适的数代入求值． 【答案】， 【分析】先计算括号内的分式的减法运算，再计算除法运算，然后根据分式有意义的条件得到，，，然后将代入求解． 【详解】解： ， ∵分式有意义， ∴，， ∴，， ∵从0，1，2，3中选取一个合适的数 ∴， ∴原式． 47．（25-26九年级上·山东烟台·期末）先化简，再求值：，请自己选取一个你喜欢的a的值代入求得该代数式的值． 【答案】化简为，当时，值为 【分析】本题考查了分式的化简求值．原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把的值代入计算即可求出值． 【详解】解： ， 当时，原式． 48．（25-26八年级上·湖南常德·期末）先化简：，再从、0、1中选取一个合适的数作为的值代入求值． 【答案】；当时值为 【分析】本题考查了分式的化简求值，掌握分式混合运算法则是关键．先计算括号内的，再计算除法化简原式，然后根据分式有意义的条件可得且，可选择代入化简后的结果，即可求解． 【详解】解： ， 由题意，分式有意义，则且，解得且 且， 当时， 原式， 49．（25-26八年级上·湖南·期末）先化简，从中选取一个合适的整数作为值代入，求出代数式的值． 【答案】，当时，原式 【分析】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 括号内先通分，再将除法转化为乘法，约分即可化简，再选择符合题意的值代入计算即可得出结果． 【详解】解：原式 ， 或时分式无意义， 不能是1或， 当时，原式． 50．（25-26八年级上·山东聊城·期末）先化简：，再从，，，四个数中选一个你喜欢的数代入求值． 【答案】； 【分析】本题考查分式的化简求值，先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再选取合适的的值代入进行计算即可．掌握分式混合运算的法则是解题的关键． 【详解】解： ， ∵，，， ∴，，， 当时，原式． 题型十一 直角三角形中用HL证全等易错问题（共5小题） 51．（25-26八年级上·上海·期末）如图，已知，，垂足为，点在线段上，，． (1)求证：； (2)如果，，，求的长． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）理解题意，结合，，，，运用证明，得，同理得，即可作答． （2）设，由（1）得，则，，结合，，得，解得，最后运用勾股定理列式计算，即可作答． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴； （2）解：设， 由（1）得， ∴ 则， ∵， ∴， ∵， ∴ 解得， ∴， ∵ ∴在中， ∴ 解得（负值已舍去）． 52．（25-26八年级上·江苏泰州·期末）将与按如图所示的方式摆放，延长交于点F，连接，其中，，． (1)证明：； (2)若，，求长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握全等三角形的性质是解答的关键． （1）利用证明，然后利用全等三角形的对应边相等可证得结论； （2）先利用勾股定理求得，证明得到 设， 在中，利用勾股定理列方程求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴，又，， ∴， ∴； （2）解：在中， ∴ ∵ ∴ ∵，， ∴ ∴ 设，则， 在中， 则 解得 ∴的长为． 53．（25-26八年级上·浙江舟山·期末）已知：如图，在中，于点为上一点，连接交于点，满足． (1)求证：． (2)若，且，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查全等三角形的性质与判定、直角三角形的性质、等腰直角三角形的性质与判定及含30度直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质与判定、直角三角形的性质、等腰直角三角形的性质与判定及含30度直角三角形的性质是解题的关键； （1）由题意易得，则有，然后可得，进而问题可求证． （2）由（1）可得，则有，然后可得，进而根据含30度直角三角形的性质可进行求解． 【详解】（1）证明：因为， 所以． 在和中， 因为， 所以， 所以， 因为， 所以， 所以，即． （2）解：因为， 所以， 所以． 因为， 所以． 所以． 54．（25-26八年级上·全国·期末）如图，在四边形中，，E是的中点，连接，，且，． (1)求证：平分； (2)若，，求四边形的周长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、直角三角形全等的判定与性质、平行线的性质；熟练掌握等腰三角形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键． （1）由等腰三角形的性质得出，由证明，得出，即可得出结论； （2）由等腰三角形的性质和全等三角形的性质得出，由平行线的性质得出，求出，由直角三角形的性质得出，由勾股定理得出，即可得出四边形的周长． 【详解】（1）证明：∵，E是的中点， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 即平分； （2）解：∵，E是的中点， ∴，， 由（1）知， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，， ∴四边形的周长． 55．（25-26八年级上·全国·期末）如图，点B，F，C，E在同一直线上，相交于点G，于点B，于点E，且，． (1)求证：； (2)作，垂足为求证：H是的中点． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的三线合一，掌握以上知识是关键． （1）根据题意证明即可求解； （2）根据三线合一即可求解． 【详解】（1）证明：，， ， ， ，即， 在和中， ， ， ∴； （2）解：由（1）可知， ， ， ，即H是的中点． 题型十二 垂直平分线与角平分线判定易错问题（共5小题） 56．（25-26八年级上·福建福州·期末）如图，在中，，的垂直平分线交于点，交于点，连接，． (1)若，求的度数； (2)在（1）的条件下，求证：点在线段的垂直平分线上． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】本题考查垂直平分线判定及性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，掌握好相关知识是关键． （1）由垂直平分线的性质可得，则，结合三角形内角和定理求出的度数； （2）通过证明可得，利用垂直平分线的判定定理可证明． 【详解】（1）解：∵垂直平分， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）证明：∵垂直平分， ∴， 由（1）可得， 在和中， ， ∴， ∴， ∴点在线段的垂直平分线上． 57．（25-26八年级上·江苏泰州·期末）如图，在中，，，的角平分线交于点． (1)是等腰三角形吗？为什么？ (2)连接，是的垂直平分线吗？为什么？ 【答案】(1)是，理由见解析 (2)是，理由见解析 【分析】此题考查了等腰三角形的判定和性质、线段垂直平分线的判定，熟练掌握等腰三角形的判定和性质是关键． （1）根据等边对等角和等腰三角形的判定进行解答即可； （2）根据等角对等边和线段垂直平分线的判定进行解答即可． 【详解】（1）解：是等腰三角形， 理由是：∵， ∴， ∵，的角平分线交于点． ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； （2）是的垂直平分线，理由： ∵， ∴点在线段的垂直平分线上， ∵ ∴点在线段的垂直平分线上， ∴是的垂直平分线． 58．（25-26八年级上·江苏南京·期末）如图，在中，，的垂直平分线，交于点．连接，交于点． (1)求证：为的垂直平分线； (2)若，则__________． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查线段垂直平分线的性质，勾股定理，关键是掌握线段垂直平分线的性质定理及其逆定理，由勾股定理列出关于x的方程． （1）连接，，由线段垂直平分线的性质推出，，得到，而，因此A、P都在的垂直平分线上，判定为的垂直平分线； （2）由线段垂直平分线的性质得到，设，由勾股定理得到，求出，得到． 【详解】（1）证明：连接，， ∵，的垂直平分线，交于点P， ∴，， ∴， ∵， ∴A、P都在的垂直平分线上， ∴为的垂直平分线； （2）解：∵垂直平分， ∴， 设，则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 59．（25-26八年级上·甘肃天水·期末）如图，于E，于F，若． (1)求证：平分； (2)已知，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2)9 【分析】（1）先根据“斜边直角边”证明，可得，再根据角平分线性质定理的逆定理得出答案； （2）先根据勾股定理求出，再根据可得答案． 【详解】（1）证明：∵， ∴． 在和中， ， ∴， ∴． ∵， ∴平分； （2）解：在中，， ∴， ∵， ∴，即， 解得． 60．（25-26八年级上·四川广安·期末）如图，在中，点在边的延长线上，连接，的平分线交于点，连接，过点作于点，若，． (1)求证：平分； (2)若，，，且，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查角平分线的性质与判定、直角三角形两锐角互余、三角形的面积，掌握角平分线的性质与判定定理是解题的关键． （1）过点作于点，于点根据角平分线的性质定理以及角平分线的定义可得、，即可得到，根据角平分线的判定定理即可解答； （2）根据结合已知条件可得的长，最后运用即可解答． 【详解】（1）证明：如图，过点作于点，于点． 平分， ． ，， ， 平分， ， ， 平分． （2）解：，，，且， ， ， ， ， 故的面积为32． 题型十三 等腰（等边）三角形性质和判定易错问题（共5小题） 61．（25-26七年级下·上海金山·期末）如图，，是等边三角形，点在射线上，连接，以为边作等边三角形，边与边相交于点，连接． (1)求证：． (2)连接，当是等腰三角形时，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2)的度数为或 【分析】（1）首先由等边三角形的性质得到，，，然后证明出，即可得到； （2）首先求出，然后根据等腰三角形的定义分三种情况讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵，是等边三角形， ∴，， ∴ ∴ ∴ ∴； （2）解：∵是等边三角形， ∴， ∵ ∴ ∵是等腰三角形 ∴①如图，当时， ∴ ∴ ∴； ②如图，当时， ∴ ∴ ∴ ∴点O在上，即点O和点D重合，不存在，不符合题意； ③如图，当时， ∵ ∴垂直平分 ∴ 综上，的度数为或． 62．（25-26八年级上·河南郑州·期末）已知如图，在中，点D，E分别在和上，平分，． (1)求证：； (2)若，．求的度数； (3)在第（2）问的基础上，若平分，交于点F，则_________． 【答案】(1)证明见详解 (2) (3) 【分析】（1）根据角平分线的定义得到，再结合已知条件，通过等量代换得到，最后根据平行线的判定定理即可证明； （2）先根据角平分线的定义，三角形内角和定理和已知条件求出的度数，再根据平行线的性质求出和的度数，最后利用角的和差关系求出的度数； （3）利用角平分线的定义结合已知条件求出的度数，再由，根据三角形内角和定理求出的度数． 【详解】（1）证明：∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴． （2）解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， 在中，， 解得， ∵， ∴，， ∴． （3）解：如图，作的角平分线交于点F， 由（2）知，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 63．（25-26八年级上·四川泸州·期末）已知是等边三角形，点D是的中点，点E在射线上，点F在线段上，． (1)如图1，若点F与点B重合， ①求证：； ②当的面积为S时，用含S的代数式表示的面积． (2)如图2，若点E在线段上，当时，求的值． 【答案】(1)①见解析；②的面积为 (2)4 【分析】（1）①利用等边三角形的性质和三角形的内角和定理求出相关角的度数，即可得证； ②根据等边三角形的性质得出，，，根据含30度角的直角三角形的性质得出，从而得出，即可得出答案； （2）过点D作，构造全等三角形，将和转化到同一直线上即可解答． 【详解】（1）①证明：是等边三角形，点D是的中点， ∴，， ∴， ，点F与点B重合， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； ②解：是等边三角形，点D是的中点， ∴，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）解：过点D作交于点G， 是等边三角形， ， ， ，， 是等边三角形， ， 点D是的中点， ， ， ，， ， ， ， ，， ， ， ， ， ． 64．（25-26八年级下·湖南衡阳·期末）如图，在中，，，，若动点从点出发，按的路径运动，且速度为，设出发的时间为，连接、． (1)出发后，求的长； (2)当为何值时，为等腰三角形？ (3)另有一点，从点出发，按的路径运动，且速度为，若P、Q两点同时出发，当P、Q中有一点到达终点时，另一点也停止运动，连接．当为何值时，直线把的周长分成相等的两部分？ 【答案】(1) (2)或或或 (3)或 【分析】（1）先利用勾股定理求出，再求出发后的长，再次利用勾股定理求解即可； （2）分情况讨论：当点P在上时，，及过点C作于点D，求出此时的值；当点P在上时，及的情况下，此时的值； （3）设点P运动的路程为，点Q运动的路程为，分两种情况讨论：当P、Q相遇前和P、Q相遇后，此时和的长，再根据直线把的周长分成相等的两部分列方程求解即可． 【详解】（1）解：在中，，由勾股定理得：， 动点从点出发，按的路径运动，且速度为， 出发后，， 如图①： 在中，，由勾股定理得：； （2）解：分情况讨论： 如图②，当点P在上时，，此时， 当时，为等腰三角形； 如图③，当点P在上时，，， 点P运动的路程为, ， 当时，为等腰三角形； 如图④，当时，过点C作于点D， 的面积为：， 即， 解得， 在中，由勾股定理得：， ， 点P运动的路程为, ， 当时，为等腰三角形； 如图⑤，时，， 、， ， ， ， 点P运动的路程为, ， 当时，为等腰三角形； 综上所述，当为或或或时，为等腰三角形； （3）解：设点P运动的路程为，点Q运动的路程为， 如图⑥，当P、Q相遇前， ， 直线把的周长分成相等的两部分， ， 解得； 如图⑦，当P、Q相遇后，当点P在上，点Q在上时，，， 直线把的周长分成相等的两部分， ， 解得，此时点Q已到达终点C； 综上所述，当为或时，直线把的周长分成相等的两部分． 【点睛】注意数形结合、分类讨论的思想方法的运用． 65．（21-22八年级上·四川成都·期末）已知：中，，D是的中点，延长到点E，使，连接，． (1)如图1，若是等边三角形，，则的长等于 ； (2)如图2，过点B作的平行线交的延长线于点F，连接． ①求证：是等边三角形； ②求证：． 【答案】(1) (2)①见解析；②见解析 【分析】（1）根据已知条件，利用等边三角形的性质，证，然后解直角三角形和即可； （2）①结合已知条件证，然后证，即可求证；②证，将线段转换即可证明结论． 【详解】（1）解：如图1，是等边三角形，， ，， ， ， ， D是的中点， ，， ， ， ∵， ， ， ， ， ； （2）①证明：如图2， ， ，， 在和中， ， ， ， ， ∴是等边三角形； ②证明：如图2， ， ， ， ， 在和中， ， ， ． 题型十四 平行四边形性质和判定易错问题（共5小题） 66．（25-26八年级上·山东济南·期末）如图，在四边形中，点E是的中点，，交于点F，，． (1)求证：四边形为平行四边形． (2)若，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）因为，所以是的中点，而是的中点，根据三角形中位线定理得，即，因为，所以四边形是平行四边形； （2）由是的中点，是的中点，，根据三角形中位线定理，由平行四边形的性质可得，而，，根据勾股定理得． 【详解】（1）证明：点E是的中点， ． ， 是的中位线， ∴， ∴． ∵， 四边形为平行四边形． （2）解：由（1）知是的中位线， ． 四边形为平行四边形， ． ，， ，， ． 【点睛】本题考查三角形中位线定理、平行四边形的判定与性质、化为最简二次根式、勾股定理等知识，推导出，进而证明四边形是平行四边形是解题的关键． 67．（24-25八年级下·陕西渭南·期末）如图，的对角线，相交于点O，平分，分别交，于点E，P． (1)证明：是等腰三角形； (2)连接，若，．求的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质、勾股定理、等腰三角形的判定与性质，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键． （1）依据题意，由平分，可得，再由四边形是平行四边形，可得，故，从而，则，故可判断得解； （2）依据题意，由（1），结合，则，从而，又四边形是平行四边形，可得，进而是的中位线，故可得的长度，求出，进而计算可以得解． 【详解】（1）证明：平分， ， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， 是等腰三角形． （2）解：由（1）知是等腰三角形， 又， 是等边三角形， ， ， ， ， 点E为的中点，， ∵四边形是平行四边形， ∴， 是的中位线，， ，， ， ， 68．（25-26八年级上·山东泰安·期末）【感知】如图1，在中，对角线，相交于点O，过点O的直线分别交边，于点E，F．易证：（不需要证明）． (1)【探究】如图2，在中，对角线，相交于点O，过点O的直线分别交边，的延长线于点E，F．求证：． (2)【应用】如图3，在中，对角线，相交于点O，过点O的直线分别交边，的延长线于点E，F．连接，，若，的面积为1，则的面积为______，四边形的面积为______． 【答案】(1)见解析 (2)3，12 【分析】本题考查平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键． （1）根据平行四边形的性质得到，证得，进而得到； （2）根据题意易得，进而得到，由（1）知，则，同理可得，再利用解答即可． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形 、 在和中 ； （2）解：、 由（1）知 同理可得 故答案为：3；12． 69．（25-26八年级上·吉林长春·期末）如图，在四边形中，，，，，．动点从点出发以每秒个单位的速度沿向终点运动，点从点出发，以每秒个单位的速度沿射线运动，点和点同时出发，当点运动到点时，点也停止运动，设点的运动时间为（秒）（）． (1)_________． (2)当点运动到的垂直平分线上时，求的值． (3)当以点，点，点，点为顶点的四边形是平行四边形时，求的值． (4)如图，作点关于直线的对称点，则当点落在直线上时，直接写出的值． 【答案】(1) (2) (3)或 (4)或 【分析】（1）作，根据矩形的性质求出，，然后用勾股定理计算； （2）由垂直平分线性质得，结合直角三角形，用勾股定理列含的方程，求解得； （3）根据平行四边形“对边相等”，列的绝对值方程，分类讨论的位置解出； （4）由对称性质、平行线性质推得等腰三角形，结合，分类讨论的位置，列方程求． 【详解】（1）解：如图，过点作，则， ，， ，， ， ， ． （2）解：如图，同（1），过点作，则，， 点在的垂直平分线上， ，， 在中，， 则， 化简得，解得． （3）解：点沿射线运动， ， 四边形是平行四边形，， ， ， 当点未到达点时，即，解得； 当点过点后，即，解得． 故或． （4）解：如图，当在上时： 根据对称的性质，可知， ， ， ， ， ， ， 解得； 如图，当在延长线上时： 此时，点已过点，延长于点， 根据对称的性质，可知， ， ， ， ， ， ， ， ， 解得． 故或． 【点睛】本题考查勾股定理，动点的线段表示与分情况讨论，轴对称的性质，平行四边形的判定，用含的式子表示动点轨迹是解题关键． 70．（24-25八年级下·陕西榆林·期末）【问题探究】 （1）如图1，在中，和的平分线，交于边上的点．求证：为的中点； 【问题解决】 （2）如图2，是一个形状为平行四边形的社区公园，点是上一点，连接、，沿和修建景观步道，平分，平分，为花卉区，是休憩草坪区，为健身活动区．为方便游客，在中点设休息驿站，并修建一条连接驿站与大门的观景小道，与交于点，规划师需确定与的数量关系，请你帮忙解答并说明理由． 【答案】 （1）见解析； （2），见解析． 【分析】（1）由平行四边形的性质，结合平行线的性质，可得，，由角平分线的定义，等量代换可得，，等角对等边，等量代换可得，即可证得结论； （2）取的中点，连接，可得，，证明，可得，可得，即可得与的数量关系． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ，， ，， 平分，平分， ，， ，， ，， ， 为的中点． （2）解：，理由如下： 如图2，取的中点，连接， 点为的中点， ，， 同（1）可得，点为中点，即， ，且， ，， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ． 1．已知等腰三角形一个内角为，则该三角形顶角的度数为（    ）． A．或 B． C． D．或 【答案】A 【分析】根据等腰三角形的性质分类讨论，结合三角形的内角和定理进行计算即可． 【详解】解：分两种情况讨论， ①当等腰三角形的底角为时， ∴该三角形的顶角为； ②当等腰三角形的顶角为时，符合题意； 综上，该三角形的顶角为或． 2．若关于x的不等式组无解，则m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先解两个不等式组，再依据不等式组无解可以得出的取值范围． 【详解】解：， 解不等式①，得， 解不等式②，得， ∵不等式组无解， ∴， 解得． 3．若整数使关于的不等式组的解为，且使关于的分式方程的解为正整数，则满足条件的的值之和为（    ） A．12 B．11 C．10 D．9 【答案】A 【分析】先解不等式组，根据已知解集确定a的取值范围，再解分式方程，结合分式方程的解为正整数且不为增根，找出所有符合条件的整数a，计算a的和即可． 【详解】解： 解①得， 解②得， ∵不等式组的解集为 ∴， 解得； 解分式方程，得 ∵分式方程的解为正整数，，是整数且 ∴是正整数，且， ∴ ∴或或 ∴或4或1 ∴满足条件的的值之和为． 4．已知关于的分式方程的解为非负数，则满足条件的所有正整数的值为________． 【答案】5、4、2、1 【分析】利用解分式方程的一般步骤求得分式方程的解，由题意得到不等式；分式方程有可能产生使分母为0的增根，所以原方程的解不等于1，由以上两个条件即可得出答案． 【详解】解：去分母，得：， 移项，合并同类项，得：， ∵解为非负数， ∴， ∴， ∵原分式方程有可能产生增根， ∴， ∴， ∴正整数的值为5、4、2、1． 故答案为：5、4、2、1． 5．若关于的分式方程无解，则的值为____________． 【答案】1或或 【分析】分式方程无解的情况包括整式方程的解为增根，即使最简公分母为零．因此，先将分式方程化为整式方程，再令增根代入求解． 【详解】解：原方程化为： ， ：两边同乘最简公分母 ，得 ， 整理得 ：，即 ， 解得：． 方程无解时，整式方程的解为增根，即 或 ． 当 时，代入得 ，解得 ， 或 ； 当 时，代入得 ，解得 ，． 故答案为：或或． 6．关于x的不等式组． （1）当时，该不等式组的解集是________； （2）若不等式组有5个整数解，则a的取值范围是________． 【答案】 【分析】先解出原不等式组中的两个不等式解集分别为：，， （1）把代入解集中，解不等式组即可； （2）根据题意得，不等式组有且只有5个整数解，所以确定出的值，只能取，再写出实数的取值范围即可． 【详解】解：先解不等式组中的两个不等式， 解不等式， 展开得， 移项合并同类项得， 解不等式， 两边同乘6去分母得， 展开整理得， 解得， 因此不等式组的解集为. （1）当时，代入得， 因此不等式组的解集为. （2）若不等式组有5个整数解，由可知，5个整数解依次为， 因此可得不等关系， 不等式三边同时加2得， 三边同时除以3得. 7．解方程： (1)． (2)． 【答案】(1) (2)无解 【分析】根据解分式方程的步骤去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1并检验即可． 【详解】（1）解：去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，解得， 时，， 故原方程的解为； （2）解：去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，解得， 当，， 故原方程无解． 8．先化简，再从中选一个适合的整数代入求值． 【答案】，当时，原式 【详解】解： ， ∵，， ∴，，， ∴当时，原式． 9．如图，在中，点E在边上，点F在边上，且． (1)若，求证：四边形是平行四边形； (2)若，求的面积； (3)在（2）的条件下，若E为的中点，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）证明，结合可得结论； （2）如图，过作于，求解，再进一步求解即可． （3）利用平行四边形的性质推导面积即可． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，即， 又， ∴四边形是平行四边形． （2）解：如图，过作于， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的面积为． （3）解：∵在中，点E在边上，点F在边上，且． ∴， ∴四边形是平行四边形． ∴， ∴， ∵为中点， ∴四边形面积为平行四边形面积的一半， ∴． 10．如图1，在中，于点． (1)求的长； (2)如图2，若点是线段延长线上的一点，作于点，交于点，连接，且． ①求证：是等腰三角形： ②求的长． 【答案】(1) (2)①见解析；② 【分析】（1）先求解，，再进一步利用勾股定理求解即可； （2）①先证明，结合，可得，进一步可得结论；②证明，可得，求解设，则，再进一步求解即可． 【详解】（1）解： ， ， ， ， 在中，， ， 在中，， ． （2）（2）①， ， ， ， ， ， ， 是等腰三角形． ②， 设的高为， ， ， ， 在中，， 设，则， 即， 解得， ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 专题09期末真题易错百练通关（80题14大易错题型) 真题实战，百练通关 选填易错 解答易错 题型1等腰三角形多解易错问题 题型9解分式方程忘记检验易错问题 题型2直角三角形多解易错问题 题型10分式化简求值中取值易错问题 题型3由不等式组的解集情况求参数间题 题型11直角三角形中用皿证全等易错问题 题型4由不等式组中整数解的情况求参数问题 题型12垂直平分线与角平分线判定易错间题 题型5分式方程的增根求参数易错问题 题型13等腰（等边）三角形性质和判定易错问题 题型6分式方程无解求参数易错问题 题型14平行四边形性质和判定易错问题 题型7分式方程解的情况参数易错问题 题型8不等式组与分式方程综合含参数问题 题型一等腰三角形多解易错问题（共5小题） 1.(25-26八年级上·福建漳州期末)如图，在ABC中，∠B=90°，AB=8,BC=6,点P在AC上， 当点P与ABC中的两个顶点构成等腰三角形时，CP的长为· B 2.(25-26八年级上陕西西安期末)如图，ABC中，∠ACB=90°，点E、F分别是边AB、AC上的动 点，将ABC沿EF折叠，使点A落在直角边BC上的D点处，如果折叠后CDF与BDE均为等腰三角 形，那么∠B= C 折叠 3.(25-26八年级上河南周口期末)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=12cm,AB=13cm,点P从 点A出发，以2cms的速度沿路径A→B行进，到达点B后停止，设移动时间为t(s),当△BCP是以BC为 腰的等腰三角形时，t= S. 1/15 命学科网·上好课 www.ZX×k.com 上好每一堂课 B P C 4.(25-26八年级上河北石家庄期末)如图，ABC中，AB=BC=AC=12cm,现有两点M、N分别 从点A、B同时出发，沿三角形的边运动.已知点M的速度为lcm/s,点N的速度为2cm/s.设点M、N运 动12s后停止运动，则其中运动 S时，△AMN为直角三角形. B 5.(25-26九年级上河南开封期末)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=10,AC=8,点E、F 分别在AB、BC上，把△BEF沿EF折叠，点B恰好落在AC边上的点D处.若ADE是以DE为腰的等 腰三角形，则BE的长为 D E --->B 题型二直角三角形多解易错问题（共5小题） 6.(25-26八年级上·江西赣州期末)如图，在RtAABC中，∠C=90°，∠B=48°，若以BC为一边画 等腰三角形，且使它的第三个顶点在边AB或AC上，则画出的等腰三角形的顶角的度数为 B 7.(25-26七年级上河南平顶山期末)如图，在ABC中，∠ACB=90°，∠B=60°，CD平分∠ACB,从 点C画射线CP交AB于点E,当LPCD=20°时，∠AEC的度数为一· 2/15 命学科网·上好课 www.ZX×k.com 上好每一堂课 D B 8.(25-26八年级上江西南昌期末)在钝角ABC中，∠B=40°，过点A作一条直线，将ABC分成两 个新的三角形.若这两个三角形中，一个是直角三角形，另一个是等腰三角形，则∠C的度数为 9.(24-25七年级下·河南南阳·期末)如图，在ABC中，∠ABC=90°，∠CAB=30°，D是边AB上的一 个动点，连接CD,将△CDB沿着CD翻折得到aCDE,当DE与ABC的一边垂直时，LCDB=一· 10.(25-26八年级上河南新乡期末)小华用一张直角三角形纸片玩折纸游戏，如图1，在Rt△ABC中， ∠ACB=90°，∠B=30°，第一步，在AB边上找一点D,将纸片沿CD折叠，点A落在A处，如图2；第 二步，将纸片沿CA'折叠，点D落在D'处，如图3.当点D'恰好落在原直角三角形纸片的边上时， ∠A'CD'的度数为 图1 图2 图3 题型三由不等式组的解集情况求参数问题（共5小题） x+5<5x+1 11.(25-26八年级上山东聊城期末)若关于x的不等式组 有解，则m的取值范围是 x-m≤2 5(x-1>5 12.（25-26八年级下·全国期末)若关于x的不等式组 的解集是x>a,则a的取值范围是 a-x<0 3/15 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 5x<3x+2a 13.(24-25七年级下·云南丽江期末)若关于x的不等式组 4x-1<3x-1 的解集为x<3,则a的取值 范围是 x+4>3a+5 14.(24-25七年级下·青海海北期末)已知关于x的不等式组 的解集为x>2,则a的取值范 2x>4 围是 15. （2425八年级上河南周口期末)(1)关于x的分式方程3x-++1-1无解，则a=一 x-33-x y+9≤2y+2) (2)若(1)中的方程的解为正数，且关于y的不等式组 2y-a>1 的解集为y≥5，则满足条件的 3 整数a的值之和为· 题型四由不等式组中整数解的情况求参数问题（共5小题） 2x≤6有且只有3个整数解，则m的取值范围 x>m 16.（25-26八年级上山东济南期末)关于x的不等式组 为 17.(25-26八年级上四川成都期末)关于x的不等式组{3+2x≤3 x-a>0 且只有三个整数解，则a的取值范 围是 2x-a<0 18.(25-26八年级上重庆期末)关于的不等式组7-6：≤8有且只有3个整数解，则满足条件的整数 2 a的和为 19.(24-25七年级下·四川资阳期末)已知关于x的不等式组 2x+2<a+x+2有5个整数解，则a的取 3x-5>x-1 值范围是 3 20.(24-25七年级上辽宁盘锦期末)已知关于x的不等式组 x> x-1 4的整数解有且只有2个，则m的 2x+1≤m 取值范围是 题型五分式方程的增根求参数易错问题（共5小题） 21.(25-26八年级上河南许昌期未)若关于x的分式方程2，++a-1有增根，则a= x-33-x 4/15 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 22. (25-26八年级上河南周口期末)若关于x的分式方程x。 k=3有增根，则k= x-22- 23. (2525八年级上满商益即别未)若分式方程，一=2-二有地限，则a的值为 x-3 24.(25-26八年级上山东威海期末)若分式方程L,+2=红- x-2 有增根，则k的值是 x-2 25。(2526七年级上上海期末)若关于x的方程，34+4206有增根，则m的能为 x-4x+4x2-16 题型六分式方程无解求参数易错问题（共5小题） 26。(25-26八年级上山东日照期末)若关于x的分式，2+x,=3无解，则a的值是 2-x'x-2 27,25-26八年级上湖北州期末)若关于x的分式方程二3，无解，则m的值是 x-4 28.（25-26八年级上陕西商洛期末)若关于x的分式方程2，++m=2无解，则m=一 x-33-x 29. (2526八年级上黑龙江大兴安岭期末)若关于x的分式方程，。+，。3无解，则满 x-2X+2x2-4 足条件的k值为—· +m。 2m+2 30.(25-26八年级上河北邯郸期末)若关于x的方程 -x-2x-1(x-2无解，则m的值 题型七分式方程解的情况参数易错问题（共5小题） 3.(25-26八年级上甘肃武威期末)已知关于x的方程2 解为正数，则k的取值范围是 1-x 32.(25-26八年级上湖北武汉期末)关于x的分式方程x-3+1=,m的解为非负数，则所有满足条件 x-2 2-x 的正整数m的值之和为 33.(25-26八年级上内蒙古乌兰察布期末)已知关于x的分式方程，+-1 =3有整数解，则满足条 2-xx-2 件的所有整数a的和为· 34.(25-26八年级上湖南湘西期末)若关于x的方程。，+1=X+“的解为负数，则a的取值范围是 x+1x-1 35.(25.26九年级上山东烟台期末)已知Q,+,3=1是关于x的分式方程，若该方程的解为正数，求 x-11-x a的取值范围 5/15 品学科网·上好课 www.ZX×k.com 上好每一堂课 题型八不等式组与分式方程综合含参数问题（共5小题） x-1、1.1 ->-X十 236 36.（25-26八年级上：重庆期末)若关于x的一元一次不等式组 的解集为x>4,且关于 2 a >x+1 2 y的分式方程，品2=2+23 2-y 有正整数解，则所有满足条件的整数α的值之和是 x-1x+1 ≥-1 37.(25-26八年级上·重庆期末)若关于x的不等式组 23有解且最多有3个偶数解，且关 -(x-3-a>0 于y的分式方程a,2=2的解为非负整数，则所有满足条件的整数的和是」 y-11-y 38.(25-26八年级上重庆期末)若关于x的分式方程c-2+,3 x-11-x 1的解为非负数，关于y的一元一次 不等式组 y-1>y-3 2有解且最多有3个整数解，则所有满足条件的整数k的值的和是一· 3y-k≤1 39.(25-26八年级上·江西南昌·期末)若关于y的不等式组{ P~2<+2 3有且只有3个整数解，且关于x 4y+1-m≥0 的分式方程3-，1=m的解为非负整数，则符合条件的所有整数m的和为 1-xx-1 40.（25-26八年级上·重庆渝北期末)若关于x的不等式组3 +1≥+5 6 有且仅有3个整数解， 4x-2)<-2x+a+1 且关于y的分式方程”-a-7=2有非负整数解，则所有满足条件的整数的值之和是 y-11-y 题型九解分式方程忘记检验易错问题（共5小题） 41.(25-26八年级上·黑龙江鹤岗·期末)解方程 (①21 x-4x+19 (21x 1-2 x-22-x 42.(25-26八年级上山东临沂期末)解方程： 0品 4 oa2 5 43.(25-26八年级上·湖南常德期末)解方程： 1 4 (1) x-2x2-49 6/15 命学科网·上好课 www.ZX×k.com 上好每一堂课 @3r2 2 -=5. 44.(25-26八年级上·江西宜春期末)解方程 0g1 x=1 ②11-x+2 3 45.(25-26八年级上·四川绵阳期末)解方程： ①+,3-2 x-12-2x 2x2 (2)2x-52x+5 题型土分式化简求值中取值易错问题（共5小题） 46.(25-26八年级上·山东临沂期末)先化简 9-3-m m-4m+4然后从0,1,2,3中选取 2m3-4m2 3-m 个合适的数代入求值. 47.(25-26九年级上·山东烟台期末)先化简，再求值： 2a-812+a+2, a-2(2-a 请自己选取一个你喜欢 的a的值代入求得该代数式的值， 48.(25-26八年级上·湖南常德期末)先化简： 1-2÷-2a+1,再从-1、0、1中选取一个合适 a+1a+1 的数作为a的值代入求值. 26八年级上南期末)朱化简x中+x++,从-2≤x≤1中选取一个合适的整 x-1 值代入，求出代数式的值. 50.(25-26八年级上山东聊城期末)先化简：X+6x+9 ÷x-2-5 再从-3，-2,0,3四 x-3x+2 x+2 个数中选一个你喜欢的数代入求值. 题型十一直角三角形中用HL证全等易错问题（共5小题） 51.(25-26八年级上·上海·期末)如图，已知AB⊥BE,AD⊥CF,垂足为D,点C在线段BE上， DF=BE,AE=AF. 7/15 命学科网·上好课 www.ZX×k.com 上好每一堂课 B (I)求证：LBCA=∠DCA: (2)如果CE=4,CF=14,CA=13,求AD的长. 52.(25-26八年级上江苏泰州期末)将Rt△ABC与Rt△DAE按如图所示的方式摆放，延长DE交BC于 点F,连接AF,其中LACB=LDEA=9O°，AD=AB,BC=BF+EF. (1)证明：AE=AC; (2)若AE=5,AD=13,求CF长. 53.（25-26八年级上浙江舟山期末)已知：如图，在ABC中，AD⊥BC于点D,E为AC上一点，连 接BE交AD于点F,满足BF=AC,DF=DC. B (1)求证：BE⊥AC. (2)若∠BAD+∠DAC=75°，且AC=2,求CD的值 54.(25-26八年级上全国·期末)如图，在四边形ABCD中，∠B=90°，E是CD的中点，连接AE,AC ,且AC=AD,AB=AE. B E D (I)求证：CA平分∠BCE; 8/15 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (2)若AD∥BC,CD=2,求四边形ABCD的周长. 55.(25-26八年级上·全国期末)如图，点B,F,C,E在同一直线上，AC,DF相交于点G, AB⊥BE于点B,DE⊥BE于点E,且BF=CE,AC=DF, D G B F H C E (1)求证：∠1=∠2； (2)作GH⊥BE,垂足为H.求证：H是CF的中点. 题型土二垂直平分线与角平分线判定易错问题（共5小题） 56.(25-26八年级上·福建福州期末)如图，在RtAABC中，∠ACB=90°，AB的垂直平分线交AB于点 D,交BC于点E,连接CD,AE. (1)若∠B=30°，求∠CAE的度数； (2)在(1)的条件下，求证：点E在线段CD的垂直平分线上. 57.(25-26八年级上江苏泰州期末)如图，在ABC中，AB=AC,∠ABC,∠ACB的角平分线交于 点0. B (1)△OBC是等腰三角形吗？为什么？ (2)连接A0，,A0是BC的垂直平分线吗？为什么？ 58.(25-26八年级上江苏南京·期末)如图，在ABC中，AB=AC,∠BAC>90°，AB,AC的垂直平分线 I,交于点P,连接AP,交BC于点D. 9/15 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (I)求证：AP为BC的垂直平分线； (2)若BC=6,AD=2,则AP= 59.(25-26八年级上·甘肃天水期末)如图，DE1AB于E,DF1AC于F,若BD=CD,BE=CF. (1)求证：AD平分∠BAC; (2)已知AD=13,DE=5,CF=3,求AB的长. 60.(25-26八年级上·四川广安期末)如图，在ABC中，点D在边BC的延长线上，连接AD,∠ABC的 平分线交AD于点E,连接CE,过点E作EH⊥BD于点H,若∠ACE=34°，∠CEH=56°. F D (I)求证：AE平分LCAF; (2)若AB=8,CD=10,AC=6,且S△BE=16,求△ACD的面积. 题型土三等腰（等边）三角形性质和判定易错问题（共5小题） 61.(25-26七年级下·上海金山期末)如图，∠M0A=90°，△04B是等边三角形，点P在射线0M上， 连接AP,以AP为边作等边三角形APC,边AC与边BO相交于点D,连接BC. M 10/15 命学科网·上好课 www.ZX×k.com 上好每一堂课 (1)求证：AB⊥BC. (2)连接0C,当△OBC是等腰三角形时，求∠0DC的度数. 62.(25-26八年级上河南郑州期末)已知如图，在ABC中，点D,E分别在AB和AC上，CD平分 ∠ACB,LEDC=∠ECD. A B (1)求证：DE∥BC; (2)若LA=60°，DB=DC.求∠ADC的度数： (3)在第(2)问的基础上，若BF平分∠B,交DC于点F,则∠BFC= 63.(25-26八年级上·四川泸州期末)己知ABC是等边三角形，点D是AC的中点，点E在射线BC上， 点F在线段AB上，∠FDE=120°， D B) E 图1 图2 (1)如图1，若点F与点B重合， ①求证：CD=CE; ②当ABC的面积为S时，用含S的代数式表示△DCE的面积. (2)如图2，若点E在线段BC上，当AB=8时，求AF+CE的值。 64.(25-26八年级下.湖南衡阳·期末)如图，在ABC中，∠C=90°，AB=10cm,BC=6cm,若动点P 从点C出发，按C→A→B→C的路径运动，且速度为lcm/s,设出发的时间为s,连接PA、PB. C B B 备用图 (1)出发2s后，求BP的长： 11/15 命学科网·上好课 www.ZX×k.com 上好每一堂课 (2)当t为何值时，△BCP为等腰三角形？ (3)另有一点9，从点C出发，按C→B→A→C的路径运动，且速度为2cm/s,若P、Q两点同时出发， 当P、Q中有一点到达终点时，另一点也停止运动，连接P?.当t为何值时，直线PQ把ABC的周长分 成相等的两部分？ 65.(21-22八年级上四川成都期末)已知：ABC中，∠CAB=60°，D是BC的中点，延长AB到点E, 使BE=AC,连接CE,AD B 图1 图2 (1)如图1，若ABC是等边三角形，AD=√阝，则CE的长等于-： (2)如图2，过点B作AC的平行线交AD的延长线于点F,连接EF, ①求证：△BEF是等边三角形； ②求证：CE=2AD. 题型土四平行四边形性质和判定易错问题（共5小题） 66.(25-26八年级上山东济南期末)如图，在四边形ABCD中，点E是AB的中点，DB,CE交于点F, DF=FB,AF∥DC. (1)求证：四边形AFCD为平行四边形 (2)若LEFB=90°，BE=3,EF=1,求BC的长， 67.(2425八年级下·陕西渭南期末)如图，口ABCD的对角线AC,BD相交于点O,AE平分∠BAD, 分别交BC,BD于点E,P. D B (I)证明：△ABE是等腰三角形； 12/15 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (2)连接OE,若AB=二BC=2,∠ABC=60°.求△A0E的面积， 68.(25-26八年级上山东泰安期末)【感知】如图1，在口ABCD中，对角线AC,BD相交于点O,过 点O的直线EF分别交边AD,BC于点E,F.易证：OE=OF(不需要证明). 图1 图2 图3 (I)【探究】如图2，在口ABCD中，对角线AC,BD相交于点O,过点O的直线EF分别交边BA,DC的 延长线于点E,F.求证：OE=OF. (2)【应用】如图3，在ABCD中，对角线AC,BD相交于点O,过点O的直线EF分别交边BA,DC的 延长线于点E,F.连接DE,BF,若AB=2AE,△AOE的面积为1，则△BOE的面积为，四边形 BEDF的面积为一· 69.(25-26八年级上·吉林长春期末)如图1，在四边形ABCD中，AD∥BC,∠C=90°，AD=8, DC=3,BC=12,动点P从点B出发以每秒1个单位的速度沿BC向终点C运动，点Q从点D出发，以每 秒2个单位的速度沿射线DA运动，点P和点Q同时出发，当点P运动到点C时，点Q也停止运动，设点P 的运动时间为t(秒)(1>0). 4 B 图1 图2 (1)AB= (2)当点P运动到AB的垂直平分线上时，求t的值. (3)当以点A,点B,点P,点Q为顶点的四边形是平行四边形时，求的值. (4)如图2，作点P关于直线BQ的对称点P,则当点P落在直线AB上时，直接写出t的值. 70.(24-25八年级下陕西榆林期末)【问题探究】 (1)如图1，在口ABCD中，∠ABC和∠DAB的平分线BE,AE交于CD边上的点E.求证：E为CD的 中点； 【问题解决】 (2)如图2，是一个形状为平行四边形的社区公园ABCD,点E是CD上一点，连接BE、AE,沿BE和 13/15 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 AE修建景观步道，BE平分∠ABC,AE平分∠DAB,△ECB为花卉区，△AEB是休憩草坪区，△DAE为 健身活动区.为方便游客，在AE中点F设休息驿站，并修建一条连接驿站F与大门C的观景小道CF, CF与BE交于点G,规划师需确定BG与EG的数量关系，请你帮忙解答并说明理由， D E D E 图1 图2 2 考题猜想·高分必刷 1.己知等腰三角形一个内角为40°，则该三角形顶角的度数为()· A.40°或100 B.100° C.40° D.40°或70° (x+1-1 2.若关于x的不等式组{ 3<2 无解，则m的取值范围为() 3(x-m<2x+m A.m≤2 B.m<2 C.m≥2 D.m>2 a+xzx-2 3.若整数a使关于x的不等式组 的解为x<2,且使关于x的分式方程-1+a+5=4的 后-2 4-xx-4 解为正整数，则满足条件的☑的值之和为() A.12 B.11 C.10 D.9 4.已知关于x的分式方程m+2=-,3 x-1 =1广的解为非负数，则满足条件的所有正整数m的值为 5.若关于x的分式方程5,3m++6无解，则m的值为 x-x+i-+x- 3(x-a)≥2(x-1) 6.关于x的不等式组 2x-l≤2-X (3 2 (1)当a=0时，该不等式组的解集是 (2)若不等式组有5个整数解，则a的取值范围是 7.解方程： 0+2=2x-2 3 x-1 14/15 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (2)12 4 x-1x+1x2-11 3先化简x+1气，一2再双0<4中达一个适合的整数代人求值 9.如图，在口ABCD中，点E在边AD上，点F在边BC上，且EF∥AB. E D (1)若AE=BF,求证：四边形ABFE是平行四边形； (2)若AB=5,BC=8,∠ABC=60·,求口ABCD的面积； (3)在(2)的条件下，若E为AD的中点，求四边形EFCD的面积. 10.如图1，在ABC中，BA=BC,C0⊥AB于点O,AO=4,BO=6. 0 B 图1 图2 (1)求AC的长； (2)如图2，若点D是线段OB延长线上的一点，作DE⊥AC于点E,交BC于点F,连接CD,且 S OBF=S OCF. ①求证：BDF是等腰三角形： ②求DE的长. 15/15