10.3实际问题与二元一次方程组10.4三元一次方程组的解法 2025-2026学年人教版七年级数学下册

**基本信息** 初中数学同步练，聚焦二元一次方程组应用及三元一次方程组解法，分层设计科学，从基础巩固到创新拓展形成完整知识链。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础测·教材变式|列方程组、三元一次方程组解法、简单应用|以冰糖葫芦串果、端午节旅游等生活情境题，巩固概念与运算能力，体现数学眼光| |能力测·迁移运用|行程、工程、方案设计等综合问题|通过叠放凳子高度、租车购票方案等复杂情境，提升模型意识与推理能力| |思维测·拓展创新|跨情境问题解决|以纸牌魔术原理、环形报数游戏等创新题，发展创新意识与数学语言表达能力|

10.3实际问题与二元一次方程组10.4三元一次方程组的解法 时间：45 分钟 8分值:100分 得分： 基础测·教材变式 一、选择题(每小题3分，共15分) 1.冰糖葫芦的制作步骤分为串果、熬糖、蘸糖、冷却四步.现有山楂和草莓共42个，每根竹签上串的山楂的个数是草莓的2倍，且山楂和草莓刚好串完.设山楂有x个，草莓有y个，则可列方程组为 ( ) A. B. C. D. 2.端午节这天，某旅行社共组织184名游客到丽江和香格里拉旅游，已知到丽江旅游的人数比到香格里拉旅游的人数的2倍还多22.若设到丽江旅游的人数为x，到香格里拉旅游的人数为y，则下列方程组符合题意的是 ( ) A. B. C. D. 3.《九章算术》中记载：今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四.问人数、物价各几何?意思为：几个人一起买东西，如果每人出8钱，就多了3钱；如果每人出7钱，就少了4钱.问一共有多少人?这个物品的价格是多少?设共有x人，物品的价格为y钱，则可列方程组为( ) A. B. C. D. 4.三元一次方程组 消去未知数 c 后，所得的二元一次方程组是 ( ) A. B. C. D. 5.我国古代的“河图”和“洛书”与幻方紧密相关，被认为是三阶幻方的最早形式.现将9个不同的整数填入方格中(如图)，使得每行、每列、每条对角线上的三个数之和都相等，则a和b的值分别是 ( ) A. a=-4,b=3 B. a=-4,b=-3 C.a=4,b=3 D.a=4,b=-3 二、填空题(每小题3分，共12分) 6.一个长方形的周长为42cm，宽比长少3cm，如果设长为x cm，宽为y cm，根据题意，可列方程组为 7.将一副直角三角尺按如图所示的方式摆放，图中α比β的3倍多 则 8.有一个两位数，两个数字之和是8，个位上的数字与十位上的数字互换后所得的新数比原数小36，求原数.设个位上和十位上的数字分别为x，y，则原数表示为 ，新数表示为 ，可列方程组为 . 9.《水浒传》中关于神行太保戴宗有这样一段描述：程途八百里，朝去暮还来.假设某日，戴宗去160里之外的地方打探情报，去时顺风，用了2小时；回来时逆风，用了4小时，则戴宗在无风时的平均速度为 里/时(里为我国非法定计量单位). 三、解答题(共25分) 10.(8分)解下列方程组： 3 11.(8分)阅读滋养内心.某校开展阅读经典活动，小明3天里阅读的总页数比小颖5天里阅读的总页数少6，小颖平均每天阅读的页数比小明平均每天阅读页数的2 倍少10.求小明、小颖平均每天各阅读多少页. 12.(9分)随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，某汽车销售公司计划购进一批新能源汽车进行销售.据了解，1辆A型汽车和2辆B型汽车的进价共计110万元；2辆A型汽车和3辆B型汽车的进价共计175 万元. (1)每辆A，B型号的汽车的进价分别为多少万元? (2)若该公司计划正好用400万元购进以上两种型号的新能源汽车(两种型号的汽车均购买)，则该公司有哪几种购买方案? 能力测·迁移运用 一、选择题(每小题3分，共9分) 13.如图，用12块相同的小长方形地板砖拼成一个宽为 60 cm的大长方形，设每块小长方形地板砖的长为x cm，宽为y cm，根据题意可列方程组为 ( ) A. B. C. D. 14.小明和小亮两人分别从相距24 km的A，B两地同时出发，匀速前行.若同向而行，小亮5 h后追上小明；若相向而行，3h后两人相遇.设小明、小亮两人每小时分别走x km，y km，则可列出方程组为 ( ) A. B. C. D. 15. 小华从家骑车到学校经过一段平路和一段下坡路.在平路、上坡路和下坡路上，他骑车的速度分别为12 km/h,10 km/h,16 km/h.他骑车从家到学校需要30 min;骑车从学校回家需要40 min.设小华从家到学校的平路有x km，下坡路有y km，则依题意可列方程组为 ( ) A. B. C. D. 二、填空题(每小题3分，共6分) 16.某玩具车间每天能生产甲种零件200个或乙种零件100个.3个甲种零件与2个乙种零件能组成一个完整的玩具，问怎样安排生产才能在28天内组装出最多的玩具?若设生产甲种零件x天，生产乙种零件y天，则根据题意可列二元一次方程组为 . 17.塑料凳子轻便实用，在人们生活中随处可见.如图，3个塑料凳子叠放在一起的高度为55 cm，5个塑料凳子叠放在一起的高度为 65 cm，当有10 个塑料凳子整齐地叠放在一起时，其高度为 cm. 三、解答题(共33分) 18.(10分)请你用方程组 编一道具有实际意义的题，使列出的方程组为上述方程组，并求解. 19.(11分)“天下无双圣境，世界第一仙山”的老君山，是河南洛阳5A级旅游景区.某旅行社准备组织游客游览老君山.景区门票票价为100元/人，景区经营方为旅行社推出两种优惠方案，并要求只能从中选择一种优惠方案进行购票. 方案一：所有门票一律九折； 方案二：如果人数超过75，那么超过的部分门票打七折. (1)若游客人数为x(x>75),，则方案一的费用为 元，方案二的费用为 元.(用含x的式子表示) (2)①旅行社准备租车送游客去老君山，若单独租用45座的客车若干辆，则刚好坐满；若单独租用30座的客车，则需多租2辆，且余15个空座位，求该旅行社共有多少名游客游览老君山.(司机不占用客车座位数) ②在①的条件下，旅行社选择哪种优惠方案购买门票更省钱? 思维测·拓展创新 20.(12分)(1)小亮给同学们表演纸牌魔术.他请一名同学从一副不含大小王的扑克牌中任意抽取一张牌.将这张牌上的数字(A代表数字1，J代表数字11，Q代表数字12，K代表数字13)乘5，再加上4，再乘2，再减去12，然后加上抽出纸牌花色的代号数字，其中黑桃的代号是1，梅花的代号是2，红桃的代号是3，方块的代号是4，最后这名同学说出运算的结果是78.小亮迅速说出这名同学抽出的纸牌是梅花8.请借助方程说明其中的原因. (2)甲、乙、丙、丁、戊五名同学围成一圈在讲台上玩游戏.游戏的规则是每名同学心中想一个数，并将所想的数报给左右两边和自己相邻的同学，每名同学将其他两名同学报来的数求和后说出结果，最终得到的结果如图所示，请大家利用方程分析甲同学心中所想的数是多少. 1. B∵山楂和草莓共42个，每根竹签上串的山楂的个数是草莓的2倍， 2. A根据到丽江旅游的人数为x，到香格里拉旅游的人数为y，丽江游客数与香格里拉游客数之和为184，到丽江旅游的人数比到香格里拉旅游的人数的2 倍多 22 可得， 3. C根据几个人一起买东西，如果每人出8钱，就多了3钱；如果每人出 7 钱，就少了 4 钱，可以列出方程组 ②③,得3a+3b=3,即a+b=1. ③×3+①,得5a-2b=19, 5. C根据每行、每列、每条对角线上的三个数之和都相等，得 解得 根据题意，得 7.50 由题意,得 解得 8.10y+x 10x+y 依题意，得原数表示为10y+x,新数表示为10x+y. ∵两个数字之和是8,∴x+y=8. ∵新数比原数小36,∴10x+y+36=10y+x, ∴可列方程组为 9.60 戴宗顺风行走的平均速度为160÷2=80(里/时), 戴宗逆风行走的平均速度为160÷4=40(里/时). 设戴宗在无风时的平均速度为x里/时，风速为y里/时. 由题意，得 解得 ∴戴宗在无风时的平均速度为 60里/时. 10.解:(1)①+③,得2x+3z=1.④ 联立②和④，得 19 解得 把x=2代入①,解得y=-1, ∴原方程组的解为 4分 (2)①-②,得x-z=10.④ ③+④,得2x=30, 解得x=15. 将x=15代入①,得15+y=15,解得y=0. 将x=15代入③,得z+15=20,解得z=5, ∴原方程组的解为 8分 11.解：设小明、小颖平均每天分别阅读x页和y页. 由题意，得 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 4分解得 答：小明平均每天阅读8页，小颖平均每天阅读6页.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 8分 12.解：(1)设每辆A型汽车的进价为x万元，每辆B型汽车的进价为y万元. 由题意可得 3分 解得 答：每辆A型汽车的进价为20万元，每辆B型汽车的进价为 45 万元.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯5分 (2)设购进 A型汽车m辆，B型汽车n辆. 由题意可得,20m+45n=400, 7分 ∵m，n均为正整数， ∴m=11,n=4或m=2,n=8, ∴共有两种购买方案. 方案一：购进A型汽车11辆，B型汽车4辆； 方案二：购进A型汽车2辆，B型汽车8辆. 9分 13. B 根据题图可知，大长方形的宽等于1个小长方形的长加上2个小长方形的宽，小长方形的长等于4个小长方形的宽，∴可列方程组为 14. C ∵若同向而行，小亮5 h后追上小明， ∴5y-5x=24. ∵若相向而行，3h后两人相遇， ∴3x+3y=24, ∴根据题意可列方程组为 15. D ∵小华骑车从家到学校需要30 min, ∵小华骑车从学校回家需要 40 min， ∴根据题意可列方程组为 依题意，得 17.90 设1个塑料凳子的高度为x cm，每叠放1个塑料凳子高度增加y cm. 依题意，得 解得 ∴x+9y=45+9×5=90, ∴10个塑料凳子整齐地叠放在一起时的高度为90 cm. 18.解：某校七年级二班共有学生38人，其中男生人数的2倍比女生的人数多1，求这个班男、女生各有多少人.…⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯4分 设男生有x人，女生有y人. 由题意，得 6分 解得 答：男生有13人，女生有25人.(答案不唯一，合理即可) 10分 19.解:(1)方案一的费用为100x×0.9=90x(元), 方案二的费用为 100×75+(x-75)×100×0.7=(70x+2250)元. 故答案为90x,(70x+2 250). 3分 (2)①设旅行社租用45座的客车a辆，则租用30座的客车(a+2)辆，该旅行社共有b名游客游览老君山. 由题意，得 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯6分 解得 答：该旅行社共有135名游客游览老君山. ⋯⋯8分 ②在①的条件下,方案一的费用为90×135=12 150(元),方案二的费用为70×135+2250=11 700(元)。⋯⋯ 10分 ∵12 150>11 700, ∴旅行社选择方案二购买门票更省钱. 11分 20.解:(1)设抽出的纸牌上的数字为x(1≤x≤13,且x为整数)，花色代号为y=1，2，3，4，分别对应黑桃、梅花、红桃、方块). 根据运算规则列方程可得,(5x+4)×2-12+y=78. 化简,得10x+8-12+y=78, 即10x+y=82, ∴10x=82-y.. ∵10x为10的倍数,1≤y≤4, ∴82-y=80,此时x=8,y=2. ∵y=2对应梅花，∴抽出的纸牌是梅花8. 6分 (2)设甲、乙、丙、丁、戊五名同学心中所想的数分别是a，b,c,d,e. 根据游戏规则，得 由②,得c=10-a.由④,得e=16-c=6+a.由①,得b=6-e=-a. 由③,得d=12-b=12+a.把d=12+a代入⑤,得(12+a)+a=18,即2a=6, ∴a=3，即甲同学心中所想的数是3. 12分 学科网（北京）股份有限公司 $