精品解析：福建泉州师范学院附属鹏峰中学2026届高三考前模拟数学试卷

泉州师范学院附属鹏峰中学高三考前模拟数学试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】化简集合，结合交集定义求. 【详解】，， 所以，又， ． 故选：C. 2. 若，则在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】先计算复数，再化简复数，得到，求出，确定复平面内的点的坐标，得到点所在的象限. 【详解】因为，所以，则在复平面内对应的点的坐标为，位于第四象限. 故选：D 3. 物理学中，如果一个物体受到力的作用，并在力的方向上发生了一段位移，我们就说这个力对物体做了功，功的计算公式：（其中是功，是力，是位移）一物体在力和的作用下，由点移动到点，在这个过程中这两个力的合力对物体所作的功等于（ ） A. 25 B. 5 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用条件，先求出两个力的合力及，再利用功的计算公式即可求出结果. 【详解】因为，，所以，又，，所以，故. 故选：A. 4. 设，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据指数函数与对数函数性质判断即可 【详解】因为函数在上单调递增，且， 所以，即， 因为函数在上单调递减，且， 所以，即； 因为函数在上单调递增，且， 所以，即； 所以. 故选：B. 5. 已知正四棱锥的底面边长为6，且其侧面积是底面积的2倍，则此正四棱锥的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意得到斜高，从而得到四棱锥体高，由体积计算公式即可求解. 【详解】如图，在正四棱锥中，为四棱锥的高，为侧面的高， 因为正四棱锥的底面边长为6，且其侧面积是底面积的2倍， 所以，解得， ， 所以， 故选：A. 6. 已知函数在R上单调递减，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分段函数单调递减，需满足每一段函数均单调递减，且分段处左端点函数值大于等于右端点函数值，从而得到不等式，求出答案. 【详解】显然在上单调递减， 要想在R上单调递减， 则，解得. 故选：D 7. 已知函数在上单调递减，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由三角恒等变换化简得出，由求出的取值范围，根据正弦型函数的单调性可得出关于的不等式组，结合可求得的取值范围. 【详解】， 因为，当时，， 因为函数在上单调递减， 所以， 即，解得， 由可得，又因为，，故，则. 因此，实数的取值范围是. 故选：B. 8. 已知圆O：，直线l：，将圆O在l下方的部分沿着l向上翻折，如图，若直线与折叠后得到的两段弧恰有4个交点，则m的值可以是（ ） A. B. 2 C. D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】根据直线与圆的位置关系，结合图象，利用点到直线的距离公式，可得答案. 【详解】由题意知圆O与l交于B，C两点，且，， 当直线过点时，得， 由对称性可知，折叠后的弧BC对应的圆的方程为， 当与劣弧BC相切时，有，所以，其中舍去， 结合图形可知，当时，直线与两段弧恰有4个交点.结合选项知B符合题意. 故选：B. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 已知点为坐标原点，直线与抛物线相交于两点，则（ ） A. B. C. 的面积为 D. 线段的中点到抛物线准线的距离为 【答案】ACD 【解析】 【分析】联立直线的方程和抛物线的方程，化简写出根与系数关系，结合弦长、垂直、三角形的面积，准线等知识确定正确答案. 【详解】联立得，，设， 则，， ∴，. , A选项正确. ，∴不成立，B选项错误； 到直线的距离为， 的面积，C选项正确； ∵，准线方程为∴， 线段AB的中点到抛物线准线的距离为4，D选项正确. 故选：ACD 10. 下列说法中正确的是（ ） A. 某射击运动员在一次训练中10次射击成绩（单位：环）如下：6，5，7，9，6，8，9，9，7，5，这组数据的第70百分位数为8 B. 若随机变量，且，则 C. 若随机变量，且，则 D. 对一组样本数据进行分析，由此得到的线性回归方程为：，至少有一个数据点在回归直线上 【答案】BC 【解析】 【分析】对于A，根据百分位数的定义求解判断即可；对于B，根据二项分布的均值和方差求解即可判断；对于C，根据正态分布的性质求解即可判断；对于D，结合线性回归方程的定义即可判断. 【详解】对于A，将10次射击成绩从小到大排列为：5，5，6，6，7，7，8，9，9，9. 因为，所以这组数据的第70百分位数为，故A错误； 对于B，由， 则，即， 则，故B正确； 对于C，因为， 则， 所以，故C正确； 对于D，数据可能都不在回归直线上，故D错误. 故选：BC. 11. 已知正方体的棱长为，点为的中点，点为底面的边界及其内部任意一点，则下列选项正确的是（ ） A. 点为中点时，平面 B. 点为中点时，过三点作正方体的截面，则截面周长为 C. 与交于，则四面体的外接球的表面积为 D. 当在线段上运动时，四面体体积的最大值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据线面垂直性质和勾股定理可分别证得，，根据线面垂直的判定可知A正确；作出截面图形后，根据长度关系可求得B错误；根据外接球的性质可确定球心位于过点且平行于的直线上，利用可构造方程组求得，代入球的表面积公式可知C正确；以为坐标原点建立空间直角坐标系，利用点到平面距离的向量求法可求得点到平面距离的最大值，结合三棱锥体积公式可求得D正确. 【详解】对于A，由题意知：， 平面，平面，， ，，平面， 平面，又平面，； ，，， ，； ，平面，平面，A正确； 对于B，连接， 分别为中点，，又， ，四点共面， 则过三点的正方体的截面为梯形， ，，， 梯形的周长为，B错误； 对于C，取中点，连接，交于点，连接，过作的平行线 平面，为的外接圆圆心， 四面体的外接球球心在过点的的平行线上， 作，垂足为， 设，则，设四面体的外接球半径为， 由得：，解得：， 即四面体的外接球球心即为点，半径， 四面体外接球表面积，C正确； 对于D，，，， ，； 若三棱锥体积最大，则点到平面的距离最大， 以为坐标原点，正方向为轴正方向可建立如图空间直角坐标系， 则，，，，， 则，，，， 设，则， 设平面的法向量， 则，令，解得：，，， 则点到平面的距离， ，当时，， 四面体体积的最大值为，D正确. 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若是奇函数，则实数___________. 【答案】 【解析】 【分析】利用可求得，验证可知满足题意. 【详解】定义域为，且为奇函数，，解得：； 当时，，， 为上的奇函数，满足题意； 综上所述：. 故答案为：. 13. 设分别是椭圆的左、右焦点，若是该椭圆上的一个动点，则的最小值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】利用向量数量积的坐标表示，椭圆的性质及二次函数的性质即得. 【详解】设，由题可知，则， ∴ ， 又， 所以当时，有最小值，最小值为. 故答案为：. 14. 设为数字1，2，3，4，5，6的一个排列，记三位数，其中，例，则的值大于400的概率为___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据排列排列的性质及题意分析求解即可. 【详解】数字1，2，3，4，5，6的排列数为， 要使的值大于400，则的取值组合为， 其中与的情况数一样，下面只分析其中一类： 当时，从中进行选取，满足即可， 则时，满足条件的情况数为， 时，满足条件的情况数为， 时，满足条件的情况数为； 当时，从中进行选取，此时任意选取均满足题意， 则满足条件的情况数为； 当时，从中进行选取，满足即可， 则时，满足条件的情况数为， 时，满足条件的情况数为， 时，满足条件的情况数为. 综上所述，满足条件的情况数为， 所以的值大于400的概率为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. △ABC的内角的对边分别为,已知△ABC的面积为 (1)求; (2)若求△ABC的周长. 【答案】(1)(2) . 【解析】 【详解】试题分析：（1）由三角形面积公式建立等式，再利用正弦定理将边化成角，从而得出的值；（2）由和计算出，从而求出角，根据题设和余弦定理可以求出和的值，从而求出的周长为. 试题解析：（1）由题设得，即. 由正弦定理得. 故. （2）由题设及（1）得，即. 所以，故. 由题设得，即. 由余弦定理得，即，得. 故的周长为. 点睛:在处理解三角形问题时，要注意抓住题目所给的条件，当题设中给定三角形的面积，可以使用面积公式建立等式，再将所有边的关系转化为角的关系，有时需将角的关系转化为边的关系；解三角形问题常见的一种考题是“已知一条边的长度和它所对的角，求面积或周长的取值范围”或者“已知一条边的长度和它所对的角，再有另外一个条件，求面积或周长的值”，这类问题的通法思路是：全部转化为角的关系，建立函数关系式，如，从而求出范围，或利用余弦定理以及基本不等式求范围；求具体的值直接利用余弦定理和给定条件即可. 16. 已知是函数的一个极值点. （Ⅰ）求； （Ⅱ）求函数的单调区间； （Ⅲ）若直线与函数的图象有3个交点，求的取值范围. 【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）（Ⅲ）的取值范围为 【解析】 【详解】试题分析：（1）先求导，再由是函数的一个极值点即求解；（2）由（2）确定，再由和求得单调区间；（3）由（2）知，在内单调增加，在内单调减少，在上单调增加，且当或时，，可得的极大值为，极小值为，再由直线与函数的图象有个交点则须有求解． 试题解析：（1）因为， 所以，因此 （2）由（1）知， ， ． 当时，， 当时，， 所以的单调增区间是， 的单调减区间是 （3）由（2）知，在内单调增加，在内单调减少，在上单调增加，且当或时， 所以的极大值为，极小值为， 当时， 所以在在三个单调区间直线有的图象各有一个交点，当且仅当， 因此，的取值范围为 考点：（1）函数在某点取得极值的条件；（2）利用导数研究函数的单调性. 17. 如图，在四棱锥中，为矩形，且，，. （1）求证：平面； （2）若（N在S的左侧），设三棱锥体积为，四棱锥体积为，且.求平面SNC与平面ABN所成夹角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据已知求得，进而得，再由线面垂直的判定证明结论； （2）根据已知构建合适的空间直角坐标系，标注出相关点坐标，求出相关平面的法向量，再应用向量法求面面角的余弦值，进而求正弦值. 【小问1详解】 在中，，，， 所以，解得， 所以，所以， 又，为平面内两条相交直线， 所以平面； 【小问2详解】 由（1）知，平面，，所以平面， 又在平面内，所以平面平面， 由在平面内，所以， 在三角形中，，，， 所以，又，所以， 又，又， 所以，又，所以， 取的中点，，可知， 因为平面平面，交线为，又在平面内， 所以平面，如图建立空间直角坐标系, 易得， 所以，， 设平面的法向量为，则，所以， 令，得，即， 设平面的法向量，则，所以， 令，则，即， 设平面与平面所成夹角为， 所以， 所以， 即平面与平面所成夹角的正弦值为. 18. 已知双曲线，直线与双曲线交于，两点，直线与双曲线交于，两点. （1）若直线经过坐标原点，且直线，的斜率，均存在，求； （2）设直线与直线的交点为，且，证明：直线与直线的斜率之和为0. 【答案】（1）1 （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据两点斜率公式，结合点差法即可求解， （2）联立直线与双曲线方程得韦达定理，即可根据向量的坐标运算得数量积,,进而根据等量关系化简即可求解. 【小问1详解】 当直线经过坐标原点时，，两点关于原点对称. 设，，， 于是，. 因为，，三点都在双曲线， 所以，两式作差，，所以 . 【小问2详解】 已知，由题意可知均有斜率， 可设直线，直线，，，，. ，. 联立直线方程与双曲线的方程：. 整理得，， 当时，. ，. 于是， 同理可得，. 因为，所以 整理得，，而，所以. 【点睛】方法点睛：圆锥曲线中的范围或最值或定值问题，可根据题意构造关于参数的目标函数，然后根据题目中给出的范围或由判别式得到的范围求解，解题中注意函数单调性和基本不等式的作用．另外在解析几何中还要注意向量的应用，如本题中根据向量的数量积坐标运算. 19. 在这个科技飞速发展的时代，机器人和AI已应用到国防军事方面，在2024年的珠海航展上，中国“机器狗”升级成“机器狼”闪耀亮相，具备侦察、战斗和综合保障等功能，展现中国四足机器人技术进步，引发国内外关注.升级后的“机器狼”相比之前的“机器狗”有一特殊之处，无论是在平地上还是台阶上，“机器狼”的行进速度都相当之快，动作灵敏.为了展示“机器狼”上台阶的性能，在一个有步的台阶上，假设“机器狼”每次只能上一步或两步台阶，且每次上一步或两步台阶是随机的；记每次上一步台阶的概率为，上两步台阶的概率为；且每次上一步台阶用时，上两步台阶用时. （1）假设，“机器狼”上完这个台阶用时最少为多少秒? （2）若“机器狼”走3次后从地面到达第5步台阶的概率为，当取最大值时，求“机器狼”从地面上到第7步台阶用时最少的概率. （3）若，记“机器狼”从地面上到第步台阶的概率为，其中，证明：数列是等比数列，并求. 【答案】（1） （2） （3）证明见解析， 【解析】 【分析】（1）列出上完步台阶的走法，即可计算时间； （2）依题意可得，利用导数求出函数的单调性，即可求出取最大值时的值，再由相互独立事件的概率公式计算可得； （3）依题意可得，即可得到，即可证明，从而得到，再由累加法计算可得. 【小问1详解】 “机器狼”上完步台阶的走法有： 当时，用时； 当时，用时； 当时，用时； 所以“机器狼”上完这个台阶用时最少为秒； 【小问2详解】 依题意，则， 所以当时，当时， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以当时取得最大值， “机器狼”从地面上到第7步台阶有，，，共4种情况， 则“机器狼”从地面上到第7步台阶用时最少的概率； 【小问3详解】 “机器狼”从地面上到第步台阶，它是由第步台阶上两步到达第步台阶，或由第步台阶上一步到达第步台阶， 记“机器狼”从地面上到第步台阶的概率为， 所以， 所以， 则， 又，， 所以， 所以是以为首项，为公比的等比数列， 所以， 所以 ， 即. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 泉州师范学院附属鹏峰中学高三考前模拟数学试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 若，则在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 物理学中，如果一个物体受到力的作用，并在力的方向上发生了一段位移，我们就说这个力对物体做了功，功的计算公式：（其中是功，是力，是位移）一物体在力和的作用下，由点移动到点，在这个过程中这两个力的合力对物体所作的功等于（ ） A. 25 B. 5 C. D. 4. 设，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 5. 已知正四棱锥的底面边长为6，且其侧面积是底面积的2倍，则此正四棱锥的体积为（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数在R上单调递减，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数在上单调递减，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知圆O：，直线l：，将圆O在l下方的部分沿着l向上翻折，如图，若直线与折叠后得到的两段弧恰有4个交点，则m的值可以是（ ） A. B. 2 C. D. 3 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 已知点为坐标原点，直线与抛物线相交于两点，则（ ） A. B. C. 的面积为 D. 线段的中点到抛物线准线的距离为 10. 下列说法中正确的是（ ） A. 某射击运动员在一次训练中10次射击成绩（单位：环）如下：6，5，7，9，6，8，9，9，7，5，这组数据的第70百分位数为8 B. 若随机变量，且，则 C. 若随机变量，且，则 D. 对一组样本数据进行分析，由此得到的线性回归方程为：，至少有一个数据点在回归直线上 11. 已知正方体的棱长为，点为的中点，点为底面的边界及其内部任意一点，则下列选项正确的是（ ） A. 点为中点时，平面 B. 点为中点时，过三点作正方体的截面，则截面周长为 C. 与交于，则四面体的外接球的表面积为 D. 当在线段上运动时，四面体体积的最大值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若是奇函数，则实数___________. 13. 设分别是椭圆的左、右焦点，若是该椭圆上的一个动点，则的最小值为___________． 14. 设为数字1，2，3，4，5，6的一个排列，记三位数，其中，例，则的值大于400的概率为___________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. △ABC的内角的对边分别为,已知△ABC的面积为 (1)求; (2)若求△ABC的周长. 16. 已知是函数的一个极值点. （Ⅰ）求； （Ⅱ）求函数的单调区间； （Ⅲ）若直线与函数的图象有3个交点，求的取值范围. 17. 如图，在四棱锥中，为矩形，且，，. （1）求证：平面； （2）若（N在S的左侧），设三棱锥体积为，四棱锥体积为，且.求平面SNC与平面ABN所成夹角的正弦值. 18. 已知双曲线，直线与双曲线交于，两点，直线与双曲线交于，两点. （1）若直线经过坐标原点，且直线，的斜率，均存在，求； （2）设直线与直线的交点为，且，证明：直线与直线的斜率之和为0. 19. 在这个科技飞速发展的时代，机器人和AI已应用到国防军事方面，在2024年的珠海航展上，中国“机器狗”升级成“机器狼”闪耀亮相，具备侦察、战斗和综合保障等功能，展现中国四足机器人技术进步，引发国内外关注.升级后的“机器狼”相比之前的“机器狗”有一特殊之处，无论是在平地上还是台阶上，“机器狼”的行进速度都相当之快，动作灵敏.为了展示“机器狼”上台阶的性能，在一个有步的台阶上，假设“机器狼”每次只能上一步或两步台阶，且每次上一步或两步台阶是随机的；记每次上一步台阶的概率为，上两步台阶的概率为；且每次上一步台阶用时，上两步台阶用时. （1）假设，“机器狼”上完这个台阶用时最少为多少秒? （2）若“机器狼”走3次后从地面到达第5步台阶的概率为，当取最大值时，求“机器狼”从地面上到第7步台阶用时最少的概率. （3）若，记“机器狼”从地面上到第步台阶的概率为，其中，证明：数列是等比数列，并求. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $