精品解析：福建宁德第一中学2025-2026学年第二学期高三考前模拟考数学试题

宁德一中2025-2026学年第二学期高三模拟考5 数学试题 出卷人：黄文兼 审卷人：赵春琳 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 3. 在复平面内，把复数对应的向量绕原点沿顺时针方向旋转，则旋转后的向量对应的复数为（ ） A. B. C. D. 4. 已知，，是三个不同的平面，，是两条不同的直线，且，，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 圆与的公共弦长为（ ） A. B. C. D. 6. 为推进“数字适老，智慧生活”，某社区开展AI应用培训活动．现随机抽取一位学员，其每日在线学习积分的取值分别为0，1，2，若，，则（ ） A. 0.1 B. 0.2 C. 0.3 D. 0.4 7. 已知是定义在上的奇函数，的图象关于对称，，则（ ） A. 0 B. C. 3 D. 4 8. 已知正三棱锥的侧棱长为，为线段上一点，，．设三棱锥外接球为球，过点作球的截面，则截面面积的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 函数的图象如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. 函数的最小正周期为 B. C. 取得最小值时， D. 将的图象向左平移个单位长度，所得图象关于原点对称 10. 已知等比数列的公比为q，．若，，则下列说法正确的有（ ）． A. B. C. D. 11. 我们把方程的实数解称为欧米加常数，记为.和一样，都是无理数，还被称为在指数函数中的“黄金比例”.下列有关的结论正确的是（ ） A. B. C. ，其中 D. 函数的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量，其中，在方向上的投影向量是，则________． 13. 某高中举行益智闯关团队赛，共4个关卡，现有包含甲、乙、丙在内的5名选手组团参赛，每一个选手参加一个关卡的闯关，每一个关卡至少一个选手参加，若甲负责第一关，最后一关由2名选手共同完成，且乙、丙不在同一关卡，则不同的参赛方案有______种. 14. 已知，是焦点在轴上的椭圆和双曲线公共的焦点，若椭圆和双曲线在第二象限的交点为，点既在第一象限，又在双曲线上，且，若椭圆的离心率的取值范围为，则双曲线的离心率的取值范围为__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在中，，． （1）求证：为等腰三角形； （2）再从条件①､条件②､条件③这三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一，求的值． 条件①：；条件②：的面积为；条件③：边上的高为3． 16. 在长方体中，，，为棱上一动点. （1）当平面时，求线段的长度； （2）在（1）的条件下，求底面正方形的内切圆上点到平面距离的最大值. 17. 已知函数． （1）已知曲线在处的切线方程为，求和的值； （2）求证：不是函数的极值点； （3）设，，是否存在，使得函数的最小值为2？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 18. 已知过点的双曲线的渐近线方程为.如图所示，过双曲线的右焦点作与坐标轴都不垂直的直线交的右支于两点. （1）求双曲线的标准方程； （2）已知点，求证：； （3）若以为直径的圆被直线截得的劣弧为，则所对圆心角的大小是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由. 19. 某答题闯关游戏，开始时，先给每位参加者赋分3分，并规定：每答一题，答对加1分，否则减1分；当积分为6分时，闯关成功并结束游戏；当积分为0分时，闯关失败，也结束游戏.甲同学参加该游戏，假如他答对每道题的概率均为，且每道题答对与否相互独立.记游戏结束时甲的答题数为. （1）证明：为奇数； （2）当为奇数时，记甲答完第题时积分为4分、2分的概率分别为，，证明：； （3）求的分布列. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 宁德一中2025-2026学年第二学期高三模拟考5 数学试题 出卷人：黄文兼 审卷人：赵春琳 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由解得，又，所以， 因为，所以. 2. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由函数的单调性可知： ，即, 又,故. 3. 在复平面内，把复数对应的向量绕原点沿顺时针方向旋转，则旋转后的向量对应的复数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】法一：根据复数与复平面内向量的关系，结合三角函数关系计算即可得；法二：借助复数的三角形式及其乘法的几何意义计算即可得. 【详解】法一：复数对应的向量为，则， 向量与轴正半轴夹角为， 设该向量绕原点沿顺时针方向旋转后所得向量坐标为， 则，， 即所得向量坐标为，故旋转后的向量对应的复数为； 法二：复数对应的向量绕原点沿顺时针方向旋转后的向量对应的复数为： . 4. 已知，，是三个不同的平面，，是两条不同的直线，且，，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据面面平行的判定定理和性质，结合充分条件和必要条件的定义即可得解. 【详解】由，，若，由面面平行的性质知：， 所以“”是“”的充分条件； 由，，若，则或与相交， 所以“”是“”的不必要条件． 则“”是“”的充分不必要条件. 5. 圆与的公共弦长为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】两圆作差即可求得公共弦的直线，点到直线的距离和勾股定理即可求解. 【详解】已知圆，圆， 两圆方程作差，得到其公共弦的方程为：， 而圆心到直线的距离为， 圆的半径为，所以，所以. 故选：D 6. 为推进“数字适老，智慧生活”，某社区开展AI应用培训活动．现随机抽取一位学员，其每日在线学习积分的取值分别为0，1，2，若，，则（ ） A. 0.1 B. 0.2 C. 0.3 D. 0.4 【答案】B 【解析】 【分析】根据离散型随机变量的期望计算公式列出方程，再由方差公式即可求解． 【详解】由题可设，则，， 所以，解得． 所以． 7. 已知是定义在上的奇函数，的图象关于对称，，则（ ） A. 0 B. C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】由奇函数定义可得，由对称性性质可得，再证明函数为周期为的周期函数，结合周期性性质和奇函数性质求结论. 【详解】因为是定义在上的奇函数， 所以， 因为的图象关于对称， ， 令可得，， 所以，故函数的一个周期为4， 所以． 8. 已知正三棱锥的侧棱长为，为线段上一点，，．设三棱锥外接球为球，过点作球的截面，则截面面积的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 如图以点为原点，的平行线为轴，为轴，建立空间直角坐标系，由，利用坐标运算求得正三棱锥底面边长和高，从而可得外接球半径，又过点作球的截面，当时，截面面积的最小，可得解. 【详解】如图在正三棱锥中，平面，且为的中心，为中线， 如图以点为原点，的平行线为轴，为轴，建立空间直角坐标系， 设，则 所以， 由于，所以，则， 所以， 因为，则 解得， 设，则，则，得， 所以， 过点作球的截面，当时，截面面积的最小， ，所以截面圆半径为， 则面积为. 故选：B 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 函数的图象如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. 函数的最小正周期为 B. C. 取得最小值时， D. 将的图象向左平移个单位长度，所得图象关于原点对称 【答案】AC 【解析】 【分析】由最小正周期公式及图象可判断A；代入点，计算出的值，可判断B；利用三角函数求出取得最小值时的，可判断C；根据平移法则，得到平移后的函数，再根据三角函数的奇偶性的判定可判断D. 【详解】由图象得：，解得，故A正确； 由，，得， 又由图象知，将点 代入中得：  ，即 ， 解得 ， 又因为 ，所以 ，故选项 B 错误； 因为函数 ， 令 ，即 ， 解得 ，故选项 C 正确； 将图象向左平移  个单位，得 ， ，图象不关于原点对称，故选项 D 错误. 故选：AC 10. 已知等比数列的公比为q，．若，，则下列说法正确的有（ ）． A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】由等比数列的性质结合已知条件计算，即可判断各个选项. 【详解】由已知，，C正确； 则，B正确； 又，则，A正确； 则，D错误. 11. 我们把方程的实数解称为欧米加常数，记为.和一样，都是无理数，还被称为在指数函数中的“黄金比例”.下列有关的结论正确的是（ ） A. B. C. ，其中 D. 函数的最小值为 【答案】ABC 【解析】 【分析】对于A：构建，利用导数判断其单调性，结合零点存在性定理分析判断；对于B：对，，取对数整理即可；对于C：设，整理得，结合选项A分析判断；对于D：结合不等式分析可知，当且仅当时，等号成立，结合的零点分析判断. 【详解】对于选项A：构建，则为的零点， 因为， 若，则，可知在内单调递减，且， 所以在内无零点； 若，则，可知在内单调递增， 且，所以在内存在唯一零点； 综上所述：，故A正确； 对于选项B：因为，，即， 两边取对数可得：，故B正确； 对于选项C：设，则，整理得，即， 可得，所以，即，故C正确； 对于选项D：构建，则， 令，解得；令，解得； 可知在内单调递减，在内单调递增， 则，可得，当且仅当时，等号成立， 则， 当且仅当，即时，等号成立， 因为在内单调递减， 可知在内单调递减，且， 可知在内存在唯一零点，即， 所以的最小值为，不为，故D错误； 故选：ABC. 【点睛】方法点睛：对于函数零点的个数的相关问题，利用导数和数形结合的数学思想来求解．这类问题求解的通法是： （1）构造函数，这是解决此类题的关键点和难点，并求其定义域； （2）求导数，得单调区间和极值点； （3）数形结合，挖掘隐含条件，确定函数图象与x轴的交点情况进而求解． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量，其中，在方向上的投影向量是，则________． 【答案】 【解析】 【详解】根据投影向量的定义：向量在方向上的投影向量为 ​, 则由题意可得： ， 因为，所以. 13. 某高中举行益智闯关团队赛，共4个关卡，现有包含甲、乙、丙在内的5名选手组团参赛，每一个选手参加一个关卡的闯关，每一个关卡至少一个选手参加，若甲负责第一关，最后一关由2名选手共同完成，且乙、丙不在同一关卡，则不同的参赛方案有______种. 【答案】10 【解析】 【分析】先计算甲负责第一关时的情况，再减去乙、丙在同一关卡的情况即可. 【详解】已知甲负责第一关，从剩余4人中选2人去第四关，共种选法，剩下2人全排列去第二、三关，共种排法，总方案数为 6 × 2 = 12， 不符合条件（乙丙同关卡）的情况：因为第二、三关都只有1个位置，乙丙只能同时在第四关，此时剩下2人全排列去第二、三关，共种， 因此符合条件的方案数为 12 − 2 = 10 . 14. 已知，是焦点在轴上的椭圆和双曲线公共的焦点，若椭圆和双曲线在第二象限的交点为，点既在第一象限，又在双曲线上，且，若椭圆的离心率的取值范围为，则双曲线的离心率的取值范围为__________. 【答案】 【解析】 【分析】设椭圆的长半轴长为，双曲线的实半轴长为，半焦距为，双曲线的离心率为，延长交双曲线于点，即可得到，设，即可表示出，， 再由及余弦定理得到，从而表示出，结合椭圆的离心率求出的范围. 【详解】设椭圆的长半轴长为，双曲线的实半轴长为，半焦距为，双曲线的离心率为， 延长交双曲线于点， 因为，由对称性得. 设，则，由双曲线的定义得，， 由， 知， 化简得，所以， 则椭圆的离心率为， 又椭圆的离心率的取值范围为，所以， 又，解得， 所以双曲线的离心率的取值范围为. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在中，，． （1）求证：为等腰三角形； （2）再从条件①､条件②､条件③这三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一，求的值． 条件①：；条件②：的面积为；条件③：边上的高为3． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）设，根据余弦定理及已知可得，所以，可得结果； （2）若选择条件①，可得，可得，与已知矛盾；若选择条件②，根据平方关系及面积公式可得结果；若选择条件③，根据平方关系及正弦定理可得结果. 【小问1详解】 在中，，，设， 根据余弦定理，得， 整理得， 因为，解得（负值已舍去）， 所以， 所以为等腰三角形. 【小问2详解】 若选择条件①：若 ，由（1）可知，及， 所以， 所以不存在. 若选择条件②：在中, 由, 由（1）， 所以， 解得（负值已舍去），即. 若选择条件③： 在中，由边上的高为3， 得， 由，解得. 16. 在长方体中，，，为棱上一动点. （1）当平面时，求线段的长度； （2）在（1）的条件下，求底面正方形的内切圆上点到平面距离的最大值. 【答案】（1）1 （2） 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量法证明线面平行即可求线段长； （2）设内切圆上的点坐标为：，利用点到平面的距离公式结合三角函数求最值即可求解. 【小问1详解】 以为原点， 所在直线分别为轴建立空间直角坐标系. 则 ， 设，则， . 设平面的法向量为 ，则： 令，解得，故. 因为平面，所以. 即 ，解得. 所以线段的长度为1. 【小问2详解】 由（1）知，，，平面的法向量 ， 底面正方形的内切圆圆心为，半径 . 设内切圆上的点坐标为：，， 则， 所以. 点到平面距离， 设，， 则 ，其中， 当时，取最大值，为， 所以点到平面距离的最大值为. 17. 已知函数． （1）已知曲线在处的切线方程为，求和的值； （2）求证：不是函数的极值点； （3）设，，是否存在，使得函数的最小值为2？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 【答案】（1）， （2）证明见详解 （3）存在， 【解析】 【分析】（1）根据导数即可求解； （2）根据、两种情况分析即可证明； （3）根据、、三种情况分析的导数，并据此求出最值，并根据题干求出对应a的值，判断是否符合情况即可． 【小问1详解】 ，由题意， 解得，，解得． 【小问2详解】 ，且， ①当时，，令，求导得， 时，，单调递减；时，，单调递增； 故在处取得最小值，即恒成立， 因此不是极值点； ②当时，，不可能是极值点； 综上，不是函数的极值点． 【小问3详解】 ，，求导， ①，此时恒成立，在上单调递减， 最小值在处，即， 令，得，与矛盾，舍去； ②，即，此时在上为负，单调递减； 在上为正，单调递增， 最小值在处，即， 令，得，满足，成立； ③，即此时在上恒成立，单调递减， 最小值在处，即， 令，得，与矛盾，舍去； 综上，存在，使得在上的最小值为2． 18. 已知过点的双曲线的渐近线方程为.如图所示，过双曲线的右焦点作与坐标轴都不垂直的直线交的右支于两点. （1）求双曲线的标准方程； （2）已知点，求证：； （3）若以为直径的圆被直线截得的劣弧为，则所对圆心角的大小是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由. 【答案】（1） （2）证明见解析 （3）是，定值为 【解析】 【分析】(1)利用双曲线的渐近线方程可设出双曲线的方程，再将点的坐标代入即可求解； (2)要证，只需证即可； (3)构造直角三角形，利用锐角三角函数即可求出定值. 【小问1详解】 因为双曲线的渐近线方程为， 所以设双曲线方程为，又双曲线过点， 则， 所以双曲线的方程为，即. 【小问2详解】 由(1)可知，的斜率存在且不为0，所以设的方程为， 联立，消去得， 设，由题意得， 所以，且， 所以 ， 所以，即得证. 【小问3详解】 由(2)可知恒成立，， 所以圆心到的距离， 半径， 设所对圆心角为， 则， 因为为劣弧，所以， 所以，所以，即所对圆心角的大小为定值. 19. 某答题闯关游戏，开始时，先给每位参加者赋分3分，并规定：每答一题，答对加1分，否则减1分；当积分为6分时，闯关成功并结束游戏；当积分为0分时，闯关失败，也结束游戏.甲同学参加该游戏，假如他答对每道题的概率均为，且每道题答对与否相互独立.记游戏结束时甲的答题数为. （1）证明：为奇数； （2）当为奇数时，记甲答完第题时积分为4分、2分的概率分别为，，证明：； （3）求的分布列. 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 （3） 3 5 7 9 其中, . 【解析】 【分析】（1）设前题中甲答对了题，由答完第题时积分，结合题设即可得证； （2）记的事件分别为，由题设可得，，利用数列的递推即可求证. （3）由（2）可得，即可求解. 【小问1详解】 设甲答完第题时甲的积分为，且前题中甲答对了题， 则． 若游戏结束时甲的答题数为， 则答完第题时积分， 则或6，即，而，故只能为奇数． 【小问2详解】 由（1）知当为奇数时，甲答完第题时积分为必为偶数， 即． 记的事件分别为，第题答对的事件为， 则有 . 同理， . 故有①，② 由①②得：， 又，即，故，即． 又，即，故，即． 【小问3详解】 当为奇数时，把代入（2）得：． 故构成首项为，公比为的等比数列． 故． 由（1）知，的可能取值为：． 依题意知即或6. 当为偶数时，， 当为奇数，时，第题答完时，积分或2． 故 故．故的分布列为： 3 5 7 9 其中, . 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $