精品解析：福建省福清第一中学2026 届高三第二学期质量检测卷五数学科试题

福清一中2026届高三第二学期质量检测卷五 数学 完卷时间： 120 分钟 满分：150分 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 若复数，则的虚部为（ ） A. B. C. D. 3. 若，，且，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 4. 已知函数，则函数在区间上的零点个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 5. 已知的外接圆的半径为1，，点G满足，且，则的面积为（ ） A. B. C. D. 6. 为了提升数学素养，甲、乙、丙等五名同学打算选修学校开设的数学拓展课程，现有几何画板、数学与生活、趣味数学、数独四门课程可供选修，每名同学均需选修且只能选修其中一门课程，每门课程至少有一名同学选修，则甲不选修几何画板，且数独只能由乙和丙中一人或两人选修的概率为（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数的定义域为，设的导数是，且恒成立，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知椭圆分别为椭圆的左右焦点，离心率为，点为直线上的一点.当的外接圆周长取最小值时，该圆的半径为（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 8 二、多项选择题：本大题共3小题，共18分. 9. 下列说法中正确的是（ ） A. 若一组样本数据的对应样本点都在直线上，则这组样本数据的相关系数为 B. 若样本数据的方差为4，则数据的标准差是6 C. 以模型去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设，求得线性回归方程为，则的值分别为和0.3 D. 按从小到大排序的两组数据：甲组数据为；乙组数据为，.则甲组数据的第30百分位数和乙组数据的第40百分位数之和为75 10. 已知数列满足（），则（ ） A. 可能是常数列 B. 数列是等差数列 C. 若，则 D. 数列可能为公差不为0的等差数列 11. 波兰表达式（Polish notation）是一种特殊的数学式表示方法，可以用于逻辑、算术和代数的表示，波兰表达式的基本结构为“运算符 操作数1 操作数2”，运算时从左到右读取表达式，遇到运算符时，将其与接下来的两个操作数结合．如：波兰表达式“”的运算过程为：先将“”转化为：“”，再以“”为运算符，“”和“5”为操作数，即得“”；波兰表达式“”中，“”表示幂运算，该式的运算过程为：先将“”转化为“”，将“”转化为“”，再由“”得“”，由“”得“”，最后由“”得“”．根据上述内容，下列说法正确的是（ ）附：． A. 波兰表达式“”的值为108 B. 若波兰表达式“”的值大于6，则x的取值范围是 C. 若波兰表达式“”表示的函数无极值，且，则 D. 若波兰表达式“”的值为，则x的所有取值之和大于4 三、填空题：本大题共3小题，共15分. 12. 若双曲线的离心率为3，则______． 13. 中国茶文化博大精深，茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关，经验表明，某种绿茶用80℃的开水泡制，再等茶水温度降至35℃时饮用，可以产生最佳口感.若茶水原来的温度是℃，经过一定时间tmin后的温度T℃，则可由公式求得，其中表示室温，h是一个随着物体与空气的接触状况而定的正常数，现有一杯80℃的绿茶放在室温为20℃的房间中，已知茶温降到50℃需要10min.那么在20℃室温下，用80℃的开水刚泡好的茶水大约需要放置时间______min，才能达到最佳饮用口感. 14. 设P为多面体M的一个顶点，定义多面体M在点P处的离散曲率为，其中为多面体M的所有与点P相邻的顶点，且平面，平面，…，平面和平面为多面体M的所有以P为公共点的面.已知在直四棱柱中，底面ABCD为菱形，. ①直四棱柱在其各顶点处的离散曲率都相等； ②若，则直四棱柱在顶点A处的离散曲率为； ③若，则直四棱柱在顶点A处的离散曲率为； ④若四面体在点处的离散曲率为，则平面. 上述说法正确的有______（填写序号） 四、解答题：本大题共5小题，共61分. 15. 在中，内角、、的对边分别为、、，且. （1）求角； （2）若是锐角三角形，且，求的取值范围. 16. 已知函数． （1）当时，求在处的切线方程； （2）当时，求的单调区间和极值； （3）若对任意，有恒成立，求的取值范围． 17. 已知数列的首项是 （1）证明：的奇数项成等差数列； （2）求的前项和. 18. 有，，，，，，，八名运动员参加乒乓球赛事，该赛事采用预赛，半决赛和决赛三轮淘汰制决定最后的冠军、八名运动员在比赛开始前抽签随机决定各自的位置编号，已知这七名运动员互相对决时彼此间的获胜概率均为，运动员与其它运动员对决时，获胜的概率为，每场对决没有平局，且结果相互独立． （1）求这八名运动员各自获得冠军的概率； （2）求与对决过且最后获得冠军的概率； （3）求与对决过且最后获得冠军的概率． 19. 如图1，已知抛物线的焦点为，准线交轴于点，过点作倾斜角为的直线交抛物线于两点（点在第一象限）．当时，． （1）求抛物线的方程； （2）如图2，把沿翻折为，使得二面角的大小为． ①若，求直线与平面所成角的正弦值； ②证明：三棱锥的体积为定值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 福清一中2026届高三第二学期质量检测卷五 数学 完卷时间： 120 分钟 满分：150分 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求出集合A，B的元素，再利用集合的交集运算即可得解. 【详解】由得或，， 由，则，所以， 故选A． 2. 若复数，则的虚部为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由复数的除法运算即可求解. 【详解】．所以的虚部为， 故选：D． 3. 若，，且，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据“1”的代换，结合基本不等式求出的最小值，即可得出答案. 【详解】因为，，且， 所以， 当且仅当，，，即，时等号成立， 所以的最大值为． 故选：A. 4. 已知函数，则函数在区间上的零点个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】由二倍角余弦公式结合求解一元二次方程得到上的零点即可. 【详解】， 由，得或，即或或，. 所以函数在区间的零点是 4个. 故选:D 5. 已知的外接圆的半径为1，，点G满足，且，则的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】取的中点，连接，根据可得点为的重心，根据，可得，从而可的，再利用正弦定理求出，进而可得出答案. 【详解】如图，取的中点，连接， 因为，所以， 所以， 又为公共点，所以共线，且， 所以点为的重心， 因为，所以， 所以，所以， 因为，所以， 由正弦定理得，所以， 所以， 所以. 故选：A. 6. 为了提升数学素养，甲、乙、丙等五名同学打算选修学校开设的数学拓展课程，现有几何画板、数学与生活、趣味数学、数独四门课程可供选修，每名同学均需选修且只能选修其中一门课程，每门课程至少有一名同学选修，则甲不选修几何画板，且数独只能由乙和丙中一人或两人选修的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先考虑五名同学选修四门课程的所有情况种数，然后对选修数独、几何画板的人数进行分类讨论，结合分类、分步计数原理与古典概型的概率公式求解即可. 【详解】将五名同学分为四组，每组人数分别为、、、，分组方法种数为种， 所以，五名同学报名四门课程，每名同学均需选修且只能选修其中一门课程，每门课程至少有一名同学选修， 不同的报名种数为种， 考虑数独的报名人数， ①若数独只有一人报名，从乙和丙中选一人，有种情况， 若选修几何画板只有一人，从剩余4人中除甲以外的3人中任选1人，有种情况， 最后将剩余人分为两组，再分配给另外两门课程， 此时不同的选择情况种数为种； 若选修几何画板有两人，有种情况，剩余两人选修剩余两门课程， 此时不同的选择方法种数为种； ②若数独有两人报名（乙和丙）， 则选修几画板的有剩余人中除甲以外的两人中任选一人，有两种情况. 剩余两人报名剩余两名课程， 此时不同的选择方法种数为种. 综上所述，所求概率为. 故选：D. 7. 已知函数的定义域为，设的导数是，且恒成立，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设，得到，得到为增函数，得到，即可求解. 【详解】设，则， 故在定义域上是增函数，所以， 即，所以. 故选：D. 8. 已知椭圆分别为椭圆的左右焦点，离心率为，点为直线上的一点.当的外接圆周长取最小值时，该圆的半径为（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】先由几何关系确定当外接圆的半径为时，周长取最小值，再由离心率及焦点坐标得出，即可得出半径. 【详解】 设的外接圆的圆心为，则在的垂直平分线上 又在上，在轴上 ，即当的外接圆的半径为时，周长取最小值， 由题意可知，，即，所以该圆的半径为4. 故选：C. 二、多项选择题：本大题共3小题，共18分. 9. 下列说法中正确的是（ ） A. 若一组样本数据的对应样本点都在直线上，则这组样本数据的相关系数为 B. 若样本数据的方差为4，则数据的标准差是6 C. 以模型去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设，求得线性回归方程为，则的值分别为和0.3 D. 按从小到大排序的两组数据：甲组数据为；乙组数据为，.则甲组数据的第30百分位数和乙组数据的第40百分位数之和为75 【答案】BC 【解析】 【分析】利用相关系数的意义可判断A；利用方差的意义计算可判断B；利用对数的运算法则计算可判断C；利用百分位数的意义计算可判断D. 【详解】对于A，若一组样本数据的对应样本点都在直线上， 又，所以这组样本数据的相关系数为1，故A错误； 对于B，若样本数据的方差为4， 则数据的方差是，所以标准差为6，故B正确； 对于C，，故C正确； 对于D，因为，所以甲组数据的第30百分位数为31， 乙组数据的第40百分位数是，故D错误. 故选：BC. 10. 已知数列满足（），则（ ） A. 可能是常数列 B. 数列是等差数列 C. 若，则 D. 数列可能为公差不为0的等差数列 【答案】AC 【解析】 【分析】设代入数列递推式，可求得，即可判断A；利用等差数列的定义及通项公式、求和公式计算即可逐一判断B，C，D选项. 【详解】对于A，是常数列，等价于，由可得， 解得，即时满足题设条件，故A正确； 对于B，当时，由可得， 则得，此时无意义； 由可知，当时，由可得， 则，故此时数列是公差为的等差数列，即B错误； 对于C，，由选项B已得等差数列的首项为1，公差为，故， 因，则，故C正确； 对于D，若数列可能为公差不为0的等差数列，则由B选项知，， 因，则不是一个非零常数，故D错误. 故选：AC. 11. 波兰表达式（Polish notation）是一种特殊的数学式表示方法，可以用于逻辑、算术和代数的表示，波兰表达式的基本结构为“运算符 操作数1 操作数2”，运算时从左到右读取表达式，遇到运算符时，将其与接下来的两个操作数结合．如：波兰表达式“”的运算过程为：先将“”转化为：“”，再以“”为运算符，“”和“5”为操作数，即得“”；波兰表达式“”中，“”表示幂运算，该式的运算过程为：先将“”转化为“”，将“”转化为“”，再由“”得“”，由“”得“”，最后由“”得“”．根据上述内容，下列说法正确的是（ ）附：． A. 波兰表达式“”的值为108 B. 若波兰表达式“”的值大于6，则x的取值范围是 C. 若波兰表达式“”表示的函数无极值，且，则 D. 若波兰表达式“”的值为，则x的所有取值之和大于4 【答案】BD 【解析】 【分析】对于A，根据波兰表示式，得，故A错误；对于B，根据波兰表示式，得，构造函数，通过判断其单调性，可得不等式解集；对于C，根据波兰表示式，得，由函数无极值，可得，结合不等式即可判断；对于D，根据波兰表示式，得，构造函数，通过判断其单调性结合零点存在定理，即可判断. 【详解】对于A，波兰表达式“”，即，故A错误； 对于B，波兰表达式“”的值大于6，等价于， 因为函数在上单调递增，且为其零点， 所以所求x的取值范围是，故B正确； 对于C，波兰表达式“”表示的函数为， 则，又函数无极值，所以，则， 所以，当且仅当时等号成立， 又，故，则，，故C错误； 对于D，波兰表达式“”的值为等价于， 易知满足该等式，令，则， 易知有唯一解， 且在区间上单调递减，在上单调递增， 又，，， 由零点存在定理知，方程必存在另外一解，且， 所以x的所有取值之和大于4，故D正确． 故选：BD. 三、填空题：本大题共3小题，共15分. 12. 若双曲线的离心率为3，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据双曲线的离心率列方程，解方程求得的值. 【详解】由题意，焦点在轴上， ； 故答案为： 13. 中国茶文化博大精深，茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关，经验表明，某种绿茶用80℃的开水泡制，再等茶水温度降至35℃时饮用，可以产生最佳口感.若茶水原来的温度是℃，经过一定时间tmin后的温度T℃，则可由公式求得，其中表示室温，h是一个随着物体与空气的接触状况而定的正常数，现有一杯80℃的绿茶放在室温为20℃的房间中，已知茶温降到50℃需要10min.那么在20℃室温下，用80℃的开水刚泡好的茶水大约需要放置时间______min，才能达到最佳饮用口感. 【答案】20 【解析】 【分析】由80°C的绿茶放在室温为20℃的房间中茶温降到50℃需要10min代入公式得；茶温降到35℃需要min代入公式得，观察与为平方关系，可求得. 【详解】一杯80°C的绿茶放在室温为20℃的房间中，如果茶温降到50℃需要10min， 那么：，所以 一杯80°C的绿茶放在室温为20℃的房间中，如果茶温降到35℃需要min， 那么：，所以， 所以，所以， 故答案为：20 14. 设P为多面体M的一个顶点，定义多面体M在点P处的离散曲率为，其中为多面体M的所有与点P相邻的顶点，且平面，平面，…，平面和平面为多面体M的所有以P为公共点的面.已知在直四棱柱中，底面ABCD为菱形，. ①直四棱柱在其各顶点处的离散曲率都相等； ②若，则直四棱柱在顶点A处的离散曲率为； ③若，则直四棱柱在顶点A处的离散曲率为； ④若四面体在点处的离散曲率为，则平面. 上述说法正确的有______（填写序号） 【答案】②④ 【解析】 【分析】根据题意求出线线夹角，再代入离散曲率公式，对四个选项逐一分析判断，结合线面垂直的判定定理及性质即可得出答案. 【详解】对于①，当直四棱柱的底面为正方形时， 其在各顶点处的离散曲率都相等，当直四棱柱的底面不为正方形时，其在同一底面且相邻的两个顶点处的离散曲率不相等，故①错误； 对于②，若，则菱形为正方形， 因为平面，平面， 所以，， 所以直四棱柱在顶点处的离散曲率为，故②正确； 对于③，若，则， 又，， 所以直四棱柱在顶点处的离散曲率为，故③错误； 对于④，在四面体中，，，， 所以， 所以四面体在点处的离散曲率为， 解得，易知， 所以，所以， 所以直四棱柱为正方体， 因为平面，平面， 所以， 又平面， 所以平面， 又平面，所以， 同理， 又平面， 所以平面，故④正确， 所以正确的有②④. 故答案为：②④. 【点睛】本题主要考查离散曲率，考查考生的创新能力、逻辑思维能力、运算求解能力、空间想象能力，试题结合新定义——离散曲率命制立体几何试题，角度新颖，要求考生充分理解离散曲率的定义，结合立体几何的结构特征求解，体现了数学探索、理性思维学科素养． 四、解答题：本大题共5小题，共61分. 15. 在中，内角、、的对边分别为、、，且. （1）求角； （2）若是锐角三角形，且，求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理化简得出的值，结合角的取值范围可得出角的值； （2）由是锐角三角形可求出角的取值范围，利用正弦定理结合两角和的正弦公式可求得的取值范围. 【小问1详解】 因为，由正弦定理可得， 因为、，则，所以，， 则有，故. 【小问2详解】 因为为锐角三角形，则，所以，， 所以，，则， 由正弦定理可得， 所以，， 即的取值范围是. 16. 已知函数． （1）当时，求在处的切线方程； （2）当时，求的单调区间和极值； （3）若对任意，有恒成立，求的取值范围． 【答案】（1） （2）的单调递减区间为：；递增区间为：， 的极大值为，无极小值 （3） 【解析】 【分析】（1）利用已知确定切点，导数的几何意义确定斜率，求出切线方程即可. （2）利用导数先求解单调性，再确定极值即可. （3）利用分离参数法结合导数求解参数范围即可. 【小问1详解】 当时，， 则，，， 所以切线方程为． 【小问2详解】 当时，，． 令，， 故在R上单调递减，而，因此0是在R上的唯一零点 即：0是在R上的唯一零点 当x变化时，，的变化情况如下表： x 0 0 极大值 的单调递减区间为：；递增区间为： 的极大值为，无极小值 【小问3详解】 由题意知，即，即， 设，则， 令，解得， 当，，单调递增， 当，，单调递减， 所以， 所以 17. 已知数列的首项是 （1）证明：的奇数项成等差数列； （2）求的前项和. 【答案】（1）证明：若为奇数，则是偶数，是奇数， 所以，即， 所以的奇数项是首项为，公差为3的等差数列． （2） 【解析】 【分析】（1）由递推公式并结合等差数列的定义即可证明求解； （2）分别讨论为奇偶数并利用分组并项求和，从而可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 当时， . 因为， 所以当时， . 综上所述，. 18. 有，，，，，，，八名运动员参加乒乓球赛事，该赛事采用预赛，半决赛和决赛三轮淘汰制决定最后的冠军、八名运动员在比赛开始前抽签随机决定各自的位置编号，已知这七名运动员互相对决时彼此间的获胜概率均为，运动员与其它运动员对决时，获胜的概率为，每场对决没有平局，且结果相互独立． （1）求这八名运动员各自获得冠军的概率； （2）求与对决过且最后获得冠军的概率； （3）求与对决过且最后获得冠军的概率． 【答案】（1）夺冠的概率为，七名运动员各自夺冠的概率均为 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用独立事件的乘法公式即可得到答案； （2）分别求出与在第1,2,3轮对决且胜利的概率，最后相加即可； （3）求出没有与对决过且最后获得冠军的概率，再利用条件概率和全概率公式计算即可. 【小问1详解】 夺冠即为三轮比赛都获胜，所以夺冠的概率为． 由题意，七名运动员水平相同，且八名运动各自夺冠概率之和为1． 所以七名运动员各自夺冠的概率均为． 【小问2详解】 记事件＂获得冠军＂，事件＂与对决过＂，事件“与在第轮对决”，． 不妨设在①号位，则在第1,2,3轮能与对决时其位置编号分别为②，③④，⑤⑥⑦⑧． ， ， ， ， 所以. 【小问3详解】 记事件“与对决过”． 没有与对决过且最后获得冠军的概率． 由题意，六名运动员与对决过的概率相同，夺冠时共与三名运动员对决． 所以． 代入得：． 【点睛】关键点点睛：本题第三问的关键是利用全概率公式计算出相关概率. 19. 如图1，已知抛物线的焦点为，准线交轴于点，过点作倾斜角为的直线交抛物线于两点（点在第一象限）．当时，． （1）求抛物线的方程； （2）如图2，把沿翻折为，使得二面角的大小为． ①若，求直线与平面所成角的正弦值； ②证明：三棱锥的体积为定值． 【答案】（1） （2）①； ②由题意得． ， 当时，， 当时，在平面直角坐标系中，设直线的斜率为，则直线的方程为， 设点的坐标分别为， 联立得， 则， 因为，所以，得， 所以， ， 综上所述，三棱锥的体积为定值． 【解析】 【分析】（1）先根据倾斜角得出点的坐标，再应用两点间距离求出，进而得出抛物线； （2）①联立方程得出点的坐标，再应用空间向量法计算线面角正弦即可；②应用三棱锥体积公式结合三角形面积公式计算求解. 【小问1详解】 当时，，所以点的坐标为， 因为，所以， 解得， 所以抛物线的方程为． 【小问2详解】 ①在平面直角坐标系中，若，则直线的方程为， 联立 所以点的坐标分别为． 过O点作平面的垂线为轴，如图建立空间直角坐标系，则， 当二面角的大小为时，点，即， 所以， 设平面的法向量为， 则即解得取，得， 设直线与平面所成角为，则， 所以直线与平面所成角的正弦值为． ②略. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $