专题05 挑战压轴题【期末复习重难点题型培优集训100题】-2025-2026学年数学苏科版八年级下册

**基本信息** 聚焦苏科版八下第6-11章重点难点，50类高频压轴题型讲练结合，100题分层突破统计与概率、四边形、因式分解等核心模块，适配期末培优集训。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |解答题|100题|统计与概率（频率估计总体）、四边形（特殊平行四边形性质判定/折叠/动点）、因式分解应用、分式方程（行程/工程问题）、二次根式运算|分类讲练设计，每题型含精讲（真题情境）与精练（变式拓展），突出动态几何（如正方形折叠）、实际应用（如分式经济问题），贴合期末压轴题命题趋势|

2025-2026学年苏科版新教材数学八年级下册期末复习重点难点专项培优练 专题05 挑战压轴题『期末复习重点难点题型培优集训』 【50个高频常考题型讲练 共100题 范围：苏科版八下第6-11章】 重点题型 分类讲练 1 题型一 由样本所在的频率区间估计总体的数量 2 题型二 用样本的频数估计总体的频数 5 题型三 由频率估计概率 8 题型四 用频率估计概率的综合应用 10 题型五 利用平行四边形的判定与性质求解 12 题型六 平行四边形性质和判定的应用 14 题型七 矩形与折叠问题 21 题型八 根据矩形的性质与判定求角度 23 题型九 根据矩形的性质与判定求线段长 30 题型十 根据矩形的性质与判定求面积 32 题型十一 根据菱形的性质与判定求角度 42 题型十二 根据菱形的性质与判定求线段长 46 题型十三 根据菱形的性质与判定求面积 51 题型十四 正方形折叠问题 56 题型十五 求正方形重叠部分面积 59 题型十六 根据正方形的性质与判定证明 64 题型十七 根据正方形的性质与判定求线段长 69 题型十八 根据正方形的性质与判定求面积 75 题型十九 利用(特殊)平行四边形的对称性求阴影面积 80 题型二十 (特殊)平行四边形的动点问题 84 题型二十一 四边形中的线段最值问题 87 题型二十二 四边形其他综合问题 90 题型二十三 与三角形中位线有关的求解问题 97 题型二十四 与三角形中位线有关的证明 102 题型二十五 三角形中位线的实际应用 105 题型二十六 等腰梯形的性质定理 112 题型二十七 等腰梯形的判定定理 115 题型二十八 已知因式分解的结果求参数 123 题型二十九 综合运用公式法分解因式 126 题型三十 综合提公因式和公式法分解因式 129 题型三十一 因式分解在有理数简算中的应用 131 题型三十二 因式分解的应用 132 题型三十三 利用分式的基本性质判断分式值的变化 134 题型三十四 将分式的分子分母的最高次项化为正数 136 题型三十五 将分式的分子分母各项系数化为整数 138 题型三十六 分式加减乘除混合运算 138 题型三十七 分式化简求值 140 题型三十八 分式方程的行程问题 141 题型三十九 分式方程的工程问题 144 题型四十 分式方程的经济问题 146 题型四十一 分式方程和差倍分问题 148 题型四十二 求二次根式中的参数 151 题型四十三 二次根式的乘除混合运算 152 题型四十四 化为最简二次根式 157 题型四十五 已知最简二次根式求参数 162 题型四十六 复合二次根式的化简 163 题型四十七 同类二次根式 166 题型四十八 二次根式的混合运算 168 题型四十九 已知字母的值，化简求值 172 题型五十 二次根式的应用 173 题型一 由样本所在的频率区间估计总体的数量 【精讲】某校为了提高学生学习国学的积极性，举办了首届“国学知识大赛”，该校所有学生均参加初赛．初赛中，将国学相关知识设置为100分试卷，学生的分数均为50分以上，为了解学生对国学的掌握情况，学校抽取一部分学生成绩将其按分数段分为五组，绘制出不完整表格：（说明：频率=频数（人数）÷实验的次数（抽取的总人数） 组别 成绩x（分） 频数（人数） 频率 一 2 0.04 二 10 0.2 三 14 b 四 a 0.32 五 8 0.16 请根据表格提供的信息，解答以下问题： (1)本次调查属于抽样调查，从表中知道学校抽取的这个样本中共有多少个个体？这个问题中的总体是什么？ (2)直接写出表中_______，________； (3)请补全相应的频数直方图； (4)若该校共3000名学生，初赛成绩不低于80分为优秀，则本次大赛达到优秀的学生大约有多少人？ 【答案】(1)50，某校学生参加“国学知识大赛”的分数； (2)16，0.28； (3)见解析； (4)1440人 【分析】（1）利用二组的频数除以频率可得样本个数，根据总体定义得到总体； （2）利用频率乘以总数即得a，利用频数除以总数即得b； （3）根据（2）中的数据可以将频数分布直方图补充完整； （4）用总人数3000乘以优秀率即可． 【详解】（1）解：抽取的样本共有（个）； 总体是某校50名学生参加“国学知识大赛”的分数； （2）解：， 故答案为：16，0.28； （3）解：补全直方图如图所示： （4）解：（人）， ∴ 本次大赛达到优秀的学生大约有1440人． 【精练】某校组织八年级学生参加汉字听写大赛，并随机抽取部分学生成绩作为样本进行分析，绘制成如下的统计表： 成绩x/分 频数 频率 第1段 2 0.04 第2段 6 0.12 第3段 9 b 第4段 a 0.36 第5段 15 0.30 请根据所给信息，解答下列问题： （1）_______，_______； （2）请补全频数分布直方图； （3）样本中，第5段成绩对应的圆心角度数是______； （4）已知该年级有400名学生参加这次比赛，若成绩在80分以上（含80分）的为优，估计该年级成绩为优的有多少人？ 【答案】（1）18，；（2）图见解析；（3）108；（4）264． 【分析】（1）先求出抽取的学生总人数，再根据频率的计算公式即可得； （2）根据补全频数分布直方图即可； （3）利用乘以即可得； （4）利用400乘以成绩在80分以上（含80分）的学生成绩的频率之和即可得． 【详解】解：（1）抽取的学生人数为（人）， 则， ， 故答案为：18，； （2）由补全频数分布直方图如下： （3）， 即样本中，第5段成绩对应的圆心角度数是， 故答案为：108； （4）（人）， 答：估计该年级成绩为优的有264人． 题型二 用样本的频数估计总体的频数 【精讲】某市组织中学生无人机技能操作比赛，随机抽取部分比赛成绩（成绩为整数，用表示）作为样本进行整理，并绘制成统计图表，部分信息如下： 组别 A B C D E 成绩 (1)图中______； (2)求扇形统计图中A组所在的扇形的圆心角； (3)已知该市共有800名中学生参赛，比赛成绩80分以上（含80分）为“优秀”，根据样本数据估计该市获得“优秀”等级的参赛人数． 【答案】(1)12 (2) (3)448人 【分析】（1）通过D组频数为20，所占比例为，求出样本总数，进而求出的值； （2）根据圆心角度数等于A组频数占样本总数的比例乘以进行计算即可； （3）先算出D组和E组频数占样本总数的比例之和，再计算该市获得“优秀”等级的参赛人数即可． 【详解】（1）解：， ， 则； （2）解：， 则扇形统计图中A组所在的扇形的圆心角为； （3）解：人， 则估计获得“优秀”等级的人数为448人． 【精练】（24-25八年级下·湖南株洲·期末）中华文明，源远流长；中华汉字，寓意深广，为传承中华优秀传统文化，某校团委组织了一次全校学生参加的“汉字听写”竞赛．为了解本次竞赛的成绩，校团委随机抽取了其中若干名学生的成绩作为样本进行统计，绘制了如下不完整的统计图表： 成绩x（分） 频数（人） 频率 10 20 a 40 80 b 根据图表信息，解答下列问题： (1)这次参加竞赛的人数是__________人，其中__________，__________； (2)补全频数分布直方图； (3)若全校有1200人，请你估计该校参加本次竞赛的学生中成绩在80分以上（含80分）的人数． 【答案】(1)200；50； (2)见解析 (3)720人 【分析】本题主要考查了频数与频率分布表，频数分布直方图，用样本估计总体，正确理解题意是解题的关键． （1）用这一组的频数除以频率求出这次参加竞赛的人数，再根据频率等于频数除以总数可求出a、b的值； （2）根据（1）所求补全统计图即可； （3）用1200乘以样本中成绩在80分以上（含80分）的人数占比即可得到答案． 【详解】（1）解：人， ∴这次参加竞赛的人数是200人， ∴； （2）解：补全统计图如下所示： （3）解：人， ∴估计该校参加本次竞赛的学生中成绩在80分以上（含80分）的人数为720人． 题型三 由频率估计概率 【精讲】（24-25八年级下·湖南株洲·期末）某校为了了解初三学生对安全知识的掌握情况，加强学生的安全防范和自我保护意识，对该校1000名初三学生开展安全知识竞赛活动．用简单随机抽样的方法，随机抽取若干名学生统计答题成绩，分别制成如下频数分布表和频数分布直方图： 初三学生安全知识竞赛成绩频数分布表 成绩（分） 频数 频率 3 0.02 12 a 45 0.3 b 0.4 30 d (1)表格中， ， ； (2)请把频数分布直方图补充完整；（画图后标注相应的数据） (3)规定成绩80分以上（含80分）的同学成为“安全明星”，则该校初三学生成为“安全明星”的共有多少人？ 【答案】(1)，； (2)见解析 (3)该校初三学生成为“安全明星”的共有人． 【分析】本题考查了频率与频数，频数分布直方图，利用样本估计总体． （1）先根据分的频数和频率求出抽取的人数，再求出、的值即可； （2）根据（1）求出补全频数分布直方图即可； （3）用初三学生乘以成绩80分以上（含80分）的同学占比求解即可． 【详解】（1）解：抽取的人数为人， 则，， 故答案为：，； （2）解：如图，补全频数分布直方图如下： （3）解：人， 答：该校初三学生成为“安全明星”的共有人． 【精练】某水果公司以2元/kg的成本价新进柑橘．如果公司希望这些柑橘能够获得利润5000元，那么在出售柑橘（去掉损坏的柑橘）时，每千克定价大约______元（精确到角）比较合适．为解决此问题，销售人员首先从所有柑橘中随机抽取若干柑橘，进行“柑橘损坏率”统计，结果如下： 柑橘总质量n/kg 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500 损坏柑橘质量m/kg 5.50 10.50 15.15 19.42 24.25 30.93 35.32 39.24 44.57 51.54 频率（三位小数） 0.110 0.105 【答案】2.8 【分析】本题考查了利用频率估计概率及一元一次方程的应用，用到的知识点为：频率所求情况数与总情况数之比．得到售价的等量关系是解决问题的关键．根据概率计算出完好柑橘的质量为千克，设每千克柑橘的销售价为元，然后根据“售价进价利润”列方程解答． 【详解】根据估计的概率可以知道，在10000千克柑橘中完好柑橘的质量为千克． 设每千克柑橘的销售价为元，则应有， 解得． 所以出售柑橘时每千克大约定价为2.8元可获利润5000元． 故答案为：2.8 题型四 用频率估计概率的综合应用 【精讲】甲、乙两名同学在一次用频率去估计概率的试验中，统计了某一结果出现的频率，并绘出了如下折线统计图，则最有可能符合这一结果的试验的是（    ） A．掷一枚正六面体的骰子，出现1点的概率 B．抛一枚硬币，出现正面的概率 C．任意写一个整数，它能被3整除的概率 D．从一副去掉大小王的扑克牌中，任意抽取一张，抽到黑桃的概率 【答案】C 【分析】根据统计图可知，试验结果在0.33附近波动，即其概率P≈0.33，计算四个选项的概率，约为0.33者即为正确答案． 【详解】解：A、掷一枚正六面体的骰子，出现1点的概率为，故此选项错误； B、掷一枚硬币，出现正面朝上的概率为，故此选项错误； C、任意写一个整数，它能被3整除的概率为，故此选项正确； D、从一副去掉大小王的扑克牌中，任意抽取一张，抽到黑桃的概率为；故此选项错误． 故选：C． 【精练】某班“红领巾义卖”活动中设立了一个可以自由转动的转盘．规定：顾客购物20元以上就能获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在哪一区域就可以获得相应的奖品．下表是此次活动中的一组统计数据： 转动转盘的次数n 100 200 300 400 500 1000 落在“书画作品”区域的次数m 60 122 180 298 a 604 落在“书画作品”区域的频率 0.6 0.61 0.6 b 0.59 0.604 （1）完成上述表格：______；______； （2）请估计当n很大时，频率将会接近______，假如你去转动该转盘一次，你获得“书画作品”的概率约是______；（结果全部精确到0.1） （3）如果要使获得“手工作品”的可能性大于获得“书画作品”的可能性，则表示“手工作品”区域的扇形的圆心角至少还要增加多少度？ 【答案】（1）295；0.745；（2）0.6，0.6；（3）至少还要增加36度． 【分析】（1）根据表格中的数据，利用频率=频数总数即可求得a和b的值； （2）根据表格中的数据可以估计频率是多少，再利用频率估计概率即可得； （3）先根据获得“书画作品”的概率可得获得“手工作品”的概率，再乘以可得“手工作品”区域的扇形圆心角度数，然后与进行比较即可得． 【详解】（1）由题意得：，， 故答案为：295，0.745； （2）由表格中的数据得：当n很大时，频率将会接近0.6， 假如你去转动该转盘一次，你获得“书画作品”的概率约是0.6， 故答案为：0.6，0.6； （3）由（2）可知，获得“书画作品”的概率约是0.6， 则获得“手工作品”的概率为， “手工作品”区域的扇形圆心角度数为， 因此，， 答：表示“手工作品”区域的扇形的圆心角至少还要增加36度． 题型五 利用平行四边形的判定与性质求解 【精讲】（25-26八年级下·辽宁朝阳·期中）如图，A，B两单位分别位于一条封闭街道的两旁（直线是街道两边沿），现准备合作修建一座过街人行天桥，天桥应建在何处才能使由A经过天桥走到B的路程最短，并计算由A经过天桥走到B的最短路线的长为______．（注：桥的宽度忽略不计，桥必须与街道垂直） 【答案】85 【分析】过点作的垂线，并截取等于街道的宽度，即，连接交于点，过点作于点，则线段即为天桥所建的位置，此时由经过天桥走到的路线最短，再利用勾股定理求出的长即可求解． 【详解】解：过点作的垂线，并截取等于街道的宽度，即，连接交于点，过点作于点，则线段即为天桥所建的位置，此时由经过天桥走到的路线最短， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， 由经过天桥走到的路程为, 根据两点之间线段最短可知，此时路程最短． ∴， 过点作于点，则，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴由经过天桥走到的最短路线的长为． 【精练】（25-26八年级下·山东临沂·期中）如图，点是线段上的一个动点，，，且，则的最小值是______． 【答案】 【分析】作点A关于直线的对称点F，连接，交于点M，过点F作，交的延长线于点N，过N点作于点G，连接，，先利用轴对称的性质构造出最短路径，再证明四边形是平行四边形，进而证明是等腰三角形，问题随之可解． 【详解】解：作点A关于直线的对称点F，连接，交于点M，过点F作，交的延长线于点N，过N点作于点G，连接，，如图， ∵点F、点A关于直线对称， ∴，，， ∴，即当点F、E、D三点共线时，有最小值， 即当点E位于点M时，有最小值，此时最小值为：的长度； ∵， ∴， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰三角形， ∵，， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值是． 题型六 平行四边形性质和判定的应用 【精讲】如图，与是等边三角形，连接，取的中点，连接并延长至点，使，连接，，，将绕点顺时针旋转． 【特例感知】 (1)如图①，当点在上，点在上时，则的形状为 ； 【类比迁移】   (2)当绕点顺时针旋转至图②的位置时，此时点在线段的延长线上，请判断的形状，并说明理由； 【方法运用】 (3)若，将由图①位置绕点顺时针旋转，当时，请直接写出的值． 【答案】(1)等边三角形 (2)等边三角形，见解析 (3)或 【分析】（1）先证明四边形是平行四边形，得到，，利用平行线的性质，得到，，，从而推出，最后判定三角形为等边三角形； （2）连接，交分别、于点、，同理可证明四边形是平行四边形，得到，，再证明，得到，，得到是等腰三角形，最后联合平行线的性质，得到，从而判定三角形为等边三角形； （3）连接、，同（2），可证四边形是平行四边形，是等边三角形有，设，则，，先判定是直角三角形，，取的中点，连接，通过，推出，即此时在边上，那么；连接、，同①，可证是直角三角形，，，此时在边上，可得到． 【详解】（1）解：由题意可得，， 四边形是平行四边形 ， 和是等边三角形 、、三点共线 ，， 是等边三角形 故答案为：等边三角形． （2）解：是等边三角形，理由如下， 如下图，连接，交分别、于点、， ， 四边形是平行四边形 ， 和是等边三角形 ，， 点在线段的延长线上 ，即 ， 是等腰三角形 又， 是等边三角形 （3）解：①如下图，连接、 同（2），可证四边形是平行四边形，是等边三角形 有 设，则， 是直角三角形， 取的中点，连接 此时在边上 ②如下图，连接、 同①，可证是直角三角形，， 此时在边上 综上所述，或． 【精练】（24-25八年级上·河北保定·阶段检测）问题探究： 一条线段沿某个方向平移一段距离后与原线段构成一个平行四边形．我们可以利用这一性质，将有些条件通过平移集中在一起来解决一些几何问题． （1）如图1，两条长度相等的线段和相交于G点，，试说明线段． 分析：考虑通过平移，将、和集中到同一个三角形中，运用三角形的三边关系来证明． 如图1，作且，则四边形是______（填四边形的形状）， ∴；∵，， ∴是______（填的形状），∴． 当与不平行时，M，N，C三点不在同一直线上，由三角形三边关系可知，______（填>或=或<）； 当与平行时，M，N，C三点在同一直线上，此时，，∴． 问题解决： （2）如图2，在中，，，点M，点N分别在，上，交于点G，，． ①求证：； ②求的值； 拓展应用： （3）如图3，在中，，点M，点N分别在，上，交于点G，若，，，，直接写出长（用含a、b的代数式表示）． 【答案】（1）平行四边形，等边三角形，；（2）①见解析；②；（3） 【分析】（1）根据证明过程即可求解； （2）①作且，连接，可得四边形是平行四边形，进而得，，， 证即可；②作，可推出；设，则；结合，可得，进一步可得，根据即可求解； （3）作且，连接，作，则四边形是平行四边形，，，可证是等边三角形；根据可得，结合可得，即可求解 【详解】解：（1）作且，则四边形是平行四边形； ∵，， ∴是等边三角形； 由三角形三边关系可知，， 当与平行时，M，N，C三点在同一直线上，此时，， ∴； 故答案为：平行四边形，等边三角形，； （2）①作且，连接，如图所示： ∵，， ∴， ∵且， ∴四边形是平行四边形， ∴，，， ∴， ∴； ②作，如图所示： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴． （3）作且，连接，作，如图所示： 则四边形是平行四边形，，， ∴，， ∵，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴ 题型七 矩形与折叠问题 【精讲】（25-26八年级下·吉林松原·期中）如图，在矩形中，，，点E是上一动点，在平面内将矩形沿折叠，若使点D恰好落在上的位置．则的长为________． 【答案】 【分析】设，则，，在中，由勾股定理列式计算即可求解． 【详解】解：∵在矩形中，，， ∴，， ∴， ∵落在对角线上， ，，， 设，则，， 在中，由勾股定理得：， 解得：，即． 【精练】（25-26八年级下·辽宁葫芦岛·期中）如图，长方形纸片中，，．点E是边上一点，连接并将沿折叠，得到，以C，E，为顶点的三角形是直角三角形时，的长为________． 【答案】或 【分析】分两种情况讨论：①当时，根据翻折变换的性质求出，判断出是等腰直角三角形，从而求出；②当时，判断出、、在同一直线上，利用勾股定理求出，再设，在中利用勾股定理列出方程求解即可． 【详解】解：由翻折变换的性质可知，，，， 分两种情况讨论： ①当时，如图1， ， ， 由翻折变换的性质得， 在中，， 是等腰直角三角形， ； ②当时，如图2， ，， ， 、、三点在同一直线上， 在中，由勾股定理得， ， 设，则，， 在中，由勾股定理得， 即， 解得， ． 综上所述，的长为或． 题型八 根据矩形的性质与判定求角度 【精讲】（24-25八年级下·辽宁鞍山·期末）正方形中，为对角线，点为射线上一点，点为直线上一点，连接，过点作交直线于点． (1)如图1，当点在线段上，点在线段延长线上时，与的数量关系为：_____； (2)如图2，当点在线段上，点在线段延长线上时，请判断，，之间的数量关系，并说明理由； (3)当，时，请直接写出的面积． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3)或 【分析】本题考查了正方形的判定与性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． （）过作于点，作于点，则，然后证明四边形是矩形，故有，由，则，证明即可求证； （）过作于点，作于点，同（）理证明，根据性质可得四边形是正方形，所以，则，即，得出，最后通过线段和差即可求解； （）分当在延长线上时，当在上时两种情况，然后通过正方形的性质和勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：如图，过作于点，作于点， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，平分， ∴，， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， 故答案为：； （2）解：，理由如下， 如图，过作于点，作于点， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，平分， ∴，， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵四边形是矩形，， ∴四边形是正方形， ∴， ∴，即， ∴， ∵， ∴， 即； （3）解：如图，当在延长线上时， 由（）得四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 设，则，， 由勾股定理得：， ∴， 解得：或（舍去）， ∴， ∴， 由（）得：， ∴， ∴的面积为； 如图，当在上时， 由（）得四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∴， 由勾股定理得：， ∴， 解得：或（舍去）， ∴，， 同（）得：， ∴， ∴的面积为； 综上可知：的面积为或． 【精练】（23-24八年级下·浙江杭州·期末）如图，在正方形中，点E，F分别在边和的延长线上（点E不与点A，点B重合），且，连接．过点D作于H，连接．    (1)求证：点H是线段EF的中点． (2)若，，求． (3)求证：点H始终在正方形的对角线上． 【答案】(1)见解析 (2) (3)见解析 【分析】（1）根据正方形性质先证明，从而得到为等腰直角三角形，利用三线合一即可得出结论； （2）利用勾股定理求出的长，再根据为等腰直角三角形，利用勾股定理求出的长，从而求出，过点H作，交于点N，交于点M，可得四边形为矩形，证明，推出，设，则，利用勾股定理求出，再利用勾股定理即可求解； （3）先得到，利用，可得结论． 【详解】（1）证明：在正方形中，， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， 为等腰直角三角形， ， 点H是线段的中点； （2）由（1）可知， ∴ ， 为等腰直角三角形， ， ， ， 如图，过点H作，交于点N，交于点M，    则四边形为矩形， ， ， ， 在和中， ， ， ， ，且， ， 设，则， 在中，，即， 解得：或2， 且， ， ， ； （3）由（2）可知， 四边形为矩形， ， ， 连接， 四边形为正方形， ， ， 点H始终在正方形的对角线上 题型九 根据矩形的性质与判定求线段长 【精讲】（25-26八年级下·上海青浦·期中）如图，在正方形中，为对角线上的一点，于点，若，，则的长为_____． 【答案】 【分析】由正方形的性质可得，，结合题意可得为等腰直角三角形，则，延长交于点，则四边形为矩形，由矩形的性质可得，，求出，再由勾股定理计算即可得出结果． 【详解】解：∵四边形为正方形， ∴，， ∵于点， ∴为等腰直角三角形， ∴， 如图，延长交于点， 则四边形为矩形， ∴，， ∴， ∴． 【精练】（25-26八年级下·广东深圳·期中）大沙河生态长廊风景如画，为市民提供了休闲运动的场所．如图是其中一段直线型绿道，亲水平台、生态湿地分别坐落于绿道两侧且到绿道的垂直距离均为200米，两者在绿道上的投影点之间的距离（即线段的长度）为400米，绿道上规划了一段100米的便民服务带（具体位置未定），两端分别设置饮水站和休息亭．如果一位市民从亲水平台出发，到饮水站喝水，再沿服务带走到休息亭休息，最后前往生态湿地参加活动，他行走的最短路程是_____________米． 【答案】600 【分析】如图，过作，，连接，，延长与的延长线交于点，可得，，，，可得，再进一步利用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图，过作，，连接，，延长与的延长线交于点， 结合题意可得：，四边形为平行四边形，四边形为矩形， ∴，，，， ∴，， 当三点共线时，最短， ∴， ∴， ∴他行走的最短路程是米． 题型十 根据矩形的性质与判定求面积 【精讲】（25-26八年级下·湖北恩施·期中）活动与实践： 教材重现（新人教版八年级上册数学教材第94页综合与实践牧民饮马问题） 如图1，牧民从地出发，到一条笔直的河边饮马，然后到地．牧民到河边的什么地方饮马可使所走的路径最短? 抽象为数学问题：如图2，已知点、在直线的同侧，在直线上找一点，使得的值最小． 探究活动1（问题转化） 如图3，若点、在直线的异侧时，连接，交直线于点，由“两点之间线段最短”知，对于直线上任意一点，均有，故、、三点在同一条直线上时最小，得所求点即为点． (1)问题1：如图3，若、两点距直线的距离分别为和，且它们之间的水平距离（即图中的垂线段的长）为，请求出此时的最小值为 ． 针对图2点、在直线的同侧，利用轴对称知识，如图4，作出点关于直线的对称点，连接交直线于点．由轴对称性质知直线是线段的垂直平分线，故，同（1）可知所求点即为点． (2)问题2：如图4，若、两点到直线的距离分别为和，且它们之间的水平距离（即图中的垂线段的长）为，请求出此时的最小值为 ． 探究活动2（数形结合） 例：求代数式的最小值． 解：代数式的几何意义： 如图5，线段，分别以、为垂足在线段的同侧作的垂线段和，且，在线段上取点，设，则． (3)问题3：中，根据勾股定理用含的代数式表示 ，同理 ．那么求的几何意义就是求线段、的长度和．此时的最小值为 ． (4)问题4：已知，利用几何意义探究代数式的最小值为 ． 探究活动3（拓展迁移） (5)问题5：求代数式的最小值为 ． (6)问题6：已知、均为正数，且是一个三角形的三边的长，则这个三角形的面积是 ．（用含、的式子表示）． 【答案】(1) (2) (3)；； (4) (5) (6) 【分析】（1）利用勾股定理计算出即可； （2）由轴对称的性质可得，，点到直线的距离为，则，利用勾股定理计算出，结合可得，的最小值为； （3）由勾股定理计算出和，仿照（2）的解法，得出的最小值； （4）构造线段，在两侧构造垂线段，，在上取点，使得，，则，仿照（1）的解法进行计算即可； （5）构造线段，在两侧构造垂线段，，在上取点，使得，则，仿照（1）的解法进行计算即可； （6）构造矩形，，，、分别为、的中点，由勾股定理可得，，，因此即为所求三角形，使用割补法计算面积即可． 【详解】（1）解：∵、两点距直线的距离分别为和， ∴， 在中，， ∵， ∴的最小值为； （2）解：∵点到直线的距离为， 又∵点和点关于直线对称， ∴点到直线的距离为，， ∵点到直线的距离为， ∴， 在中，， ∵， ∴的最小值为； （3）解：在中，， 在中，， 如图，作点关于直线的对称点，连接、，作于点， 由轴对称的性质可得，，， ∵，，， ∴四边形为矩形， ∴，， ∴， 在中，， ∵， ∴当、、三点共线时，取得最小值； （4）解：如图，点在线段上，线段，，，，且，，作，交的延长线于点，连接， 在中，， 在中，， ∴， ∵，，， ∴四边形为矩形， ∴，， ∴， 在中，， ∵， ∴当、、三点共线时，取得最小值， ∴的最小值为； （5）解：如图，点在线段上，线段，，，，且，，作，交的延长线于点，连接， ∴， 在中，， 在中，， ∴， ∵，，， ∴四边形为矩形， ∴，， ∴， 在中，， ∵， ∴当、、三点共线时，取得最小值， ∴的最小值为； （6）解：如图，矩形中，，，、分别为、的中点， ∵四边形是矩形， ∴，，， ∵、分别为、的中点， ∴，， 在中，， 在中，， 在中，， ∴即为所求三角形， ． 【精练】（24-25八年级下·吉林长春·阶段检测）在平面直角坐标系中，直线与直线相交于点，直线与轴交于点，点为折线段上的一个动点，设点的横坐标为，点与不重合，过点作垂直于点所在直线，交轴于点，将线段绕点顺时针旋转，得到线段，连结． (1)求点的坐标； (2)当点落在直线上时，求的值； (3)设与重合部分图形的面积为，请写出与之间的函数关系式： (4)当点在线段上，且经过的某一个顶点和点的直线平分的一个内角或一个外角时，直接写出的值． 【答案】(1) (2) (3)； (4)或或 【分析】（1）将直线与直线联立解方程组即可求解； （2）先求出，进而可求，，由，得，进而可得，，，，， 由，即可求解； （3）分当时；当时；当时，画出图形，结合图形确定重合部分的图形，分别求解即可； （4）分以下三种情况：①当平分时，②当平分时，③当平分的外角时，结合题意画出图形，正确作出辅助线，根据线段和差列方程逐一求解即可． 【详解】（1）解：直线与直线相交于点， ， 解得， 将代入得， ； （2）解：直线与轴交于点， 当时，， ， ， ， ， 直线与直线相交于点， ，， ， ， ， ， ， 点的横坐标为， ， ， ，， ，， ， 当点落在直线上时，如图所示： ，， ， ， ； （3）解：由（2）可知：， 当时，在内部，与重合部分图形的面积为的面积， 如（2）题图所示， ； 当时，与重合部分图形的面积为四边形的面积，如图所示： ， ， ， ， ， 四边形为矩形， ，， ， ， ； 当时，与重合部分图形的面积为的面积，如图所示： ， ， ， ， ， ， ， ， ， 同理可证， ，， ， ， 综上所述，； （4）解：①当平分时，如图所示： ，，， ， ， ， ， ， ， 即， ； ②当平分时，如图所示： 作于， 延长交于，由前面的过程同法可证明四边形是矩形， ， ，平分， ， ，，， 同法可得， ， 即， ； ③当平分的外角时，如图所示： 作于，同理可得，， 而， ， ； 综上所述，当点在线段上，且经过的某一个顶点和点的直线平分的一个内角或一个外角时，的值为或或． 题型十一 根据菱形的性质与判定求角度 【精讲】（25-26八年级下·湖北武汉·期中）如图，矩形对角线交于O点，分别过D，C作，的平行线交于点E． (1)如图1，若，求的大小； (2)如图2，连接；作于点F，若，，求的长； (3)如图3，若，连接，在上画点G，在上画点H，使，连，，当的和最小，且最小值为时，直接写出的长． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据矩形的性质，结合，判定四边形是菱形，再根据判定是等边三角形，即可求解； （2）设，交于点M，根据菱形的性质，勾股定理，菱形的面积表示，求解即可； （3）将线段绕点E顺时针旋转得到，连接，证明，得到，当C，H，N三点共线时，取得最小值，且最小值为，再结合勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：∵矩形对角线交于O点，分别过D，C作，的平行线交于点E． ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴； （2）解：连接；设，交于点M， 根据（1）的解答可知，四边形是菱形， ∴，且，， ∴， ∵于点F， ∴， ∴； （3）解：如图，将线段绕点E顺时针旋转得到，连接， ∵矩形对角线交于O点，分别过D，C作，的平行线交于点E． ∴，， ∴四边形是菱形， ∴，，， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴，， ∴， ∵ ∴ ∴， ∴， ∴当C，H，N三点共线时，取得最小值，且最小值为， ∵的和最小，且最小值为， ∴， 根据勾股定理，得， ∴， 解得（负的舍去）， ∴， ∴. 【精练】（25-26八年级下·湖北武汉·期中）如图是由小正方形组成的的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．点A，B，C，D都是格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中依次完成如下三个画图任务，每个任务的画线不得超过四条． (1)在图（1）中，画； (2)在图（1）中，点P在上，在上画点Q，使；在上画点E，连接，，使； (3)在图（2）中，点G在四边形的对角线上，在上画点H，使． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】（1）把向右平移5格得到点，即可得到； （2）取中点，连接延长交于，此时由可得；由可得是菱形，根据菱形的对称性可得，连接与交于点，由对顶角相等可得，即可得到； （3）如图3，连接与交于点，则由矩形性质可得，连接与左边2格的格线交于点，连接延长交右边2格的格线于，延长交于点，根据与到点左右距离都是1格可得，即可证明，得到，则． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：如图（1），点Q、点E即为所求； （3）解：如图，． 题型十二 根据菱形的性质与判定求线段长 【精讲】（25-26八年级下·辽宁葫芦岛·期中）如图，在平行四边形中，以A为圆心，长为半径画弧交于点F，分别以点B，F为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点G，连接并延长交于点E，连接交于点O，过点A作于点．若，，则_____． 【答案】 【分析】由作图过程可知，，为的平分线，则，，，结合平行四边形的性质以及菱形的判定可证明四边形为菱形，则，，根据，可得，再由，可得，进而可得答案． 【详解】解：由作图过程可知，，为的平分线， ∴，， ∴， 四边形为平行四边形， ∴， ，， ， ， ， 四边形为菱形， ，， ， ， ， ， ． 【精练】（25-26八年级下·浙江温州·期中）如图，在直角坐标系中，四边形的顶点的坐标是，，平分，点的横坐标是3，，点是对角线中点，点是射线上的一个动点，点是线段上的一个动点，且有，以，为边构造． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)当的顶点落在四边形的边所在的直线上时，求的长度； (3)当时，求点的坐标． 【答案】(1)见解析 (2)3或6 (3) 【分析】（1）延长交y轴于点K，根据，可得轴，，从而得到，再结合直角三角形的性质可得，根据平分，可得到，从而得到，再由点的坐标是，可得，即可求证； （2）连接，则交于点D，由（1）可得到四边形是菱形，证明是等边三角形，可得，，，然后分两种情况：当点G在上时，当点G在直线上时，再结合等边三角形的判定和性质，即可求解； （3）过点D作轴于点M，由（2）得：，，，可得，，从而得到，可求出点，设，则，则，，再由直角三角形的性质可得，从而得到，进而得到，，，，可得到点，，进而得到点D先向右平移个单位，再向下平移个单位到达点F的位置，再结合四边形为平行四边形，点E先向右平移个单位，再向下平移个单位到达点G的位置，即可求解． 【详解】（1）证明：如图，延长交y轴于点K， ∵， ∴轴，， ∵点的横坐标是3， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵点的坐标是， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形； （2）解：连接，则交于点D， 由（1）得：四边形是平行四边形，，， ∴四边形是菱形， ∴，，，， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， 如图，当点G在上时，则， ∴， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴； 如图，当点G在直线上时，此时， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴； 综上所述，的长度为3或6； （3）解：如图，过点D作轴于点M， 由（2）得：，，， ∴，， ∴， ∴， ∴点， 设，则，则，， ∵，， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴，，， ∴， ∴点，， ∴点D先向右平移个单位，再向下平移个单位到达点F的位置， ∵四边形为平行四边形， ∴， ∴点E先向右平移个单位，再向下平移个单位到达点G的位置， ∴点G的坐标为，即． 题型十三 根据菱形的性质与判定求面积 【精讲】（25-26八年级下·辽宁鞍山·期中）已知点是内一点，连接，． (1)当点在对角线上． ①如图1，若的面积为，的面积为，求的面积； ②如图2，若，，，求平行四边形的周长； (2)如图3，对角线与相交于点，点不在对角线上，连接，，与交于点，与交于点．求证：． 【答案】(1)①；② (2)见解析 【分析】（1）①如图1，过点作于点，过点作于点，证明，得出，进而得出，根据，即可求解； ②如图2，连接交于点．证明是菱形．设，则．由勾股定理，得，得出，再根据菱形的性质，即可求解； （2）如图3，连接．根据等底同高，得，，得出，进而得出结论． 【详解】（1）解：①如图1，过点作于点，过点作于点． ∴． ∵四边形是平行四边形， ，， ∴． 在和中， ， ∴， ∴． ∵，，， ∴． ∵，∴， ∴． ②如图2，连接交于点． ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴，即． ∴是菱形． ∴，， ∴． 设，则． 由勾股定理，得， ∴，解得， ∴． ∴菱形的周长． （2）证明：如图3，连接． ∵四边形是平行四边形， ∴，， 根据等底同高，得，， ∴， ∴， ∴． 【精练】（24-25八年级下·广西南宁·期末）综合与实践 【问题情景】“综合与实践”课上，如图1，同学们将矩形纸片沿对角线剪开，得到纸片和纸片． 【实践探索】 （1）如图2，乐学小组将沿方向平移到，连接，，请判断四边形的形状，并说明理由． （2）如图2，乐学小组将沿方向平移的过程中，连接，与交于点，若，当时，求四边形的面积． （3）如图3，善思小组将绕点逆时针旋转．使点的对应点落在上，点A的对应点为．过点作于，求证：． 【深入探究】 （4）如图4，创新小组将绕点顺时针旋转到，连接，取的中点，连接，试猜想三条线段的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）四边形是平行四边形，理由见详解，（2）（3）见详解（4），理由见详解 【分析】（1）结合矩形的性质，以及根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形进行作答即可； （2）先根据矩形的性质，结合勾股定理算出，结合等面积法得，再证明四边形是菱形，再列式计算得四边形的面积，即可作答． （3）因为旋转，得，根据矩形的性质得，结合，则，整理得，即可作答． （4）因为旋转得是等腰直角三角形，，结合点是的中点，即由斜边上的中线等于斜边的一半，得再结合勾股定理得，进行整理得，即可作答． 【详解】解：（1）四边形是平行四边形，理由如下： ∵四边形是矩形 ∴如图1的， ∵平移， ∴图2的， ∴四边形是平行四边形， （2）∵如图1的四边形是矩形 ∴ ∵， ∴ ∵ 则 ∴ ∴ ∴ 由（1）得四边形是平行四边形， ∵ ∴四边形是菱形， 则 菱形的面积 （3）连接，如图所示： ∵旋转， ∴ ∵四边形是矩形， ∴， 即 ∵点的对应点落在上，点A的对应点为．过点作于， ∴， ∵ ， ∴， 即， ∵， ∴； （4），理由如下： ∵将绕点顺时针旋转到， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴ ∵点是的中点， ∴ ∵四边形是矩形 ∴ ∴ 则 ∵ 即． 整理得 题型十四 正方形折叠问题 【精讲】（25-26八年级下·重庆·期中）如图，正方形的边长为4，点为边的中点，连接，将沿所在直线翻折到正方形所在平面内，得，连接，，过点作，垂足为，连接，则的值为（     ） A． B．3 C． D．2 【答案】D 【分析】连接，交于点H，过点F作于点M，证明，求出，证明，得出，，证明四边形为矩形，得出，求出，最后求出结果即可． 【详解】解：连接，交于点H，过点F作于点M，如图所示： ∵四边形为正方形， ∴，，， ∵为的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， 根据折叠可得：，垂直平分， ∴，， ∴，， ∵， ∴， 即， ∴， ∴， ∵为的中点， ∴， ∵， ∴， ∵为的中点，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴四边形为矩形， ∴， ∴， ∴． 【精练】（25-26八年级下·辽宁鞍山·期中）如图，已知点是正方形边上的一点，将沿所在直线翻折，点落在点处，连接并延长交的延长线于点，若，，则四边形的面积为__________． 【答案】 【分析】连接，交于点，由正方形的性质，可得，，由翻折可得，，，可得，，，设，则，，可得，由勾股定理可得，可得，即可得四边形的面积． 【详解】解：连接，交于点， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵将沿所在直线翻折，点落在点处， ∴，，， ∴，，， ∴，， 设，则，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四边形的面积为． 题型十五 求正方形重叠部分面积 【精讲】（25-26八年级下·北京·期中）已知正方形和正方形边长相等，如图1，点，，，均在直线上，若正方形可沿平移．设长为，两个正方形重叠部分的面积为，关于的函数图象如图2所示．给出下面三个结论： ①正方形的对角线长为； ②当时，重叠面积 ③函数图象的最高点的坐标为． 上述结论中，所有正确结论的序号是（   ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】D 【分析】由正方形的性质，结合函数图象，分析正方形平移过程中，两个正方形重叠部分的变化，用对角线表示正方形的面积，对各选项进行分析判断即可． 【详解】解： 由图可知，当及时，， ∴两个正方形对角线长之和， ∴正方形的对角线长为，故①正确符合题意； ∵两个正方形边长相同， ∴， 设正方形边长为，则， 解得， ∴正方形的边长为， 当时，重叠部分是对角线长为的正方形， ∴， 当时，取得最大值，此时两正方形重合， ∴， ∴函数图象的最高点坐标为， ∴③正确，符合题意； 当时，重叠部分是对角线长为的正方形， ∴， 当时，， ∴②正确，符合题意． 【精练】如图，已知正方形的边长为4，两条对角线相交于点O，以O为顶点作边长为a的正方形，将正方形绕点O旋转． (1)旋转过程中，正方形与正方形重叠部分的面积为________； (2)连接，延长交于点H，判断与的位置关系，并说明理由． (3)连接，当以B、D、E、C为顶点的四边形是平行四边形时，求边长a的值并求此时点D到的距离． 【答案】(1)4 (2) ，理由见解析 (3) ，点D到OE的距离为 ； ，D到的距离为， 【分析】(1)如图，依据正方形的性质，通过判定 ，得到，四边形的面积= 问题得解． (2)证 ，得到，通过对顶角相等和三角形内角和定理，证得，问题得以解决； (3)以为边的平行四边形有和，以为对角线的平行四边形有，根据图形分情况即可求解． 【详解】（1）如图，设分别交于M、N， 在正方形中，是等腰三角形，， ， 在正方形中， , , 又 ，即， ， 在和中 ， ， ， 四边形的面积= ， 正方形的边长是4， 四边形的面积 ， 故答案为：4 （2）如图， ∵和是正方形， ∴ ∴ 在和中 ， ， ， ，， ， ， （3）如图，当四边形是平行四边形时， ，， 在 中， ， 过点D作 于，于N，则    ， ， ， 即点D到的距离为 ； 如图，当四边形是平行四边形时， ， 在中， ， , 在中， ， , ，即D到的距离是 ； 当四边形是平行四边形时，如图，此时A与E重合，D与G重合，H与O重合， D到的距离即为的长， ； 综上所述，点D到的距离为：或 ． 题型十六 根据正方形的性质与判定证明 【精讲】（25-26八年级下·安徽合肥·阶段检测）如图1，四边形为正方形，为对角线上一点，连接，． (1)求证：． (2)如图2，过点作，交边于点，以，为边作矩形，连接． （ⅰ）求证：． （ⅱ）若正方形的边长为，求的值． 【答案】(1)证明：四边形为正方形， ，， 在和中， ， ； (2)（ⅰ）证明：如图，在正方形中，作于点，于点， ， 四边形为矩形， 在正方形中，平分，且，， ， 四边形为正方形， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ． （ⅱ）． 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定、正方形的性质与判定． （1）根据正方形的性质可得，，即可判定，再利用全等三角形的性质即可求证； （2）（ⅰ）通过作，得出四边形为正方形，利用正方形的性质求得，得出，即可求解； （ⅱ）根据正方形的性质求出，根据全等三角形的性质得出，利用求解． 【详解】（1）略； （2）（ⅰ）略； （ⅱ）四边形是矩形，， 四边形是正方形， ，， 四边形是正方形， ，， ， 在和中， ， ， ， 四边形为正方形， ， ， 正方形的边长为， ， 的值为． 【精练】（25-26八年级下·江苏南通·期中）【问题情境】如图，矩形ABCD中，，折叠矩形纸片，使点的对应点落在边上，得到折痕，把纸片展平；继续沿过点的直线折叠，点的对应点落在边上，得到折痕，把纸片展平，的对应边交于点． (1)【初步探究】四边形的形状是______； (2)【深入探究】用等式表示线段，之间的数量关系，并证明； (3)【拓展延伸】设交于点，，求的长． 【答案】(1)正方形 (2)，理由见解析 (3)． 【分析】（1）先证明，可得四边形为矩形，再证明，从而可得结论； （2）连接，证明，．，可得，而可得结论； （3）由≌得，，设，则，由勾股定理得，，即，可得． 【详解】（1）解：四边形为正方形，理由如下： ∵矩形纸片， ∴， 由折叠可得：， ∴四边形为矩形， 由折叠可得：， ∴四边形为正方形； （2）解：， 证明：连接，    ∵四边形是矩形， ∴． ∴． 由折叠知，，． ∵四边形是正方形， ∴， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∴； （3）解：由≌得，， ∴， ∵正方形中， ∴， 设，则， 由勾股定理得，，即， 解得， 即． 题型十七 根据正方形的性质与判定求线段长 【精讲】（25-26八年级下·广东珠海·期中）综合与实践课上，同学们以“折纸”为主题开展数学活动．将矩形对折，使点落在边上的点处，得到折痕，点和点分别在线段和线段上，折痕与对角线交于点．打开铺平，得到图． (1)若点与点重合，，，求折痕的长度； (2)若矩形变成边长为的正方形，其他条件不变，如图． 当点为的中点时，线段_______； 若，，请求出关于的函数，并求出自变量的取值范围． 【答案】(1)折痕的长为； (2) ； 关于的函数关系式为． 【分析】（）当点与点重合，此时与重合，连接，，由四边形是矩形，则，，，通过折叠性质可得，，设，则，由勾股定理得，即，然后求出的值即可； （）如图，过作于点，作于点，连接，则，证明四边形是正方形，则，证明，所以，可证是等腰直角三角形，通过勾股定理得，然后求出，，从而可得； 如图，过作于点，作于点，连接，则，由折叠性质可知，同得是等腰直角三角形，，由四边形是正方形，得，通过勾股定理得，，所以，通过勾股定理可得，则，从而得，故关于的函数关系式为． 【详解】（1）解：当点与点重合，此时与重合， 如图，连接，，     ∵四边形是矩形， ∴，，， 由折叠性质可得，，， ∴， ∴， 设，则， 由勾股定理得，， ∴， 解得：， ∴， ∴， ∴， ∴折痕的长为； （2）解：如图，过作于点，作于点，连接，则， 由折叠性质可知，， ∵四边形是正方形， ∴，平分， ∴， ∴四边形是矩形， ∵平分，，， ∴， ∴四边形是正方形， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， 当点为的中点时， ∴， ∴， ∴； 如图，过作于点，作于点，连接，则， 由折叠性质可知，， 同得是等腰直角三角形，， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴ ， ∵， ∴， ∴， ∴关于的函数关系式为． 【精练】（25-26八年级下·江西赣州·期中）定义：若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，则称这个四边形为“勾股四边形”，这两条相邻的边称为这个四边形的勾股边． (1)概念理解 ①你所知道的特殊四边形中，是“勾股四边形”的有_____（一个即可）； ②如图（1），点在正方形网格的格点上，请你在图中画出以格点为顶点，为勾股边，且对角线相等的所有“勾股四边形”； (2)知识运用 如图（2），是等边三角形，，且，，求证：，即四边形是“勾股四边形”． (3)拓展应用 如图（3），菱形是“勾股四边形”，对角线、交于点，，，求四边形的面积． 【答案】(1)①正方形（或矩形）；②见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）①根据勾股定理可知，矩形和正方形相邻两边的平方和等于其一条对角线的平方，即可求解，②根据勾股定理计算出对角线的长度，得到，再结合网格的特点画出即可； （2）如图，连接，证明可得，，证明是等边三角形，得到，，则可证明，由勾股定理可得，则． （3）先证明四边形是正方形，得到，，证明得 则可推出，据此可得答案． 【详解】（1）解：①由勾股定理可知，矩形和正方形相邻两边的平方和等于其一条对角线的平方； ②如图所示，四边形和四边形即为所求； （2）证明：如图，连接， ∵是等边三角形， ∴，， ∵， ∴，即， 又∵， ∴， ∴； ∵，， ∴是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴，即四边形是“勾股四边形”． （3）解：∵四边形是菱形， ∴， ∵菱形是“勾股四边形”， ∴菱形的两边长的平方等于其对角线的平方， 不妨设 ∴ ∵四边形是菱形， ∴四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴. 题型十八 根据正方形的性质与判定求面积 【精讲】（24-25八年级下·湖北武汉·期中）在平面直角坐标系中，在轴的正半轴上． (1)如图1，以为斜边在第一象限内作等腰，点为边上一动点，过作的垂线交于轴于点． ①直接写出点的坐标：__________（用含的式子表示）； ②四边形的面积为，若将三角形的面积分成两部分，求点的坐标； (2)如图2，以为一边在第一象限内作，再将绕原点逆时针旋转得到，使的对应边落在轴的负半轴上，、分别是与线段和轴的交点，若，，求的长． 【答案】(1)①；②或 (2) 【分析】（1）①过点分别作的垂线，垂足分别为，根据等腰三角形的性质可得，即可得出点的坐标； ②根据题意得出，证明进而得出，根据题意，分类讨论，，，分别求得的长，即可求解； （2）勾股定理求得，，勾股定理的逆定理得出是直角三角形，且，根据旋转的性质可得，则，根据平行线的性质可得，设得，进而可得，则，可得，再根据勾股定理，即可求解． 【详解】（1）解：①如图所示，过点分别作的垂线，垂足分别为， ∵等腰，在轴的正半轴上， ∴ ∴ 故答案为：． ②∵，轴， ∴,， 又∵ ∴四边形是矩形， ∵ ∴四边形是正方形， ∵ ∴， ∵ ∴ ∵等腰， ∴， 又∵， ∴ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴, ∴ ∵将三角形的面积分成两部分， 当 ∴ ∴ 当 ∴ ∴ 综上所述，或 （2）解：设 ∵，将绕原点逆时针旋转得到， ∵ ∴ ∴ ∵ 则 ∴ ∵ ∴ ∴是直角三角形，且 ∵将绕原点逆时针旋转得到， ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴． 【精练】如图，点O、A、B均在直线l上，且．以AB为直角边在直线的上方作直角三角形，使，．动点P、Q同时从点O出发向右运动，当点Q与点B重合时动点P、Q同时停止运动．点P的速度为每秒4个单位，点Q的速度为每秒2个单位，以为边在直线的上方作正方形，设P、Q两点的运动时间为t秒，正方形与重叠部分的图形面积为． (1)______；（用含t的式子表示） (2)连接，当为等腰三角形时，求t的值． (3)请你直接写出S与t的函数关系式，并写出t的取值范围． 【答案】(1) (2)当为等腰三角形时，或2 (3)S与t的函数关系式为： 【分析】(1)计算运动距离，结合解答即可． (2)根据直角三角形斜边大于直角边，只能两直角边相等，分三角形在点A左边和右边两种情形即可． (3) 点P、Q分别落在点A的两侧和点P、Q分别落在点B的两侧计算即可． 【详解】（1）解：由题意得：， ∴； 故答案为． （2）解：∵四边形是正方形， ∴， 当点P在点A的左侧时，如图甲所示： ∵， ∴， ∵为等腰三角形， ∴， 解得：； 当点P在点A的右侧时，如图乙所示： ∴， 解得：； 综上所述：当为等腰三角形时，或2． （3）S与t的函数关系式为：； 理由如下： ∵，， ∴为等腰三角形， 由题意可分①当点P、Q分别落在点A的两侧时，如图丙所示： ∴正方形与重叠部分的图形面积为， ∵， ∴为等腰三角形， ∴， ∴； ②当点P、Q分别落在点B的两侧时，如图丁所示： ∴正方形与重叠部分的图形面积为， 由题意可知为等腰三角形， ∴，， ∴； 综上所述：S与t的函数关系式为： 题型十九 利用(特殊)平行四边形的对称性求阴影面积 【精讲】如图，点，分别是矩形的边，的中点，两条平行线，分别经过菱形的顶点，和边，的中点，，已知菱形的面积为，则图中阴影部分的面积和为___________．（用含的代数式表示） 【答案】 【分析】连接、交于点，设交于点，交于点，连接，由、分别是、的中点，得，，得出四边形是平行四边形，再利用四边形是菱形，可得，，，利用证明，再利用证明，从而得出，根据菱形的面积为，进而得出，运用平行四边形面积可得，，最后根据即可求得答案． 【详解】解：如图，连接、交于点，设交于点，交于点，连接， 四边形是矩形， ，，， 、分别是、的中点， ，， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是矩形， ，，， 四边形是菱形， ，， ， ， ， ， 点是的中点， ， 在和中，， ， ， ， ，，， 点是矩形的中心，即、、三点在同一条直线上， ， ， ， 在和中，， ， ， ，， 四边形是平行四边形， 同理，四边形是平行四边形， ， ， 同理可得，， ， 菱形的面积为， ， ， ， ， ， ； 故答案为：． 【精练】如图所示，四边形是正方形的内接四边形，与都是锐角，已知，，四边形的面积是．求正方形的面积．    【答案】 【分析】过点，，，，分别作，，，的垂线，分别交于,于，于,于,得矩形，利用勾股定理表示出，，然后由，，，，推出，即可得出，得到最后结果． 【详解】解：过点，，，，分别作，，，的垂线，分别交于,于，于,于,得矩形，      设正方形的边长为，，， ，，，， ，，四边形的面积为， ，， 由，，，， 得到， ， 即， 又四边形的面积是， ， 解得：，即正方形的面积为． 题型二十 (特殊)平行四边形的动点问题 【精讲】（25-26八年级下·吉林·期中）如图，在中，，，垂直平分于点．点从点出发，沿以每秒1个单位长度的速度向终点运动，同时动点从点出发沿射线以每秒3个单位长度的速度运动，点到达终点时，同时停止运动，设点运动的时间为秒． (1)的长为___________ (2)用含的代数式表示线段的长． (3)当以点为顶点的四边形是平行四边形时，求的值． (4)当为钝角三角形时，直接写出的取值范围． 【答案】(1)16 (2)或 (3)或 (4)或或 【分析】（1）由垂直平分线的性质可求，由勾股定理可求解； （2）分两种情况讨论，列出代数式即可； （3）由平行四边形的性质可得，列出方程可求解； （4）分三种情况讨论，列出不等式组即可求解． 【详解】（1）解：∵垂直平分于点， ，， ∵， ； （2）解：∵在中，，， ∴，， 当点在线段上时，， 当点在线段的延长线上时，； （3）解：∵以点、、、为顶点的四边形是平行四边形，且， ， 或， 解得：或； （4）解：当点在上，点在上时，则， ， ， 当在线段的延长线上时，点在上时， 当时，如图所示， ， 又， ∴， 解得：， ∴时，； 当点在线段的延长线上，点在上时，则， ， 解得：， 综上所述：或或． 【精练】（25-26八年级下·辽宁鞍山·期中）已知，矩形中，，，的垂直平分线分别交、于点、，垂足为． (1)如图1，连接、．求证四边形为菱形，并求的长； (2)如图2，动点、分别从、两点同时出发，沿和各边匀速运动一周．即点自停止，点自停止．在运动过程中， ①已知点的速度为每秒，点的速度为每秒，运动时间为秒，当、、、四点为顶点的四边形是平行四边形时，求的值． ②若点、的运动路程分别为、（单位：，），已知、、、四点为顶点的四边形是平行四边形，求与满足的数量关系式． 【答案】(1)证明见解析； (2)①秒；②与满足的数量关系式是 【分析】（1）先证明四边形为平行四边形，再根据对角线互相垂直平分的平行四边形是菱形作出判定；根据勾股定理即可求得的长； （2）①分情况讨论可知，当P点在上、Q点在上时，才能构成平行四边形，根据平行四边形的性质列出方程求解即可． ②由题意得，以A、、、四点为顶点的四边形是平行四边形时，点、在互相平行的对应边上，分三种情况，根据平行四边形对边相等建立等式即可求解． 【详解】（1）解：∵四边形是矩形， ∴， ∴，＝， ∵垂直平分，垂足为， ∴， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形， 又， ∴四边形为菱形． 设菱形的边长，则， 在中，， 由勾股定理得， 解得， ∴． （2）①显然当P点在上时，Q点在上， 此时A、 C、P、Q四点不可能构成平行四边形； 同理P点在上时，Q点在或上或P在上， Q在时不构成平行四边形，也不能构成平行四边形． 因此只有当P点在上、Q点在上时，才能构成平行四边形， ∴以A、 C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，， ∵点P的速度为每秒5 cm，点Q的速度为每秒4 cm，运动时间为t秒， ∴，＝，即＝， ， 解得， 以A、 C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，秒． ②由题意得，四边形是平行四边形时，点、在互相平行的对应边上． 分三种情况： i）如图1，当点在上、点在上时，，即，得； ii）如图2，当点在上、点在上时，，即，得； iii）如图3，当点在上、点在上时，，即，得． 综上所述，与满足的数量关系式是． 题型二十一 四边形中的线段最值问题 【精讲】（24-25八年级下·浙江宁波·期中）如图所示，E为边长是4的正方形的边的中点，M为上一点，N为上一点，连接，则四边形周长的最小值为（　　） A． B． C．10 D．12 【答案】D 【分析】如图：延长至，使，延长至，使，连接，交于M，交于N，根据线段垂直平分线的性质得到，，根据两点之间线段最短可知，就是四边形周长的最小值，再根据勾股定理计算即可． 【详解】解：如图：延长至，使，延长至，使，连接，交于M，交于N， ∵四边形是正方形， ∴， ∴垂直平分，垂直平分， ∴，， ∴四边形周长， 根据两点之间线段最短可知，就是四边形周长的最小值． ∵E为边长是4的正方形的中点， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∴四边形周长的最小值为． 【精练】（25-26八年级下·安徽合肥·阶段检测）如图，在菱形中，是边的中点，分别是上的动点，连接，若，则下列结论错误的是（     ） A．的最小值为 B．的最小值为 C．当是的中点时，的最小值为4 D．当是的中点时，的最小值为 【答案】C 【分析】根据垂线段最短判断A选项；根据“将军饮马模型”判断B选项；根据两点之间线段最短判断C选项；根据垂线段最短判断D选项． 【详解】解：A选项，∵四边形是菱形，且， 是等边三角形． 是上的动点， ∴当时，最小，此时，， 故A选项不符合题意； B选项，∵四边形是菱形， ∴点关于对称， ． 如图1，连接交于点，当点与点重合时，， 此时，的值最小，过点作交的延长线于点F． ， ， ， ， ，， ，故B选项不符合题意； C选项，如图2，当是的中点时，连接，当三点共线时，的值最小． 是的中点， ， 是等边三角形， ，故C选项符合题意； D选项，如图2，当时，的值最小，此时，故D选项不符合题意． 题型二十二 四边形其他综合问题 【精讲】在数学综合与实践活动课上，同学们用两个完全相同的矩形纸片展开探究活动： 【实践探究】：（1）小红将两个矩形纸片摆成图1的形状，连接，则__________ 【解决问题】：（2）将矩形绕点A顺时针转动，边与边交于点M，连接，． ①如图2，当时，求证：平分； ②如图3，当点F落在上时，连接交于点O，则__________； 【迁移应用】：（3）如图4，正方形的边长为是边上一点（不与点重合），连接，将线段绕点E顺时针旋转至，作射线交的延长线于点G，求的长； （4）如图5，在菱形中，是边上一点（不与点重合），连接，将线段绕点E顺时针旋转至，作射线交的延长线于点G，若，求的长。 【答案】（1）45；（2）①见解析；②4；（3）；（4） 【分析】（1）证明是等腰直角三角形，得出，则可得出答案； （2）①由矩形的性质及平行线的性质证明，则可得出结论； ②过点B作于点E，求出，证明，得出，，证明，得出； （3）过点F作交于点H，证明，得出，，证明是等腰直角三角形，则可得出答案； （4）过点F作，与的延长线交于点H，证明，得出，，，证出是直角三角形，由直角三角形的性质可得出答案． 【详解】解：（1）∵长方形纸片和是两个完全相同的长方形， ，， ， ， 是等腰直角三角形， ， 故答案为：45； （2）①证明：∵， ， ∵矩形中， ， ， 平分； ②过点B作于点E， ，， ， ， ， ， ， ， 又 ，， ， ，， ， ， ， 又 ，， ， ， 故答案为：4； （3）过点F作交于点H， 四边形是正方形， ，， ， 由旋转得，， ， ， 在和中， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， 是等腰直角三角形， ； （4）过点F作，与的延长线交于点H，如图： 四边形是菱形， ，， ， 由旋转得，， ， ， ， ，，， ， ， ， ， ， ， ， 是直角三角形， ， ， ， ， ， ． 【精练】如图，正方形，点、分别在、上． (1)如图1，当时． ①求证：； ②平移图1中线段，使点与重合，点在延长线上，连接，取中点，连接，如图2，求证：； (2)如图3，若点在上，和相交于点．当，边长，，求的长． 【答案】(1)①见解析；②见解析 (2) 【分析】（1）①如图1，可证得四边形是平行四边形，进而可证，即可证得结论； ②在上截取，如图2，则是等腰直角三角形，，由，利用全等三角形性质和正方形性质即可得出结论； （2）如图3，过点作交于点，则四边形是平行四边形，作，交延长线于，利用证明，设，则，运用勾股定理建立方程求解即可． 【详解】（1）证明：①过点作，交的延长线于点， 四边形是正方形， ，， ， 四边形是平行四边形， ，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ； ②在上截取，如图2， 则是等腰直角三角形，， 由（1）知，， ， ，， ， ， ， ， 即； （2）解：如图3，过点作交于点， 则四边形是平行四边形， ，， ，，， ， ， 作，交延长线于， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， 设，则， 在中，， ， 解得：， ． 题型二十三 与三角形中位线有关的求解问题 【精讲】（25-26八年级下·辽宁葫芦岛·期中）如图，四边形与四边形都是正方形，且． (1)如图，连接，则 ； (2)将图中的正方形绕着点按顺时针方向旋转一定的角度，得到正方形． 如图，过点作，交于点，求证：； 如图，正方形的对角线，相交于点，与相交于点，求的长． 【答案】(1)； (2)见解析； 的长为． 【分析】（）由四边形与四边形都是正方形，三点共线，则，，所以，然后通过勾股定理即可求解； （）由四边形是正方形，得，，由题意可得，则，然后通过对顶角相等，等角的余角相等得出，再由等角对等边得； 过点作于点，交于点，连接，，，同理可得，又四边形，是正方形，则，，，平分，平分，证明，故有，，再证明，所以，，然后证明，所以，则有，即为中点，可得是的中位线，然后通过中位线定理即可求解． 【详解】（1）解：∵四边形与四边形都是正方形，三点共线， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：； （2）证明：∵四边形是正方形， ∴，， ∵正方形绕着点按顺时针方向旋转一定的角度，得到正方， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 解：如图，过点作于点，交于点，连接，，， 同理可得：， ∵四边形，是正方形， ∴，，，平分，平分， ∴， 由勾股定理得，， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即为中点， ∵为中点， ∴是的中位线， ∴， ∵， ∴， ∴的长为． 【精练】（25-26八年级下·辽宁葫芦岛·期中）如图，是斜边上的中线，，以，为边作四边形，且，． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明：∵是中点， ∴， ∵， ∴， ∵，即， ∴四边形是平行四边形， ∵是斜边上的中线， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是菱形； (2)． 【分析】（）先证明，又，即，所以四边形是平行四边形，然后通过，即可证明四边形是菱形； （）连接交于点，过作，交延长线于点，则，由菱形性质可得，，，，然后证明四边形是矩形，所以，，可得是的中位线，所以，在由勾股定理即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：如图，连接交于点，过作，交延长线于点，则， ∵四边形是菱形， ∴，，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵是中点，是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴， ∴， 由勾股定理得：， ∴的长为． 题型二十四 与三角形中位线有关的证明 【精讲】（25-26八年级下·安徽亳州·阶段检测）点E在菱形的边上，与相交于F． (1)如图1，若，求的度数； (2)如图2，延长至G，使得，连接，求证：； (3)如图3，若E为的中点，点H为的中点，且，连接，求证：． 【答案】(1) (2)证明：如图，连接交于O， ∵四边形为菱形， ∴， ∵， ∴， ∴； (3)证明：∵菱形， ∴， ∵E为的中点，， ∴，则 ∴ ∵H为的中点， ∴ ∴， ∴， ∵菱形中，， ∴ ， ∴， 在和中，∵，，， ∴， ∴ ， ∵， ∴． 【分析】（1）由等边对等角以及三角形的外角性质得到，然后根据菱形的性质得到，再由平行线的性质求解即可； （2）连接交于O，通过三角形中位线证明即可； （3）通过直角三角形斜边中线的性质以及菱形的性质证明，然后结合三角形的外角性质证明即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∵为菱形的对角线， ∴， ∴， 又∵菱形中， ∴， ∴； 【精练】（25-26八年级下·山东菏泽·阶段检测）如图所示，已知E为中边延长线上一点，且，连接，分别交，于点F，G，连接交于O，连接．求证： (1)； (2)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）由平行四边形的性质得，，则，而，所以，即可根据“”证明； （2）由，，根据三角形的中位线定理得，且，所以． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ，， ， ， ， 在和中， ， ． （2）证明：的对角线与交于点， ， 由（1）， ∴， 是的中位线， ，且， ． 题型二十五 三角形中位线的实际应用 【精讲】（24-25八年级下·江苏连云港·期末）（1）问题发现 平行四边形是中心对称图形，对称中心是对角线的交点，过对称中心的直线平分平行四边形的面积．如图1，在中，点是对称中心，经过点，交于点，交于点，请证明：平分的面积； 我们还可以发现：若直线平分的面积，则经过的对称中心且． （2）结论应用 如图2，菱形的边长为，面积为，点是上一点，且，过点的直线与交于点．若平分菱形的面积，则四边形的周长为__________； （3）问题解决 旅游度假区在一块矩形草地上进行旅游功能区规划工作，如图3，在矩形草地中，，过点的直线将矩形的面积平分为两部分，左侧为休闲住宿区，右侧为活动娱乐区，现规划在左侧休闲住宿区域内搭建帐篷，顶点在矩形内，且到、的距离相等，直线过点，分别交、于点、，，求出此时的长，并直接写出的面积为__________． 【答案】（1）见解析；（2）；（3），平方米． 【分析】（）由四边形是平行四边形 则，故有，，证明，所以，然后通过面积和差即可； （）过作于点，过作于点，则，证明四边形是矩形，则有，又菱形的边长为，面积为，即，所以，然后通过勾股定理分别求出，，从而求解； （）连接交于点，取中点，连接，交于点，延长交于点，则，由、为、的中点，故有，， ，由勾股定理得，，通过，则，证明，所以，，，的面积为平方米． 【详解】解：（）∵四边形是平行四边形 ， ∴， ∴，， ∵、交于点，为对称中心， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴ ∵， ∴ ，即平分的面积； （）过作于点，过作于点，则， ∵平分菱形的面积， ∴经过菱形的对称中心且， ∵四边形是菱形， ∴，， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵菱形的边长为，面积为， ∴， ∴， 在中由勾股定理得：， ∴， ∴， ∴四边形的周长为 ， 故答案为：； （）连接交于点， 由题意可知，， 取中点，连接，交于点，延长交于点， 则， ∵、为、的中点， ∴，， ∴， ∵点到、的距离相等 ， ∴， ∴，， 在中，， 在中，， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴（平方米）， ∴的面积为平方米． 【精练】在中，，于点M，D是线段上的动点（不与点B，C，M重合），将线段绕点D顺时针旋转得到线段． (1)如图1，若点E在线段上且，时，求的长； (2)如图2，若D在线段上，在射线上存在点F满足，连接，请证明：； (3)如图3，若，过M作直线交边于点N，再作点N关于的对称点，点P是直线MN上一动点，将沿所在直线翻折至所在平面内得到，连接，点H为的中点，连接，当取得最大值时，连接，将沿所在直线翻折至所在平面内得到，请直接写出此时的值． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】（1）证明，得到，在中，，证明，则，即可求出答案； （2）延长到点N，使得连接，证明，则由，即可证明结论； （3）证明点G在以点A为圆心，为半径的圆上，则当最大时，也最大，此时三点共线，设，则，得到，，，过点H作于点T，连接，则垂直平分，过点G作于点K，此时经过的中点，得到，，则，证明，则，，，在中，，即可求出答案． 【详解】（1）解：线段绕点D顺时针旋转得到线段． ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）如图，延长到点N，使得连接， ∵ ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴， ∴， 由旋转可知， ∴ ∴， ∴ ∵， ∴； （3）根据翻折可知，， ∴点G在以点A为圆心，为半径的圆上，如图， ∵点H是的中点，点是的中点， ∴, ∴当最大时，也最大，此时三点共线， ∵， ∴， ∵， ∴， 设，则， ∴，， ∴， ∴， 如图，过点H作于点T，连接，则垂直平分，过点G作于点K， 此时经过的中点， ∴， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴ 题型二十六 等腰梯形的性质定理 【精讲】已知如图：在四边形中，，，，，动点P从点B出发在线段上向点C运动；点Q从点D出发在线段上向点A运动，速度为，当其中一个点到达终点时，另一点也停止运动．设运动时间为t秒． (1)当秒时，四边形面积为多少？ (2)当时，求t的值． (3)当以P、Q、D为顶点的三角形是等腰三角形时，则______________．（直接写出答案） 【答案】(1)四边形DCPQ面积为 (2)当时，秒或秒 (3)5或4或或 【分析】（1）根据题意得到，，求得，根据梯形的面积公式即可得到结论； （2）过点Q作于E，则四边形是矩形，根据矩形的性质得到，，，根据勾股定理列方程即可得到结论； （3）根据题意得到，，，①当时，②时，③当时，根据等腰三角形的性质列方程即可得到结论． 【详解】（1）由题意得：，， ∴， 当秒时，， ∵， ∴， ∴四边形DCPQ面积． 答：四边形面积为； （2）过点Q作于E，则四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， 当时，， 解得秒或秒． 答：当时，秒或秒； （3）由题意得，，， ①当时，即， 解得或； ②时，即， 解得：（不合题意舍去）或； ③当时，即， 解得：，， 但当时，D，Q两点重合，故； 综上所述，当以P、Q，t为5或4或或； 故答案为：5或4或或． 【精练】如图，在等腰梯形中，，，，平分，、是对角线、的中点，且，求梯形的面积． 【答案】 【分析】由等腰梯形性质和平行线性质得出，求出，设，则，连接，并延长交于，证推出，，求出，即可求出，过点作于，求出进而求出梯形面积即可． 【详解】解：四边线是等腰梯形， ， ， ， 平分， ， ， ∴， ， ， ， 设，则， 如图，连接，并延长交于，    在和中， ， ， ，， ， ， ， 即， 即，， 如图，过点作于，   ，， ， ， ， 梯形面积． 题型二十七 等腰梯形的判定定理 【精讲】（24-25八年级下·上海徐汇·期末）已知：如图1，四边形中，． (1)求证：四边形是等腰梯形； (2) 定义：在平面内，如果存在一点到四边形的四条边的距离相等，就称这个点为四边形“内心”；如果存在一点到四边形的四个顶点的距离相等，就称这个点为四边形“外心”．如果一个四边形同时存在“内心”与“外心”，就称这个四边形为“双心四边形”；如果一个四边形只存在“内心”或只存在“外心”，就称这个四边形为“单心四边形”． ①i）四边形为（    ） A．双心四边形        B．存在“内心”的单心四边形 C．存在“外心”的单心四边形    D．以上都不对 ii）设，当四边形的“内心”或“外心”存在且在四边形内时（不包括边界），直接写出的取值范围：__________． ②若四边形的“内心”或“外心”存在，请在图2中作出“内心”点或“外心”点（不需要说明作图理由，保留作图痕迹，并写出作图结论）； ③当时，求出“内心”点到四边形的四条边的距离或“外心”点到四边形的四个顶点的距离． 【答案】(1)见解析 (2)①i）C；ii）；②见解析；③ 【分析】本题考查了圆的基本性质，等腰梯形的性质与判定，矩形的性质与判定，平行四边形的性质与判定，垂直平分线的性质，角平分线的性质，勾股定理，理解新定义是解题的关键； （1）延长交于点，根据等腰三角形的性质，得出，进而证明，结合已知即可得证； （2）①i）根据角平分线的性质以及垂直平分线的性质分析，即可求解； ii）根据题意画出图形，找到临界点，即在上时，可得是等边三角形，进而得出的值，结合图形，即可求解；②作的垂直平分线交于点，则外心即为所求； ③过点分别作的垂线，垂足分别为，过点作分别交于点，则四边形是矩形，进而勾股定理即可求解． 【详解】（1）证明：如图，延长交于点， ∵ ∴ 又∵ ∴ ∴ 又∵ ∴ ∴ ∴四边形是梯形， 又∵ ∴四边形是等腰梯形； （2）①i）四边形为存在“外心”的单心四边形；如图， 假设四边形为“内心”的单心四边形 ∴内心为对角平分线的交点， 如图，假设为四边形的内心， ∴ 又∵， ∴ ∴，同理可得 ∴四边形是平行四边形，与四边形为等腰梯形矛盾， ∴四边形不是“内心”的单心四边形 故选：C． ii）设，当四边形的“外心”存在且在四边形内时（不包括边界），如图， 当在上时， 此时， 又∵ ∴ ∴ ∴是等边三角形， ∴即 ∵四边形的“外心”存在且在四边形内时（不包括边界） ∴ 又∵ ∴ 故答案为：． ②如图，“外心”点，即为所求； ③如图，过点分别作的垂线，垂足分别为，过点作分别交于点，则四边形是矩形， ∵， ∴， 直线是等腰梯形的对称轴，则，， ∴ 在中， 设“外心”点到四边形的四个顶点的距离为， 在中， 在中， ∴ 又∵， 设，则 ∴ 解得： ∴ ∴“外心”点到四边形的四个顶点的距离为． 【精练】如图，直线与坐标轴分别交于A，B两点，以线段为一边向上作等边三角形．    (1)求出A，B，C的坐标； (2)已知在y轴上有一点P，且，求出符合条件的P点坐标； (3)平面直角坐标系内有一点Q，使得以A，C，O，Q为顶点的四边形为等腰梯形，请直接写出所有符合条件的Q点坐标． 【答案】(1)，， (2)或 (3)，， 【分析】（1）根据一次函数图象上点的坐标特征求点A，B的坐标，结合等边三角形和含30°直角三角形的性质求得C点坐标； （2）结合三角形面积公式，利用方程思想计算求解； （3）根据等腰三角形的性质分三种情况讨论求解． 【详解】（1）解：在中，当时，， 当时，， ∴，， 过点C作轴，交轴于点D，    ∵，， ∴，， 在Rt中，， ∵， ∴，， ∵是等边三角形， ∴，， ∴，， 在Rt中，，， ∴， ∴； （2）解：由（1）已证， ∴， ∴四边形为梯形， 设y轴上一点 当时，， 解得，， ∴或； （3）解：当，且时，四边形是等腰梯形，    由（1）已证， ∴，， 在中，， ∴， ∴， 当，且时，四边形是等腰梯形，    过点作轴， 由（1）已证， ∴，， ∴，， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， 在中，，， ∴； 当，四边形是等腰梯形时，如图，连接， 则，； 设， 则，解得：或， ∴或； 当时，它为的中点，此时四边形为平行四边形，不符合题意，故舍去； ∴； 综上，，，． 题型二十八 已知因式分解的结果求参数 【精讲】课本上在面对整式除法的时候告诉了我们长除法的方法，根据因式分解的定义我们可以发现，如果我们知道一个整式其中的一个因式，那么通过长除法得到的余式一定是0，商式则是这个整式的另一个因式，所以现在我们也可以利用长除法帮助我们一起分解因式．下面请先阅读课本上的材料并解决下列问题． 整式除以整式——长除法 类比于两数相除可以用竖式运算，整式除以整式也可以用竖式运算．其步骤是： （1）把被除式和除式按同一字母降幂排列（若有缺项用零补齐）； （2）用竖式进行运算； （3）当余式的次数低于除式的次数时，运算终止，得到商式和余式． 例如，求的商式和余式，可以计算： 因此，商式是，余式是． (1)小明在对进行因式分解后检查答案，答案中有一个因式中的符号被墨水遮挡看不清了，请使用长除法来帮助小明判断这个因式是什么？ (2)已知整式有一个因式是，请试着运用长除法将整式进行因式分解． (3)①已知有一个因式是，请问★处的数字应该是几？ (4)②已知整式有一个因式是，求，，之间存在的关系． 【答案】(1)，长除法见解析 (2)，见解析 (3) (4) 【分析】本题考查了多项式除以多项式，掌握多项式的乘法是解题的关键． （1）分别根据例题列竖式进行多项式的除法计算，看余式是否为0即可； （2）根据例题列竖式进行多项式的除法计算即可； （3）根据例题列竖式进行多项式的除法计算即可，然后根据整除，余式为0，即可求得★的值； （4）根据例题列竖式进行多项式的除法计算即可，然后根据整除，余式为0，即可求得答案． 【详解】（1）解：若因式为，那么用长除法操作如下： 若因式为，用长除法操作如下： 故该因式为； （2）解：用长除法操作如下： 故； （3）解：用长除法操作如下： 那么， ∴为； （4）解： 用长除法操作如下： 那么， ∴． 【精练】若关于x，y的二元二次式可以分解成两个一次因式的积，则m的值为__________． 【答案】或 【分析】本题考查了因式分解的意义，可根据已知条件设出这两个一次因式分别是与，相乘后根据多形式相等可求出、的值，从而得到答案． 【详解】解：设， ， ， 解得，或 或． 故答案为：或． 题型二十九 综合运用公式法分解因式 【精讲】先阅读下面的内容，再解决问题： 对于形如，这样的二次三项式，可以用公式法将它分解成的形式．但对于二次三项式，无法直接用公式法．于是可以在二次三项式中先加上一项，使它与的和成为一个完全平方式，再减去，整个式子的值不变，于是有： 像这样的方法称为“配方法”，利用“配方法”，解决下列问题： (1)分解因式：； (2)若 ①当x，y，n满足条件：时，求n的值； ②若三边长是x，y，z，且z为偶数，求的周长． 【答案】(1) (2)①②或或或 【分析】（1）仿照“配方法”进行因式分解即可； （2）可求，①可得，即可求解；②可得，从而可求取、、、，即可求解． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：由题意得 ， ， 解得：， ① ， ， ， ， 解得：； ②， ， 为偶数， 取、、、 ； 或 ； 或 ； 或 ； 故的周长为或或或． 【精练】因式分解： (1)； (2)． (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先提公因式，再利用完全平方公式进行因式分解； （2）先用平方差公式进行因式分解，再利用完全平方公式进行因式分解； （3）先把看成一个整体，利用完全平方公式进行因式分解，再利用平方差公式进行分解． 【详解】（1） ； （2） ； （3） ． 题型三十 综合提公因式和公式法分解因式 【精讲】（25-26八年级上·全国·期末）已知，，求下列代数式的值． (1) (2) 【答案】(1)2 (2)17 【分析】本题主要考查代数式的化简求值，对代数式进行变形，然后整体代入求值是解题的关键． （1）首先提取公因式，再利用完全平方公式进行变形，最后整体代入求值即可； （2）先利用完全平方公式求出的值，再将化简，再整体代入求值即可． 【详解】（1）解：原式 ， ∵，， ∴ ∴原式； （2）解：原式， ∵， ∴原式． 【精练】分解因式 (1)； (2)； (3)； (4)计算：． 【答案】(1) (2) (3) (4)85 【分析】本题主要考查了因式分解、因式分解的应用，灵活运用因式分解的方法是解题关键． （1）综合利用提公因式法和公式法进行因式分解即可； （2）利用分组分解法进行因式分解即可； （3）利用分组分解法进行因式分解即可； （4）先利用公式法分解和，从而可得的值，最后再代入计算即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． （3）解： ． （4）解：， ， ， ， ∴ ． 题型三十一 因式分解在有理数简算中的应用 【精讲】（2023·四川成都·模拟预测）设（n为正整数），则的值_________1（填“＞”，“=”或“＜”） 【答案】＜ 【分析】本题考查数式规律问题、因式分解的应用，先化简已知式，再利用拆项法求代数式值即可． 【详解】解：∵ ， ∴ ． 故答案为：＜． 【精练】用简便方法计算：． 【答案】． 【分析】此题考查了因式分解的应用，先设，然后通过十字相乘法因式分解进行解答即可，解题的关键是熟练掌握十字相乘法因式分解的应用． 【详解】解：设， 则原式， ， ， ∴原式． 题型三十二 因式分解的应用 【精讲】（25-26八年级下·四川成都·期中）对任意一个正整数，如果，其中是正整数，则称为“矩数”，为的最佳拆分点．例如：，则6为“矩数”，2为6的最佳拆分点．由题意，“矩数”20的最佳拆分点为________；若“矩数”的最佳拆分点为，“矩数”的最佳拆分点为．若，则的值为________． 【答案】 4 【分析】本题考查因式分解的应用，根据“矩数”与最佳拆分点的定义，第一空通过因数分解即可，第二空根据定义得到，，整理等式，因式分解后结合为正整数的条件，枚举因子对即可求出结果． 【详解】解：(1) 设“矩数”的最佳拆分点为，根据定义得，可知或满足条件，因为是正整数，所以，即“矩数”的最佳拆分点为； (2) 根据定义得，， 由得， 展开得， 变形得， 因式分解得， 因为为正整数，，所以，可得，，且两者均为正整数， 乘积为的符合条件的正因子对为，，， 当，时，联立解得，，符合正整数要求， 当，时，联立解得，，不是正整数，舍去， 当，时，联立解得，，不是正整数，舍去， 因此，，可得． 【精练】（25-26八年级下·陕西西安·期中）按要求解答： (1)如图所示的四个图形可拼成如图所示的一个大长方形，据此写出一个多项式的因式分解为______； (2)如图，有足够多的边长为的大正方形，长为，宽为的长方形和边长为的小正方形，请利用拼图将多项式进行因式分解，在图虚线框中画出你的拼图，并写出因式分解的结果； (3)若多项式（为正整数）可以用拼图法因式分解，则______． 【答案】(1)； (2)画图见解析，； (3)或． 【分析】（）利用图形的面积等于边长乘以边长进行分解即可； （）利用图形的面积等于边长乘以边长进行分解即可； （）利用图形的面积等于边长乘以边长进行分解即可． 【详解】（1）解：由图可知，， ∴； （2）解：如图，， ； （3）解：如图 或 ∴或， ∴或． 题型三十三 利用分式的基本性质判断分式值的变化 【精讲】（25-26八年级下·广东深圳·期中）数学来源于生活，生活中处处有数学．用我们平时喝的糖水做“糖水实验”也能验证发现一些数学结论． 【实验发现】 糖水实验一： (1)①现有克糖水，其中含有克糖，则糖水的浓度（即糖的质量与糖水的质量比）为．加入克水，则糖水的浓度为________； ②生活经验告诉我们，糖水加水后会变淡，即糖水浓度变低，由此可以写出一个不等式________，我们趣称为“糖水不等式”； 糖水实验二： (2)将“糖水实验一”中的“加入克水”改为“加入克糖并完全溶解”，根据生活经验，请你写出一个新的“糖水不等式”________； 【应用拓展】 某饮料公司生产混合果汁，使用两种基础果汁原料： 果汁：糖的浓度为（糖的浓度）； 果汁：糖的浓度为； (3)若取相同质量的果汁和果汁进行混合，混合果汁的糖的浓度可以表示为________； (4)饮料公司需要生产一批的混合果汁，生产果汁A和果汁B的利润分别为7元和13元，要求混合果汁的糖的浓度不高于，如何生产能获得最大利润？最大利润是多少？ 【答案】(1)①；② (2) (3)200， (4)该饮料公司生产果汁A的质量为175千克，则生产果汁B的质量为千克，利润最大，最大利润为2590千克． 【分析】（1）根据题意写出新的分式和不等式即可； （2）加入n克糖后，分子分母都变化，此时需要证明不等式的正确性，利用做差法即可； （3）先求出取出果汁A和果汁B的质量都为100，然后根据糖的浓度列式并化简即可； （4）设生产果汁A的质量为x千克，则生产果汁B的质量为千克，再根据混合果汁的糖的浓度不高于列不等式求得x的取值范围，再列出一次函数的性质求最值即可． 【详解】（1）解：①由题意得，加入m克水，糖水为克， ∴糖水的浓度为； ②∵糖水加水后会变淡，即糖水的浓度变小， ∴． （2）解：由题意得，加入n克糖，糖水为克，糖为克， ∴糖水的浓度为， ∵， ∵， ∴， ∴，即． （3）解：由题意可知：取果汁A和果汁B中的糖的质量为8和24，假设取果汁A和果汁B的质量都为100 ∴混合果汁的糖的浓度可以表示为． （4）解：设生产果汁A的质量为x千克，则生产果汁B的质量为千克， 由题意可得：，解得：， 饮料公司获得利润， ∵， ∴w随x的增大而减小， ∴当时，利润最大，最大利润为元． 答：该饮料公司生产果汁A的质量为175千克，则生产果汁B的质量为千克，利润最大，最大利润为2590千克． 【精练】（24-25八年级上·北京·期末）已知，，则下列式子一定比大的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了不等式的性质，有理数符号的判断及其利用分式的基本性质判断分式值的大小； 由且 ，可得，，故，比较各选项与的大小即可． 【详解】解：∵且 ， ∴，， 故， A、∵，， ∴， ∴比小，故此选项不符合题意； B、∵且， ∴， ∴一定比大，故此选项符合题意； C、∵，故此选项不符合题意； D、∵，但可能大于或小于，故与大小不确定， ∴不一定比大； 故选：B． 题型三十四 将分式的分子分母的最高次项化为正数 【精讲】（23-24八年级上·全国·课堂例题）不改变分式的值，使下列分式的分子和分母都不含“-”号： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）根据分式的性质：分式分子分母分式前三个位置任意改变两个位置的符号分式值不变直接计算即可得到答案； （2）根据分式的性质：分式分子分母分式前三个位置任意改变两个位置的符号分式值不变直接计算即可得到答案； （3）根据分式的性质：分式分子分母分式前三个位置任意改变两个位置的符号分式值不变直接计算即可得到答案； （4）根据分式的性质：分式分子分母分式前三个位置任意改变两个位置的符号分式值不变直接计算即可得到答案； 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式； （3）解：原式； （4）解：原式； 【精练】不改变分式的值，将下列分式的分子与分母的最高次项的系数化为正数，并将分子与分母按降幂排列： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了分式的符号性质，掌握通过提取负号调整分子或分母的符号，使最高次项系数为正，同时保持分式值不变是解题的关键． （1）分母最高次项系数为负，将分母提取负号变形，同时调整分式符号，使分母最高次项系数为正； （2）先将分子、分母分别提取负号，使最高次项系数为正，再整理降幂排列． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 题型三十五 将分式的分子分母各项系数化为整数 【精讲】不改变分式的值，把下列分式的分子、分母中各项的系数化为整数． （1） （2） ． 【答案】（1）；（2） ． 【分析】根据分式的基本性质变形即可； 【详解】解：（1）原式； （2）原式=； 【精练】下列说法正确的是（    ） A．分式的值为零，则的值为±2 B．根据分式的基本性质，等式 C．把分式的分子与分母的各项系数都化为整数的结果为 D．分式是最简分式 【答案】C 【分析】直接利用分式的值为零的条件以及分式的基本性质、最简分式的定义分别分析得出答案． 【详解】解：A、分式的值为零，则x的值为−2，故此选项错误； B、根据分式的基本性质，等式（x≠0），故此选项错误； C、分式的分子与分母的各项系数都化为整数的结果为，故此选项正确； D、分式，原式不是最简分式，故此选项错误； 故选：C． 题型三十六 分式加减乘除混合运算 71．（25-26八年级上·重庆·阶段检测）给定，定义．例如．判断以下结论正确的个数有（   ） ①；②；③若的值为整数，则满足条件的整数共有12个． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】本题考查了数学式子的规律，分式的整数解，因式分解，约分，分式的化简求值，熟练掌握规律的发现，分式的化简求值，求分式的整数解是解题的关键． 序列定义为周期函数，周期为，计算前几项可得模式；结论①直接计算验证；结论②利用周期性和乘积性质，每项，求和得；结论③化简表达式为多项式与分式，要求分式为整数，需为的约数，但排除后仅得个整数，与结论声称个不符. 【详解】解：∵ ，， ∴ ； ； ； ；故结论①正确， ，即， ，即， 故序列周期为6，即， ∵， ∴， ∴， 故结论②正确； ∵，，，， ∴， 要求值为整数，则需为的约数，即，，，，，， 得，，，，，，，，，，，， 由于， 故有个整数，与结论中个不符，故③错误； 综上，正确结论为①和②，共个， 故选C． 【精练】（25-26八年级上·江苏苏州·阶段检测）先化简，再从，1，2中选取一个适合的数代入求值． 【答案】，当时，原式 【分析】本题主要考查了分式的混合运算、分式的化简求值、分式有意义的条件等知识点，掌握分式的混合运算法则是解题的关键． 先根据分式的混合运算法则化简，然后选择一个分式有意义的a的值求解即可． 【详解】解： ， ∵当a取和2时，分式无意义， ∴a只能取1， 当时，原式． 题型三十七 分式化简求值 【精讲】（25-26八年级下·江苏泰州·期中）先化简，再求值：，其中满足式子． 【答案】化简结果，求值结果 【分析】先根据非负数的性质求得x、y的值，再利用分式的混合运算法则化简分式，然后将x、y的值代入求值即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ； 当时，原式． 【精练】（25-26八年级下·重庆·期中）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】先根据分式的性质和运算法则进行化简，再把化简后的值代入计算即可求解． 【详解】解：原式 ， ， ∴原式． 题型三十八 分式方程的行程问题 【精讲】已知甲、乙两车分别从相距的A、B两地同时出发相向而行，已知甲车每小时行驶的路程是乙车每小时行驶的路程的2倍多．甲车行驶与乙车行驶所用时间相同， (1)求甲、乙两车的速度； (2)若甲车到达B地后立即返回，甲返回的速度比原速度慢，两车在行驶过程中有几次相遇？并求出每次相遇的时间． 【答案】(1)甲的速度为，乙的速度为 (2)共有次相遇，第一次相遇时间为出发后，第二次相遇时间为出发后 【分析】（1） 设乙车速度为未知数，根据时间相等的条件，结合行程问题中时间路程速度的关系，列分式方程求解即可得到甲乙两车的速度； （2）分情况讨论相遇情况，第一次为出发后相向而行的相遇，根据路程和等于总路程求时间；再计算甲车到达B地后返回，转化为追及问题，计算第二次相遇的时间，判断没有第三次相遇，最终得到结果． 【详解】（1）解：设乙车的速度是，则甲车的速度是， 根据题意，得， 解得， 经检验，是原方程的根， ， 答：甲车的速度是，乙车的速度是； （2）解：设从出发开始经过小时相遇，分情况讨论： 当甲乙第一次迎面相遇时，两人路程和为， 可得 ， 解得 ，符合行驶条件，即第一次相遇在出发后小时， 计算甲车从A到B的总时间为 ，即时甲车到达B地， 此时乙车行驶的路程为，乙车还未到达A地， 甲车返回时速度为 ， 设从出发到第二次相遇的时间为，，以A为原点建立位置关系，甲车的位置为，乙车的位置为，相遇时位置相等， 因此 ， 化简得， 解得， 乙车到达A地的总时间为， 因此符合题意，即第二次相遇在出发后小时 乙到达A地前，甲车已经返回到达A地，之后两车停止运动，没有第三次相遇． 答：共有2次相遇，第一次相遇时间为出发后，第二次相遇时间为出发后． 【精练】已知甲、乙两地相距24千米，小明从甲地匀速跑步到乙地用时3小时，小明出发0.5小时后，小聪沿相同的路线从甲地匀速骑自行车到甲乙两地中点处的景区游玩1小时，然后按原来速度的一半骑行，结果与小明同时到达乙地．小明和小聪所走的路程S（千米）与时间t（小时）的函数图象如图所示． （1）小聪骑自行车的第一段路程速度是______千米/小时． （2）在整个过程中，小明、小聪两人之间的距离S随t的增大而增大时，t的取值范围是______． 【答案】 ，， 【分析】（1）设小聪骑自行车的第一段路程速度是千米/小时，则第二段路程的速度为千米/小时, 根据题意建立分式方程解方程即可求解； （2）分析题意，结合函数图象可知，从时，两人的距离S随t的增大而增大，当第一次相遇到小聪停下，S随t的增大而增大，当两人再次相遇到小聪开始骑行第二段路程时，S随t的增大而增大． 【详解】（1）设小聪骑自行车的第一段路程速度是千米/小时，则第二段路程的速度为千米/小时, 根据题意得， 解得，经检验，是原方程的解， 故答案为：24 第一段路程的速度为千米/小时 （2）结合函数图象可知，从时，两人的距离S随t的增大而增大， 小明的速度为千米/小时 当第一次相遇时， 解得 当第一次相遇到小聪停下，此时， 当第二次相遇时， 解得 小聪开始骑行第二段路程时的时间为， 当两人再次相遇到小聪开始骑行第二段路程时，S随t的增大而增大，此时． 当时，因为小聪的速度大于小明的速度，则两人的距离随t的增大而减小， 综上所述，，，时，S随t的增大而增大， 故答案为：，， 题型三十九 分式方程的工程问题 【精讲】某项工程，如果由甲乙两队承包，天完成，需付180000元；由乙、丙两队承包，天完成，需付150000元；由甲、丙两队承包，天完成，需付160000元，现在工程由一个队单独承包，在保证一周完成的前提下，哪个队承包费用最少？ 【答案】 在保证一周完成的前提下，乙队承包费用最少，乙单独承包总费用为177000元. 【分析】先设甲，乙，丙单独承包各需要x，y，z天完成，根据题意列出分式方程组，再求出解，然后设甲，乙，丙单独完成工作一天，各需要u，v，w元，根据题意列出三元一次方程组，求出解，最后求出单独承包的费用，并比较得出答案． 【详解】解：设甲，乙，丙单独承包各需要x，y，z天完成，根据题意，得 ， 解得． 经检验，方程的解符合题意． 设甲，乙，丙单独完成工作一天，各需要u，v，w元，根据题意，得 ， 解得， ∴由甲单独承包，费用为（元）； 由乙单独承包，费用为（元）； 丙队不能在一周内完成，所以乙队承包费用最少． 【精练】现有形状、大小、库存货物完全相同的，两个仓库，已知甲、乙两人合作搬运完仓库需要小时，乙、丙两人合作搬运完仓库需要小时．现由乙先与甲合作搬运仓库，同时丙在独立搬运仓库，小时后，乙停止搬运进行休息，乙休息小时立即到仓库和丙一起搬运，若搬运完，两个仓库各用了小时，则___________． 【答案】 【分析】可设单独搬运甲需要小时，乙需要小时，丙需要小时，根据等量关系：甲、乙两人合作搬运完仓库需要小时；乙、丙两人合作搬运完仓库需要小时；搬运完、两个仓库各用了小时；列出方程组求解即可． 【详解】解：设单独搬运甲需要小时，乙需要小时，丙需要小时，依题意有 ①③得⑤， ②④得⑥， 联立⑤⑥得， 经检验得，n，y的值是原方程组的解， ∴n的值为6. 故答案为：6． 题型四十 分式方程的经济问题 【精讲】（25-26八年级下·四川资阳·期中）五一节期间，安岳县某超市开展优惠促销活动，A种商品标价为100元，现打8折出售，B种商品标价为90元，现在标价上降低出售，已知准备购进的A、B两种商品，A种商品每件的进价比B种商品每件的进价多20元，用3000元购进A种商品和用1800元购进B种商品的数量相同． (1)A种商品每件的进价和B种商品每件的进价各是多少元？ (2)超市计划用不超过1560元的资金购进A、B两种商品共40件，其中A种商品的数量不低于B种商品数量的一半，该商店有几种进货方案？ (3)实际销售时，超市决定对每件A种商品售价再优惠元，B种商品售价不变，在（2）条件下，请设计出销售这40件商品获得总利润最大的进货方案． 【答案】(1)A种商品每件的进价是50元，B种商品每件的进价是30元 (2)该商店共有5种进货方案 (3)①当时，（2）中的五种方案都获利600元；②当时，购进种商品18件，购进种商品22件，获利最大；③当时，购进种商品14件，购进种商品26件，获利最大． 【分析】（1）设种商品进价为元，根据用固定金额购进两种商品数量相同列分式方程求解 （2）设购进种商品件，根据资金限制和数量关系列一元一次不等式组，通过整数解的个数得到进货方案数． （3）先推导总利润关于的一次函数，根据一次函数的增减性，结合的取值范围分类讨论，得到总利润最大的进货方案． 【详解】（1）解：设种商品每件的进价是元，则种商品每件的进价是元． 由题意得： 解得： 经检验，是原方程的解，且符合题意． 答：种商品每件的进价是50元，种商品每件的进价是30元． （2）解：设购进种商品件，则购进种商品件． 由题意得：， 解得， ∵为正整数 ∴， ∴共5种不同的进货方案； （3）解：设销售40件商品总利润为元．由题意得： 的实际售价为，每件的利润为； 的售价为，每件的利润为． 则 整理得： ①当时，，与的取值无关，即（2）中的五种方案都获利600元； ②当时，，随的增大而增大， ∴当时，获利最大，即在（2）的条件下，购进种商品18件，购进种商品22件，获利最大； ③当时，，随的增大而减小， ∴当时，获利最大， ∴在（2）的条件下，购进种商品14件，购进种商品26件，获利最大． 综上可知，①当时，（2）中的五种方案都获利600元；②当时，购进种商品18件，购进种商品22件，获利最大；③当时，购进种商品14件，购进种商品26件，获利最大． 【精练】（23-24八年级下·河北石家庄·期末）端午节是我国入选世界非物质文化遗产的传统节日，端午节吃粽子是中华民族的传统习俗，某超市为了满足人们的需求，计划在端午节前购进甲、乙两种粽子进行销售，经了解，每个乙种粽子的进价比每个甲种粽子的进价多元，用元购进甲种粽子的个数与用元购进乙种粽子的个数相同． (1)甲、乙两种粽子每个的进价分别是多少元？ (2)该超市计划购进这两种粽子共个（两种都有），其中甲种粽子的个数不低于乙种粽子个数的倍，若甲、乙两种粽子的售价分别为元/个、元/个，设购进甲种粽子个，两种粽子全部售完时获得的利润为元． ①求与的函数关系式，并求出的取值范围； ②超市应如何进货才能获得最大利润，最大利润是多少元？ 【答案】(1) (2) ①(是正数）； ②购进甲粽子个，乙粽子个才能获得最大利润为元． 【分析】本题考查了分式方程的实际应用，一次函数的实际应用，一元一次不等式的应用， （1）设甲粽子每个的进价为，则乙粽子每个的进价为元，根据用元购进甲种粽子的个数与用元购进乙种粽子的个数相同列分式方程解答； （2）①设购进甲粽子，则乙粽子个，利润为元，根据单个利润乘以数量求出函数解析式，由甲种粽子的个数不低于乙种粽子个数的倍，得到，求出的取值范围； ②根据一次函数的性质解答 【详解】（1）解：设甲粽子每个的进价为，则乙粽子每个的进价为元， 由题意得：， 解得：， 经检验：是原方程的解，且符合题意， 则， 答：甲粽子每个的进价为元，则乙粽子每个的进价为元； （2）①设购进甲粽子，则乙粽子个，利润为元， 由题意得：， ∵甲种粽子的个数不低于乙种粽子个数的倍， ∴， 解得：， ∴(是正数）， ∴与的函数关系式为(是正数）； ②∵， 则随的增大而减小，即的最小整数为， 当时，最大，最大值， ∴个 ∴答：购进甲粽子个，乙粽子个才能获得最大利润，最大利润为元． 题型四十一 分式方程和差倍分问题 【精讲】（2024八年级上·全国·专题练习）某商场准备购进，两种书包，每个种书包比种书包的进价少元，用元购进种书包的个数是用元购进种书包个数的倍．请解答下列问题： (1)，两种书包每个进价各是多少元？ (2)若该商场购进种书包的个数比种书包的倍还多个，且种书包不少于个，购进，两种书包的总费用不超过元，则该商场有哪几种进货方案？ 【答案】(1)每个种书包的进价是元，每个种书包的进价是元 (2)该商场共有种进货方案： 方案：购进个种书包，个种书包； 方案：购进个种书包，个种书包； 方案：购进个种书包，个种书包． 【分析】本题考查分式方程的应用，一元一次不等式组的应用，解题的关键是找准等量关系列出分式方程，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组． （1）设每个种书包的进价是元，则每个种书包的进价是元，利用数量总价单价，结合用元购进种书包的个数是用元购进种书包个数的倍，可列出关于的分式方程，解之经检验后，可得出每个种书包的进价，再将其代入中，可得出每个种书包的进价； （2）设该商场购进个种书包，则购进个种书包，根据“购进种书包不少于个，且购进，两种书包的总费用不超过元”，可列出关于的一元一次不等式组，解不等式组可得出的取值范围，再结合为正整数，即可得出各进货方案． 【详解】（1）解：设每个种书包的进价是元，则每个种书包的进价是元， ， 解得：， 经检验，是分式方程的解，且符合题意， ， 答：每个种书包的进价是元，每个种书包的进价是元； （2）解：设该商场购进个种书包，则购进个种书包， 根据题意得：， 解得：， 又为正整数， 的值为、、， 当时，， 当时，， 当时，， 该商场共有种进货方案： 方案：购进个种书包，个种书包； 方案：购进个种书包，个种书包； 方案：购进个种书包，个种书包． 【精练】重庆实验外国语学校有A、B、C三个食堂，每个食堂有多个打菜窗口供学生们排队就餐，三个食堂提供的菜品类型和食堂的总容纳量各不相同，据统计A、B、C这三个食堂的打菜窗口个数之比为5：4：3，且A、B、C这三个食堂每一餐每个窗口平均可供排队打菜的学生人数之比为2：3：1．为了减少学生排队时间，学校增加了每个食堂的窗口个数，使得每一餐A、B、C这三个食堂可供排队打菜的学生总人数增加10%，同时A、B、C这三个食堂每一餐每个窗口平均可供排队的学生人数分别减少，，，其中A食堂新增的窗口个数占总新增窗口个数的，且A食堂现在总窗口个数占现在所有总窗口个数的，则B食堂新增的窗口个数与现在三个食堂所有总窗口个数之比是______． 【答案】 【分析】先设出原来A、B、C这三个食堂的打菜窗口个数以及原来A、B、C这三个食堂每一餐每个窗口平均可供排队打菜的学生人数；进而表示出新增窗口后A、B、C这三个食堂对应的窗口的个数和食堂每一餐每个窗口平均可供排队的学生人数，根据A食堂现在总窗口个数占现在所有总窗口个数的，列出方程，根据新增窗口后的每一餐A、B、C这三个食堂可供排队打菜的学生总人数，列出等量关系进行求解即可． 【详解】解：设原来A、B、C这三个食堂的打菜窗口个数分别为5a个，4a个，3a个，则原窗口总个数为个，原来A、B、C这三个食堂每一餐每个窗口平均可供排队打菜的学生人数分别为人，人，人， 则原来每一餐A、B、C这三个食堂可供排队打菜的学生总人数为： （人）， ∴新增窗口后每一餐A、B、C这三个食堂可供排队打菜的学生总人数为： （人）； 食堂每一餐每个窗口平均可供排队的学生人数分别： ，，； 再设总新增窗口个数为个，B食堂新增的窗口个数为个，则A食堂新增的窗口个数为个，此时C食堂新增的窗口个数为个， 由题意可得， ， 解①得，经检验是方程①的解， ∴将代入②，解得， ∴B食堂新增的窗口个数与现在三个食堂所有总窗口个数之比是： ， 故答案为： 题型四十二 求二次根式中的参数 【精讲】（24-25八年级上·江苏扬州·期中）若满足关系式 ，则 ____． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，二次根式的非负性，解二元一次方程组，由二次根式有意义的条件得，即得，，再根据二次根式的非负性得，，即得，再解方程组求出的值即可求解，掌握二次根式有意义的条件及性质是解题的关键． 【详解】解：由题意得，，， ∴， ∴，， ∴，， ∴， 由，解得， ∴， ∴， 故答案为：． 【精练】已知n是正整数，是整数，则满足条件的所有n的值为__________． 【答案】或或 【分析】先利用算术平方根有意义的条件求得正整数的取值范围，然后令等于所有可能的平方数即可求解． 【详解】解：由题意得， 解得， ∵n是正整数， ∴ ∴， ∴， ∴， ∵是整数， ∴或或或或， 解得或或或或， ∵n是正整数， ∴或或， 故答案为：或或 题型四十三 二次根式的乘除混合运算 【精讲】（24-25八年级下·上海·阶段检测）在中，连接，，的角平分线与交于点E，与交于点F，连接，． (1)求证：； (2)若，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）由平行四边形的性质得，，则，而，所以，则，所以，由，得，因为，所以，即可根据“角边角”证明； （2）作于点G，于点H，设，由，得， ，则，所以，则，可证明，，则四边形是平行四边形，，， ，因为，所以 ，则，，由，求得，则． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵的角平分线与交于点E， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴． （2）解：作于点G，于点H，设， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ， ∵， ∴ ， ∴， ∴， ∴， ∵，且， ∴， ∴， ∴， ∴的面积是． 【精练】（24-25八年级下·四川成都·期末）在中，连接，点E在上，连接． (1)如图1，将沿平移至，连接，有F、A、E共线，求证：； (2)如图2，当时，若，试探究、及之间的数量关系； (3)如图3，设与交于点M，连接，连接交于点N．当时，若，，求证：． 【答案】(1)证明见解析 (2)，证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）利用平行四边形的性质证明，，由平移的性质证明，进一步可得结论。 （2）如图，将沿平移至，连接，证明，，结合，可得，由平移可得：，，，证明共线，再进一步可得结论。 （3）先证明，如图，过作于，作于，设（单位），则，可得，，，求解，，，同理可得：，，，设，，可得，，进一步证明，可得. 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， 由平移可得：， ∴， ∴； （2）解：，理由如下： 如图，将沿平移至，连接， ∵四边形是平行四边形， ∴，，而， ∴， 由平移可得：，，， ∴共线， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴. （3）证明：∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， 如图，过作于，作于， 设（单位），则， ∴，，， ∴， 解得：，， ∴， 同理可得：，，， 设，， ∴，， 由勾股定理可得：， 整理得：， ∵， ∴， 整理得：， 解得：， ∴， ∴. 题型四十四 化为最简二次根式 【精讲】（25-26八年级下·吉林松原·期中）已知在中，，，D为直线上一动点（点D不与点B，C重合），以为边在其右侧作正方形，连接． 【观察猜想】 (1)如图1，当点D在线段上时，可以证明，则： ①线段与的位置关系为________． ②线段之间的数量关系为________． 【类比探究】 (2)如图2，当点D在线段的延长线上时，其他条件不变，（1）中①②的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请你写出正确结论并证明． 【拓展延伸】 (3)点D在直线上，其他条件不变，连接．若，，请直接写出线段的长． 【答案】(1)①；② (2)①成立，②不成立，正确的结论为：，证明见解析 (3)或 【分析】（1）①证明， 根据全等三角形的对应角相等求解；②根据全等三角形的对应边证明即可； （2）仿照（1）证明即可； （3）分两种情况讨论，对运用勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：①∵四边形是正方形， ， ， ， 即：， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， 即：， ， ②， ， ， ， （2）解：①成立，②不成立，正确的结论为： ∵四边形是正方形， ， ， ， 即：， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， 即：， ， ②， ， ， ， （3）解：∵， ∴， 当点在线段上， 由（1）知， ∴ ∴； 当点在线段延长线上时， 由（2）知， ∴ ∴， 综上：线段的长或． 【精练】（25-26八年级下·江西九江·阶段检测）综合与实践 如图1，在平面直角坐标系中，为等边三角形，点的坐标为，将绕点顺时针旋转，点为点旋转后的对应点，连接． (1)四边形_____（填“是轴对称”或“是中心对称”或“既是轴对称又是中心对称”）图形． (2)求点与点的坐标． (3)如图2，延长．将绕点顺时针旋转（）得到，线段与射线交于点．当为直角三角形时，直接写出的长． 【答案】(1)既是轴对称又是中心对称 (2)点的坐标为，点的坐标为 (3)的长为或 【分析】（1）根据轴对称图形和中心对称图形的特征，进行判断即可； （2）过点作轴于点，过点作轴于点，根据等边三角形的性质，旋转的性质，勾股定理进行求解即可； （3）分2种情况进行讨论求解即可. 【详解】（1）解：由题意，四边形既是轴对称又是中心对称图形． （2）解：如图1，过点作轴于点，过点作轴于点． 为等边三角形，点的坐标为， ，， ， ， ， 点的坐标为． 由旋转的性质可得，， ， ， ， ， ， ∴点的坐标为． （3）解：的长为或． 由（2）知，，， ， ． 由旋转得． 如图2，当时， ， ， ， ， ． 如图3，当时， ， 为等边三角形， ， ． 综上所述，的长为或． 题型四十五 已知最简二次根式求参数 【精讲】若最简二次根式和能合并，则a、b的值分别是（　　） A．2和1 B．1和2 C．2和2 D．1和1 【答案】D 【分析】由二次根式的定义可知，由最简二次根式和能合并，可得，由此即可求解． 【详解】解：∵最简二次根式和能合并， ∴， ∴， 解得， 故选D． 【精练】最简二次根式与是同类最简二次根式，则________． 【答案】2 【分析】根据最简二次根式、同类二次根式的性质计算，即可得到a和b的值；再将a和b的值代入到代数式，通过计算即可得到答案． 【详解】根据题意得： ∴ ∵最简二次根式与是同类最简二次根式 ∴ ∴ ∴ 故答案为：2． 题型四十六 复合二次根式的化简 【精讲】（25-26八年级上·山东济南·阶段检测）我们已经学过完全平方公式 ，知道所有的非负数都可以看作是一个数的平方，如 那么，我们可以利用这种思想方法和完全平方公式来计算下面的题： 例：求 的算术平方根． 解： 的算术平方根是 ． 你看明白了吗？请根据上面的方法化简：（直接写出结果，结果化成最简）． (1)= ； (2)= ； (3)在中，，那么边的长为多少？ 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算以及完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． （1）将变形为完全平方式的形式，然后开平方即可； （2）先利用（1）中得到的结论，把换成，然后将变形为完全平方式，最后开平方即可； （3）先利用勾股定理表示出，同样仿造上面把变形为完全平方式，最后开平方即可． 【详解】（1）解：原式 ， 故答案为：； （2）解：原式 ， 故答案为：； （3）解：根据题意，得 ． 【精练】（25-26八年级上·上海·阶段检测）计算： （1）______； （2）______． 【答案】 【分析】本题主要考查复式二次根式的化简，掌握二次根式的性质和化简方法是解答本题的关键． （1）从最里层的二次根式进行化简即可； （2）设，两边平方后对比系数求出的值即可． 【详解】解：（1） ； （2）设（为正有理数）， 平方得： ， 对比系数得： 尝试，，则，， 解得，， 而， 所以，满足条件， 所以，． 故答案为：（1）；（2）． 题型四十七 同类二次根式 【精讲】（25-26八年级上·上海·期末）已知最简二次根式与是同类二次根式，则__________． 【答案】 【分析】本题主要考查了同类二次根式的定义和最简二次根式的定义，根据同类二次根式的定义，两个最简二次根式的被开方数必须相等，因此列出方程，求解后得到或，但需验证二次根式是否为最简形式，由此排除不满足条件的值即可． 【详解】解：由于两个二次根式均为最简二次根式且是同类二次根式， 被开方数相等，即， 整理得， ， 解得或， 当时，，不是最简二次根式，不符合题意，故舍去； 当时，和，均为最简二次根式，符合题意； ． 故答案为：． 【精练】【阅读材料】 像，，，两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式． 例如，与，与，与⋯，等都是互为有理化因式．进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号． (1)的有理化因式为 ； (2)化简：； (3)①如图，中，与的角平分线相交于点P，若的周长为，面积为3，则点P到边的距离为 ．    ②已知有理数a、b满足，求a、b的值． 【答案】(1) (2) (3)①；② 【分析】（1）利用凑平方差公式的方法找根式的有理化因式； （2）利用有理化因式变形，再计算即可； （3）①过点分别作边、、的垂线段、、，根据角平分线的性质得到，再利用三角形面积求高即可；②将等式左边变形，得到，再根据有理系数和无理系数分别相等，可得方程，解之可得a，b值． 【详解】（1）解：根据题意可知：， ∴的有理化因式为； 故答案为：． （2） ； （3）①过点分别作边、、的垂线段、、，     中，与的角平分线相交于点， 线段， ， 的周长为，面积为3， ， 解得， 即点P到边的距离为； ② ∴，解得：． 题型四十八 二次根式的混合运算 【精讲】（25-26八年级下·广东潮州·期中）如图1，四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是个小正方形，这个图形是我国汉代赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”．在弦图中（如图2）连接，并延长交于点K，连接．若，则的长为（   ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】过点K作，与的延长线交于点M，由图形关系求得，再求得，，求得与，进而由勾股定理求得结果． 【详解】解：过点K作，与的延长线交于点M， ∵，， ∴， ∵是正方形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴，，， ∵， ∴， 又∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴中，． 【精练】（25-26八年级下·湖北武汉·期中）如图，在菱形中，，点E为的中点，点F为边上一点，，则______． 【答案】 【分析】如图，在上方作，且使，连接，，过点G作交延长线于点I，过点E作交于点H，证明出，得到，，然后证明出，得到，设，则，得到，设，则，然后表示出和，进而求解即可． 【详解】解：如图，在上方作，且使，连接，，过点G作交延长线于点I，过点E作交于点H ∵四边形是菱形 ∴， ∵， ∴ ∴， ∵， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ 又∵ ∴ ∴，即 ∵在菱形中，， ∴ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ 设，则 ∴ ∵点E为的中点 ∴设，则 ∴ ∴ ∵四边形是菱形 ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴， ∴ ∵ ∴ 解得 ∴ ∴ ∴． 题型四十九 已知字母的值，化简求值 【精讲】（2026八年级下·全国·专题练习）已知，，求的值． 【答案】 【分析】化简x、y的值，代入化简后的代数式即可求得． 【详解】解：∵，， ∴， ， ∴ ． 【精练】（2026八年级下·全国·专题练习）化简求值： ，其中． 【答案】，108 【分析】先对式子进行化简，再将代入化简后的式子计算即可解答本题． 【详解】解： ， 当时， 原式． 题型五十 二次根式的应用 【精讲】（25-26八年级下·重庆·期中）如图，在正方形中，对角线、相交于点，点是边上一点，连接，点是线段上一点，连接，，且，若，则为（     ） A．5 B． C． D． 【答案】B 【分析】分别过点作于，交于点，证明，进而证明是等腰直角三角形；即可证明是等腰直角三角形，最后利用勾股定理求解． 【详解】解：分别过点作于，交于点， 则， 四边形是正方形， ∴，，即， ∴，即， ， ， ， 是等腰直角三角形； ， ，，且， ， ， ， ， 是等腰直角三角形； ， ， ， ，即， ， 在中，， ， ， ． 【精练】（25-26八年级下·甘肃兰州·期中）在中，，的度数记为，点A是直线上的一动点，连接，将线段绕点P逆时针旋转角度至位置，连接． (1)如图1，若，点A在线段上时，证明：； (2)如图2，若，点A在射线上时，猜想：线段和线段的关系，并证明． (3)如图3，若，点A在线段上，，求周长的最小值． 【答案】(1)见解析 (2)，，见解析 (3) 【分析】（1）理解题意，根据旋转的性质，得，，证明，故，即可作答． （2）与（1）同理证明，根据，故，即； （3）由（1）（2）可得，．再过点作，结合勾股定理以及30度的直角三角形的性质得出为定值等于，当取最小值时，最小，此时，过点作，同理得，，故的周长的最小值为，即可作答． 【详解】（1）解：∵线段绕点逆时针旋转角度至， ，． ， ， ． ， （2）解：，，证明如下： 线段绕点逆时针旋转角度至位置， ，． ， ． ，． ， ， ． （3）解：由（1）可得，． 则的周长， 过点作，如图所示： ∵的度数记为，，， ∴， 则， ∴ 即为定值等于， ∴当取最小值时，的周长最小． 为含角的等腰三角形， ∴当取最小值时，最小，此时， ，， ， 过点作， 为含角的等腰三角形， 同理得 ∴， 的周长的最小值． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026学年苏科版新教材数学八年级下册期末复习重点难点专项培优练 专题05 挑战压轴题『期末复习重点难点题型培优集训』 【50个高频常考题型讲练 共100题 范围：苏科版八下第6-11章】 重点题型 分类讲练 1 题型一 由样本所在的频率区间估计总体的数量 3 题型二 用样本的频数估计总体的频数 5 题型三 由频率估计概率 6 题型四 用频率估计概率的综合应用 8 题型五 利用平行四边形的判定与性质求解 9 题型六 平行四边形性质和判定的应用 9 题型七 矩形与折叠问题 11 题型八 根据矩形的性质与判定求角度 11 题型九 根据矩形的性质与判定求线段长 13 题型十 根据矩形的性质与判定求面积 13 题型十一 根据菱形的性质与判定求角度 16 题型十二 根据菱形的性质与判定求线段长 17 题型十三 根据菱形的性质与判定求面积 18 题型十四 正方形折叠问题 20 题型十五 求正方形重叠部分面积 20 题型十六 根据正方形的性质与判定证明 21 题型十七 根据正方形的性质与判定求线段长 22 题型十八 根据正方形的性质与判定求面积 24 题型十九 利用(特殊)平行四边形的对称性求阴影面积 25 题型二十 (特殊)平行四边形的动点问题 25 题型二十一 四边形中的线段最值问题 27 题型二十二 四边形其他综合问题 27 题型二十三 与三角形中位线有关的求解问题 29 题型二十四 与三角形中位线有关的证明 30 题型二十五 三角形中位线的实际应用 31 题型二十六 等腰梯形的性质定理 33 题型二十七 等腰梯形的判定定理 34 题型二十八 已知因式分解的结果求参数 35 题型二十九 综合运用公式法分解因式 36 题型三十 综合提公因式和公式法分解因式 37 题型三十一 因式分解在有理数简算中的应用 38 题型三十二 因式分解的应用 38 题型三十三 利用分式的基本性质判断分式值的变化 39 题型三十四 将分式的分子分母的最高次项化为正数 40 题型三十五 将分式的分子分母各项系数化为整数 40 题型三十六 分式加减乘除混合运算 41 题型三十七 分式化简求值 41 题型三十八 分式方程的行程问题 42 题型三十九 分式方程的工程问题 43 题型四十 分式方程的经济问题 43 题型四十一 分式方程和差倍分问题 44 题型四十二 求二次根式中的参数 45 题型四十三 二次根式的乘除混合运算 45 题型四十四 化为最简二次根式 46 题型四十五 已知最简二次根式求参数 48 题型四十六 复合二次根式的化简 48 题型四十七 同类二次根式 49 题型四十八 二次根式的混合运算 50 题型四十九 已知字母的值，化简求值 50 题型五十 二次根式的应用 51 题型一 由样本所在的频率区间估计总体的数量 【精讲】某校为了提高学生学习国学的积极性，举办了首届“国学知识大赛”，该校所有学生均参加初赛．初赛中，将国学相关知识设置为100分试卷，学生的分数均为50分以上，为了解学生对国学的掌握情况，学校抽取一部分学生成绩将其按分数段分为五组，绘制出不完整表格：（说明：频率=频数（人数）÷实验的次数（抽取的总人数） 组别 成绩x（分） 频数（人数） 频率 一 2 0.04 二 10 0.2 三 14 b 四 a 0.32 五 8 0.16 请根据表格提供的信息，解答以下问题： (1)本次调查属于抽样调查，从表中知道学校抽取的这个样本中共有多少个个体？这个问题中的总体是什么？ (2)直接写出表中_______，________； (3)请补全相应的频数直方图； (4)若该校共3000名学生，初赛成绩不低于80分为优秀，则本次大赛达到优秀的学生大约有多少人？ 【精练】某校组织八年级学生参加汉字听写大赛，并随机抽取部分学生成绩作为样本进行分析，绘制成如下的统计表： 成绩x/分 频数 频率 第1段 2 0.04 第2段 6 0.12 第3段 9 b 第4段 a 0.36 第5段 15 0.30 请根据所给信息，解答下列问题： （1）_______，_______； （2）请补全频数分布直方图； （3）样本中，第5段成绩对应的圆心角度数是______； （4）已知该年级有400名学生参加这次比赛，若成绩在80分以上（含80分）的为优，估计该年级成绩为优的有多少人？ 题型二 用样本的频数估计总体的频数 【精讲】某市组织中学生无人机技能操作比赛，随机抽取部分比赛成绩（成绩为整数，用表示）作为样本进行整理，并绘制成统计图表，部分信息如下： 组别 A B C D E 成绩 (1)图中______； (2)求扇形统计图中A组所在的扇形的圆心角； (3)已知该市共有800名中学生参赛，比赛成绩80分以上（含80分）为“优秀”，根据样本数据估计该市获得“优秀”等级的参赛人数． 【精练】（24-25八年级下·湖南株洲·期末）中华文明，源远流长；中华汉字，寓意深广，为传承中华优秀传统文化，某校团委组织了一次全校学生参加的“汉字听写”竞赛．为了解本次竞赛的成绩，校团委随机抽取了其中若干名学生的成绩作为样本进行统计，绘制了如下不完整的统计图表： 成绩x（分） 频数（人） 频率 10 20 a 40 80 b 根据图表信息，解答下列问题： (1)这次参加竞赛的人数是__________人，其中__________，__________； (2)补全频数分布直方图； (3)若全校有1200人，请你估计该校参加本次竞赛的学生中成绩在80分以上（含80分）的人数． 题型三 由频率估计概率 【精讲】（24-25八年级下·湖南株洲·期末）某校为了了解初三学生对安全知识的掌握情况，加强学生的安全防范和自我保护意识，对该校1000名初三学生开展安全知识竞赛活动．用简单随机抽样的方法，随机抽取若干名学生统计答题成绩，分别制成如下频数分布表和频数分布直方图： 初三学生安全知识竞赛成绩频数分布表 成绩（分） 频数 频率 3 0.02 12 a 45 0.3 b 0.4 30 d (1)表格中， ， ； (2)请把频数分布直方图补充完整；（画图后标注相应的数据） (3)规定成绩80分以上（含80分）的同学成为“安全明星”，则该校初三学生成为“安全明星”的共有多少人？ 【精练】某水果公司以2元/kg的成本价新进柑橘．如果公司希望这些柑橘能够获得利润5000元，那么在出售柑橘（去掉损坏的柑橘）时，每千克定价大约______元（精确到角）比较合适．为解决此问题，销售人员首先从所有柑橘中随机抽取若干柑橘，进行“柑橘损坏率”统计，结果如下： 柑橘总质量n/kg 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500 损坏柑橘质量m/kg 5.50 10.50 15.15 19.42 24.25 30.93 35.32 39.24 44.57 51.54 频率（三位小数） 0.110 0.105 题型四 用频率估计概率的综合应用 【精讲】甲、乙两名同学在一次用频率去估计概率的试验中，统计了某一结果出现的频率，并绘出了如下折线统计图，则最有可能符合这一结果的试验的是（    ） A．掷一枚正六面体的骰子，出现1点的概率 B．抛一枚硬币，出现正面的概率 C．任意写一个整数，它能被3整除的概率 D．从一副去掉大小王的扑克牌中，任意抽取一张，抽到黑桃的概率 【精练】某班“红领巾义卖”活动中设立了一个可以自由转动的转盘．规定：顾客购物20元以上就能获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在哪一区域就可以获得相应的奖品．下表是此次活动中的一组统计数据： 转动转盘的次数n 100 200 300 400 500 1000 落在“书画作品”区域的次数m 60 122 180 298 a 604 落在“书画作品”区域的频率 0.6 0.61 0.6 b 0.59 0.604 （1）完成上述表格：______；______； （2）请估计当n很大时，频率将会接近______，假如你去转动该转盘一次，你获得“书画作品”的概率约是______；（结果全部精确到0.1） （3）如果要使获得“手工作品”的可能性大于获得“书画作品”的可能性，则表示“手工作品”区域的扇形的圆心角至少还要增加多少度？ 题型五 利用平行四边形的判定与性质求解 【精讲】（25-26八年级下·辽宁朝阳·期中）如图，A，B两单位分别位于一条封闭街道的两旁（直线是街道两边沿），现准备合作修建一座过街人行天桥，天桥应建在何处才能使由A经过天桥走到B的路程最短，并计算由A经过天桥走到B的最短路线的长为______．（注：桥的宽度忽略不计，桥必须与街道垂直） 【精练】（25-26八年级下·山东临沂·期中）如图，点是线段上的一个动点，，，且，则的最小值是______． 题型六 平行四边形性质和判定的应用 【精讲】如图，与是等边三角形，连接，取的中点，连接并延长至点，使，连接，，，将绕点顺时针旋转． 【特例感知】 (1)如图①，当点在上，点在上时，则的形状为 ； 【类比迁移】   (2)当绕点顺时针旋转至图②的位置时，此时点在线段的延长线上，请判断的形状，并说明理由； 【方法运用】 (3)若，将由图①位置绕点顺时针旋转，当时，请直接写出的值． 【精练】（24-25八年级上·河北保定·阶段检测）问题探究： 一条线段沿某个方向平移一段距离后与原线段构成一个平行四边形．我们可以利用这一性质，将有些条件通过平移集中在一起来解决一些几何问题． （1）如图1，两条长度相等的线段和相交于G点，，试说明线段． 分析：考虑通过平移，将、和集中到同一个三角形中，运用三角形的三边关系来证明． 如图1，作且，则四边形是______（填四边形的形状）， ∴；∵，， ∴是______（填的形状），∴． 当与不平行时，M，N，C三点不在同一直线上，由三角形三边关系可知，______（填>或=或<）； 当与平行时，M，N，C三点在同一直线上，此时，，∴． 问题解决： （2）如图2，在中，，，点M，点N分别在，上，交于点G，，． ①求证：； ②求的值； 拓展应用： （3）如图3，在中，，点M，点N分别在，上，交于点G，若，，，，直接写出长（用含a、b的代数式表示）． 题型七 矩形与折叠问题 【精讲】（25-26八年级下·吉林松原·期中）如图，在矩形中，，，点E是上一动点，在平面内将矩形沿折叠，若使点D恰好落在上的位置．则的长为________． 【精练】（25-26八年级下·辽宁葫芦岛·期中）如图，长方形纸片中，，．点E是边上一点，连接并将沿折叠，得到，以C，E，为顶点的三角形是直角三角形时，的长为________． 题型八 根据矩形的性质与判定求角度 【精讲】（24-25八年级下·辽宁鞍山·期末）正方形中，为对角线，点为射线上一点，点为直线上一点，连接，过点作交直线于点． (1)如图1，当点在线段上，点在线段延长线上时，与的数量关系为：_____； (2)如图2，当点在线段上，点在线段延长线上时，请判断，，之间的数量关系，并说明理由； (3)当，时，请直接写出的面积． 【精练】（23-24八年级下·浙江杭州·期末）如图，在正方形中，点E，F分别在边和的延长线上（点E不与点A，点B重合），且，连接．过点D作于H，连接．    (1)求证：点H是线段EF的中点． (2)若，，求． (3)求证：点H始终在正方形的对角线上． 题型九 根据矩形的性质与判定求线段长 【精讲】（25-26八年级下·上海青浦·期中）如图，在正方形中，为对角线上的一点，于点，若，，则的长为_____． 【精练】（25-26八年级下·广东深圳·期中）大沙河生态长廊风景如画，为市民提供了休闲运动的场所．如图是其中一段直线型绿道，亲水平台、生态湿地分别坐落于绿道两侧且到绿道的垂直距离均为200米，两者在绿道上的投影点之间的距离（即线段的长度）为400米，绿道上规划了一段100米的便民服务带（具体位置未定），两端分别设置饮水站和休息亭．如果一位市民从亲水平台出发，到饮水站喝水，再沿服务带走到休息亭休息，最后前往生态湿地参加活动，他行走的最短路程是_____________米． 题型十 根据矩形的性质与判定求面积 【精讲】（25-26八年级下·湖北恩施·期中）活动与实践： 教材重现（新人教版八年级上册数学教材第94页综合与实践牧民饮马问题） 如图1，牧民从地出发，到一条笔直的河边饮马，然后到地．牧民到河边的什么地方饮马可使所走的路径最短? 抽象为数学问题：如图2，已知点、在直线的同侧，在直线上找一点，使得的值最小． 探究活动1（问题转化） 如图3，若点、在直线的异侧时，连接，交直线于点，由“两点之间线段最短”知，对于直线上任意一点，均有，故、、三点在同一条直线上时最小，得所求点即为点． (1)问题1：如图3，若、两点距直线的距离分别为和，且它们之间的水平距离（即图中的垂线段的长）为，请求出此时的最小值为 ． 针对图2点、在直线的同侧，利用轴对称知识，如图4，作出点关于直线的对称点，连接交直线于点．由轴对称性质知直线是线段的垂直平分线，故，同（1）可知所求点即为点． (2)问题2：如图4，若、两点到直线的距离分别为和，且它们之间的水平距离（即图中的垂线段的长）为，请求出此时的最小值为 ． 探究活动2（数形结合） 例：求代数式的最小值． 解：代数式的几何意义： 如图5，线段，分别以、为垂足在线段的同侧作的垂线段和，且，在线段上取点，设，则． (3)问题3：中，根据勾股定理用含的代数式表示 ，同理 ．那么求的几何意义就是求线段、的长度和．此时的最小值为 ． (4)问题4：已知，利用几何意义探究代数式的最小值为 ． 探究活动3（拓展迁移） (5)问题5：求代数式的最小值为 ． (6)问题6：已知、均为正数，且是一个三角形的三边的长，则这个三角形的面积是 ．（用含、的式子表示）． 【精练】（24-25八年级下·吉林长春·阶段检测）在平面直角坐标系中，直线与直线相交于点，直线与轴交于点，点为折线段上的一个动点，设点的横坐标为，点与不重合，过点作垂直于点所在直线，交轴于点，将线段绕点顺时针旋转，得到线段，连结． (1)求点的坐标； (2)当点落在直线上时，求的值； (3)设与重合部分图形的面积为，请写出与之间的函数关系式： (4)当点在线段上，且经过的某一个顶点和点的直线平分的一个内角或一个外角时，直接写出的值． 题型十一 根据菱形的性质与判定求角度 【精讲】（25-26八年级下·湖北武汉·期中）如图，矩形对角线交于O点，分别过D，C作，的平行线交于点E． (1)如图1，若，求的大小； (2)如图2，连接；作于点F，若，，求的长； (3)如图3，若，连接，在上画点G，在上画点H，使，连，，当的和最小，且最小值为时，直接写出的长． 【精练】（25-26八年级下·湖北武汉·期中）如图是由小正方形组成的的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．点A，B，C，D都是格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中依次完成如下三个画图任务，每个任务的画线不得超过四条． (1)在图（1）中，画； (2)在图（1）中，点P在上，在上画点Q，使；在上画点E，连接，，使； (3)在图（2）中，点G在四边形的对角线上，在上画点H，使． 题型十二 根据菱形的性质与判定求线段长 【精讲】（25-26八年级下·辽宁葫芦岛·期中）如图，在平行四边形中，以A为圆心，长为半径画弧交于点F，分别以点B，F为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点G，连接并延长交于点E，连接交于点O，过点A作于点．若，，则_____． 【精练】（25-26八年级下·浙江温州·期中）如图，在直角坐标系中，四边形的顶点的坐标是，，平分，点的横坐标是3，，点是对角线中点，点是射线上的一个动点，点是线段上的一个动点，且有，以，为边构造． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)当的顶点落在四边形的边所在的直线上时，求的长度； (3)当时，求点的坐标． 题型十三 根据菱形的性质与判定求面积 【精讲】（25-26八年级下·辽宁鞍山·期中）已知点是内一点，连接，． (1)当点在对角线上． ①如图1，若的面积为，的面积为，求的面积； ②如图2，若，，，求平行四边形的周长； (2)如图3，对角线与相交于点，点不在对角线上，连接，，与交于点，与交于点．求证：． 【精练】（24-25八年级下·广西南宁·期末）综合与实践 【问题情景】“综合与实践”课上，如图1，同学们将矩形纸片沿对角线剪开，得到纸片和纸片． 【实践探索】 （1）如图2，乐学小组将沿方向平移到，连接，，请判断四边形的形状，并说明理由． （2）如图2，乐学小组将沿方向平移的过程中，连接，与交于点，若，当时，求四边形的面积． （3）如图3，善思小组将绕点逆时针旋转．使点的对应点落在上，点A的对应点为．过点作于，求证：． 【深入探究】 （4） 如图4，创新小组将绕点顺时针旋转到，连接，取的中点，连接，试猜想三条线段的数量关系，并说明理由． 题型十四 正方形折叠问题 【精讲】（25-26八年级下·重庆·期中）如图，正方形的边长为4，点为边的中点，连接，将沿所在直线翻折到正方形所在平面内，得，连接，，过点作，垂足为，连接，则的值为（     ） A． B．3 C． D．2 【精练】（25-26八年级下·辽宁鞍山·期中）如图，已知点是正方形边上的一点，将沿所在直线翻折，点落在点处，连接并延长交的延长线于点，若，，则四边形的面积为__________． 题型十五 求正方形重叠部分面积 【精讲】（25-26八年级下·北京·期中）已知正方形和正方形边长相等，如图1，点，，，均在直线上，若正方形可沿平移．设长为，两个正方形重叠部分的面积为，关于的函数图象如图2所示．给出下面三个结论： ①正方形的对角线长为； ②当时，重叠面积 ③函数图象的最高点的坐标为． 上述结论中，所有正确结论的序号是（   ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【精练】如图，已知正方形的边长为4，两条对角线相交于点O，以O为顶点作边长为a的正方形，将正方形绕点O旋转． (1)旋转过程中，正方形与正方形重叠部分的面积为________； (2)连接，延长交于点H，判断与的位置关系，并说明理由． (3)连接，当以B、D、E、C为顶点的四边形是平行四边形时，求边长a的值并求此时点D到的距离． 题型十六 根据正方形的性质与判定证明 【精讲】（25-26八年级下·安徽合肥·阶段检测）如图1，四边形为正方形，为对角线上一点，连接，． (1)求证：． (2)如图2，过点作，交边于点，以，为边作矩形，连接． （ⅰ）求证：． （ⅱ）若正方形的边长为，求的值． 【精练】（25-26八年级下·江苏南通·期中）【问题情境】如图，矩形ABCD中，，折叠矩形纸片，使点的对应点落在边上，得到折痕，把纸片展平；继续沿过点的直线折叠，点的对应点落在边上，得到折痕，把纸片展平，的对应边交于点． (1)【初步探究】四边形的形状是______； (2)【深入探究】用等式表示线段，之间的数量关系，并证明； (3)【拓展延伸】设交于点，，求的长． 题型十七 根据正方形的性质与判定求线段长 【精讲】（25-26八年级下·广东珠海·期中）综合与实践课上，同学们以“折纸”为主题开展数学活动．将矩形对折，使点落在边上的点处，得到折痕，点和点分别在线段和线段上，折痕与对角线交于点．打开铺平，得到图． (1)若点与点重合，，，求折痕的长度； (2)若矩形变成边长为的正方形，其他条件不变，如图． 当点为的中点时，线段_______； 若，，请求出关于的函数，并求出自变量的取值范围． 【精练】（25-26八年级下·江西赣州·期中）定义：若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，则称这个四边形为“勾股四边形”，这两条相邻的边称为这个四边形的勾股边． (1)概念理解 ①你所知道的特殊四边形中，是“勾股四边形”的有_____（一个即可）； ②如图（1），点在正方形网格的格点上，请你在图中画出以格点为顶点，为勾股边，且对角线相等的所有“勾股四边形”； (2)知识运用 如图（2），是等边三角形，，且，，求证：，即四边形是“勾股四边形”． (3)拓展应用 如图（3），菱形是“勾股四边形”，对角线、交于点，，，求四边形的面积． 题型十八 根据正方形的性质与判定求面积 【精讲】（24-25八年级下·湖北武汉·期中）在平面直角坐标系中，在轴的正半轴上． (1)如图1，以为斜边在第一象限内作等腰，点为边上一动点，过作的垂线交于轴于点． ①直接写出点的坐标：__________（用含的式子表示）； ②四边形的面积为，若将三角形的面积分成两部分，求点的坐标； (2)如图2，以为一边在第一象限内作，再将绕原点逆时针旋转得到，使的对应边落在轴的负半轴上，、分别是与线段和轴的交点，若，，求的长． 【精练】如图，点O、A、B均在直线l上，且．以AB为直角边在直线的上方作直角三角形，使，．动点P、Q同时从点O出发向右运动，当点Q与点B重合时动点P、Q同时停止运动．点P的速度为每秒4个单位，点Q的速度为每秒2个单位，以为边在直线的上方作正方形，设P、Q两点的运动时间为t秒，正方形与重叠部分的图形面积为． (1)______；（用含t的式子表示） (2)连接，当为等腰三角形时，求t的值． (3)请你直接写出S与t的函数关系式，并写出t的取值范围． 题型十九 利用(特殊)平行四边形的对称性求阴影面积 【精讲】如图，点，分别是矩形的边，的中点，两条平行线，分别经过菱形的顶点，和边，的中点，，已知菱形的面积为，则图中阴影部分的面积和为___________．（用含的代数式表示） 【精练】如图所示，四边形是正方形的内接四边形，与都是锐角，已知，，四边形的面积是．求正方形的面积．    题型二十 (特殊)平行四边形的动点问题 【精讲】（25-26八年级下·吉林·期中）如图，在中，，，垂直平分于点．点从点出发，沿以每秒1个单位长度的速度向终点运动，同时动点从点出发沿射线以每秒3个单位长度的速度运动，点到达终点时，同时停止运动，设点运动的时间为秒． (1)的长为___________ (2)用含的代数式表示线段的长． (3)当以点为顶点的四边形是平行四边形时，求的值． (4)当为钝角三角形时，直接写出的取值范围． 【精练】（25-26八年级下·辽宁鞍山·期中）已知，矩形中，，，的垂直平分线分别交、于点、，垂足为． (1)如图1，连接、．求证四边形为菱形，并求的长； (2)如图2，动点、分别从、两点同时出发，沿和各边匀速运动一周．即点自停止，点自停止．在运动过程中， ①已知点的速度为每秒，点的速度为每秒，运动时间为秒，当、、、四点为顶点的四边形是平行四边形时，求的值． ②若点、的运动路程分别为、（单位：，），已知、、、四点为顶点的四边形是平行四边形，求与满足的数量关系式． 题型二十一 四边形中的线段最值问题 【精讲】（24-25八年级下·浙江宁波·期中）如图所示，E为边长是4的正方形的边的中点，M为上一点，N为上一点，连接，则四边形周长的最小值为（　　） A． B． C．10 D．12 【精练】（25-26八年级下·安徽合肥·阶段检测）如图，在菱形中，是边的中点，分别是上的动点，连接，若，则下列结论错误的是（     ） A．的最小值为 B．的最小值为 C．当是的中点时，的最小值为4 D．当是的中点时，的最小值为 题型二十二 四边形其他综合问题 【精讲】在数学综合与实践活动课上，同学们用两个完全相同的矩形纸片展开探究活动： 【实践探究】：（1）小红将两个矩形纸片摆成图1的形状，连接，则__________ 【解决问题】：（2）将矩形绕点A顺时针转动，边与边交于点M，连接，． ①如图2，当时，求证：平分； ②如图3，当点F落在上时，连接交于点O，则__________； 【迁移应用】：（3）如图4，正方形的边长为是边上一点（不与点重合），连接，将线段绕点E顺时针旋转至，作射线交的延长线于点G，求的长； （4）如图5，在菱形中，是边上一点（不与点重合），连接，将线段绕点E顺时针旋转至，作射线交的延长线于点G，若，求的长。 【精练】如图，正方形，点、分别在、上． (1)如图1，当时． ①求证：； ②平移图1中线段，使点与重合，点在延长线上，连接，取中点，连接，如图2，求证：； (2)如图3，若点在上，和相交于点．当，边长，，求的长． 题型二十三 与三角形中位线有关的求解问题 【精讲】（25-26八年级下·辽宁葫芦岛·期中）如图，四边形与四边形都是正方形，且． (1)如图，连接，则 ； (2)将图中的正方形绕着点按顺时针方向旋转一定的角度，得到正方形． 如图，过点作，交于点，求证：； 如图，正方形的对角线，相交于点，与相交于点，求的长． 【精练】（25-26八年级下·辽宁葫芦岛·期中）如图，是斜边上的中线，，以，为边作四边形，且，． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求的长． 题型二十四 与三角形中位线有关的证明 【精讲】（25-26八年级下·安徽亳州·阶段检测）点E在菱形的边上，与相交于F． (1)如图1，若，求的度数； (2)如图2，延长至G，使得，连接，求证：； (3)如图3，若E为的中点，点H为的中点，且，连接，求证：． 【精练】（25-26八年级下·山东菏泽·阶段检测）如图所示，已知E为中边延长线上一点，且，连接，分别交，于点F，G，连接交于O，连接．求证： (1)； (2)． 题型二十五 三角形中位线的实际应用 【精讲】（24-25八年级下·江苏连云港·期末）（1）问题发现 平行四边形是中心对称图形，对称中心是对角线的交点，过对称中心的直线平分平行四边形的面积．如图1，在中，点是对称中心，经过点，交于点，交于点，请证明：平分的面积； 我们还可以发现：若直线平分的面积，则经过的对称中心且． （2）结论应用 如图2，菱形的边长为，面积为，点是上一点，且，过点的直线与交于点．若平分菱形的面积，则四边形的周长为__________； （3）问题解决 旅游度假区在一块矩形草地上进行旅游功能区规划工作，如图3，在矩形草地中，，过点的直线将矩形的面积平分为两部分，左侧为休闲住宿区，右侧为活动娱乐区，现规划在左侧休闲住宿区域内搭建帐篷，顶点在矩形内，且到、的距离相等，直线过点，分别交、于点、，，求出此时的长，并直接写出的面积为__________． 【精练】在中，，于点M，D是线段上的动点（不与点B，C，M重合），将线段绕点D顺时针旋转得到线段． (1)如图1，若点E在线段上且，时，求的长； (2)如图2，若D在线段上，在射线上存在点F满足，连接，请证明：； (3)如图3，若，过M作直线交边于点N，再作点N关于的对称点，点P是直线MN上一动点，将沿所在直线翻折至所在平面内得到，连接，点H为的中点，连接，当取得最大值时，连接，将沿所在直线翻折至所在平面内得到，请直接写出此时的值． 题型二十六 等腰梯形的性质定理 【精讲】已知如图：在四边形中，，，，，动点P从点B出发在线段上向点C运动；点Q从点D出发在线段上向点A运动，速度为，当其中一个点到达终点时，另一点也停止运动．设运动时间为t秒． (1)当秒时，四边形面积为多少？ (2)当时，求t的值． (3)当以P、Q、D为顶点的三角形是等腰三角形时，则______________．（直接写出答案） 【精练】如图，在等腰梯形中，，，，平分，、是对角线、的中点，且，求梯形的面积． 题型二十七 等腰梯形的判定定理 【精讲】（24-25八年级下·上海徐汇·期末）已知：如图1，四边形中，． (1)求证：四边形是等腰梯形； (2) 定义：在平面内，如果存在一点到四边形的四条边的距离相等，就称这个点为四边形“内心”；如果存在一点到四边形的四个顶点的距离相等，就称这个点为四边形“外心”．如果一个四边形同时存在“内心”与“外心”，就称这个四边形为“双心四边形”；如果一个四边形只存在“内心”或只存在“外心”，就称这个四边形为“单心四边形”． ①i）四边形为（    ） A．双心四边形        B．存在“内心”的单心四边形 C．存在“外心”的单心四边形    D．以上都不对 ii）设，当四边形的“内心”或“外心”存在且在四边形内时（不包括边界），直接写出的取值范围：__________． ②若四边形的“内心”或“外心”存在，请在图2中作出“内心”点或“外心”点（不需要说明作图理由，保留作图痕迹，并写出作图结论）； ③当时，求出“内心”点到四边形的四条边的距离或“外心”点到四边形的四个顶点的距离． 【精练】如图，直线与坐标轴分别交于A，B两点，以线段为一边向上作等边三角形．    (1)求出A，B，C的坐标； (2)已知在y轴上有一点P，且，求出符合条件的P点坐标； (3)平面直角坐标系内有一点Q，使得以A，C，O，Q为顶点的四边形为等腰梯形，请直接写出所有符合条件的Q点坐标． 题型二十八 已知因式分解的结果求参数 【精讲】课本上在面对整式除法的时候告诉了我们长除法的方法，根据因式分解的定义我们可以发现，如果我们知道一个整式其中的一个因式，那么通过长除法得到的余式一定是0，商式则是这个整式的另一个因式，所以现在我们也可以利用长除法帮助我们一起分解因式．下面请先阅读课本上的材料并解决下列问题． 整式除以整式——长除法 类比于两数相除可以用竖式运算，整式除以整式也可以用竖式运算．其步骤是： （1）把被除式和除式按同一字母降幂排列（若有缺项用零补齐）； （2）用竖式进行运算； （3）当余式的次数低于除式的次数时，运算终止，得到商式和余式． 例如，求的商式和余式，可以计算： 因此，商式是，余式是． (1)小明在对进行因式分解后检查答案，答案中有一个因式中的符号被墨水遮挡看不清了，请使用长除法来帮助小明判断这个因式是什么？ (2)已知整式有一个因式是，请试着运用长除法将整式进行因式分解． (3)①已知有一个因式是，请问★处的数字应该是几？ (4)②已知整式有一个因式是，求，，之间存在的关系． 【精练】若关于x，y的二元二次式可以分解成两个一次因式的积，则m的值为__________． 题型二十九 综合运用公式法分解因式 【精讲】先阅读下面的内容，再解决问题： 对于形如，这样的二次三项式，可以用公式法将它分解成的形式．但对于二次三项式，无法直接用公式法．于是可以在二次三项式中先加上一项，使它与的和成为一个完全平方式，再减去，整个式子的值不变，于是有： 像这样的方法称为“配方法”，利用“配方法”，解决下列问题： (1)分解因式：； (2)若 ①当x，y，n满足条件：时，求n的值； ②若三边长是x，y，z，且z为偶数，求的周长． 【精练】因式分解： (1)； (2)． (3)． 题型三十 综合提公因式和公式法分解因式 【精讲】（25-26八年级上·全国·期末）已知，，求下列代数式的值． (1) (2) 【精练】分解因式 (1)； (2)； (3)； (4)计算：． 题型三十一 因式分解在有理数简算中的应用 【精讲】（2023·四川成都·模拟预测）设（n为正整数），则的值_________1（填“＞”，“=”或“＜”） 【精练】用简便方法计算：． 题型三十二 因式分解的应用 【精讲】（25-26八年级下·四川成都·期中）对任意一个正整数，如果，其中是正整数，则称为“矩数”，为的最佳拆分点．例如：，则6为“矩数”，2为6的最佳拆分点．由题意，“矩数”20的最佳拆分点为________；若“矩数”的最佳拆分点为，“矩数”的最佳拆分点为．若，则的值为________． 【精练】（25-26八年级下·陕西西安·期中）按要求解答： (1)如图所示的四个图形可拼成如图所示的一个大长方形，据此写出一个多项式的因式分解为______； (2)如图，有足够多的边长为的大正方形，长为，宽为的长方形和边长为的小正方形，请利用拼图将多项式进行因式分解，在图虚线框中画出你的拼图，并写出因式分解的结果； (3)若多项式（为正整数）可以用拼图法因式分解，则______． 题型三十三 利用分式的基本性质判断分式值的变化 【精讲】（25-26八年级下·广东深圳·期中）数学来源于生活，生活中处处有数学．用我们平时喝的糖水做“糖水实验”也能验证发现一些数学结论． 【实验发现】 糖水实验一： (1)①现有克糖水，其中含有克糖，则糖水的浓度（即糖的质量与糖水的质量比）为．加入克水，则糖水的浓度为________； ②生活经验告诉我们，糖水加水后会变淡，即糖水浓度变低，由此可以写出一个不等式________，我们趣称为“糖水不等式”； 糖水实验二： (2)将“糖水实验一”中的“加入克水”改为“加入克糖并完全溶解”，根据生活经验，请你写出一个新的“糖水不等式”________； 【应用拓展】 某饮料公司生产混合果汁，使用两种基础果汁原料： 果汁：糖的浓度为（糖的浓度）； 果汁：糖的浓度为； (3)若取相同质量的果汁和果汁进行混合，混合果汁的糖的浓度可以表示为________； (4)饮料公司需要生产一批的混合果汁，生产果汁A和果汁B的利润分别为7元和13元，要求混合果汁的糖的浓度不高于，如何生产能获得最大利润？最大利润是多少？ 【精练】（24-25八年级上·北京·期末）已知，，则下列式子一定比大的是（   ） A． B． C． D． 题型三十四 将分式的分子分母的最高次项化为正数 【精讲】（23-24八年级上·全国·课堂例题）不改变分式的值，使下列分式的分子和分母都不含“-”号： (1)； (2)； (3)； (4)． 【精练】不改变分式的值，将下列分式的分子与分母的最高次项的系数化为正数，并将分子与分母按降幂排列： (1) (2) 题型三十五 将分式的分子分母各项系数化为整数 【精讲】不改变分式的值，把下列分式的分子、分母中各项的系数化为整数． （1） （2） ． 【精练】下列说法正确的是（    ） A．分式的值为零，则的值为±2 B．根据分式的基本性质，等式 C．把分式的分子与分母的各项系数都化为整数的结果为 D．分式是最简分式 题型三十六 分式加减乘除混合运算 71．（25-26八年级上·重庆·阶段检测）给定，定义．例如．判断以下结论正确的个数有（   ） ①；②；③若的值为整数，则满足条件的整数共有12个． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【精练】（25-26八年级上·江苏苏州·阶段检测）先化简，再从，1，2中选取一个适合的数代入求值． 题型三十七 分式化简求值 【精讲】（25-26八年级下·江苏泰州·期中）先化简，再求值：，其中满足式子． 【精练】（25-26八年级下·重庆·期中）先化简，再求值：，其中． 题型三十八 分式方程的行程问题 【精讲】已知甲、乙两车分别从相距的A、B两地同时出发相向而行，已知甲车每小时行驶的路程是乙车每小时行驶的路程的2倍多．甲车行驶与乙车行驶所用时间相同， (1)求甲、乙两车的速度； (2)若甲车到达B地后立即返回，甲返回的速度比原速度慢，两车在行驶过程中有几次相遇？并求出每次相遇的时间． 【精练】已知甲、乙两地相距24千米，小明从甲地匀速跑步到乙地用时3小时，小明出发0.5小时后，小聪沿相同的路线从甲地匀速骑自行车到甲乙两地中点处的景区游玩1小时，然后按原来速度的一半骑行，结果与小明同时到达乙地．小明和小聪所走的路程S（千米）与时间t（小时）的函数图象如图所示． （1）小聪骑自行车的第一段路程速度是______千米/小时． （2）在整个过程中，小明、小聪两人之间的距离S随t的增大而增大时，t的取值范围是______． 题型三十九 分式方程的工程问题 【精讲】某项工程，如果由甲乙两队承包，天完成，需付180000元；由乙、丙两队承包，天完成，需付150000元；由甲、丙两队承包，天完成，需付160000元，现在工程由一个队单独承包，在保证一周完成的前提下，哪个队承包费用最少？ 【精练】现有形状、大小、库存货物完全相同的，两个仓库，已知甲、乙两人合作搬运完仓库需要小时，乙、丙两人合作搬运完仓库需要小时．现由乙先与甲合作搬运仓库，同时丙在独立搬运仓库，小时后，乙停止搬运进行休息，乙休息小时立即到仓库和丙一起搬运，若搬运完，两个仓库各用了小时，则___________． 题型四十 分式方程的经济问题 【精讲】（25-26八年级下·四川资阳·期中）五一节期间，安岳县某超市开展优惠促销活动，A种商品标价为100元，现打8折出售，B种商品标价为90元，现在标价上降低出售，已知准备购进的A、B两种商品，A种商品每件的进价比B种商品每件的进价多20元，用3000元购进A种商品和用1800元购进B种商品的数量相同． (1)A种商品每件的进价和B种商品每件的进价各是多少元？ (2)超市计划用不超过1560元的资金购进A、B两种商品共40件，其中A种商品的数量不低于B种商品数量的一半，该商店有几种进货方案？ (3)实际销售时，超市决定对每件A种商品售价再优惠元，B种商品售价不变，在（2）条件下，请设计出销售这40件商品获得总利润最大的进货方案． 【精练】（23-24八年级下·河北石家庄·期末）端午节是我国入选世界非物质文化遗产的传统节日，端午节吃粽子是中华民族的传统习俗，某超市为了满足人们的需求，计划在端午节前购进甲、乙两种粽子进行销售，经了解，每个乙种粽子的进价比每个甲种粽子的进价多元，用元购进甲种粽子的个数与用元购进乙种粽子的个数相同． (1)甲、乙两种粽子每个的进价分别是多少元？ (2)该超市计划购进这两种粽子共个（两种都有），其中甲种粽子的个数不低于乙种粽子个数的倍，若甲、乙两种粽子的售价分别为元/个、元/个，设购进甲种粽子个，两种粽子全部售完时获得的利润为元． ①求与的函数关系式，并求出的取值范围； ②超市应如何进货才能获得最大利润，最大利润是多少元？ 题型四十一 分式方程和差倍分问题 【精讲】（2024八年级上·全国·专题练习）某商场准备购进，两种书包，每个种书包比种书包的进价少元，用元购进种书包的个数是用元购进种书包个数的倍．请解答下列问题： (1)，两种书包每个进价各是多少元？ (2)若该商场购进种书包的个数比种书包的倍还多个，且种书包不少于个，购进，两种书包的总费用不超过元，则该商场有哪几种进货方案？ 【精练】重庆实验外国语学校有A、B、C三个食堂，每个食堂有多个打菜窗口供学生们排队就餐，三个食堂提供的菜品类型和食堂的总容纳量各不相同，据统计A、B、C这三个食堂的打菜窗口个数之比为5：4：3，且A、B、C这三个食堂每一餐每个窗口平均可供排队打菜的学生人数之比为2：3：1．为了减少学生排队时间，学校增加了每个食堂的窗口个数，使得每一餐A、B、C这三个食堂可供排队打菜的学生总人数增加10%，同时A、B、C这三个食堂每一餐每个窗口平均可供排队的学生人数分别减少，，，其中A食堂新增的窗口个数占总新增窗口个数的，且A食堂现在总窗口个数占现在所有总窗口个数的，则B食堂新增的窗口个数与现在三个食堂所有总窗口个数之比是______． 题型四十二 求二次根式中的参数 【精讲】（24-25八年级上·江苏扬州·期中）若满足关系式 ，则 ____． 【精练】已知n是正整数，是整数，则满足条件的所有n的值为__________． 题型四十三 二次根式的乘除混合运算 【精讲】（24-25八年级下·上海·阶段检测）在中，连接，，的角平分线与交于点E，与交于点F，连接，． (1)求证：； (2)若，求的面积． 【精练】（24-25八年级下·四川成都·期末）在中，连接，点E在上，连接． (1)如图1，将沿平移至，连接，有F、A、E共线，求证：； (2)如图2，当时，若，试探究、及之间的数量关系； (3)如图3，设与交于点M，连接，连接交于点N．当时，若，，求证：． 题型四十四 化为最简二次根式 【精讲】（25-26八年级下·吉林松原·期中）已知在中，，，D为直线上一动点（点D不与点B，C重合），以为边在其右侧作正方形，连接． 【观察猜想】 (1)如图1，当点D在线段上时，可以证明，则： ①线段与的位置关系为________． ②线段之间的数量关系为________． 【类比探究】 (2)如图2，当点D在线段的延长线上时，其他条件不变，（1）中①②的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请你写出正确结论并证明． 【拓展延伸】 (3)点D在直线上，其他条件不变，连接．若，，请直接写出线段的长． 【精练】（25-26八年级下·江西九江·阶段检测）综合与实践 如图1，在平面直角坐标系中，为等边三角形，点的坐标为，将绕点顺时针旋转，点为点旋转后的对应点，连接． (1)四边形_____（填“是轴对称”或“是中心对称”或“既是轴对称又是中心对称”）图形． (2)求点与点的坐标． (3)如图2，延长．将绕点顺时针旋转（）得到，线段与射线交于点．当为直角三角形时，直接写出的长． 题型四十五 已知最简二次根式求参数 【精讲】若最简二次根式和能合并，则a、b的值分别是（　　） A．2和1 B．1和2 C．2和2 D．1和1 【精练】最简二次根式与是同类最简二次根式，则________． 题型四十六 复合二次根式的化简 【精讲】（25-26八年级上·山东济南·阶段检测）我们已经学过完全平方公式 ，知道所有的非负数都可以看作是一个数的平方，如 那么，我们可以利用这种思想方法和完全平方公式来计算下面的题： 例：求 的算术平方根． 解： 的算术平方根是 ． 你看明白了吗？请根据上面的方法化简：（直接写出结果，结果化成最简）． (1)= ； (2)= ； (3)在中，，那么边的长为多少？ 【精练】（25-26八年级上·上海·阶段检测）计算： （1）______； （2）______． 题型四十七 同类二次根式 【精讲】（25-26八年级上·上海·期末）已知最简二次根式与是同类二次根式，则__________． 【精练】【阅读材料】 像，，，两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式． 例如，与，与，与⋯，等都是互为有理化因式．进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号． (1)的有理化因式为 ； (2)化简：； (3)①如图，中，与的角平分线相交于点P，若的周长为，面积为3，则点P到边的距离为 ．    ②已知有理数a、b满足，求a、b的值． 题型四十八 二次根式的混合运算 【精讲】（25-26八年级下·广东潮州·期中）如图1，四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是个小正方形，这个图形是我国汉代赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”．在弦图中（如图2）连接，并延长交于点K，连接．若，则的长为（   ） A．2 B． C． D． 【精练】（25-26八年级下·湖北武汉·期中）如图，在菱形中，，点E为的中点，点F为边上一点，，则______． 题型四十九 已知字母的值，化简求值 【精讲】（2026八年级下·全国·专题练习）已知，，求的值． 【精练】（2026八年级下·全国·专题练习）化简求值： ，其中． 题型五十 二次根式的应用 【精讲】（25-26八年级下·重庆·期中）如图，在正方形中，对角线、相交于点，点是边上一点，连接，点是线段上一点，连接，，且，若，则为（     ） A．5 B． C． D． 【精练】（25-26八年级下·甘肃兰州·期中）在中，，的度数记为，点A是直线上的一动点，连接，将线段绕点P逆时针旋转角度至位置，连接． (1)如图1，若，点A在线段上时，证明：； (2)如图2，若，点A在射线上时，猜想：线段和线段的关系，并证明． (3)如图3，若，点A在线段上，，求周长的最小值． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $