精品解析：2026年安徽省阜阳市临泉县第五中学二模数学试题

九年级数学 说明： 1.本试题卷满分150分，考试时间为120分钟． 2.请按试题序号在答题卡相应位置作答，答在试题卷或其他位置无效． 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）每小题都给出A，B，C，D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的． 1. 下列实数中，最大的数是（ ）． A. B. π C. D. 3 【答案】B 【解析】 【详解】解：∵， ∴ ， ∴最大的数是． 2. 一个几何体按如图所示的方式水平放置，它的左视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】图中所示的几何体为一个正方体沿着上面、前面、左面的对角线切掉了左前方一角，它的左视图为一个正方形，割线可视，为左面对角线（由左上至右下）的实线． 【详解】解：这个几何体的左视图为一个正方形，割线可视，为左面对角线（由左上至右下）的实线． 3. 计算的结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：原式． 4. 2024年上半年合肥市实现地区生产总值6135亿元，按不变价格计算，同比增长，其中6135亿用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解： 亿． 5. 晋剧是我省国家级非物质文化遗产，因其雅俗共赏，深受大众喜爱．正面印有晋剧经典剧目Q版人物的三张卡片（其中有1名男性角色，2名女性角色），它们除正面外完全相同．把这三张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取一张，放回洗匀后，再从中随机抽取一张，两次抽取的卡片正面人物性别都为女性的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了树状图法或列表法求概率，解题的关键是正确画出树状图得到所有的等可能的结果数．根据题意，利用树状图法将所有结果都列举出来，然后根据概率公式计算解决即可． 【详解】解：把3张卡片中1名男性角色，2名女性角色分别记为A、B、C， 画树状图如下： 共有9种等可能的结果，其中两次抽取的卡片正面人物性别都为女性的的结果有4种， ∴两次抽取的卡片正面人物性别都为女性的概率为． 故选：D． 6. 已知点都在反比例函数的图象上，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据判断函数图象所在象限，再根据点的横坐标判断点所在象限，结合象限内y的增减性比较大小即可． 【详解】解：∵反比例函数中，， ∴函数图象的两个分支分别在第二、第四象限，且每个象限内随的增大而增大． ∵点A的横坐标， ∴点A在第二象限，可得． ∵点B横坐标为1，点C横坐标为3，都大于0， ∴点B、C都在第四象限，可得，． ∵， ∴ ∴． 7. 已知在四边形中，对角线与交于点O，与的面积相等．下列每组两条线段中，一定相等的是（ ） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 【答案】B 【解析】 【分析】利用同底三角形面积相等推出高相等，再通过全等三角形证明对应边相等，即可得到一定相等的线段 【详解】解：过点作于，过点作于， ∴， ，且与共底边， ， ∴， ∵， ∴  ， 无法得出与，与，与一定相等， ∴只有B选项符合题意 8. 如图，在中，，的平分线交于点D，，交于点E，于点F，，，则的长是（ ） A. 5 B. C. D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】根据平行线的性质得到，根据角平分线的定义得到，根据角平分线的性质定理得到，可知，，得到，，根据勾股定理得到，可知，证明，求出，即可求出的长． 【详解】解：∵， ∴， ∵的平分线交于点D，，， ∴，， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∴， ∴． 9. 已知正实数x，y满足， ，则下列判断正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据已知等式，通过作差、作和，结合正实数的条件，逐一验证各选项即可． 【详解】解：已知正实数，满足①， ②， 由，得，因此选项C错误，不符合题意； 为正实数， ，可得， ，因此选项B错误，不符合题意； 由，得 ，即 ， 平方数非负， ，解得， 若，则 ，即， 代入原式得矛盾，因此，所有满足条件的都满足， 因此选项A判断正确，符合题意； 设，则，代入①得，代入②得 ， 将代入并化简得： ，解得， 即，因此选项D错误，不符合题意． 10. 如图，在中，，，，于点D．点E从点B出发，沿的路径运动，运动到点C停止，过点E作且交AC于点G，作交BC于点F．设点E运动的路程为x，四边形的面积为y，则能反映y与x之间函数关系的图象是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先利用直角三角形边角关系，求得，，．分两段讨论：时，推导出，抛物线开口向下；时，得，抛物线开口向上，对应图像为B． 【详解】解：在中，，，，， ，， ，，， ∵，，， ∴，， ∴四边形为矩形， 如图1，当点在上，即时，， ，， ， ， 当时，， ∴在时，抛物线开口向下，且经过点， 如图2，当点在上，即时，， ， ， ， ∴在时，抛物线开口向上， 综上所述，能反映与之间函数关系的图象是选项B． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 化简：_______． 【答案】 【解析】 【详解】解：原式 12. 法国数学家爱德华·卢卡斯以研究斐波那契数列而著名，他曾给出了求斐波那契数列第n项的表达式，创造出了检验素数的方法，还发明了汉诺塔问题．“卢卡斯数列”是以卢卡斯命名的一个整数数列，在股市中有广泛的应用，卢卡斯数列中的第n个数可以表示为，其中．则 _______． 【答案】1 【解析】 【分析】将代入表达式，根据二次根式的运算法则计算即可． 【详解】解：将代入， 得 ． 13. 如图，四边形是的内接四边形，，．若的半径为5，则的长为_______．  【答案】 【解析】 【分析】由内接四边形的性质可知，，可求得，再利用三角形内角和定理，求得，然后由圆周角定理可求得，最后由圆的弧长公式即可求解． 【详解】解：∵四边形是的内接四边形， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， 连接、， ∴， ∴的长为． 14. 如图，在矩形中，E为边上一点，将沿翻折至，且点落在边上，连接且交于点F，连接且交于点G，设 ． （1）_______（用含的代数式表示）．  （2）若，则 _______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】（1）由折叠，矩形的性质得到，根据 代入计算即可求解； （2）过点作平分 交于点H，过点H作于点M，设 ，则 ，设，则，由面积关系得到，根据解直角三角形的计算得到，由矩形的性质得到 ，由此得到 ，由此即可求解． 【详解】解：（1）由折叠知为的垂直平分线， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴， ∵ ， ∴ ， ∴ ； （2）如图，过点作平分 交于点H，过点H作于点M， ∵， ∴ ， 设 ， ∵， ∴， ∴ ， 设，则， ∵ ， ∴ ， ∴， ∴ ， ∴ ， ∴， ∵， ∴ ， ∵平分， ∴ ， ∴ ， ∴． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 解方程： 【答案】 【解析】 【分析】利用因式分解法解答即可． 【详解】解：， ， ， ， ， ∴． 16. 某教育科技公司销售A，B两种多媒体设备，这两种多媒体设备的进价如下表所示： 类型 A B 进价/（万元/套） 3 若该教育科技公司计划购进两种多媒体设备共35套，共需资金93万元，该教育科技公司计划购进A，B两种多媒体设备各多少套？ 【答案】购进A种多媒体设备15套，B种多媒体设备20套 【解析】 【分析】设购进A种多媒体设备x套，B种多媒体设备y套，根据题意，列出方程组，即可求解． 【详解】解：设购进A种多媒体设备x套，B种多媒体设备y套， 根据题意得 ， 解得， 答：购进A种多媒体设备15套，B种多媒体设备20套． 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系，的三个顶点均在格点（网格线的交点）上，坐标分别为． （1）以点O为旋转中心，将逆时针旋转得到，画出． （2）在的外部确定一格点D，使平分，并写出点D的坐标． 【答案】（1）解：如图所示， ∴即为所求图形； （2）点D的坐标为 【解析】 【分析】（1）根据旋转的性质作图即可； （2）根据勾股定理得到，延长至点E，得到，结合等腰三角形的三线合一即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴延长到格点E，使得， ∴是等腰三角形， 连接交于格点D， ∴，即，即点为线段的中点， ∴， ∴点D即为所求点的位置，． 18. 风电项目对于调整能源结构和转变经济发展方式具有重要意义．某电力部门在某地安装了一批风力发电机，如图1，某校实践活动小组对其中一架风力发电机的塔架高度进行了测量，图2为测量示意图（点A，B，C，D，E均在同一平面内）．已知风力发电机的塔架垂直于地面，测角仪在两侧， 米，点D与点E相距米（点D，F，E在同一条直线上），在B处测得塔架顶点A的仰角为，在C处测得塔架顶点A的仰角为．求风力发电机的塔架的高度．结果精确到米，参考数据：，， 【答案】100.5米 【解析】 【分析】连接交于点G，设米，则 米， 米，由列方程求解即可． 【详解】解：如图，连接交于点G， 由题意得 米， 米， 设米， 在中，， ∴ 米， 在中， ， ∴ 米， ∵， ∴ ， 解得， ∴ 米， 答：风力发电机的塔架的高度约为米． 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 尼科马霍斯是古希腊数学家，他的著作《算术入门》中记载了各种数分门别类的整理成果，其中任何一个整数m的立方都可以写成m个连续奇数之和．某数学兴趣小组对此开展探究活动，研究了这个神秘数的性质，并进行了举例论证：；；；；． 按上述规律，回答下列问题： （1）当m是奇数7时，等号右边式子中的第1个数是 ． （2）如果表示成k个连续奇数之和，其中有一个奇数是61，那么 ． （3）数学兴趣小组还发现以下规律：已知，，且m，n均为正整数，如果将进行如图所示的“分解”，若的“分解”中最小的数是79，求n的值． 【答案】（1）43 （2）8 （3）5 【解析】 【分析】（1）先找到规律，再将代入求解即可． （2）根据规律表示出等号右边式子中的第一个数与最后一个数，代值验证即可． （3）先观察得到的“分解”中最小的数的规律，再代值求解即可． 【小问1详解】 解：观察可发现等号右边式子的第1个数的规律： ， ， ，， 则分解后的第1个奇数为, ∴当m是奇数7时，等号右边式子中的第1个数是 ． 【小问2详解】 解：根据（1）规律，分解出的k个连续奇数，第一个数是， 最后一个数是 ， ∴ ， 当时， ， ，不满足题意； 当时， ， ，满足题意； 当时， ，不满足题意； ∴． 【小问3详解】 解：观察的“分解”规律： ，最小数： ， ，最小数： ， ，最小数： ，， ∴的“分解”中最小的数为 ， 令 ，即， 则有，解得． 20. 如图，是的直径，A是上的一点，的切线交的延长线于点E，过点A作于点D，连接． （1）求证：平分． （2）若，，求的半径． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）连接，根据切线的性质和“直径所对的圆周角是直角”，可证，，根据等腰三角形的性质和余角的性质，可证，即可求证； （2）设，则，根据勾股定理，可得，，，列出方程，求解再代入即可． 【小问1详解】 证明：如图，连接， 是的切线， ，即， 是的直径， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， 平分； 【小问2详解】 解：设，则， 在中，，， 则， 在中，， 在中，， ，解得， ， 则的半径为． 六、（本题满分12分） 21. 为了弘扬和传承中华优秀传统文化，某校举办了一场名为“经典文化传承大赛”的初赛，比赛设定满分为10分，参赛学生的得分均为整数．以下是甲、乙两组（每组10人）学生在初赛中的成绩记录（单位：分）： 甲组：6，7，9，10，6，5，6，6，9，6． 乙组：10，7，6，9，6，7，7，6，7，5． 根据甲、乙两组学生的成绩，得到以下的统计表： 组别 平均数 中位数 众数 方差 甲组 7 a 6 2.6 乙组 b 7 c （1）在以上成绩统计表中，_____，_____，_____． （2）小明同学说：“这次竞赛我得了7分，在我们小组中属于中游略偏上的水平．”根据上面的统计表，判断小明是哪个组的学生，并解释原因． （3）从平均数和方差看，若从甲、乙两组学生中选择一个成绩较为稳定的小组参加决赛，应选哪个组？并说明理由． 【答案】（1）6；7；7 （2）小明是甲组的学生，理由见解析 （3）选乙组参加决赛，理由见解析 【解析】 【分析】（1）根据平均数、中位数和众数的定义分别进行解答即可得出答案； （2）根据中位数的意义即可得出答案； （3）根据平均数与方差的意义即可得出答案． 【小问1详解】 解：∵甲组数据重新排列为：5，6，6，6，6，6，7，9，9，10． ∴中间两个数的平均数是，则中位数； ∵乙组数据重新排列为：5，6，6，6，7，7，7，7，9，10． ， 乙组学生成绩中，数据出现了四次，次数最多， 所以众数． 【小问2详解】 小明可能是甲组的学生，理由如下： 因为甲组的中位数是6分，而小明得了7分， 所以在小组中属中游略偏上， 【小问3详解】 选乙组参加决赛．理由如下： ， 甲、乙两组学生平均数相同，而， 乙组的成绩比较稳定， 故选乙组参加决赛． 【点睛】本题考查了平均数，中位数，众数，方差的意义．掌握平均数表示一组数据的平均程度，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（或最中间两个数的平均数），一组数据中出现次数最多的数据叫做众数，方差是用来衡量一组数据波动大小的量是解题的关键． 七、（本题满分12分） 22. 如图，已知抛物线经过点，平移抛物线，使其顶点在直线上，得到抛物线． （1）求抛物线的顶点坐标； （2）若抛物线的顶点关于坐标原点的对称点在抛物线上，求抛物线的解析式； （3）若点在抛物线上，当时，都有，求抛物线顶点纵坐标的最大值． 【答案】（1） （2）或 （3）3 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的图象和性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）利用待定系数法求二次函数解析式即可． （2）设的顶点的横坐标为，即的顶点坐标为，再利用配方法和原点对称可得，即可解得． （3）代入点可得，根据，，即可得，利用二次函数增减性可得当时，取得最大值，最大值为． 【小问1详解】 解：将点代入， 得， 解得， ∴， ∴的顶点坐标为； 【小问2详解】 解：设的顶点的横坐标为， ∵的顶点在直线上， ∴的顶点坐标为， ∴的解析式为， 点关于坐标原点的对称点为， 将代入， 得， 整理得， 解得， ∴抛物线的解析式为或； 【小问3详解】 解：由（2）可设抛物线的解析式为， ∵点在抛物线上， ∴， ∴ ． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． 由（2）知的顶点的纵坐标为，且随的增大而减小， ∴当时，取得最大值，最大值为， ∴抛物线顶点纵坐标的最大值为3． 八、（本题满分14分） 23. 如图1，在菱形中， ，对角线相交于点O，G为上一点，连接交于点H，E为的中点，分别交 于点N，M， ． （1）求证： ． （2）如图2，取的中点F，连接． ①求的值； ②求线段的长． 【答案】（1）证明：∵ ， ∴ ， ∵在菱形中，， ∴ ， ∴ ， ∵在菱形中，， ∴ ， ∴ ，在 中，， ∴， ∴ ． （2）①＝；② 【解析】 【分析】（1）根据题意可证 ，再证明，即可求解； （2）①证明，，证明 ，结合题意得到，由此即可求解； ②延长交于点P，连接，过点P作，交的延长线于点，可得，在中由解直角三角形的计算得到，由勾股定理得到，结合菱形的性质，相似三角形的判定得到， ，则，所以有，可证是的中线得到 ，由此即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：①∵四边形为菱形， ∴， ∵ ， ∴， ∴， ∵在菱形中，， ∴ ， ∴＝， ∵E为的中点， ∴， ∴， ∵在菱形中， ， ∴为等边三角形， ∴， ∴； ②如图，延长交于点P，连接，过点P作，交的延长线于点， ∵在菱形中， ， ∴ ， ∵在菱形中，O为的中点，F为的中点， ∴P为的中点，且， ∵在菱形中，， ∴， 在中，，，， ∴ ，， ∴ ， ∴， ∵，E为的中点， ∴F为的中点， ∵，， ∴， ∵， ∴ ， ∴， ∴， ∵在菱形中，， ∴，即H为的中点， ∴． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，中位线的判定和性质的综合，掌握以上知识，合理作出辅助线是关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级数学 说明： 1.本试题卷满分150分，考试时间为120分钟． 2.请按试题序号在答题卡相应位置作答，答在试题卷或其他位置无效． 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）每小题都给出A，B，C，D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的． 1. 下列实数中，最大的数是（ ）． A. B. π C. D. 3 2. 一个几何体按如图所示的方式水平放置，它的左视图是（ ） A. B. C. D. 3. 计算的结果是（ ） A. B. C. D. 4. 2024年上半年合肥市实现地区生产总值6135亿元，按不变价格计算，同比增长，其中6135亿用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 5. 晋剧是我省国家级非物质文化遗产，因其雅俗共赏，深受大众喜爱．正面印有晋剧经典剧目Q版人物的三张卡片（其中有1名男性角色，2名女性角色），它们除正面外完全相同．把这三张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取一张，放回洗匀后，再从中随机抽取一张，两次抽取的卡片正面人物性别都为女性的概率为（ ） A. B. C. D. 6. 已知点都在反比例函数的图象上，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 7. 已知在四边形中，对角线与交于点O，与的面积相等．下列每组两条线段中，一定相等的是（ ） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 8. 如图，在中，，的平分线交于点D，，交于点E，于点F，，，则的长是（ ） A. 5 B. C. D. 6 9. 已知正实数x，y满足， ，则下列判断正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在中，，，，于点D．点E从点B出发，沿的路径运动，运动到点C停止，过点E作且交AC于点G，作交BC于点F．设点E运动的路程为x，四边形的面积为y，则能反映y与x之间函数关系的图象是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 化简：_______． 12. 法国数学家爱德华·卢卡斯以研究斐波那契数列而著名，他曾给出了求斐波那契数列第n项的表达式，创造出了检验素数的方法，还发明了汉诺塔问题．“卢卡斯数列”是以卢卡斯命名的一个整数数列，在股市中有广泛的应用，卢卡斯数列中的第n个数可以表示为，其中．则 _______． 13. 如图，四边形是的内接四边形，，．若的半径为5，则的长为_______．  14. 如图，在矩形中，E为边上一点，将沿翻折至，且点落在边上，连接且交于点F，连接且交于点G，设 ． （1）_______（用含的代数式表示）．  （2）若，则 _______． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 解方程： 16. 某教育科技公司销售A，B两种多媒体设备，这两种多媒体设备的进价如下表所示： 类型 A B 进价/（万元/套） 3 若该教育科技公司计划购进两种多媒体设备共35套，共需资金93万元，该教育科技公司计划购进A，B两种多媒体设备各多少套？ 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系，的三个顶点均在格点（网格线的交点）上，坐标分别为． （1）以点O为旋转中心，将逆时针旋转得到，画出． （2）在的外部确定一格点D，使平分，并写出点D的坐标． 18. 风电项目对于调整能源结构和转变经济发展方式具有重要意义．某电力部门在某地安装了一批风力发电机，如图1，某校实践活动小组对其中一架风力发电机的塔架高度进行了测量，图2为测量示意图（点A，B，C，D，E均在同一平面内）．已知风力发电机的塔架垂直于地面，测角仪在两侧， 米，点D与点E相距米（点D，F，E在同一条直线上），在B处测得塔架顶点A的仰角为，在C处测得塔架顶点A的仰角为．求风力发电机的塔架的高度．结果精确到米，参考数据：，， 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 尼科马霍斯是古希腊数学家，他的著作《算术入门》中记载了各种数分门别类的整理成果，其中任何一个整数m的立方都可以写成m个连续奇数之和．某数学兴趣小组对此开展探究活动，研究了这个神秘数的性质，并进行了举例论证：；；；；． 按上述规律，回答下列问题： （1）当m是奇数7时，等号右边式子中的第1个数是 ． （2）如果表示成k个连续奇数之和，其中有一个奇数是61，那么 ． （3）数学兴趣小组还发现以下规律：已知，，且m，n均为正整数，如果将进行如图所示的“分解”，若的“分解”中最小的数是79，求n的值． 20. 如图，是的直径，A是上的一点，的切线交的延长线于点E，过点A作于点D，连接． （1）求证：平分． （2）若，，求的半径． 六、（本题满分12分） 21. 为了弘扬和传承中华优秀传统文化，某校举办了一场名为“经典文化传承大赛”的初赛，比赛设定满分为10分，参赛学生的得分均为整数．以下是甲、乙两组（每组10人）学生在初赛中的成绩记录（单位：分）： 甲组：6，7，9，10，6，5，6，6，9，6． 乙组：10，7，6，9，6，7，7，6，7，5． 根据甲、乙两组学生的成绩，得到以下的统计表： 组别 平均数 中位数 众数 方差 甲组 7 a 6 2.6 乙组 b 7 c （1）在以上成绩统计表中，_____，_____，_____． （2）小明同学说：“这次竞赛我得了7分，在我们小组中属于中游略偏上的水平．”根据上面的统计表，判断小明是哪个组的学生，并解释原因． （3）从平均数和方差看，若从甲、乙两组学生中选择一个成绩较为稳定的小组参加决赛，应选哪个组？并说明理由． 七、（本题满分12分） 22. 如图，已知抛物线经过点，平移抛物线，使其顶点在直线上，得到抛物线． （1）求抛物线的顶点坐标； （2）若抛物线的顶点关于坐标原点的对称点在抛物线上，求抛物线的解析式； （3）若点在抛物线上，当时，都有，求抛物线顶点纵坐标的最大值． 八、（本题满分14分） 23. 如图1，在菱形中， ，对角线相交于点O，G为上一点，连接交于点H，E为的中点，分别交 于点N，M， ． （1）求证： ． （2）如图2，取的中点F，连接． ①求的值； ②求线段的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $