精品解析：2025年安徽省阜阳市临泉县第五中学二模数学试题

2025年数学二模 注意事项： 1.你拿到的试卷满分为 150分，考试时间为120分钟． 2.本试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分． 3.请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题是无效的． 4.考试结束后，请将“试题卷”和“答题卷”一并交回． 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分） 每小题都给出A，B，C，D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的． 1. 下列各数中，与互为倒数的是（ ） A. 2 B. C. D. 2. 下列运算正确的是（　　） A. B. C. D. 3. 《博鳌亚洲论坛可持续发展的亚洲与世界2024年度报告》指出：2022年全球能源发电相关碳排放创历史新高，达到132亿吨，同比增长1.3%．亚洲能源需求和碳排放居全球首位．数据132亿用科学记数法表示为（　　） A. B. C. D. 4. 将一个三棱柱展开，其展开图是（ ） A. B. C. D. 5. 若则代数式的值为（ ） A. 2024 B. C. 2025 D. 6. 如图， 是 的外接圆，若 ，则 的度数是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，平行四边形 的对角线 ， 相交于点 O， 于点 C， ， ，则 的长为（ ） A. B. C. D. 8. 3张分别标有数字2，3，4的卡片，背面都一样，背面朝上洗匀，从中随机摸两次（第一次摸出卡片后记下数字，再放回洗匀），两次数字之和为奇数的概率是（ ） A. B. C. D. 9. 若a，b是一元二次方程． 的两根，则反比例函数 与一次函数 的图象大致为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在正方形 中， ，M，N分别为边 ， 的中点，E为 边上一动点，以点 E为圆心， 的长为半径画弧，交 于点F，P为 的中点，Q为线段 上任意一点，则 长度的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 不等式的解集是___________． 12. 如图，一束平行光线照射在等边三角形上，若，则 的度数为_______． 13. 如图，已知 是 的直径， 是弦，垂足为点 ，点 是弧 的中点，连接若，则 的度数是_______． 14. 如图，A，B 是反比例函数 图象上的两点，过点A作轴，垂足为C， 交 于点 D．若D为 的中点， 的面积为1． （1） 的面积是_______． （2）k的值为_______． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 计算： 16. 某项环保工程，先由甲队单独施工 10天完成 后，再增加乙队共同施工8天即可完成．求乙队单独完成此项工程的天数． 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 如图，在 10×10的网格中， 的顶点均在格点（网格线的交点）上． 的三个顶点坐标分别为，，． （1）将 先向右平移6个单位长度，再向下平移2个单位长度，请在图中画出平移后的． （2）作出 关于原点O中心对称的图形． （3）若 内存在一个格点 P，使得 ，请直接写出点P的坐标． 18. 观察下列等式． …… （1）请写出第 5 个等式： （2）猜想第n（n为正整数）个等式，并计算 的值． 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 《周髀算经》是中国古代数学著作中最早涉及解三角形的专著之一，其中记载为了掌握“农时”，古人开始观象授时，其中一种办法叫“圭表测影（如图1）”，即“表”垂直于地而，“圭”横放于地面，通过“表影”长短判断季节．如图2，为了测量某古塔的高度，小明将一根长的竹竿（）立在M处，当塔顶点 A，竹竿顶点 N以及地面点C在同一条直线上时，测得，然后小明将竹竿向前移动 到点，，当点 A，，共线时，测得 求古塔 的高度．（结果精确到，参考数据：） 20. 如图，在 中， ，以 为直径的 交 于点D，过点D作的切线 交 于点E． （1）求证：． （2）已知 ，过点O作于点F，若P为 上一动点，且，求 的长． 六、（本题满分12分） 21. 为弘扬国学文化，某校开展了国学知识讲座．为了解学生的掌握情况，在七年级进行了一次国学知识测试并按成绩x（x为整数）分评定为A，B，C，D 四个等级： ． ；B． ；C．；D． ．从中随机抽取了一部分学生的成绩进行分析，绘制成如下的统计图表（部分信息缺失）． 七年级国学知识测试成绩统计表 等级 频数（人数） 频率 A 30 B 60 C m D n 请根据所给信息，回答下列问题： （1）本次抽查的样本容量为 ，扇形统计图中A 等级所在扇形的圆心角度数为 °． （2）本次抽查的成绩的中位数落在 等级中．（填A，B，C，D） （3）该校决定对D等级的学生再次进行国学知识普及教育，已知m是n的5倍，那么该校七年级的450名学生中，需再次接受国学知识普及教育的学生约有多少人？ 七、（本题满分12分） 22. 如图，已知 ， ， 三点的坐标分别为，，，抛物线经过 ， 两点． （1）求该抛物线的解析式． （2）过点 作线段 的平行线，交抛物线于点 ，连接 ，试判断四边形 的形状，并说明理由． （3）为线段 上一动点，过点作 轴的平行线，交该抛物线于点 ，当线段 最长时，求点的坐标． 八、（本题满分14分） 23. 在 中， 是 边上一点， 与 交于 点． （1）如图1，若 ， 于点 F． ①求证： ②求 的值． （2）如图2，若 ， ，已知． 求 的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年数学二模 注意事项： 1.你拿到的试卷满分为 150分，考试时间为120分钟． 2.本试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分． 3.请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题是无效的． 4.考试结束后，请将“试题卷”和“答题卷”一并交回． 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分） 每小题都给出A，B，C，D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的． 1. 下列各数中，与互为倒数的是（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查倒数，乘积为1的两个数互为倒数，据此即可求得答案． 【详解】解：∵， ∴与互为倒数， 故选：D． 2. 下列运算正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查幂的混合运算，合并同类项，解此题的关键在于熟练掌握其知识点．根据同底数幂的乘除法运算法则、合并同类项以及幂的乘方运算法则进行判断即可． 【详解】解：A. ，故本选项错误，不符合题意； B. ，故本选项错误，不符合题意； C. ，故本选项正确，符合题意； D. ，故本选项错误，不符合题意． 故选：C． 3. 《博鳌亚洲论坛可持续发展的亚洲与世界2024年度报告》指出：2022年全球能源发电相关碳排放创历史新高，达到132亿吨，同比增长1.3%．亚洲能源需求和碳排放居全球首位．数据132亿用科学记数法表示为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为的形式，其中 ，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案． 【详解】解：132亿， 故选：D． 4. 将一个三棱柱展开，其展开图是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是三棱柱的展开图，利用三棱柱的展开图的特点可得答案． 【详解】解：因为个三棱柱展开图有5个面，两个底面为三角形，且展开后不能在同一侧， 所以B，C，D不符合题意， 故选：A． 5. 若则代数式的值为（ ） A. 2024 B. C. 2025 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了代数式求值、等式的性质等知识点，根据等式的性质对等式进行变形成为解题的关键．由可得，然后对进行变形并将代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故选B． 6. 如图， 是 的外接圆，若 ，则 的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查圆周角定理．首先根据等腰三角形的性质及三角形内角和定理求出 的度数，再利用圆周角与圆心角的关系求出 的度数． 【详解】解：中， ， ， ∴， ∴． 故选：B． 7. 如图，平行四边形 的对角线 ， 相交于点 O， 于点 C， ， ，则 的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是平行四边形的性质，勾股定理的应用，根据勾股定理先求解 ，再求解 ，再结合平行四边形的性质可得答案． 【详解】解：∵平行四边形的对角线相互平分， ， ∴， 又∵ ，故 为直角三角形， ∴根据勾股定理可得：，而 ， ∴， ∴， ∴； 故选：B． 8. 3张分别标有数字2，3，4的卡片，背面都一样，背面朝上洗匀，从中随机摸两次（第一次摸出卡片后记下数字，再放回洗匀），两次数字之和为奇数的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了列表法求概率，先列表得到所有的结果数与符合条件的情况数，即可求解． 【详解】解：列表如下， 共有 种可能，其中和为奇数的有4种， ∴两次数字之和为奇数的概率是， 故选：C． 9. 若a，b是一元二次方程． 的两根，则反比例函数 与一次函数 的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，反比例函数、一次函数的性质；由一元二次方程根与系数的关系得，，结合反比例函数、一次函数的性质进行逐一判断，即可求解；掌握一元二次方程根与系数的关系，反比例函数、一次函数的性质是解题的关键． 【详解】解： 、 是方程即的两根， ，， ∴异号， 反比例函数的图象分布在第二、四象限， 选项A、C不符合题意； B．由图象得： ，，符合题意； D ．由图象得： ，， ，结论错误，不符合题意； 故选：B． 10. 如图，在正方形 中， ，M，N分别为边 ， 的中点，E为 边上一动点，以点 E为圆心， 的长为半径画弧，交 于点F，P为 的中点，Q为线段 上任意一点，则 长度的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】如图，连接 ， 为 的中点，可得，则 在以 为圆心， 为半径的圆弧上运动，当四点共线时，最小，再进一步求解即可． 【详解】解：如图，连接 ， ∵正方形 ， ， ∴，， ∵分别 ， 的中点， ∴，， ∵ 为 的中点， ∴， ∴ 在以 为圆心， 为半径的圆弧上运动， 当四点共线时，最小， 此时，， ∴， ∴， 即的最小值为：， 故选B 【点睛】本题考查的是直角三角形斜边上的中线的性质，勾股定理的应用，等腰三角形的性质，正方形的性质，圆的确定，熟练的确定P的运动轨迹是解本题的关键． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 不等式的解集是___________． 【答案】 ## 【解析】 【分析】本题主要考查了求不等式的解集，解题的关键是熟练掌握解一元一次不等式的一般步骤，注意不等式两边同除以或乘以一个负数，不等号方向发生改变． 【详解】解：， 移项，合并同类项得：， 不等式两边同除以得： ． 故答案为： ． 12. 如图，一束平行光线照射在等边三角形上，若，则 的度数为_______． 【答案】 ##20度 【解析】 【分析】本题考查的是平行线的性质，等边三角形的性质，三角形的外角的性质，先求解，再结合等边三角形与三角形的外角的性质可得答案． 【详解】解：如图， ∵，平行光线， ∴， ∵ 为等边三角形， ∴， ∴； 故答案为： 13. 如图，已知 是 的直径， 是弦，垂足为点 ，点 是弧 的中点，连接若，则 的度数是_______． 【答案】 ##72度 【解析】 【分析】本题考查的是圆内接四边形性质，垂径定理的应用，作出合适的辅助线是解本题的关键．证明 ，，可得， 则，可求得答案； 【详解】解：连接， ∵， ∴ ， ∴， ∵点 是弧 的中点， ∴， ， 在同一个圆上， ， ， ， ， ， ， ∴， 解得：， ∴； 故答案为： 14. 如图，A，B 是反比例函数 图象上的两点，过点A作轴，垂足为C， 交 于点 D．若D为 的中点， 的面积为1． （1） 的面积是_______． （2）k的值为_______． 【答案】 ①. 1 ②. 【解析】 【分析】此题考查了反比例函数系数的几何意义，以及运用待定系数法求反比例函数解析式，根据 的面积为1，列出关系式是解题的关键． （1）利用三角形的中线即可得出结果； （2）先设点 坐标为，得出点 的坐标为，的坐标为，再根据 的面积为1，列出关系式求得的值． 【详解】解：（1）∵D为 的中点， 的面积为1， ∴ 的面积等于 的面积， 即： 的面积等于1； 故答案为：1． （2）设点 坐标为， ∵点 为 的中点， ∴点 的坐标为， ∵点B在反比例函数的图象上， ∴， ∵轴，在反比例函数图象上， ∴的坐标为， ∴， ∵ 的面积为 ， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是含特殊角的三角函数值的混合运算，先计算零次幂，化简绝对值，代入特殊角的三角函数值，再合并即可． 【详解】解： 16. 某项环保工程，先由甲队单独施工 10天完成 后，再增加乙队共同施工8天即可完成．求乙队单独完成此项工程的天数． 【答案】乙队单独完成此项工程需要20天 【解析】 【分析】本题考查分式方程的实际应用，设乙队单独完成此项工程需要 天，根据工作总量等于各劳动分量之和，列出方程进行求解即可． 【详解】解：∵甲队单独施工 10天完成 后， ∴甲队单独施工需要30天， 设乙队单独完成此项工程需要 天，由题意，得： ， 解得： ， 经检验 是原方程的解； 答：乙队单独完成此项工程需要20天． 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 如图，在 10×10的网格中， 的顶点均在格点（网格线的交点）上． 的三个顶点坐标分别为，，． （1）将 先向右平移6个单位长度，再向下平移2个单位长度，请在图中画出平移后的． （2）作出 关于原点O中心对称的图形． （3）若 内存在一个格点 P，使得 ，请直接写出点P的坐标． 【答案】（1） 如图，即为所求， （2） 如图，即为所求； （3） 【解析】 【分析】（1）先分别确定A，B，C平移后的对应点，，，再顺次连接即可； （2）先分别确定A，B，C平移后的对应点，，，再顺次连接即可； （3）根据平移的性质确定的位置，可得其坐标． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图，， ∴． 【点睛】本题考查的是平移的作图，画中心对称的两个图形，平移与坐标变化，坐标与图形，掌握平移的性质并应用于画图是解本题的关键． 18. 观察下列等式． …… （1）请写出第 5 个等式： （2）猜想第n（n为正整数）个等式，并计算 的值． 【答案】（1） （2）2870 【解析】 【分析】本题考查的是数字的变化规律和有理数的混合运算： （1）根据上述等式写出第5个等式即可； （2）根据上述等式写出第n个等式，并据此计算的值． 【小问1详解】 解：第5个等式：， 故答案为：； 【小问2详解】 解：第n个等式：， ∴ ． 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 《周髀算经》是中国古代数学著作中最早涉及解三角形的专著之一，其中记载为了掌握“农时”，古人开始观象授时，其中一种办法叫“圭表测影（如图1）”，即“表”垂直于地而，“圭”横放于地面，通过“表影”长短判断季节．如图2，为了测量某古塔的高度，小明将一根长的竹竿（）立在M处，当塔顶点 A，竹竿顶点 N以及地面点C在同一条直线上时，测得，然后小明将竹竿向前移动 到点，，当点 A，，共线时，测得 求古塔 的高度．（结果精确到，参考数据：） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，根据三角函数值，结合直角三角形表示出 、、 、 ，再根据即可求解．解题的关键在于正确利用正切值进行计算． 【详解】解：由题意可知， ，，，，， 则 在 中，， 在中，， 在中，， 在中，， 而， 即：， ∴． 20. 如图，在 中， ，以 为直径的 交 于点D，过点D作的切线 交 于点E． （1）求证：． （2）已知 ，过点O作于点F，若P为 上一动点，且，求 的长． 【答案】（1） 证明：连接 ，如图， ∵ 是 的切线， ∴ ， ∴， 在 中， ， ∴ ， ∵ ， ∴， ∴， ∴ ． （2） 【解析】 【分析】本题主要考查切线的性质，等腰三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质以及勾股定理等知识 ： （1）连接 ，得， ，，得出，从而可得结论； （2）过点E作，连接 ，求出，证明，得出，证明，求出，根据勾股定理可求出，从而可得结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：过点E作，连接 ， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∵ 是 的直径， ∴ ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 六、（本题满分12分） 21. 为弘扬国学文化，某校开展了国学知识讲座．为了解学生的掌握情况，在七年级进行了一次国学知识测试并按成绩x（x为整数）分评定为A，B，C，D 四个等级： ． ；B． ；C．；D． ．从中随机抽取了一部分学生的成绩进行分析，绘制成如下的统计图表（部分信息缺失）． 七年级国学知识测试成绩统计表 等级 频数（人数） 频率 A 30 B 60 C m D n 请根据所给信息，回答下列问题： （1）本次抽查的样本容量为 ，扇形统计图中A 等级所在扇形的圆心角度数为 °． （2）本次抽查的成绩的中位数落在 等级中．（填A，B，C，D） （3）该校决定对D等级的学生再次进行国学知识普及教育，已知m是n的5倍，那么该校七年级的450名学生中，需再次接受国学知识普及教育的学生约有多少人？ 【答案】（1） ； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由B组人数除以其占比即可得到样本容量，由乘以A的占比即可得到圆心角； （2）由A，B的占比即可得到中位数落在哪个组； （3）先建立方程组求解 的值，再由总人数乘以D的占比即可得到答案． 【小问1详解】 解：∵（人）， ∴本次抽查的样本容量为 ， ， 扇形统计图中A 等级所在扇形的圆心角度数为 ； 【小问2详解】 解：∵A等级的人数为 人，B等级的人数为 人，频率为 ， ∴A等级的频率为 ， 中位数在B等级； 【小问3详解】 解：由题意可得： ， 解得：， ∴该校七年级的450名学生中，需再次接受国学知识普及教育的学生约有： （人）． 【点睛】本题考查的是从扇形图与条形图中获取信息，中位数的含义，样本容量的含义，利用样本估计总体，二元一次方程组的应用，掌握基础的统计知识是解本题的关键． 七、（本题满分12分） 22. 如图，已知， ， 三点的坐标分别为，，，抛物线经过， 两点． （1）求该抛物线的解析式． （2）过点 作线段 的平行线，交抛物线于点 ，连接 ，试判断四边形 的形状，并说明理由． （3） 为线段 上一动点，过点 作 轴的平行线，交该抛物线于点 ，当线段 最长时，求点 的坐标． 【答案】（1）； （2） 四边形 是菱形，理由： 设直线 的解析式为 ， ∴，解得， ∴直线 的解析式为， ∵ ， 设直线 的解析式为， ∴，解得， ∴直线 的解析式为， 联立，解得 或 ， ∴， ∵， ∴ ， ∴四边形 是平行四边形， ∵， ， 三点的坐标分别为，，， ∴， ∴四边形 是菱形； （3）． 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法，平行四边形与菱形的判定，二次函数的图象及性质，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． （ ）用待定系数法即可求函数的解析式； （ ）利用待定系数法求出 的解析式，再求出 直线的解析式，联立联立，可知点 的坐标，即可得出结论； （）设设，则，表示出 的长，然后根据二次函数的性质即可求解． 【小问1详解】 解：将点，代入得， ∴， 解得， ∴抛物线的解析式为； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：设，则， ∴ ， ∴当时，线段 最长， ∴点 的坐标为． 八、（本题满分14分） 23. 在 中， 是 边上一点， 与 交于 点． （1）如图1，若 ， 于点 F． ①求证： ②求 的值． （2）如图2，若 ， ，已知． 求 的长． 【答案】（1） ①证明：①∵ ， ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴， ∴ ； ② （2） 【解析】 【分析】（1）①先证明 ，可得 ，再利用相似三角形的性质可得结论；②过点 作 于点 ，证明 ，即可解题； （2）过点作 于点 ，过点 作 于点 ，过点作 于点 ，得出，然后推导 ，得到，即可解题． 【小问1详解】 ①略 ②如图，过点 作 于点 ， ∵ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ， ∴ ， ， ， ∵ ， ， 又 ， ， ∴ 又∵ ， ， ， ； 【小问2详解】 解：过点作 于点 ，过点 作 于点 ，过点作 于点 ， 设 ，则 ， ∵ ， ∴ ， ∴， 在 中， ， ∴ ， 在 中， ， ∴， 在 中， ， ∴ ， ∴， ∵ ，且 ， ∴ ， 又∵ ， ， ∴ ， ∴ ， ∴，即， 解得： ， ∴ ． 【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，解直角三角形，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，作辅助线构造相似三角形是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $