立体几何微专题 ——几何体的侧面展开问题课件讲义-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习课件聚焦“几何体的侧面展开问题”专题，覆盖直三棱柱、圆锥、正方体等几何体展开图设计、最短路径求解、表面积计算及异面直线判定等核心考点，对接高考评价体系，通过教材原题梳理与真题改编题训练，归纳四大常考题型，体现备考针对性。 课件亮点在于“教材母题溯源+空间转化策略+素养提升”，如最短路径问题通过侧面展开转化为平面几何问题，培养空间观念与几何直观，圆锥表面积计算结合展开图圆心角推理，强化逻辑思维。助力学生掌握转化思想，教师可据此高效开展专题复习。

2027届高三一轮复习回归教材版立体几何微专题 ——几何体的侧面展开问题课件 回归教材：教材中渗透的几何体侧面展开图问题 2027届高三一轮复习回归教材版立体几何微专题 ——几何体的侧面展开问题课件 回归教材：教材中渗透的几何体侧面展开图问题 棱柱 圆锥 正方体 长方体 2027届高三一轮复习回归教材版立体几何微专题 ——几何体的侧面展开问题课件 典例讲解： 2027届高三一轮复习回归教材版立体几何微专题 ——几何体的侧面展开问题课件 习题拓展： 2027届高三一轮复习回归教材版立体几何微专题 ——几何体的侧面展开问题课件 习题拓展： 2027届高三一轮复习回归教材版立体几何微专题 ——几何体的侧面展开问题课件 习题拓展： 2027届高三一轮复习回归教材版立体几何微专题 ——几何体的侧面展开问题课件 习题拓展： 2027届高三一轮复习回归教材版立体几何微专题 ——几何体的侧面展开问题课件 典例讲解： 2027届高三一轮复习回归教材版立体几何微专题 ——几何体的侧面展开问题课件 习题拓展： 2027届高三一轮复习回归教材版立体几何微专题 ——几何体的侧面展开问题课件 习题拓展： 2027届高三一轮复习回归教材版立体几何微专题 ——几何体的侧面展开问题课件 习题拓展： 2027届高三一轮复习回归教材版立体几何微专题 ——几何体的侧面展开问题课件 典例讲解： 2017届高三一轮复习回归教材版立体几何微专题 ——几何体的侧面展开问题课件 习题拓展： 2027届高三一轮复习回归教材版立体几何微专题 ——几何体的侧面展开问题课件 习题拓展： 2027届高三一轮复习回归教材版立体几何微专题 ——几何体的侧面展开问题课件 习题拓展： 2027届高三一轮复习回归教材版立体几何微专题 ——几何体的侧面展开问题课件 习题拓展： 2027届高三一轮复习回归教材版立体几何微专题 ——几何体的侧面展开问题课件 课后练习： 2027届高三一轮复习回归教材版立体几何微专题 ——几何体的侧面展开问题课件 课后练习： 【人教A版必修二第8.1.1节练习第4题】设计一个平面图形，使它能折成一个直三棱柱. 【人教A版必修二第8.3.2节练习第1题】已知圆锥的表面积为 ，且它的侧面展开图是一个半圆，求这个圆锥的底面直径. （人教A版习题8.4第9题）如图是一个正方体的展开图，如果将它还原为正方体，那么在AB，CD，EF，GH这四条线段中，哪些线段所在直线是异面直线？ 【人教A版必修二习题8.1第7题】如图，下边长方体中由上边的平面图形围成的是 A. B. C. D. （人教A版习题8.4第9题）如图是一个正方体的展开图，如果将它还原为正方体，那么在AB，CD，EF，GH这四条线段中，哪些线段所在直线是异面直线？ 【人教A版必修二第8.1.1节练习第4题】设计一个平面图形，使它能折成一个直三棱柱. 【人教A版必修二习题8.1第7题】如图，下边长方体中由上边的平面图形围成的是 A. B. C. D. 【人教A版必修二第8.3.2节练习第1题】已知圆锥的表面积为 ，且它的侧面展开图是一个半圆，求这个圆锥的底面直径. 1．【人教A版必修二第8.1.1节练习第4题】设计一个平面图形，使它能折成一个直三棱柱. 【答案】图像见解析（答案不唯一） 【分析】采用逆向思维，把直三棱柱通过某条棱展开成平面图形，即可得到答案. 【详解】如图所示，答案不唯一. 【点睛】本题考查空间图形的直观图与侧展图的关系，考查空间想象能力，求解时注意学会用逆向思维进行求解. 【解析】正三棱柱的侧面展开图是如图所示的矩形，矩形的长为3b，宽为a，则其对角线AA1的长为最短路程．因此蚂蚁爬行的最短路程为．故选A． 棱柱侧面展开问题： 如图，正三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱长为a，底面边长为b，一只蚂蚁从点A出发沿每个侧面爬到A1，路线为A→M→N→A1，则蚂蚁爬行的最短路程是(　　) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】通过几何体的侧面展开，将空间折线转化为平面线段，结合勾股定理求最短路径. 【详解】由堑堵的定义可知 ，所以 ，如图，将面 与面 展开在一个平面内，延长 至点 ，使得 ，连接 ，分别交 ， 于点 ， ，由对称性可知， ，所以所求最短距离为 EMBED Equation.DSMT4 ． 我国古代数学名著《九章算术》中，把底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱称为堑堵．如图，现有堑堵木块 ， ， ，一只蚂蚁从点 出发，经过棱 、棱 上某点，再爬到棱 的中点 ，则这只蚂蚁爬行的最短路线的长度为（    ） B．4 C． D．10 【答案】B 【分析】利用垂直条件证明得 平面 ，即可得平面 平面 ，然后根据平面展开图判断最短距离，再利用勾股定理计算求解即可. 【详解】将底面 旋转，以 为轴，旋转至平面 与平面 共面，如图，设 的中心为 ，此时 为最短距离，设 到直线 的距离为 ，则 ， 所以 . 已知三棱锥 的底面ABC是边长为1的等边三角形， 平面ABC且 ，一只蚂蚁从 的中心沿表面爬至点P，则其爬过的路程最小值为（    ） B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，将平面 和平面 展开到同一个平面，利用两点之间线段最短可得AC的长就是蚂蚁爬行的路程的最小值，由余弦定理计算以及二倍角公式可得答案. 【详解】根据题意，如图，将平面 和平面 展开到同一个平面，连接 ，与 交于点 ，则 的长就是蚂蚁爬行的路程的最小值，设 ，则 ，又由 得 ，则 EMBED Equation.DSMT4 ，则有 ， 故 ， 则 ，即这只蚂蚁爬行的路程的最小值是 . 如图，在正四棱锥 中， 是棱 上的动点，一只蚂蚁从A点出发，经过E点，爬到C点，则这只蚂蚁爬行的路程的最小值是（    ） B． C． D． 3. 【人教A版必修二第8.3.2节练习第1题】已知圆锥的表面积为 ，且它的侧面展开图是一个半圆，求这个圆锥的底面直径. 【答案】 【分析】设圆锥的底面半径为r，母线长为l，根据圆锥的表面积公式和半圆的面积公式列方程组，解出即可. 【详解】设圆锥的底面半径为r，母线长为l，则由题意得 .又圆锥的侧面展开图为半圆， ，即 .将②式代入①式得 ， ，即 .故圆锥的底面直径为 . 【点睛】本题考查圆锥的表面积公式，是基础题. 【答案】 【分析】将圆锥沿着母线 展开，确定点 的位置，结合勾股定理可求得 的长，即为所求. 【详解】因为圆锥的底面半径为 ，底面圆的周长即扇形的弧长为 ，又因为圆锥的母线长为 ，所以展开图扇形的圆心角为 ，展开图如图所示． 易知 为半圆弧的中点，且 ，结合题意可知 ， ，则，即其移动路径的最小值为 ． 如图，现有一底面半径为 ，母线长为 的圆锥， 、 为底面圆周上两点，且 为底面直径， 是 的中点，一只蚂蚁沿圆锥表面从 点爬到 点，其移动路径的最小值为______． 【分析】（1）作 交 于 ，利用勾股定理求解即可； （2）利用梯形的面积公式求解； （3）把空间图形展开为平面图形，先求出圆心角，再利用两点间的距离最短即可求解． 【详解】（1）如图1，作 交 于 ，易得 ， 则 ，则圆台的高为 ． （2）圆台的轴截面面积为 ． （3）把圆台补成圆锥可得大圆锥的母线长为 ，底面半径为 ， 圆锥侧面展开图的圆心角为 ，设 的中点为 ，连接 （如图2），可得 ， 则 ，所以沿着该圆台 表面从点 到 中点的最短距离为 ． 某工厂生产出一种机械零件，如图所示，零件的几何结构为圆台 ，在轴截面 中， ． (1)求圆台 的高； (2)求圆台 轴截面的面积； (3)若一只蚂蚁从点 沿着该圆台的侧面爬行到 的中点，求所经过的最短路程． 【答案】A 【分析】利用侧面展开图，结合勾股定理即可求解最短路径长. 【详解】通过圆柱侧面展开图，可知最短路径为侧面展开图中的直角三角形 的斜边，即 EMBED Equation.DSMT4 故选：A. 如图，圆柱高8cm，底面半径2cm，一只蚂蚁从点 爬到点 处吃食，要爬行的最短路程为（   ）（ 取3） A．10cm B．14cm C．20cm D．无法确定 （人教A版习题8.4第9题）如图是一个正方体的展开图，如果将它还原为正方体，那么在AB，CD，EF，GH这四条线段中，哪些线段所在直线是异面直线？ 【分析】首先将正方体的展开图还原成正方体，由经过平面外一点和平面内一点的直线和平面内不经过该点的直线是异面直线，进行判断. 【详解】还原正方体如图，由经过平面外一点和平面内一点的直线和平面内不经过该点的直线是异面直线可得，AB，CD，EF，GH这四条线段所在直线是异面直线为：直线EF和直线HG，直线AB和直线HG，直线AB和直线CD. 【点睛】本题考查的是异面直线的判定，将正方体的展开图还原成正方体，再利用异面直线的判定定理判断是解题的关键，是基础题. 【答案】C 【分析】首先还原正方体，再根据线线的位置关系，判断选项. 【详解】由正方体展开图还原正方体如下图所示： 线段 与 所在的直线相交，故A错误；线段 与 所在的直线异面，故B错误；如图连接 ， ，由正方体的性质可知 ， 为等边三角形，所以 为 与 所在的直线所成的角，故C正确；如图连接 ，则 ， 平面 ， 平面 ，所以 平面 ，又 平面 ，所以 与 不相交，故D错误.故选：C （人教A版习题8.4第9题改编）某正方体的平面展开图如图所示，如果将它还原为正方体，那么在该正方体中，下列结论正确的是（    ） A．线段 与 所在的直线异面 B．线段 与 所在的直线平行 C．线段 与 所在的直线所成的角为 D．线段 与 所在的直线相交 【答案】ABD 【解析】以面ABCD为下底面还原正方体,如图, 则易判定选项ABD都是正确的;平面BDM∥平面AFN,故选项C错误. （人教A版习题8.4第9题改编）某正方体的平面展开图(表面朝下)如图所示.关于这个正方体,以下判断正确的是(　　) BM∥平面DE B.CN∥平面AF C.平面BDM∥平面AEF D.平面BDE∥平面NCF 【答案】ABD 【分析】根据题意，将展开图还原成正方体，然后逐一判断即可得到结果. 【详解】将题中的展开图还原成正方体的图形，如图所示，连接 ，显然 与 是异面直线，故A正确；连接 ，显然 ，故B正确；连接 ，在正方体中，易知 ，则 即为异面直线 与 所成角，又 ， 所以 ，C错误；与正方体的六个面均相切的球的半径为 ， 则体积为 ，故D正确；故选：ABD （人教A版习题8.4第9题改编）如图，一个棱长为1的正方体的展开图，如果将它还原成正方体，那么下列选项中正确的是（    ） A． 与 是异面直线 B． C．异面直线 与 所成角为 D．球 与该正方体的六个面均相切，则球 的体积为 【答案】BCD 【分析】可画出展开图对应的立体图形，根据图形即可判断每个选项的正误，从而得出正确的选项. 【详解】根据正方体的展开图画出正方体如图所示： 可以看出：AB与CD异面， CD与EF相交，EF与GH异面，GH∥CD.故选：BCD. 多选（人教A版习题8.4第9题改编）如图是一个正方体的展开图，如果将它还原为正方体之后，下列结论正确的（    ） A． B． 与 相交 C． 与 异面 D． 1、圆锥 的底面直径是2，其侧面展开图是一个顶角为120°的扇形. (1)一只蚂蚁从点A出发，沿圆锥侧面爬行一圈回到点A，求爬行的最短路程； (2)过 的中点 作平行于底面的截面，以该截面为底面在圆锥中挖去一个圆柱（如图所示），求剩下几何体的表面积和体积. 【详解】（1）由题意，侧面展开图如图所示，最短路程即为 的长， 设 为圆锥的母线长，由 ，可得 ，即母线 ，在 中，由余弦定理可得 ，所以爬行的最短路程为 ； 因为圆锥的母线长为 ，所以圆锥的高为 ，从而挖去的圆柱的高为 ，从而挖去的圆柱的侧面积为 ，又圆锥的表面积为 ，所以剩下几何体的表面积 ，剩下几何体的体积为 . 试卷第1 = 1 页，共3 = 3 页 试卷第1 = 1 页，共3 = 3 页 【详解】（1）由题意得，该漏斗的表面积 （平方米）．其中漏斗锥体部分的高 米，所以该漏斗的体积（立方米）． （2）将漏斗表面展开，如图所示，由两点间距离最短可得线段 为蚂蚁爬行最短路径，过点 作，交 的延长线于点 ，连接 ，则米，米．在直角 中，可得（米），所以蚂蚁爬过的最短路径的长为 （米）． 如图，一个加盖密封的漏斗的上面部分是一个正方体，下面部分是一个正四棱锥，该几何体所有棱长均为2米． (1)求该漏斗的表面积和体积； (2)若一只蚂蚁沿漏斗表面从点 爬到点 ，求它爬过的最短路径的长． $ 2027届高三一轮复习回归教材版立体几何微专题 ——几何体的侧面展开问题课件 回归教材： 【人教A版必修二第8.1.1节练习第4题】设计一个平面图形，使它能折成一个直三棱柱. 【人教A版必修二第8.3.2节练习第1题】已知圆锥的表面积为，且它的侧面展开图是一个半圆，求这个圆锥的底面直径. 【人教A版习题8.4第9题】如图是一个正方体的展开图，如果将它还原为正方体，那么在AB，CD，EF，GH这四条线段中，哪些线段所在直线是异面直线？ 【人教A版必修二习题8.1第7题】如图，下边长方体中由上边的平面图形围成的是 A. B. C. D. 典例讲解1： 【人教A版必修二第8.1.1节练习第4题】设计一个平面图形，使它能折成一个直三棱柱. 【答案】图像见解析（答案不唯一） 【分析】采用逆向思维，把直三棱柱通过某条棱展开成平面图形，即可得到答案. 【详解】如图所示，答案不唯一. 【点睛】本题考查空间图形的直观图与侧展图的关系，考查空间想象能力，求解时注意学会用逆向思维进行求解. 习题拓展： 1、如图，正三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱长为a，底面边长为b，一只蚂蚁从点A出发沿每个侧面爬到A1，路线为A→M→N→A1，则蚂蚁爬行的最短路程是(　　) A． B． C． D． 【解析】正三棱柱的侧面展开图是如图所示的矩形，矩形的长为3b，宽为a，则其对角线AA1的长为最短路程．因此蚂蚁爬行的最短路程为．故选A． 2、我国古代数学名著《九章算术》中，把底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱称为堑堵．如图，现有堑堵木块，，，一只蚂蚁从点出发，经过棱、棱上某点，再爬到棱的中点，则这只蚂蚁爬行的最短路线的长度为（    ） A． B．4 C． D．10 【答案】C 【分析】通过几何体的侧面展开，将空间折线转化为平面线段，结合勾股定理求最短路径. 【详解】由堑堵的定义可知，所以，如图， 将面与面展开在一个平面内，延长至点，使得，连接，分别交，于点，，由对称性可知，，所以所求最短距离为．故选：C． 3．已知三棱锥的底面ABC是边长为1的等边三角形，平面ABC且，一只蚂蚁从的中心沿表面爬至点P，则其爬过的路程最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用垂直条件证明得平面，即可得平面平面，然后根据平面展开图判断最短距离，再利用勾股定理计算求解即可. 【详解】将底面旋转，以为轴，旋转至平面与平面共面，如图，设的中心为，此时为最短距离，设到直线的距离为，则，所以. 4．如图，在正四棱锥中，是棱上的动点，一只蚂蚁从A点出发，经过E点，爬到C点，则这只蚂蚁爬行的路程的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，将平面和平面展开到同一个平面，利用两点之间线段最短可得AC的长就是蚂蚁爬行的路程的最小值，由余弦定理计算以及二倍角公式可得答案. 【详解】根据题意，如图，将平面和平面展开到同一个平面，连接，与交于点，则的长就是蚂蚁爬行的路程的最小值，设，则，又由得，则，则有， 故，则，即这只蚂蚁爬行的路程的最小值是.故选：C. 典例讲解2： 【人教A版必修二第8.3.2节练习第1题】已知圆锥的表面积为，且它的侧面展开图是一个半圆，求这个圆锥的底面直径. 【答案】 【分析】设圆锥的底面半径为r，母线长为l，根据圆锥的表面积公式和半圆的面积公式列方程组，解出即可. 【详解】设圆锥的底面半径为r，母线长为l，则由题意得.又圆锥的侧面展开图为半圆，，即.将②式代入①式得，，即. 故圆锥的底面直径为. 【点睛】本题考查圆锥的表面积公式，是基础题. 习题拓展： 1、如图，现有一底面半径为，母线长为的圆锥，、为底面圆周上两点，且为底面直径，是的中点，一只蚂蚁沿圆锥表面从点爬到点，其移动路径的最小值为_______． 【答案】 【分析】将圆锥沿着母线展开，确定点的位置，结合勾股定理可求得的长，即为所求. 【详解】因为圆锥的底面半径为，底面圆的周长即扇形的弧长为，又因为圆锥的母线长为，所以展开图扇形的圆心角为，展开图如图所示． 易知为半圆弧的中点，且，结合题意可知，，则，即其移动路径的最小值为． 2．如图，圆柱高8cm，底面半径2cm，一只蚂蚁从点爬到点处吃食，要爬行的最短路程为（   ）（取3） A．10cm B．14cm C．20cm D．无法确定 【答案】A 【分析】利用侧面展开图，结合勾股定理即可求解最短路径长. 【详解】 通过圆柱侧面展开图，可知最短路径为侧面展开图中的直角三角形的斜边， 即故选：A. 3．某工厂生产出一种机械零件，如图所示，零件的几何结构为圆台，在轴截面中，． (1)求圆台的高； (2)求圆台轴截面的面积； (3)若一只蚂蚁从点沿着该圆台的侧面爬行到的中点，求所经过的最短路程． 【答案】(1)；(2)；(3)． 【分析】（1）作交于，利用勾股定理求解即可； （2）利用梯形的面积公式求解； （3）把空间图形展开为平面图形，先求出圆心角，再利用两点间的距离最短即可求解． 【详解】（1）如图1，作交于， 易得，则，则圆台的高为． （2）圆台的轴截面面积为：． （3）把圆台补成圆锥可得大圆锥的母线长为，底面半径为， 圆锥侧面展开图的圆心角为，设的中点为，连接（如图2）， 可得，则， 所以沿着该圆台表面从点到中点的最短距离为． 典例讲解3： 【人教A版习题8.4第9题】如图是一个正方体的展开图，如果将它还原为正方体，那么在AB，CD，EF，GH这四条线段中，哪些线段所在直线是异面直线？ 【答案】直线EF和直线HG，直线AB和直线HG，直线AB和直线CD. 【分析】首先将正方体的展开图还原成正方体，由经过平面外一点和平面内一点的直线和平面内不经过该点的直线是异面直线，进行判断. 【详解】 还原正方体如图，由经过平面外一点和平面内一点的直线和平面内不经过该点的直线是异面直线可得， AB，CD，EF，GH这四条线段所在直线是异面直线为：直线EF和直线HG，直线AB和直线HG，直线AB和直线CD. 【点睛】本题考查的是异面直线的判定，将正方体的展开图还原成正方体，再利用异面直线的判定定理判断是解题的关键，是基础题. 习题拓展： 1．（人教A版习题8.4第9题改编）某正方体的平面展开图如图所示，如果将它还原为正方体，那么在该正方体中，下列结论正确的是（    ） A．线段与所在的直线异面 B．线段与所在的直线平行 C．线段与所在的直线所成的角为 D．线段与所在的直线相交 【答案】C 【分析】首先还原正方体，再根据线线的位置关系，判断选项. 【详解】由正方体展开图还原正方体如下图所示： 线段与所在的直线相交，故A错误；线段与所在的直线异面，故B错误； 如图连接，，由正方体的性质可知，为等边三角形， 所以为与所在的直线所成的角，故C正确； 如图连接，则，平面，平面，所以平面， 又平面，所以与不相交，故D错误.故选：C 2.多选（人教A版习题8.4第9题改编）某正方体的平面展开图(表面朝下)如图所示.关于这个正方体,以下判断正确的是 (　　) A.BM∥平面DE B.CN∥平面AF C.平面BDM∥平面AEF D.平面BDE∥平面NCF 【答案】ABD 【解析】以面ABCD为下底面还原正方体,如图, 则易判定选项ABD都是正确的;平面BDM∥平面AFN,故选项C错误. 3．多选（人教A版习题8.4第9题改编）如图，一个棱长为1的正方体的展开图，如果将它还原成正方体，那么下列选项中正确的是（    ） A．与是异面直线 B． C．异面直线与所成角为 D．球与该正方体的六个面均相切，则球的体积为 【答案】ABD 【分析】根据题意，将展开图还原成正方体，然后逐一判断即可得到结果. 【详解】将题中的展开图还原成正方体的图形，如图所示，连接，显然与是异面直线，故A正确；连接，显然，故B正确；连接，在正方体中，易知，则即为异面直线与所成角，又，所以，C错误；与正方体的六个面均相切的球的半径为，则体积为，故D正确；故选：ABD 4．（人教A版习题8.4第9题改编）如图是一个正方体的展开图，如果将它还原为正方体之后，下列结论正确的（    ） A． B．与相交 C．与异面 D． 【答案】BCD 【分析】可画出展开图对应的立体图形，根据图形即可判断每个选项的正误，从而得出正确的选项. 【详解】根据正方体的展开图画出正方体如图所示： 可以看出：AB与CD异面，CD与EF相交，EF与GH异面，GH∥CD.故选：BCD. 习题拓展： 1．圆锥的底面直径是2，其侧面展开图是一个顶角为120°的扇形. (1)一只蚂蚁从点A出发，沿圆锥侧面爬行一圈回到点A，求爬行的最短路程； (2)过的中点作平行于底面的截面，以该截面为底面在圆锥中挖去一个圆柱（如图所示），求剩下几何体的表面积和体积. 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）作出侧面的展开图，最短路程即为的长，由余弦定理可求解； （2）求得圆锥的高，进而计算剩下几何体的表面积和体积. 【详解】（1）由题意，侧面展开图如图所示，最短路程即为的长，设为圆锥的母线长， 由，可得，即母线， 在中，由余弦定理可得，所以爬行的最短路程为； （2）因为圆锥的母线长为，所以圆锥的高为，从而挖去的圆柱的高为，从而挖去的圆柱的侧面积为，又圆锥的表面积为，所以剩下几何体的表面积，剩下几何体的体积为. 2．如图，一个加盖密封的漏斗的上面部分是一个正方体，下面部分是一个正四棱锥，该几何体所有棱长均为2米． (1)求该漏斗的表面积和体积； (2)若一只蚂蚁沿漏斗表面从点爬到点，求它爬过的最短路径的长． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据题意，根据面积公式，求得该漏斗的表面积，再由漏斗锥体部分的高米，结合体积公式，即可求解； （2）将漏斗表面展开，过点作，连接，在直角中，结合勾股定理，即可求解. 【详解】（1）由题意得，该漏斗的表面积（平方米）． 其中漏斗锥体部分的高米，所以该漏斗的体积（立方米）． （2）将漏斗表面展开，如图所示，由两点间距离最短可得线段为蚂蚁爬行最短路径，过点作，交的延长线于点，连接，则米，米． 在直角中， 可得（米）， 所以蚂蚁爬过的最短路径的长为（米）． 学科网（北京）股份有限公司 $