第八章 立体几何初步（知识清单+9大易错训练）高一数学人教A版必修第二册

第八章 立体几何初步 清单01 基本立体图形 知识点1：空间几何体的相关概念 1、空间几何体：在我们的周围存在着各种各样的物体，他们都占据着空间的一部分，如果只考虑这些物体的形状和大小，而不考虑其他因素，那么由这些物体抽象出来的空间图形就叫做空间几何体。 例如：我们日常接触到的足球、篮球等，吐过只考了他们的形状和大小，他们都是球体，还有其他几何体如长方体、正方体等。 2、多面体：一般地，由若干个平面多边形围成的几何体叫做多面体. （1）多面体的面：围成多面体的各个多边形叫做多面体的面； （2）多面体的棱：两个面的公共边叫做多面体的棱； （3）多面体的顶点：棱与棱的公共点叫做多面体的顶点。 3、旋转体：一条平面曲线（包括直线）绕它所在的平面内的一条定直线旋转所形成的曲面叫做旋转面，封闭的旋转面围成的几何体叫做旋转体，这条定直线叫做旋转体的轴。 知识点2：棱柱 1、定义：一般地，有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面围成的多面体叫棱柱。 （1）有两个互相平行的面叫做棱柱的地面，它们是全等的多边形； （2）其余各面叫做棱柱的侧面，他们都是平行四边形； （3）相邻侧面的公共边叫做棱柱的侧棱； （4）侧面与底面的公共顶点叫做棱柱的顶点。 2、棱柱的分类： （1）按底面多边形的边数：可以把棱柱分为三棱柱、四棱柱、五棱柱等等； （2）按侧棱与底面的位置关系：可以把棱柱分为直棱柱和斜棱柱； 其中直棱柱：侧棱垂直于底面的棱柱． 斜棱柱：侧棱不垂直于底面的棱柱． 正棱柱：底面是正多边形的直棱柱． 平行六面体：底面是平行四边形的四棱柱． 知识点3：棱锥 1、定义：一般地，有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体叫做棱锥。 （1）这个多边形面叫做棱锥的底面； （2）有公共顶点的各个三角形面叫做棱锥的侧面； （3）相邻侧面的公共边叫做棱锥的侧棱； （4）各个侧面的公共顶点叫做棱锥的顶点。 2、棱锥的分类： 按底面多边形的边数，可以把棱锥分成三棱锥、四棱锥和五棱锥。 【注意】底面为正多边形的棱锥叫做正棱锥，如正三棱锥、正四棱锥…… 知识点4：棱台 1、定义：用一个平行与棱锥底面的平面去截棱锥，我们把底面与截面之间的部分叫做棱台。 （1）原棱锥的底面和截面分别叫做棱台的下底面和上底面； （2）其他各面叫做棱台的侧面； （3）相邻侧面的公共边叫做棱台的侧棱； （4）侧面与底面的公共顶点叫做棱台的定点。 【注意】（1）棱台上下底面是互相平行且相似的多边形； （2）侧面都是梯形； （3）各侧棱的延长线交于一点。 2、棱台的分类：由三棱锥、四棱锥、五棱锥……截得的棱台分别叫做三棱台、四棱台、五棱台…… 知识点5：圆柱 定义：以矩形的一边所在的直线为旋转轴，其余三边旋转一周形成的面围成的旋转体角圆柱 （1）旋转轴叫做圆柱的轴； （2）垂直于轴的变旋转而成的圆面叫做圆柱的底面； （3）平行于轴的边旋转而成的曲面叫做圆柱的侧面； （4）无论转到什么位置，平行与轴的边都叫做圆柱侧面的母线。 【注意】（1）底面是互相平行且全等的圆面； （2）母线有无数条，都平行与轴； （3）轴截面为矩形。 知识点6：圆锥 定义：以直角三角形的一条所在的直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆锥。 （1）垂直于轴的边旋转而成的圆面叫做圆锥的底面； （2）直角三角形的斜边旋转而成的曲面叫做圆锥的侧面； （3）无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边都叫做圆锥侧面的母线。 【注意】（1）底面是圆面，横截面是比底面更小的圆面，轴截面是等腰三角形； （2）圆锥的顶点与底面圆周上任意一点的连线都是圆锥的母线； （3）母线有无数条，且长度相等，侧面由无数条母线组成。 （4）直角三角形绕其任意一边所在的直线旋转一周所形成的几何体不一定是圆锥。 知识点7：圆台 1、第一种定义：用平行与圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫做圆台。 2、第二种定义：以直角题型处置与底面的腰所在的的直线为旋转轴，其余三边旋转形成的面所围成的旋转体。 【注意】（1）圆台上、下底面是半径不相等且互相平行的圆面； （2）母线有无数条且长度相等，各母线的延长线交于一点； （3）轴截面为等腰梯形。 知识点8：球 定义：半圆以它的直径所在直线为旋转轴，旋转一周形成的曲面叫做球面，球面所围成的旋转体叫做球体，简称球。 （1）球心：半圆的圆心叫做球的球心； （2）半径：连接圆心与球面上任意一点的线段叫做球的半径； （3）直径：连接球面上两点并且经过球心的线段叫做球的直径。 知识点9：组合体的定义 现实世界中物体表示的是几何体，除了柱体、锥体、台体和球等简单几何体外，还有大量的几何体是由简单几何体组合而成，这些几何体称作组合体。 组合体可以由几何体拼接、截去或挖去一部分形成。 清单02 立体几何的直观图 知识点1：空间几何体的直观图的概念 直观图是观察者在某一点观察一个空间几何体获得的图形；直观图是把空间图形画在平面内，既富有立体感，又能表达出图形各主要部分的位置关系和度量关系的图形。 知识点2：立体图形的直观图的画法 1、斜二测画法：我们常用斜二测画法画空间图形及水平放置的平面图形的直观图．斜二测画法是一种特殊的平行投影画法． （1）“斜”：在已知图形的平面内与轴垂直的线段，在直观图中均与轴承或 （2）“二测”：两种度量形式，即在直观图中，平行于轴或轴的线段长度不变； 平行于轴的长度变成原来的一半， 2、平面图形直观图的画法及要求 第一步建系：在已知图中取互相垂直的轴和轴，两轴相交于点，画直观图时，把他们弧长对应的轴和轴，两轴相交于，且使（或）它们确定的平面表示水平面； 第二步平行不变：已知图形中平行与轴和轴的线段，在直观图中分别画出平行与轴或轴的线段； 第三步长度规则：已知图形中平行于轴的线段，在直观图中保持原长度不变，平行于轴的线段，长度变为原来的一半， 3、空间几何体直观图的画法 （1）与平面图形的直观图相比，多画一个与x轴、y轴都垂直的z轴，直观图中与之对应的是z′轴； （2）平面x′O′y′表示水平平面，平面y′O′z′和x′O′z′表示竖直平面； （3）已知图形中平行于z轴(或在z轴上)的线段，在其直观图中平行性和长度都不变． （4）成图：去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线． 4、直观图与原图之间的“变”与“不变” “三变”: (1)坐标轴的夹角改变；(2)与轴平行的线段长度变为原来的一半；(3)图形改变。 “三不变”:(1)平行性不改变；(2)与轴和轴平行的线段长度不改变；(3)相对位置不改变。 知识点3：直观图与原图多边形面积之间的关系 若一个多边形的面积为，它的直观图的面积为，则有， 举个例子：以三角形为例，如图，设原三角形的底为，高为， 则其面积为， 在直观图中，，， 在直观图中， 清单03 棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积 知识点1：多面体的表面积、侧面积 因为多面体的各个面都是平面，所以多面体的侧面积就是所有侧面的面积之和， 表面积是侧面积与底面面积之和． 1、棱柱、棱锥、棱台的侧面展开图 （1）棱柱的侧面展开图是平行四边形，一边为棱柱的侧棱，另一边等于棱柱的底面周长； （2）棱锥的侧面展开图由若干个三角形组成； （3）棱台的侧面张开图由若干个梯形组成。 2、棱柱、棱锥、棱台的表面积 （1）棱柱的表面积：； （2）棱锥的表面积：； （3）棱台的表面积： 知识点2：棱柱、棱锥、棱台的体积 1、棱锥、棱锥、棱台的高 （1）棱柱的高是指两底面之间的距离，即从一底面上任意一点向另一个底面作垂线，这点与垂足(垂线与底面的交点）之间的距离； （2）棱锥的高是指从顶点向底面作垂线，顶点与垂足之间的距离； （3）棱台的高是指两底面之间的距离，即从上底面上任意一点向下底面作垂线，这点与垂足之间的距离。 2、棱锥、棱锥、棱台的体积公式 几何体 体积公式 说明 棱柱 为棱柱的底面积，为棱柱的高 棱锥 为棱锥的底面积，为棱锥的高 棱台 ，分别为棱台的上、下底面，为棱台的高 3、对棱柱、棱锥、棱台体积公式的理解 （1）等底、等高的两个棱柱的体积相同； （2）等底、等高的棱锥和棱柱的体积之间的关系可以通过实验得出，等底、等高的棱柱的体积是棱锥的体积的3倍.(3)柱体、锥体、台体的体积公式之间的关系； （3）柱体、锥体、台体的体积公式之间的关系 （4）求棱台的体积可转化为求棱锥的体积.根据棱台的定义进行“补形”，还原为棱锥，采用“大棱锥”减去“小棱锥”的方法求棱台的体积. 清单04 圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积 知识点1：圆柱、圆锥、圆台的表面积 1、侧面展开图及侧面积公式 几何体 圆柱 圆锥 圆台 侧面展开图 侧面积公式 S圆柱侧＝2πrl S圆锥侧＝πrl S圆台侧＝π(r1＋r2)l 2、圆柱、圆锥、圆台的表面积的求解步骤; 解决圆柱、圆锥、圆台的表面积问题，要利用好旋转体的轴截面及侧面展开图，借助平面几何知识，求得所需几何要素，代入公式求解即可，基本步骤如下： （1）得到空间几何体的平面展开图． （2）依次求出各个平面图形的面积． （3）将各平面图形的面积相加． 知识点2：圆柱、圆锥、圆台的体积 1、圆柱、圆锥、圆台的体积公式 几何体 体积公式 说明 圆柱 为圆柱的底面积，为圆柱的高 圆锥 为圆锥的底面积，为圆锥的高 圆台 ，分别为圆台的上、下底面，为圆台的高 2、对圆柱、圆锥、圆台体积公式的认识 （1）等底、等高的两个圆柱的体积相同； （2）等底、等高的圆锥和圆柱的体积之间的关系可以通过实验得出，等底、等高的圆柱的体积是圆锥的体积的3倍； （3）圆柱、圆锥、圆台体积公式之间的关系 （4）求圆台的体积转化为求圆锥的体积.根据台体的定义进行“补形”，还原为圆锥，采用“大圆锥”减去“小圆锥”的方法求圆台的体积. 知识点3：球的表面积和体积 1、球的体积公式： 2、球的表面积公式： 清单05 空间点、直线、平面之间的位置关系 知识点1：平面的概念及表示方法 1、平面的概念：几何里所说的“平面”是从生活中的一些物体中抽象出来的，是无限延展的 2、平面的特点：（1）平面是平的；（2）平面是没有厚度的；（3）平面是无限延展而没有边界的；（4）平面是由空间点、线组成的无限集合；（5）平面图形是空间图形的重要组成部分。 3、平面的画法： （1）当平面水平放置时，平行四边形的锐角一般画成45°，且横边长等于其邻边长的2倍； （2）当平面竖直放置时，平行四边形的一组对边通常画成铅垂线。 4、平面的表示方法： （1）一个希腊字母：如，，等； （2）两个大写英文字母：表示平面的平行四边形的相对的两个顶点； （3）四个大写英文字母：表示平面的平行四边形的四个顶点。 5、点与直线（平面）、直线与平面的位置关系 （1）点与直线（平面）的位置关系只能用“∈”或“∉”， （2）直线与平面的位置关系只能用“⊂”或“⊄”． 知识点2：平面的基本事实 1、基本事实1 （1）内容：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面 （2）图形： （3）符号表示：A，B，C三点不共线⇒存在唯一的平面α使A，B，C∈α （4）作用：确定一个平面或判断“直线共面”的方法 2、基本事实： （1）内容：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内 （2）图形： （3）符号表示：A∈l，B∈l，且A∈α，B∈α⇒l⊂α （4）作用：①检验平面；②判断直线在平面内；③由直线在平面内判断直线上的点在平面内 3、基本事实： （1）内容：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线 （2）图形： （3）符号表示：P∈α，P∈β⇒α∩β＝l且P∈l （4）作用：①判定两平面相交；②作两平面相交的交线；③证明点共线或线共点 4、三个推论： 推论1：经过一条直线和直线外一点，有且只有一个平面． 推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面． 推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面． 知识点3：空间点、直线、平面位置关系 1．直线与直线的位置关系 （1）共面与异面直线 定义：不同在任何一个平面内的两条直线． 异面直线的画法： ① ② （2）空间两条直线的位置关系 位置关系 特点 相交 同一平面内，有且只有一个公共点 平行 同一平面内，没有公共点 异面直线 不同在任何一个平面内，没有公共点 2、直线与平面的位置关系 位置关系 直线a在平面α内 直线a在平面α外 直线a与平面α相交 直线a与平面α平行 公共点 无数个公共点 一个公共点 没有公共点 符号表示 a⊂α a∩α＝A a∥α 图形表示 3、两个平面的位置关系 位置关系 两平面平行 两平面相交 公共点 没有公共点 有无数个公共点(在一条直线上) 符号表示 α∥β α∩β＝l 图形表示 清单06 线线、线面、面面平行的判定与性质 知识点1：基本事实4 1、文字语言：平行于同一条直线的两条直线平行．这一性质叫做空间平行线的传递性． 2、符号表述：⇒a∥c. 3、作用：证明两条直线平行 知识点2：等角定理 1、文字语言：如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补． 2、符号语言：,或 3、等角定理的两个推论 （1）如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补； （2）如果两条相交直线与另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角（或直角）相等。 4、作用：判断和证明两个角相等或互补。 知识点3：空间四边形 顺次连接不共面的四点A、B、C、D所构成的图形，叫做空间四边形． 这四个点中的各个点叫做空间四边形的顶点； 所连接的相邻顶点间的线段叫做空间四边形的边； 连接不相邻的顶点的线段叫做空间四边形的对角线． 知识点4：线线平行的证明方法 1、定义法：即证明两条直线在同一个平面内且两直线没有公共点； 2、利用平面图形的有关平行的性质，如三角形中位线，梯形，平行四边形等关于平行的性质； 3、利用基本事实4：找到一条直线，使所证的直线都与这条直线平行． 知识点5：空间直线与平面的位置关系有以下三种 1、直线在平面内：如果一条直线a与平面α有两个不同的公共点，那么这条直线就在这个平面内，记作a⊂α. 2、直线与平面相交：直线a与平面α只有一个公共点A，叫做直线与平面相交，记作a∩α＝A，公共点A叫做直线a与平面α的交点． 3、直线与平面平行：如果一条直线a与平面α没有公共点，叫做直线与平面平行，记作a∥α. 知识点6：直线与平面平行的判定定理 1、文字语言：如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，该直线与此平面平行 2、符号：aα，b⊂α，a∥b⇒a∥α. 3、图形语言： 知识点7：直线与平面平行的性质定理 1、文字语言：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行． 2、符号语言：a∥α，a⊂β，α∩β＝b⇒a∥b. 3、图形语言： 知识点8：平面与平面平行的判定定理 1、文字语言：一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行 (简记为“线面平行⇒面面平行”) 2、符号语言：a⊂β，b⊂β，a∩b＝P，且a∥α，b∥α⇒β∥α. 3、图形语言： 4、判定定理推论：如果一个平面内两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线， 则这两个平面平行． 知识点9：平面与平面平行的性质定理 1、文字语言：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行 2、符号语言：α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b⇒a∥b. 3、图形语言： 4、平面与平面平行其他常用性质推论 （1）平行于同一个平面的两个平面平行. （2）垂直于同一条直线的两个平面平行. （3）如果两个平面平行，那么其中一个平面内的直线平行于另一个平面. （4）如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，那么它也垂直于另一个平面. 知识点10：利用判定定理证明两平面平行的步骤 1、在一个平面内找出两条相交直线； 2、证明着两条相交直线分别平行于另一个平面； 3、利用平面与平面平行的判定定理得出结论。 清单07 线线、线面、面面垂直的判定与性质 知识点1：直线与平面垂直的定义 1、文字语言：如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l与平面α互相垂直 2、符号语言：l⊥α 3、有关概念：直线l叫做平面α的垂线，平面α叫做直线l的垂面．它们唯一的公共点P叫做垂足 4、图形语言： 5、画法：画直线与平面垂直时，通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直. 6、空间距离 ①点到平面的距离：过一点作垂直于已知平面的直线，则该点与垂足间的线段，叫做这个点到该平面的垂线段，垂线段的长度叫做这个点到该平面的距离 ②直线到平面的距离：一条直线与一个平面平行时，这条直线上任意一点到这个平面的距离，叫做这条直线到这个平面的距离. ③两个平行平面间的距离：如果两个平面平行，那么其中一个平面内的任意一点到另一个平面的距离都相等，我们把它叫做这两个平行平面间的距离. 【注意】过一点垂直于已知平面的直线有且只有一条. 知识点2：直线与平面垂直的判定定理 1、文字语言：如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直 2、符号语言：l⊥a，l⊥b，a⊂α，b⊂α，a∩b＝P⇒l⊥α 3、图形语言： 4、作用：证明线面垂直 知识点3：直线与平面垂直的性质定理 1、文字语言：垂直于同一个平面的两条直线平行. 2、符号语言：⇒a∥b 3、图形语言： 4、作用：①线面垂直⇒线线平行 ②作平行线 5、推论： （1）一条直线垂直于一个平面，它就和平面内的任意一条直线垂直． （2）若两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直这个平面. （3）若一条之心垂直于两个平行平面中的一个，则它必垂直于另外一个平面/ （4）垂直于同一条直线的两个平行平行. 知识点4：三心问题结论 设P是三角形ABC所在平面α外一点，O是P在α内的射影 （1）若PA＝PB＝PC，则O为△ABC的外心． 特别地当∠C＝90°时，O为斜边AB的中点． （2）若PA、PB、PC两两垂直，则O为△ABC的垂心． （3）若P到△ABC三边距离相等，则O为△ABC的内心． 知识点5：平面与平面垂直 1、定义：一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直． 2、图形语言： 3、符号语言：α⊥β. 知识点6：平面与平面垂直的判定定理 1、文字语言：如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直 2、图形语言： 3、符号语言： 知识点7：平面与平面垂直的性质定理 1、文字语言：两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线， 那么这条直线与另一个平面垂直 2、图形语言： 3、符号语言： 4、作用：①面面垂直⇒线面垂直；②作面的垂线 5、平面与平面垂直的其他性质 （1）如果两个平面互相垂直，那么经过第一个平面内一点垂直于第二个平面的直线在第一个平面内，即 （2）如果两个平面互相垂直，那么与其中一个平面平行的平面垂直于另一个平面，即； （3）如果两个平面互相垂直，那么其中一个平面的垂线平行于另一个平面或在另一个平面内，即； （4）如果两个相交平面都垂直于第三个平面，那么它们的交线垂直于第三个平面，即； （5）三个凉凉垂直的平面的交线也两两垂直，即 知识点8：垂直问题转化关系如下所示 清单08 线线角、线面角、二面角的定义 知识点1：线线角的定义与求解 线线角主要是求异面直线所成角。 1、线线角的定义： ①定义：设是两条异面直线，经过空间任一点作直线，，把与所成的锐角或直角叫做异面直线所成的角(或夹角) ②范围： 2、求异面直线所成角一般步骤： （1）平移：选择适当的点，线段的中点或端点，平移异面直线中的一条或两条成为相交直线． （2）证明：证明所作的角是异面直线所成的角． （3）寻找：在立体图形中，寻找或作出含有此角的三角形，并解之． （4）取舍：因为异面直线所成角的取值范围是， 所以所作的角为钝角时，应取它的补角作为异面直线所成的角． 3、可通过多种方法平移产生，主要有三种方法： ①平行四边形平移法； ②中位线平移法； ③补形平移法(在已知图形中，补作一个相同的几何体，以便找到平行线)． 知识点2：直线和平面所成的角 1、有关概念： （1）斜线：与平面α相交，但不和平面α垂直，图中直线PA （2）斜足：斜线和平面的交点，图中点A （3）射影：过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线， 过垂足和斜足的直线叫做斜线在这个平面内的射影， 图中斜线PA在平面α上的射影为AO 2、直线与平面所成的角 （1）定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角. （2）规定：一条直线垂直于平面，它们所成的角是直角； 一条直线和平面平行或在平面内，它们所成的角是0°的角 3、取值范围：[0°，90°] 知识点3：二面角 1、二面角 （1）定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形．这条直线叫做二面角的棱，两个半平面叫做二面角的面． （2）图形语言： （3）符号语言：二面角或或或. 2、二面角的平面角 若有①；②，；③，，则二面角的平面角是． 二面角的大小可以用它的平面角来度量，二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度。 清单09 空间中的距离问题 知识点1：点到直线的距离（点线距） 1、点在直线上的射影 自点向直线引垂线，垂足叫做点在直线上的射影． 点到垂足的距离叫点到直线的距离． 2、点线距的求法： 点到直线的距离问题主要是将空间问题转化为平面问题，利用解三角形的方法求解距离。 知识点2：点到平面的距离（点面距） 1、点到平面的距离： 已知点是平面外的任意一点，过点作，垂足为，则唯一，则是点到平面的距离。即：一点到它在一个平面内的正射影的距离叫做这一点到这个平面的距离（转化为点到点的距离） 结论：连结平面外一点与内一点所得的线段中，垂线段最短 2、点面距的求解问题，主要有三个方法： （1）定义法（直接法）：找到或者作出过这一点且与平面垂直的直线，求出垂线段的长度； （2）等体积法：通过点面所在的三棱锥，利用体积相等求出对应的点线距离； （3）转化法：转化成求另一点到该平面的距离，常见转化为求与面平行的直线上的点到面的距离． 知识点3：异面直线的距离（线线距） 1、公垂线：两条异面直线的公垂线在这两条异面直线间的线段（公垂线段）的长度，叫做两条异面直线间的距离.两条异面直线的公垂线有且只有一条. 2、两条异面直线的距离：两条异面直线的公垂线段的长度. 知识点4：直线到平面的距离（线面距） 直线到与它平行平面的距离：一条直线上的任一点到与它平行的平面的距离,叫做这条直线到平面的距离(转化为点面距离).如果一条直线平行与平面,则直线上的各点到平面的垂线段相等,即各点到的距离相等；垂线段小于或等于上任意一点与平面内任一点间的距离； 知识点5：平面到平面的距离（面面距） 1、两个平行平面的公垂线、公垂线段： （1）两个平面的公垂线：和两个平行平面同时垂直的直线，叫做两个平面的公垂线. （2）两个平面的公垂线段：公垂线夹在平行平面间的的部分，叫做两个平面的公垂线段. （3）两个平行平面的公垂线段都相等. （4）公垂线段小于或等于任一条夹在这两个平行平面间的线段长. 2、两个平行平面的距离：两个平行平面的公垂线段的长度叫做两个平行平面的距离. 【易错01：斜二测画法规则掌握不牢】 1、用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图的步骤 2、斜二测画法要注意： ①建立坐标系；②“位置规则”——与坐标轴的平行的线段平行关系不变；③“长度规则”——图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持长度不变，平行于y轴的线段，长度减为原来的一半.【典例】 1．（25-26高一下·天津·期中）如图，用斜二测画法画水平放置的四边形ABCD，其直观图为等腰梯形，若，，则下列说法正确的是（ ） A． B． C．四边形ABCD的周长为 D．四边形ABCD的面积为 【答案】D 【分析】根据斜二测画法求出原四边形各边的长度，并确定四边形为直角梯形，进而得到其周长和面积，即可得． 【详解】由题设，A错； 由斜二测画法知，，，， 易知原四边形为直角梯形，， 所以， 四边形的周长为，面积为，B、C错，D对． 【针对训练】 1．如图，是水平放置的的直观图，，则在原平面图形中，有（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】首先算出长度，再利用斜二测画法将直观图还原为原平面图形，从而判断各个选项正误. 【详解】如图所示，在直观图中，过作于， . 又， 所以利用斜二测画法将直观图还原为原平面图形，如图： 那么有，故选项B正确； 又因为，故选项A､C错误； 而，故选项D正确. 故选：BD. 【易错02：圆台、棱台的表面积与体积】 几何体 体积公式 说明 棱台、圆台 ，分别为棱台的上、下底面，为棱台的高 几何体 圆台 棱台 侧面展开图 侧面积公式 S圆台侧＝π(r1＋r2)l 【典例】 1．（24-25高一下·安徽宣城·期末）一圆台的上、下底面半径分别是10cm和20cm，它的侧面展开图扇环的圆心角为180°，下列说法不正确的是（    ） A．圆台的母线长是20cm B．圆台的高是cm C．圆台的表面积是 D．圆台的体积是 【答案】D 【分析】根据给定条件，作出圆台侧面展开图，求出圆台的母线长和高，再利用表面积和体积公式求解判断作答. 【详解】依题意，圆台侧面展开图，如图，     设圆台的上底面周长为，由扇环的圆心角为，得， 又，则，同理， 于是圆台的母线cm，高cm， 表面积， 体积，ABC正确，D错误. 故选：D. 2．（多选题）如图，在正四棱台中， ，则下述结论正确的是（   ） A．该四棱台的高为 B．侧棱与底面所成角为 C．该四棱台的表面积为 D．该四棱台的体积为 【答案】ABD 【分析】画出图形，连接交于点，连接交于点，连接，结合图形分析得出为四棱台的高，然后过点作交于，通过已知条件结合勾股定理计算即可得出选项A，由选项A的相关结论分析即可得出侧棱与底面所成角，求解即可得出选项B，计算四棱台上下底面面积和侧面积即可得出选项C，直接利用台体体积公式计算即可得出选项D. 【详解】如图连接交于点，连接交于点，连接， 则在正四棱台中有： ，平面，所以为四棱台的高， 由平面，所以， 过点作交于，所以， 又，所以， 所以四边形为平行四边形，所以， 在正四棱台中，由， 所以， 所以， 则， 在直角三角形中，， 所以四棱台的高为，故A选项正确； 由，平面，所以平面， 所以为侧棱与底面所成角， 在直角三角形中，，所以， 侧棱与底面所成角为，故B答案正确； ①正四棱台的上下两个正方形的面积： 设上下两个面的面积分别为，则， ②正四棱台的侧面积： 在等腰梯形中，如图所示： 过分别作垂直于交于点， 所以，又， 所以四边形为平行四边形， 所以，所以， 所以， 所以等腰梯形的面积为： ， 所以正四棱台的侧面积为：， 所以四棱台的表面积为，故C选项不正确； 四棱台的体积为， 故D选项正确； 故选：ABD. 【针对训练】 1．（多选题）（24-25高一下·黑龙江哈尔滨·期末）正三棱台的上、下底面边长分别是2和6，侧棱长是5，则下列说法正确的是（   ） A．该正三棱台的上底面积是 B．该正三棱台的侧面面积是 C．该正三棱台的表面积是 D．该正三棱台的高是 【答案】AC 【分析】根据正三棱台的结构特征和表面积公式进行计算求解即可. 【详解】对于选项A： 因为正三棱台的上底面为正三角形，其边长为2， 所以上底面面积为，所以A正确； 对于选项B： 正三棱台的侧面为等腰梯形，所以侧面积为： ，所以B错误； 对于选项C： 该正三棱台的下底面面积为. 所以该三四棱台的表面积为，所以C正确； 对于选项D： 设为正三棱台的高，根据勾股定理可得， 解得，所以D错误. 故选：AC. 2．（多选题）（24-25高一下·浙江·期中）折扇是我国古老文化的延续，在我国已有四千年左右的历史，“扇”与“善”谐音，折扇也寓意“善良”“善行”，它常以字画的形式体现我国的传统文化，也是运筹帷幄、决胜千里、大智大勇的象征(如图①)，图②是一个圆台的侧面展开图(扇形的一部分)，若两个圆弧、所在圆的半径分别是3和6，且，则下列关于该圆台的说法正确的是（    ） A．高为 B．母线长为3 C．表面积为14π D．体积为 【答案】ABC 【分析】根据题意，求出圆台的上下底面圆半径、母线长和高，运用侧面积公式和体积公式，即可一一判断正误即得. 【详解】设圆台的上、下底面半径分别为， 依题意，解得，，解得， 又圆台的母线长为， 故圆台的高故A、B均正确； 圆台的侧面积为， 所以圆台的表面积为，故C正确； 圆台的体积为，故D错误. 故选：ABC. 【易错03：线面位置关系的判断错误】 空间点、线、面位置关系的组合判断是考查学生对空间点、线、面位置关系判断和性质掌握程度的重要题型.解决这类问题的基本思路有两条：一是逐个寻找反例作出否定的判断，逐个进行逻辑证明作出肯定的判断；二是结合长方体模型或实际空间位置（如教室、课桌、灯管）作出判断. 【典例】 1．（25-26高一下·全国·课后作业）设a，b是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列选项正确的为（ ）． A．若，，则 B．若，，，则 C．若，，，，则 D．若，，，则 【答案】B 【分析】根据空间中直线与平面，平面与平面的位置关系进行判定. 【详解】在A选项中，若，，根据位置关系可得或，故A错误， 在B选项中，若，，则或， 又，所以，故B正确， 在C选项中，若，，，， 根据面面平行的判定定理，因为缺少是相交直线的条件， 不能推出，故C错误， 在D选项中，若，，， 两个平行平面内的直线可能异面，不一定平行， 所以或异面，故D错误. 【针对训练】 1．（25-26高一下·全国·课堂例题）如果直线l，m与平面，，满足：，，和，那么必有（    ） A．且 B．且 C．且 D．且 【答案】A 【分析】根据题设线面关系，结合平面的基本性质判断线线、线面、面面的位置关系. 【详解】由，，得，A正确，C错误； 又，则m与可能平行、相交，与有可能平行、相交，BD错误. 故选：A 【易错04：平行中的相似、垂直中的全等三角形条件应用】 相似抓住比例关系，全等抓住角度相等条件 【典例】 1．（25-26高一下·北京朝阳·月考）如图，在正方体中，点分别为棱的中点，点是棱上的一点，且． (1)求证：平面； (2)已知点是棱上的一点，且，求证：平面平面． 【答案】(1)证明见详解 (2)证明见详解 【分析】（1）作辅助线，利用三角形相似得到比例关系，进而可得线线平行，结合判定定理可证结论. （2）作辅助线，根据题意可证平面，平面，进而可得面面垂直. 【详解】（1）连接、分别交于点H、O，连接， 在正方体中，且， 所以，则， 同理可得，所以，所以， 又平面，平面，所以平面. （2）连接，因为点分别为棱的中点，则， 因为，，则， 可得，则， 且平面，平面，则平面， 取的中点，连接， 因为分别为的中点，则， 又因为分别为的中点，则，， 且，，则，， 可知为平行四边形，则，可得， 且平面，平面，则平面， 又因为，平面，所以平面平面. 2．如图，在四棱锥中，，证明：平面平面． 【答案】证明见解析 【分析】首先通过线线垂直推出线面垂直，再根据线面垂直推出面面垂直. 【详解】证明：如图，设相交于点，连接， 因为，故，则， 所以为的中点，且， 所以． 因为， 所以，所以，因为为的中点，所以． 因为平面，所以平面． 因为平面，所以平面平面． 【针对训练】 1．（25-26高一·全国·寒假作业）如图，在四棱锥中，为正三角形，底面为直角梯形，，，，，点，分别在线段和上，．求证：平面； 【答案】证明见解析 【分析】连接，交于点，证出，即可根据线面平行的判定定理证出平面． 【详解】连接，交于点，连接， 因为，，所以，， 因为，所以，所以， 因为平面，平面，所以平面． 2．（24-25高一下·四川成都·期末）如图，在四棱锥中，底面是正方形，. (1)求证：平面； 【答案】(1)证明见解析； 【详解】（1）设与相交于点，连接，如图所示， 因为，，， 所以. 所以. 又在中，是的中点，所以. 在正方形中，. 又因为平面，平面，且. 所以平面. 【易错05：线面平行、垂直中的性质定理不熟悉】 1、线面平行性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 线∥面线∥线 如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行 2、面面平行性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 面//面 线//面 如果两个平面平行，那么在一个平面中的所有直线都平行于另外一个平面 性质定理 如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么他们的交线平行（简记为“面面平行线面平行”） 面//面 线面 如果两个平面中有一个垂直于一条直线，那么另一个平面也垂直于这条直线 3、线面垂直的性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 性质定理 垂直于同一平面的两条直线平行 _ b _ a 垂直与平行的关系 垂直于同一直线的两个平面平行 _ 线垂直于面的性质 如果一条直线垂直于一个平面，则该直线与平面内所有直线都垂直 4、面面垂直的性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 性质定理 两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直 _ _ a 【典例】 1．（25-26高一下·全国·课堂例题）如图，是圆的直径，点是圆上异于的点，为平面外一点，分别是的中点．记平面与平面的交线为，试判断直线与平面的位置关系，并加以证明． 【答案】直线//平面，证明见解析 【分析】利用线面平行的判定、性质推理判断并证明. 【详解】直线平面，证明如下： 分别是的中点，得， 又平面，且平面，则平面， 而平面，且平面平面，因此， 又平面，平面，所以平面. 2．如图，在四棱锥中，，，，，，平面平面.求证：. 【答案】证明见解析 【分析】利用面面垂直的性质可得出平面，可得出，利用并结合线面垂直的判定定理可得出平面，结合线面垂直的性质可证得结论成立. 【详解】取的中点，连接，如图所示： 因为，所以， 又平面平面，且平面平面，平面， 所以平面， 又平面，所以， 由，，、平面，所以平面， 又平面，所以. 【针对训练】 1．（25-26高一下·全国·课后作业）如图所示，在四棱锥中，底面是平行四边形，与交于点，是的中点，在上取一点，过和作平面交平面于，求证：. 【答案】证明见解析 【分析】先证明线面平行，由平面的性质可得. 【详解】证明：如图，连接. 四边形是平行四边形， 是的中点． 又是的中点，. 又平面，平面， 平面. 又平面，平面平面， . 2．（25-26高一上·江苏南通·期末）如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，平面平面，.    (1)求证：平面平面； (2)若为等边三角形，边长为2，与底面所成角为，求四棱锥的体积. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）先证明平面，再根据面面垂直的判定定理证明面面垂直. （2）根据锥体的体积公式求锥体体积. 【详解】（1）如图：    取中点，连接，， 又平面平面，平面平面， ，又 又，平面平面. （2）取中点，连接，连接，同理可证， 则为与底面所成角的平面角. 为等边三角形，边长为2，， 在中，解得，在中，解得. 则. ， . 【易错06：忽略异面直线夹角的范围】 求异面直线所成角一般步骤： （1）平移：选择适当的点，线段的中点或端点，平移异面直线中的一条或两条成为相交直线． （2）证明：证明所作的角是异面直线所成的角． （3）寻找：在立体图形中，寻找或作出含有此角的三角形，并解之． （4）取舍：因为异面直线所成角的取值范围是，所以所作的角为钝角时，应取它的补角作为异面直线所成的角． 【典例】 1．三棱锥中，平面，是边长为4的正三角形，，是的中点，则直线与所成角的余弦值是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】取BC中点F，连接，后可得或其补角即为直线与所成角，求出、、的长度后根据余弦定理得线线角的余弦值，注意线线角的余弦值非负. 【详解】 取BC中点F，连接，，因为，故， 故或其补角即为直线与所成角， 因为平面，平面，故， 而，故，同理， 而为中位线，故， 而是边长为的等边三角形，，所以， 在中，由余弦定理可得， 所以直线与所成角的余弦值为. 2．已知直三棱柱的所有棱长都相等，M为的中点，则与所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】取的中点，连接，证明，则或其补角即为异面直线与所成的角，再利用余弦定理求解即可. 【详解】取的中点，连接， 则且， 所以四边形为平行四边形，所以， 所以或其补角即为异面直线与所成的角， 设正三棱柱的各棱长为，则， 在中，由余弦定理可得， 即异面直线与所成角的余弦值为.    故选：D． 【针对训练】 1．在正方体中，E，F分别为CD和的中点，则异面直线AF与所成角的余弦值是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】取线段的中点，证明四边形为平行四边形，在中由余弦定理即可求得. 【详解】取线段的中点，连接，设 因为F为的中点，则在正方形中有，， 又，，故，， 则四边形为平行四边形，则， 则异面直线AF与所成角为或其补角， 设正方体的棱长为，则，， 则， 在中由余弦定理得，， 故异面直线AF与所成角的余弦值是. 故选：A 2．（24-25高一下·福建南平·期末）已知三棱锥，，点，分别是棱，的中点，且，则异面直线与所成的角是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】取AC中点为G，连接EG，FG，可得为异面直线与所成的角或其补角，然后由勾股定理逆定理可得答案. 【详解】取AC中点为G，连接EG，FG，则， 又，则， 则为异面直线与所成的角或其补角， 又，则， 则异面直线与所成的角是. 故选：A 【易错07：求解线面角】 ①定义：平面上的一条斜线与它在平面的射影所成的锐角即为斜线与平面的线面角． ②范围： ③求法：过平面外一点做平面，交平面于点；连接，则即为直线与平面的夹角．接下来在中解三角形．即（其中即点到面的距离，可以采用等体积法求，斜线长即为线段的长度）； 【典例】 1．（24-25高一下·浙江嘉兴·期末）如图，平面四边形中，是边长为2的等边三角形，且，为的中点，将沿翻折至. (1)证明：； (2)若，求直线与平面所成角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2). 【分析】(1)根据线面垂直的判定定理证明平面，再根据线面垂直的性质即可得证； (2)根据勾股定理证明，从而求出的长度，再根据面面垂直的判定以及性质可得即直线与平面所成角，最后利用余弦定理即可得解. 【详解】（1）如图，取的中点，连接， 因为为等边三角形，所以， 因为，所以， 又因为分别是的中点，所以，所以， 因为，平面所以平面， 因为平面，所以. （2）在中，，，， 所以， 在中，， 由可得， 在中，，则， 因为平面平面， 所以平面平面， 又因为平面平面， 所以为直线与平面所成角， 在中，，，， 所以， 所以直线与平面所成角的余弦值为. 2．（24-25高一下·天津滨海新区·期中）如图， 在正方体中， 是的中点. (1)求异面直线和所成角的大小； (2)求证：平面； (3)求和平面所成角的正弦值. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）连接，根据正方体的性质得到，即可得到或其补角即为异面直线和所成角，从而得解； （2）连接，设直线交直线于点，连接，即可得到，从而得证； （3）设正方体的棱长为，利用等体积法求出点到平面的距离，再由锐角三角函数计算可得. 【详解】（1）连接，在正方体中，且，所以四边形为平行四边形， 所以，所以或其补角即为异面直线和所成角， 又为等边三角形，所以，所以异面直线和所成角为； （2）连接，设直线交直线于点，连接， 因为在正方体中，底面是正方形，所以为中点， 又因为为的中点，所以， 又因为平面，平面， 所以直线平面． （3）设正方体的棱长为，则， 又，， 所以， 设点到平面的距离为，则，即，解得， 设和平面所成角为，则， 所以和平面所成角的正弦值为. 【针对训练】 1．（24-25高一下·湖北咸宁·期末）如图，在三棱台中，，∠BAC=60°，，，三棱台的体积为． (1)证明：平面； (2)求与平面所成角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2)． 【分析】（1）计算，根据勾股定理得到，然后依据三棱台的体积得到为三棱台的高，可得，最后判断得到平面 （2）利用图形，得到为与平面所成角，然后分别计算，最后计算即可. 【详解】（1）∵AB=2，AC=4，∠BAC=60°， 由余弦定理得， ∵， ∴． 同理，在三棱台中，，， ∵， ∴，∴， ∴，， 设三棱台的高为， 由，解得h=2． 又∵，故为三棱台的高， ∴平面ABC，AB⊂平面ABC， ∴，，，平面， ∴平面， 又， ∴平面． （2）如图，过点C作于点H， 由（1）知平面，平面， ∴，， ∴平面． 连接，则为与平面所成角，记为θ， ∵平面，平面， ∴， ∵，， ∴． 在直角梯形中，，， ∴， ∴， ∴与平面所成角的正弦值为． 2．（24-25高一下·重庆·期末）如图，为圆锥的轴截面，为底面圆的直径，，为底面圆周上一点，且，为的中点. (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由中位线性质得，利用线面平行判定定理证明平面； （2）先求出三棱锥的体积，然后求出的面积，设点与平面的距离为，利用等体积法求得，设直线与平面所成角为，利用求解即可． 【详解】（1）因为为的中点，为的中点，所以， 因为平面，平面，所以平面； （2）平面，因为，所以， 又，， 则，故， 所以， 又，，则在中，边上的高为，，设点与平面的距离为， 因为，所以，所以， 设直线与平面所成角为，则， 即直线与平面所成角的正弦值为. 【易错08：求解二面角】 （1）定义：一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角 （2）范围： （3）定义法 在棱上取点，分别在两面内引两条射线与棱垂直，这两条垂线所成的角的大小就是二面角的平面角，如图在二面角的棱上任取一点，以为垂足，分别在半平面和内作垂直于棱的射线和，则射线和所成的角称为二面角的平面角（当然两条垂线的垂足点可以不相同，那求二面角就相当于求两条异面直线的夹角即可）． 【典例】 1．（24-25高一下·福建南平·期末）如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面，，，是的中点，过点作交于点． (1)若是的中点，过点作一个截面，使得该截面与平面平行，请画出截面，并写出作图过程（无需证明）； (2)证明：平面； (3)求二面角的余弦值． 【答案】(1)答案见解析 (2)证明见解析 (3)． 【分析】（1）过点M，分别在平面PBC，平面PDC做EB，ED平行线，可得截面； （2）由平面，可得，结合，可得平面，据此可得，然后结合，可完成证明； （3）由（2）可得即为二面角的平面角，然后由题目信息结合原先定理可得答案. 【详解】（1）如图，取的中点的中点，连接， 则截面与平面平行． （2）因为平面，平面，所以． 在矩形中，平面，平面， 故平面． 又平面，故． 在中，，是的中点，所以，又，平面，平面，故平面， 而平面，于是． 因为平面，平面， 所以平面； （3）由（2）知平面，于是， 所以即为二面角的平面角． 在中，，故，从而． 在中，，故，从而． 又在中，，故由余弦定理得， ， 所以二面角的余弦值为． 【针对训练】 1．如图，在三棱柱中，平面平面，，四边形是边长为2的正方形. (1)证明：平面； (2)若，求二面角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2). 【分析】（1）由平面平面可得平面，从而得到，进而即可证明平面； （2）过点作，垂足为，过点作，连接，先证明，从而可得是二面角的平面角，进而求解即可. 【详解】（1）∵四边形是正方形，∴， 又平面平面平面，平面平面， ∴平面，∵平面，∴， 又∵平面， ∴平面. （2）由题意，，，，则，， 过点作，垂足为，过点作，连接. 由（1）知平面平面，∴. 又平面， ∴平面，又平面， 又平面平面. 又平面， 是二面角的平面角， 在中，，则， 则， 由图可知，二面角为锐角， 则二面角的余弦值为. 【易错09：外接、内切球问题】 确定球心是关键，利用好简单图形的外心求法，例如直角三角形斜边的中点是外心，等边三角形重心是外心，普通三角形利用正弦定理找半径 【典例】 1．（2026高一·全国·专题练习）在三棱锥中，已知，，，则该三棱锥外接球的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意得到三棱锥的对棱相等，可知该三棱锥可置于一个长方体中，再求长方体外接球的体积即可. 【详解】由题意可知：，，， 则三棱锥可放置在如图所示的长方体中， 设三棱锥三组对棱的长分别为，，， 由对棱相等模型，，，， 即，所以长方体的体对角线平方为：， 即体对角线长为，则， 该三棱锥外接球的体积. 故选：B. 2．（24-25高一下·吉林松原·期末）在三棱锥中，已知平面，，.若该三棱锥的顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将三棱锥补成长方体，计算出长方体的体对角线长，即为该三棱锥外接球的直径，再结合球体表面积公式可得结果. 【详解】因为，，所以，故， 又因为平面，，将三棱锥补成长方体，如下图所示： 所以三棱锥的外接球直径即为长方体的体对角线长， 设三棱锥的外接球半径为， 则，故， 因此该球的表面积为. 故选：D. 3．若一个正四棱台的高为，上下底面的边长分别为和的正方形，则该台体的外接球的表面积（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据条件作图，利用求得，即可求出外接球半径，求出外接球表面积. 【详解】根据条件，作出正四棱台如图所示，    则其外接球球心在直线上， ，，， 所以，， 由，设， 可得， 解得， 所以外接球半径即， 所以其外接球表面积为. 故选：A 4．已知正三棱锥的体积为，侧面积为，底面积等于，则这个正三棱锥内切球的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据内切球的球心将三棱锥分成四个三棱锥，这四个三棱锥的高均为内切球半径，再根据等体积法可得内切球半径，从而可得球的体积. 【详解】因为正三棱锥的体积为，侧面积为，底面积等于，如图： 设O为三棱锥的内切球的球心，则连接， 三棱锥被分成四个三棱锥，这四个三棱锥的高均为内切球的半径r， 由等体积法可得 ， ，，解得 内切球体积. 故选：A. 【针对训练】 1．（23-24高一下·重庆·期末）四棱锥中，平面ABCD，四边形为矩形，，，若四棱锥的外接球的表面积为，则（    ） A．3 B．6 C．2 D．2.5 【答案】A 【分析】首先根据题意将四棱锥中补全成长方体，根据表面积可得球半径，再求长方体的外接球半径即可． 【详解】将四棱锥中补全成长方体，如图所示： 所以四棱锥的外接球即为长方体的外接球． 由于四棱锥的外接球的表面积为，故球半径满足，故， 则外接球的半径为， ． 故选：A． 2．已知圆台的上、下底面半径分别为1和2，体积为，则该圆台的外接球表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用圆台体积公式可得其高为，结合圆台的几何性质确定轴截面从而可得外接球半径，即可得所求． 【详解】根据题意可知，圆台上底面面积为，下底面面积为， 设圆台的高为，由体积可得， 解得， 圆台的轴截面如下：上底面圆心为，下底面圆心为，设球心在直线上，连接， 设，则， 则该圆台的外接球半径为， 由勾股定理可得：，解得，所以， 则该圆台的外接球表面积为. 故选：C. 3．（25-26高一·全国·暑假作业）已知直三棱柱的各顶点都在以O为球心的球面上，且，，则球O的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据正弦定理可得所在的截面圆的半径，再结合勾股定理求出球O的半径，结合球的体积公式计算即可. 【详解】在中，由正弦定理得所在的截面圆的半径为 ， 则直三棱柱的外接球的半径为， 则直三棱柱的外接球的体积为. 故选：A. 4．正四面体的棱长为，则该几何体的内切球的表面积为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用等体积法，结合锥体的体积公式、球的表面积公式进行求解即可. 【详解】 设该正四面体内切球的半径， 设是的中点， 因为四面体是正四面体，所以， 因此， 设点在底面的射影为点，则点在线段上， 因为正四面体的棱长为， 所以，所以， 因为， 得， 故选：B 5．（24-25高一下·四川资阳·期末）如图，在三棱锥中，平面，，，则该三棱锥外接球的体积为（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据正弦定理求出的外接圆的圆心，确定球心的位置，利用勾股定理列式求出球的半径，再根据球的体积公式即可求解. 【详解】如图，设三棱锥外接球的球心为点，的外接圆的圆心为点， 连接，则，设的外接圆的半径为， ，可得，即， 因为平面，， 所以， 所以三棱锥外接球的半径， 所以三棱锥外接球的体积为.    故选：. 1．（24-25高一下·贵州黔南·期末）若圆台的轴截面是底角为的等腰梯形，且圆台的上底面半径为1，下底面半径为6，则圆台的表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据圆台的空间结构关系以及侧面积公式计算即可求得圆台的表面积. 【详解】设是上下底面圆心，，连接， 过点作的垂线，垂足为， 在直角三角形中，， 则圆台的母线长为, 由圆台的侧面积公式可得； 上下底面圆的面积为， 所以圆台的表面积为. 故选：C. 2．若为两条直线，为两个平面，则下列结论中正确的是（   ） A．若，，，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，，则 【答案】A 【分析】利用线面位置关系的判断及性质定理逐项分析即可. 【详解】选项A，若，，，， 根据面面垂直的性质定理可得：，故A选项正确； 选项B，若，， 则直线与直线可能平行，可能异面，故B选项不正确； 选项C，若，， 则直线与直线可能平行，可能相交，也可能异面，故C选项不正确； 选项D，若，，， 则直线与直线可能平行，可能相交（包括垂直），也可能异面，故D选项不正确； 故选：A. 3．（25-26高一下·浙江宁波·期中）如图，按斜二测画法所得水平放置的平面四边形的直观图为梯形．其中，，，．以原四边形的边为轴，旋转一周得到的几何体体积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据图形求得，然后利用斜二测画法还原出原图形，最后利用台体体积公式计算即可. 【详解】作，如图： 由，，所以， 作出平面四边形的图形如下图所示： 四边形为直角梯形，且，，，，， 故以原四边形的边为轴，旋转一周得到的几何体为圆台， 该圆台的上底面半径为，下底面半径为，高为， 所以该几何体的体积为：. 4．（24-25高一下·陕西·月考）已知正四棱台的上底面边长为4，下底面边长为8，且侧面与下底面所成的二面角为，则该正四棱台的侧面积为（    ） A．48 B．128 C． D． 【答案】D 【分析】由正四棱台的几何结构，根据二面角平面角的定义，结合等腰梯形的几何性质，可得答案. 【详解】分别取棱的中点作截面，如下图： 则四边形是等腰梯形，是该正四棱台的斜高， 是侧面与底面所成的二面角的平面角，所以， 可求出，所以该正四棱台的侧面积为. 故选：D. 5．《九章算术》中，将底面为长方形，且一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马．阳马中，若平面，且，则异面直线PC与BD所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将几何体补全为长方体，根据异面直线所成角的定义确定对应平面角，根据已知求该角的余弦值. 【详解】由题意，将补全为如下图所示的长方体，且， 所以异面直线PC与BD所成角，即为所成角， 由，则， 所以， 所以异面直线PC与BD所成角的余弦值为. 故选：C 6．如图，在正三棱柱中，若，则与所成角的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用中位线将与平移到一个平面内，然后求线段长，求其夹角或其补角. 【详解】设正三棱柱中，，则， 取中点，中点，中点，连接、、， 如图， ，且， ，且， (或其补角)就是异面直线与所成的角. 在中，，， ， 故. 同理，在 中，，， ， 故. 过作于，连接， ，故是中点， 所以，又， 所以 在中： ，，， 所以是等腰三角形，且. 所以与所成的角为其补角. 故选：B. 7．在棱长为2的正四面体中，M，N分别为BC，AD的中点，则直线AM和CN夹角的正弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接MD，取其中点Q，连接，由得到是直线AM和CN的夹角或补角，接着在中由余弦定理求出即可求解. 【详解】连接MD，取其中点Q，连接， 由题意可得， ，且， 所以是直线AM和CN的夹角或补角，， 所以. 所以，即直线AM和CN夹角的正弦值为. 故选：A 8．（24-25高一下·青海海南·期末）在直三棱柱中，，，，分别是棱，，的中点，则异面直线与所成角的余弦值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】取棱的中点，连接，，，根据异面直线的定义说明是异面直线与所成的角或其补角，结合余弦定理即可求解. 【详解】取棱的中点，连接，，，如图所示，    因为，分别是棱，的中点，所以，. 由棱柱的性质可知，. 因为是棱的中点，所以，，所以，， 所以四边形是平行四边形，所以， 则是异面直线与所成的角或其补角. 设，则，. 在中，由余弦定理可得， 即异面直线与所成角的余弦值是. 故选：C. 9．（24-25高一下·浙江衢州·期末）在中，，平面，且，则三棱锥外接球的表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据正弦定理计算可得外接圆的半径，进而可得三棱锥外接球的半径，再根据球的表面积公式计算即可. 【详解】由已知得，作下图， 设外接圆的半径为， 已知，，. 根据正弦定理可得，解得 . 因为平面，所以三棱锥外接球的球心到平面的距离=1， 所以外接球半径. 所以三棱锥外接球的表面积为. 故选：C 10．（24-25高一下·山东滨州·期末）在三棱锥中，，O为的外心，平面，若，则三棱锥的外接球的表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，结合球的截面性质求出球半径，进而求出球的表面积. 【详解】由为的外心，，得是的中点，又， 则，由平面，得三棱锥的外接球球心在射线上， 设该球半径为，则，由，得， 解得，所以三棱锥的外接球的表面积为. 故选：D 11．（24-25高一下·山西太原·月考）已知正三棱锥的底面是边长为的正三角形，侧棱长为，则该正三棱锥的外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先判断球心在三棱锥的高线上，由正弦定理求得，设球的半径为，结合题意列方程求出外接球半径即得. 【详解】如图，设点在底面的射影为点， 因底面边长均为，侧棱长均为，故球心在上， 连接，设球的半径为，则， 由正弦定理，解得， 在中，，则， 在中，由，解得， 则球的表面积为． 故选：B． 12．（24-25高一下·黑龙江哈尔滨·月考）已知正四棱锥的侧棱长为，底面边长为2，则该四棱锥的内切球的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据题意，结合图形，利用侧棱长和底面边长求出正四棱锥的高和斜高；再根据锥体的体积公式和等体积法求出内切球的半径；最后根据球的体积公式即可求解. 【详解】    如图所示：记底面的中心为，点为边的中点. 由正四棱锥的性质可知：侧面，，，为全等的等腰三角形；底面为正方形；底面，. 根据题意可知：在正四棱锥中，侧棱长为，底面边长为， 则， ， . 所以正四棱锥的每个侧面面积为，底面面积为. 设该四棱锥内切球的半径为.    . 根据等体积可得：， 即，即得：. 所以该四棱锥的内切球的体积为. 故选：A. 13．已知圆台存在内切球（球与圆台上、下底面以及侧面均相切），若圆台的上、下底面积分别为，则球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】解法一：作出该圆台的轴截面，利用圆台的母线长为，再利用勾股定理求出，由球表面积可得答案；解法二：作出该圆台的轴截面，利用求出，即，再由球表面积可得答案. 【详解】解法一：作出该圆台的轴截面如下图所示，切点为，依题意， ，，解得，， 因为 所以圆台的母线长为，故， 故球的表面积为. 解法二：作出该圆台的轴截面如下图所示，切点为，依题意， ，，解得，， 因为， ，所以， 即，又，所以， 可得，即， 则球的半径， 故球的表面积为. 故选：B. 14．（24-25高一下·河北·期末）已知菱形的边长为，，现将沿直线翻折，得到三棱锥，则当三棱锥体积最大时，三棱锥的外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】当三棱锥体积最大时，平面平面，分别取和的外接圆圆心，进而找到三棱锥的外接球的球心，求出外接球的半径，最后根据球的表面积公式即可得解. 【详解】当三棱锥体积最大时，平面平面， 取的中点，连接， 因为四边形为菱形， 所以， 因为平面平面， 所以， 如图，过上靠近的三等分点作平面的垂线， 过上靠近的三等分点作平面的垂线， 两条垂线的交点即为三棱锥的外接球的球心，连接， 因为，， 所以为等边三角形， 所以， 所以， 同理可得， 所以， 所以. 故选：D. 15．（多选题）（24-25高一下·重庆·月考）圆台的上、下底面半径分别为1和2，它的侧面展开所得的扇环所对的圆心角为180°，则圆台的（   ） A．母线长为4 B．表面积为11 C．高为 D．体积为 【答案】BC 【分析】如图所示，首先根据圆台的上底面周长求出，，进而可根据母线的公式求出母线长和高，从而可求出体积、表面积. 【详解】如图所示，设圆台的上底面周长为C， 因为扇环所对的圆心角为180°，所以， 又，所以，同理， 故圆台的母线，高， 体积， 表面积， 故B，C正确，A，D错误. 故选：BC 故选：BC. 16．（多选题）在如图所示的透明的正三棱台形容器内注入一些水（容器厚度忽略不计），水平放置时水平面DEF与底面平行，且水平面DEF与下底面ABC的距离为，，，正三棱台形容器的高为2，下列结论正确的有（   ） A．正三棱台形容器的体积为 B．正三棱台形容器的侧面积为 C．等边三角形DEF的边长为3 D．水的体积为 【答案】AC 【分析】根据棱台体积公式求解判断A，求出侧面梯形的高即可求解侧面积判断B，根据三角形相似求解等边三角形DEF的边长判断C，根据棱台体积公式求解判断D. 【详解】由题意等边三角形的面积为， 等边三角形的面积为，又正三棱台形容器的高为2，所以正三棱台形容器的体积为， 故A正确； 设的中点为，的中点为，三角形的中心为O， 三角形的中心为，则为侧面梯形的高，如图： 在截面中，，又，， 所以， 所以正三棱台形容器的侧面积为，故B错误； 设等边三角形DEF的边长为，由∽，所以，解得， 即，故C正确； 等边三角形DEF的面积为，正三棱台的高为， 所以水的体积为，故D错误. 故选：AC 17．如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，平面平面为中点，，证明：． 【答案】证明见解析 【分析】要证明线线垂直，需要通过证明线面垂直得出线线垂直，即证明平面. 【详解】证明：如图，记与交于点，连接． 因为是平行四边形对角线的交点，所以为的中点． 因为，所以． 因为为中点，所以，又，所以． 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 又因为平面，所以． 因为平面平面，所以平面． 因为平面，所以． 18．（2025高一·全国·专题练习）如图，在四棱锥中，底面四边形是平行四边形，是侧棱上一点，且．    (1)试确定侧棱上一点的位置，使平面． (2)在侧棱上是否存在一点，使平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)点在侧棱上满足． (2)存在，． 【分析】（1）直线在平面内运动，将平面转化成平面内的限制条件，就可以限制点的位置． （2）构造平面平面，利用面面平行的判定定理可说明点的位置. 【详解】（1）如图，连结，交于点，连结．显然为的中点．    若平面， 因为平面，平面平面， 所以，所以为的中点． 因为，所以． 又当时，有，从而平面． 所以点在侧棱上满足． （2）如图，取的中点，连结．    由（1）知为的中点， 所以，而平面，平面，所以平面． 又因为平面，平面，平面，且， 所以平面平面， 又平面，所以平面． 所以侧棱的中点符合题意，此时． 19．（24-25高一下·福建厦门·期末）如图，四棱锥中，底面是菱形，平面，，为的中点，直线与平面交于点. (1)证明：平面； (2)求四棱锥的体积. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由题可知平面，由线面平行的性质定理得，再由线面平行的判定定理得证； （2）法1，由题可得，所以，进而可得，运算得解；法2，取，的中点分别为，，得到平面，平面，得，运算得解；法3，由题可得，由，得，即，运算得解. 【详解】（1）因为四边形是菱形，所以.     又平面，平面，所以平面.     因为平面，平面平面，所以.     又平面，平面，所以平面. （2）解法1：因为，，所以. 因为为的中点，所以为的中点.     因为，，所以，所以. 又为的中点，所以.     因为平面，所以.     因为四边形是菱形，，所以，所以.     因为为的中点，，所以，     所以.     解法2：连接，则.     设，的中点分别为，，连接，. 因为四边形是菱形，，所以，所以，. 因为平面，平面，所以平面平面.     又平面平面，平面，，所以平面.     同理平面.     所以.     因为和都是等边三角形，所以， 且，.     所以.     解法3：.     因为为的中点，所以， 所以. 因为为的中点，所以.     因为，所以， 所以，即.     因为平面，所以.     因为，， 所以. 20．如图，平面平面，平面平面． (1)求证：平面； (2)点E在侧面（含边界）上运动，若平面平面，，求E的轨迹长度． 【答案】(1)证明见解析； (2) 【分析】（1）利用面面垂直的性质、线面垂直的性质判定推理得证. （2）利用等体积法求出点到平面的距离，确定点E在侧面及内部的轨迹，利用球面的性质求解. 【详解】（1）在平面内取与点不重合的点，在此平面内作于， 由平面平面，平面平面，得平面， 而平面，则，同理，而平面， 所以平面. （2）由平面平面，平面平面，平面平面， 得直线两两垂直，由，得， ，令点到平面的距离为，由， 得，则， 由，得点的轨迹是以点为球心，为半径的球面， 又点E在侧面（含边界）上运动，因此点的轨迹是球被平面所截小圆在及内部， 此小圆半径，而正的内切圆半径为， 所以点的轨迹是正的内切圆，轨迹长度为. 21．（24-25高一下·甘肃临夏·期末）如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，，为等边三角形，平面平面，． (1)设分别为的中点，求证：平面； (2)求证：平面； (3)求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）连接，则，利用三角形中位线定理证明，由线线平行即可证得线面平行； （2）取中点，连接，证明，利用平面平面证明平面，得，结合条件，再由线线垂直即可证得平面； （3）由（2）已得平面，则即直线与平面所成角，则可借助于，利用三角函数的定义即可求得. 【详解】（1）如图，连接，因底面为平行四边形，则， ， 因，则，因平面， 平面，故平面. （2）取中点，连接，因为等边三角形，则， 又平面平面，平面平面， 平面， 则平面，又平面，故， 因，平面，故平面. （3）由（2）已得平面，连接，则即直线与平面所成角， 因为等边三角形，，则， 又，在中，. 即直线与平面所成角的正弦值为. 22．（23-24高一下·浙江宁波·期末）如图，已知在正三棱柱中，为棱的中点，. (1)证明：面； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析； (2). 【分析】（1）法一：作出辅助线，构造平行四边形，得到线线平行，进而得到面面平行，证明出线面平行；法二：作出辅助线，由中位线得到线线平行，进而证明出线面平行； （2）法一：证明出线面垂直，得到，设，求出其他各边长，得到，利用等体积法得到点到平面的距离，进而得到直线与平面所成角的正弦值；法二：作出辅助线，证明出线面垂直，得到即直线与平面所成线面角的平面角，设，求出各边长，得到线面角的正弦值. 【详解】（1）法一：取中点，连接 因为，，所以四边形为平行四边形，所以. 又因为平面，平面，所以平面 因为平行且等于，所以四边形为平行四边形，所以. 又因为平面，平面，所以平面 又因为平面，平面且. 所以平面平面. 因为平面，所以平面 法二：连接，记与的交点为，连接. 在中，，所以为的中位线， 所以，又因为平面，平面，所以平面. （2）法一：为等边三角形，为中点，故⊥， 因为⊥平面，平面，所以⊥， 因为，平面，， 所以平面， 又因为平面，所以. 设，则，， 由勾股定理得， 故； 设点到平面的距离为， 其中， 又. 所以. 法二：设，取的中点，连接，交于点，连接. 因为，所以 又因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 因为平面，所以， 因为， 所以≌，所以， 故，故， 又因为，平面，所以平面. 所以即直线与平面所成线面角的平面角， 有勾股定理得， 故， 所以. 23．如图，在直三棱柱中，，. (1)求证：； (2)求二面角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）只需利用线面垂直的判定定理证明出平面即可得证； （2）首先作于，过作于，证明即为二面角的平面角，即可得解. 【详解】（1）连接， 在直三棱柱中，平面， 平面，， ，，， ，平面，平面， 平面，平面，， ，四边形是正方形，， ，平面，平面， 平面，平面，； （2）过点作于，过作于，连， 在直三棱柱中，平面，平面，， ，平面，平面， 平面，平面，平面， ，， 又，，平面，平面， 平面，平面，， 是二面角的平面角， ，，， ，， 为直角，，， 二面角的正弦值为. 24．（24-25高一下·北京顺义·期末）如图在四棱柱中，四边形ABCD为梯形，，，E为中点. (1)求证：平面； (2)若平面，，且， （ⅰ）求证：； （ⅱ）写出二面角的正切值.（结论不要求证明） 【答案】(1)证明见解析 (2)（ⅰ）证明见解析; （ⅱ） 【分析】（1）取的中点，连接，证明，可得，再由线线平行证得线面平行； （2）（ⅰ）由条件先证明，再由线线垂直证明平面，即得；（ⅱ）过点作于点，证明平面，得，则得即二面角的平面角，利用平面几何知识推理即可在中，求得其正切值. 【详解】（1） 如图，取的中点，连接， 因E为的中点，故， 又，，则， 故得，则， 因平面，平面， 故平面. （2）（ⅰ）因平面，平面，则， 因，且平面，则平面， 因平面，故. （ⅱ）如图，在平面内，过点作于点，连接， 因平面，平面，则， 又平面，则平面， 因平面，则，故即二面角的平面角. 设，则，， 在中，由面积相等，，可得， 在中，， 即二面角的正切值为. 25．（24-25高一下·江苏泰州·期末）如图，在长方体中，点在平面内，是棱上一点（不包括端点），的中点为. (1)求证：平面； (2)求证：； (3)若二面角与二面角的大小都为，四棱锥的体积为，求的长. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）根据线面平行的判定可证平面； （2）根据线面垂直的判定可证平面，继而可得； （3）由（2）知就是二面角的平面角，过作，垂足为，连结，继而可证为二面角的平面角，即，再利用四棱锥的体积为，可得的长. 【详解】（1）在长方体中， 所以四边形为矩形，所以， 又因为平面平面， 所以平面. （2）取的中点，连接， 因为为的中点，所以， 因为，所以，因为为的中点，所以， 因为平面，所以平面， 因为平面，所以. （3）因为二面角的大小为， 由（2）可知为二面角的平面角，所以，所以， 过作，垂足为，连结，因为为的中点， 所以，因为平面平面， 所以，因为相交，且平面， 所以平面，因为平面，所以. 因为平面，所以平面， 因为平面，所以， 所以为二面角的平面角，即，所以， 因为为的中点，所以， 所以， 所以，因为平面，点在平面内， 所以为平面与平面的距离，故， 所以. 26．如图，是边长为4的等边三角形，且点分别为线段与的中点.将沿折叠后使点与点重合，得到四棱锥.设点为线段上一点，且. (1)证明：平面； (2)求四棱锥与三棱锥的体积之比. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】(1)连接交于点，连接.然后利用三角形相似的性质，得到，进而利用线面平行的判定定理证明； （2）利用棱锥的体积公式求比值. 【详解】（1）证明：如图，连接交于点，连接. 由题可知，且. 则易有与相似，且相似比为，也即. 又，则，故. 且平面，平面，故平面. （2）解：设四棱锥的体积为，高为，四边形的面积为. 三棱锥的体积为，高为，三角形的面积为，与之间的距离为. 由题有. 又，故，即， 则， 即四棱锥与三棱锥的体积之比为. 27．（24-25高一下·河北雄安·期末）如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，，，，平面，点在棱上． (1)求； (2)若平面，求三棱锥的体积； (3)若二面角的大小为，求． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)． 【分析】（1）根据平面得平面平面，从而可得平面，故为直角三角形，从而可求； （2）可证为的中点，从而可利用等积转化求三棱锥的体积； （3）过点作的平行线交于点，可证为二面角的平面角，利用解直角三角形可求的值 . 【详解】（1）∵平面，平面，∴平面平面， 又∵，平面，平面平面，∴平面， 又∵平面，∴，∴为直角三角形， ∴，即． （2）连接与交于点，连接， ∵平面，平面，平面平面， ∴，可知为的中点，而平面平面，故， 在中，，，， ∴，，， ∴ ． （3）由题意知平面，过点作的平行线交于点， ∴平面，再作（为垂足）， 因为平面，故，而平面， 所以平面，而平面，故， ∴为二面角的平面角，， 由（2）可知，∴是等腰直角三角形， 同理也是等腰直角三角形，从而， 在中，，，∴， 不妨设，，则且， ∴，∴． 28．（25-26高一上·湖南衡阳·月考）如图，在三棱台中，平面平面，，．    (1)证明； (2)求直线DF与平面DBC夹角的正弦值． 【答案】(1)证明过程见解析； (2) 【分析】（1）作出辅助线，由面面垂直得到线面垂直，⊥，由余弦定理得到，由勾股定理逆定理得⊥，所以⊥平面，又平面，所以⊥； （2）直线DF与平面DBC夹角等于直线与平面DBC夹角，作出辅助线，得到⊥平面，所以为直线与平面DBC夹角，由勾股定理得，进而得到，求出，得到答案. 【详解】（1）过点作⊥于点，连接， 因为平面平面，交线为，平面， 所以⊥平面， 因为平面，所以⊥， 因为，所以， 又，所以， 又，在中， 由余弦定理得， 故，由勾股定理逆定理得⊥， 因为，平面，所以⊥平面， 又平面，所以⊥， 又三棱台中，，所以；    （2）过点作⊥于点，连接， 三棱台中，， 所以直线DF与平面DBC所成的角等于直线与平面DBC所成的角， 因为⊥平面，平面，所以⊥， 又，平面，所以⊥平面， 所以为直线与平面DBC所成的角， 由（1）知，，， 因为⊥平面，平面，所以⊥， 由勾股定理得， 所以， 所以 直线DF与平面DBC所成的角的正弦值为 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $ 第八章 立体几何初步 清单01 基本立体图形 知识点1：空间几何体的相关概念 1、空间几何体：在我们的周围存在着各种各样的物体，他们都占据着空间的一部分，如果只考虑这些物体的形状和大小，而不考虑其他因素，那么由这些物体抽象出来的空间图形就叫做空间几何体。 例如：我们日常接触到的足球、篮球等，吐过只考了他们的形状和大小，他们都是球体，还有其他几何体如长方体、正方体等。 2、多面体：一般地，由若干个平面多边形围成的几何体叫做多面体. （1）多面体的面：围成多面体的各个多边形叫做多面体的面； （2）多面体的棱：两个面的公共边叫做多面体的棱； （3）多面体的顶点：棱与棱的公共点叫做多面体的顶点。 3、旋转体：一条平面曲线（包括直线）绕它所在的平面内的一条定直线旋转所形成的曲面叫做旋转面，封闭的旋转面围成的几何体叫做旋转体，这条定直线叫做旋转体的轴。 知识点2：棱柱 1、定义：一般地，有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面围成的多面体叫棱柱。 （1）有两个互相平行的面叫做棱柱的地面，它们是全等的多边形； （2）其余各面叫做棱柱的侧面，他们都是平行四边形； （3）相邻侧面的公共边叫做棱柱的侧棱； （4）侧面与底面的公共顶点叫做棱柱的顶点。 2、棱柱的分类： （1）按底面多边形的边数：可以把棱柱分为三棱柱、四棱柱、五棱柱等等； （2）按侧棱与底面的位置关系：可以把棱柱分为直棱柱和斜棱柱； 其中直棱柱：侧棱垂直于底面的棱柱． 斜棱柱：侧棱不垂直于底面的棱柱． 正棱柱：底面是正多边形的直棱柱． 平行六面体：底面是平行四边形的四棱柱． 知识点3：棱锥 1、定义：一般地，有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体叫做棱锥。 （1）这个多边形面叫做棱锥的底面； （2）有公共顶点的各个三角形面叫做棱锥的侧面； （3）相邻侧面的公共边叫做棱锥的侧棱； （4）各个侧面的公共顶点叫做棱锥的顶点。 2、棱锥的分类： 按底面多边形的边数，可以把棱锥分成三棱锥、四棱锥和五棱锥。 【注意】底面为正多边形的棱锥叫做正棱锥，如正三棱锥、正四棱锥…… 知识点4：棱台 1、定义：用一个平行与棱锥底面的平面去截棱锥，我们把底面与截面之间的部分叫做棱台。 （1）原棱锥的底面和截面分别叫做棱台的下底面和上底面； （2）其他各面叫做棱台的侧面； （3）相邻侧面的公共边叫做棱台的侧棱； （4）侧面与底面的公共顶点叫做棱台的定点。 【注意】（1）棱台上下底面是互相平行且相似的多边形； （2）侧面都是梯形； （3）各侧棱的延长线交于一点。 2、棱台的分类：由三棱锥、四棱锥、五棱锥……截得的棱台分别叫做三棱台、四棱台、五棱台…… 知识点5：圆柱 定义：以矩形的一边所在的直线为旋转轴，其余三边旋转一周形成的面围成的旋转体角圆柱 （1）旋转轴叫做圆柱的轴； （2）垂直于轴的变旋转而成的圆面叫做圆柱的底面； （3）平行于轴的边旋转而成的曲面叫做圆柱的侧面； （4）无论转到什么位置，平行与轴的边都叫做圆柱侧面的母线。 【注意】（1）底面是互相平行且全等的圆面； （2）母线有无数条，都平行与轴； （3）轴截面为矩形。 知识点6：圆锥 定义：以直角三角形的一条所在的直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆锥。 （1）垂直于轴的边旋转而成的圆面叫做圆锥的底面； （2）直角三角形的斜边旋转而成的曲面叫做圆锥的侧面； （3）无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边都叫做圆锥侧面的母线。 【注意】（1）底面是圆面，横截面是比底面更小的圆面，轴截面是等腰三角形； （2）圆锥的顶点与底面圆周上任意一点的连线都是圆锥的母线； （3）母线有无数条，且长度相等，侧面由无数条母线组成。 （4）直角三角形绕其任意一边所在的直线旋转一周所形成的几何体不一定是圆锥。 知识点7：圆台 1、第一种定义：用平行与圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫做圆台。 2、第二种定义：以直角题型处置与底面的腰所在的的直线为旋转轴，其余三边旋转形成的面所围成的旋转体。 【注意】（1）圆台上、下底面是半径不相等且互相平行的圆面； （2）母线有无数条且长度相等，各母线的延长线交于一点； （3）轴截面为等腰梯形。 知识点8：球 定义：半圆以它的直径所在直线为旋转轴，旋转一周形成的曲面叫做球面，球面所围成的旋转体叫做球体，简称球。 （1）球心：半圆的圆心叫做球的球心； （2）半径：连接圆心与球面上任意一点的线段叫做球的半径； （3）直径：连接球面上两点并且经过球心的线段叫做球的直径。 知识点9：组合体的定义 现实世界中物体表示的是几何体，除了柱体、锥体、台体和球等简单几何体外，还有大量的几何体是由简单几何体组合而成，这些几何体称作组合体。 组合体可以由几何体拼接、截去或挖去一部分形成。 清单02 立体几何的直观图 知识点1：空间几何体的直观图的概念 直观图是观察者在某一点观察一个空间几何体获得的图形；直观图是把空间图形画在平面内，既富有立体感，又能表达出图形各主要部分的位置关系和度量关系的图形。 知识点2：立体图形的直观图的画法 1、斜二测画法：我们常用斜二测画法画空间图形及水平放置的平面图形的直观图．斜二测画法是一种特殊的平行投影画法． （1）“斜”：在已知图形的平面内与轴垂直的线段，在直观图中均与轴承或 （2）“二测”：两种度量形式，即在直观图中，平行于轴或轴的线段长度不变； 平行于轴的长度变成原来的一半， 2、平面图形直观图的画法及要求 第一步建系：在已知图中取互相垂直的轴和轴，两轴相交于点，画直观图时，把他们弧长对应的轴和轴，两轴相交于，且使（或）它们确定的平面表示水平面； 第二步平行不变：已知图形中平行与轴和轴的线段，在直观图中分别画出平行与轴或轴的线段； 第三步长度规则：已知图形中平行于轴的线段，在直观图中保持原长度不变，平行于轴的线段，长度变为原来的一半， 3、空间几何体直观图的画法 （1）与平面图形的直观图相比，多画一个与x轴、y轴都垂直的z轴，直观图中与之对应的是z′轴； （2）平面x′O′y′表示水平平面，平面y′O′z′和x′O′z′表示竖直平面； （3）已知图形中平行于z轴(或在z轴上)的线段，在其直观图中平行性和长度都不变． （4）成图：去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线． 4、直观图与原图之间的“变”与“不变” “三变”: (1)坐标轴的夹角改变；(2)与轴平行的线段长度变为原来的一半；(3)图形改变。 “三不变”:(1)平行性不改变；(2)与轴和轴平行的线段长度不改变；(3)相对位置不改变。 知识点3：直观图与原图多边形面积之间的关系 若一个多边形的面积为，它的直观图的面积为，则有， 举个例子：以三角形为例，如图，设原三角形的底为，高为， 则其面积为， 在直观图中，，， 在直观图中， 清单03 棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积 知识点1：多面体的表面积、侧面积 因为多面体的各个面都是平面，所以多面体的侧面积就是所有侧面的面积之和， 表面积是侧面积与底面面积之和． 1、棱柱、棱锥、棱台的侧面展开图 （1）棱柱的侧面展开图是平行四边形，一边为棱柱的侧棱，另一边等于棱柱的底面周长； （2）棱锥的侧面展开图由若干个三角形组成； （3）棱台的侧面张开图由若干个梯形组成。 2、棱柱、棱锥、棱台的表面积 （1）棱柱的表面积：； （2）棱锥的表面积：； （3）棱台的表面积： 知识点2：棱柱、棱锥、棱台的体积 1、棱锥、棱锥、棱台的高 （1）棱柱的高是指两底面之间的距离，即从一底面上任意一点向另一个底面作垂线，这点与垂足(垂线与底面的交点）之间的距离； （2）棱锥的高是指从顶点向底面作垂线，顶点与垂足之间的距离； （3）棱台的高是指两底面之间的距离，即从上底面上任意一点向下底面作垂线，这点与垂足之间的距离。 2、棱锥、棱锥、棱台的体积公式 几何体 体积公式 说明 棱柱 为棱柱的底面积，为棱柱的高 棱锥 为棱锥的底面积，为棱锥的高 棱台 ，分别为棱台的上、下底面，为棱台的高 3、对棱柱、棱锥、棱台体积公式的理解 （1）等底、等高的两个棱柱的体积相同； （2）等底、等高的棱锥和棱柱的体积之间的关系可以通过实验得出，等底、等高的棱柱的体积是棱锥的体积的3倍.(3)柱体、锥体、台体的体积公式之间的关系； （3）柱体、锥体、台体的体积公式之间的关系 （4）求棱台的体积可转化为求棱锥的体积.根据棱台的定义进行“补形”，还原为棱锥，采用“大棱锥”减去“小棱锥”的方法求棱台的体积. 清单04 圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积 知识点1：圆柱、圆锥、圆台的表面积 1、侧面展开图及侧面积公式 几何体 圆柱 圆锥 圆台 侧面展开图 侧面积公式 S圆柱侧＝2πrl S圆锥侧＝πrl S圆台侧＝π(r1＋r2)l 2、圆柱、圆锥、圆台的表面积的求解步骤; 解决圆柱、圆锥、圆台的表面积问题，要利用好旋转体的轴截面及侧面展开图，借助平面几何知识，求得所需几何要素，代入公式求解即可，基本步骤如下： （1）得到空间几何体的平面展开图． （2）依次求出各个平面图形的面积． （3）将各平面图形的面积相加． 知识点2：圆柱、圆锥、圆台的体积 1、圆柱、圆锥、圆台的体积公式 几何体 体积公式 说明 圆柱 为圆柱的底面积，为圆柱的高 圆锥 为圆锥的底面积，为圆锥的高 圆台 ，分别为圆台的上、下底面，为圆台的高 2、对圆柱、圆锥、圆台体积公式的认识 （1）等底、等高的两个圆柱的体积相同； （2）等底、等高的圆锥和圆柱的体积之间的关系可以通过实验得出，等底、等高的圆柱的体积是圆锥的体积的3倍； （3）圆柱、圆锥、圆台体积公式之间的关系 （4）求圆台的体积转化为求圆锥的体积.根据台体的定义进行“补形”，还原为圆锥，采用“大圆锥”减去“小圆锥”的方法求圆台的体积. 知识点3：球的表面积和体积 1、球的体积公式： 2、球的表面积公式： 清单05 空间点、直线、平面之间的位置关系 知识点1：平面的概念及表示方法 1、平面的概念：几何里所说的“平面”是从生活中的一些物体中抽象出来的，是无限延展的 2、平面的特点：（1）平面是平的；（2）平面是没有厚度的；（3）平面是无限延展而没有边界的；（4）平面是由空间点、线组成的无限集合；（5）平面图形是空间图形的重要组成部分。 3、平面的画法： （1）当平面水平放置时，平行四边形的锐角一般画成45°，且横边长等于其邻边长的2倍； （2）当平面竖直放置时，平行四边形的一组对边通常画成铅垂线。 4、平面的表示方法： （1）一个希腊字母：如，，等； （2）两个大写英文字母：表示平面的平行四边形的相对的两个顶点； （3）四个大写英文字母：表示平面的平行四边形的四个顶点。 5、点与直线（平面）、直线与平面的位置关系 （1）点与直线（平面）的位置关系只能用“∈”或“∉”， （2）直线与平面的位置关系只能用“⊂”或“⊄”． 知识点2：平面的基本事实 1、基本事实1 （1）内容：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面 （2）图形： （3）符号表示：A，B，C三点不共线⇒存在唯一的平面α使A，B，C∈α （4）作用：确定一个平面或判断“直线共面”的方法 2、基本事实： （1）内容：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内 （2）图形： （3）符号表示：A∈l，B∈l，且A∈α，B∈α⇒l⊂α （4）作用：①检验平面；②判断直线在平面内；③由直线在平面内判断直线上的点在平面内 3、基本事实： （1）内容：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线 （2）图形： （3）符号表示：P∈α，P∈β⇒α∩β＝l且P∈l （4）作用：①判定两平面相交；②作两平面相交的交线；③证明点共线或线共点 4、三个推论： 推论1：经过一条直线和直线外一点，有且只有一个平面． 推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面． 推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面． 知识点3：空间点、直线、平面位置关系 1．直线与直线的位置关系 （1）共面与异面直线 定义：不同在任何一个平面内的两条直线． 异面直线的画法： ① ② （2）空间两条直线的位置关系 位置关系 特点 相交 同一平面内，有且只有一个公共点 平行 同一平面内，没有公共点 异面直线 不同在任何一个平面内，没有公共点 2、直线与平面的位置关系 位置关系 直线a在平面α内 直线a在平面α外 直线a与平面α相交 直线a与平面α平行 公共点 无数个公共点 一个公共点 没有公共点 符号表示 a⊂α a∩α＝A a∥α 图形表示 3、两个平面的位置关系 位置关系 两平面平行 两平面相交 公共点 没有公共点 有无数个公共点(在一条直线上) 符号表示 α∥β α∩β＝l 图形表示 清单06 线线、线面、面面平行的判定与性质 知识点1：基本事实4 1、文字语言：平行于同一条直线的两条直线平行．这一性质叫做空间平行线的传递性． 2、符号表述：⇒a∥c. 3、作用：证明两条直线平行 知识点2：等角定理 1、文字语言：如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补． 2、符号语言：,或 3、等角定理的两个推论 （1）如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补； （2）如果两条相交直线与另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角（或直角）相等。 4、作用：判断和证明两个角相等或互补。 知识点3：空间四边形 顺次连接不共面的四点A、B、C、D所构成的图形，叫做空间四边形． 这四个点中的各个点叫做空间四边形的顶点； 所连接的相邻顶点间的线段叫做空间四边形的边； 连接不相邻的顶点的线段叫做空间四边形的对角线． 知识点4：线线平行的证明方法 1、定义法：即证明两条直线在同一个平面内且两直线没有公共点； 2、利用平面图形的有关平行的性质，如三角形中位线，梯形，平行四边形等关于平行的性质； 3、利用基本事实4：找到一条直线，使所证的直线都与这条直线平行． 知识点5：空间直线与平面的位置关系有以下三种 1、直线在平面内：如果一条直线a与平面α有两个不同的公共点，那么这条直线就在这个平面内，记作a⊂α. 2、直线与平面相交：直线a与平面α只有一个公共点A，叫做直线与平面相交，记作a∩α＝A，公共点A叫做直线a与平面α的交点． 3、直线与平面平行：如果一条直线a与平面α没有公共点，叫做直线与平面平行，记作a∥α. 知识点6：直线与平面平行的判定定理 1、文字语言：如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，该直线与此平面平行 2、符号：aα，b⊂α，a∥b⇒a∥α. 3、图形语言： 知识点7：直线与平面平行的性质定理 1、文字语言：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行． 2、符号语言：a∥α，a⊂β，α∩β＝b⇒a∥b. 3、图形语言： 知识点8：平面与平面平行的判定定理 1、文字语言：一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行 (简记为“线面平行⇒面面平行”) 2、符号语言：a⊂β，b⊂β，a∩b＝P，且a∥α，b∥α⇒β∥α. 3、图形语言： 4、判定定理推论：如果一个平面内两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线， 则这两个平面平行． 知识点9：平面与平面平行的性质定理 1、文字语言：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行 2、符号语言：α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b⇒a∥b. 3、图形语言： 4、平面与平面平行其他常用性质推论 （1）平行于同一个平面的两个平面平行. （2）垂直于同一条直线的两个平面平行. （3）如果两个平面平行，那么其中一个平面内的直线平行于另一个平面. （4）如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，那么它也垂直于另一个平面. 知识点10：利用判定定理证明两平面平行的步骤 1、在一个平面内找出两条相交直线； 2、证明着两条相交直线分别平行于另一个平面； 3、利用平面与平面平行的判定定理得出结论。 清单07 线线、线面、面面垂直的判定与性质 知识点1：直线与平面垂直的定义 1、文字语言：如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l与平面α互相垂直 2、符号语言：l⊥α 3、有关概念：直线l叫做平面α的垂线，平面α叫做直线l的垂面．它们唯一的公共点P叫做垂足 4、图形语言： 5、画法：画直线与平面垂直时，通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直. 6、空间距离 ①点到平面的距离：过一点作垂直于已知平面的直线，则该点与垂足间的线段，叫做这个点到该平面的垂线段，垂线段的长度叫做这个点到该平面的距离 ②直线到平面的距离：一条直线与一个平面平行时，这条直线上任意一点到这个平面的距离，叫做这条直线到这个平面的距离. ③两个平行平面间的距离：如果两个平面平行，那么其中一个平面内的任意一点到另一个平面的距离都相等，我们把它叫做这两个平行平面间的距离. 【注意】过一点垂直于已知平面的直线有且只有一条. 知识点2：直线与平面垂直的判定定理 1、文字语言：如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直 2、符号语言：l⊥a，l⊥b，a⊂α，b⊂α，a∩b＝P⇒l⊥α 3、图形语言： 4、作用：证明线面垂直 知识点3：直线与平面垂直的性质定理 1、文字语言：垂直于同一个平面的两条直线平行. 2、符号语言：⇒a∥b 3、图形语言： 4、作用：①线面垂直⇒线线平行 ②作平行线 5、推论： （1）一条直线垂直于一个平面，它就和平面内的任意一条直线垂直． （2）若两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直这个平面. （3）若一条之心垂直于两个平行平面中的一个，则它必垂直于另外一个平面/ （4）垂直于同一条直线的两个平行平行. 知识点4：三心问题结论 设P是三角形ABC所在平面α外一点，O是P在α内的射影 （1）若PA＝PB＝PC，则O为△ABC的外心． 特别地当∠C＝90°时，O为斜边AB的中点． （2）若PA、PB、PC两两垂直，则O为△ABC的垂心． （3）若P到△ABC三边距离相等，则O为△ABC的内心． 知识点5：平面与平面垂直 1、定义：一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直． 2、图形语言： 3、符号语言：α⊥β. 知识点6：平面与平面垂直的判定定理 1、文字语言：如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直 2、图形语言： 3、符号语言： 知识点7：平面与平面垂直的性质定理 1、文字语言：两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线， 那么这条直线与另一个平面垂直 2、图形语言： 3、符号语言： 4、作用：①面面垂直⇒线面垂直；②作面的垂线 5、平面与平面垂直的其他性质 （1）如果两个平面互相垂直，那么经过第一个平面内一点垂直于第二个平面的直线在第一个平面内，即 （2）如果两个平面互相垂直，那么与其中一个平面平行的平面垂直于另一个平面，即； （3）如果两个平面互相垂直，那么其中一个平面的垂线平行于另一个平面或在另一个平面内，即； （4）如果两个相交平面都垂直于第三个平面，那么它们的交线垂直于第三个平面，即； （5）三个凉凉垂直的平面的交线也两两垂直，即 知识点8：垂直问题转化关系如下所示 清单08 线线角、线面角、二面角的定义 知识点1：线线角的定义与求解 线线角主要是求异面直线所成角。 1、线线角的定义： ①定义：设是两条异面直线，经过空间任一点作直线，，把与所成的锐角或直角叫做异面直线所成的角(或夹角) ②范围： 2、求异面直线所成角一般步骤： （1）平移：选择适当的点，线段的中点或端点，平移异面直线中的一条或两条成为相交直线． （2）证明：证明所作的角是异面直线所成的角． （3）寻找：在立体图形中，寻找或作出含有此角的三角形，并解之． （4）取舍：因为异面直线所成角的取值范围是， 所以所作的角为钝角时，应取它的补角作为异面直线所成的角． 3、可通过多种方法平移产生，主要有三种方法： ①平行四边形平移法； ②中位线平移法； ③补形平移法(在已知图形中，补作一个相同的几何体，以便找到平行线)． 知识点2：直线和平面所成的角 1、有关概念： （1）斜线：与平面α相交，但不和平面α垂直，图中直线PA （2）斜足：斜线和平面的交点，图中点A （3）射影：过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线， 过垂足和斜足的直线叫做斜线在这个平面内的射影， 图中斜线PA在平面α上的射影为AO 2、直线与平面所成的角 （1）定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角. （2）规定：一条直线垂直于平面，它们所成的角是直角； 一条直线和平面平行或在平面内，它们所成的角是0°的角 3、取值范围：[0°，90°] 知识点3：二面角 1、二面角 （1）定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形．这条直线叫做二面角的棱，两个半平面叫做二面角的面． （2）图形语言： （3）符号语言：二面角或或或. 2、二面角的平面角 若有①；②，；③，，则二面角的平面角是． 二面角的大小可以用它的平面角来度量，二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度。 清单09 空间中的距离问题 知识点1：点到直线的距离（点线距） 1、点在直线上的射影 自点向直线引垂线，垂足叫做点在直线上的射影． 点到垂足的距离叫点到直线的距离． 2、点线距的求法： 点到直线的距离问题主要是将空间问题转化为平面问题，利用解三角形的方法求解距离。 知识点2：点到平面的距离（点面距） 1、点到平面的距离： 已知点是平面外的任意一点，过点作，垂足为，则唯一，则是点到平面的距离。即：一点到它在一个平面内的正射影的距离叫做这一点到这个平面的距离（转化为点到点的距离） 结论：连结平面外一点与内一点所得的线段中，垂线段最短 2、点面距的求解问题，主要有三个方法： （1）定义法（直接法）：找到或者作出过这一点且与平面垂直的直线，求出垂线段的长度； （2）等体积法：通过点面所在的三棱锥，利用体积相等求出对应的点线距离； （3）转化法：转化成求另一点到该平面的距离，常见转化为求与面平行的直线上的点到面的距离． 知识点3：异面直线的距离（线线距） 1、公垂线：两条异面直线的公垂线在这两条异面直线间的线段（公垂线段）的长度，叫做两条异面直线间的距离.两条异面直线的公垂线有且只有一条. 2、两条异面直线的距离：两条异面直线的公垂线段的长度. 知识点4：直线到平面的距离（线面距） 直线到与它平行平面的距离：一条直线上的任一点到与它平行的平面的距离,叫做这条直线到平面的距离(转化为点面距离).如果一条直线平行与平面,则直线上的各点到平面的垂线段相等,即各点到的距离相等；垂线段小于或等于上任意一点与平面内任一点间的距离； 知识点5：平面到平面的距离（面面距） 1、两个平行平面的公垂线、公垂线段： （1）两个平面的公垂线：和两个平行平面同时垂直的直线，叫做两个平面的公垂线. （2）两个平面的公垂线段：公垂线夹在平行平面间的的部分，叫做两个平面的公垂线段. （3）两个平行平面的公垂线段都相等. （4）公垂线段小于或等于任一条夹在这两个平行平面间的线段长. 2、两个平行平面的距离：两个平行平面的公垂线段的长度叫做两个平行平面的距离. 【易错01：斜二测画法规则掌握不牢】 1、用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图的步骤 2、斜二测画法要注意： ①建立坐标系；②“位置规则”——与坐标轴的平行的线段平行关系不变；③“长度规则”——图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持长度不变，平行于y轴的线段，长度减为原来的一半.【典例】 1．（25-26高一下·天津·期中）如图，用斜二测画法画水平放置的四边形ABCD，其直观图为等腰梯形，若，，则下列说法正确的是（ ） A． B． C．四边形ABCD的周长为 D．四边形ABCD的面积为 【针对训练】 1．如图，是水平放置的的直观图，，则在原平面图形中，有（    ） A． B． C． D． 【易错02：圆台、棱台的表面积与体积】 几何体 体积公式 说明 棱台、圆台 ，分别为棱台的上、下底面，为棱台的高 几何体 圆台 棱台 侧面展开图 侧面积公式 S圆台侧＝π(r1＋r2)l 【典例】 1．（24-25高一下·安徽宣城·期末）一圆台的上、下底面半径分别是10cm和20cm，它的侧面展开图扇环的圆心角为180°，下列说法不正确的是（    ） A．圆台的母线长是20cm B．圆台的高是cm C．圆台的表面积是 D．圆台的体积是 2．（多选题）如图，在正四棱台中， ，则下述结论正确的是（   ） A．该四棱台的高为 B．侧棱与底面所成角为 C．该四棱台的表面积为 D．该四棱台的体积为 【针对训练】 1．（多选题）（24-25高一下·黑龙江哈尔滨·期末）正三棱台的上、下底面边长分别是2和6，侧棱长是5，则下列说法正确的是（   ） A．该正三棱台的上底面积是 B．该正三棱台的侧面面积是 C．该正三棱台的表面积是 D．该正三棱台的高是 2．（多选题）（24-25高一下·浙江·期中）折扇是我国古老文化的延续，在我国已有四千年左右的历史，“扇”与“善”谐音，折扇也寓意“善良”“善行”，它常以字画的形式体现我国的传统文化，也是运筹帷幄、决胜千里、大智大勇的象征(如图①)，图②是一个圆台的侧面展开图(扇形的一部分)，若两个圆弧、所在圆的半径分别是3和6，且，则下列关于该圆台的说法正确的是（    ） A．高为 B．母线长为3 C．表面积为14π D．体积为 【易错03：线面位置关系的判断错误】 空间点、线、面位置关系的组合判断是考查学生对空间点、线、面位置关系判断和性质掌握程度的重要题型.解决这类问题的基本思路有两条：一是逐个寻找反例作出否定的判断，逐个进行逻辑证明作出肯定的判断；二是结合长方体模型或实际空间位置（如教室、课桌、灯管）作出判断. 【典例】 1．（25-26高一下·全国·课后作业）设a，b是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列选项正确的为（ ）． A．若，，则 B．若，，，则 C．若，，，，则 D．若，，，则 【针对训练】 1．（25-26高一下·全国·课堂例题）如果直线l，m与平面，，满足：，，和，那么必有（    ） A．且 B．且 C．且 D．且 【易错04：平行中的相似、垂直中的全等三角形条件应用】 相似抓住比例关系，全等抓住角度相等条件 【典例】 1．（25-26高一下·北京朝阳·月考）如图，在正方体中，点分别为棱的中点，点是棱上的一点，且． (1)求证：平面； (2)已知点是棱上的一点，且，求证：平面平面． 2．如图，在四棱锥中，，证明：平面平面． 【针对训练】 1．（25-26高一·全国·寒假作业）如图，在四棱锥中，为正三角形，底面为直角梯形，，，，，点，分别在线段和上，．求证：平面； 2．（24-25高一下·四川成都·期末）如图，在四棱锥中，底面是正方形，. (1)求证：平面； 【易错05：线面平行、垂直中的性质定理不熟悉】 1、线面平行性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 线∥面线∥线 如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行 2、面面平行性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 面//面 线//面 如果两个平面平行，那么在一个平面中的所有直线都平行于另外一个平面 性质定理 如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么他们的交线平行（简记为“面面平行线面平行”） 面//面 线面 如果两个平面中有一个垂直于一条直线，那么另一个平面也垂直于这条直线 3、线面垂直的性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 性质定理 垂直于同一平面的两条直线平行 _ b _ a 垂直与平行的关系 垂直于同一直线的两个平面平行 _ 线垂直于面的性质 如果一条直线垂直于一个平面，则该直线与平面内所有直线都垂直 4、面面垂直的性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 性质定理 两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直 _ _ a 【典例】 1．（25-26高一下·全国·课堂例题）如图，是圆的直径，点是圆上异于的点，为平面外一点，分别是的中点．记平面与平面的交线为，试判断直线与平面的位置关系，并加以证明． 2．如图，在四棱锥中，，，，，，平面平面.求证：. 【针对训练】 1．（25-26高一下·全国·课后作业）如图所示，在四棱锥中，底面是平行四边形，与交于点，是的中点，在上取一点，过和作平面交平面于，求证：. 2．（25-26高一上·江苏南通·期末）如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，平面平面，.    (1)求证：平面平面； (2)若为等边三角形，边长为2，与底面所成角为，求四棱锥的体积. 【易错06：忽略异面直线夹角的范围】 求异面直线所成角一般步骤： （1）平移：选择适当的点，线段的中点或端点，平移异面直线中的一条或两条成为相交直线． （2）证明：证明所作的角是异面直线所成的角． （3）寻找：在立体图形中，寻找或作出含有此角的三角形，并解之． （4）取舍：因为异面直线所成角的取值范围是，所以所作的角为钝角时，应取它的补角作为异面直线所成的角． 【典例】 1．三棱锥中，平面，是边长为4的正三角形，，是的中点，则直线与所成角的余弦值是（   ） A． B． C． D． 2．已知直三棱柱的所有棱长都相等，M为的中点，则与所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【针对训练】 1．在正方体中，E，F分别为CD和的中点，则异面直线AF与所成角的余弦值是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·福建南平·期末）已知三棱锥，，点，分别是棱，的中点，且，则异面直线与所成的角是（   ） A． B． C． D． 【易错07：求解线面角】 ①定义：平面上的一条斜线与它在平面的射影所成的锐角即为斜线与平面的线面角． ②范围： ③求法：过平面外一点做平面，交平面于点；连接，则即为直线与平面的夹角．接下来在中解三角形．即（其中即点到面的距离，可以采用等体积法求，斜线长即为线段的长度）； 【典例】 1．（24-25高一下·浙江嘉兴·期末）如图，平面四边形中，是边长为2的等边三角形，且，为的中点，将沿翻折至. (1)证明：； (2)若，求直线与平面所成角的余弦值. 2．（24-25高一下·天津滨海新区·期中）如图， 在正方体中， 是的中点. (1)求异面直线和所成角的大小； (2)求证：平面； (3)求和平面所成角的正弦值. 【针对训练】 1．（24-25高一下·湖北咸宁·期末）如图，在三棱台中，，∠BAC=60°，，，三棱台的体积为． (1)证明：平面； (2)求与平面所成角的正弦值． 2．（24-25高一下·重庆·期末）如图，为圆锥的轴截面，为底面圆的直径，，为底面圆周上一点，且，为的中点. (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 【易错08：求解二面角】 （1）定义：一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角 （2）范围： （3）定义法 在棱上取点，分别在两面内引两条射线与棱垂直，这两条垂线所成的角的大小就是二面角的平面角，如图在二面角的棱上任取一点，以为垂足，分别在半平面和内作垂直于棱的射线和，则射线和所成的角称为二面角的平面角（当然两条垂线的垂足点可以不相同，那求二面角就相当于求两条异面直线的夹角即可）． 【典例】 1．（24-25高一下·福建南平·期末）如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面，，，是的中点，过点作交于点． (1)若是的中点，过点作一个截面，使得该截面与平面平行，请画出截面，并写出作图过程（无需证明）； (2)证明：平面； (3)求二面角的余弦值． 【针对训练】 1．如图，在三棱柱中，平面平面，，四边形是边长为2的正方形. (1)证明：平面； (2)若，求二面角的余弦值. 【易错09：外接、内切球问题】 确定球心是关键，利用好简单图形的外心求法，例如直角三角形斜边的中点是外心，等边三角形重心是外心，普通三角形利用正弦定理找半径 【典例】 1．（2026高一·全国·专题练习）在三棱锥中，已知，，，则该三棱锥外接球的体积为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·吉林松原·期末）在三棱锥中，已知平面，，.若该三棱锥的顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为（    ） A． B． C． D． 3．若一个正四棱台的高为，上下底面的边长分别为和的正方形，则该台体的外接球的表面积（   ） A． B． C． D． 4．已知正三棱锥的体积为，侧面积为，底面积等于，则这个正三棱锥内切球的体积为（    ） A． B． C． D． 【针对训练】 1．（23-24高一下·重庆·期末）四棱锥中，平面ABCD，四边形为矩形，，，若四棱锥的外接球的表面积为，则（    ） A．3 B．6 C．2 D．2.5 2．已知圆台的上、下底面半径分别为1和2，体积为，则该圆台的外接球表面积为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高一·全国·暑假作业）已知直三棱柱的各顶点都在以O为球心的球面上，且，，则球O的体积为（    ） A． B． C． D． 4．正四面体的棱长为，则该几何体的内切球的表面积为（ ） A． B． C． D． 5．（24-25高一下·四川资阳·期末）如图，在三棱锥中，平面，，，则该三棱锥外接球的体积为（   ）    A． B． C． D． 1．（24-25高一下·贵州黔南·期末）若圆台的轴截面是底角为的等腰梯形，且圆台的上底面半径为1，下底面半径为6，则圆台的表面积为（   ） A． B． C． D． 2．若为两条直线，为两个平面，则下列结论中正确的是（   ） A．若，，，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，，则 3．（25-26高一下·浙江宁波·期中）如图，按斜二测画法所得水平放置的平面四边形的直观图为梯形．其中，，，．以原四边形的边为轴，旋转一周得到的几何体体积为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高一下·陕西·月考）已知正四棱台的上底面边长为4，下底面边长为8，且侧面与下底面所成的二面角为，则该正四棱台的侧面积为（    ） A．48 B．128 C． D． 5．《九章算术》中，将底面为长方形，且一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马．阳马中，若平面，且，则异面直线PC与BD所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 6．如图，在正三棱柱中，若，则与所成角的大小为（    ） A． B． C． D． 7．在棱长为2的正四面体中，M，N分别为BC，AD的中点，则直线AM和CN夹角的正弦值为（   ） A． B． C． D． 8．（24-25高一下·青海海南·期末）在直三棱柱中，，，，分别是棱，，的中点，则异面直线与所成角的余弦值是（   ） A． B． C． D． 9．（24-25高一下·浙江衢州·期末）在中，，平面，且，则三棱锥外接球的表面积为（   ） A． B． C． D． 10．（24-25高一下·山东滨州·期末）在三棱锥中，，O为的外心，平面，若，则三棱锥的外接球的表面积为（   ） A． B． C． D． 11．（24-25高一下·山西太原·月考）已知正三棱锥的底面是边长为的正三角形，侧棱长为，则该正三棱锥的外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 12．（24-25高一下·黑龙江哈尔滨·月考）已知正四棱锥的侧棱长为，底面边长为2，则该四棱锥的内切球的体积为（    ） A． B． C． D． 13．已知圆台存在内切球（球与圆台上、下底面以及侧面均相切），若圆台的上、下底面积分别为，则球的表面积为（    ） A． B． C． D． 14．（24-25高一下·河北·期末）已知菱形的边长为，，现将沿直线翻折，得到三棱锥，则当三棱锥体积最大时，三棱锥的外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 15．（多选题）（24-25高一下·重庆·月考）圆台的上、下底面半径分别为1和2，它的侧面展开所得的扇环所对的圆心角为180°，则圆台的（   ） A．母线长为4 B．表面积为11 C．高为 D．体积为 16．（多选题）在如图所示的透明的正三棱台形容器内注入一些水（容器厚度忽略不计），水平放置时水平面DEF与底面平行，且水平面DEF与下底面ABC的距离为，，，正三棱台形容器的高为2，下列结论正确的有（   ） A．正三棱台形容器的体积为 B．正三棱台形容器的侧面积为 C．等边三角形DEF的边长为3 D．水的体积为 17．如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，平面平面为中点，，证明：． 18．（2025高一·全国·专题练习）如图，在四棱锥中，底面四边形是平行四边形，是侧棱上一点，且．    (1)试确定侧棱上一点的位置，使平面． (2)在侧棱上是否存在一点，使平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 19．（24-25高一下·福建厦门·期末）如图，四棱锥中，底面是菱形，平面，，为的中点，直线与平面交于点. (1)证明：平面； (2)求四棱锥的体积. 20．如图，平面平面，平面平面． (1)求证：平面； (2)点E在侧面（含边界）上运动，若平面平面，，求E的轨迹长度． 21．（24-25高一下·甘肃临夏·期末）如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，，为等边三角形，平面平面，． (1)设分别为的中点，求证：平面； (2)求证：平面； (3)求直线与平面所成角的正弦值． 22．（23-24高一下·浙江宁波·期末）如图，已知在正三棱柱中，为棱的中点，. (1)证明：面； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 23．如图，在直三棱柱中，，. (1)求证：； (2)求二面角的正弦值. 24．（24-25高一下·北京顺义·期末）如图在四棱柱中，四边形ABCD为梯形，，，E为中点. (1)求证：平面； (2)若平面，，且， （ⅰ）求证：； （ⅱ）写出二面角的正切值.（结论不要求证明） 25．（24-25高一下·江苏泰州·期末）如图，在长方体中，点在平面内，是棱上一点（不包括端点），的中点为. (1)求证：平面； (2)求证：； (3)若二面角与二面角的大小都为，四棱锥的体积为，求的长. 26．如图，是边长为4的等边三角形，且点分别为线段与的中点.将沿折叠后使点与点重合，得到四棱锥.设点为线段上一点，且. (1)证明：平面； (2)求四棱锥与三棱锥的体积之比. 27．（24-25高一下·河北雄安·期末）如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，，，，平面，点在棱上． (1)求； (2)若平面，求三棱锥的体积； (3)若二面角的大小为，求． 28．（25-26高一上·湖南衡阳·月考）如图，在三棱台中，平面平面，，．    (1)证明； (2)求直线DF与平面DBC夹角的正弦值． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $