专题03 空间几何体的截面、轨迹、外接球、内切球问题（专项训练9大重点题型）高一数学人教A版必修第二册

专题03 空间几何体的截面、轨迹、外接球、内切球问题 目录 A题型建模・专项突破 1 题型一、截面问题（难点） 1 题型二、轨迹问题（难点） 2 题型三、墙角模型 4 题型四、三组对棱长分别相等模型 4 题型五、其他补成长方体模型（重点） 4 题型六、直棱柱、圆柱、棱台、圆台的外接球模型（常考点） 5 题型七、正棱锥、圆锥的外接球模型 5 题型八、垂面模型（含线面、面面垂直）（重点） 6 题型九、内切球 6 B综合攻坚・能力跃升 7 题型一、截面问题（难点） 1．平面截正方体所得的截面不可能是（   ） A．四边形 B．五边形 C．六边形 D．七边形 2．（24-25高一下·山西·月考）用一个平面去截正方体，则截面不可能是（    ） A．正方形 B．梯形 C．等边三角形 D．钝角三角形 3．过正方体的中心作与垂直的平面，则平面截正方体所得的截面是（    ） A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形 4．如图，在正方体中，，，分别是棱，的中点，则正方体被平面所截得的截面周长是（    ）    A． B． C． D． 5．在正方体中，棱长为为棱上靠近的三等分点，则平面截正方体的截面面积为（   ） A． B． C． D． 6．（多选题）（24-25高一下·江苏宿迁·期末）如图，有一块正四棱台的木料，木工师傅想经过木料表面内（不含边界）一点与棱把木料锯成两块，为此需要先在面内作出交线，下列关于交线与截面形状的说法正确的是（    ） A．截面形状是梯形 B．截面形状可能为等腰梯形 C．直线与直线相交 D．直线与直线相交 7．（24-25高一下·河北·期中）如图，在边长为3的正方体中，为中点，为中点，过、、作与正方体的截面为，则截面的周长为________. 题型二、轨迹问题（难点） 1．（24-25高一下·湖北·期末）设正方体的棱长为1，点在正方体的表面上运动，且满足与平面成的角，则点轨迹的长度为______． 2．（24-25高一下·黑龙江大庆·期中）在直棱柱中，底面是边长为2的菱形，，，动点在侧面内（包含边界），若，则点轨迹的长度为___________. 3．（25-26高一下·全国·课堂例题）如图，棱长为1的正方体中，E，F分别为AD，AB的中点，点G在上底面（含边界）上运动，若满足平面，则点G的轨迹长度为______． 4．（24-25高一下·河南商丘·期末）在棱长为的正方体中，点E是棱的中点，则直线与所成角的余弦值为______；点P是正方体表面上的一动点，且满足，则动点P的轨迹长度是______． 5．（23-24高一下·福建厦门·期中）如图，直四棱柱的底面是边长为2的正方形，，，分别是，的中点，为直四棱柱表面上的动点，若，，，四点共面，则动点P的轨迹的长度为______． 6．（24-25高一下·云南昆明·期中）已知正方体的棱长为，是棱的中点，是侧棱上的动点，直线交平面于点，则动点的轨迹长度为________． 题型三、墙角模型 1．（23-24高一下·四川成都·期中）若长方体的长、宽、高分别为，则长方体外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·黑龙江·期末）在三棱锥中，两两垂直，则该三棱锥外接球的表面积为（   ） A． B． C． D． 3．古代数学名著《九章算术⋅商功》中，将底面为矩形.且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为阳马，将四个面都为直角三角形的三棱锥称为鳖臑.若四棱锥为阳马，平面，，，则此“阳马”外接球的体积为（    ） A． B． C． D． 4．已知三棱锥中，，则该三棱锥的外接球表面积为____________. 题型四、三组对棱长分别相等模型 1．在四面体中，，，，则该四面体外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 2．（2025高一·全国·专题练习）在四面体中，三组对棱的棱长分别相等且依次为，，5，则此四面体的外接球的半径______． 题型五、其他补成长方体模型（重点） 1．在三棱锥中，已知底面，，，则三棱锥外接球的体积为（ ） A． B． C． D． 2．已知侧棱长为2的正三棱锥的四个顶点都在一个球的球面上，且三个侧面两两垂直，则这个球的表面积为（    ） A． B． C． D． 3．在三棱锥中，，，则三棱锥的外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 4．球O是棱长为 1 的正方体的外接球，则球O的内接正四面体体积为______. 题型六、直棱柱、圆柱、棱台、圆台的外接球模型（常考点） 1．已知圆柱的底面半径为1，高为2，该圆柱的上下底面圆周上的点均在球的表面上，则球的表面积为（    ） A． B． C． D． 2．已知正三棱柱的高为2，，则该三棱柱的外接球的半径为（   ） A．1 B． C．2 D． 3．在直三棱柱中，，，且，则该三棱柱的外接球的体积为（    ） A． B． C． D． 4．已知圆台的上、下底面半径之比为，母线长为，该圆台的上、下底面圆周都在球的球面上，球的表面积为，则该圆台的体积为______. 5．（24-25高一下·天津·期中）已知正三棱台(由正三棱锥截得的棱台)的高为3，上、下底面边长分别为和，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为_____________. 题型七、正棱锥、圆锥的外接球模型 1．（24-25高一下·天津滨海新区·期中）已知正三棱锥的底面边长为6，侧棱长为，则该三棱锥的外接球的表面积为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·山东聊城·月考）已知一个正四棱锥的底面边长为，高为，若该四棱锥的顶点都在球的球面上，则球的体积等于（ ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·云南·月考）已知一圆锥的底面半径和高都等于1，则它的外接球的体积________． 4．（24-25高一下·四川成都·期末）已知某圆锥的侧面展开图是一个半径为的半圆，则这个圆锥的外接球体积为_____________. 题型八、垂面模型（含线面、面面垂直）（重点） 1．（24-25高一下·辽宁朝阳·期末）在四面体中，平面，则该四面体的外接球的表面积为______． 2．（24-25高一下·辽宁丹东·期末）已知等边的边长为，是边上的高，以为折痕将折起，使，则三棱锥外接球的表面积为______. 3．（2026高一·全国·专题练习）如图，在四面体中，平面平面，侧面是等边三角形，底面是等腰直角三角形，，则四面体的外接球的体积是____. 4．（24-25高一下·山东威海·期末）已知三棱锥的各顶点都在表面积为的球面上，平面，，，，则该三棱锥的体积为_______． 5．如图，在直角梯形中，，，将沿直线翻折至的位置，当三棱锥的体积最大时，则三棱锥的外接球的表面积为_________． 题型九、内切球 1．（24-25高一下·广东江门·期末）棱长为2的正方体的内切球的表面积为（    ）． A． B． C． D． 2．已知某圆锥的轴截面是边长为6的等边三角形，则该圆锥的内切球的表面积为（   ） A． B． C． D． 3．已知一圆台内切球与圆台各个面均相切，记圆台上、下底面半径为，若，则圆台的体积与球的体积之比为（    ） A． B． C．2 D． 4．已知正四棱锥的底面边长为4，高为6，则该正四棱锥的内切球半径为（     ） A． B． C． D． 5．已知某正三棱柱既有内切球又有外接球，外接球的表面积为，则该三棱柱的体积为____ . 6．（24-25高一下·广东汕头·期中）已知正四面体的表面积为，此四面体的内切球的表面积为，则＝______． 7．（2026高一·全国·专题练习）如图，在棱长为4的正四面体中，大球内切于该正四面体，小球与大球及正四面体的三个侧面相切，则小球的表面积为________. 1．（24-25高一下·贵州六盘水·期末）已知三棱锥，两两垂直，，，，则三棱锥外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一下·重庆·期末）四棱锥中，平面ABCD，四边形为矩形，，，若四棱锥的外接球的表面积为，则（    ） A．3 B．6 C．2 D．2.5 3．已知三棱锥中，且 AB = CD =，BC = AD = ，AC = BD =，则该三棱锥外接球的表面积为（ ） A． B． C． D． 4．（24-25高一下·陕西渭南·期末）已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上，平面，且，，则球的体积为（   ） A． B． C． D． 5．已知直三棱柱中，，该三棱柱所有顶点都在球的球面上，则球的体积为（） A． B． C． D． 6．（23-24高一下·浙江杭州·期中）一个四面体的所有棱长都为，四个顶点在同一球面上，则此球的体积为（    ） A． B． C． D． 7．（24-25高一下·浙江杭州·期中）已知正三棱锥，则该三棱锥的外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 8．已知圆台的上底面积，下底面积分别为，体积为，则该圆台的外接球表面积为（    ） A． B． C． D． 9．已知直三棱柱的6个顶点都在球的球面上，若，则该三棱柱的外接球的体积为（   ） A． B． C． D． 10．（24-25高一下·广东深圳·期末）我国古代举世闻名的数学专著《九章算术》将底面为矩形的棱台称为“刍童”.已知棱台是一个所有侧棱的长相等，高为2的“刍童”，，，则该“刍童”外接球的表面积为（   ） A． B． C． D． 11．已知一个圆台的上、下底面半径分别为2和4，母线长为6，则此圆台外接球与内切球表面积之比为（    ） A．2 B． C． D．3 12．（24-25高一下·浙江衢州·期末）在中，，平面，且，则三棱锥外接球的表面积为（   ） A． B． C． D． 13．（24-25高一下·河北·月考）已知正四棱锥的底面边长为3，高为，则其内切球体积是（   ） A． B． C． D． 14．已知某圆锥的侧面展开图是一个面积为的半圆，在该圆锥内置球的体积最大值为（    ） A． B． C． D． 15．在矩形ABCD中，，，沿AC将矩形ABCD折成一个直二面角，则四面体ABCD的外接球的表面积为（   ） A． B． C． D． 16．（24-25高一下·四川资阳·期末）如图，在三棱锥中，平面，，，则该三棱锥外接球的体积为（   ）    A． B． C． D． 17．（24-25高一下·浙江温州·期中）在《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称为鳖臑.已知在鳖臑中，，平面，当该鳖臑的外接球的表面积为时，则它的内切球的半径为（   ） A． B． C． D． 18．已知四边形中，，，．现将沿边翻折，使点翻折到点，若平面平面，则三棱锥外接球的表面积是（    ） A． B． C． D． 19．已知三棱锥的所有顶点都在一个球面上且平面，，，且底面的面积为，则此三棱锥外接球的表面积是（   ） A． B． C． D． 20．已知三棱锥的每个顶点都在球的球面上，平面平面，，，，，则球的体积为（   ） A． B． C． D． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 空间几何体的截面、轨迹、外接球、内切球问题 目录 A题型建模・专项突破 1 题型一、截面问题（难点） 1 题型二、轨迹问题（难点） 6 题型三、墙角模型 12 题型四、三组对棱长分别相等模型 15 题型五、其他补成长方体模型（重点） 16 题型六、直棱柱、圆柱、棱台、圆台的外接球模型（常考点） 18 题型七、正棱锥、圆锥的外接球模型 21 题型八、垂面模型（含线面、面面垂直）（重点） 24 题型九、内切球 28 B综合攻坚・能力跃升 33 题型一、截面问题（难点） 1．平面截正方体所得的截面不可能是（   ） A．四边形 B．五边形 C．六边形 D．七边形 【答案】D 【分析】通过分析平面去截正方体时，平面与正方体各面相交的情况，来判断可能得到的截面形状，从而确定不可能出现的截面形状. 【详解】当平面与正方体的三个面相交时，可以得到三角形截面； 当平面与正方体的四个面相交时，能够得到四边形截面； 当平面与正方体的五个面相交时，会形成五边形截面； 当平面与正方体的六个面都相交时，就得到六边形截面； 由于正方体只有六个面，所以平面与其六个面相交最多得六边形，不可能得到七边形或多于七边的图形. 故选：. 2．（24-25高一下·山西·月考）用一个平面去截正方体，则截面不可能是（    ） A．正方形 B．梯形 C．等边三角形 D．钝角三角形 【答案】D 【分析】可根据空间想象或者结合图形等方法解决. 【详解】用一个平面去截正方体，截面可能是正方形、梯形、等边三角形. 当平面平行于正方体的一个面去截正方体时，截面是正方形，如图，A可能. 如图，截面可以是梯形，B可能. 如图，当平面截取正方体的三个顶点，截面是等边三角形，C可能. 故选：D． 3．过正方体的中心作与垂直的平面，则平面截正方体所得的截面是（    ） A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形 【答案】D 【分析】证明线面垂直作出图判断截面图形即可. 【详解】 在正方体中，平面，平面，所以， 又在正方形中，，，所以平面， 平面，所以， 由于分别为的中点，所以， 故，同理，，所以平面， 且平面过正方体的中心， 故选：D 4．如图，在正方体中，，，分别是棱，的中点，则正方体被平面所截得的截面周长是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，作出截面并求出其面积. 【详解】在正方体中，取的中点，的中点，连接，    由是的中点，得，则四边形为平行四边形， ，由是的中点，得， 梯形是正方体被平面所截得的截面， ，， 所以所求截面的周长是. 故选：B 5．在正方体中，棱长为为棱上靠近的三等分点，则平面截正方体的截面面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，结合平面基本事实作出截面，再利用截面的几何特征求其面积. 【详解】在正方体中，延长交于点， 连接交于点，如图， 由平面平面，平面平面， 平面平面， 得，又，且， 因此四边形是等腰梯形，且为平面截正方体的截面. 在等腰梯形中，过作，， 所以截面面积. 故选：C 6．（多选题）（24-25高一下·江苏宿迁·期末）如图，有一块正四棱台的木料，木工师傅想经过木料表面内（不含边界）一点与棱把木料锯成两块，为此需要先在面内作出交线，下列关于交线与截面形状的说法正确的是（    ） A．截面形状是梯形 B．截面形状可能为等腰梯形 C．直线与直线相交 D．直线与直线相交 【答案】ACD 【分析】把正四棱台还原成正四棱锥，再结合棱台、棱锥的结构特征逐项判断. 【详解】依题意，正四棱台的侧棱延长交于点， 直线分别与棱交于点，连接，平面即为平面， 对于CD，直线平面平面，直线与直线、直线都相交，CD正确； 对于AB，平面平面，平面平面，平面平面， 则，，因此截面是梯形，A正确； 在等腰中，在线段上（除端点外），则，而， 于是，即，梯形不是等腰梯形，B错误. 故选：ACD 7．（24-25高一下·河北·期中）如图，在边长为3的正方体中，为中点，为中点，过、、作与正方体的截面为，则截面的周长为________. 【答案】 【分析】根据题意在正方体中找到截面，算出各边长再求周长即可. 【详解】在正方体中，设直线与直线，分别交于，，连接，分别与，交于点，，连接，，则五边形是过、、的正方体的截面. 由为中点，为中点，得， ，则，同理. ，即，，同理，. ，，， 所以截面的周长为. 故答案为：. 题型二、轨迹问题（难点） 1．（24-25高一下·湖北·期末）设正方体的棱长为1，点在正方体的表面上运动，且满足与平面成的角，则点轨迹的长度为______． 【答案】 【分析】根据满足与平面成的角可得的轨迹为线段和个圆（），故可求其长度. 【详解】 因为与平面成的角， 故在为对称轴且轴截面顶角的一半为的圆锥面上（除去）， 而在正方体表面上且由正方体的性质有， 故的轨迹为线段和个圆（）， 故点轨迹的长度为， 故答案为：. 2．（24-25高一下·黑龙江大庆·期中）在直棱柱中，底面是边长为2的菱形，，，动点在侧面内（包含边界），若，则点轨迹的长度为___________. 【答案】/ 【分析】过点作，过点作，结合已知得，再结合平面几何知识即可求解. 【详解】如图所示，过点作于E，过点作与， 因为四棱柱是直四棱柱，所以平面， 因为平面，所以， 又因为，，平面，平面， 所以平面， 因为直线平面， 所以， 因为，，， 所以， 又因为，所以， 因为点在侧面内， 所以在平面直角坐标系中来研究点轨迹的长度，如图所示： 点的运动轨迹为以点为圆心、半径为2的圆在正方形内部的弧， 显然，，所以， 所以. 故答案为：. 3．（25-26高一下·全国·课堂例题）如图，棱长为1的正方体中，E，F分别为AD，AB的中点，点G在上底面（含边界）上运动，若满足平面，则点G的轨迹长度为______． 【答案】/ 【分析】取，，，的中点分别为，，，，连接，，，，，，，可证明平面，点在平面内，进而可得点在面与面的交线上，即可求解. 【详解】取，，，的中点分别为，，，， 连接，，，，，，， 因为，分别为，的中点， 所以，同理可得， 因为，， 所以四边形是平行四边形，可得， 所以，同理可证，， 所以，，，，，共面， 因为，面，面， 所以平面， 若平面，则点在平面内， 又因为点在上底面（含边界）， 所以点在面与面的交线上， 所以点在线段上，则点轨迹长度为. 4．（24-25高一下·河南商丘·期末）在棱长为的正方体中，点E是棱的中点，则直线与所成角的余弦值为______；点P是正方体表面上的一动点，且满足，则动点P的轨迹长度是______． 【答案】 / 【分析】①以为直线与AC所成的角或其补角，利用余弦定理求解；②分别取，AB，AD的中点F，G，M，N，H，则点的轨迹是六边形. 【详解】①连接，易得， 所以为直线与AC所成的角或其补角．又， 由余弦定理得， 即直线与AC所成角的余弦值为． ②分别取，AB，AD的中点F，G，M，N，H， 连接EF，FG，GM，MN，NH，HE，， 因为且， 所以四边形是平行四边形，所以， 因为F，M，N分别是，AB的中点，所以， 所以，同理可得， 所以E，F，G，M，N，H六点共面，且六边形EFGMNH为边长为的正六边形， 因为平面，平面，所以BD，又， 平面，所以平面， 又平面，所以，因为N，H分别为AB，AD的中点，所以， ，同理可得，又，平面， 所以平面，因为，所以点的轨迹是六边形， 所以点P的轨迹长度为． 5．（23-24高一下·福建厦门·期中）如图，直四棱柱的底面是边长为2的正方形，，，分别是，的中点，为直四棱柱表面上的动点，若，，，四点共面，则动点P的轨迹的长度为______． 【答案】 【分析】设直线分别于得延长线交于点，连接，交于点，连接，交于点，得到截面，再利用直四棱柱的柱长和结构特征得到截面的各边长. 【详解】设直线分别于得延长线交于点，连接，交于点， 连接，交于点，连接， 所以动点P的轨迹为直四棱柱的截面五边形. 由平行线分线段比例可知：， 故，故为等腰直角三角形， 所以，故，则， . 所以五边形的边长为： . 故答案为：. 6．（24-25高一下·云南昆明·期中）已知正方体的棱长为，是棱的中点，是侧棱上的动点，直线交平面于点，则动点的轨迹长度为________． 【答案】/ 【分析】先证明平面即平面，再找出动点的轨迹为线段，最后计算的长度即可. 【详解】如图，取的中点，连接交于点，连接、交于点，连接、， 因为是棱的中点，所以，则为的四等分点且， 由正方体的性质可知且，所以四边形为平行四边形，所以， 所以，所以、、、四点共面， 所以平面平面， 连接交于点，因为是侧棱上的动点，直线交平面于点， 所以线段即为点的轨迹， 如图在平面中，过点作，交于点，则为的中点， 因为，所以，所以， 所以， 又因为，，所以， 所以 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题的关键在于找出动点的轨迹，再将其放在平面中进行求解. 题型三、墙角模型 1．（23-24高一下·四川成都·期中）若长方体的长、宽、高分别为，则长方体外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求得长方体对角线长得外接球直径，再计算球的表面积即可． 【详解】由已知得长方体的对角线长为，所以外接球半径为， 球的表面积为， 故选：A． 2．（24-25高一下·黑龙江·期末）在三棱锥中，两两垂直，则该三棱锥外接球的表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将三棱锥补全为长方体，长方体的外接球就是所求的外接球，长方体的体对角线就是外接球直径，计算出半径后可得表面积． 【详解】将三棱锥补全为长方体，则长方体的外接球就是所求的外接球， 设球半径为，则， 所以，所以球的表面积为. 故选：B． 3．古代数学名著《九章算术⋅商功》中，将底面为矩形.且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为阳马，将四个面都为直角三角形的三棱锥称为鳖臑.若四棱锥为阳马，平面，，，则此“阳马”外接球的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】依题意四棱锥可补形为长方体，求出长方体的体对角线即为外接球的直径，从而求出外接球的体积. 【详解】由于平面，平面，所以， 由于四边形是矩形，所以， 所以两两相互垂直， 所以四棱锥可补形为长方体，且长方体的体对角线为， 所以四棱锥的外接球的直径，即， 所以四棱锥的外接球的体积. 故选：A 4．已知三棱锥中，，则该三棱锥的外接球表面积为____________. 【答案】 【分析】根据勾股定理逆定理，构造长方体，利用长方体的性质、球的表面积公式进行求解即可. 【详解】因为， 显然有，，， 因此两两互相垂直，补成长方体如图所示： 该长方体的对角线长为， 所以该三棱锥的外接球的半径为， 因此该三棱锥的外接球表面积为， 故答案为：    题型四、三组对棱长分别相等模型 1．在四面体中，，，，则该四面体外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据对棱相等的特征，可以将四面体放入长方体中，再求其外接球半径即可. 【详解】如图所示，该四面体的各顶点恰好是一个长方体的四个顶点，每条棱为长方体各面的对角线， 设这个长方体各棱长分别为，则有， 各式相加得， 设外接球半径为，则有， 外接球表面积. 故选：C． 2．（2025高一·全国·专题练习）在四面体中，三组对棱的棱长分别相等且依次为，，5，则此四面体的外接球的半径______． 【答案】 【分析】将四面体补形为为一个面对角线长分别为，，5的长方体，则长方体外接球即四面体外接球. 【详解】四面体中，三组对棱的棱长分别相等， 可将其补形为一个面对角线长分别为，，5的长方体． 设长方体长宽高为，由题有：， 即长方体体对角线长为，则长方体外接球半径，即四面体外接球半径为. 故答案为： 题型五、其他补成长方体模型（重点） 1．在三棱锥中，已知底面，，，则三棱锥外接球的体积为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将三棱锥补形成正方体，利用正方体的外接球的性质即可得解. 【详解】依题意，将三棱锥补形成正方体，如图， 则该正方体的外接球就是三棱锥的外接球， 因为，则该正方体的体对角线长为， 所以外接球的直径，， 则外接球的体积． 故选：C 2．已知侧棱长为2的正三棱锥的四个顶点都在一个球的球面上，且三个侧面两两垂直，则这个球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，把正三棱锥放置在一个棱长为的正方体内，得到正三棱锥的外接球即为此正方体的外接球，结合正方体的性质，求得外接球的半径，结合球的表面积公式，即可求解. 【详解】如图所示，正三棱锥，满足，且三个侧面两两垂直， 可以把正三棱锥放置在一个棱长为的正方体内， 可得正三棱锥的外接球即为此正方体的外接球， 设正三棱锥的外接球的半径为，则，即， 所以正三棱锥的外接球的表面积为. 故选：C. 3．在三棱锥中，，，则三棱锥的外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将三棱锥转化为长方体，结合长方体的外接球以及长度关系运算求解. 【详解】如图，将三棱锥转化为长方体，    可知三棱锥的外接球即为长方体的外接球， 则，可得， 则外接球的半径， 所以三棱锥的外接球的表面积为. 故选：C. 4．球O是棱长为 1 的正方体的外接球，则球O的内接正四面体体积为______. 【答案】 【分析】将正四面体补形为正方体，利用正四面体和正方体有同一外接球求解即可. 【详解】 如图，正四面体可以补形为正方体，可知图中正四面体和正方体有同一外接球， 即球O是棱长为 1 的正方体的外接球也是图中正四面体的外接球， 因为正方体棱长为1，则体积为1， 可得正四面体体积为正方体体积去掉四个角上的三棱锥体积， 即球O的内接正四面体体积为. 故答案为：. 题型六、直棱柱、圆柱、棱台、圆台的外接球模型（常考点） 1．已知圆柱的底面半径为1，高为2，该圆柱的上下底面圆周上的点均在球的表面上，则球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用圆的截面性质与圆柱的结构特征，结合勾股定理求出球的半径，从而得解. 【详解】依题意，圆柱的底面半径为，高为， 因为该圆柱的底面圆周都在球的表面上，设球的半径为， 则，即， 所以球的表面积为， 故选：B. 2．已知正三棱柱的高为2，，则该三棱柱的外接球的半径为（   ） A．1 B． C．2 D． 【答案】B 【分析】根据几何体特征确定球心位置，结合勾股定理可得答案. 【详解】设三棱柱上底面和下底面的中心分别为,连接，则其外接球的球心在的中点处， 记球心为,连接，则由正三棱柱的性质可知为直角三角形； 因为正三棱柱的高为2，， 所以，，所以. 故选：B 3．在直三棱柱中，，，且，则该三棱柱的外接球的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据因为，利用正弦定理得外接圆半径为，利用勾股定理即可得外接球半径为，代入球的体积公式即可求解. 【详解】设外接圆半径为，圆心为，设外接球球心为，半径为， 因为，，在中由正弦定理有， 则，则有， 所以，所以球的体积为：    ， 故选：D. 4．已知圆台的上、下底面半径之比为，母线长为，该圆台的上、下底面圆周都在球的球面上，球的表面积为，则该圆台的体积为______. 【答案】 【分析】由题中条件得到球的半径为5，设出圆台的底面半径及圆台的高，再分圆台的两个底面在球心异侧与同侧两种情况，列方程求解底面圆的半径和圆台的高，代入圆台体积公式求解即可. 【详解】设球的半径为，由题意球的表面积为，所以. 设圆台的上底面圆的半径为，则下底面圆的半径为， 当球的球心在圆台外时，设圆台的高为，    则，消去和得， 平方化简得，平方化简得，解得，此时， 此时圆台的体积为； 当球的球心在圆台内时，    则，消去和得， 平方化简得，解得可得与矛盾， 综上，该圆台的体积为. 故答案为： 5．（24-25高一下·天津·期中）已知正三棱台(由正三棱锥截得的棱台)的高为3，上、下底面边长分别为和，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为_____________. 【答案】 【分析】根据正三棱台性质找出其外接球球心所在位置即可求得其半径，再由球的表面积公式计算可得结果. 【详解】如下图所示： 在正三棱台中，取上、下底面中心分别为，外接球球心为， 由正三棱台性质可知在上， 易知上、下底面边长分别为和的正三角形，其外接圆半径分别为； 可得，即； 即， 又，设，则，解得； 所以外接球半径为， 可得则该球的表面积为. 故答案为： 题型七、正棱锥、圆锥的外接球模型 1．（24-25高一下·天津滨海新区·期中）已知正三棱锥的底面边长为6，侧棱长为，则该三棱锥的外接球的表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】作出图形，求出正三棱锥的高，找出外接球球心，设外接球半径为，根据勾股定理列出关于的等式，解出的值，结合球体表面积公式可求得结果. 【详解】在正三棱锥中，正的边长为，如下图所示： 取线段的中点，连接，则， 因为，， 设点在底面的射影为点，则为正的中心，且， ， 设正三棱锥的外接球球心为，则在直线上， 设球的半径为，则， 由勾股定理可得，即，解得， 因此，该正三棱锥的外接球的表面积为. 故选：A. 2．（24-25高一下·山东聊城·月考）已知一个正四棱锥的底面边长为，高为，若该四棱锥的顶点都在球的球面上，则球的体积等于（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】如图，利用正四棱锥的特征，过作棱锥的高，过球心且交于与的交点，连接，设球的半径为，在中，利用勾股定理构建方程，即可求出球的半径，求得球的体积. 【详解】如图，正四棱锥外接于球， 过作棱锥的高，过球心且交于与的交点， 连接，设球的半径为， 则，， 且， 所以， 即，解得， 所以球的体积为.    故选：A 3．（24-25高一下·云南·月考）已知一圆锥的底面半径和高都等于1，则它的外接球的体积________． 【答案】/ 【分析】首先利用勾股定理求出外接球的半径，进而根据球的体积公式即可求出外接球的体积. 【详解】根据勾股定理可得：. 将代入得：. 解得. 所以圆锥的外接球的体积为. 故答案为：. 4．（24-25高一下·四川成都·期末）已知某圆锥的侧面展开图是一个半径为的半圆，则这个圆锥的外接球体积为_____________. 【答案】 【分析】由圆锥的侧面展开图是一个半径为2的半圆知，圆锥的轴截面为边长为2的正三角形，由此作出圆锥的外接球的草图，根据勾股定理即可求出外接球半径，然后再根据球的体积公式，即可求出结果． 【详解】由于圆锥的侧面展开恰为一个半径为2的半圆， 所以圆锥的底面圆周长为，母线长为2， 所以圆锥底面圆的半径，圆锥的高为， 所以圆锥的轴截面为边长为2的正三角形， 作出圆锥的外接球的草图，如下： 则，设外接球的半径为，则， 在中，， 所以，解得， 所以圆锥的外接球的体积为． 故答案为：. 题型八、垂面模型（含线面、面面垂直）（重点） 1．（24-25高一下·辽宁朝阳·期末）在四面体中，平面，则该四面体的外接球的表面积为______． 【答案】/ 【分析】由题意作图，根据外接球的性质确定球心位置，利用余弦定理、正弦定理以及勾股定理，结合球的表面积公式，可得答案. 【详解】由题意，取的外接圆圆心为，取的中点为，空间中取点， 连接，其中，平面，如下图： 则点是三棱锥的外接圆圆心， 在中，由余弦定理可得， 即，所以， 因为平面，平面，所以， 又，则在平行四边形中，， 易得，则外接球表面积为. 故答案为：. 2．（24-25高一下·辽宁丹东·期末）已知等边的边长为，是边上的高，以为折痕将折起，使，则三棱锥外接球的表面积为______. 【答案】52π 【分析】由题可得三棱锥为侧棱垂直于底面的三棱锥，据此可由图确定外接球球心，据此可得答案. 【详解】由题，折叠后可得，又平面， 则易得平面. 设为外接圆圆心，过做平面垂线， 则垂线上所有点到顶点距离相等.又垂线与平行，从而垂线与共面， 过A做垂线的垂线，垂足为，则易得四边形为矩形. 取中点为，则，从而为三棱锥外接球球心. 易得，由正弦定理可得， 则外接球半径满足. 则外接球的表面积为. 故答案为：. 3．（2026高一·全国·专题练习）如图，在四面体中，平面平面，侧面是等边三角形，底面是等腰直角三角形，，则四面体的外接球的体积是____. 【答案】 【分析】分别求出和外接圆的圆心，利用几何关系寻找外接球球心和外接圆圆心的数量关系，即可得到外接球的半径. 【详解】 因为是等腰直角三角形，设的外接圆圆心为，因为，，则的外接圆半径， 因为侧面是等边三角形，设其外接圆圆心为，半径为， 由正弦定理可得，解得， 因为平面平面， 过作平面的垂线，过作平面的垂线， 两垂线的交点即为四面体外接球的球心， 设球心到平面的距离为，则等于的外接圆的圆心到的距离， 在等边三角形中，到的距离为，即， 所以外接球的半径， 所以. 4．（24-25高一下·山东威海·期末）已知三棱锥的各顶点都在表面积为的球面上，平面，，，，则该三棱锥的体积为_______． 【答案】/ 【分析】设三棱锥的外接球半径为，外接圆半径为，圆心为，由题意先求，利用正弦定理求，利用勾股定理求，进而得，利用余弦定理求，最后利用三棱锥的体积公式即可求解. 【详解】设三棱锥的外接球半径为，外接圆半径为，圆心为， 所以，又，， 由正弦定理有， 过作平面，则，所以， 所以， 在中，由余弦定理有， 即，化简整理有，解得， 所以， 所以， 故答案为：. 5．如图，在直角梯形中，，，将沿直线翻折至的位置，当三棱锥的体积最大时，则三棱锥的外接球的表面积为_________． 【答案】 【分析】根据题意，当三棱锥的体积最大时，平面平面，取的中点，证得平面，可求得，在直角中，得到，得到为三棱锥外接球的球心，再由求得面积公式求解即可. 【详解】如图所示，设点到平面的距离为， 因为，且为定值， 所以当三棱锥的体积最大时，只需取得最大值， 此时平面平面，取的中点，连接． 因为且， 所以且， 因为平面平面，且平面，所以平面， 取的中点为，连接，因为平面，所以， 因为在梯形中，，， 所以，则，所以， 且，在直角中，， 在直角中，根据直角三角形的中线性质，， 所以，即为三棱锥外接球的球心， 设三棱锥外接球的半径为，则， 所以． 故答案为：. 题型九、内切球 1．（24-25高一下·广东江门·期末）棱长为2的正方体的内切球的表面积为（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据正方体内切球的性质，求出内切球半径，计算表面积； 【详解】易知正方体内切球的半径是正方体棱长的一半，所以内切球半径为1，则表面积为； 故选：B. 2．已知某圆锥的轴截面是边长为6的等边三角形，则该圆锥的内切球的表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用轴截面的性质及平面几何知识即可求出内切球半径，再根据球的表面积公式即可求解. 【详解】如图，设该圆锥内切球的球心为，半径为， 球切该圆锥的母线于点，为该圆锥底面圆的圆心， 则，，因为，所以，又， ，则，解得， 故该圆锥的内切球的表面积为. 故选：C 3．已知一圆台内切球与圆台各个面均相切，记圆台上、下底面半径为，若，则圆台的体积与球的体积之比为（    ） A． B． C．2 D． 【答案】A 【分析】根据相切，可得，即可得，进而根据体积公式即可求解. 【详解】如图为该几何体的轴截面， 其中圆是等腰梯形的内切圆， 设圆与梯形的腰相切于点，与上、下底的分别切于点， 设球的半径为，圆台上下底面的半径为．注意到与均为角平分线， 因此，从而，故． 设圆台的体积为，球的体积为，则 故选：A． 4．已知正四棱锥的底面边长为4，高为6，则该正四棱锥的内切球半径为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先确定球心的位置，在正四棱锥中，球心在高线上，再利用等体积法，求解内切球的半径； 【详解】 ； 其中，， 由于 ； 则，； 故选：B. 5．已知某正三棱柱既有内切球又有外接球，外接球的表面积为，则该三棱柱的体积为____ . 【答案】 【分析】点为等边的中心，点为的中点，设，即底面三角形的内切圆的半径，由题意可知正三棱柱的高，求出外接球的半径，结合球的表面积可得，进而可求正三棱柱的体积. 【详解】如图，点为等边的中心，点为的中点， 设，则，， 则的内切圆的半径为， 因为此正三棱柱既有内切球又有外接球，设为正三棱柱内切球的球心， 则点也是外接球的球心，由内切球的半径为，可得， 则正三棱柱的高， 正三棱柱的外接球的半径， 因为外接球的表面积为，则，解得， 所以该三棱柱的体积. 故答案为：. 6．（24-25高一下·广东汕头·期中）已知正四面体的表面积为，此四面体的内切球的表面积为，则＝______． 【答案】 【分析】设四面体的棱长为，求出正四面体的高，可得其体积，设正四面体的内切球半径为利用等体积法可得则,从而得到内切球的半径即可求解. 【详解】设四面体的棱长为，则底面三角形的高为，且底面中心将底面三角形的高分为两段， 所以底面中心到顶点的距离为可得正四面体的高为， 所以正四面体的体积 设正四面体的内切球半径为则， 所以内切球表面积，又正四面体的表面积， 所以 7．（2026高一·全国·专题练习）如图，在棱长为4的正四面体中，大球内切于该正四面体，小球与大球及正四面体的三个侧面相切，则小球的表面积为________. 【答案】/ 【分析】根据条件作出图形，利用正四面体的结构特征及锥体的体积公式求出两个球的半径，进而求出球的表面积. 【详解】在正四面体中，平面，四点共线， 点是的中点，连结，切点在上，    由正四面体的棱长为4，得，，则， 设球的半径为，由，得， 设球的半径为，则，即，解得， 所以小球的表面积为. 故答案为： 1．（24-25高一下·贵州六盘水·期末）已知三棱锥，两两垂直，，，，则三棱锥外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题知根据墙角模型可把三棱锥补形成长方体，求长方体外接球即可． 【详解】因两两垂直， 故三棱锥的外接球即是以，，，为棱长的长方体的外接球， 故球的半径为，则球的表面积为. 故选：A. 2．（23-24高一下·重庆·期末）四棱锥中，平面ABCD，四边形为矩形，，，若四棱锥的外接球的表面积为，则（    ） A．3 B．6 C．2 D．2.5 【答案】A 【分析】首先根据题意将四棱锥中补全成长方体，根据表面积可得球半径，再求长方体的外接球半径即可． 【详解】将四棱锥中补全成长方体，如图所示： 所以四棱锥的外接球即为长方体的外接球． 由于四棱锥的外接球的表面积为，故球半径满足，故， 则外接球的半径为， ． 故选：A． 3．已知三棱锥中，且 AB = CD =，BC = AD = ，AC = BD =，则该三棱锥外接球的表面积为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将三棱锥补成长方体，利用长方体的体对角线与三棱锥外接球直径的关系，求出外接球半径，进而求出外接球的表面积. 【详解】将三棱锥补成长方体，如图， 设长方体的长、宽、高分别为， 由于三棱锥的棱长满足，，， 根据长方体面对角线的性质，可得，即， 所以长方体的体对角线长为，因此三棱锥的外接球直径，所以， 所以外接球的表面积. 故选：A 4．（24-25高一下·陕西渭南·期末）已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上，平面，且，，则球的体积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，把三棱锥可补成一个长方体，设三棱锥的外接球的半径为，利用长方体的对角线长等于外接球的直径，求得，结合球的体积公式，即可求解. 【详解】在三棱锥中，因为平面，且，，， 则三棱锥可补成如图所示的一个长方体， 其中三棱锥的外接球与该长方体的外接球为同一个球， 在直角中，可得， 设三棱锥的外接球的半径为， 可得，所以， 则球的体积为. 故选：B. 5．已知直三棱柱中，，该三棱柱所有顶点都在球的球面上，则球的体积为（） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将直棱柱补全成长体即可知道其外接球直径，进而可求其体积. 【详解】如图所示，将直三棱柱补全成长方体， 则长方体的体对角线为该三棱柱外接球的直径， 所以其半径为 球O的体积为， 故选：． 6．（23-24高一下·浙江杭州·期中）一个四面体的所有棱长都为，四个顶点在同一球面上，则此球的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】四面体的所有棱长都为的四面体是正四面体，将正四面体放入正方体中，即可求解. 【详解】因为四面体是正四面体，所以正四面体放入正方体中，正四面体的外接球就是正方体的外接球， 故正方体的棱长为，外接球半径为， 所以. 故选：C. 7．（24-25高一下·浙江杭州·期中）已知正三棱锥，则该三棱锥的外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用正三棱锥的外接球球心在其高线上，再利用勾股定理由方程来求解半径，即可求外接球的表面积. 【详解】 根据正三棱锥的性质，可知外接球球心必在正三棱锥的高线上，连接， 由等边三角形，其边长，可知， 再由勾股定理得：， 设外接球半径为，结合勾股定理： 可得：，解得：， 由于，所以外接球球心在高线的延长线上，但仍然满足上述方程， 故该外接球的半径仍为， 所以该外接球的表面积为：， 故选：A 8．已知圆台的上底面积，下底面积分别为，体积为，则该圆台的外接球表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据圆台的底面面积和体积公式，求得圆台的底面圆半径以及高；再根据外接球球心的几何特点，列出等量关系，进而求得球半径，再求球的表面积即可. 【详解】设该圆台的上底面和下底面半径分别为，高为； 由题可知：，，解得； 设圆台上底面、下底面圆心为，外接球球心为，球半径长度为， 显然，球心在的连线上，设，根据题意，作图如下所示：    若要满足题意，则，也即，，解得， 故，则该圆台外接球表面积. 故选：B. 9．已知直三棱柱的6个顶点都在球的球面上，若，则该三棱柱的外接球的体积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用直三棱柱的对称性得到其外接球的球心为的中点，再利用正余弦定理求得底面外接圆的半径，结合球的截面性质求得外接球的半径，从而得解. 【详解】设的外心为，的外心为，连接，如图所示， 由题意可得该三棱柱的外接球的球心为的中点． 在中，由余弦定理可得 ，则， 由正弦定理可得外接圆的直径，则， 而球心O到截面ABC的距离， 设直三棱柱的外接球半径为， 由球的截面性质可得，故， 所以该三棱柱的外接球的体积为， 故选：B． 10．（24-25高一下·广东深圳·期末）我国古代举世闻名的数学专著《九章算术》将底面为矩形的棱台称为“刍童”.已知棱台是一个所有侧棱的长相等，高为2的“刍童”，，，则该“刍童”外接球的表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据刍童的几何性可知外接球的球心在四棱台上下底面中心连线上，设球心为，根据几何关系求出外接球半径即可求其表面积 【详解】 如图，连接，设，连接． ∵棱台侧棱相等，∴易知其外接球球心在线段所在直线上， 设外接球球心为，易得， 因为，则球心不可能在线段之间，其位于的延长线上， 如图所示： 由得，解得，故, ∴外接球表面积为． 故选：C. 11．已知一个圆台的上、下底面半径分别为2和4，母线长为6，则此圆台外接球与内切球表面积之比为（    ） A．2 B． C． D．3 【答案】C 【分析】利用轴截面图形，把空间问题转化为平面问题，再利用解三角即可得解. 【详解】取圆台轴截面如图所示， 外接球球心在中轴线上． 由勾股定理可知，，设，， 则, 解得． 先设的中点到的距离为， 再用等面积法可得：， 则有：， 此时， 从而可知内切球半径， 所以，该圆台外接球和内切球表面积之比为， 故选：C． 12．（24-25高一下·浙江衢州·期末）在中，，平面，且，则三棱锥外接球的表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据正弦定理计算可得外接圆的半径，进而可得三棱锥外接球的半径，再根据球的表面积公式计算即可. 【详解】由已知得，作下图， 设外接圆的半径为， 已知，，. 根据正弦定理可得，解得 . 因为平面，所以三棱锥外接球的球心到平面的距离=1， 所以外接球半径. 所以三棱锥外接球的表面积为. 故选：C 13．（24-25高一下·河北·月考）已知正四棱锥的底面边长为3，高为，则其内切球体积是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据正四棱锥的轴截面，转化成等腰三角形的内切圆问题，转化为直角三角形，运用勾股定理解出内切球半径. 【详解】 设正四棱锥内切球球心为，其在底面的投影为，则三点共线，内切球半径为， 取中点，中点，则正四棱锥内切球半径即为的内切圆半径， 因为底面边长为，所以，， 因为高为，即，则， 所以， 在中，即，解得， 则其内切球体积是 故选：B. 14．已知某圆锥的侧面展开图是一个面积为的半圆，在该圆锥内置球的体积最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用扇形弧长公式和面积公式，即可求解弧长和底面半径，再借助内切球的性质，可解得内切球半径，从而问题得解. 【详解】设圆锥的底面半径为，高为，母线长为， 则由题意可得：，由勾股定理可得：， 设圆锥的内切球半径为，如图可知：， 由勾股定理可得：， 解得：， 所以该圆锥内置球的半径最大值为，即此时体积为：， 故选：C 15．在矩形ABCD中，，，沿AC将矩形ABCD折成一个直二面角，则四面体ABCD的外接球的表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】中点到四面体的四个顶点、、、的距离相等，是四面体的外接球的球心，再求出球半径及表面积. 【详解】如图 设AC的中点为O，由矩形ABCD可知点O到四面体的每个顶点的距离都相等，为， 则点O即为四面体外接球的球心，所以四面体ABCD的外接球的半径为， 则四面体ABCD的外接球的表面积为． 故选：B. 16．（24-25高一下·四川资阳·期末）如图，在三棱锥中，平面，，，则该三棱锥外接球的体积为（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据正弦定理求出的外接圆的圆心，确定球心的位置，利用勾股定理列式求出球的半径，再根据球的体积公式即可求解. 【详解】如图，设三棱锥外接球的球心为点，的外接圆的圆心为点， 连接，则，设的外接圆的半径为， ，可得，即， 因为平面，， 所以， 所以三棱锥外接球的半径， 所以三棱锥外接球的体积为.    故选：. 17．（24-25高一下·浙江温州·期中）在《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称为鳖臑.已知在鳖臑中，，平面，当该鳖臑的外接球的表面积为时，则它的内切球的半径为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用已知条件将三棱锥放入长方体中可求出三棱锥的高，再利用等体积法即可求解. 【详解】 根据已知条件可以将三棱锥放在长方体中，如图， 三棱锥 的外接球即为长方体的外接球， 设三棱锥 的外接球的半径为，内切球的半径为， 三棱锥 的外接球的表面积为，，， ，，解得， ， ，， 三棱锥 的表面积为 ， 又，，故选：C. 18．已知四边形中，，，．现将沿边翻折，使点翻折到点，若平面平面，则三棱锥外接球的表面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，分别求得和的外接圆的半径，设和的外接圆的圆心分别为，外接球的半径为，取的中点，连接，结合球的截面的性质，求得,进而求得球的表面积，得到答案. 【详解】在中，设其外接圆的半径为，可得，所以， 在中，设其外接圆的半径为，可得，所以， 可得两个小圆的半径相等，且都是，且互相垂直的两个小圆面相交弦， 设和的外接圆的圆心分别为，外接球的半径为， 取的中点，连接，可得， 在直角中，可得, 所以外接球的表面积是．故选：B. 19．已知三棱锥的所有顶点都在一个球面上且平面，，，且底面的面积为，则此三棱锥外接球的表面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用的面积计算边，利用正弦定理得 外接圆的半径，最后利用勾股定理求得外接球的半径，进而得球队表面积. 【详解】设 ，因为 ， 所以 ， ， 而 ，所以 于是是 外接圆的半径， ， 如图所示 记点为的外接圆的圆心．且， 过点作平面，作的中垂线交于点， 故点为三棱锥的外接球的球心， 所以 所以， 故选：C． 20．已知三棱锥的每个顶点都在球的球面上，平面平面，，，，，则球的体积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分别过外心，外心，做平面PBC，平面ABC垂线，交点为O，则O为球心，然后结合题目数据可得答案. 【详解】因，则为直角三角形，取AB中点为，则为外心. 取BC中点为D，连接PD，则外心在PD上. 因，则，又平面平面，平面平面，平面，则平面. 连接，因平面，则， 现分别过外心，外心，做平面PBC，平面ABC垂线，交点为O， 因过三角形外心垂直于三角形所在平面上的垂线上的点到三角形顶点距离相同， 则两垂线交点O到三棱锥各顶点距离相同，即O为球心. 又注意到，则四边形为矩形. 因，，，则. 则，，得在外. 因为外心，则，设， 则，则. 又，，则，则球体半径为3， 故球体体积为：. 故选：B 【点睛】结论点睛：对于有两个侧面垂直的三棱锥，其外接球半径， 其中为两侧面外接圆半径，为两侧面公共棱长度. 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $