专题2认识概率易错必刷题型专项训练 2025-2026学年苏科版八年级下册数学期末复习专项

**基本信息** 聚焦初中概率10类高频易错题型，以“易错点+解题技巧”构建方法体系，按“概念辨析-计算应用-综合拓展”逻辑递进，培养抽象能力与数据观念。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |10类高频题型|每题型含3-8题，压轴题8道|针对事件分类、概率计算等核心题型，提炼定义辨析法、公式法、频率估算法等技巧|从事件概念（必然/随机）到概率计算，再到频率与概率关系，形成完整认知链条|

【温馨提示】本专题共10类高频必考题型，作为初中概率入门核心内容，学生易混淆随机、必然、不可能事件，分不清频率与概率本质，计算易漏基本事件。本专题梳理各类易错痛点，总结通用解题技巧，夯实概率基础，突破期末难点。 专题2 认识概率易错必刷题型专项训练 【题型1 事件的分类】 【题型6 求某事件的概率】 【题型2 判断事件发生的可能性的大小】 【题型7 关于频率与概率关系说法的正误】 【题型3 判断实验所得结果是否是等可能的】 【题型8 由频率估计概率】 【题型4 概率的意义理解】 【题型9 用频率估计概率的综合应用】 【题型5 判断几个事件概率的大小关系】 【题型10 概率压轴题7道】 【题型1 事件的分类】 易错点：混淆必然事件、不可能事件、随机事件概念；主观判断事件结果，忽略客观条件。 解题技巧：一定发生为必然事件，一定不发生为不可能事件，可能发生也可能不发生为随机事件；严格依据客观事实分类，不凭主观直觉判断。 1．“数学课本共196页，某同学随手翻开，恰好翻到第98页”，这个事件是（    ） A．必然事件 B．不可能事件 C．随机事件 D．以上都不正确 【答案】C 【分析】必然事件指在一定条件下一定发生的事件，不可能事件指在一定条件下一定不发生的事件，随机事件指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．根据事件发生的可能性大小判断即可． 【详解】解：∵本题中数学课本共196页，第98页存在，随手翻开书页时，可能恰好翻到第98页，也可能翻不到， ∴该事件是随机事件． 2．下列成语故事所描绘的情景事件中，是不可能事件的是（   ） A．守株待兔 B．百发百中 C．水中捞月 D．水滴石穿 【答案】C 【详解】解：、守株待兔，事件可能发生也可能不发生，是随机事件，不符合要求； 、百发百中，事件可能发生，是随机事件，不符合要求； 、水中捞月，水中只有月亮的倒影，不可能捞到月亮，该事件一定不会发生，是不可能事件，符合要求； 、水滴石穿，长期作用下该事件一定会发生，是必然事件，不符合要求． 3．以下事件为随机事件的是（     ） A．篮球队员在罚球线上投篮一次，未投中 B．通常加热到时，水沸腾 C．任意画一个三角形，其内角和是 D．明天太阳从东方升起 【答案】A 【分析】根据随机事件定义逐一判断各选项即可得到结果． 【详解】解：必然事件指一定发生的事件，不可能事件指一定不发生的事件，随机事件指可能发生也可能不发生的事件， 选项A：篮球队员在罚球线上投篮一次，未投中，结果不确定，可能发生也可能不发生， ∴ 该事件是随机事件，A符合题意； 选项B：通常加热到时，水一定沸腾，是一定会发生的事件， ∴该事件是必然事件，B不符合题意； 选项C：任意三角形的内角和为，不可能是，是一定不发生的事件， ∴该事件是不可能事件，C不符合题意； 选项D：明天太阳从东方升起是一定会发生的事件， ∴该事件是必然事件，D不符合题意． 4．一个不透明的袋子中装有3个除颜色外完全相同的小球，其中有2个黄球、1个白球．从袋子中任意摸出一个球，能摸到红球的事件是（     ） A．确定性事件 B．随机事件 C．必然事件 D．不可能事件 【答案】D 【分析】先明确袋子中球的颜色组成，再根据不同事件的定义判断该事件的类型． 【详解】解：∵袋子中只有2个黄球和1个白球，不存在红球， ∴从袋子中任意摸出一个球，一定不可能摸到红球，因此摸到红球的事件是不可能事件． 【题型2 判断事件发生的可能性的大小】 易错点：仅凭主观感受判断可能性；无法结合条件量化对比可能性大小。 解题技巧：可能性大小由符合条件的情况数量决定；情况数越多，发生可能性越大；无数量依据时，依据客观规则理性判断，杜绝主观臆断。 5．盒子里有仅颜色不同的100个球，其中绿球有5个，黄球有12个，黑球有3个，其余为红球，小辰从中任意摸出一个球，摸到球的可能性最大的是（   ） A．绿球 B．黄球 C．红球 D．黑球 【答案】C 【分析】本题根据可能性大小的判断方法解题，哪种颜色的球数量越多，摸到该颜色球的可能性越大，先计算出红球的数量，再比较四种颜色球的数量大小即可得到结论. 【详解】∵总球数为100个，绿球5个，黄球12个，黑球3个， ∴红球数量为 个， ∵ ，即红球数量最多， ∴摸到红球的可能性最大. 6．下列成语描述的事件中，发生的可能性最小的是（    ） A．瓜熟蒂落 B．大海捞针 C．水中捞月 D．百发百中 【答案】C 【分析】只需判断每个成语对应事件的类型，比较发生概率的大小即可得到结果． 【详解】解：∵瓜熟蒂落是必然事件，发生概率为，百发百中是随机事件，大海捞针是随机事件，发生概率大于0小于1，水中捞月是不可能事件，发生概率为0， ∴水中捞月发生的可能性最小． 7．一个小正方体的6个面分别标有1、2、2、3、3、3任意掷一次，掷出数字( )的可能性最大． 【答案】3 【分析】先统计每个数字在小正方体面上出现的次数，根据等可能事件可能性大小的判断规则，对应结果数量越多的数字，掷出的可能性越大，比较各数字的结果数即可得到结论． 【详解】解：小正方体共有个面，任意掷一次，共有种等可能的结果， 其中数字占个面，对应种结果，数字占个面，对应种结果，数字占个面，对应种结果， ∵，数字对应的结果数最多， ∴掷出数字的可能性最大． 8．如图所示的转盘，被分成面积相等的四个扇形，分别涂有红、黄、蓝三种颜色．固定指针，自由转动转盘，停止后指针所指区域的颜色为______色的可能性最大（填“红”“黄”或“蓝”）． 【答案】黄 【分析】根据转盘被分为面积相等的4个扇形，对三种颜色的扇形数量进行比较即可判断． 【详解】解：∵转盘被分为面积相等的4个扇形， ∴转盘停止后指针指向4个扇形区域的可能性相等， ∵其中红色的扇形有1个、黄色的扇形有2个、蓝色的扇形有1个，即黄色的扇形数量最多， ∴停止后指针所指区域的颜色为黄色的可能性最大． 【题型3 判断实验所得结果是否是等可能的】 易错点：误以为所有随机实验结果都等可能；忽略每个结果出现概率均等的核心条件。 解题技巧：等可能实验必须满足：所有结果有限、每个结果出现概率完全相等；结果概率不均、存在权重差异的实验，均不属于等可能实验。 9．在抛掷一枚质地均匀的硬币的试验中，如果没有硬币，则下列不能作为替代物进行试验的是（   ） A．一枚均匀的正方体骰子 B．两张不同的扑克 C．两张不同的卡片 D．一枚图钉 【答案】D 【分析】替代物需要满足和原抛硬币试验一致，即能产生两种概率相等的结果，据此判断各选项即可． 【详解】原抛硬币试验中，有正面向上、反面向上两种等可能结果，每种结果发生的概率为，替代物需满足两种结果发生概率相等． 选项A，均匀正方体骰子，点数为奇数、偶数的结果各3种，概率均为，可分别对应硬币正反，能用作替代物； 选项B，两张不同扑克，任意抽取一张，抽到每张的概率均为，可对应硬币正反，能用作替代物； 选项C，两张不同卡片，任意抽取一张，抽到每张的概率均为，可对应硬币正反，能用作替代物； 选项D，抛掷图钉时，钉尖朝上与钉帽朝上的概率不相等，不满足两种结果等可能的要求，因此不能作为替代物． 10．抛掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上和反面朝上的可能性（    ） A．正面朝上的可能性大 B．反面朝上的可能性大 C．相等 D．无法确定 【答案】C 【分析】本题考查等可能事件的概率概念，根据质地均匀硬币的性质即可判断结果． 【详解】∵抛掷质地均匀的硬币，仅存在正面朝上和反面朝上两种结果，且两种结果出现的概率相同， ∴正面朝上和反面朝上的可能性相等； 故选：C． 11．下列随机事件属于“等可能性事件”的是（   ） A．交通信号灯出现红色、绿色、黄色 B．掷一枚图钉，落地后钉尖“朝上”或“朝下” C．小明用随机抽签的方式选择、、三种答案，分别选中、、 D．小亮在沿着“直角三角形”的小路散步，他出现在各边上 【答案】C 【分析】本题主要考查了等可能性事件， 等可能性事件需每个结果概率相等，再逐项判断即可． 【详解】解：∵交通信号灯红、绿、黄灯时间通常不相等， ∴概率不相等，A不是等可能性事件； ∵图钉结构不对称，钉尖朝上和朝下概率不相等， ∴B不是等可能性事件； ∵随机抽签方式选择A、B、C，每个被选中的概率均为， ∴C是等可能性事件； ∵直角三角形三边长度可能不相等，出现在各边上的概率不相等， ∴D不是等可能性事件． 故选：C． 12．下列随机试验中，结果具有“等可能性”的是（    ） A．掷一枚质地均匀的骰子 B．篮球运动员定点投篮 C．掷一个矿泉水瓶盖 D．从装有若干小球的透明袋子摸球 【答案】A 【详解】解：A，掷一枚质地均匀的骰子，任一点数的概率都是六分之一，故该选项正确； B，篮球运动员定点投篮，投中与否的概率并不相等，故该选项错误； C，掷一个矿泉水瓶盖，因瓶盖质地不均匀，正反面出现的概率并不相等，故该选项错误； D，从装有若干小球的透明袋子摸球，摸到某一颜色小球的概率不一定相等，故该选项错误； 故选A． 【点睛】本题考查等可能事件的判断，掌握等可能事件的定义是解题的关键． 【题型4 概率的意义理解】 易错点：误解概率为必然结果；认为概率极小事件不会发生、概率极大事件一定发生。 解题技巧：概率是事件发生的可能性大小，仅反映趋势；概率不为0就有可能发生，概率不为1就有可能不发生，不代表绝对结果。 13．下列说法正确的是(    ) A．天气预报说明天降水概率非常大，则明天会下雨是必然事件 B．某彩票中奖率为，小明买了4张这种彩票，前3张都没有中奖，则最后一张中奖的概率仍为 C．任意抛掷一枚图钉10次，针尖全都向上，则抛掷一枚图钉针尖向下为不可能事件 D．射击运动员射击一次只有2种可能的结果：中靶或脱靶，所以他中靶的概率为 【答案】B 【分析】本题考查事件的分类与概率的基本概念，根据相关定义逐项判断即可． 【详解】解：A． ∵降水概率大仅说明明天下雨的可能性较高，明天下雨属于随机事件，不是必然事件，∴A说法错误，不符合题意； B． ∵每张彩票的中奖概率相互独立，不受其他彩票结果影响，中奖率表示每张彩票的中奖概率均为，∴最后一张中奖的概率仍为，B说法正确，符合题意； C． ∵10次抛掷的结果不能改变事件的性质，抛掷图钉针尖向下仍是随机事件，不是不可能事件，∴C说法错误，不符合题意； D． ∵射击一次中靶和脱靶不是等可能事件，因此中靶的概率不等于，∴D说法错误，不符合题意； 故选：B． 14．商场举行摸奖促销活动，对于“抽到一等奖的概率为0.01”．下列说法正确的是（　  　） A．抽101次不可能没有抽到一等奖 B．抽100次奖必有一次抽到一等奖 C．抽一次也可能抽到一等奖 D．抽了99次如果没有抽到一等奖，那么再抽一次肯定抽到一等奖 【答案】C 【分析】概率是描述事件发生可能性大小的量，不代表事件一定发生或一定不发生，每次抽奖为独立事件，据此判断选项即可． 【详解】解：∵抽到一等奖的概率为0.01，说明每次抽奖都有0.01的可能性抽到一等奖，可能性小但仍可能发生，且每次抽奖结果相互独立； ∴A选项：抽101次也可能没有抽到一等奖，A错误； B选项：抽100次不一定必有一次抽到一等奖，B错误； C选项：抽一次也可能抽到一等奖，C正确； D选项：前99次没抽到，第100次抽到一等奖的概率仍为0.01，不是肯定抽到，D错误． 15．根据天气预报，某市明天下大雨的概率是．下列说法正确的是（     ） A．该市明天将有的地区下大雨 B．该市明天将有的时间下大雨 C．该市明天下大雨的可能性较大 D．该市明天肯定会下大雨 【答案】C 【详解】解：根据概率的定义，概率是衡量随机事件发生可能性大小的量，不代表地区、时间的占比，也不代表事件一定发生， ∵该市明天下大雨的概率是，且， ∴该市明天下大雨的可能性较大， A选项将概率理解为地区占比，错误；B选项将概率理解为时间占比，错误；D选项认为概率意味着一定下雨，错误，因此只有C正确． 16．下列说法正确的是（） A．种植一种花卉成活率是，则种100株这种花一定会有95株成活 B．天气预报“明天降水概率是”，是指明天有的时间会下雨 C．某位体育老师参加深圳市半程马拉松比赛一定能获得大奖 D．随机掷一枚质地均匀的骰子，若前3次都掷出“1”，则第4次仍然可能掷出“1” 【答案】D 【分析】根据概率表示事件发生可能性大小的定义，逐一判断各选项即可． 【详解】解：A、∵成活率只表示这种花卉成活的可能性为，种植100株不一定会有95株成活，∴A错误； B、∵“明天降水概率是”指明天降水的可能性为30%，不是30%的时间会下雨，∴B错误. C、∵体育老师参加马拉松比赛获得大奖是随机事件，不是必然事件，不一定能发生，∴C错误； D、∵掷质地均匀的骰子是独立随机事件，每次掷出的结果互不影响，前3次掷出1后，第4次仍然可能掷出1，∴D正确． 【题型5 判断几个事件概率的大小关系】 易错点：未计算概率直接比较；对比时遗漏总事件总数，导致判断失误。 解题技巧：概率大小对比核心：同一实验看符合条件事件数，不同实验需计算具体概率；结合总事件数统一对比，避免片面判断。 17．估计下列事件发生的可能性的大小，①从装有1个红球和2个黄球的袋子中摸出的1个球是白球；②抛掷1枚质地均匀的骰子，向上一面的点数是偶数；③调查商场中的1位顾客，他是闰年出生的；④随意调查一位青年，他接受过九年制义务教育；⑤在地面上抛掷1个小石块，石块会落下．将这些事件的序号按发生的可能性从大到小的顺序排列，正确的是（    ） A．①②③④⑤ B．⑤④③②① C．⑤④②③① D．④⑤③②① 【答案】C 【分析】本题主要考查了按事件类型确定概率，掌握事件类型的判断与概率计算是解题的关键． 先判断每个事件的类型（必然事件、不可能事件、随机事件），再确定或估计其发生的可能性大小，最后按从大到小排序。 【详解】解：①袋子中没有白球，则摸出白球是不可能事件，发生的可能性为0， ②抛掷质地均匀的骰子，点数为偶数的有2、4、6共3种，总共有6种等可能结果，则发生的可能性为， ③每4年有1个闰年，则顾客闰年出生的可能性约为， ④当前青年基本都接受过九年制义务教育，则发生的可能性接近1， ⑤在地面抛掷石块，石块落下是必然事件，则发生的可能性为1， ∴事件发生的可能性从大到小的顺序为⑤④②③①． 故选：C． 18．下列说法错误的是（   ） A．必然事件发生的概率为1 B．确定性事件发生的概率为1 C．不可能事件发生的概率为0 D．随机事件发生的概率介于0和1之间 【答案】B 【分析】本题考查了概率的基本概念，理解并掌握必然事件、不可能事件、随机事件、确定性事件定义是解题的关键． 根据必然事件概率为，不可能事件概率为，随机事件概率在和之间。确定性事件包括必然事件和不可能事件，理解即可求解． 【详解】解：、必然事件概率为，这种说法正确，故选项不符合题意； 、确定性事件包括必然事件和不可能事件，必然事件概率为，不可能事件概率为，故这种说法错误，故选项符合题意； 、不可能事件概率为，这种说法正确，故选项不符合题意； 、随机事件发生的概率介于和之间，这种说法正确，故选项不符合题意． 故选：． 19．如图，等边三角形由9个全等的小等边三角形组成，随机往内投一粒米，落在阴影区域的概率__________落在非阴影区域的概率．（填“大于”“小于”或“等于”） 【答案】小于 【分析】设每个小等边三角形的面积为，对阴影区域的面积和非阴影区域的面积进行大小比较即可． 【详解】解：设每个小等边三角形的面积为， ∴阴影区域的面积为，非阴影区域的面积为， ∴阴影区域的面积小于非阴影区域的面积， ∴随机往内投一粒米，落在阴影区域的概率小于落在非阴影区域的概率． 20．有如下两个事件：①明天会下雨；②13名同学中一定有2名同学的生日在同一个月，把这两个事件的序号按发生的可能性从小到大排列____． 【答案】 ①② 【分析】先判断两个事件的类型，得到两个事件发生的概率范围，再比较概率大小，即可完成排序. 【详解】解：事件①“明天会下雨”是随机事件，随机事件发生的概率满足； 一年共有12个月份，事件②“13名同学中一定有2名同学的生日在同一个月”是必然事件，必然事件发生的概率为； ∴，按发生的可能性从小到大排列为. 【题型6 求某事件的概率】 易错点：数错总事件数、符合条件事件数；遗漏部分情况，计算约分失误。 解题技巧：固定公式：P(事件)=符合条件事件数÷总等可能事件数；枚举所有情况，不重不漏，计算后约分至最简分数。 21．小星做掷一枚质地均匀的骰子实验，通过大量重复试验，统计了某一结果出现的频率，绘制出如图所示的统计图，符合这一结果的试验可能是（    ） A．出现数字为2点朝上的频率 B．出现数字为3朝上的频率 C．出现数字为奇数的频率 D．出现数字为2或4的朝上频率 【答案】D 【分析】先得到试验结果的频率，分别计算各选项的频率，进而判断即可． 【详解】解：由统计图可知试验结果的频率逐渐稳定在左右， A．出现数字为2点朝上的概率为，即试验结果的频率逐渐稳定在左右，不符合题意； B．出现数字为3朝上的概率为，即试验结果的频率逐渐稳定在左右，不符合题意； C．出现数字为奇数的概率为，即试验结果的频率逐渐稳定在左右，不符合题意； D．出现数字为2或4的朝上概率为，即试验结果的频率逐渐稳定在左右，符合题意． 22．小明做“用频率估计概率”的试验时，统计了某一结果出现的频率，绘制出的折线统计图如图所示，符合这一结果的试验最有可能是（   ） A．从，，这个数中随机抽到数字的频率 B．一副去掉大小王的扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃的频率 C．抛一枚硬币，出现正面朝上的频率 D．掷一枚质地均匀的骰子，出现点朝上的频率 【答案】D 【分析】根据大量重复实验下的频率即为概率，可依次对各选项进行判断． 【详解】解：选项A：从，，这个数中随机抽到数字的频率约为，不符合题意； 选项B：一副去掉大小王的扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃的频率约为，不符合题意； 选项C：抛一枚硬币，出现正面朝上的频率约为，不符合题意； 选项D：掷一枚质地均匀的骰子，出现点朝上的频率约为，符合题意． 23．如图是一枚图钉被抛起后钉尖触地的频率和抛掷次数变化趋势图，则一枚图钉被抛起后钉尖触地的频率稳定值约是____． 【答案】 【详解】解：随着抛掷次数的增加，钉尖触地频率逐渐稳定在附近， 则一枚图钉被抛起后钉尖触地的频率稳定值约是． 24．今天的日期是：20260423，在这串数字中，0出现的频率是________． 【答案】 【详解】解：这串数字 中，共有个数字，其中数字出现了次，则出现的频率为． 【题型7 关于频率与概率关系说法的正误】 易错点：混淆频率和概率；认为频率等于概率、概率随实验次数变化。 解题技巧：概率是固定理论值，频率是实验统计值；实验次数较少时频率波动大，次数越多，频率越接近概率，二者不可直接等同。 25．某校名师生在操场上进行数学实验，验证“硬币正面朝上的概率是”．部分实验数据如下： 四年级1班2组 五年级 六年级3班 全校 正面数量 2 反面数量 8 正面朝上的频率（保留小数点后4位） 下列说法正确的是（   ） A．连续抛硬币次，不可能次正面朝上 B．连续抛硬币三次，正面朝上的频率一定是 C．在大量重复试验下，正面向上的频率会逐渐稳定在 D．甲班比乙班抛硬币次数多，甲班抛出正面朝上的频率一定更接近 【答案】C 【分析】本题考查频率与概率的关系，根据大量重复试验中频率稳定在概率附近的性质，逐一判断选项即可． 【详解】解：∵抛硬币每次正面朝上都是可能事件，连续抛次次正面朝上是可能发生的，∴A错误； ∵频率是试验得到的结果，不同试验的频率不一定相同，是连续抛三次都为正面朝上的概率，不是固定的频率，∴B错误； ∵根据频率估计概率的性质，大量重复试验下，正面朝上的频率会逐渐稳定在其概率，即附近，∴C正确； ∵试验次数更多仅代表频率更可能接近，并非一定更接近，∴D错误． 26．下列说法正确的是（   ） A．某彩票的中奖概率是，那么买100张彩票一定有5张中奖 B．掷一枚质地均匀的硬币次，正面向上的频率随着的增大，稳定在附近 C．概率很小的事件是不可能事件 D．只要试验的次数足够多，频率就等于概率 【答案】B 【分析】本题考查概率与频率的基本概念，辨析各选项是否符合概率相关定义即可得出答案． 【详解】解：A选项，∵中奖概率表示每张彩票中奖的可能性为，买张彩票是随机事件，不一定有张中奖， ∴A错误． B选项，∵根据频率的稳定性，掷质地均匀的硬币，当试验次数增大时，正面向上的频率会稳定在概率附近， ∴B正确． C选项，∵概率很小的事件仍有可能发生，不可能事件是一定不发生的事件，概率为，∴C错误． D选项，∵当试验次数足够多时，频率会稳定在概率附近，是接近概率，并非等于概率，∴D错误． 27．以下说法正确的是（    ） A．在做用频率估计概率的试验时，只要试验的次数足够多，一定可以得到概率的精确值 B．在做抛瓶盖的试验时，每名同学尽量用相同规格的瓶盖进行试验，然后再汇总全班同学的数据进行估计概率 C．在用频率估计概率时，因为随机事件是否发生是不确定的，每次得到的频率一般是不同的，所以随机事件发生的概率也是不确定的 D．在做抛瓶盖的试验时，如果上一次试验盖口向上，那么进行下一次试验时盖口向上的可能性会减小 【答案】B 【分析】根据频率与概率的关系，逐一判断各选项正误即可． 【详解】解：∵用频率估计概率得到的是概率的近似值，即使试验次数足够多，也无法得到概率的精确值，∴A错误． ∵用相同规格瓶盖可以保证试验条件一致，汇总全班数据增大了试验次数，能提高估计的准确性，符合频率估计概率的试验要求，∴B正确． ∵随机事件发生的概率是固定的确定值，频率是每次试验得到的不确定数值，频率的不确定性不影响概率的确定性，∴C错误． ∵每次抛瓶盖试验都是独立事件，上一次试验的结果不会影响下一次结果发生的可能性大小，∴D错误． 28．在相同条件下的多次重复试验中，一个随机事件发生的频率为，该事件的概率为．下列说法正确的是（   ） A．试验次数越多，越大 B．试验次数越多，越大 C．与都可能发生变化 D．试验次数大量增加时，在附近摆动，并趋于稳定 【答案】D 【分析】概率P是固定值，频率f随试验次数增加在P附近波动并趋于稳定. 本题考查频率与概率的关系，熟练掌握二者的关系是解题的关键. 【详解】解：∵ 概率P是常数，不随试验次数改变； 频率f随试验次数增加而逐渐稳定于P附近. ∴ 选项D正确. 故选：D. 【题型8 由频率估计概率】 易错点：用少量实验次数的频率估计概率；忽略频率稳定值才是近似概率。 解题技巧：只有大量重复实验后，频率稳定的数值才可估计概率；单次、少量实验的频率无参考价值，不能作为概率依据。 29．如图，在平整的地面上有一个不规则图案（图中阴影部分），小明用这个图案进行如下实验，他用一个长方形将不规则图案围起来，然后在适当位置随机地朝长方形区域扔小球，并记录小球落在不规则图案上的次数（球扔在界线上或长方形区域外不计入实验结果），他将若干次有效实验的结果绘制成了如图所示的折线统计图，由此可估计小球落在不规则图案内的概率是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：由统计图可知，随着实验次数的增加，小球落在不规则图案内的频率逐渐稳定在左右， 由频率估计概率可得小球落在不规则图案内的概率应为，选项符合题意． 30．某小组做“用频率估计概率”的试验时，某一结果出现的频率折线图（如图），则符合这一结果的试验可能是（     ） A．抛一枚硬币，出现正面朝上 B．掷一个正六面体的骰子，出现5点朝上 C．从一个装有3个红球2个白球的袋子中任取一球，取到的是白球 D．一副去掉大小王的扑克牌洗牌后，从中任抽一张牌的花色是红桃 【答案】C 【分析】根据折线图，得到概率为，逐一求出概率，进行比较判断即可． 【详解】解：由折线图可知：该事件的概率为：； A、抛一枚均匀硬币，出现正面朝上的概率为：，不符合题意； B、掷一个正六面体的骰子，出现5点朝上的概率为：，不符合题意； C、从一个装有3个红球2个白球的袋子中任取一球，取到的是白球的概率为：，符合题意； D、一副去掉大小王的扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃的概率为：，不符合题意． 31．为了解枣庄市初中生体质健康水平，在2025年秋季《国家学生体质健康标准》全市测试数据中进行随机抽测，结果如下表，根据抽测结果，若枣庄市有10000名初中生参加体质测评，下列估计的体质健康合格人数中最合理的是（     ） 累计抽测的学生数 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 体质健康合格的学生数与的比值 0.87 0.92 0.93 0.89 0.90 0.92 0.92 0.93 0.93 0.93 A．9300 B．9200 C．9003 D．9000 【答案】A 【分析】观察大样本下频率的稳定值，用该稳定值估计总体的合格频率，再计算总体合格人数． 【详解】解：∵随着累计抽测学生数逐渐增大，体质健康合格学生数与的比值逐渐稳定在， ∴根据用频率估计概率的方法，可得全市初中生体质健康合格的频率约为， ∵枣庄市共有名初中生， ∴估计体质健康合格的人数为， 因此最合理的是选项A． 32．某足球运动员在同一条件下进行射门，结果如下表所示： 射门次数n 20 50 100 200 500 800 踢进球门频数m 13 35 58 104 260 400 踢进球门频率 0.65 0.7 0.58 0.52 0.52 0.5 则该运动员射门一次，射进门的概率为__________．（保留一位小数） 【答案】0.5 【分析】在大量重复试验中，事件发生的频率会逐渐稳定在某一常数附近，该常数可作为事件发生概率的估计值，结合题目要求保留一位小数即可求解． 【详解】解：观察表格可知，随着射门次数不断增大，踢进球门的频率逐渐稳定在附近，按要求保留一位小数， 因此估计该运动员射门一次，射进门的概率为． 【题型9 用频率估计概率的综合应用】 易错点：不会结合频率估算总体数量；计算比例、总数时公式混用出错。 解题技巧：先通过大量实验确定稳定频率，以此作为概率近似值；结合“总数×频率=对应数量”公式，解决估算、预测类实际问题。 33．某小组做“当试验的次数足够多时，可以用频率估计概率”的试验时，当试验次数达到次时，统计了某一结果出现了次，则符合这一结果的试验最有可能是（   ） A．从一副张（不含大小王）的扑克牌中任意抽取一张，抽到红桃 B．掷一枚一元的硬币，正面朝上 C．三张同样的纸片，分别写有数字，，，背面朝上洗匀后，任取一张恰好为奇数 D．掷一个质地均匀的骰子，向上的面点数是“” 【答案】A 【分析】用频率估计概率得到该事件概率约为，再计算各选项事件的概率，选出概率最接近的选项即可． 【详解】解：∵试验总次数为次，该结果出现次， ∴频率为，可得该事件的概率约为； A：∵张不含大小王的扑克牌中，红桃有张， ∴抽到红桃的概率为 ，符合要求； B：掷一枚硬币正面朝上的概率为，不符合要求； C：∵共张纸片，其中奇数纸片有张， ∴抽到奇数的概率为，不符合要求； D：∵质地均匀的骰子共个点数，点数为的情况只有种， ∴点数为的概率为 ，不符合要求． 34．当今大数据时代，“二维码”广泛应用于我们的日常生活中，某兴趣小组利用某个二维码开展数学试验活动，如图，在边长为的正方形区域内通过计算机随机掷点，经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在左右，据此可以估计这个区域内白色部分的总面积约为______． 【答案】 【分析】用正方形的面积乘以点落在区域内白色部分的频率稳定值即可解答． 【详解】解：根据题意，估计这个区域内白色部分的总面积约为． 35．植树节为每年3月12日，某中学买了一批树苗组织学生去植树．资料显示该种树苗在相同条件下成活试验的部分结果如下表： 每批棵数n 50 100 150 400 800 1000 成活的棵数m 37 77 a 316 640 800 成活的频率 b (1)完成上述表格：_____________，_____________； (2)这种树苗成活的概率估计值为_____________（精确到）． (3)如果想要有1000棵树能够成活，那么在相同条件下买1200棵树苗够吗？为什么？ 【答案】(1)， (2) (3)不够，理由见解析 【分析】（1）利用成活率、每批棵树、成活的棵树的关系列式计算即可； （2）利用大量测试下，试验的频率在概率附近波动； （3）利用1200乘以成活概率，再与1000比较即可． 【详解】（1）解：，． （2）解：因为在相同条件下，当试验次数很大时，事件发生的频率可作为概率的近似值，而试验数据量最大为1000棵，对应频率为， 所以这种树苗成活的概率估计值是，（精确到）． （3）解：不够，理由如下： 由（棵），则想要有1000棵树能够成活，那么在相同条件下买1200棵树苗不够． 36．某批羽毛球的质量检验结果如下： 抽取的羽毛球数/只 50 100 200 500 1000 1500 2000 次品的频数 2 5 12 29 54 75 102 次品的频率 0.040 0.050 0.060 0.058 0.054 0.050 m (1)完成上述表格：______； (2)从这批羽毛球中，任意抽取一只羽毛球是次品的概率估计值是______（精确到0.01）； (3)若该批次共生产了100000只羽毛球，估计其中次品的数量． 【答案】(1)0.051 (2)0.05 (3)次品数量为5000只 【分析】（1）根据题意列式计算即可； （2）利用频率估计概率求解即可； （3）用总数乘样本中次品的数量所占百分比即可． 【详解】（1）解：； （2）解：从这批羽毛球中，任意抽取一只羽毛球是次品的概率估计值是0.05； （3）解：（只）， 答：该批次共生产了100000只羽毛球，估计其中次品的数量为5000只． 【题型10 概率压轴题8道】 易错点：复杂场景枚举不全、漏情况；分不清等可能条件，概率建模错误。 解题技巧：压轴题规范枚举所有等可能结果，列表或画树状图规避漏解；严格区分频率与概率，结合方程、统计知识综合求解，步骤规范。 37．综合与实践：气象谚语是人们观察自然现象的经验总结，蕴含着概率的数学思想，请以“朝霞不出门，晚霞行千里”为例，完成以下实践任务． 任务一：数据收集 通过气象软件收集某地区近10年“朝霞出现后当天是否下雨”和“晚霞出现后次日是否晴天”的数据如下表： 年份 2016 2017 2018 2019 2020 2021 2022 2023 2024 2025 朝霞是否出现 是 否 否 是 否 是 是 否 是 是 当天是否下雨 是 否 否 是 否 是 否 否 是 是 晚霞是否出现 是 否 是 否 是 否 是 否 是 否 次日是否晴天 是 否 否 是 是 是 是 否 是 是 任务二：数据整理与分析 (1)统计频数（由上表发现近10年来的数据） ①朝霞出现的年份数：__________，朝霞出现后当天下雨的年份数：_________； ②晚霞出现的年份数：__________，晚霞出现后次日晴天的年份数：_________． (2)解释概率思想：“朝霞不出门，晚霞行千里”是经验性的概率总结，而非绝对规律，从数据看，朝霞后下雨的频率约为_________，晚霞后次日晴天的频率约_________，说明“朝霞下雨，晚霞晴天”是大概率事件，但不是必然发生，这体现了随机现象的特点：单次结果不确定，但大量观察后频率会具有__________．在实际生活中，能够进行大量重复试验的随机事件，可以通过频率__________概率． 拓展辨析： (3)从以下谚语中选择一句，判断它描述的是不可能事件，必然事件还是随机事件，并说明理由． ①竹篮打水一场空；②种瓜得瓜，种豆得豆；③瑞雪兆丰年． 【答案】(1)6，5；5，4 (2)，；稳定性，估计 (3)见解析 【分析】（1）根据表格得出数据； （2）根据频数得出频率； （3）根据事件的分类求解． 【详解】（1）解：①朝霞出现的年份数为6，朝霞出现后当天下雨的年份数为5； ②晚霞出现的年份数为5，晚霞出现后次日晴天的年份数为4； （2）解：朝霞后下雨的频率约为，晚霞后次日晴天的频率约； 单次结果不确定，但大量观察后频率会具有稳定性．在实际生活中，能够进行大量重复试验的随机事件，可以通过频率估计概率； （3）解：①竹篮打水一场空，是不可能事件，因为竹篮打水是无法完成的，不可能发生的； ②种瓜得瓜，种豆得豆，是必然事件，因为种下的瓜一定结出的是瓜，种下的豆一定结出的是豆，这件事一定会发生； ③瑞雪兆丰年，是随机事件，因为丰收还受其他因素影响，瑞雪可能会是丰收年，也可能不会是丰收年，是随机发生的． 38．某人工智能公司研发了一款自动驾驶汽车的障碍物识别系统．为了测试系统的识别准确率，测试人员从真实道路场景中随机抽取图片，让系统识别其中是否存在障碍物；并记录正确识别的次数．每次识别后放回，重复上述过程．下表是试验中的一组统计数据： 测试图片数量 100 200 500 1000 2000 3000 正确识别次数 87 175 438 1780 2670 正确识别频率 0.87 0.875 0.876 0.88 0.89 (1) ， ； (2)估计该系统正确识别障碍物的概率约为 ；（结果精确到0.1） (3)下列说法错误的是 ．（填序号） ①识别障碍物4次，都识别成功了，所以第5次识别一定也成功； ②识别障碍物10次，识别成功的次数不一定是9次； ③识别障碍物30次，识别成功的次数一定是27次． 【答案】(1) ， (2) (3)①③ 【分析】（1）根据频率的计算公式：频率=正确识别次数÷测试总次数，计算和的值； （2）根据用频率估计概率的原理，当试验次数足够大时，频率稳定在概率附近，据此估计概率并按要求取近似值； （3）根据概率的意义，概率是事件发生可能性大小的量度，不是必然结果，逐一判断各说法的正误． 【详解】（1）解：由题意得，频率 ，， 因此， . （2）解：观察表格可知，随着测试次数增大，正确识别的频率逐渐稳定在附近，因此估计该系统正确识别障碍物的概率为，精确到得； （3）解：① 概率是对事件发生可能性的估计，每次识别的结果相互独立，前4次成功不能保证第5次一定成功，所以①说法错误； ② 概率反映的是平均可能性，识别10次时，成功次数是随机的，不一定是9次，所以②说法正确； ③ 概率反映的是可能性大小，不是必然结果，识别30次时，成功次数不一定是27次，所以③说法错误； 因此说法错误的是①③． 39．对某批乒乓球的质量进行随机抽查，结果如下： 随机抽取的乒乓球数 200 400 600 800 1000 优等品数 186 340 534 721 900 根据以上信息，回答下列问题： (1)______； (2)若购入了此批乒乓球300个，请计算优等品约为多少个． 【答案】(1)0.9 (2)270 【分析】（1）先计算每次抽查的优等品率，再观察这些率的变化趋势，找到稳定趋近的数值，该数值即为． （2）先利用问题（1）得到的稳定优等品率，再用总数乘以优等品率来计算． 【详解】（1）解：抽取800个时优等品率约为， 抽取1000个时优等品率为， 结合图像可知稳定后的． （2） 购入300个时，优等品数量约为个． 40．某班在爱心义卖活动中设立了一个可以自由转动的转盘，如图所示，同时规定：顾客购物满20元就能获得一次转动转盘的机会，如表是活动中的统计数据： 转动转盘的次数n 100 200 300 400 500 落在“谢谢参与”区域的次数m 29 60 93 122 b 落在“谢谢参与”区域的频率 0.29 0.3 0.31 a 0.296 (1)完成上述表格： ， ； (2)若继续不停转动转盘，当n很大时，落在“谢谢参与”区域的频率将会接近 ，假如你去转动该转盘一次，你转到“谢谢参与”的概率约是 ；（结果都精确到0.1） (3)顾客转动转盘一次，得到奖品“盲盒”的概率记为，得到奖品“贴纸”的概率记为，得到“谢谢参与”的概率记为，则、、的大小关系是 ．（用“”连接） 【答案】(1)0.305，148 (2)0.3，0.3 (3) 【分析】（1）根据频率和频数的关系求得a和b的值即可； （2）利用大量重复试验中的频率稳定值估计概率即可； （3）利用概率公式分别求得、、的值后比较大小即可． 【详解】（1）解：，． （2）解：若继续不停转动转盘，当n很大时，落在“谢谢参与”区域的频率将会接近0.3，假如你去转动该转盘一次，你转到“谢谢参与”的概率约是0.3． （3）解：，，， ∴． 41．在硬地上抛掷一枚图钉，通常会出现两种情况： 下面是小明和同学做“抛掷图钉实验”获得的数据： 抛掷次数n 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 钉尖不着地 的频数m 63 120 186 252 310 360 434 488 549 610 钉尖不着地的频率 0.63 0.60 0.62 0.63 0.62 a 0.62 b 0.61 c (1)填写表中的空格； (2)画出该实验中，抛掷图钉钉尖不着地频率的折线统计图； (3)根据“抛掷图钉实验”的结果，估计“钉尖不着地”的概率为______． 【答案】(1)0.60；0.61；0.61 (2)见解析 (3)0.61 【分析】（1）根据题意进行计算即可； （2）根据实验数据，先描点，再用线段顺次连接，即可得到折线统计图； （3）利用频率估计概率即可． 【详解】（1）解：由题意得，，，． （2）解：如图所示： （3）解：通过大量实验，发现图钉“钉尖不着地”的频率逐渐稳定在附近， 估计“钉尖不着地”的概率为． 42．如图是一个可以自由转动的转盘，它被分成了6个面积相等的扇形区域．数学小组的学生做转盘试验：转动转盘，当转盘停止转动时，记录下指针所指区域的颜色，不断重复这个过程，获得数据如下： 转动转盘的次数 100 400 500 1000 1500 2000 指针转到红色区域的次数 37 126 160 331 498 667 (1)下列说法正确的是______（填写序号）． ①从表格中数据可知，转动转盘100次已经有37次指针落在红色区域．那么转盘转动第101次，指针一定不会落在红色区域． ②转动转盘10次，指针指向蓝色区域的次数不一定大于指向黄色区域的次数． ③转动转盘60次，指针指向蓝色区域的次数一定为20． (2)求随机转动转盘“指针指向红色区域”的可能性大小． (3)请你用红、黄、绿三种颜色设计一个转盘，使得转动后指针指向黄色区域的可能性大小是．画出你设计的转盘（画一种情况即可）． 【答案】(1)② (2) (3)见解析 【分析】本题考查的是可能性的大小．用到的知识点为：可能性的大小=所求情况数与总情况数之比． （1）根据可能性的大小分别对每一项进行分析，即可得出答案； （2）由于转盘分成了6个面积相等的扇形区域，其中红色部分有2个，即可求解可能性大小； （3）画出黄色区域占了整个圆的即可． 【详解】（1）解：①从表格中数据可知，转动转盘100次已经有37次指针落在红色区域．那么转盘转动第101次，指针不一定会落在红色区域，故原说法错误； ②转动转盘10次，指针指向蓝色区域的次数不一定大于指向黄色区域的次数，说法正确； ③转动转盘60次，指针指向蓝色区域的次数不一定为20，故原说法错误； 故答案为：②； （2）解：自由转动的转盘，它被分成了6个面积相等的扇形区域，其中红色部分有2个， ∴随机转动转盘“指针指向红色区域”的可能性大小为； （3）解：转盘如图： ∵黄色区域占了整个圆的， ∴指针指向黄色区域的可能性大小是． 43．数学活动小组的小杨和小浦在研究“两件事关联的数学运算”这一数学课题时，了解到了以下内容： ①卡方检验（也叫检验）是一种统计方法，用来判断两件事是否存在关联． ②如何判断事件A与事件B存在关联呢？小杨和小浦的老师告诉他们： （）假设事件A与事件B无关联 （）列表（如表1） （）根据公式计算卡方值 （）根据得到的，得出无关性假设可靠的概率p（当时，） （）若事件A与事件B无关性假设不可靠的概率大于0.95，即有95%的把握，则否定原假设③卡方值越大，无关性假设可靠的概率p越小 事件A发生 事件A不发生 总计 事件B发生 a b 事件B不发生 c d 总计 n 其中 表1 不吸烟者 吸烟者 总计 不患慢性气管炎者 121 b 283 患慢性气管炎者 c d 总计 134 339 表2 (1)小杨的爸爸是一位疾控中心的医护人员，他随机调查了339名50岁以上的公民，研究吸烟习惯与慢性气管炎的关系，测得数据如表所示（表2） ①估算样本中患有慢性支气管炎的频率 ②是否有的把握认为患慢性气管炎与吸烟有关？ (2)小浦是一位勤奋学习的人，也是一位游戏迷，他八年级开始玩游戏，也开始努力学习，他利用平时测验，经过计算（计算完全无误），得出有的把握认为事件“玩游戏”与事件“数学考试年级第一”有关联，于是他将这件事告诉小杨，并声称可以提升数学成绩．假如你是小杨，你认为小浦的观点对吗？若不对，说明小浦导致出错的步骤，并写出计算卡方值时需注意的要点． 【答案】(1)①；②有95%的把握认为患慢性气管炎与吸烟有关 (2)错误，理由见解析 【分析】本题考查了求某事件的频率，由频率估计概率，用频率估计概率的综合应用，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． （1）①根据表2，列出关于b，c，d的方程组求解，再估算样本中患有慢性支气管炎的频率； ②先求出卡方，再通过比较后得出结论； （2）根据卡方检验是判断关联性的重要工具，但应用时需谨慎区分“相关”与“因果”，并结合实际背景分析可能存在的偏差，由此作答即可． 【详解】（1）①解：由表2可知，， 解得：， 所以患病人数为56，总人数为339， 因此频率为：； ②， 所以， 所以有的把握认为吸烟与慢性气管炎有关； （2）解：小浦的错误在于： 卡方检验仅表明“玩游戏”与“数学考试年级第一”在统计上有关联，但无法证明因果关系． 可能存在的第三变量（如个人学习能力、时间管理、学习动机等）同时影响玩游戏频率与数学成绩，导致虚假相关． 即使有关联，也可能是“数学成绩好的人更爱玩游戏”（反向因果）或纯属巧合． 计算卡方值时需注意的要点：卡方检验需注意样本代表性、变量定义清晰、避免混淆因果． 44．民间有种折纸玩具“东南西北”，每每想起它，都能唤起我们对美好童年的回忆．此玩具的制作方法：通过折叠把一个正方形的纸片分成八个面积相等的部分，在每个部分分别写上相应的惩罚或奖励，叠合成“东南西北”，通过转动随机挑选出八个区域中的一个作为游戏的结果．图①是小浩制作的一个“东南西北”玩具，展开后如图②所示． (1)随机挑选出的一面写有“文具”是____________事件（填“必然”“随机”或“不可能”）． (2)小浩重新设计了一个“东南西北”玩具，在八个面上分别写上“钢笔”“笔记本”“圆规”三种奖品．经过多次试验后得到数据如下： 试验次数 8 24 40 80 160 获得“钢笔”的次数 2 10 16 28 60 根据表格估算，八面中写有奖品“钢笔”的面数为____________． 【答案】(1)随机 (2)3 【分析】本题考查了随机事件的概念、用频率估计概率的方法，掌握随机事件的定义，以及用频率估计概率的步骤是解题的关键． （1）根据必然、随机、不可能事件的定义，结合图中面的内容，判断抽到写有文具的面是否具有不确定性； （2）先计算获得钢笔的频率，用频率估计概率，再结合总面数计算写有钢笔的面数． 【详解】（1）解：∵图②中既有写文具的面，也有写零食、图书的面，随机挑选时，可能抽到文具，也可能抽到其他内容， ∴这是随机事件． （2）解：先计算获得钢笔的频率：试验次数越多，频率越接近概率，取160次试验的数据，频率为． ∵总面数为8，用频率估计概率， ∴写有钢笔的面数为． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 【温馨提示】本专题共10类高频必考题型，作为初中概率入门核心内容，学生易混淆随机、必然、不可能事件，分不清频率与概率本质，计算易漏基本事件。本专题梳理各类易错痛点，总结通用解题技巧，夯实概率基础，突破期末难点。 专题2 认识概率易错必刷题型专项训练 【题型1 事件的分类】 【题型6 求某事件的概率】 【题型2 判断事件发生的可能性的大小】 【题型7 关于频率与概率关系说法的正误】 【题型3 判断实验所得结果是否是等可能的】 【题型8 由频率估计概率】 【题型4 概率的意义理解】 【题型9 用频率估计概率的综合应用】 【题型5 判断几个事件概率的大小关系】 【题型10 概率压轴题7道】 【题型1 事件的分类】 易错点：混淆必然事件、不可能事件、随机事件概念；主观判断事件结果，忽略客观条件。 解题技巧：一定发生为必然事件，一定不发生为不可能事件，可能发生也可能不发生为随机事件；严格依据客观事实分类，不凭主观直觉判断。 1．“数学课本共196页，某同学随手翻开，恰好翻到第98页”，这个事件是（    ） A．必然事件 B．不可能事件 C．随机事件 D．以上都不正确 2．下列成语故事所描绘的情景事件中，是不可能事件的是（   ） A．守株待兔 B．百发百中 C．水中捞月 D．水滴石穿 3．以下事件为随机事件的是（     ） A．篮球队员在罚球线上投篮一次，未投中 B．通常加热到时，水沸腾 C．任意画一个三角形，其内角和是 D．明天太阳从东方升起 4．一个不透明的袋子中装有3个除颜色外完全相同的小球，其中有2个黄球、1个白球．从袋子中任意摸出一个球，能摸到红球的事件是（     ） A．确定性事件 B．随机事件 C．必然事件 D．不可能事件 【题型2 判断事件发生的可能性的大小】 易错点：仅凭主观感受判断可能性；无法结合条件量化对比可能性大小。 解题技巧：可能性大小由符合条件的情况数量决定；情况数越多，发生可能性越大；无数量依据时，依据客观规则理性判断，杜绝主观臆断。 5．盒子里有仅颜色不同的100个球，其中绿球有5个，黄球有12个，黑球有3个，其余为红球，小辰从中任意摸出一个球，摸到球的可能性最大的是（   ） A．绿球 B．黄球 C．红球 D．黑球 6．下列成语描述的事件中，发生的可能性最小的是（    ） A．瓜熟蒂落 B．大海捞针 C．水中捞月 D．百发百中 7．一个小正方体的6个面分别标有1、2、2、3、3、3任意掷一次，掷出数字( )的可能性最大． 8．如图所示的转盘，被分成面积相等的四个扇形，分别涂有红、黄、蓝三种颜色．固定指针，自由转动转盘，停止后指针所指区域的颜色为______色的可能性最大（填“红”“黄”或“蓝”）． 【题型3 判断实验所得结果是否是等可能的】 易错点：误以为所有随机实验结果都等可能；忽略每个结果出现概率均等的核心条件。 解题技巧：等可能实验必须满足：所有结果有限、每个结果出现概率完全相等；结果概率不均、存在权重差异的实验，均不属于等可能实验。 9．在抛掷一枚质地均匀的硬币的试验中，如果没有硬币，则下列不能作为替代物进行试验的是（   ） A．一枚均匀的正方体骰子 B．两张不同的扑克 C．两张不同的卡片 D．一枚图钉 10．抛掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上和反面朝上的可能性（    ） A．正面朝上的可能性大 B．反面朝上的可能性大 C．相等 D．无法确定 11．下列随机事件属于“等可能性事件”的是（   ） A．交通信号灯出现红色、绿色、黄色 B．掷一枚图钉，落地后钉尖“朝上”或“朝下” C．小明用随机抽签的方式选择、、三种答案，分别选中、、 D．小亮在沿着“直角三角形”的小路散步，他出现在各边上 12．下列随机试验中，结果具有“等可能性”的是（    ） A．掷一枚质地均匀的骰子 B．篮球运动员定点投篮 C．掷一个矿泉水瓶盖 D．从装有若干小球的透明袋子摸球 【题型4 概率的意义理解】 易错点：误解概率为必然结果；认为概率极小事件不会发生、概率极大事件一定发生。 解题技巧：概率是事件发生的可能性大小，仅反映趋势；概率不为0就有可能发生，概率不为1就有可能不发生，不代表绝对结果。 13．下列说法正确的是(    ) A．天气预报说明天降水概率非常大，则明天会下雨是必然事件 B．某彩票中奖率为，小明买了4张这种彩票，前3张都没有中奖，则最后一张中奖的概率仍为 C．任意抛掷一枚图钉10次，针尖全都向上，则抛掷一枚图钉针尖向下为不可能事件 D．射击运动员射击一次只有2种可能的结果：中靶或脱靶，所以他中靶的概率为 14．商场举行摸奖促销活动，对于“抽到一等奖的概率为0.01”．下列说法正确的是（　  　） A．抽101次不可能没有抽到一等奖 B．抽100次奖必有一次抽到一等奖 C．抽一次也可能抽到一等奖 D．抽了99次如果没有抽到一等奖，那么再抽一次肯定抽到一等奖 15．根据天气预报，某市明天下大雨的概率是．下列说法正确的是（     ） A．该市明天将有的地区下大雨 B．该市明天将有的时间下大雨 C．该市明天下大雨的可能性较大 D．该市明天肯定会下大雨 16．下列说法正确的是（） A．种植一种花卉成活率是，则种100株这种花一定会有95株成活 B．天气预报“明天降水概率是”，是指明天有的时间会下雨 C．某位体育老师参加深圳市半程马拉松比赛一定能获得大奖 D．随机掷一枚质地均匀的骰子，若前3次都掷出“1”，则第4次仍然可能掷出“1” 【题型5 判断几个事件概率的大小关系】 易错点：未计算概率直接比较；对比时遗漏总事件总数，导致判断失误。 解题技巧：概率大小对比核心：同一实验看符合条件事件数，不同实验需计算具体概率；结合总事件数统一对比，避免片面判断。 17．估计下列事件发生的可能性的大小，①从装有1个红球和2个黄球的袋子中摸出的1个球是白球；②抛掷1枚质地均匀的骰子，向上一面的点数是偶数；③调查商场中的1位顾客，他是闰年出生的；④随意调查一位青年，他接受过九年制义务教育；⑤在地面上抛掷1个小石块，石块会落下．将这些事件的序号按发生的可能性从大到小的顺序排列，正确的是（    ） A．①②③④⑤ B．⑤④③②① C．⑤④②③① D．④⑤③②① 18．下列说法错误的是（   ） A．必然事件发生的概率为1 B．确定性事件发生的概率为1 C．不可能事件发生的概率为0 D．随机事件发生的概率介于0和1之间 19．如图，等边三角形由9个全等的小等边三角形组成，随机往内投一粒米，落在阴影区域的概率__________落在非阴影区域的概率．（填“大于”“小于”或“等于”） 20．有如下两个事件：①明天会下雨；②13名同学中一定有2名同学的生日在同一个月，把这两个事件的序号按发生的可能性从小到大排列____． 【题型6 求某事件的概率】 易错点：数错总事件数、符合条件事件数；遗漏部分情况，计算约分失误。 解题技巧：固定公式：P(事件)=符合条件事件数÷总等可能事件数；枚举所有情况，不重不漏，计算后约分至最简分数。 21．小星做掷一枚质地均匀的骰子实验，通过大量重复试验，统计了某一结果出现的频率，绘制出如图所示的统计图，符合这一结果的试验可能是（    ） A．出现数字为2点朝上的频率 B．出现数字为3朝上的频率 C．出现数字为奇数的频率 D．出现数字为2或4的朝上频率 22．小明做“用频率估计概率”的试验时，统计了某一结果出现的频率，绘制出的折线统计图如图所示，符合这一结果的试验最有可能是（   ） A．从，，这个数中随机抽到数字的频率 B．一副去掉大小王的扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃的频率 C．抛一枚硬币，出现正面朝上的频率 D．掷一枚质地均匀的骰子，出现点朝上的频率 23．如图是一枚图钉被抛起后钉尖触地的频率和抛掷次数变化趋势图，则一枚图钉被抛起后钉尖触地的频率稳定值约是____． 24．今天的日期是：20260423，在这串数字中，0出现的频率是________． 【题型7 关于频率与概率关系说法的正误】 易错点：混淆频率和概率；认为频率等于概率、概率随实验次数变化。 解题技巧：概率是固定理论值，频率是实验统计值；实验次数较少时频率波动大，次数越多，频率越接近概率，二者不可直接等同。 25．某校名师生在操场上进行数学实验，验证“硬币正面朝上的概率是”．部分实验数据如下： 四年级1班2组 五年级 六年级3班 全校 正面数量 2 反面数量 8 正面朝上的频率（保留小数点后4位） 下列说法正确的是（   ） A．连续抛硬币次，不可能次正面朝上 B．连续抛硬币三次，正面朝上的频率一定是 C．在大量重复试验下，正面向上的频率会逐渐稳定在 D．甲班比乙班抛硬币次数多，甲班抛出正面朝上的频率一定更接近 26．下列说法正确的是（   ） A．某彩票的中奖概率是，那么买100张彩票一定有5张中奖 B．掷一枚质地均匀的硬币次，正面向上的频率随着的增大，稳定在附近 C．概率很小的事件是不可能事件 D．只要试验的次数足够多，频率就等于概率 27．以下说法正确的是（    ） A．在做用频率估计概率的试验时，只要试验的次数足够多，一定可以得到概率的精确值 B．在做抛瓶盖的试验时，每名同学尽量用相同规格的瓶盖进行试验，然后再汇总全班同学的数据进行估计概率 C．在用频率估计概率时，因为随机事件是否发生是不确定的，每次得到的频率一般是不同的，所以随机事件发生的概率也是不确定的 D．在做抛瓶盖的试验时，如果上一次试验盖口向上，那么进行下一次试验时盖口向上的可能性会减小 28．在相同条件下的多次重复试验中，一个随机事件发生的频率为，该事件的概率为．下列说法正确的是（   ） A．试验次数越多，越大 B．试验次数越多，越大 C．与都可能发生变化 D．试验次数大量增加时，在附近摆动，并趋于稳定 【题型8 由频率估计概率】 易错点：用少量实验次数的频率估计概率；忽略频率稳定值才是近似概率。 解题技巧：只有大量重复实验后，频率稳定的数值才可估计概率；单次、少量实验的频率无参考价值，不能作为概率依据。 29．如图，在平整的地面上有一个不规则图案（图中阴影部分），小明用这个图案进行如下实验，他用一个长方形将不规则图案围起来，然后在适当位置随机地朝长方形区域扔小球，并记录小球落在不规则图案上的次数（球扔在界线上或长方形区域外不计入实验结果），他将若干次有效实验的结果绘制成了如图所示的折线统计图，由此可估计小球落在不规则图案内的概率是（     ） A． B． C． D． 30．某小组做“用频率估计概率”的试验时，某一结果出现的频率折线图（如图），则符合这一结果的试验可能是（     ） A．抛一枚硬币，出现正面朝上 B．掷一个正六面体的骰子，出现5点朝上 C．从一个装有3个红球2个白球的袋子中任取一球，取到的是白球 D．一副去掉大小王的扑克牌洗牌后，从中任抽一张牌的花色是红桃 31．为了解枣庄市初中生体质健康水平，在2025年秋季《国家学生体质健康标准》全市测试数据中进行随机抽测，结果如下表，根据抽测结果，若枣庄市有10000名初中生参加体质测评，下列估计的体质健康合格人数中最合理的是（     ） 累计抽测的学生数 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 体质健康合格的学生数与的比值 0.87 0.92 0.93 0.89 0.90 0.92 0.92 0.93 0.93 0.93 A．9300 B．9200 C．9003 D．9000 32．某足球运动员在同一条件下进行射门，结果如下表所示： 射门次数n 20 50 100 200 500 800 踢进球门频数m 13 35 58 104 260 400 踢进球门频率 0.65 0.7 0.58 0.52 0.52 0.5 则该运动员射门一次，射进门的概率为__________．（保留一位小数） 【题型9 用频率估计概率的综合应用】 易错点：不会结合频率估算总体数量；计算比例、总数时公式混用出错。 解题技巧：先通过大量实验确定稳定频率，以此作为概率近似值；结合“总数×频率=对应数量”公式，解决估算、预测类实际问题。 33．某小组做“当试验的次数足够多时，可以用频率估计概率”的试验时，当试验次数达到次时，统计了某一结果出现了次，则符合这一结果的试验最有可能是（   ） A．从一副张（不含大小王）的扑克牌中任意抽取一张，抽到红桃 B．掷一枚一元的硬币，正面朝上 C．三张同样的纸片，分别写有数字，，，背面朝上洗匀后，任取一张恰好为奇数 D．掷一个质地均匀的骰子，向上的面点数是“” 34．当今大数据时代，“二维码”广泛应用于我们的日常生活中，某兴趣小组利用某个二维码开展数学试验活动，如图，在边长为的正方形区域内通过计算机随机掷点，经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在左右，据此可以估计这个区域内白色部分的总面积约为______． 35．植树节为每年3月12日，某中学买了一批树苗组织学生去植树．资料显示该种树苗在相同条件下成活试验的部分结果如下表： 每批棵数n 50 100 150 400 800 1000 成活的棵数m 37 77 a 316 640 800 成活的频率 b (1)完成上述表格：_____________，_____________； (2)这种树苗成活的概率估计值为_____________（精确到）． (3)如果想要有1000棵树能够成活，那么在相同条件下买1200棵树苗够吗？为什么？ 36．某批羽毛球的质量检验结果如下： 抽取的羽毛球数/只 50 100 200 500 1000 1500 2000 次品的频数 2 5 12 29 54 75 102 次品的频率 0.040 0.050 0.060 0.058 0.054 0.050 m (1)完成上述表格：______； (2)从这批羽毛球中，任意抽取一只羽毛球是次品的概率估计值是______（精确到0.01）； (3)若该批次共生产了100000只羽毛球，估计其中次品的数量． 【题型10 概率压轴题8道】 易错点：复杂场景枚举不全、漏情况；分不清等可能条件，概率建模错误。 解题技巧：压轴题规范枚举所有等可能结果，列表或画树状图规避漏解；严格区分频率与概率，结合方程、统计知识综合求解，步骤规范。 37．综合与实践：气象谚语是人们观察自然现象的经验总结，蕴含着概率的数学思想，请以“朝霞不出门，晚霞行千里”为例，完成以下实践任务． 任务一：数据收集 通过气象软件收集某地区近10年“朝霞出现后当天是否下雨”和“晚霞出现后次日是否晴天”的数据如下表： 年份 2016 2017 2018 2019 2020 2021 2022 2023 2024 2025 朝霞是否出现 是 否 否 是 否 是 是 否 是 是 当天是否下雨 是 否 否 是 否 是 否 否 是 是 晚霞是否出现 是 否 是 否 是 否 是 否 是 否 次日是否晴天 是 否 否 是 是 是 是 否 是 是 任务二：数据整理与分析 (1)统计频数（由上表发现近10年来的数据） ①朝霞出现的年份数：__________，朝霞出现后当天下雨的年份数：_________； ②晚霞出现的年份数：__________，晚霞出现后次日晴天的年份数：_________． (2)解释概率思想：“朝霞不出门，晚霞行千里”是经验性的概率总结，而非绝对规律，从数据看，朝霞后下雨的频率约为_________，晚霞后次日晴天的频率约_________，说明“朝霞下雨，晚霞晴天”是大概率事件，但不是必然发生，这体现了随机现象的特点：单次结果不确定，但大量观察后频率会具有__________．在实际生活中，能够进行大量重复试验的随机事件，可以通过频率__________概率． 拓展辨析： (3)从以下谚语中选择一句，判断它描述的是不可能事件，必然事件还是随机事件，并说明理由． ①竹篮打水一场空；②种瓜得瓜，种豆得豆；③瑞雪兆丰年． 38．某人工智能公司研发了一款自动驾驶汽车的障碍物识别系统．为了测试系统的识别准确率，测试人员从真实道路场景中随机抽取图片，让系统识别其中是否存在障碍物；并记录正确识别的次数．每次识别后放回，重复上述过程．下表是试验中的一组统计数据： 测试图片数量 100 200 500 1000 2000 3000 正确识别次数 87 175 438 1780 2670 正确识别频率 0.87 0.875 0.876 0.88 0.89 (1) ， ； (2)估计该系统正确识别障碍物的概率约为 ；（结果精确到0.1） (3)下列说法错误的是 ．（填序号） ①识别障碍物4次，都识别成功了，所以第5次识别一定也成功； ②识别障碍物10次，识别成功的次数不一定是9次； ③识别障碍物30次，识别成功的次数一定是27次． 39．对某批乒乓球的质量进行随机抽查，结果如下： 随机抽取的乒乓球数 200 400 600 800 1000 优等品数 186 340 534 721 900 根据以上信息，回答下列问题： (1)______； (2)若购入了此批乒乓球300个，请计算优等品约为多少个． 40．某班在爱心义卖活动中设立了一个可以自由转动的转盘，如图所示，同时规定：顾客购物满20元就能获得一次转动转盘的机会，如表是活动中的统计数据： 转动转盘的次数n 100 200 300 400 500 落在“谢谢参与”区域的次数m 29 60 93 122 b 落在“谢谢参与”区域的频率 0.29 0.3 0.31 a 0.296 (1)完成上述表格： ， ； (2)若继续不停转动转盘，当n很大时，落在“谢谢参与”区域的频率将会接近 ，假如你去转动该转盘一次，你转到“谢谢参与”的概率约是 ；（结果都精确到0.1） (3)顾客转动转盘一次，得到奖品“盲盒”的概率记为，得到奖品“贴纸”的概率记为，得到“谢谢参与”的概率记为，则、、的大小关系是 ．（用“”连接） 41．在硬地上抛掷一枚图钉，通常会出现两种情况： 下面是小明和同学做“抛掷图钉实验”获得的数据： 抛掷次数n 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 钉尖不着地 的频数m 63 120 186 252 310 360 434 488 549 610 钉尖不着地的频率 0.63 0.60 0.62 0.63 0.62 a 0.62 b 0.61 c (1)填写表中的空格； (2)画出该实验中，抛掷图钉钉尖不着地频率的折线统计图； (3)根据“抛掷图钉实验”的结果，估计“钉尖不着地”的概率为______． 42．如图是一个可以自由转动的转盘，它被分成了6个面积相等的扇形区域．数学小组的学生做转盘试验：转动转盘，当转盘停止转动时，记录下指针所指区域的颜色，不断重复这个过程，获得数据如下： 转动转盘的次数 100 400 500 1000 1500 2000 指针转到红色区域的次数 37 126 160 331 498 667 (1)下列说法正确的是______（填写序号）． ①从表格中数据可知，转动转盘100次已经有37次指针落在红色区域．那么转盘转动第101次，指针一定不会落在红色区域． ②转动转盘10次，指针指向蓝色区域的次数不一定大于指向黄色区域的次数． ③转动转盘60次，指针指向蓝色区域的次数一定为20． (2)求随机转动转盘“指针指向红色区域”的可能性大小． (3)请你用红、黄、绿三种颜色设计一个转盘，使得转动后指针指向黄色区域的可能性大小是．画出你设计的转盘（画一种情况即可）． 43．数学活动小组的小杨和小浦在研究“两件事关联的数学运算”这一数学课题时，了解到了以下内容： ①卡方检验（也叫检验）是一种统计方法，用来判断两件事是否存在关联． ②如何判断事件A与事件B存在关联呢？小杨和小浦的老师告诉他们： （）假设事件A与事件B无关联 （）列表（如表1） （）根据公式计算卡方值 （）根据得到的，得出无关性假设可靠的概率p（当时，） （）若事件A与事件B无关性假设不可靠的概率大于0.95，即有95%的把握，则否定原假设③卡方值越大，无关性假设可靠的概率p越小 事件A发生 事件A不发生 总计 事件B发生 a b 事件B不发生 c d 总计 n 其中 表1 不吸烟者 吸烟者 总计 不患慢性气管炎者 121 b 283 患慢性气管炎者 c d 总计 134 339 表2 (1)小杨的爸爸是一位疾控中心的医护人员，他随机调查了339名50岁以上的公民，研究吸烟习惯与慢性气管炎的关系，测得数据如表所示（表2） ①估算样本中患有慢性支气管炎的频率 ②是否有的把握认为患慢性气管炎与吸烟有关？ (2)小浦是一位勤奋学习的人，也是一位游戏迷，他八年级开始玩游戏，也开始努力学习，他利用平时测验，经过计算（计算完全无误），得出有的把握认为事件“玩游戏”与事件“数学考试年级第一”有关联，于是他将这件事告诉小杨，并声称可以提升数学成绩．假如你是小杨，你认为小浦的观点对吗？若不对，说明小浦导致出错的步骤，并写出计算卡方值时需注意的要点． 44．民间有种折纸玩具“东南西北”，每每想起它，都能唤起我们对美好童年的回忆．此玩具的制作方法：通过折叠把一个正方形的纸片分成八个面积相等的部分，在每个部分分别写上相应的惩罚或奖励，叠合成“东南西北”，通过转动随机挑选出八个区域中的一个作为游戏的结果．图①是小浩制作的一个“东南西北”玩具，展开后如图②所示． (1)随机挑选出的一面写有“文具”是____________事件（填“必然”“随机”或“不可能”）． (2)小浩重新设计了一个“东南西北”玩具，在八个面上分别写上“钢笔”“笔记本”“圆规”三种奖品．经过多次试验后得到数据如下： 试验次数 8 24 40 80 160 获得“钢笔”的次数 2 10 16 28 60 根据表格估算，八面中写有奖品“钢笔”的面数为____________． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $