专题05 点线面位置关系（6大考点期末真题汇编，黑龙江专用）高一数学下学期人教A版

**基本信息** 聚焦高中数学点线面位置关系6大高频考点，汇编黑龙江、吉林等地名校期末试题，覆盖概念辨析、平行垂直证明、空间角与距离计算及探索类问题，适配期末复习需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|约20题|点线面概念（如平面与直线位置关系的充分必要条件判断）、空间角计算（如异面直线成角余弦值）|基础题为主，注重概念辨析与定理应用| |多选|5题|平行垂直判定（如线面平行的条件）、探索类问题（如动点轨迹存在性）|选项分层设计，考查逻辑推理| |填空|3题|线面角正切值、点到面距离|聚焦空间几何量计算，强调公式应用| |解答题|15题|平行垂直证明（如四棱锥中面面垂直证明）、二面角求解（如折叠问题中二面角余弦值）、探索类问题（如棱上动点存在性）|多问综合设计，结合证明与计算，呼应高考命题趋势|

专题05 点线面位置关系 地 城 考点01 点线面位置关系概念 一、单选题 1．B 2．D 3．C 4．D 5．B 6．C 7．B 8．D 二、多选题 9．BC 10．BCD 地 城 考点02 平行与垂直 一、单选题 1．D 二、多选题 2．ABD 三、解答题 3．【详解】（1）如图，连，，， 平面平面，平面    （2）平面平面，， 菱形为菱形的对角线，， 平面， 平面． 4．【详解】（1）由题可知，，，. 根据棱台的体积公式，可得. （2）如图所示: 连接，则. 又平面， 平面 所以平面 连接，则. 所以四边形为平行四边形， 所以. 又平面，平面， 所以平面 因为， 所以平面平面. 5．【详解】（1）连接交于点，则为的中点，    因为为的中点，则，平面，平面， 因此，平面． （2）因为且，为的中点，为的中点， 所以，，所以，四边形为平行四边形， 所以，平面，平面， 所以平面，又平面，， 因此，平面平面． 6．【详解】（1）设,连接,如图所示: 因为O,E分别为,的中点,所以, 又因为平面,平面, 所以 平面． （2）连接,如图所示: 因为,为的中点,所以, 又因为四边形为菱形,所以, 因为平面,平面,且, 所以平面,又因为平面, 所以平面平面． 7．【详解】（1）因为PA＝PD，E为AD的中点， 所以PE⊥AD， 因为底面ABCD为矩形，所以BC∥AD. 所以PE⊥BC. （2）因为底面ABCD为矩形，所以AB⊥AD. 又因为平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，AB⊂平面ABCD， 所以AB⊥平面PAD. 又PD⊂平面PAD，所以AB⊥PD. 又因为PA⊥PD，且PA∩AB＝A，PA，AB⊂平面PAB， 所以PD⊥平面PAB. 又PD⊂平面PCD， 所以平面PAB⊥平面PCD. 地 城 考点03 线线角/线面角 一、单选题 1．C 2．A 3．D 4．C 5．D 二、填空题 6． 7． 8．/ 三、解答题 9．【详解】（1）连接，交于点，连接，则为的中点， 又为的中点，所以． 因为平面，平面，所以平面． （2）由（1）知，所以是异面直线与所成的角或其补角． 由题知，， 在中由余弦定理，得. 10．【详解】（1）取的中点，连接，如图， 因为为等边三角形，所以， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 因为平面，所以， 又，，面，故平面. （2）连接，如图， 由（1）得平面，故即为直线与平面所成的角， 由，可得，， 故. 11．【详解】（1）设交于，连接并交于，连接， 由正棱台的性质可知平面，平面， 所以，又，，平面， 所以平面，又平面，所以平面平面； （2）取OC中点，连接，则， 所以四边形为平行四边形，所以，而平面， 故平面，所以为与平面所成角， 过作，连接，则，所以， 所以，在中，， 所以，即与平面所成角的余弦值为. 12．【详解】（1）证明：因为底面为菱形，所以． 又平面，平面，所以． 因为平面，所以平面． 又平面，所以平面平面． （2）取CD的中点O，连接BO，PO． 在菱形ABCD中，由，可得． 因为平面，平面，所以． 又平面，所以平面， 则∠BPO即为PB与平面PCD所成的角． 因为，所以，，， 则，即PB与平面PCD所成角的余弦值为． （3）分别取AB，PC的中点F，G，连接EF，FO，OG，EG． 因为E是棱PB的中点，所以，则E，F，O，G四点共面． 又，，所以平面． 同理可得平面，则平面平面， 故α截四棱锥P-ABCD所得截面为四边形EFOG． 所以，从而，则四边形EFOG为直角梯形． ，，， 则四边形的面积， 即α截四棱锥P-ABCD所得截面的面积为． 地 城 考点04 二面角 一、单选题 1．C 二、多选题 2．ABD 三、解答题 3．【详解】（1）在中，点分别为的中点， 所以，因为平面，而不在平面内， 所以平面. 因为，所以. 因为为等边三角形，所以， 所以.又，所以. 又因为平面，而不在平面内， 所以平面. 又平面， 所以平面平面. （2）取的中点为，连接. 因为，所以. 因为，平面平面， 所以二面角的平面角为. 因为，所以. 所以. 根据余弦定理得. 所以二面角的余弦值为. 4．【详解】（1）取BC的中点M，连结MA、．    因为，，所以，， 由于AM，平面，且， 因此平面， 因为平面，所以， 又因为，所以， 因为平面平面ABC，平面平面，且平面，所以平面ABC， 因为，所以平面ABC. （2）将直三棱柱补成长方体． 连接，过点C作，垂足为P，再过P作，垂足为Q，连接CQ，    因为平面，且平面， 所以， 又因为，由于BD，平面，且， 所以平面，则为直角三角形， 由于平面，所以， 因为，平面CPQ，且，所以平面CPQ， 因为平面CPQ，所以， 则∠CQP为平面与平面的夹角或补角， 在中，由等面积法可得, 因为，所以， 因此平面与平面夹角的余弦值为. 5．【详解】（1）因为，平面，平面，所以平面， 因为平面，平面平面，故. （2）过点在平面内作，垂足为点，如图所示： 因为平面平面，平面平面，平面， ，故平面， 因为平面，所以， 因为平面，平面，所以， 因为，、平面，所以平面， 因为平面，所以， 因为，故与所成的角为或其补角， 又因为，则为等腰直角三角形，则， 即与所成的角为. （3）取的中点，连接， 因为，，，故， 所以，四边形为平行四边形，所以，， 由平面，平面，则， 而，平面，于是平面， 又平面，则，过作于，连接， 显然，、平面，因此平面， 而平面，则，即是二面角的平面角， 由，，得， 则，，， 所以二面角的余弦值是. 6．【详解】（1）取与的交点为， 由三棱柱中，各个侧面均是边长为2的正方形，可知三棱柱为正三棱柱， 故平面， 因为平面，所以， 因为为线段的中点，所以， 因为，平面， 所以平面， 因为平面，所以, 因为D，E分别为线段，的中点， 所以， 所以， 又因为， 所以 所以， 所以 又因为平面， 所以平面. （2）连接，且，连接 在中，O为中点，为中点，所以 因为平面平面 所以平面． （3）过点作于点，过点作于点， 由（1）知平面 平面，， 又， ，平面，平面 平面，， 又， ，平面，平面， 平面，， 为二面角的平面角， 在中，由面积相等得， 即，解得，， 同理在中可求得，， 在中，， 在中，由余弦定理可得 ，， 在中，． 所以二面角大小的余弦值为. 7．【详解】（1），又，平面， 故平面， 又平面，故平面平面； （2）取中点为，过作于，连接， 由（1）知平面平面，且两平面的交线为, 由于,是的中点， 故,平面，故平面， 平面，则， 结合，平面， 故平面，平面，故， 因此为二面角的平面角， 设,则,故 （3）由于M，N分别为BD，CD的中点，故, 平面，平面， 故平面, 平面,且平面与平面的交线为l，故， 故与所成的角即为直线l与BD所成角的角， 由于与所成的角为 故直线l与BD所成角的余弦值为． 8．【详解】（1）由是边长为4的正方形，且， 由都在平面内，则平面，平面， 所以，又，都在平面内，则平面， 由平面，则，又，为的中点，则， 由都在平面内，则平面，平面， 所以平面平面； （2）由，且，则， 所以，，， 所以， 故，故到的距离， 又到平面的距离，则二面角的正弦值， 又，则所求二面角的正弦值范围为； 地 城 考点05 点到面距离 一、单选题 1．B 二、解答题 2．【详解】（1）证明：取中点G，连结． ∵E，G分别是的中点， ∴且． ∵F是中点，， ∴且． ∴为平行四边形． ∴． 又∵平面，平面， ∴平面． （2）∵E是中点，平面 ∴点E到平面的距离为． ∵，，， ∴， 且,即． ∴． ∵为平行四边形， ∴． ∵， ∴，即． ∴． ∵， ∴． ∴点B到平面的距离． 3．【详解】（1）若是的中点，连接，又、分别为棱的中点， 根据中位线的性质知，， 由平面，平面，则平面，同理平面， 由都在平面内，故平面平面， 又平面，所以平面； （2）由题设，易知为等腰直角三角形，且，则， 由题设，易知四边形为直角梯形，且，，则， 综上，，则， 由平面，平面，则，同理可证， 由都在平面内，则平面，平面， 所以平面平面，而平面，且平面平面， 所以在平面上的投影在直线上，故与平面所成角为或其补角， 在中，则，故， 所以与平面所在角的正弦值为； （3）由（2）平面，平面，则，故， 由 ， 若点到平面的距离为，则，可得. 4．【详解】（1）连接，交于点，连接， 因为，分别是，的中点，所以是的中位线， 所以，因为平面，平面， 所以平面. （2）设的面积为，棱长的长度为，到平面的距离为， 因为直三棱柱的体积， 因为是的中点，所以的面积为，    所以三棱锥的体积， 因为的面积为，由得，解得. 所以到平面的距离为. 5．【详解】（1）由题意可得的边长为，则其外接圆半径， 所以此圆锥侧面积为：. （2）取中点，连接，，如图，因，所以可得， 又，，，所以可得，， 又因平面，因平面，所以平面， 又因平面，因平面，所以平面， 又，平面，所以平面平面， 又平面，所以平面. （3）连接，，由题可知底面圆的直径，点与点关于平面对称， 作交于点，连接，则由点，则就是二面角，且，则， 在中，由余弦定理得，解得， 连接，由，， 所以， 即，解得，负值舍去， 所以可得， 连接，由为底面圆的直径，则， 所以，， 设点到平面的距离为， 所以，即， 即，解得. 故点到平面的距离为. 地 城 考点06 探索类问题 一多选题 1．BC 2．ABD 3．ACD 二、填空题 4．①③④ 三、解答题 5．【详解】（1）设，交于点，连接，则为中点. 在中，，分别为，中点，所以. 因为平面，平面， 所以平面. （2）过点作，垂足为，过点作，垂足为，连接. 因为平面平面，平面平面， 所以平面. 因为平面，所以. 又，，，平面. 所以平面. 因为平面，所以， 则即为平面与底面所成二面角的平面角. 设，则，，故， 所以， 即二面角的余弦值为. （3）存在点，当时，平面平面. 证明如下： 如图，取中点，连接交于点，连接， 因为是正三角形，所以. 因为平面平面，平面平面， 所以平面. 因为，所以，所以平面. 因为平面，所以. 因为底面是正方形，所以. 又，，平面，所以平面， 又平面，所以平面平面， 所以棱上点存在点，当时，平面平面. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 点线面位置关系 6大高频考点概览 考点01点线面位置关系概念 考点02平行与垂直 考点03线线角/线面角 考点04二面角 考点05点到面距离 考点06探索类问题 地 城 考点01 点线面位置关系概念 一、单选题 1．(24-25高一下·黑龙江黑河龙西北名校联盟·期末)已知、是不同的平面，为内的一条直线，则“”是“”的（    ）条件 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】利用面面垂直的判定定理和性质定理即可作出判断. 【详解】非充分性：不能推出， 必要性：， 则“”是“”的必要不充分条件. 故选：B 2．(24-25高一下·黑龙江哈尔滨师范大学附属中学·期末)已知m，n是不同的直线，，是不重合的平面，则下列说法正确的是（   ） A．若，则m平行于平面内的任意一条直线 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，，则 【答案】D 【分析】对于A，由线面平行的性质即可判断；对于B，由答案不完备即可判断；对于C，由线面垂直的性质即可判断；对于D，直接证明即可. 【详解】对于A，若，则m平行于平面内的无数条平行直线，但不是任意一条直线，故A错误； 对于B，若，，则平行、相交或异面，故B错误； 对于C，若，，则，故C错误； 对于D，若，，则若，又，则. 故选：D. 3．(24-25高一下·黑龙江绥化安达高级中学·期末)下列选项正确的是（     ） A．空间三点确定一个平面 B．如果一个平面内有无数条直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行 C．过一点有且只有一条直线与已知平面垂直 D．如果空间中一个角的两边和另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等 【答案】C 【分析】根据基本事实1判断A，根据面面平行的判定判断B，根据线面垂直的性质判断C，根据空间角的定理判断D. 【详解】空间中不共线的三点确定一个平面，故A错； 如果一个平面内有两条相交直线与另一个平面平行， 那么这两个平面平行，无数并不代表所有，故B错； 过一点有且只有一条直线与已知平面垂直，故C对； 如果空间中一个角的两边和另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补，故D错. 故选：C 4．(24-25高一下·黑龙江双鸭山部分学校·期末)m，n为空间两条不重合直线，为空间平面，下列命题正确的是（    ） A．，，则 B．m，n与所成角均为30°，则 C．，，，则直线m，n到的距离相等 D．，，则m，n可以是异面直线 【答案】D 【分析】根据直线、平面的位置关系、等角定理，结合图形，通过举反例进行判断. 【详解】对于A，，，则有可能，A错误； 对于B，m，n与所成角均为30°，则可能相交或平行或异面，B错误；    对于C，，，，直线m，n到的距离可以不相等，C选项错误；    对于D，，，则m，n可以是平行直线，相交直线，也可以是异面直线，D选项正确. 故选：D. 5．(24-25高一下·吉林、黑龙江六校联考·期末)空间中有两个不同的平面和两条不同的直线，则下列说法错误的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】B 【分析】根据各项线线、线面、面面的位置关系，结合平面的基本性质判断各项的正误. 【详解】A：由，则或，又，则，对； B：由，则平行或相交（不一定垂直），错； C：由，则，又，则必有，对； D：由，则，又，则，对. 故选：B 6．(24-25高一下·黑龙江哈尔滨第三中学校·期末)若m，n为两条不同的直线，，为两个不同的平面，则下列结论中正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】C 【分析】根据已知条件判断线线位置关系，可判断A选项；根据已知条件判断线面位置关系，可判断B，D选项；根据已知条件判断面面位置关系，可判断C选项. 【详解】对于A选项，，，则平行或异面，A错； 对于B选项，，，则，或，B错； 对于C选项，，，则，则，C正确； 对于D选项，，，设，则可能，D错误.    故选：C. 7．(24-25高一下·黑龙江牡丹江第二高级中学·期末)已知，为两条不同的直线，，为两个不同的平面，对于下列四个命题：①，；②若，为异面直线，，，，；③，，；④，.其中正确命题的个数有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【分析】根据线、面位置关系结合线、面平行的判定定理分析判断即可. 【详解】对于①，，或，故①错误； 对于②，因为，，记，， 则，因为，所以，假设不相交，则， 则，这与，为异面直线，故相交， 又，，所以，故②正确； 对于③，，，或异面，故③错误； 对于④，，或异面，故④错误. 所以正确命题的个数有1个. 故选：B. 8．(24-25高一下·黑龙江哈尔滨德强高级中学·期末)设，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，给出下列四个命题： ①若，，则；②若，，，则； ③若，，，则；④若，，且，则. 其中真命题的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】根据空间中点线面的位置关系，即可结合选项逐一求解. 【详解】对于①，，，则；①正确， 对于②，若，，故，又，则；②正确， 对于③，若，，，则或者，异面；③错误， 对于④，若，，且，则，则④正确， 故选：D 二、多选题 9．(24-25高一下·黑龙江龙东联盟·期末)（多选）已知是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】BC 【分析】对于A，由答案不完备即可判断；对于B，由线面垂直的性质判断即可；对于C，由线面平行的判定定理判断即可；对于D，由面面垂直的判定定理判断即可. 【详解】对于A，若，则或，故A错误； 对于B，若，则，又，，故B正确； 对于C，由线面平行的判定定理可知，若，则，故C正确； 对于D，若，则，故D错误. 故选：BC. 10．(24-25高一下·黑龙江大庆大庆中学·期末)（多选）设是三条不同的直线，是三个不同的平面，则下列命题为真命题的是（    ） A．若，，则∥ B．若∥，∥，，则∥ C．若，，，则 D．若，，，则 【答案】BCD 【分析】运用线线位置关系、线面位置关系可判断A项、B项，由线面平行的性质、线面垂直性质及面面垂直的判定定理可判断C项，由面面垂直性质及线面垂直的判定定理可判断D项. 【详解】对于A项，若，，则与可能平行、相交、异面，故A项不成立； 对于B项，因为，，所以或，又，所以，故B项正确； 对于C项，因为，，所以或， 当时，又因为，所以， 当时，过直线作平面使得，如图所示， 因为，，，所以， 又因为，所以， 又因为，所以，故C项正确； 对于D项，设，，过平面内一点，分别作，，如图所示， 因为，，，，所以， 又因为，所以，同理：， 又因为，、， 所以，故D项正确. 故选：BCD. 地 城 考点02 平行与垂直 一、单选题 1．(24-25高一下·黑龙江大庆大庆中学·期末)在四棱锥中，底面为平行四边形，E为线段上靠近A的三等分点，F为线段上一点，当平面时，（    ） A．3 B．4 C． D． 【答案】D 【分析】根据线面平行性质定理得出线线平行，再根据平行得出比例关系即可. 【详解】如图，连接交于点，连接 因为平面平面，平面平面所以， 所以，因为为的三等分点， 则即. 故选：D. 二、多选题 2．(24-25高一下·黑龙江绥化安达高级中学·期末)（多选）如图，在多边形ABPCD中（图1）.四边形为长方形，为正三角形，，，现以BC为折痕将折起，使点P在平面ABCD内的射影恰好是AD的中点（图2）.若点E在线段PB上运动，Q点在AD上运动，则（   ） A．平面PAD B．平面平面 C．Q到平面的距离为2 D．当时，三棱锥的体积为 【答案】ABD 【分析】取的中点，利用线面垂直得判定定理即可求证A选项；设平面平面，利用线面平行得判定定理和性质定理求证即可得出为二面角的平面角，再利用勾股定理求证即可判断B选项；利用即可判断C选项；利用即可判断D选项. 【详解】对于A，取的中点，连接，由题知平面， 因为平面，所以， 又四边形为长方形，则， 又，平面，所以平面，故A正确； 对于B，设平面平面， 因，平面，平面，则平面， 因平面，且平面平面，则， 由A选项可知，平面，结合平面， 有，则， 故为二面角的平面角， 因，为正三角形，则， 因，则在中，有，同理， 则，即， 故平面平面，则B正确； 对于C，由AB选项易得，设点到平面的距离为， 则由得，， 即， 故Q到平面的距离为，故C错误； 对于D，因， 则， 故D正确. 故选：ABD 三、解答题 3．(24-25高一下·黑龙江哈尔滨第十二中学校·期末)如图，在四棱锥中，底面是菱形，侧棱底面是的中点，是的中点．    (1)证明：平面； (2)证明：平面． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）利用线面平行判定定理进行证明； （2）利用线面垂直的判定定理进行证明； 【详解】（1）如图，连，，， 平面平面，平面    （2）平面平面，， 菱形为菱形的对角线，， 平面， 平面． 4．(24-25高一下·黑龙江双鸭山部分学校·期末)如图，在棱长为1的正方体中，，，，分别是棱，，，的中点. （1）计算棱台的体积； （2）求证：平面平面. 【答案】（1）；（2）证明见解析. 【分析】（1）根据棱台的体积公式求解. （2）连接，则，利用线面平行的判定定理得到平面，同理平面，利用面面平行的判定定理证明. 【详解】（1）由题可知，，，. 根据棱台的体积公式，可得. （2）如图所示: 连接，则. 又平面， 平面 所以平面 连接，则. 所以四边形为平行四边形， 所以. 又平面，平面， 所以平面 因为， 所以平面平面. 5．(24-25高一下·黑龙江绥化安达高级中学·期末)如图，在正方体中，为的中点，为的中点．    (1)求证：平面； (2)求证：平面平面． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）连接交于点，利用中位线的性质得出，利用线面平行的判定定理可证得结论成立； （2）证明出平面，利用面面平行的判定定理可证得结论成立． 【详解】（1）连接交于点，则为的中点，    因为为的中点，则，平面，平面， 因此，平面． （2）因为且，为的中点，为的中点， 所以，，所以，四边形为平行四边形， 所以，平面，平面， 所以平面，又平面，， 因此，平面平面． 6．(24-25高一下·黑龙江哈尔滨第三十二中学校·期末)如图,在四棱锥P－ABCD中,四边形ABCD是菱形,PA=PC,E为PB的中点．求证: (1) 平面AEC; (2)平面AEC⊥平面PBD． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】(1) 设,连接,根据中位线可得,再根据线面平行的判定定理即可证明; (2)根据可得,根据四边形为菱形,可得,再根据线面垂直的判断定理可得平面,再根据面面垂直的判定定理即可得出结果. 【详解】（1）设,连接,如图所示: 因为O,E分别为,的中点,所以, 又因为平面,平面, 所以 平面． （2）连接,如图所示: 因为,为的中点,所以, 又因为四边形为菱形,所以, 因为平面,平面,且, 所以平面,又因为平面, 所以平面平面． 7．(24-25高一下·黑龙江大庆大庆中学·期末)如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为矩形，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥PD，PA＝PD，E为AD的中点． (1)求证：PE⊥BC； (2)求证：平面PAB⊥平面PCD. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）由等腰三角形的性质可得PE⊥AD，再由底面为平行四边形可得BC∥AD，从而可证得结论， （2）由底面ABCD为矩形，可得AB⊥AD，再由面面垂直的性质可得AB⊥平面PAD，则AB⊥PD，再由线面垂直的判定可得PD⊥平面PAB，然后利用面面垂直的判定定理可得结论. 【详解】（1）因为PA＝PD，E为AD的中点， 所以PE⊥AD， 因为底面ABCD为矩形，所以BC∥AD. 所以PE⊥BC. （2）因为底面ABCD为矩形，所以AB⊥AD. 又因为平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，AB⊂平面ABCD， 所以AB⊥平面PAD. 又PD⊂平面PAD，所以AB⊥PD. 又因为PA⊥PD，且PA∩AB＝A，PA，AB⊂平面PAB， 所以PD⊥平面PAB. 又PD⊂平面PCD， 所以平面PAB⊥平面PCD. 地 城 考点03 线线角/线面角 一、单选题 1．(24-25高一下·黑龙江哈尔滨德强高级中学·期末)如图，已知空间四边形的四条边以及对角线的长均为2，、分别是与的中点，则异面直线和所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据异面直线所成角的定义，借助平行关系作出平行直线，从而找到异面直线所称角或其补角，再根据余弦定理即可求解. 【详解】如图连接，设为中点，连接， 因为是中点，所以且， 所以为异面直线和所成的角或其补角， 由题意可得， 所以，，， 在中由余弦定理可得， 即异面直线和所成角的余弦值为， 故选：C 2．(24-25高一下·黑龙江哈尔滨第四中学校·期末)如图，三棱锥中，为等腰直角三角形，斜边为的中点，则直线所成角的余弦值为（   ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据线线平行可得或其补角为所求角，即可利用三角形的边角关系，结合余弦定理求解即可. 【详解】如图，取的中点N，连接，易得，则所成的角即为直线所成的角． 由为等腰直角三角形，斜边，得， 所以均为正三角形， 则， 在中，由余弦定理，得， 所以直线所成角的余弦值为， 故选:A．    3．(24-25高一下·黑龙江绥化海伦第一中学·期末)如图，为圆锥底面直径，点C是底面圆O上异于A，B的动点，已知，圆锥侧面展开图是圆心角为的扇形，当与所成角为时，与所成角为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出圆锥的母线长为2，得到为等边三角形，为等腰直角三角形，作出辅助线，得到（或其补角）即为与所成角，并由勾股定理和余弦定理求出各边长，利用余弦定理求出，求出，进而得到与所成角大小. 【详解】，故圆锥底面积周长为，设圆锥的母线长为， 圆锥侧面展开图是圆心角为的扇形，设扇形的半径为，则， 则，解得，即， 与所成角为时，所以为等边三角形，， 又为底面圆的直径，所以⊥，又， 由勾股定理得，故为等腰直角三角形， 其中，由勾股定理逆定理得⊥， 取的中点，连接，则，， 取的中点，连接，则， 故（或其补角）即为与所成角， 连接，则⊥平面，取的中点，连接，， 则，故⊥平面，又平面，所以⊥， 其中，，， ，，， 在中，由余弦定理得 ， 故， ， 所以，则与所成角大小为. 故选：D 4．(24-25高一下·黑龙江黑河龙西北名校联盟·期末)在正方体中，异面直线与所成角的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】把平移到，连结构成等边三角形，异面直线与所成角即为. 【详解】连结、，如下图： 在正方体中，且； 四边形为平行四边形，则； 又在正方体中，为等边三角形， 就是异面直线与所成角,， 异面直线与所成角的大小为. 故选：C. 5．(24-25高一下·黑龙江大庆大庆中学·期末)如图，在直三棱柱 中，所有棱长都相等，分别是棱 的中点，则异面直线与 所成角的余弦值是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用平移法作出异面直线与 所成角，解三角形即可求得答案. 【详解】连接，因为在直三棱柱中，分别是棱的中点， 故，即四边形为平行四边形，所以， 则即为异面直线与 所成角或其补角； 直三棱柱中，所有棱长都相等，设其棱长为，连接， 则平面，故平面平面， 故，是棱的中点，故， 则,而 ，又，故在中，, 由于异面直线所成角的范围，故异面直线与 所成角的余弦值是， 故选：D. 二、填空题 6．(24-25高一下·黑龙江大庆大庆实验中学·期末)已知三棱锥，，，，为线段中点，则异面直线与所成角的正弦值为_____________. 【答案】 【分析】取中点，则，所以即为异面直线与所成角，根据题干求出各边的长，利用余弦定理求解即可. 【详解】设中点为，连接，，    因为为线段中点，所以，则或其补角即为异面直线与所成角， 因为，，， 所以，，， 所以在中由余弦定理可得， 所以异面直线与所成角的正弦值为， 故答案为： 7．(24-25高一下·黑龙江哈尔滨师范大学附属中学·期末)如图，在正方体中，O为线段AC的中点，点E在线段上，则直线OE与平面所成角的余弦值的范围是______. 【答案】 【分析】求出点到平面的距离，再求出线段的取值范围，利用线面角的正弦公式求解. 【详解】令正方体的棱长为2，由，得四边形为平行四边形， 则，而平面，平面，于是平面， 点到平面的距离等于点到平面的距离， ，，由， 得，解得，矩形中，O为线段AC的中点， 则，令直线OE与平面所成的角为，则， 所以直线OE与平面所成角的余弦值的范围是. 故答案为： 8．(24-25高一下·黑龙江哈尔滨第七十三中学校·期末)如图，圆锥的底面半径为3，母线长为4，是圆锥的高，点C是底面直径所对弧的中点，点D是母线上的点，，则直线与平面所成的角的正切值为________．    【答案】/ 【分析】作出直线与平面所成的角，求出OD的长，解直角三角形即可求得答案. 【详解】连接，    因为是圆锥的高，故平面，平面， 故，又点C是底面直径所对弧的中点，则， 平面，故平面， 则即为直线与平面所成的角， 因为圆锥的底面半径为3，母线长为4，故， ，则, 故, 在中，, 即直线与平面所成的角的正切值为， 故答案为： 三、解答题 9．(24-25高一下·黑龙江龙东联盟·期末)如图，正三棱柱中，，为的中点． (1)求证：平面； (2)求异面直线与所成角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）只需证明，再结合线面平行的判定定理即可得证； （2）只需说明是异面直线与所成的角或其补角，再结合余弦定理求解即可. 【详解】（1）连接，交于点，连接，则为的中点， 又为的中点，所以． 因为平面，平面，所以平面． （2）由（1）知，所以是异面直线与所成的角或其补角． 由题知，， 在中由余弦定理，得. 10．(24-25高一下·黑龙江牡丹江第二高级中学·期末)如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，为等边三角形，平面平面，，，． (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）取的中点，连结，由平面几何的性质结合面面垂直的性质可得平面，进而可得，再由线面垂直的判定得证即可. （2）由线面角的概念可得即为直线与平面所成的角，再结合定义法得解即可. 【详解】（1）取的中点，连接，如图， 因为为等边三角形，所以， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 因为平面，所以， 又，，面，故平面. （2）连接，如图， 由（1）得平面，故即为直线与平面所成的角， 由，可得，， 故. 11．(24-25高一下·黑龙江黑河龙西北名校联盟·期末)如图，正四棱台中，，. (1)求证：平面平面； (2)求与平面所成角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）设交于，连接并交于，连接，则根据线面垂直的性质定理得，由线面垂直的判定定理可得平面，进而利用面面垂直的判定定理证明即可； （2）取OC中点，连接，先证四边形为平行四边形，结合，利用线面垂直的性质得平面，根据线面角的定义得即可所求，过作，连接，根据等腰梯形的性质求出，最后在中求解即可. 【详解】（1）设交于，连接并交于，连接， 由正棱台的性质可知平面，平面， 所以，又，，平面， 所以平面，又平面，所以平面平面； （2）取OC中点，连接，则， 所以四边形为平行四边形，所以，而平面， 故平面，所以为与平面所成角， 过作，连接，则，所以， 所以，在中，， 所以，即与平面所成角的余弦值为. 12．(24-25高一下·黑龙江绥化安达高级中学·期末)如图，在四棱锥中，底面为菱形，，，底面，E是棱PB的中点． (1)证明：平面平面． (2)求PB与平面PCD所成角的余弦值． (3)记过点E且与平面PAD平行的平面为α，求α截四棱锥所得截面的面积． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)． 【分析】（1）先应用线面垂直判定定理得出平面，最后结合所应用面面垂直判定定理证明； （2）先应用线面垂直判定定理得出平面，再结合线面角定义得出是PB与平面PCD所成角，求出余弦值即可； （3）应用线面平行判定定理得出平面进而得出平面平面， 进而得出截面为梯形，最后计算求值. 【详解】（1）证明：因为底面为菱形，所以． 又平面，平面，所以． 因为平面，所以平面． 又平面，所以平面平面． （2）取CD的中点O，连接BO，PO． 在菱形ABCD中，由，可得． 因为平面，平面，所以． 又平面，所以平面， 则∠BPO即为PB与平面PCD所成的角． 因为，所以，，， 则，即PB与平面PCD所成角的余弦值为． （3）分别取AB，PC的中点F，G，连接EF，FO，OG，EG． 因为E是棱PB的中点，所以，则E，F，O，G四点共面． 又，，所以平面． 同理可得平面，则平面平面， 故α截四棱锥P-ABCD所得截面为四边形EFOG． 所以，从而，则四边形EFOG为直角梯形． ，，， 则四边形的面积， 即α截四棱锥P-ABCD所得截面的面积为． 地 城 考点04 二面角 一、单选题 1．(24-25高一下·黑龙江绥化安达高级中学·期末)已知圆锥的顶点为为底面圆心，母线互相垂直且的面积为2，直线SA与圆锥底面所成角为，则二面角的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二面角的平面角的概念，做出二面角的平面角，求出各边长，在求出二面角的平面角的正弦值，判断角的大小. 【详解】取的中点，连接， 因为，为的中点，则，由垂径定理可得， 所以二面角的平面角为， 因为平面，平面，则， 因为，，则为等腰直角三角形， ，则，，， 因平面，则为直线SA与圆锥底面所成角，即， 则在中，，故， 所以，， 因为，故，即二面角的大小为. 故选：C. 二、多选题 2．(24-25高一下·黑龙江绥化海伦第一中学·期末)（多选）如图，该几何体为圆锥与半球组成的组合体，其中圆锥轴截面为边长为2的正三角形，点为半球面上的一个动点，则下列说法正确的是（    ） A．该组合体的体积为 B．与平面所成角的取值范围为 C．平面与平面所成角的取值范围为 D．当时，点形成的轨迹长度为 【答案】ABD 【分析】根据圆锥的轴截面求得半球的半径，圆锥的底面圆半径和高，根据球的体积和圆锥的体积公式求解判断A，利用组合体的对称性求得两种临界情况的角，即可判断B，根据二面角的定义作出二面角的平面角，利用余弦定理及余弦函数单调性求得二面角的平面角小于，即可判断C，根据圆锥的性质得点的轨迹，结合圆的周长即可判断D. 【详解】由题意得半球的半径为1，则体积为，圆锥的底面半径为1，高为，则体积为， 则该组合体的体积为，故A正确； 根据圆锥和半球的对称性知，当Q位于弧AB中点时，与平面所成角最大， 此时角的大小和一样大，在直角三角形中，，所以， 当Q在平面内时，与平面所成角最小，此时角为0， 故与平面所成角的取值范围为，故B正确； 当Q位于弧AB中点时，作，连接AM，则，如图所示， 则为二面角的平面角，因为， 所以由余弦定理得， 因为，所以， 所以在中，，则， 在中，由余弦定理得， 则二面角的平面角小于，则平面与平面所成角大于，故C错误； 当时，则由旋转体的性质知点形成的轨迹是半径为的圆，如图所示， 在中，即，， 故，解得，则轨迹长度为，故D正确. 故选：ABD 三、解答题 3．(24-25高一下·黑龙江哈尔滨第三中学校·期末)如图，在四棱锥中，为等边三角形，，，，，点E，F分别为，的中点. (1)求证：平面平面； (2)求二面角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）要证明两平面平行，所以需要证明一平面内两条相交直线与另一平面平行，即证明平面和平面. （2）作辅助线确定二面角的平面角，然后根据余弦定理求出其余弦值. 【详解】（1）在中，点分别为的中点， 所以，因为平面，而不在平面内， 所以平面. 因为，所以. 因为为等边三角形，所以， 所以.又，所以. 又因为平面，而不在平面内， 所以平面. 又平面， 所以平面平面. （2）取的中点为，连接. 因为，所以. 因为，平面平面， 所以二面角的平面角为. 因为，所以. 所以. 根据余弦定理得. 所以二面角的余弦值为. 4．(24-25高一下·黑龙江双鸭山部分学校·期末)如图，三棱柱中，侧面底面ABC，且，．    (1)证明：平面ABC； (2)若，，求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析； (2). 【分析】（1）取BC的中点M，连结MA、，根据等腰三角形性质和线面垂直判定定理得平面，进而由得，再证明平面ABC即可得证. （2）建立空间直角坐标系，用向量法求解即可；也可用垂面法作出垂直于的垂面，从而得出二面角的平面角再进行求解即可. 【详解】（1）取BC的中点M，连结MA、．    因为，，所以，， 由于AM，平面，且， 因此平面， 因为平面，所以， 又因为，所以， 因为平面平面ABC，平面平面，且平面，所以平面ABC， 因为，所以平面ABC. （2）将直三棱柱补成长方体． 连接，过点C作，垂足为P，再过P作，垂足为Q，连接CQ，    因为平面，且平面， 所以， 又因为，由于BD，平面，且， 所以平面，则为直角三角形， 由于平面，所以， 因为，平面CPQ，且，所以平面CPQ， 因为平面CPQ，所以， 则∠CQP为平面与平面的夹角或补角， 在中，由等面积法可得, 因为，所以， 因此平面与平面夹角的余弦值为. 5．(24-25高一下·吉林、黑龙江六校联考·期末)如图，在四棱锥中，平面，底面为梯形，，平面平面，且，. (1)若平面与平面相交于直线，求证：； (2)求与所成的角； (3)求二面角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）证明出平面，再利用线面平行的性质可证得结论成立； （2）证明出，可得出的形状，由异面直线所成角的定义可知与所成的角为或其补角，即可得解； （3）取的中点，连接，过作于，连接，根据线面垂直的判定和性质定理及二面角的定义有是二面角的平面角，进而求其余弦值. 【详解】（1）因为，平面，平面，所以平面， 因为平面，平面平面，故. （2）过点在平面内作，垂足为点，如图所示： 因为平面平面，平面平面，平面， ，故平面， 因为平面，所以， 因为平面，平面，所以， 因为，、平面，所以平面， 因为平面，所以， 因为，故与所成的角为或其补角， 又因为，则为等腰直角三角形，则， 即与所成的角为. （3）取的中点，连接， 因为，，，故， 所以，四边形为平行四边形，所以，， 由平面，平面，则， 而，平面，于是平面， 又平面，则，过作于，连接， 显然，、平面，因此平面， 而平面，则，即是二面角的平面角， 由，，得， 则，，， 所以二面角的余弦值是. 6．(24-25高一下·黑龙江绥化海伦第一中学·期末)如图，在三棱柱中，各个侧面均是边长为2的正方形，D，E分别为线段，的中点． (1)求证：平面； (2)求证：直线平面； (3)求二面角大小的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）利用正三棱柱的性质得，，则证得线面垂直； （2）设，连接，由中位线定理得，从而可得线面平行． （3）找出二面角的平面角，在三角形中用余弦定理求解即可. 【详解】（1）取与的交点为， 由三棱柱中，各个侧面均是边长为2的正方形，可知三棱柱为正三棱柱， 故平面， 因为平面，所以， 因为为线段的中点，所以， 因为，平面， 所以平面， 因为平面，所以, 因为D，E分别为线段，的中点， 所以， 所以， 又因为， 所以 所以， 所以 又因为平面， 所以平面. （2）连接，且，连接 在中，O为中点，为中点，所以 因为平面平面 所以平面． （3）过点作于点，过点作于点， 由（1）知平面 平面，， 又， ，平面，平面 平面，， 又， ，平面，平面， 平面，， 为二面角的平面角， 在中，由面积相等得， 即，解得，， 同理在中可求得，， 在中，， 在中，由余弦定理可得 ，， 在中，． 所以二面角大小的余弦值为. 7．(24-25高一下·黑龙江绥化哈尔滨师范大学青冈实验中学校·期末)一副三角板按如图所示的方式拼接，将折起，使得． (1)证明：平面平面； (2)求二面角的余弦值； (3)设BD，CD的中点分别为M，N，平面AMN与平面ABC的交线为l，求直线l与BD所成角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）根据线线垂直，结合线面垂直的判定可得平面，即可由面面垂直的判定求解， （2）根据二面角的定义，结合垂直关系可得为所求角，即可利用三角形的边角关系求解， （3）根据线面平行的性质可得与所成的角即为直线l与BD所成角的角，即可求解. 【详解】（1），又，平面， 故平面， 又平面，故平面平面； （2）取中点为，过作于，连接， 由（1）知平面平面，且两平面的交线为, 由于,是的中点， 故,平面，故平面， 平面，则， 结合，平面， 故平面，平面，故， 因此为二面角的平面角， 设,则,故 （3）由于M，N分别为BD，CD的中点，故, 平面，平面， 故平面, 平面,且平面与平面的交线为l，故， 故与所成的角即为直线l与BD所成角的角， 由于与所成的角为 故直线l与BD所成角的余弦值为． 8．(24-25高一下·黑龙江大庆大庆实验中学·期末)如图1，是边长为4的正方形，点在的延长线，且，连接，将沿翻折，使点到点的位置，且，得到如图2所示的四棱锥，若为的中点，是棱上动点． (1)当为的中点时．求证：平面平面； (2)若，求二面角的正弦值的取值范围． 【答案】(1)证明见解析； (2). 【分析】（1）由题设及线面垂直的判定和性质得，进而得平面，再由线面、面面垂直的判定证明结论； （2）由题设，令，根据几何关系法、余弦定理、勾股定理及平方关系求到的距离、到平面的距离，进而求二面角正弦值的范围. 【详解】（1）由是边长为4的正方形，且， 由都在平面内，则平面，平面， 所以，又，都在平面内，则平面， 由平面，则，又，为的中点，则， 由都在平面内，则平面，平面， 所以平面平面； （2）由，且，则， 所以，，， 所以， 故，故到的距离， 又到平面的距离，则二面角的正弦值， 又，则所求二面角的正弦值范围为； 地 城 考点05 点到面距离 一、单选题 1．(24-25高一下·黑龙江大庆大庆中学·期末)《九章算术·商功》：“斜解立方，得两堑堵，斜解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑．阳马居二，鳖臑居一，不易之率也．合两鳖臑三而一，验之以基，其形露矣．”文中“阳马”是底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥．在阳马中，侧棱底面，且，，则点到平面的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用等体积法有，即可求到平面的距离. 【详解】 设到平面的距离为，则三棱锥PABD的体积为： ，即有， ∴． 故选：B． 二、解答题 2．(24-25高一下·黑龙江哈尔滨第七十三中学校·期末)已知四棱锥中，⊥平面，底面是平行四边形，且，，，，E为中点，F为中点． (1)证明：平面； (2)求点B到平面的距离． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）取中点G，连结，先证明四边形为平行四边形，再利用直线平面平行的判定定理即可证明； （2）根据题意，利用勾股定理分别证明和，即分别求得和，进而利用等体积法即由可得点B到平面的距离. 【详解】（1）证明：取中点G，连结． ∵E，G分别是的中点， ∴且． ∵F是中点，， ∴且． ∴为平行四边形． ∴． 又∵平面，平面， ∴平面． （2）∵E是中点，平面 ∴点E到平面的距离为． ∵，，， ∴， 且,即． ∴． ∵为平行四边形， ∴． ∵， ∴，即． ∴． ∵， ∴． ∴点B到平面的距离． 3．(24-25高一下·黑龙江大庆大庆实验中学·期末)如图，在四棱锥中，底面是梯形， ．平面，、分别为棱的中点， (1)证明：平面； (2)求与平面所成角的正弦值； (3)求点到平面的距离． 【答案】(1)证明见解析； (2)； (3). 【分析】（1）若是的中点，连接，根据已知易得，再由线面、面面平行的判定证明平面平面，最后由面面平行的性质证明结论； （2）利用线面、面面垂直的判定证明平面平面，即得在平面上的投影在直线上，进而确定线面角的平面角，即可求其正弦值； （3）应用等体积法求点面距离即可. 【详解】（1）若是的中点，连接，又、分别为棱的中点， 根据中位线的性质知，， 由平面，平面，则平面，同理平面， 由都在平面内，故平面平面， 又平面，所以平面； （2）由题设，易知为等腰直角三角形，且，则， 由题设，易知四边形为直角梯形，且，，则， 综上，，则， 由平面，平面，则，同理可证， 由都在平面内，则平面，平面， 所以平面平面，而平面，且平面平面， 所以在平面上的投影在直线上，故与平面所成角为或其补角， 在中，则，故， 所以与平面所在角的正弦值为； （3）由（2）平面，平面，则，故， 由 ， 若点到平面的距离为，则，可得. 4．(24-25高一下·黑龙江哈尔滨第四中学校·期末)如图，直三棱柱的体积为4，是的中点.    (1)求证：平面； (2)若的面积为，求点到平面的距离. 【答案】(1)证明见解析； (2). 【分析】（1）连接，交于点，连接，易得，再由线面平行的判定证明结论； （2）设的面积为，棱长的长度为，到平面的距离为，再应用等体积法有求点面距. 【详解】（1）连接，交于点，连接， 因为，分别是，的中点，所以是的中位线， 所以，因为平面，平面， 所以平面. （2）设的面积为，棱长的长度为，到平面的距离为， 因为直三棱柱的体积， 因为是的中点，所以的面积为，    所以三棱锥的体积， 因为的面积为，由得，解得. 所以到平面的距离为. 5．(24-25高一下·黑龙江黑河龙西北名校联盟·期末)如图，圆锥的顶点为，底面圆心为，母线长为6，边长为的等边内接于底面圆，射线与圆交于点，直线，且点满足，. (1)求此圆锥的侧面积； (2)若，，，求证：平面； (3)当为中点，且二面角的余弦值为时，求点到平面的距离. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）由题可求得底面圆半径，再结合圆锥侧面积公式即可求解. （2）取中点，连接，，由面面平行证明平面平面，从而可求解； （3）作交于点，连接，由几何知识可得则就是二面角，再利用余弦定理及三角形等面积法求得，再利用等体积法即，从而可求解. 【详解】（1）由题意可得的边长为，则其外接圆半径， 所以此圆锥侧面积为：. （2）取中点，连接，，如图，因，所以可得， 又，，，所以可得，， 又因平面，因平面，所以平面， 又因平面，因平面，所以平面， 又，平面，所以平面平面， 又平面，所以平面. （3）连接，，由题可知底面圆的直径，点与点关于平面对称， 作交于点，连接，则由点，则就是二面角，且，则， 在中，由余弦定理得，解得， 连接，由，， 所以， 即，解得，负值舍去， 所以可得， 连接，由为底面圆的直径，则， 所以，， 设点到平面的距离为， 所以，即， 即，解得. 故点到平面的距离为. 地 城 考点06 探索类问题 一多选题 1．(24-25高一下·黑龙江哈尔滨第三中学校·期末)（多选）已知正方体的棱长为2，为空间中动点，为中点，则下列结论中正确的是（    ） A．若为线段上的动点，则存在点使得直线与所成角为 B．若为侧面上的动点，且平面，则点的轨迹的长度为 C．若为侧面上的动点，且，则点的轨迹的长度为 D．若为侧面上的动点，则存在点满足 【答案】BC 【分析】根据异面直线的夹角、线面平行、勾股定理、对称性等知识对选项逐一计算判断. 【详解】对于选项A： 作交于，因为，所以. 所以直线与所成角为直线与所成角. 因为，设， 则，解得. 根据勾股定理. 因为平面，，所以平面， 又平面，所以. 所以，化简得， 解得，因，所以， 所以在上不存在点使得直线与所成角为，所以A错误； 对于选项B： 取的中点分别为，根据中位线定理得， 因为平面，而不在平面内， 所以平面. 所以点的轨迹为，其长度为，所以B正确； 对于选项C： 因为平面，平面，所以. 根据勾股定理. 所以点的轨迹为以为原点以为半径的四分之一圆， 其轨迹长度为，所以C正确； 对于选项D： 延长至使得，连接. 那么是的最短路径. 根据勾股定理可得， 所以在侧面上不存在点满足，所以D错误. 故选：BC. 2．(24-25高一下·黑龙江哈尔滨德强高级中学·期末)（多选）如图，在直三棱柱中，，，点P是线段的中点，点Q是棱上的动点，则（    ） A． B．存在点Q，使得平面 C．三棱锥的体积为3 D．的最小值是 【答案】ABD 【分析】取的中点为，连接，即证平面，即可判断A，当为中点时，得，根据线面平行判断定理即可判断B，先证平面，得点到平面的高为，即计算即可判断C，将平面沿边展开，使得平面与平面共面时，则的值最小，利用勾股定理计算即可判断D. 【详解】取的中点为，连接，由点P是线段的中点，所以， 在直三棱柱中有平面，所以平面， 又平面，所以，又，所以， 又，平面，平面，又平面，所以，故A正确； 当为中点时，因为，又， 所以，所以四边形为平行四边形，所以， 又平面，平面，所以平面，故B正确； 又，，所以，， 又平面，平面，所以，又，，平面， 所以平面，所以点到平面的高为，又， 所以，故C错误； 将平面沿边展开，使得平面与平面共面时，则的值最小，由， 所以，所以，所以，故D正确. 故选：ABD. 3．(24-25高一下·黑龙江大庆大庆实验中学·期末)（多选）如图，四边形是一个正方形，，半圆面平面，动点在半圆弧上运动（点不与点、重合），动点在线段上运动，下列说法正确的是（    ） A．平面平面 B．存在点使得 C．当三棱锥体积最大时，二面角的正切值为 D．当三棱锥体积最大时，的最小值为 【答案】ACD 【分析】先由线面垂直的性质定理证明平面，再由面面垂直的判定定理可得A；由线面垂直的判定定理证明平面，得到，这与矛盾可判断B；取线段的中点，连接，过点在平面内作，垂足为点，连接，由线面垂直的性质找到二面角的平面角为可得C正确；将面与面展开成平面图，连接，由几何关系结合余弦定理可得D正确. 【详解】因为四边形为矩形，则，因为平面平面，平面平面，平面，所以平面， 对于A，因为平面，平面，所以， 因为，，、平面，所以平面， 因为平面，所以平面平面，故A正确； 对于B，当点运动到某一位置时，，由圆的几何性质可知， 因为，、平面，所以平面， 因为平面，所以， 因为平面，平面，所以，这与矛盾，故B错误； 对于C，如图1，取线段的中点，连接，过点在平面内作，垂足为点，连接， 当三棱锥体积最大时即点为半圆弧的中点，， 因为为的中点，所以， 因为平面平面，平面平面，平面，所以，平面， 因为平面，所以， 因为，，、平面，所以平面 ，因为平面，所以， 所以，二面角的平面角为， 因为，所以， 所以，，即二面角的正切值为，故C正确； 对于D，将面与面展开成平面图，连接，如图2所示，此时最小，由题意可知，，，所以， ， 再由余弦定理可知， 即的最小值为，故D正确. 故选：ACD. 二、填空题 4．(24-25高一下·黑龙江哈尔滨德强高级中学·期末)如图，正四面体的所有棱长为1、、分别是棱、上的点，且，，给出下列四个结论： ①存在、使得平面；    ②存在，使得； ③不存在，使得平面平面；    ④三棱锥体积的最大值为. 其中所有正确结论的序号是______. 【答案】①③④ 【分析】取时，得到，再根据线面平行的判定定理即可得解①；根据平面，求解②,根据三点共线时，平面平面，然后利用平面向量基本定理的推论判断即可③；对于④，先求出三棱锥的高AO，然后利用基本不等式求出面积的最大值，即可求出三棱锥体积的最大值． 【详解】当时，、分别是棱、的中点，此时， 因为平面，平面，所以平面，故①正确. 取中点为，连接,则,平面，则平面，平面，则, 假设，平面,且为平面内两相交直线， 故平面，这显然不合理，因此不存在，使得； ②错误， 设为的中心，连接，因为经过点有且只有一条直线垂直于平面 ，所以经过点且垂直于平面的平面一定经过直线， 即当且仅当三点共线时，平面平面， 因为，， 所以，，设的中点为，连接， 则，因为三点共线， 所以，整理得，因为，所以此方程无解， 所以不存在，使得平面平面，故③正确. 易知， 在中,，， 所以的面积， 当且仅当时等号成立，所以三棱推体积的最大值为. 故④正确. 故答案为：①③④ 三、解答题 5．(24-25高一下·黑龙江牡丹江第二高级中学·期末)如图，四棱锥的底面ABCD是正方形，是正三角形，平面平面ABCD，M是PD的中点. (1)求证：平面MAC； (2)求二面角的余弦值； (3)在棱PC上是否存在点Q使平面平面MAC成立？如果存在，求出的值；如果不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)存在， 【分析】（1）根据线线平行证明线面平行； （2）根据二面角的定义找出二面角的平面角，解三角形得解； （3）假设存在，利用面面垂直的判定定理证明即可. 【详解】（1）设，交于点，连接，则为中点. 在中，，分别为，中点，所以. 因为平面，平面， 所以平面. （2）过点作，垂足为，过点作，垂足为，连接. 因为平面平面，平面平面， 所以平面. 因为平面，所以. 又，，，平面. 所以平面. 因为平面，所以， 则即为平面与底面所成二面角的平面角. 设，则，，故， 所以， 即二面角的余弦值为. （3）存在点，当时，平面平面. 证明如下： 如图，取中点，连接交于点，连接， 因为是正三角形，所以. 因为平面平面，平面平面， 所以平面. 因为，所以，所以平面. 因为平面，所以. 因为底面是正方形，所以. 又，，平面，所以平面， 又平面，所以平面平面， 所以棱上点存在点，当时，平面平面. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 点线面位置关系 6大高频考点概览 考点01点线面位置关系概念 考点02平行与垂直 考点03线线角/线面角 考点04二面角 考点05点到面距离 考点06探索类问题 地 城 考点01 点线面位置关系概念 一、单选题 1．(24-25高一下·黑龙江黑河龙西北名校联盟·期末)已知、是不同的平面，为内的一条直线，则“”是“”的（    ）条件 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．(24-25高一下·黑龙江哈尔滨师范大学附属中学·期末)已知m，n是不同的直线，，是不重合的平面，则下列说法正确的是（   ） A．若，则m平行于平面内的任意一条直线 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，，则 3．(24-25高一下·黑龙江绥化安达高级中学·期末)下列选项正确的是（     ） A．空间三点确定一个平面 B．如果一个平面内有无数条直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行 C．过一点有且只有一条直线与已知平面垂直 D．如果空间中一个角的两边和另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等 4．(24-25高一下·黑龙江双鸭山部分学校·期末)m，n为空间两条不重合直线，为空间平面，下列命题正确的是（    ） A．，，则 B．m，n与所成角均为30°，则 C．，，，则直线m，n到的距离相等 D．，，则m，n可以是异面直线 5．(24-25高一下·吉林、黑龙江六校联考·期末)空间中有两个不同的平面和两条不同的直线，则下列说法错误的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 6．(24-25高一下·黑龙江哈尔滨第三中学校·期末)若m，n为两条不同的直线，，为两个不同的平面，则下列结论中正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 7．(24-25高一下·黑龙江牡丹江第二高级中学·期末)已知，为两条不同的直线，，为两个不同的平面，对于下列四个命题：①，；②若，为异面直线，，，，；③，，；④，.其中正确命题的个数有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 8．(24-25高一下·黑龙江哈尔滨德强高级中学·期末)设，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，给出下列四个命题： ①若，，则；②若，，，则； ③若，，，则；④若，，且，则. 其中真命题的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 二、多选题 9．(24-25高一下·黑龙江龙东联盟·期末)（多选）已知是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 10．(24-25高一下·黑龙江大庆大庆中学·期末)（多选）设是三条不同的直线，是三个不同的平面，则下列命题为真命题的是（    ） A．若，，则∥ B．若∥，∥，，则∥ C．若，，，则 D．若，，，则 地 城 考点02 平行与垂直 一、单选题 1．(24-25高一下·黑龙江大庆大庆中学·期末)在四棱锥中，底面为平行四边形，E为线段上靠近A的三等分点，F为线段上一点，当平面时，（    ） A．3 B．4 C． D． 二、多选题 2．(24-25高一下·黑龙江绥化安达高级中学·期末)（多选）如图，在多边形ABPCD中（图1）.四边形为长方形，为正三角形，，，现以BC为折痕将折起，使点P在平面ABCD内的射影恰好是AD的中点（图2）.若点E在线段PB上运动，Q点在AD上运动，则（   ） A．平面PAD B．平面平面 C．Q到平面的距离为2 D．当时，三棱锥的体积为 三、解答题 3．(24-25高一下·黑龙江哈尔滨第十二中学校·期末)如图，在四棱锥中，底面是菱形，侧棱底面是的中点，是的中点．    (1)证明：平面； (2)证明：平面． 4．(24-25高一下·黑龙江双鸭山部分学校·期末)如图，在棱长为1的正方体中，，，，分别是棱，，，的中点. （1）计算棱台的体积； （2）求证：平面平面. 5．(24-25高一下·黑龙江绥化安达高级中学·期末)如图，在正方体中，为的中点，为的中点．    (1)求证：平面； (2)求证：平面平面． 6．(24-25高一下·黑龙江哈尔滨第三十二中学校·期末)如图,在四棱锥P－ABCD中,四边形ABCD是菱形,PA=PC,E为PB的中点．求证: (1) 平面AEC; (2)平面AEC⊥平面PBD． 7．(24-25高一下·黑龙江大庆大庆中学·期末)如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为矩形，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥PD，PA＝PD，E为AD的中点． (1)求证：PE⊥BC； (2)求证：平面PAB⊥平面PCD. 地 城 考点03 线线角/线面角 一、单选题 1．(24-25高一下·黑龙江哈尔滨德强高级中学·期末)如图，已知空间四边形的四条边以及对角线的长均为2，、分别是与的中点，则异面直线和所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 2．(24-25高一下·黑龙江哈尔滨第四中学校·期末)如图，三棱锥中，为等腰直角三角形，斜边为的中点，则直线所成角的余弦值为（   ）    A． B． C． D． 3．(24-25高一下·黑龙江绥化海伦第一中学·期末)如图，为圆锥底面直径，点C是底面圆O上异于A，B的动点，已知，圆锥侧面展开图是圆心角为的扇形，当与所成角为时，与所成角为（   ） A． B． C． D． 4．(24-25高一下·黑龙江黑河龙西北名校联盟·期末)在正方体中，异面直线与所成角的大小为（    ） A． B． C． D． 5．(24-25高一下·黑龙江大庆大庆中学·期末)如图，在直三棱柱 中，所有棱长都相等，分别是棱 的中点，则异面直线与 所成角的余弦值是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 6．(24-25高一下·黑龙江大庆大庆实验中学·期末)已知三棱锥，，，，为线段中点，则异面直线与所成角的正弦值为_____________. 7．(24-25高一下·黑龙江哈尔滨师范大学附属中学·期末)如图，在正方体中，O为线段AC的中点，点E在线段上，则直线OE与平面所成角的余弦值的范围是______. 8．(24-25高一下·黑龙江哈尔滨第七十三中学校·期末)如图，圆锥的底面半径为3，母线长为4，是圆锥的高，点C是底面直径所对弧的中点，点D是母线上的点，，则直线与平面所成的角的正切值为________．    三、解答题 9．(24-25高一下·黑龙江龙东联盟·期末)如图，正三棱柱中，，为的中点． (1)求证：平面； (2)求异面直线与所成角的余弦值． 10．(24-25高一下·黑龙江牡丹江第二高级中学·期末)如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，为等边三角形，平面平面，，，． (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的余弦值． 11．(24-25高一下·黑龙江黑河龙西北名校联盟·期末)如图，正四棱台中，，. (1)求证：平面平面； (2)求与平面所成角的余弦值. 12．(24-25高一下·黑龙江绥化安达高级中学·期末)如图，在四棱锥中，底面为菱形，，，底面，E是棱PB的中点． (1)证明：平面平面． (2)求PB与平面PCD所成角的余弦值． (3)记过点E且与平面PAD平行的平面为α，求α截四棱锥所得截面的面积． 地 城 考点04 二面角 一、单选题 1．(24-25高一下·黑龙江绥化安达高级中学·期末)已知圆锥的顶点为为底面圆心，母线互相垂直且的面积为2，直线SA与圆锥底面所成角为，则二面角的大小为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 2．(24-25高一下·黑龙江绥化海伦第一中学·期末)（多选）如图，该几何体为圆锥与半球组成的组合体，其中圆锥轴截面为边长为2的正三角形，点为半球面上的一个动点，则下列说法正确的是（    ） A．该组合体的体积为 B．与平面所成角的取值范围为 C．平面与平面所成角的取值范围为 D．当时，点形成的轨迹长度为 三、解答题 3．(24-25高一下·黑龙江哈尔滨第三中学校·期末)如图，在四棱锥中，为等边三角形，，，，，点E，F分别为，的中点. (1)求证：平面平面； (2)求二面角的余弦值. 4．(24-25高一下·黑龙江双鸭山部分学校·期末)如图，三棱柱中，侧面底面ABC，且，．    (1)证明：平面ABC； (2)若，，求平面与平面夹角的余弦值． 5．(24-25高一下·吉林、黑龙江六校联考·期末)如图，在四棱锥中，平面，底面为梯形，，平面平面，且，. (1)若平面与平面相交于直线，求证：； (2)求与所成的角； (3)求二面角的余弦值． 6．(24-25高一下·黑龙江绥化海伦第一中学·期末)如图，在三棱柱中，各个侧面均是边长为2的正方形，D，E分别为线段，的中点． (1)求证：平面； (2)求证：直线平面； (3)求二面角大小的余弦值． 7．(24-25高一下·黑龙江绥化哈尔滨师范大学青冈实验中学校·期末)一副三角板按如图所示的方式拼接，将折起，使得． (1)证明：平面平面； (2)求二面角的余弦值； (3)设BD，CD的中点分别为M，N，平面AMN与平面ABC的交线为l，求直线l与BD所成角的余弦值． 8．(24-25高一下·黑龙江大庆大庆实验中学·期末)如图1，是边长为4的正方形，点在的延长线，且，连接，将沿翻折，使点到点的位置，且，得到如图2所示的四棱锥，若为的中点，是棱上动点． (1)当为的中点时．求证：平面平面； (2)若，求二面角的正弦值的取值范围． 地 城 考点05 点到面距离 一、单选题 1．(24-25高一下·黑龙江大庆大庆中学·期末)《九章算术·商功》：“斜解立方，得两堑堵，斜解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑．阳马居二，鳖臑居一，不易之率也．合两鳖臑三而一，验之以基，其形露矣．”文中“阳马”是底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥．在阳马中，侧棱底面，且，，则点到平面的距离为（    ） A． B． C． D． 二、解答题 2．(24-25高一下·黑龙江哈尔滨第七十三中学校·期末)已知四棱锥中，⊥平面，底面是平行四边形，且，，，，E为中点，F为中点． (1)证明：平面； (2)求点B到平面的距离． 3．(24-25高一下·黑龙江大庆大庆实验中学·期末)如图，在四棱锥中，底面是梯形， ．平面，、分别为棱的中点， (1)证明：平面； (2)求与平面所成角的正弦值； (3)求点到平面的距离． 4．(24-25高一下·黑龙江哈尔滨第四中学校·期末)如图，直三棱柱的体积为4，是的中点.    (1)求证：平面； (2)若的面积为，求点到平面的距离. 5．(24-25高一下·黑龙江黑河龙西北名校联盟·期末)如图，圆锥的顶点为，底面圆心为，母线长为6，边长为的等边内接于底面圆，射线与圆交于点，直线，且点满足，. (1)求此圆锥的侧面积； (2)若，，，求证：平面； (3)当为中点，且二面角的余弦值为时，求点到平面的距离. 地 城 考点06 探索类问题 一多选题 1．(24-25高一下·黑龙江哈尔滨第三中学校·期末)（多选）已知正方体的棱长为2，为空间中动点，为中点，则下列结论中正确的是（    ） A．若为线段上的动点，则存在点使得直线与所成角为 B．若为侧面上的动点，且平面，则点的轨迹的长度为 C．若为侧面上的动点，且，则点的轨迹的长度为 D．若为侧面上的动点，则存在点满足 2．(24-25高一下·黑龙江哈尔滨德强高级中学·期末)（多选）如图，在直三棱柱中，，，点P是线段的中点，点Q是棱上的动点，则（    ） A． B．存在点Q，使得平面 C．三棱锥的体积为3 D．的最小值是 3．(24-25高一下·黑龙江大庆大庆实验中学·期末)（多选）如图，四边形是一个正方形，，半圆面平面，动点在半圆弧上运动（点不与点、重合），动点在线段上运动，下列说法正确的是（    ） A．平面平面 B．存在点使得 C．当三棱锥体积最大时，二面角的正切值为 D．当三棱锥体积最大时，的最小值为 二、填空题 4．(24-25高一下·黑龙江哈尔滨德强高级中学·期末)如图，正四面体的所有棱长为1、、分别是棱、上的点，且，，给出下列四个结论： ①存在、使得平面；    ②存在，使得； ③不存在，使得平面平面；    ④三棱锥体积的最大值为. 其中所有正确结论的序号是______. 三、解答题 5．(24-25高一下·黑龙江牡丹江第二高级中学·期末)如图，四棱锥的底面ABCD是正方形，是正三角形，平面平面ABCD，M是PD的中点. (1)求证：平面MAC； (2)求二面角的余弦值； (3)在棱PC上是否存在点Q使平面平面MAC成立？如果存在，求出的值；如果不存在，请说明理由. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $