精品解析：上海市南洋模范中学2025-2026学年第二学期高三高考考前模拟数学试卷

2026届南模中学高考考前模拟数学试卷 一、填空题（本大题共12题，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分，考生应在答题纸相应位置直接填写结果．） 1. 若集合，自然数集为，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据交集的定义计算即可. 【详解】因为集合， 所以． 2. 已知随机变量服从正态分布，，则________. 【答案】1 【解析】 【分析】根据正态分布的对称性求解即可. 【详解】由题意得，根据正态分布的对称性得 3. 设O为原点，向量，对应的复数分别为，，那么向量对应的复数的虚部为_______. 【答案】7 【解析】 【分析】由向量线性运算的坐标表示结合复数的概念即可求解. 【详解】由题意得， ， 所以向量对应的复数的虚部为7. 4. 已知函数的图象向右平移后得到函数的图象，则的值为________． 【答案】1 【解析】 【分析】求出平移后的函数解析式，再求函数值. 【详解】函数的图象向右平移后得到函数的图象， 则，所以. 5. 若，则__________． 【答案】6或2 【解析】 【详解】由组合数的性质可知：或， 解得或2，经检验均满足题意. 6. 已知圆台的上、下底面的半径分别为1，2，高为，则该圆台的表面积为______． 【答案】 【解析】 【详解】圆台的上底面半径 ，下底面半径 ，高 ， 所以母线长 ， 侧面积 ， 上底面积 ，下底面积 ， 表面积 ． 7. 已知等差数列的前项和为，且，则__________． 【答案】6 【解析】 【分析】利用等差数列的片段和仍然成等差数列求解. 【详解】因为成等差数列，设其公差为， 所以，所以， 所以，所以． 8. 已知函数有且仅有1个零点，则＝________． 【答案】1 【解析】 【详解】为偶函数，要使得有且仅有1个零点，则，解得． 经验证，当时，在上单调递减，在上单调递增，且，符合题意． 9. 若数列满足，则称数列为平方差递推数列.若数列是平方差递推数列，且，，则的前100项的和为______. 【答案】1 【解析】 【分析】通过赋值得出数列的周期即可求解. 【详解】由题意可知,, ,,, 所以数列是从第2项起，周期为3的数列. 则的前100项的和. 10. 随着市场需求和消费习惯的转变，摆摊创业正吸引着越来越多创业者．小李打算批发某种水果摆摊售卖，设他进货总费用（百元）与进货量（单位：百斤）之间的关系为（为常数），若满足“随着进货量的增大，水果每斤的平均价格逐渐减小”，则的取值范围为___________． 【答案】 【解析】 【分析】由题意可得水果每斤的平均价格为，根据题意可得函数在上单调递减，进而结合分段函数的单调性求解即可. 【详解】由题意，水果每斤的平均价格为， 因为随着进货量的增大，水果每斤的平均价格逐渐减小， 所以函数在上单调递减， 所以，解得， 则的取值范围为. 故答案为：. 11. 如图，已知定点轴于点，是线段上任意一点，轴于点，于点与相交于点，则的最小值为__________. 【答案】 【解析】 【详解】由可知，直线方程为，则设点， 所以，则直线方程为， 当时，可得，即点， 所以点的轨迹为抛物线，即，可得抛物线的准线为，焦点为， 如图所示，延长，交抛物线准线于点， 由抛物线概念可知， 则的最小值，即的最小值，可知当三点共线时，取得最小值， 此时. 12. 已知函数的定义域为.若非空集合满足：对于任意，任意，均有，则称函数为伸缩增函数，其中表示不超过的最大整数.若函数在区间上为增函数是“函数为伸缩增函数”的必要条件，则的最小值______. 【答案】## 【解析】 【分析】根据题意先说明符合题意，再说明不符合题意，即可求得的最小值. 【详解】我们首先说明：符合题意. 当时，我们证明：对于任意，均有， 令，则. 由题设知，即得证. 对于任意，取正整数使得，则. ， 即，故在上单调递增. 其次，我们说明不合题意. 令，我们以下证明是伸缩增函数. 对于任意，①若，则，故符合题意； ②若则故. ③若，则，故，符合题意. 综上所述，是伸缩增函数.但对于任意，在上均不是增函数，此时必要性不成立. 故答案为： 二、选择题（本大题共4题，第13～14题每题4分，第15～16题每题5分，每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．） 13. 记为数列的前项和，已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】当时，， 当时，，不满足上式，所以 14. 已知点到点的距离为，则的最小值是（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】D 【解析】 【分析】分别求出点P和点A的轨迹方程，根据直线与圆的位置关系，分析求解，即可得答案. 【详解】因为，所以点的轨迹方程为， 点的轨迹方程为. 因为圆上的点到直线的最小距离为圆心到直线的距离减去半径， 所以d的最小值是. 15. 如图，在中，，是与的交点，且，则在上的投影向量的模取得最小值时，（ ） A. B. 1 C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【分析】以为基底，用不同方式表示出向量，结合平面向量基本定理和投影定义求解可得. 【详解】设，则 ， 同理设，则. 由平面向量基本定理得，解得，所以， 向量在上的投影向量的模为 ， 而，当且仅当时取等号， 所以在上的投影向量的模取得最小值时，. 16. 已知常数，在成功概率为的伯努利试验中，记为首次成功时所需的试验次数，的取值为所有正整数，此时称离散型随机变量的概率分布为几何分布.经计算：.对于几何分布的拓展问题，在成功概率为的伯努利试验中，记首次出现连续两次成功时所需的试验次数的期望为，现提供一种求的方式：先进行第一次试验，若第一次试验失败，因为出现试验失败对出现连续两次成功毫无帮助，可以认为后续期望仍是，即总的试验次数为；若第一次试验成功，则进行第二次试验，当第二次试验成功时，试验停止，此时试验次数为2，若第二次试验失败，相当于重新试验，此时总的试验次数为，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据发生的三种可能情况，即可求解. 【详解】由条件可知，， 解得：. 故选：C 【点睛】关键点点睛：本题的关键是理解，以及根据前2次试验结果，发生的三种可能情况. 三、解答题（本大题共5题，第17～19题每题14分，第20～21题每题18分．解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤．） 17. 甲，乙两队进行乒乓球双打比赛，规定采用五场三胜制，即先赢得三场比赛的队伍获胜．已知每场比赛甲队获胜的概率为，乙队获胜的概率为，且每场比赛的结果相互独立． （1）求在甲队获胜的条件下，比赛恰好进行了四场的概率； （2）记比赛结束时的场数为X，求X的分布列和数学期望． 【答案】（1）； （2）X分布为 3 4 5 ． 【解析】 【分析】（1）分别计算甲队获胜的概率和甲队获胜且比赛恰好4场的概率，然后利用条件概率求解； （2）先确定的取值，并计算相应的概率，列出分布列，根据期望计算公式计算. 【小问1详解】 设事件A表示“比赛恰好进行4场”，事件B表示“甲队获胜”． 甲队获胜包含三种情况： 比赛3场甲队获胜，其概率为． 比赛4场甲队获胜，即前3场甲队胜2场，第4场甲队胜， 概率为． 比赛5场甲队获胜，即前4场甲队胜2场，第5场甲队胜， 概率为． ∴甲队获胜的概率为． 甲队获胜且比赛恰好进行了4场的概率为． ∴在甲队获胜的条件下，比赛恰好进行了4场的概率为． 【小问2详解】 X的可能取值为3，4，5． ； ； ． ∴X分布为 3 4 5 ． 18. 已知锐角的内角，，所对的边分别为，，，且，. （1）求； （2）求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据余弦定理，解三角形即可； （2）根据锐角三角形的性质，求出角的范围，再根据正弦定理求出的范围，进而构造函数，根据函数单调性，求出函数值域，判断结果即可. 【小问1详解】 由，得，由，化简得， 所以，即 【小问2详解】 因为为锐角三角形，所以，即，解得， 由正弦定理可知， 可知，则，即； 由题意可得， 令，， 由对勾函数可知在上单调递减，在上单调递增， 可知，所以； 即的取值范围为. 19. 已知三棱柱的棱长均为2，，平面平面ABC． （1）求该棱柱的体积； （2）求平面与平面所成二面角的大小． 【答案】（1）3； （2）和． 【解析】 【分析】（1）设AC的中点为O，连接，BO，利用面面垂直的性质可得平面，得到，利用勾股定理得到，进而得到平面ABC，接着利用体积公式求解即可； （2）以O为原点建立空间直角坐标系，利用空间向量法求得平面与平面所成二面角的大小． 【小问1详解】 设AC的中点为O，连接，BO． ∵为等边三角形，边长为2， ∴，，． ∵平面平面ABC，平面平面， ∴平面，又平面，， ∴，， ∴，则． 又∵平面平面ABC，平面平面， ∴平面ABC， ∴． 【小问2详解】 由（1）知平面ABC，， 如图，以O为原点建立如图所示的空间直角坐标系， ，，， ，， 设平面的一个法向量， 则，不妨取，则， 易知平面的一个法向量， ， 则平面与平面所成二面角大小为和． 20. 已知椭圆：的离心率为，为坐标原点，是平面内一点，是椭圆上一点，若. （1）求椭圆的方程. （2）直线：与椭圆交于，，线段的中点为，若，，三点共线， ①求的值； ②试问：是否存在，使得的面积取到最大值，若存在，求出此时的值；若不存在，说明理由. 【答案】（1） （2）①；②存在， 【解析】 【分析】（1）根据向量坐标关系求出点的坐标，再代入椭圆方程并结合题意求解； （2）直线与椭圆方程联立，三点共线，所以​，代入坐标关系即可求出的值； 联立方程，得到范围，利用弦长公式求出，进而得到的面积表达式，利用函数求最值的方法，判断面积是否存在最大值，若存在求出对应的值. 【详解】（1）由，得， 代入椭圆方程可得 ， 又椭圆离心率为，可知， 解得，， 故椭圆的方程为. （2）①设，，则中点， 由，，三点共线，知， 由，均在椭圆上，，得， 由，则，则. ②由，得 ， ，解得， 由，故， 则， 而到的距离， 令的面积为，则. 令函数，， 记的导函数为， ， 又根据以及的符号， 知在上单调递增，在和上单调递减， 故在处取得最大值， 所以当，取得最大值. 21. 若曲线的切线与曲线共有个公共点（其中），则称为曲线的“切线”． （1）若曲线在点处的切线为切线，另一个公共点的坐标为，求的值； （2）求曲线所有切线的方程； （3）设，是否存在，使得曲线在点处的切线为切线？若存在，探究满足条件的的个数，若不存在，说明理由． 【答案】（1）3 （2）答案见解析 （3）答案见解析 【解析】 【分析】（1）利用斜率坐标求出斜率，在应用导数的几何意义求解即可； （2）求出函数在点处的切线方程，在应用切线的定义求解即可； （3）根据，求得导数，从而求得在点处的切线方程，构造新函数，则有3个零点，应用导数进行讨论即可. 【小问1详解】 曲线在点处的切线为切线，另一个公共点的坐标为， 所以切线斜率为， 所以. 【小问2详解】 ，所以. 设切点为，则切线斜率为， 所以切线方程为，即. 设， 因为切线为切线，所以有且仅有1个根， 所以解得， 所以曲线所有切线仅有一条，切线方程为. 【小问3详解】 ，所以， 所以曲线在点处的切线方程为，即. 令， 所以， 因为，所以， 当，时，，单调递增； 当时，，单调递减. 所以的所有极大值为， 当时，极大值为，即. 当为正整数时，极大值均小于，所以在无零点. 当为负整数时，极大值均大于，的所有极小值为, 当时，极小值，且随着的增大，极小值越来越小， 因此曲线在点处的切线为切线，等价于有三个零点，等价于，即有解. 令，则， 所以在单调递增，又，， 所以存在唯一实数，满足， 所以存在唯一实数，使得曲线在点处的切线为切线. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026届南模中学高考考前模拟数学试卷 一、填空题（本大题共12题，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分，考生应在答题纸相应位置直接填写结果．） 1. 若集合，自然数集为，则______． 2. 已知随机变量服从正态分布，，则________. 3. 设O为原点，向量，对应的复数分别为，，那么向量对应的复数的虚部为_______. 4. 已知函数的图象向右平移后得到函数的图象，则的值为________． 5. 若，则__________． 6. 已知圆台的上、下底面的半径分别为1，2，高为，则该圆台的表面积为______． 7. 已知等差数列的前项和为，且，则__________． 8. 已知函数有且仅有1个零点，则＝________． 9. 若数列满足，则称数列为平方差递推数列.若数列是平方差递推数列，且，，则的前100项的和为______. 10. 随着市场需求和消费习惯的转变，摆摊创业正吸引着越来越多创业者．小李打算批发某种水果摆摊售卖，设他进货总费用（百元）与进货量（单位：百斤）之间的关系为（为常数），若满足“随着进货量的增大，水果每斤的平均价格逐渐减小”，则的取值范围为___________． 11. 如图，已知定点轴于点，是线段上任意一点，轴于点，于点与相交于点，则的最小值为__________. 12. 已知函数的定义域为.若非空集合满足：对于任意，任意，均有，则称函数为伸缩增函数，其中表示不超过的最大整数.若函数在区间上为增函数是“函数为伸缩增函数”的必要条件，则的最小值______. 二、选择题（本大题共4题，第13～14题每题4分，第15～16题每题5分，每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．） 13. 记为数列的前项和，已知，则（ ） A. B. C. D. 14. 已知点到点的距离为，则的最小值是（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 15. 如图，在中，，是与的交点，且，则在上的投影向量的模取得最小值时，（ ） A. B. 1 C. 2 D. 16. 已知常数，在成功概率为的伯努利试验中，记为首次成功时所需的试验次数，的取值为所有正整数，此时称离散型随机变量的概率分布为几何分布.经计算：.对于几何分布的拓展问题，在成功概率为的伯努利试验中，记首次出现连续两次成功时所需的试验次数的期望为，现提供一种求的方式：先进行第一次试验，若第一次试验失败，因为出现试验失败对出现连续两次成功毫无帮助，可以认为后续期望仍是，即总的试验次数为；若第一次试验成功，则进行第二次试验，当第二次试验成功时，试验停止，此时试验次数为2，若第二次试验失败，相当于重新试验，此时总的试验次数为，则的值为（ ） A. B. C. D. 三、解答题（本大题共5题，第17～19题每题14分，第20～21题每题18分．解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤．） 17. 甲，乙两队进行乒乓球双打比赛，规定采用五场三胜制，即先赢得三场比赛的队伍获胜．已知每场比赛甲队获胜的概率为，乙队获胜的概率为，且每场比赛的结果相互独立． （1）求在甲队获胜的条件下，比赛恰好进行了四场的概率； （2）记比赛结束时的场数为X，求X的分布列和数学期望． 18. 已知锐角的内角，，所对的边分别为，，，且，. （1）求； （2）求的取值范围. 19. 已知三棱柱的棱长均为2，，平面平面ABC． （1）求该棱柱的体积； （2）求平面与平面所成二面角的大小． 20. 已知椭圆：的离心率为，为坐标原点，是平面内一点，是椭圆上一点，若. （1）求椭圆的方程. （2）直线：与椭圆交于，，线段的中点为，若，，三点共线， ①求的值； ②试问：是否存在，使得的面积取到最大值，若存在，求出此时的值；若不存在，说明理由. 21. 若曲线的切线与曲线共有个公共点（其中），则称为曲线的“切线”． （1）若曲线在点处的切线为切线，另一个公共点的坐标为，求的值； （2）求曲线所有切线的方程； （3）设，是否存在，使得曲线在点处的切线为切线？若存在，探究满足条件的的个数，若不存在，说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $