上海市南洋模范中学2025-2026学年第二学期高三高考考前模拟数学试卷

2026届南模中学高考考前模拟数学试卷 一、填空题（本大题共12题，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分，考生应在答题纸相应位置直接填写结果．） 1. 若集合，自然数集为，则______． 2. 已知随机变量服从正态分布，，则________. 3. 设O为原点，向量，对应的复数分别为，，那么向量对应的复数的虚部为_______. 4. 已知函数的图象向右平移后得到函数的图象，则的值为________． 5. 若，则__________． 6. 已知圆台的上、下底面的半径分别为1，2，高为，则该圆台的表面积为______． 7. 已知等差数列的前项和为，且，则__________． 8. 已知函数有且仅有1个零点，则＝________． 9. 若数列满足，则称数列为平方差递推数列.若数列是平方差递推数列，且，，则的前100项的和为______. 10. 随着市场需求和消费习惯的转变，摆摊创业正吸引着越来越多创业者．小李打算批发某种水果摆摊售卖，设他进货总费用（百元）与进货量（单位：百斤）之间的关系为（为常数），若满足“随着进货量的增大，水果每斤的平均价格逐渐减小”，则的取值范围为___________． 11. 如图，已知定点轴于点，是线段上任意一点，轴于点，于点与相交于点，则的最小值为__________. 12. 已知函数的定义域为.若非空集合满足：对于任意，任意，均有，则称函数为伸缩增函数，其中表示不超过的最大整数.若函数在区间上为增函数是“函数为伸缩增函数”的必要条件，则的最小值______. 二、选择题（本大题共4题，第13～14题每题4分，第15～16题每题5分，每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．） 13. 记为数列的前项和，已知，则（ ） A. B. C. D. 14. 已知点到点的距离为，则的最小值是（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 15. 如图，在中，，是与的交点，且，则在上的投影向量的模取得最小值时，（ ） A. B. 1 C. 2 D. 16. 已知常数，在成功概率为的伯努利试验中，记为首次成功时所需的试验次数，的取值为所有正整数，此时称离散型随机变量的概率分布为几何分布.经计算：.对于几何分布的拓展问题，在成功概率为的伯努利试验中，记首次出现连续两次成功时所需的试验次数的期望为，现提供一种求的方式：先进行第一次试验，若第一次试验失败，因为出现试验失败对出现连续两次成功毫无帮助，可以认为后续期望仍是，即总的试验次数为；若第一次试验成功，则进行第二次试验，当第二次试验成功时，试验停止，此时试验次数为2，若第二次试验失败，相当于重新试验，此时总的试验次数为，则的值为（ ） A. B. C. D. 三、解答题（本大题共5题，第17～19题每题14分，第20～21题每题18分．解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤．） 17. 甲，乙两队进行乒乓球双打比赛，规定采用五场三胜制，即先赢得三场比赛的队伍获胜．已知每场比赛甲队获胜的概率为，乙队获胜的概率为，且每场比赛的结果相互独立． （1）求在甲队获胜的条件下，比赛恰好进行了四场的概率； （2）记比赛结束时的场数为X，求X的分布列和数学期望． 18. 已知锐角的内角，，所对的边分别为，，，且，. （1）求； （2）求的取值范围. 19. 已知三棱柱的棱长均为2，，平面平面ABC． （1）求该棱柱的体积； （2）求平面与平面所成二面角的大小． 20. 已知椭圆：的离心率为，为坐标原点，是平面内一点，是椭圆上一点，若. （1）求椭圆的方程. （2）直线：与椭圆交于，，线段的中点为，若，，三点共线， ①求的值； ②试问：是否存在，使得的面积取到最大值，若存在，求出此时的值；若不存在，说明理由. 21. 若曲线的切线与曲线共有个公共点（其中），则称为曲线的“切线”． （1）若曲线在点处的切线为切线，另一个公共点的坐标为，求的值； （2）求曲线所有切线的方程； （3）设，是否存在，使得曲线在点处的切线为切线？若存在，探究满足条件的的个数，若不存在，说明理由． 2026届南模中学高考考前模拟数学试卷 一、填空题（本大题共12题，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分，考生应在答题纸相应位置直接填写结果．） 【1题答案】 【答案】 【2题答案】 【答案】1 【3题答案】 【答案】7 【4题答案】 【答案】1 【5题答案】 【答案】6或2 【6题答案】 【答案】 【7题答案】 【答案】6 【8题答案】 【答案】1 【9题答案】 【答案】1 【10题答案】 【答案】 【11题答案】 【答案】 【12题答案】 【答案】## 二、选择题（本大题共4题，第13～14题每题4分，第15～16题每题5分，每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．） 【13题答案】 【答案】D 【14题答案】 【答案】D 【15题答案】 【答案】A 【16题答案】 【答案】C 三、解答题（本大题共5题，第17～19题每题14分，第20～21题每题18分．解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤．） 【17题答案】 【答案】（1）； （2）X分布为 3 4 5 ． 【18题答案】 【答案】（1） （2） 【19题答案】 【答案】（1）3； （2）和． 【20题答案】 【答案】（1） （2）①；②存在， 【21题答案】 【答案】（1）3 （2）曲线所有切线仅有一条，切线方程为. （3）存在，理由如下：因为，所以， 所以曲线在点处的切线方程为，即. 令， 所以， 因为，所以， 当，时，，单调递增； 当时，，单调递减. 所以的所有极大值为， 当时，极大值为，即. 当为正整数时，极大值均小于，所以在无零点. 当为负整数时，极大值均大于，的所有极小值为, 当时，极小值，且随着的增大，极小值越来越小， 因此曲线在点处的切线为切线，等价于有三个零点，等价于，即有解. 令，则， 所以在单调递增，又，， 所以存在唯一实数，满足， 所以存在唯一实数，使得曲线在点处的切线为切线. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $