精品解析：安徽省六安市霍邱县2025-2026学年度九年级第二次模拟考试数学

霍邱县2025—2026学年度九年级第二次模拟考试 数学试卷 温馨提示： 1.你拿到的试卷满分为150分，考试时间为120分钟． 2.本试卷包括“试卷”和“答题卷”两部分．“试卷”共4页，“答题卷”共6页． 3.请务必在“答题卷”上答题，在“试卷”上答题是无效的． 4.考试结束后，请将“答题卷”交回． 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分，每小题都给出A、B、C、D四个选项，其中只有一个是正确的） 1. 的倒数是（ ） A. B. C. D. 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. ． 3. 墀头（chítóu）是中国古代传统建筑构件，特指山墙伸出檐柱外的部分，具有支撑屋檐和排水挡水的功能．如图，是墀头中的一块部件，该几何体的主视图是（ ） A. B. C. D. 4. 年山东省扎实落实民生实事，全年新增城乡公益性岗位万个，将万用科学记数法表示应为（ ） A. B. C. D. 5. 将直角三角板按如图位置摆放，顶点B落在直线上，顶点A落在直线上，若，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 6. “半日走遍江淮大地，安徽风景尽在徽园”，位于省会合肥的徽园景点某年三月共接待游客万人，四月比三月旅游人数增加了，五月比四月游客人数增加了，已知三月至五月徽园的游客人数平均月增长率为，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，管中放置着三根同样的绳子AA1、BB1、CC1小明和小张两人分别站在管的左右两边，各随机选该边的一根绳子，若每边每根绳子被选中的机会相等，则两人选到同根绳子的概率为（　　） A. B. C. D. 8. 如图，反比例函数的图象经过点，连接，把线段向上平移个单位得到线段，与反比例函数的图象交于点．若点是的中点，则的值等于多少？（ ） A. B. C. 1 D. 9. 在边长为正方形中，与相较于点，是同平面内的一动点，，是中点，连接，则的最小值为（　　） A. B. C. D. 10. 如图，抛物线与轴交于点，其对称轴为直线，结合图象分析下列结论： ①： ②对于任意实数，都有； ③； ④若，且；则． ⑤若为方程的两个根，则． 其中正确结论的个数有（ ）个． A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 因式分解：________． 12. 在一次函数的图象经过第一、二、四象限，则k的取值范围为___________． 13. 如图，内接于半径为2的，、的平分线交于点，，则劣弧的长为______． 14. 若非负实数a可以表示成两个连续自然数的倒数差，例如，，所以是第1个“1阶倒差数”，，所以是第2个“1阶倒差数”，，所以是第3个“1阶倒差数”……，即，那么我们称a是第n个“1阶倒差数”；同理，，那么我们称b为第n个“2阶倒差数”． （1）第9个“1阶倒差数”是______． （2）若x，y均是由两连续偶数组成的“2阶倒差数”，且，则______． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 计算： 16. 如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了格点（顶点为网格线交点）． （1）将向右平移8个单位长度，再向上平移5个单位长度得到，画出； （2）请画出，使得；（点在格点上） （3）用无刻度尺作线段的垂直平分线． 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 观察以下等式： 第1个等式： ；第2个等式：； 第3个等式： ；第4个等式：； 第5个等式：；……按照以上规律．解决下列问题： （1）写出第6个等式：____________________； （2）写出你猜想的第个等式：__________________（用含的等式表示），并证明． 18. 如图，已知：点A（4，2）、B（2，m）都在反比例函数y（x＞0）的图象上，点C（-2，-2），连结AB、AC、BC． （1）填空：k=______；m=______． （2）求直线AC的解析式． （3）求△ABC的面积． 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 如图，为测量某山体高度，测量队在山脚点处测得山顶的仰角为，沿坡面倾角为的坡面向上行进到达点，此时测得山顶的仰角为． （1）求点的垂直高度(精确到)； （2）求山体的垂直高度(精确到)． (参考数据：，，，，) 20. 2025年9月3日，中国举行了举世瞩目的“九三大阅兵”活动．为掌握同学们对阅兵活动相关知识的了解情况，某校从八、九年级学生中各随机抽取20名学生进行了问卷调查，调查结果以百分制呈现（结果均为整数）．该校数学兴趣小组对调查结果进行了整理、描述和分析．（成绩均不低于60分，用x表示，共分四组：（A．；B．；C．；D．），下面给出了部分信息： 八年级20名学生成绩是：100，97，97，95，92，92，92，89，88，87，85，85，83，83，80，75，73，72，64，61． 九年级20名学生的成绩在C组中的数据是：80，81，82，85，87，89，89． 八、九年级所抽取学生竞赛成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 方差 八年级 86 a 九年级 b 95 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中______，______，______； （2）根据以上数据，你认为该校八、九年级中哪个年级学生对阅兵活动相关知识更加了解？请说明理由； （3）该校八、九年级共有学生1800人且全部参与问卷调查，请估计八、九年级共有多少名学生的成绩不低于90分？ 六、（本题满分12分） 21. 如图，在中，，为边上一点，以为直径的分别与，交于点，．连接，，且平分． （1）求证：是的切线； （2）求证：； （3）若，，求的直径． 七、（本题满分12分） 22. 数学活动课上，同学们将两个全等的三角形纸片完全重合放置，固定一个顶点，然后将其中一个纸片绕这个顶点旋转，来探究图形旋转的性质．已知三角形纸片和中，，，，旋转角为（）． （1）如图1，将三角形纸片绕点旋转，连接，，求的值； （2）如图2，在三角形纸片绕点旋转过程中，当点恰好落在的中线的延长线上时，延长交于点， ①求证：； ②求的长． 八、（本题满分14分） 23. 如图，抛物线（）与轴交于，两点，与轴交于点． （1）________；________； （2）点是第四象限内抛物线上一点，连接，过点作的平行线，交轴于点，交轴于点． ①若直线所对应的函数表达式为（），求的取值范围； ②当时，求点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 霍邱县2025—2026学年度九年级第二次模拟考试 数学试卷 温馨提示： 1.你拿到的试卷满分为150分，考试时间为120分钟． 2.本试卷包括“试卷”和“答题卷”两部分．“试卷”共4页，“答题卷”共6页． 3.请务必在“答题卷”上答题，在“试卷”上答题是无效的． 4.考试结束后，请将“答题卷”交回． 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分，每小题都给出A、B、C、D四个选项，其中只有一个是正确的） 1. 的倒数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：的倒数是． 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. ． 【答案】D 【解析】 【分析】根据合并同类项，完全平方公式，幂的乘方，单项式乘单项式法则，进行计算后判断即可． 【详解】解：A、，故选项错误，不符合题意； B、，故选项错误，不符合题意； C、，故选项错误，不符合题意； D、，故选项正确，符合题意； 故选D． 【点睛】本题考查整式的运算，熟练掌握相关运算法则，是解题的关键． 3. 墀头（chítóu）是中国古代传统建筑构件，特指山墙伸出檐柱外的部分，具有支撑屋檐和排水挡水的功能．如图，是墀头中的一块部件，该几何体的主视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据从正面看得到的视图是主视图，可得答案． 【详解】解：从正面看得到的视图是主视图: 4. 年山东省扎实落实民生实事，全年新增城乡公益性岗位万个，将万用科学记数法表示应为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查用科学记数法的表示方法，一般形式为，其中，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的值与小数点移动位数相同，确定与的值是解题关键． 【详解】解：万， 故选：C． 5. 将直角三角板按如图位置摆放，顶点B落在直线上，顶点A落在直线上，若，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由直角三角形的两个锐角互余及角的和与差即可求出，再利用平行线的性质可求出即可． 【详解】解：如图， ∵，， ∴．  ∵， ∴， ∵， ∴． 6. “半日走遍江淮大地，安徽风景尽在徽园”，位于省会合肥的徽园景点某年三月共接待游客万人，四月比三月旅游人数增加了，五月比四月游客人数增加了，已知三月至五月徽园的游客人数平均月增长率为，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】三月m万人，四月比三月增加15%，即四月为m(1+15%)人，五月比四月增加a%，即五月为m(1+15%)(1+a%)人；三月到五月平均增长率为20%可知，五月人数为：m(1+20%)²，即可建立等量关系求解. 【详解】解：由题意知：四月比三月增加15%，则四月份人数为m(1+15%)人， 五月比四月增加a%，即五月为m(1+15%)(1+a%)人， 又三月到五月平均增长率为20%，故五月人数为：m(1+20%)²， 故有：m(1+15%)(1+a%)= m(1+20%)² 方程两边同时约去m，得：(1+15%)(1+a%)= (1+20%)² 故选：D. 【点睛】此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次方程及增长率问题，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系． 7. 如图，管中放置着三根同样的绳子AA1、BB1、CC1小明和小张两人分别站在管的左右两边，各随机选该边的一根绳子，若每边每根绳子被选中的机会相等，则两人选到同根绳子的概率为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】画出树状图，得出所有结果和两人选到同根绳子的结果，即可得出答案． 【详解】如图所示： 共有9种等可能的结果数，两人选到同根绳子的结果有3个， ∴两人选到同根绳子的概率为＝， 故选B． 【点睛】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法和树状图法展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，求出概率． 8. 如图，反比例函数的图象经过点，连接，把线段向上平移个单位得到线段，与反比例函数的图象交于点．若点是的中点，则的值等于多少？（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】A 【解析】 【分析】由反比例函数的图象经过点得到反比例函数的解析式，再根据由向上平移得到，与反比例函数的图象交于点，点是的中点得到点的坐标，从而即可得到的值． 【详解】解：反比例函数的图象经过点， 反比例函数的解析式为，的中点坐标为． ∵由向上平移得到，与反比例函数的图象交于点，点是的中点， 点的横坐标为1，则点的坐标为． 线段向上平移了个单位，即的值为． 9. 在边长为正方形中，与相较于点，是同平面内的一动点，，是中点，连接，则的最小值为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，三角形中位线的性质，勾股定理，最短线段问题，由是同平面内的一动点，，可得点为正方形外接圆上一点，延长至，使，由是中点，可得为的中位线，即，由三角形两边之和大于第三边可知，当点三点共线时，最小，利用勾股定理即可求出最小值，进而求解，画出图形，正确找到取最小值时点的位置是解题的关键． 【详解】解：∵是同平面内的一动点，， ∴点为正方形外接圆上一点， 延长至，使， ∵是中点， ∴为的中位线， ∴， 由三角形两边之和大于第三边可知，当点三点共线时，最小， 过点作于， ∵为正方形，边长为， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴的最小值， 故选：． 10. 如图，抛物线与轴交于点，其对称轴为直线，结合图象分析下列结论： ①： ②对于任意实数，都有； ③； ④若，且；则． ⑤若为方程的两个根，则． 其中正确结论的个数有（ ）个． A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系、二次函数图象上点的坐标特征、抛物线与轴的交点．依据题意，根据抛物线开口向下，对称轴是直线，再结合二次函数的性质逐个进行判断可以判断得解． 【详解】解：∵抛物线开口向下， ， 又 ∵抛物线与轴交于正半轴， ， 又 ∵对称轴是直线， ， ∴，故①正确． 由题意，当时，取最大值为， ∴对于任意实数，都有． ∴，故②错误． ∵抛物线与轴交于点， ∴． 又 ∵， ， ∴，故③正确． 设在二次函数上， ， ∴关于对称轴直线对称， 根据中点公式可得， ∴，故④正确， 由题意，∵抛物线的对称轴是直线，且与轴交于点， ∴抛物线与轴的另一交点为． ∴抛物线为． ∴方程的根可以看作直线与抛物线的交点的横坐标． ∵在轴上方， ∴若为方程的两个根，则，故⑤正确． 综上，正确的有①③④⑤，共4个． 故选：C． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 因式分解：________． 【答案】 【解析】 【分析】先提取公因式，再利用平方差公式继续分解因式即可． 【详解】解： ． 12. 在一次函数的图象经过第一、二、四象限，则k的取值范围为___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据，，时，函数图象经过第一、二、四象限，则有即可求解； 【详解】解∶的图象经过第一、二、四象限， ∴， ∴； 故答案为：． 【点睛】本题考查一次函数图象与系数的关系；熟练掌握一次函数，k与b对函数图象的影响是解题的关 键． 13. 如图，内接于半径为2的，、的平分线交于点，，则劣弧的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】连接、，根据角平分线的性质得到，再根据圆周角定理求出，再根据弧长计算公式计算即可； 【详解】连接、， ∵、的平分线交于点，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的长为． 【点睛】本题主要考查了圆周角定理、角平分线的性质和弧长公式，准确计算是解题的关键． 14. 若非负实数a可以表示成两个连续自然数的倒数差，例如，，所以是第1个“1阶倒差数”，，所以是第2个“1阶倒差数”，，所以是第3个“1阶倒差数”……，即，那么我们称a是第n个“1阶倒差数”；同理，，那么我们称b为第n个“2阶倒差数”． （1）第9个“1阶倒差数”是______． （2）若x，y均是由两连续偶数组成的“2阶倒差数”，且，则______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】（1）观察规律可知第n个“1阶倒差数”． （2）根据“2阶倒差数”定义分别设出x，y，再代入方程分别求出x，y． 【详解】（1）第n个“1阶倒差数”，故第9个“1阶倒差数”是 （2）设，（其中m，n为偶数）． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵m，n为偶数， ∴、都是偶数， 从而可得① ∴，． ∴． 或② ∴，（舍）． 综上所述x的值为． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 计算： 【答案】 【解析】 【详解】解：原式 ． 16. 如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了格点（顶点为网格线交点）． （1）将向右平移8个单位长度，再向上平移5个单位长度得到，画出； （2）请画出，使得；（点在格点上） （3）用无刻度尺作线段的垂直平分线． 【答案】（1）见解答； （2）见解答； （3）见解答． 【解析】 【分析】此题考查平移作图，全等三角形的判定，线段垂直平分线，勾股定理： 根据平移的性质作图即可； （2）分别利用勾股定理计算各边平方，根据全等三角形的判定与性质画图即可； （3）根据线段垂直平分线的性质作图即可． 【小问1详解】 如图，即为所求； 【小问2详解】 如图，即为所求； ∵，，，，， ∴，，即，， ∴； 【小问3详解】 如图，直线即为所求． 【点睛】本题考查作图-平移变换、全等三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质、平移的性质，熟练掌握平移的性质、全等三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质是解答本题的关键． 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 观察以下等式： 第1个等式： ；第2个等式：； 第3个等式： ；第4个等式：； 第5个等式：；……按照以上规律．解决下列问题： （1）写出第6个等式：____________________； （2）写出你猜想的第个等式：__________________（用含的等式表示），并证明． 【答案】（1） （2），见解析 【解析】 【分析】（1）仿照题干作答； （2）结合（1）得到规律，计算等式左边，证明其与等式右边相等即可． 【小问1详解】 解：； 【小问2详解】 解：； 证明：左边右边， 等式成立． 18. 如图，已知：点A（4，2）、B（2，m）都在反比例函数y（x＞0）的图象上，点C（-2，-2），连结AB、AC、BC． （1）填空：k=______；m=______． （2）求直线AC的解析式． （3）求△ABC的面积． 【答案】（1）8，4 （2）直线AC的解析式为y=； （3）△ABC的面积为10． 【解析】 【分析】（1）把A点代入反比例函数解析式可求得k，把B点坐标代入反比例函数解析式可求得m的值； （2）利用待定系数法求解即可； （3）利用矩形面积减去周围多余的三个三角形的面积即可求解． 【小问1详解】 解：∵点A（4，2）在反比例函数（x＞0）的图象上， ∴k=4×2=8， ∴反比例函数的解析式为， ∵点B（2，m）在反比例函数的图象上， ∴=4； 故答案为：8，4； 【小问2详解】 解：设直线AC的解析式为y=ax+b， ∴， 解得； ∴直线AC的解析式为y=； 【小问3详解】 解：△ABC的面积=6×6-×4×6-×2×2-×4×6=10． ． 【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，待定系数法求一次函数的解析式，三角形的面积等，求得交点坐标是解题的关键． 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 如图，为测量某山体高度，测量队在山脚点处测得山顶的仰角为，沿坡面倾角为的坡面向上行进到达点，此时测得山顶的仰角为． （1）求点的垂直高度(精确到)； （2）求山体的垂直高度(精确到)． (参考数据：，，，，) 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）利用直角三角形中正弦函数的定义，直接计算点的垂直高度； （2）通过作辅助线构造矩形和等腰直角三角形，将未知线段转化为含山体高度的表达式，再结合角的三角函数关系列方程求解． 【小问1详解】 解：在中，，，， ， ． 答：点的垂直高度约为． 【小问2详解】 解：过点作于点， ，， ∴四边形是矩形， ，． 设山体的垂直高度，则． ，， 是等腰直角三角形， ． 在中，， ， ． 在中，，， ， 解得． 答：山体的垂直高度约为． 20. 2025年9月3日，中国举行了举世瞩目的“九三大阅兵”活动．为掌握同学们对阅兵活动相关知识的了解情况，某校从八、九年级学生中各随机抽取20名学生进行了问卷调查，调查结果以百分制呈现（结果均为整数）．该校数学兴趣小组对调查结果进行了整理、描述和分析．（成绩均不低于60分，用x表示，共分四组：（A．；B．；C．；D．），下面给出了部分信息： 八年级20名学生成绩是：100，97，97，95，92，92，92，89，88，87，85，85，83，83，80，75，73，72，64，61． 九年级20名学生的成绩在C组中的数据是：80，81，82，85，87，89，89． 八、九年级所抽取学生竞赛成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 方差 八年级 86 a 九年级 b 95 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中______，______，______； （2）根据以上数据，你认为该校八、九年级中哪个年级学生对阅兵活动相关知识更加了解？请说明理由； （3）该校八、九年级共有学生1800人且全部参与问卷调查，请估计八、九年级共有多少名学生的成绩不低于90分？ 【答案】（1），， （2）九年级学生对阅兵活动相关知识更加了解，理由见解析 （3）人 【解析】 【分析】（1）根据众数，中位数的定义即可得到答案； （2）根据平均分、中位数，众数进行分析即可解答； （3）用样本估计整体进行计算即可． 【小问1详解】 解：众数， 中位数是第位数据，的人数为：人， 的人数为：人， 故， 组所占百分比， ； 【小问2详解】 解：九年级学生对阅兵活动相关知识更加了解，理由如下：八、九年级的平均分均为分，九年级的中位数，众数均高于八年级的中位数，故整体上看九年级学生竞赛成绩较好． 【小问3详解】 解：九年级组人数：人， 八年级90分以上人， 人． 六、（本题满分12分） 21. 如图，在中，，为边上一点，以为直径的分别与，交于点，．连接，，且平分． （1）求证：是的切线； （2）求证：； （3）若，，求的直径． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据角平分线的定义结合等边对等角可得，即可证明结论； （2）利用圆周角定理和切线的性质可证 ，进而证明 ，即可证明结论； （3）过点作于点，由角平分线的性质可得，，求出，设，则，，由勾股定理求出，，由（2），得，即可求解． 【小问1详解】 证明：连接，如图： 平分， ， ， ， ， ， ， ， 为的半径， 是的切线； 【小问2详解】 证明：由（1）可知，与相切于点， ， 为的直径， ， ， ， ， ， ， ， ； 【小问3详解】 解：过点作于点，如图： 在中，， 平分， ，， ， 设，则， ， 在中，， ， 解得， ， ∴， 由（2）， ∴， 的直径． 七、（本题满分12分） 22. 数学活动课上，同学们将两个全等的三角形纸片完全重合放置，固定一个顶点，然后将其中一个纸片绕这个顶点旋转，来探究图形旋转的性质．已知三角形纸片和中，，，，旋转角为（）． （1）如图1，将三角形纸片绕点旋转，连接，，求的值； （2）如图2，在三角形纸片绕点旋转过程中，当点恰好落在的中线的延长线上时，延长交于点， ①求证：； ②求的长． 【答案】（1） （2）①证明：如图2，由（1）知：， ， 是中线，， ， ， ， ∴； ② 【解析】 【分析】（1）证明即可解答； （2）①由（1）知，结合直角三角形的性质可得，推出 ，进而得到，即可证明结论； ②延长交于，连接交于，证明四边形为矩形，设，先根据相似得，再证明三角形全等得，由勾股定理列方程即可解答． 【小问1详解】 解：，，， ， 由旋转得：， ， ； 【小问2详解】 ①证明：略； ②解：延长交于，连接交于， ∵ ，，， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴是矩形， ∴，， ∵， ∴， 设， ∵，， ∴， ， ， ，， ∴， ， 由勾股定理得：，即 解得， ， ． 八、（本题满分14分） 23. 如图，抛物线（）与轴交于，两点，与轴交于点． （1）________；________； （2）点是第四象限内抛物线上一点，连接，过点作的平行线，交轴于点，交轴于点． ①若直线所对应的函数表达式为（），求的取值范围； ②当时，求点的坐标． 【答案】（1）， （2）①，②或 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）①先求出，进而求出直线的解析式是．由，得到，则直线的解析式为．再由，即可得到，由，利用二次函数的性质即可解答；②由①知，点，且，分，，两种情况讨论即可． 【小问1详解】 解：把，分别代入，得：， 解得； 【小问2详解】 ①解：由（1）知抛物线的解析式为． 在中，令，则． ； 设直线对应的函数表达式为， 把，分别代入， 得，解得， 直线对应的函数表达式是． ， ． 直线对应的函数表达式为． 点在抛物线上，设点的横坐标为， 点，则． ， 点是第四象限内抛物线上一点， ， ， ； ②：由①知，点，且． 当时，如图，过点作轴，垂足为， 当时，，即， 可得， 解得：，（舍去）， 当时，，符合， ，此时； 当时，如图，过点作轴，垂足为，当时，，即 可得， 解得：，（舍去）， 当时，，符合， ，此时； 综上，当时，的坐标为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $