精品解析：安徽阜阳市临泉县谭棚镇郭大中学等校2025—2026学年第二学期九年级二模考试《数学》试卷

2025-2026学年第二学期九年级二模考试 《数学》试卷 注意事项： 1．本卷共8大题，计23小题，满分150分，考试时间120分钟． 2．本试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分．请在答题卷上作答，在试题卷上作答无效． 3．可以使用计算器以外的常规作图工具，作图题请保留必要作图痕迹． 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）每小题都给出A、B、C、D四个选项，其中只有一个是正确的． 1. 的相反数是（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了相反数的概念，绝对值的计算，掌握只有符号不同的两个数叫做互为相反数，负数的绝对值是它的相反数，是解答此题的关键． 先计算绝对值，再求相反数． 【详解】解：， ∴ 3的相反数是 ． 故选：A． 2. 如图，这是由5个大小相同的小正方体搭成的几何体，它的左视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据左视图是从左边看求解即可． 【详解】解：左视图有2列，每列从左到右分别有2个和1个小正方形，选项B符合． 3. 据统计，某地“五一”假期文旅消费总额约为760亿元，将“760亿”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：760亿． 4. 下列运算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】运用合并同类项，同底数幂乘法，积的乘方，单项式除法的法则逐一判断选项； 【详解】解：∵ 选项A中，与不是同类项，不能合并， ∴ A错误； ∵ 选项B中，根据同底数幂乘法法则，， ∴ B错误； ∵ 选项C中，根据积的乘方法则，，计算正确， ∴ C正确； ∵ 选项D中，根据单项式除法法则， ， ∴ D错误； 5. 如图，在平行四边形中，，点E、F分别为的中点，连接交于点O，点M为的中点，点N为的中点，则的长为（ ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 不确定 【答案】A 【解析】 【分析】先推导出，证明出四边形是平行四边形，得到，继而推导出，得到四边形是平行四边形，则，即可解答． 【详解】解：在平行四边形中， ∴，， ∵点E、F分别为的中点， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵点M为的中点，点N为的中点， ∴ ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴． 6. 如图，将一直角三角形放在一对平行线上，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据两直线平行，内错角相等计算即可得出结果． 【详解】解：如图： ∵， ∴， ∵， ∴． 7. 对于任意个实数，定义一种新运算：．例如．则关于的方程的根的情况为（ ） A. 有两个相等的实数根 B. 没有实数根 C. 有两个不相等的实根 D. 无法确定 【答案】C 【解析】 【分析】先根据新运算规则整理出关于的一元二次方程，再计算根的判别式，根据判别式的符号判断方程根的情况． 【详解】解：根据新运算的定义可得： ， 整理方程得， 计算根的判别式得： ， 方程有两个不相等的实数根． 8. 如图，A，B，C均在半径为的上，若，则劣弧的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据圆周角定理，可求出圆心角的度数．将圆的半径和圆心角度数，代入弧长公式​，即可计算劣弧的长度． 【详解】解：连接， ∵ ， ∴ ， ∵圆半径， ∴  ． 9. 已知一个不完整的题目：某车间计划加工1800个零件，在实际生产时，……，求实际每天加工零件的个数．若设实际每天加工x个零件，可得方程 ，则题目中“……”表示的条件应是（ ） A. 每天比原计划少生产10个，结果提前3天完成 B. 每天比原计划多生产10个，结果提前3天完成 C. 每天比原计划多生产10个，结果延期3天完成 D. 每天比原计划少生产10个，结果延期3天完成 【答案】B 【解析】 【分析】根据设出的未知数和给定方程，结合工作总量、工作效率、工作时间的关系，即可推出题目缺失的条件； 【详解】解：∵设实际每天加工零件个，给定方程为 ， ∴原计划每天加工个零件，可得实际每天比原计划多生产个零件， ∵工作时间， ∴原计划完成任务的时间为，实际完成任务的时间为， ∵方程表示原计划用时减去实际用时等于天， ∴原计划用时比实际多天，即实际生产提前天完成， 因此题中缺失条件为每天比原计划多生产个，结果提前天完成； 10. 如图1，在中，，点D为上一点，点P从A出发，沿边运动，连接，，设点P运动的路程为x，，其中关于的函数图象如图2所示，则图2中函数图象最低点的纵坐标m的值为（ ） A. B. C. 4 D. 【答案】A 【解析】 【分析】由图2的函数图象可求、、、，作，于点，连接交于点，则，可由等面积法求出，再由勾股定理求出的长，从而得出点与点重合，即可得出结果． 【详解】解：由图2可得：，， ∴， ∴， ∵当，即点运动到点，， ∴， 如图，作，于点，连接交于点， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，此时最小， ∵， ∴， ∴， ∴点与点重合， ∴． 二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，满分25分） 11. 要使分式在实数范围内有意义，则的取值范围是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式有意义，根据分母不为0进行列式计算，即可作答． 【详解】解：∵分式在实数范围内有意义， ∴， ∴， 故答案为： 12. 为比较甲、乙、丙三名运动员的成绩稳定性，各随机记录10次成绩，计算得到三人的平均成绩相同，方差分别为，由此可知___________运动员发挥更稳定（填“甲”“乙”或“丙”）． 【答案】甲 【解析】 【分析】方差用于衡量数据的波动大小，当平均成绩相同时，方差越小，成绩波动越小，稳定性越好，只需比较三名运动员方差的大小即可得到结果； 【详解】解：三名运动员的方差分别为， 比较大小得， 可得甲的方差最小，因此甲运动员发挥更稳定； 13. 如图，每个小正方形的边长都为1，A，B，C是小正方形的顶点，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】连接，由勾股定理可得，，再结合勾股定理逆定理得出为等腰直角三角形，且，从而即可得出结果． 【详解】解：如图：连接， 由勾股定理可得：，， ∵， ∴为等腰直角三角形，且， ∴． 14. 若关于x的不等式组的解集为，则a的取值范围为___________． 【答案】 【解析】 【分析】先计算，进而根据“关于x的不等式组的解集为”作答即可． 【详解】解：解得， ∵关于x的不等式组的解集为， ∴要使不等式组的解集为，则需． 15. 如图，在平面直角坐标系中，矩形纸片的顶点O在原点，A在y轴正半轴，C在x轴正半轴，点B的坐标为．点D是射线上的动点，连接，过点D作交x轴于E．将沿翻折，使点O落在点处，连接．当以为腰的等腰三角形时，点D的坐标为___________． 【答案】或 【解析】 【分析】根据题意得到 ，设，分类讨论：当时，， ，证明，得到 ，由等腰三角形的性质得到 ，由此列式得到D的坐标；当时，结合题意得到 ，在中由勾股定理即可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形，， ∴ ， 当时，是以为腰的等腰三角形，如图所示，设， ∴， ， ∵， ∴ ， ， 由折叠的性质可知： ， ， ∴ ， 如图所示，过点作 于点F， ∴ ， 在 中， ， ∴， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， 解得，， ∴； 当时，是以为腰的等腰三角形，如图所示， 由折叠的性质可知： ， 在中，， ∴，整理得， ， 解得，， ∴； 综上所述：点D的坐标为或 ． 三、解答题（本大题共8小题，满分85分） 16. 计算、化简 （1）计算：； （2）化简：． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先分别计算立方根、特殊角三角函数值、负整数指数幂和零指数幂，再将结果合并即可； （2）先通分计算括号内的分式减法，然后将除法转化为乘法，再对分子因式分解，最后约分化简即可． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ． 17. 某校开展“阳光体育”活动，项目有：篮球；：足球；：跳绳；：羽毛球．学生需任选一项参加．学校进行抽样调查，并根据数据绘制了两幅不完整统计图． （1）在这次调查中，一共抽取了___________名学生； （2）补全条形统计图； （3）若该校共有学生名，请估计参加项活动的学生人数； （4）小明和小丽参加了上述活动，请用画树状图或列表的方法，求他们参加同一项活动的概率． 【答案】（1） （2）如图所示： （3）名 （4） 【解析】 【分析】（）由的人数除以所占的比例即可； （）根据扇形圆心角占比计算项目人数：对应圆心角，人数为 ，据此补全条形统计图即可； （）由该校共有学生乘以参加项活动的学生所占的比例即可； （）列表法，共有种等可能的结果，其中小明和小丽参加同一项活动的结果有种，再由概率公式求解即可． 【小问1详解】 解：已知项目人数为，对应扇形圆心角为， 总人数为： （名）； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：项目对应圆心角，样本中的占比为， ∴全校人中，估计参加项目的人数为： （名）； 【小问4详解】 解：用列表法分析所有等可能结果： 小明\小丽 总共有种等可能结果，其中两人参加同一项活动的结果有种， 因此概率：． 18. 如图1，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点A、B，与y轴交于点C，点A的纵坐标为3． （1）求k的值； （2）利用图象直接写出时x的取值范围； （3）如图2，将直线沿y轴向下平移5个单位，与函数的图象交于点D，与y轴交于点E；再将函数的图象沿平移，使点A、D分别平移到点C、F处，求图中阴影部分的面积． 【答案】（1） （2）或 （3）10 【解析】 【分析】（1）设，利用反比例函数的解析式确定，再代入一次函数的解析式求解即可； （2）构造方程组求得交点坐标，再根据不等式写出解集即可； （3）连接，根据题意，得； 【小问1详解】 解：设，因为点在反比例函数的图象上， 故， 解得， 故， 把代入解析式，得， 解得； 【小问2详解】 解：根据题意，得一次函数的解析式为， 根据题意，得， 整理，得， 解得， 故，, 根据图象得时x的取值范围是或； 【小问3详解】 解：连接，根据平移的性质，得， 所以四边形是平行四边形， 所以， 根据题意，得阴影部分的面积等于平行四边形的面积， 因为一次函数的解析式为， 所以，直线与x轴的交点为， 故， 所以， 所以； 所以； 根据题意，得，， 所以， 过点C作于点G， 故， 所以； 19. 某文具店计划购进甲、乙两种笔袋共100个进行销售．已知购进2个甲笔袋和1个乙笔袋需花费92元，购进3个甲笔袋和2个乙笔袋需花费164元．甲笔袋售价为40元/个，乙笔袋售价为87元/个． （1）分别求出每个甲笔袋和乙笔袋的进价； （2）商店根据销售经验，决定购进甲笔袋的数量不少于乙笔袋数量的一半．如何进货才能使这批文具全部售完时获利最大？最大利润是多少？ 【答案】（1）每个甲笔袋进价为20元，每个乙笔袋的进价为52元 （2）购进甲笔袋34个，购进乙笔袋66个，最大利润为元 【解析】 【分析】（1）设每个甲笔袋进价为元，每个乙笔袋的进价为元，根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可得出结果； （2）设购进甲笔袋个，则购进乙笔袋个，根据列出一元一次不等式求出，设利润为元，则，再结合一次函数的性质即可得出结果． 【小问1详解】 解：设每个甲笔袋进价为元，每个乙笔袋的进价为元， 由题意可得， 解得：， ∴每个甲笔袋进价为20元，每个乙笔袋的进价为52元； 【小问2详解】 解：设购进甲笔袋个，则购进乙笔袋个， ∵决定购进甲笔袋的数量不少于乙笔袋数量的一半， ∴， 解得：， ∵文具店计划购进甲、乙两种笔袋共100个进行销售， ∴， 设利润为元， 则 ， ∵， ∴随着的增大而减小， ∵，为整数， ∴当时，最大，为（元），此时， 故购进甲笔袋34个，购进乙笔袋66个，最大利润为元． 20. 如图，在中，，以为直径的交于点D，过点C作． （1）请用无刻度的直尺和圆规作图：过点B作的切线，交于点F；（不写作法，保留作图痕迹，标明字母） （2）在（1）的条件下，求证：． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）根据尺规作图，过点作的垂线，交于点，即可求解； （2）根据题意切线的性质以及直径所对的圆周角是直角，证明，根据平行线的性质以及等腰三角形的性质得出，进而证明，即可得证． 【小问1详解】 解：如图所示直线为所求作． 【小问2详解】 证明：∵， ∴． 又∵， ∴， ∴． ∵点在以为直径的圆上， ∴， ∴． 又∵为的切线， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． ∵在和中， ， ∴． ∴． 21. 如图，已知水平地面上方有一个水平平台，平台上有一个竖直的信号塔．在处测得塔顶的仰角为，在处测得的仰角为．斜坡的坡度，，．（点在同一竖直平面内） （1）求平台的高度； （2）求信号塔的高度（精确到）．（参考数据：，） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）过点作于点，由斜坡的坡度，得出，再由勾股定理计算即可得出结果； （2）延长交于点，证明四边形为矩形，得出，，设，则，解直角三角形得出，从而得出，由（1）可得，再结合，计算即可得出结果． 【小问1详解】 解过点作于点，如图所示： 则， 斜坡的坡度，则， ， 在中，，由勾股定理可得， 则，解得， 答：平台的高度为； 【小问2详解】 解：延长交于点，如图所示： ， ， 四边形为矩形， ，， 设，则， 在中，，则， ∵， ∴， 由（1）可得， ， ∴ ，解得， ∴， 答：信号塔的高度（即的长）约为． 22. 投壶是我国传统游戏．某同学将投出的箭近似看作一个动点，建立如图所示的平面直角坐标系（单位长度为）．箭从点处投出，飞行轨迹为抛物线：的一部分，且当箭达到最大高度时，距离投出点的水平距离为．把壶近似看作矩形，已知壶口宽 ，壶高 ． （1）求抛物线的表达式； （2）若箭刚好由点处越过投入壶中，求人离壶的水平距离； （3）在（2）的条件下，该同学再次投掷，仅调整了将箭抛出时的高度，其他条件不变．要使箭再次投入壶中，请直接写出的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据当箭达到最大高度时，距离投出点的水平距离为，可知抛物线的顶点坐标为，设抛物线的解析式为，把点的坐标代入解析式，求出的值，即可得到抛物线的解析式； （2）箭刚好由点处越过投入壶中，可知点在抛物线上，且点的纵坐标为，可得一元二次方程 ，解方程求出的值即为点的横坐标，根据点的横坐标和壶口的宽度即可求出的长度； （3）设调整了将箭抛出时的高度后，由点出投入壶中，抛物线的解析式为 ，把点的坐标代入解析式求出的值，即可得到的取值范围． 【小问1详解】 解：当箭达到最大高度时，距离投出点的水平距离为， 抛物线的顶点坐标为， 设抛物线的解析式为， 把点的坐标代入解析式， 可得： ， 解得：， 抛物线的解析式为， 整理得：； 【小问2详解】 解：壶高 ， ， 可得： ， 整理得： ， 解得： ，（不符合题意，舍去）， ， 壶口宽 ， ， ； 【小问3详解】 解：由（2）可知，点的坐标为， 设调整高度后点的坐标为， 则抛物线的解析式为 ， 若箭刚好由点处投入壶中， 则有： ， 解得： ， ． 23. 综合实践课上，同学们以线段的旋转，结合正方形进行了数学探究活动． 问题情境：在边长为2的正方形中，以点为旋转中心，将边逆时针旋转得到，旋转角为，连接，过点作的垂线交的延长线于点． （1）如图1，当时，___________，___________； （2）如图2，连接，判断、的位置关系，并说明理由； 拓展延伸： （3）当以为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出的长． 【答案】（1）； （2）；理由见解析 （3）或． 【解析】 【分析】（1）先找到旋转角，即，再通过等边对等角，用含的式子表示和，从而计算得出，推出是等腰直角三角形，再利用，推出是等边三角形，得到的长，利用等腰直角三角形边的关系计算即可； （2）利用圆周角定理，由，推出四点共圆，进而得到，即可证明平行关系； （3）分类讨论，利用（2）中的结论，寻找的时刻，即已知一组对边平行，找另一组对边平行，求出此时的长即可． 【小问1详解】 解：由旋转得，， 在正方形中，，， ∴，， ∴，， ∴， ∴， 又∵， ∴； ∴， ∴是等腰直角三角形， 当时，， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， 【小问2详解】 解：， 理由如下：如图，连接， 在正方形中，，， ∵， ∴点 四点共圆， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：分两种情况： 第一种：，由（2），得， ∴若以 为顶点的四边形是平行四边形，则， ∴， 作示意图如下，记与的交点为， 由题意，得为与的中点， ∴，， 由（1）可得是等腰直角三角形， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 由平行四边形的性质，得； 第二种：，如图，当时，点与点重合，此时，，四边形是平行四边形， ∴， 综上，的长为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第二学期九年级二模考试 《数学》试卷 注意事项： 1．本卷共8大题，计23小题，满分150分，考试时间120分钟． 2．本试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分．请在答题卷上作答，在试题卷上作答无效． 3．可以使用计算器以外的常规作图工具，作图题请保留必要作图痕迹． 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）每小题都给出A、B、C、D四个选项，其中只有一个是正确的． 1. 的相反数是（    ） A. B. C. D. 2. 如图，这是由5个大小相同的小正方体搭成的几何体，它的左视图是（ ） A. B. C. D. 3. 据统计，某地“五一”假期文旅消费总额约为760亿元，将“760亿”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 下列运算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在平行四边形中，，点E、F分别为的中点，连接交于点O，点M为的中点，点N为的中点，则的长为（ ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 不确定 6. 如图，将一直角三角形放在一对平行线上，若，则（ ） A. B. C. D. 7. 对于任意个实数，定义一种新运算：．例如．则关于的方程的根的情况为（ ） A. 有两个相等的实数根 B. 没有实数根 C. 有两个不相等的实根 D. 无法确定 8. 如图，A，B，C均在半径为的上，若，则劣弧的长为（ ） A. B. C. D. 9. 已知一个不完整的题目：某车间计划加工1800个零件，在实际生产时，……，求实际每天加工零件的个数．若设实际每天加工x个零件，可得方程 ，则题目中“……”表示的条件应是（ ） A. 每天比原计划少生产10个，结果提前3天完成 B. 每天比原计划多生产10个，结果提前3天完成 C. 每天比原计划多生产10个，结果延期3天完成 D. 每天比原计划少生产10个，结果延期3天完成 10. 如图1，在中，，点D为上一点，点P从A出发，沿边运动，连接，，设点P运动的路程为x，，其中关于的函数图象如图2所示，则图2中函数图象最低点的纵坐标m的值为（ ） A. B. C. 4 D. 二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，满分25分） 11. 要使分式在实数范围内有意义，则的取值范围是_______． 12. 为比较甲、乙、丙三名运动员的成绩稳定性，各随机记录10次成绩，计算得到三人的平均成绩相同，方差分别为，由此可知___________运动员发挥更稳定（填“甲”“乙”或“丙”）． 13. 如图，每个小正方形的边长都为1，A，B，C是小正方形的顶点，则___________． 14. 若关于x的不等式组的解集为，则a的取值范围为___________． 15. 如图，在平面直角坐标系中，矩形纸片的顶点O在原点，A在y轴正半轴，C在x轴正半轴，点B的坐标为．点D是射线上的动点，连接，过点D作交x轴于E．将沿翻折，使点O落在点处，连接．当以为腰的等腰三角形时，点D的坐标为___________． 三、解答题（本大题共8小题，满分85分） 16. 计算、化简 （1）计算：； （2）化简：． 17. 某校开展“阳光体育”活动，项目有：篮球；：足球；：跳绳；：羽毛球．学生需任选一项参加．学校进行抽样调查，并根据数据绘制了两幅不完整统计图． （1）在这次调查中，一共抽取了___________名学生； （2）补全条形统计图； （3）若该校共有学生名，请估计参加项活动的学生人数； （4）小明和小丽参加了上述活动，请用画树状图或列表的方法，求他们参加同一项活动的概率． 18. 如图1，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点A、B，与y轴交于点C，点A的纵坐标为3． （1）求k的值； （2）利用图象直接写出时x的取值范围； （3）如图2，将直线沿y轴向下平移5个单位，与函数的图象交于点D，与y轴交于点E；再将函数的图象沿平移，使点A、D分别平移到点C、F处，求图中阴影部分的面积． 19. 某文具店计划购进甲、乙两种笔袋共100个进行销售．已知购进2个甲笔袋和1个乙笔袋需花费92元，购进3个甲笔袋和2个乙笔袋需花费164元．甲笔袋售价为40元/个，乙笔袋售价为87元/个． （1）分别求出每个甲笔袋和乙笔袋的进价； （2）商店根据销售经验，决定购进甲笔袋的数量不少于乙笔袋数量的一半．如何进货才能使这批文具全部售完时获利最大？最大利润是多少？ 20. 如图，在中，，以为直径的交于点D，过点C作． （1）请用无刻度的直尺和圆规作图：过点B作的切线，交于点F；（不写作法，保留作图痕迹，标明字母） （2）在（1）的条件下，求证：． 21. 如图，已知水平地面上方有一个水平平台，平台上有一个竖直的信号塔．在处测得塔顶的仰角为，在处测得的仰角为．斜坡的坡度，，．（点在同一竖直平面内） （1）求平台的高度； （2）求信号塔的高度（精确到）．（参考数据：，） 22. 投壶是我国传统游戏．某同学将投出的箭近似看作一个动点，建立如图所示的平面直角坐标系（单位长度为）．箭从点处投出，飞行轨迹为抛物线：的一部分，且当箭达到最大高度时，距离投出点的水平距离为．把壶近似看作矩形，已知壶口宽 ，壶高 ． （1）求抛物线的表达式； （2）若箭刚好由点处越过投入壶中，求人离壶的水平距离； （3）在（2）的条件下，该同学再次投掷，仅调整了将箭抛出时的高度，其他条件不变．要使箭再次投入壶中，请直接写出的取值范围． 23. 综合实践课上，同学们以线段的旋转，结合正方形进行了数学探究活动． 问题情境：在边长为2的正方形中，以点为旋转中心，将边逆时针旋转得到，旋转角为，连接，过点作的垂线交的延长线于点． （1）如图1，当时，___________，___________； （2）如图2，连接，判断、的位置关系，并说明理由； 拓展延伸： （3）当以为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $