2026年广西壮族自治区梧州市藤县二模数学试题

**基本信息** 试卷以山东传统文化图形、冰箱温度差、飞机机翼设计等真实情境为载体，通过选择、填空、解答题梯度呈现，考查几何直观、数据意识与模型意识，适配二模综合测评需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|12/36|轴对称与中心对称、实数运算、一次函数性质|第1题结合胶东瑞兽等传统文化图形，发展几何直观| |填空题|4/12|整式运算、三角函数应用、动点最值|第15题以跨江大桥测量为背景，考查解直角三角形| |解答题|7/72|统计分析、菱形证明、反比例函数综合|第20题分析两批花树高度数据，培养数据意识；第22题飞机机翼设计问题，体现模型意识与运算能力|

2026年广西壮族自治区梧州市藤县二模数学试卷 （全卷满分120分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．答题前，考生务必将姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上。 2．考生作答时，请在答题卡上作答（答题注意事项见答题卡），在本试卷上作答无效。 3．不能使用计算器。 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 1、 选择题（共12小题，每题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中只有一个选项是符合要求，多选、错选或未选均不得分） 1．以下四幅图片是人工智能依据山东优秀传统文化生成的、分别为胶东瑞兽、潍青沙鸢齐都蹴鞠”、汶口八角星纹样，其中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 2．下列实数中，是的绝对值的是（     ） A．2026 B． C． D． 3．如图为小明拍摄的家中冰箱温度的显示，上面的数字为冷藏室的温度，下面的数字为冷冻室的温度，可知冷藏室比冷冻室温度高（     ） A． B． C． D． 4．二元一次方程组 的解是（     ） A． B． C． D． 5．已知直线经过点和，其中，则k的值可能为（     ） A．2 B．1 C． D． 6．某校学生体育素质总评成绩由平时、期中、期末成绩按权重比组成，若小王平时得90分，期中得80分，他想期末总评不低于85分，则小王期末成绩不低于（    ） A．87分 B．86分 C．85分 D．84分 7．如图，在中，，在同一直线上，，且沿折叠后与重合．连接，．则的度数是（　　） A． B． C． D． 8．古语有“君子无故，玉不去身”，玉在中国的文明史上有着特殊的地位，其具有仁、智、义、礼、乐、忠、信、天、地、德、道等君子的品节．如图，现有一块直径为的圆形玉料，要用其雕刻出一个圆周角为的扇形玉佩，则废料（即图2中阴影部分）的面积为（    ） A． B． C． D． 9．如图，在中，，将绕点逆时针旋转得到，连接，则的长为（   ） A．8 B． C． D． 10．辽宁省文旅局通过一系列丰富多彩的文旅活动，彰显“山海有情，天辽地宁”的独特魅力，吸引越来越多的游客来到辽宁、打卡辽宁．将分别标有汉字“天”“辽”“地”“宁”的四个小球装在一个不透明的口袋中，这些球除汉字外都相同，每次摸球前先搅拌均匀，随机摸出一球，不放回，再随机摸出一球，两次摸出的球上的汉字能组成“辽宁”的概率是（     ） A． B． C． D． 11．生物学中，植物生长所需水分与生长时间存在一定关联．某研究小组观察某种幼苗，发现其在天内吸收的水分（单位：毫升）与生长时间（单位：天）近似满足一次函数关系．部分实验数据如下表所示，则下列说法正确的是（     ） 生长时间天 10 15 20 30 吸收水分毫升 2.5 3.75 5.0 7.5 A．该一次函数的表达式为 B．当生长时间为38天时，吸收水分为9.5毫升 C．吸收的水分随生长时间的增加而减少 D．当生长时间为50天时，吸收水分为12.5毫升 12．如图，二次函数 的图象与x轴交于点，，与直线 交于点，若函数的图象与x轴只有一个交点，则的值是（     ） A． B．1 C． D．2 2、 填空题（本大题共4题小题，每题3分，共12分） 13．若的展开式中不含项，则______． 14．已知 ，则_______． 15．某山区城市所辖的，两座小城长期被一条大江阻隔，为促进当地的经济发展，政府决定在，两城间建造一座特大型跨江大桥．如图，观测点与小城在江的同一侧，从小城释放的一架无人机以千米/分钟的速度径直飞往观测点，分钟后到达点，同时测得，．则，两座小城相距_____千米． 16．如图，在矩形中，，，点为矩形内一个动点，连接，，，，点，分别为，的中点，连接，则的最小值为__________． 3、 解答题（本大题共7小题，共72分，解答时要求在答题卡对应的区域内写出文字说明、证明过程或运算步骤）。 17．（本小题满分8分）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 18．（本小题满分10分）如图，在中，交于点，为的中点，连结，，． (1)作，垂足为，求的长； (2)求的值． 19．（本小题满分10分）我市一水果销售公司需将一批鲜桃运往某地，有汽车、火车两种运输工具可供选择，两种运输工具主要参考数据如下： 运输工具 途中平均费用 （元/千米） 途中平均速度 （千米/时） 装卸时间 （时） 装卸费用（元） 汽车 10 80 2 1000 火车 8 100 4 2000 假设这批水果在运输过程中（含装卸时间）的损耗为160元/时． (1)当运输路程为400千米时，你认为选用哪种运输工具比较好？ (2)当运输路程为多少千米时，两种运输工具所需总费用相同？ 20．（本小题满分10分）月季作为我市的市花，被广泛种植，形成独特的月季文化景观．某校为了美化校园，用月季花树做景观造型，先后种植了两批各12棵，测量并获取了所有花树的高度（单位：），数据整理如下： a．两批月季花树高度的频数： 121 125 126 130 134 138 139 第一批 1 3 1 0 4 3 0 第二批 0 1 3 2 5 0 1 b．两批月季花树高度的平均数、中位数、众数： 平均数 中位数 众数 第一批 131 134 第二批 131 m 134 (1)写出表中，的值； (2)在这两批花树中，高度的整齐度更好的是__________（填“第一批”或“第二批”）； (3)根据造型的需要，这两批花树各选用10棵，且使它们高度的平均数尽可能接近．若第二批去掉了高度为和的两棵花树，则第一批去掉的两棵花树的高度分别是多少？ 21．（本小题满分10分）如图，在矩形中，点，分别在边、上，是四边形对角线的交点，且，． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求四边形的面积． 22．（本小题满分12分）为推进国产大飞机的研发与应用，某技术中心进行某型号飞机机翼的模拟设计．工程师需要根据设计图纸计算关键支撑结构的长度，以确保其空气动力学性能．机翼（如图①所示）的简化设计图（横截面如图②）中，和是两条垂直于水平线的垂线段，点B在上，点C在上，米，米．线段与水平线成角，线段与水平线成角．请求出图中、和这三段支撑构件的长度（结果取整数）．参考数据：，． 23．（本小题满分12分）如图1，在平面直角坐标系中，反比例函数（k为常数，）在第一象限的图像经过点、． (1)求a、k的值； (2)如图2，C为反比例函数在第二象限图像上的一点，连接、、，若，求的值； (3)如图3，将反比例函数在第一象限的图像，绕坐标原点O逆时针旋转后得到的图形记作曲线l，过、的直线，与曲线l相交于点M、N，求的面积． 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $2026年广西壮族自治区梧州市藤县 题号 1 2 3 4 6 6 答案 D A D B B 题号 11 12 答案 B C 解：-2x2(x2+ax)+5x3+2 =-2x4-2ax3+5x3+2 =-2x4+5-2ax3+2 :展开式中不含x项， .5-2a=0 解得a=2 5 14.2 解：：x-5≥0，(y+3)220,且lx-5+(y+3)2=0 .x-5=0,y+3=0 解得x=5,y=-3 .x+y=5+-3=2. 15.35 解：如图，过点B作BD⊥AC交AC延长线于点D, D 义309 1209 ∠ADB=90°， B :∠ACB=120°， ∴.∠BCD=60°， ∠DBC=30°， 设DC=x,则BC=2x,BD=V3x, 答案第1页，共2页 二模数学试卷参考答案 7 0 10 A B :∠ACB=120°，∠CAB=30°， ∠CBA=30°， AC=BC,即2x=1.5×2=3, 解得：x=1.5, 0-6, R4ABD中，AB=2BD=2xN3=3V3千米 16.-1 解：：点E为矩形ABCD内一个动点，且∠AED=90°， .点E在以AD为直径的圆上（矩形内部的一段弧)，如图， B 设AD的中点为0，则0是圆心，半径r=AD=2,连接OE,CE Γ2 :M、N分别是BE、BC的中点， .MN是BEC的中位线， MN-CE. 因此，要求MN的最小值，即求CE的最小值， 当O,E,C三点共线时，CE的值最小， 在Rt△CD0中，CD=AB=3,OD=AD=2, .C0=VCD2+D02=V32+22=V3, :0E=2, .CE=13-2, :MN=CE=-1,即MN的最小雀为E1. 17.(1)4 (2)a4-7a (3)3a2-12a+34 答案第1页，共2页 (4)9x2-4y2+4y-1 (1)解： --r+-- =4-1+2-1 =4; (2)a-a3+(-2a2）3+a÷a2 =a+-8a）+a =a4-7a5; (3)(2a-3)2-(a+5)(a-5) =4a2-12a+9-(a2-25) =4a2-12a+9-a2+25 =3a2-12a+34; (4)(3x-2y+1(3x+2y-1 =[3x-(2y-1][3x+(2y-1] =(3x)2-(2y-1)2 =9x2-(4y2-4y+1 =9x2-4y2+4y-1. 18.() 2 (2)5 9 (1)解：如图，作AH⊥BC,垂足为H, B D :AE⊥AB交BC于点E, ∠BAE=90°， 答案第1页， 共2页 D为BE的中点，AD=4, :BE=2AD=8· 又：在直角三角形△ABE中，AE=2, :AB=VBE2-AE2=V82-22=2W15 又：AH⊥BE, :5m=号8EH=号8E, AH=8=252-=西： (2)解：过点E作EF⊥AE,交AC于F, :∠BAE=90°， 又：EF⊥AE, EF∥AB, ∴.△CFE∽△CAB, …器=器 又BE=8,EC=1, .BC=BE EC=9. 又：AB=2N15 EF==2匝-25· BC 在直角三角形AEF中，tan∠EAC=tan∠EAP=是 :EF=21E,AE=2, 9 :tan∠AC-是=等-年 19.(1)选用汽车运输比较好 (2)550千米 (1)解：汽车：10×400+160×400 +160×2+1000=6120(元) 80 火车：8×400+160× 400 +160×4+2000=6480（元) 100 因为6120元<6480元，所以选汽车. (2)解：设运输路程为x千米，由题意得， 答案第1页，共2页 10x+160×x+160×2+1000=8x+160×,X+160×4+2000 80 100 解得x=550 即路程为550千米时，两种运输工具所需费用相同. 20.(1)m=132,n=134 (2)第二批 (3)126cm和138cm (1)解：：m为第二批月季花高度的中位数， 第二批有12个数据， .中位数是数据按大小顺序排列是第6、7个数据的平均数， 从表格中可得：第6个数据为130，第7个数据为134， :m=130+134=132, :为第一批月季花高度的众数，即频数最多的数据， .n=134 (2)解：第一批的方差为 （121-1312+125-1312×3+126-1312+134-13×4+138-131×3≈347， 12 第二批的方差为 (125-131)2+(126-1312×3+(130-131)2×2+134-1312×5+139-131 2218.5 12 18.5<34.7, 第二批的高度的整齐度更好. (3)解：由表格可知，两批花原本的平均数是相等的， 在各去掉两棵花后，还要平均数尽可能接近，就是要去掉的花的高度和尽可能接近， :125+139=264cm, 在第一批花树中，仅有126+138=264cm :第一批去掉的两棵花树的高度为126cm和138cm. 21.(1)证明见解析 (2)20 (1)证明：：四边形ABCD是矩形， 答案第1页，共2页 AD∥BC,AD=BC,∠B=90°， .∠OAF=∠OCE,∠OFA=∠0EC, BE DF, BC-BE=AD-DF,即CE=AF, 在△OAF和△OCE中， ∠OAF=∠OCE AF=CE ∠OFA=∠OEC △0AF≌△0 CE ASA, .0A=0C,0F=0E, .四边形AECF是平行四边形， 又：AC⊥EF, 四边形AECF是菱形； (2)解：设BE=x,则CE=x+2, :四边形AECF是菱形， :AE CE =x +2, 在Rt△ABE中，AE2=AB2+BE2, .（x+22=42+x2, 解得x=3, .CE=X+2=5, .S四边形AECF=CE·AB=5×4=20, 22.AD、DC和BC这三段支撑构件的长度分别约为7米，1米，6米 解：过点C作CG⊥AG于点G,过点B作BH⊥CG于点H,如图： 不45° G 3.4m -CH B 30° E—5mF 答案第1页，共2页 又：AB⊥AG, .四边形AGHB为矩形， :AG=BH,AB=GH, 由题意得AB=GH=3.4米，AG=BH=5米，∠GAD=45°，∠HBC=30°， 在RtAGD中，：tan∠GAD=DG AG tan45°= DG 5, DG=5米， :cos∠GAD=AG AD' .c0s45°= AD’ AD=5√2≈7米， 在Rt△BHC中，：tan∠HBC=CH BH tan30°=C , :cH-5v5米， 3 :cos∠HBC=BH BC' .c0s30°= 5 BC' ·BC=10 ≈6米， :cD=CH-DG+GH=55-5+3.45x1.7-5+341米， 3 故AD、DC和BC这三段支撑构件的长度分别约为7米，1米，6米. 23.(1)a=3,k=6 (210 5 (3)8 (1)解：：反比例函数y=（x>0)的图象经过点A1,2和点B5-4,3), .1×2a=5-a)×3. .a=3. 点A1,6). 答案第1页，共2页 把点A1,6)代入y=《(x>0)得6=k 11 .k=6. (2):点C为反比例函数y=-4的图象上第二象限的点， 设cm,4 过C作CM⊥x轴于M,过A作AN⊥x轴于N. m B M .L0MC=∠AN0=∠A0C=90°. .∠C0M+∠0CM=∠C0M+∠A0N=90o. ∴.∠OCM=∠AON. .aC0M∽aOAN. “器=器=器 4 m=-m 16 m=-2√6（正值舍去)， :0cv6 OA 3 :∠A0C=90° 设c0=V5t0A=31,则 4C=0c2+0aF=V6'+32-5. sn∠0AC=器= - 5 (3)解：过点F(2√2,2√2)作x轴的垂线，垂足为点P, 答案第1页，共2页 0P=2V2,FP=2V2, 图3 ..OP FP 又：∠0PF=90°， △OPF是等腰直角三角形， ∠P0F=45°. 过点E(-4√2,4V2)作x轴的垂线，垂足为点9， 0Q=42,E0=4√2， ..00=EO, 又：∠0QE=90°， ∴.△OQE是等腰直角三角形， .∠00E=45° ∴.∠EOF=∠Q0E+∠POF=45°+45°=90°， 0E10F. 由勾股定理得 0E=V(-4V2)2+(4V2)2=8, 0F=V(2V2)2+(2V2)2=4 :OE⊥OF,以OF、OE为两个互相垂直方向，设平面内 为4，沿着OE方向对应的线段长为， 则点E可看作(0,8)，点F可看作(4,0) 设直线EF对应的关系式为v=ku+b, 把(0,8)，(4,0)代入得 b=8 4k+b=0' 答案第1页，共2页 点沿着OF方向对应的线段长 「k=-2 解得b=8’ :直线EF对应的关系式为v=-2u+8. :反比例函数y=6的图象关于象限角平分线对称，绕原点逆时针旋转45°后，图象上点满足 的乘积定值几何性质不变，因此曲线上任意一点在互相垂直的OF、OE方向上对应的线段长 度乘积仍为6. :可得关系式uv=6. v=-2u+8 联立 uv=6 将v=-2u+8代入uv=6中， 得u(-2u+8)=6' 整理得u2-4u+3=0, 解得41=1，u2=3. 当u=1时，v=6,当u=3时，v=2. :0E⊥0F, :沿OE方向的线段长度就是点到直线OF的垂直距离，即点M、N到直线OF的距离分别 为6和2， S.OMN=S.OFM-S.OFN =号0F6-支0F.2 46 1 ×4x2 =8 答案第1页，共2页