专题06因式分解 专项训练（14大核心题型精讲+分层精练突破）-2025-2026学年北师大版数学八年级下学期.

**基本信息** 以题型为纲，构建“概念-方法-应用”三阶体系，提炼因式分解全方法链，强化知识迁移与实际应用，培养抽象能力、运算能力及应用意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础方法|题型1-7（含判断、公因式、提公因式法、公式法）|定义辨析、提公因式步骤、公式特征判断|从因式分解概念出发，通过公因式提取过渡到公式法，形成“定义-工具-基础应用”逻辑链| |综合方法|题型8-9（综合公式、提公因式与公式结合）|多方法联用策略、分解彻底性检验|整合基础方法，训练分步分解思维，体现知识纵向深化| |拓展方法|题型10-13（实数范围分解、十字相乘法、分组分解法）|十字相乘常数拆分、分组后提公因式/套公式|拓展至特殊方法，构建“基础方法+特殊技巧”完整方法体系| |实际应用|题型11、14（简算、几何应用）|因式分解简化运算、几何等量关系转化|链接实际问题，实现从数学思维到数学语言表达的转化|

专题06因式分解 专项训练 题型梳理归纳 题型1.判断是否是因式分解 题型2.已知因式分解的结果求参数 题型3.公因式 题型4.提公因式法分解因式 题型5.判断能否用公式法分解因式 题型6.平方差公式分解因式 题型7.完全平方公式分解因式 题型8.综合运用公式法分解因式 题型9.综合提公因式和公式法分解因式 题型10.实数范围内分解因式 题型11.因式分解在有理数简算中的应用 题型12.十字相乘法 题型13.分组分解法 题型14.因式分解的应用 题型15.分层精练12道题 核心题型精讲 题型1.判断是否是因式分解 1．下列各式中从左到右的变形，是因式分解的是（     ） A． B． C． D． 2．下列各式中，是整式乘法的是_______，是因式分解的是_______．（填序号） ①；②； ③；④． 3．下列代数式从左到右的变形哪些不属于因式分解？请说明理由． (1) ； (2) ； (3) ； (4)． 题型2.已知因式分解的结果求参数 1．已知，则a的值为（    ） A．1 B．3 C． D． 2．关于的二次三项式因式分解的结果是，则______． 3．阅读材料，探究问题． 我们可通过运算得到和． 【探索归纳】 如图，甲、乙两图是两个长和宽都相等的长方形，其中长为，宽为． （1）根据甲图、乙图的特征，用不同的方法计算长方形的面积，得到的等式是________． 【尝试运用】 利用因式分解与整式乘法的关系，我们可以逆用上述表达式得到一些二次三项式的因式分解． （2）若，则________． 【拓展延伸】 （3）已知关于的整式可以写成两个因式的积，其中一个因式是．求另一个因式和的值． （4）若可以分解成关于的两个一次式乘积的形式（每个一次式的系数与常数项都为整数），直接写出所有正整数的值． 题型3.公因式 1．多项式中，各项的最大公因式是（　　） A． B． C． D． 2．把多项式分解因式时，应提取的公因式是_________． 3．已知，，求的值． 题型4.提公因式法分解因式 1．下列用提公因式法分解因式正确的是（    ） A．B． C． D． 2．因式分解：____． 3．因式分解 (1) (2) 题型5.判断能否用公式法分解因式 1．已知多项式与一个单项式的和能因式分解，则这个单项式不可能是（     ） A． B． C． D． 2．多项式①；②；③；④；⑤中能用公式法分解因式的有________（填序号）． 3．下列各式可以用平方差公式分解因式吗？如果可以，请分解因式；如果不可以，请说明理由． (1)； (2)； (3)； (4)． 题型6.平方差公式分解因式 1．下列各式从左到右的变形，是彻底的因式分解的是（   ） A． B． C． D． 2．因式分解：______． 3．因式分解： (1)； (2)． 题型7.完全平方公式分解因式 1．下列多项式中，能用完全平方公式进行因式分解的是（   ） A． B． C． D． 2．因式分解：______． 3．因式分解： (1)； (2)； 题型8.综合运用公式法分解因式 1．如果a，b，c是三角形的三边长，那么代数式的值是（   ） A．负数 B．正数 C．非负数 D．非正数 2．分解因式：______． 3．分解因式（或利用因式分解计算）： (1)； (2)； (3)； (4)． 题型9.综合提公因式和公式法分解因式 1．下列各因式分解正确的是（     ） A． B． C． D． 2．分解因式：_____． 3．分解因式： (1)； (2)． 题型10.实数范围内分解因式 1．下列二次三项式在实数范围内不能因式分解的是（   ） A． B． C． D． 2．在实数范围内分解因式：__________． 3．阅读材料： 小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如：，善于思考的小明进行了以下探索：设（其中，，，均为整数），则有，，．这样小明就找到了一种把部分的式子化为平方式的方法． 请你仿照小明的方法探索并解决下列问题： (1)当，，，均为正整数时，若，用含，的式子分别表示，，得：_____，_____； (2)利用（1）中结论填一组合适的正整数，__________（__________）； (3)化简：． 题型11.因式分解在有理数简算中的应用 1．运用因式分解计算：的结果为（    ） A．314 B．264 C．256 D．300 2．利用因式分解计算：_________． 3．利用因式分解计算：． 题型12.十字相乘法 1．将分解因式，结果正确的是（   ） A． B． C． D． 2．因式分解：___________． 3．已知，求代数式的值． 题型13.分组分解法 1．应用分组分解法分解因式时，对于的分组中正确的是（   ） A． B． C． D． 2．多项式可因式分解为______． 3．小逸同学对多项式进行分解因式，采用的方法如下：．这种分解因式的方法叫作分组分解法． (1)请结合小逸同学的方法分解因式：． (2)已知，，是的三边长，且满足，请判断的形状并说明理由． 题型14.因式分解的应用 1．已知的三边长分别是a，b，c，且满足，判断此三角形的形状为（   ） A．直角三角形 B．等腰直角三角形C．钝角三角形 D．等边三角形 2．若实数x，y，m满足，，则m的值为______________． 3．乘法原理：若，则或． (1)试用所学知识尝试求解下列方程： ①； ②； (2)方法迁移：如图，已知和分别是中边上的高，其中，，求． 分层精练 一、单选题 1．下列各等式中，从左到右的变形是因式分解且分解正确的是（    ） A． B． C． D． 2．把多项式分解因式，应提的公因式是（    ） A． B． C． D． 3．若的结果中不含项，则的值为（   ） A． B． C． D． 4．下列四种说法中正确的有（　　） ①关于x、y的方程存在整数解． ②若两个不等实数a、b满足，则a、b互为相反数． ③若，则． ④若，则． A．①④ B．②③ C．①②④ D．②③④ 二、填空题 5．已知，，则______． 6．因式分解：________． 7．在实数范围内因式分解：__________． 8．已知 为互不相等的非零实数，满足 ，则 __________． 9．在实数范围内因式分解： （1）________； （2）________． 三、解答题 10．数形结合是解决数学问题的重要思想方法，借助图形可以对很多数学问题进行直观推导和解释、如图1，有足够多的边长为的小正方形，长为、宽为的长方形以及边长为的大正方形． 利用图①中的三种材料各若干可以拼出一些长方形来解释等式，例如图2可以解释乘法：，也可以解释因式分解：． (1)若用4个类材料围成图3的形状，设外围大正方形的边长为，内部小正方形的边长为，观察图案，指出下列关系式中正确的是（写出所有正确结论的序号）______． ①；②；③；④；⑤ (2)若取其中的若干个（三种图形都要取到）拼成一个长方形，使其面积为，在虚框中画出图形，并根据所画图形，将多项式分解因式为______． (3)若取其中的若干个（三种图形都要取到拼成一个长方形，使其面积为，则的值为______．（直接写出结果） 11．阅读下面分解因式的过程：．利用上述分解因式的方法，解决问题． (1)因式分解：； (2)若，，是的三边，求证：； (3)求方程的整数解． 12．因式分解：． 解：令， 则， ． 材料中的解题过程用到的是“整体思想”，这是数学解题过程中常用的一种思想方法．请你运用这种思想方法解答下列问题： (1)因式分解：__________； (2)因式分解：； (3)求证：若为正整数，则式子的值一定是某个整数的平方． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06因式分解 专项训练 题型梳理归纳 题型1.判断是否是因式分解 题型2.已知因式分解的结果求参数 题型3.公因式 题型4.提公因式法分解因式 题型5.判断能否用公式法分解因式 题型6.平方差公式分解因式 题型7.完全平方公式分解因式 题型8.综合运用公式法分解因式 题型9.综合提公因式和公式法分解因式 题型10.实数范围内分解因式 题型11.因式分解在有理数简算中的应用 题型12.十字相乘法 题型13.分组分解法 题型14.因式分解的应用 题型15.分层精练12道题 核心题型精讲 题型1.判断是否是因式分解 1．下列各式中从左到右的变形，是因式分解的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据因式分解的定义，因式分解是将多项式化为几个整式的乘积的形式，据此逐一判断选项即可． 【详解】解：A、原式变形左边是整式乘法，结果是多项式，不是几个整式乘积的形式，不符合要求； B、左边是多项式，右边是两个整式的乘积，且变形正确，符合因式分解的定义； C、，右边中不是整式，不符合要求； D、，原式变形错误，不符合要求． 2．下列各式中，是整式乘法的是_______，是因式分解的是_______．（填序号） ①；②； ③；④． 【答案】 ①②/②① ③④/④③ 【分析】本题主要考查了整式乘法与因式分解，将多项式写成几个整式的积的形式，叫做将多项式分解因式，整式的乘法是指单项式与单项式、单项式与多项式以及多项式与多项式相乘，根据各自的定义判断即可． 【详解】解：①是整式乘法， ②是整式乘法， ③是因式分解， ④是因式分解． 故答案为：①②；③④． 3．下列代数式从左到右的变形哪些不属于因式分解？请说明理由． (1) ； (2) ； (3) ； (4)． 【答案】(1)是整式的乘法，不是因式分解 (2)一个多项式转化成几个整式积的形式，是因式分解 (3)没把一个多项式转化成几个整式积的形式，不是因式分解 (4)等式的左边不是多项式，不是因式分解 【分析】（1）把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式，据此即可作答； （2）根据因式分解的定义判断即可得答案； （3）根据因式分解的定义判断即可得答案； （4）根据因式分解的定义判断即可得答案． 【详解】（1）是整式的乘法，故（1）不是因式分解； （2），一个多项式转化成几个整式积的形式，故（2）是因式分解； （3），没把一个多项式转化成几个整式积的形式，故（3）不是因式分解； （4），等式的左边不是多项式，故（4）不是因式分解． 【点睛】本题考查了因式分解的意义，因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式． 题型2.已知因式分解的结果求参数 1．已知，则a的值为（    ） A．1 B．3 C． D． 【答案】B 【详解】解：∵， ∴． 2．关于的二次三项式因式分解的结果是，则______． 【答案】1 【分析】根据因式分解的定义，展开因式分解后的多项式，对比对应项的系数即可求解． 【详解】解：∵， ∴由题意得，， ∴． 3．阅读材料，探究问题． 我们可通过运算得到和． 【探索归纳】 如图，甲、乙两图是两个长和宽都相等的长方形，其中长为，宽为． （1）根据甲图、乙图的特征，用不同的方法计算长方形的面积，得到的等式是________． 【尝试运用】 利用因式分解与整式乘法的关系，我们可以逆用上述表达式得到一些二次三项式的因式分解． （2）若，则________． 【拓展延伸】 （3）已知关于的整式可以写成两个因式的积，其中一个因式是．求另一个因式和的值． （4）若可以分解成关于的两个一次式乘积的形式（每个一次式的系数与常数项都为整数），直接写出所有正整数的值． 【答案】（1）；（2）；（3）另一个因式为，的值为3．（4）1，7，13，29． 【分析】本题考查了多项式乘以多项式，因式分解的应用，熟练掌握运算法则是解此题的关键． （1）分别表示出图甲、图乙中长方形的面积，即可得出结果； （2）利用多项式乘以多项式的法则将展开，对应相等即可得出结果； （3）设另一个因式为，则，再分别对应相等即可得出结果； （4）设这两个一次式为和，则，从而得出，，，再结合、、、均为整数，分情况计算即可得出结果． 【详解】（1）由图甲可得，长方形的面积为， 由图乙可得，长方形的面积为， 故得到的等式是； （2） ， ∵， ∴； （3）∵关于的整式可以写成两个因式的积，其中一个因式是， ∴设另一个因式为， ∴， ∴，，， ∴，，， ∴另一个因式为，的值为； （4）∵可以分解成关于的两个一次式乘积的形式， ∴设这两个一次式为和， ∴， ∴，，， ∵、、、均为整数， ∴当，，，时，此时，不符合题意； 当，，，时，此时，符合题意； 当，，，时，此时，符合题意； 当，，，时，此时，不符合题意； 当，，，时，此时，符合题意； 当，，，时，此时，不符合题意； 当，，，时，此时，不符合题意； 当，，，时，此时，符合题意； 当，，，时，此时，不符合题意； 当，，，时，此时，符合题意； 当，，，时，此时，符合题意； 当，，，时，此时，不符合题意； 综上所述，所有正整数的值为1，7，13，29． 题型3.公因式 1．多项式中，各项的最大公因式是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据最大公因式的定义，先求各项系数的最大公约数，再确定各项共有的字母的最低次幂，即可得到结果． 【详解】解：多项式的各项系数为，其绝对值的最大公约数是， 各项都含有的字母为，只出现在第二项，因此公因式不含， 的最低次幂是，的最低次幂是， ∴ 该多项式各项的最大公因式为． 2．把多项式分解因式时，应提取的公因式是_________． 【答案】/ 【分析】本题考查了公因式的定义，熟练掌握公因式的定义是解答本题的关键．一个多项式的各项都含有的相同的因式叫做这个多项式各项的公因式．公因式的确定，一看系数：若各项系数都是整数，应提取各项系数的最大公因数；二看字母：公因式的字母是各项相同的字母；三看字母的指数：各相同字母的指数取指数最低的． 【详解】解：的公因式为． 故答案为：． 3．已知，，求的值． 【答案】． 【分析】把的因式分解，再代入计算． 【详解】解：，，， ，， ． 【点睛】本题考查的是二次根式的混合运算，因式分解，代数式求值，掌握二次根式的混合运算，因式分解，代数式求值，注意灵活应用． 题型4.提公因式法分解因式 1．下列用提公因式法分解因式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】对每个选项提取公因式后，和选项给出的结果对比，即可得到正确答案． 【详解】解：A. ，本选项运算错误，不符合题意； B. ，本选项运算错误，不符合题意； C. ，分解结果正确，本选项运算正确，符合题意； D. ，本选项运算错误，不符合题意． 2．因式分解：____． 【答案】 【分析】找出原式的公因式，提取公因式即可完成因式分解 【详解】解： 3．因式分解 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）提公因式即可分解因式； （2）先处理符号问题得到，再提公因式，结合整式运算即可解答． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 题型5.判断能否用公式法分解因式 1．已知多项式与一个单项式的和能因式分解，则这个单项式不可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：对选项A：和为 ，可以因式分解，故A不符合要求； 对选项B：和为，可以因式分解，故B不符合要求； 对选项C：和为，可以因式分解，故C不符合要求； 对选项D：和为，整理得，无法在整式范围内分解为多个整式的乘积，因此该多项式不能因式分解，故D符合要求． 2．多项式①；②；③；④；⑤中能用公式法分解因式的有________（填序号）． 【答案】③④⑤ 【分析】本题主要考查了公式法分解因式（平方差公式、完全平方公式），熟练掌握平方差公式和完全平方公式的结构特征是解题的关键．根据平方差公式和完全平方公式的形式，逐一判断每个多项式是否符合公式法分解因式的条件． 【详解】解：①不符合完全平方公式形式，且无法用平方差公式分解，故不能使用公式法． ②可写为，平方和在实数范围内不能分解，故不能使用公式法． ③可写为，符合平方差公式，即，故能用公式法． ④可写为，符合完全平方公式，即，故能用公式法． ⑤可写为，符合完全平方公式，即，故能用公式法． 综上，能用公式法分解因式的有③、④、⑤． 故答案为：③④⑤． 3．下列各式可以用平方差公式分解因式吗？如果可以，请分解因式；如果不可以，请说明理由． (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)不可以，因为不是平方差形式 (2)可以，分解为 (3)不可以，因为不是平方差形式 (4)可以，分解为 【分析】本题考查利用平方差公式分解因式： （1）先判断是否是平方差形式，如果是再进行因式分解； （2）先判断是否是平方差形式，如果是再进行因式分解； （3）先判断是否是平方差形式，如果是再进行因式分解； （4）先判断是否是平方差形式，如果是再进行因式分解． 【详解】（1）解：不可以用平方差公式分解因式，因为不是平方差形式； （2）解：可以用平方差公式分解因式， ； （3）解：不可以用平方差公式分解因式，因为不是平方差形式； （4）解：可以用平方差公式分解因式， ． 题型6.平方差公式分解因式 1．下列各式从左到右的变形，是彻底的因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据因式分解的定义，即把一个多项式化成几个整式的积的形式的变形叫做因式分解，逐项判断即可． 【详解】解：A、，原式是因式分解，但分解的不彻底，选项A不符合题意； B、等式右边，不是几个整式乘积的形式，则选项B不符合题意； C、该变形是将几个整式的积化为多项式，属于整式乘法，不是因式分解，则选项C不符合题意； D、等式左边是多项式，右边是两个整式的乘积，且分解彻底，符合因式分解的定义，则选项D符合题意． 2．因式分解：______． 【答案】 【分析】先提取公因式，再利用平方差公式进行因式分解即可． 【详解】解：． 3．因式分解： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先提公因式，再利用完全平方公式进行因式分解． （2）先将原式整理为平方差的形式，再利用平方差公式因式分解，最后提取公因式得到结果． 【详解】（1） 解： ． （2）解： ． 题型7.完全平方公式分解因式 1．下列多项式中，能用完全平方公式进行因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据完全平方公式的结构特征逐一判断选项即可，完全平方公式的结构为． 【详解】解：A、的常数项为，不符合完全平方公式结构，不能用完全平方公式因式分解； B、缺少两个数乘积的倍这一项，不符合完全平方公式结构，不能用完全平方公式因式分解； C、是平方差，只能用平方差公式因式分解，不符合完全平方公式结构，不能用完全平方公式因式分解； D、，符合完全平方公式结构，可以用完全平方公式因式分解． 2．因式分解：______． 【答案】 【分析】观察多项式符合完全平方公式的结构特征，可直接套用完全平方公式分解因式. 【详解】解： . 3．因式分解： (1)； (2)； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用提取公因式法和平方差公式进行因式分解即可； （2）利用多项式乘多项式法则计算，再利用完全平方公式进行因式分解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 题型8.综合运用公式法分解因式 1．如果a，b，c是三角形的三边长，那么代数式的值是（   ） A．负数 B．正数 C．非负数 D．非正数 【答案】A 【分析】本题考查了三角形三边关系，把原式进行因式分解，再根据三角形的三边关系即可判断．解决本题的关键是熟练运用完全平方公式和平分差公式进行因式分解． 【详解】解： ∵a、b、c是三角形的三边长， ∴，， ∴，即的值是负数． 故选：A． 2．分解因式：______． 【答案】 【分析】本题考查了完全平方公式和平方差公式的应用，根据完全平方公式和平方差公式逐步对原式进行因式分解． 【详解】解：原式 ． 故答案为：． 3．分解因式（或利用因式分解计算）： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式 ； （3）解：原式； （4）解：原式． 题型9.综合提公因式和公式法分解因式 1．下列各因式分解正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】A、，因式分解正确，A符合题意； B、不能分解为，故B错误，不符合题意； C、是整式乘法，不是因式分解，因式分解是将多项式化为几个整式乘积的形式，故C错误，不符合题意； D、，原分解没有分解彻底，故D错误，不符合题意． 2．分解因式：_____． 【答案】 【详解】解：． 3．分解因式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2） ． 题型10.实数范围内分解因式 1．下列二次三项式在实数范围内不能因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查一元二次方程的根的判别式的应用．判断二次三项式能否在实数范围内分解因式的方法：把二次三项式看成方程的形式，可以在实数范围内分解，即方程有实根，即．若二次三项式可以在实数范围内分解，则二次三项式等于0时，，计算各选项中的值，根据的符号判断即可． 【详解】解：A、， ∵， ∴方程有实数解， ∴在实数范围内能因式分解，故本选项不符合题意； B、， ∵， ∴方程有实数解， ∴在实数范围内能因式分解，故本选项不符合题意； C、， ∵， ∴方程有实数解， ∴在实数范围内能因式分解，故本选项不符合题意； D、， ∵， ∴方程没有实数解， 在实数范围内不能因式分解，故本选项符合题意； 故选：D． 2．在实数范围内分解因式：__________． 【答案】 【分析】本题主要考查了在实数范围内因式分解，利用配方法将原式变形，再利用平方差公式进行因式分解，由此求解即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 3．阅读材料： 小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如：，善于思考的小明进行了以下探索：设（其中，，，均为整数），则有，，．这样小明就找到了一种把部分的式子化为平方式的方法． 请你仿照小明的方法探索并解决下列问题： (1)当，，，均为正整数时，若，用含，的式子分别表示，，得：_____，_____； (2)利用（1）中结论填一组合适的正整数，__________（__________）； (3)化简：． 【答案】(1)，； (2)，，，（答案不唯一） (3) 【分析】（1）根据上面的例子，将按完全平方展开，可得出答案； （2）由（1）可写出一组答案，不唯一； （3）先将被开方数按所给例子改写成一个式子的平方，再按二次根式性质化简即可． 【详解】（1）解：∵， ∴，； （2）解：本题答案不唯一， 取，，代入（1）中结论可得 ，， ∴； （3） 解：． 题型11.因式分解在有理数简算中的应用 1．运用因式分解计算：的结果为（    ） A．314 B．264 C．256 D．300 【答案】A 【分析】本题主要考查了分解因式的应用，用提公因式分解因式，然后进行计算即可． 【详解】解： ． 故选：A． 2．利用因式分解计算：_________． 【答案】4051 【分析】先利用平方差公式进行因式分解，然后再计算即可． 【详解】解：． 3．利用因式分解计算：． 【答案】 【分析】本题考查利用因式分解进行简算，利用平方差公式进行因式分解后，进行计算即可． 【详解】解：原式 ． 题型12.十字相乘法 1．将分解因式，结果正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了分解因式，可设（其中a、b为整数）则可求出，再根据可确定a、b的值，进而可得答案． 【详解】解：∵， ∴可设（其中a、b为整数） ∴， ∴， ∵，且， ∴， ∴， 故选：A． 2．因式分解：___________． 【答案】 【分析】本题主要考查因式分解，通过十字相乘法将二次三项式分解为两个一次因式的乘积． 【详解】解：， 故答案为：． 3．已知，求代数式的值． 【答案】． 【分析】先对代数式进行因式分解，将其转化为的形式，再将代入，化简计算即可．（直接代入代数式求解也可行） 【详解】解：， 将代入得：原式 ． 题型13.分组分解法 1．应用分组分解法分解因式时，对于的分组中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查分组分解法分解因式，根据完全平方公式的特点即可得到答案．把原式化为，从而可得答案. 【详解】解：， 故选B． 2．多项式可因式分解为______． 【答案】 【分析】本题主要考查了因式分解，将分解成与9，结合平方差公式公式法及提取公因式法分解即可得到答案． 【详解】解：原式， 故答案为：． 3．小逸同学对多项式进行分解因式，采用的方法如下：．这种分解因式的方法叫作分组分解法． (1)请结合小逸同学的方法分解因式：． (2)已知，，是的三边长，且满足，请判断的形状并说明理由． 【答案】(1) (2)为等腰三角形，见解析 【分析】（1）利用分组分解法进行因式分解即可； （2）将等式左边进行因式分解 ，推出，即可得出结论. 【详解】（1）解：． （2）解：为等腰三角形． 理由：． ，，是的三边长， ， ，即， 为等腰三角形． 题型14.因式分解的应用 1．已知的三边长分别是a，b，c，且满足，判断此三角形的形状为（   ） A．直角三角形 B．等腰直角三角形C．钝角三角形 D．等边三角形 【答案】D 【分析】本题考查因式分解的应用，利用完全平方公式和平方的非负性推导三边关系，即可判断三角形形状． 【详解】解：∵， ∴ 对原式变形得， 由完全平方公式可得， ∵ 平方数为非负数，即，， ∴ 且 ， ∴ 且 ，可得 ， ∴是等边三角形． 2．若实数x，y，m满足，，则m的值为______________． 【答案】3 【分析】先把两个等式相加，再进行配方，根据非负数的性质求出x、y的值，再代入求解． 【详解】解：，， 两式相加，得：， ， ， ，， ， ． 3．乘法原理：若，则或． (1)试用所学知识尝试求解下列方程： ①； ②； (2)方法迁移：如图，已知和分别是中边上的高，其中，，求． 【答案】(1)①；②； (2) 【分析】（1）运用因式分解法求解即可； （2）根据勾股定理求出，设，利用三角形面积公式求出，在中，由勾股定理得，代入得，求出x值即可 【详解】（1）解：① ∴； ②， ， ∴， ∴； （2）解：在中，，， 在中，，， 设， ， ∴， ∴， 在中，， ∴， 整理得 , ∴（舍去）， ∴ 分层精练 一、单选题 1．下列各等式中，从左到右的变形是因式分解且分解正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了因式分解，根据因式分解的定义（把一个多项式化为几个整式的积的形式），结合因式分解的方法逐一判断选项． 【详解】解：∴A选项是整式乘法，从整式的积化为多项式，不符合因式分解定义，错误； ∵B选项右边是整式与常数的和，不是整式的积的形式，不符合因式分解定义，错误； ∵C选项中，原式分解错误，错误； ∵D选项中，提取公因式，，符合因式分解定义且分解正确； ∴故选：D． 2．把多项式分解因式，应提的公因式是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了分解因式，观察可知两个单项式的公因式为，据此可得答案，解答本题的关键要明确：确定多项式中各项的公因式，可概括为三“定”：①定系数，即确定各项系数的最大公约数；②定字母，即确定各项的相同字母因式(或相同多项式因式)；③定指数，即各项相同字母因式(或相同多项式因式)的指数的最低次幂． 【详解】解：， ∴多项式分解因式，应提的公因式是， 故选：C． 3．若的结果中不含项，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据多项式乘多项式的法则将展开，合并同类项后，再令项的系数为，即可求解． 【详解】解：∵ ， 又∵的结果中不含项， ∴， 解得：． 4．下列四种说法中正确的有（　　） ①关于x、y的方程存在整数解． ②若两个不等实数a、b满足，则a、b互为相反数． ③若，则． ④若，则． A．①④ B．②③ C．①②④ D．②③④ 【答案】B 【分析】将提公因式2得，由x、y为整数，则为偶数，因为199为奇数，即原等式不成立，即可判断①；将，整理得，即得出，由于实数a、b不相等，即得出a、b互为相反数，故可判断②；整理得，即得，即，故可判断③；由，得出，即可变形为，可以得出或，故可判断④． 【详解】∵， ∴如果x、y为整数，那么为偶数， ∵199为奇数， ∴不存在整数解，故①错误； ∴， ∵实数a、b不相等， ∴a、b互为相反数，故②正确； ∴，即，故③正确； ∵ ∴， ∴，即， ∴， ∴或，故④不一定正确． 综上可知正确的有②③． 故选B． 【点睛】本题考查因式分解，整式的混合运算．熟练掌握完全平方公式是解题关键． 二、填空题 5．已知，，则______． 【答案】 【分析】根据平方差公式因式分解求出，联立，求出，进而求的值； 【详解】解：∵，，， ∴ ，解得：， 联立， 解得：，， ∴， ∴． 6．因式分解：________． 【答案】 【分析】本题主要考查因式分解，原式根据分组分解、公式法、提公因式法进行因式分解即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 7．在实数范围内因式分解：__________． 【答案】 【分析】本题考查了实数范围内分解因式：一些式子在有理数的范围内无法分解因式，可是在实数范围内就可以继续分解因式．通过补项配成完全平方公式是解决问题的关键． 先把原式变形为，可得到，再利用平方差公式进行因式分解，即可求解． 【详解】解： ． 故答案为：． 8．已知 为互不相等的非零实数，满足 ，则 __________． 【答案】 【分析】本题主要考查了因式分解的应用，代数式求值，根据，可得，进而得出，再根据，可得，最后根据得出答案． 【详解】解：∵， ∴， 即， 则． ∵， ∴， 可得． ∵， ∴， ∴， 即． ∴． 故答案为：． 9．在实数范围内因式分解： （1）________； （2）________． 【答案】 【分析】本题考查实数范围内的因式分解．注意掌握公式法解一元二次方程的知识． （1）首先令，利用公式法即可求得此关于的一元二次方程的解，继而可将此多项式分解； （2）令，则式子可化为，令，求解即可． 【详解】（1）解：令， 则， ， ， ， ， ， ， ， ； （2）解：令，则式子可化为， 令， 则， ， ， ， ， ， ， ， 即或， ． 三、解答题 10．数形结合是解决数学问题的重要思想方法，借助图形可以对很多数学问题进行直观推导和解释、如图1，有足够多的边长为的小正方形，长为、宽为的长方形以及边长为的大正方形． 利用图①中的三种材料各若干可以拼出一些长方形来解释等式，例如图2可以解释乘法：，也可以解释因式分解：． (1)若用4个类材料围成图3的形状，设外围大正方形的边长为，内部小正方形的边长为，观察图案，指出下列关系式中正确的是（写出所有正确结论的序号）______． ①；②；③；④；⑤ (2)若取其中的若干个（三种图形都要取到）拼成一个长方形，使其面积为，在虚框中画出图形，并根据所画图形，将多项式分解因式为______． (3)若取其中的若干个（三种图形都要取到拼成一个长方形，使其面积为，则的值为______．（直接写出结果） 【答案】(1)①③④⑤ (2)见解析， (3)9或21或12 【分析】（1）由图形可得，，然后逐项求解判断即可； （2）根据题意画出图形，然后根据所画图形因式分解； （3）根据题意分三种情况讨论，分别求解即可． 【详解】（1）解：由图形可得，，，故①正确， ∴，故②错误； 由图形可得，，即，故③正确； ∵，， ∴，即，故④正确； ∵，即，故⑤正确． ∴正确的是①③④⑤； （2）解：由题意可得，图形如图所示， ∴； （3）解：由题意可得， ①当，， ②当，， ③当，． ∴的值为9或21或12． 11．阅读下面分解因式的过程：．利用上述分解因式的方法，解决问题． (1)因式分解：； (2)若，，是的三边，求证：； (3)求方程的整数解． 【答案】(1) (2)见解析 (3)或 【分析】本题考查了因式分解，三角形三边关系． （1）根据分组分解法求解即可； （2）根据分组分解法将原式分解为，根据三角形三边关系判断即可； （3）根据分组分解法将原方程化为，再根据，都是整数得到，都是整数，进而根据求解方程组即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）证明： ， ，，是的三边， ，， ， 即； （3）解：， ， ， ，都是整数， ，都是整数， ∵， 或， 解得：或， 综上，方程的整数解为：或． 12．因式分解：． 解：令， 则， ． 材料中的解题过程用到的是“整体思想”，这是数学解题过程中常用的一种思想方法．请你运用这种思想方法解答下列问题： (1)因式分解：__________； (2)因式分解：； (3)求证：若为正整数，则式子的值一定是某个整数的平方． 【答案】(1) (2) (3) 证明：， 令， 则原式， ∵为正整数， ∴为正整数， ∴式子的值一定是某个整数的平方. 【详解】（1）解： 令， 则原式变为， ∴； （2）解：令， 则， 故. （3）略 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $