专题07因式分解易错必刷题型专项训练(16大题型共计49道题)2025-2026学年北师大版八年级数学下册

专题07因式分解易错必刷题型专项训练 本专题汇总因式分解全章节考试高频、易失分、易混淆经典题型，梳理对应易错扣分关键点，针对性刷题练习，扫清考试易错盲区 题型01.判断能否为因式分解 题型02.已知因式分解结果求参数 题型03.提公因式法分解因式 题型04.判断能否用公式法分解因式 题型05.平方差公式分解因式 题型06.完全平方公式分解因式 题型07.综合运用公式法分解因式 题型08.综合提公因式和公式法分解因式 题型09.十字相乘法分解因式 题型10.分组分解法分解因式 题型11.实数范围内分解因式 题型12.因式分解在有理数简算中的应用 题型13.利用因式分解判断三角形形状 题型14.因式分解整除性相关证明 题型15.因式分解整体代入求值 题型16.因式分解结果正误辨析 易错必刷题型01.判断能否为因式分解 典题特征：给出多个代数式变形，辨析判断是否属于因式分解 易错点：分不清因式分解和整式乘法互逆关系；结果不是乘积形式还误判；没分解彻底就当作分解完成 1．下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（     ） A． B． C． D． 2．对于式子：①；②，从左到右的变形，下列说法正确的是（    ） A．都是因式分解 B．都是整式乘法 C．①是因式分解，②是整式乘法 D．①是整式乘法，②是因式分解 3．下列各等式中，从左到右的变形是因式分解且分解正确的是（    ） A． B． C． D． 易错必刷题型02.已知因式分解结果求参数 典题特征：给出分解后的因式，反向求多项式里字母系数、常数 易错点：展开对应系数计算粗心出错；正负号对应匹配混乱；做题容易遗漏多解情况 4．若多项式可分解为，则的值为（   ） A． B．1 C．7 D． 5．若多项式能分解成两个因式的积，且其中一个因式为，则的值为__________． 6．因为，这说明多项式有一个因式为，我们把代入此多项式发现能使多项式的值为0．利用上述阅读材料求解： (1)若是多项式的一个因式，求的值； (2)若和是多项式的两个因式，试求m，n的值； 易错必刷题型03.提公因式法分解因式 典题特征：多项式提取公因式分解，含带负号、多字母、多项多项式 易错点：首项为负忘记先提取负号；某项提完公因式，括号内漏写1；找不对字母最低次幂，公因式提取不全 7．如果，，那么的值是（   ） A． B．1 C．5 D．6 8．把多项式提取公因式后，另一个因式为_____． 9．因式分解： (1)； (2)． 易错必刷题型04.判断能否用公式法分解因式 典题特征：给出各式子，分辨能不能用平方差、完全平方公式分解 易错点：记混两个公式结构；平方和式子硬套平方差；中间项不满足2倍乘积，强行乱用完全平方公式 10．下列各式中，能用平方差公式进行因式分解的是（　　） A． B． C． D． 11．下列多项式中，不能用公式法因式分解的是（   ） A． B． C． D． 12．下列各式可以用平方差公式分解因式吗？如果可以，请分解因式；如果不可以，请说明理由． (1)； (2)； (3)； (4)． 易错必刷题型05.平方差公式分解因式 典题特征：两项为平方形式、一正一负，套用平方差公式分解 易错点：分解不彻底一步就停；不是标准平方形式还硬套公式；正负号看反、符号判断错误 13．琪琪借助某AI工具命制了如下①～④四道试题，星星发现其中有一道不能按要求分解因式，则该题是（   ） 用平方差公式分解下列各式： ①；②；③；④． A．①题 B．②题 C．③题 D．④题 14．若，则___________． 15．将下列各式因式分解： (1)． (2)． 易错必刷题型06.完全平方公式分解因式 典题特征：二次三项式，首尾是平方项，用完全平方和、差公式分解 易错点：中间项忘记乘2倍；完全平方和、差公式符号混淆；首项负号不提前，直接套公式出错 16．因式分解：为（   ） A． B． C． D． 17．分解因式： （1）______； （2）_______． 18．求代数式的最小值． 解：原式． ， ， 的最小值为3. (1)仿照例题，用配方法求代数式的最小值． (2)若，求，的值 易错必刷题型07.综合运用公式法分解因式 典题特征：同一个式子，需要多次连续套用公式分步分解 易错点：分解中途停止不化到最简；多次套用公式正负号错乱；两个公式交叉乱用混乱 19．已知，则的值为（　　） A．36 B．25 C．5 D．无法确定 20．分解因式：________ 21．【阅读理解】 对于不能直接用公式分解的多项式，可通过以下方式分解因式： 例如：分解因式． 解：原式 ． 像这样分解因式的方法叫做拆项法．请用以上方法分解因式：． 易错必刷题型08.综合提公因式和公式法分解因式 典题特征：需要先提公因式，再套公式才能完整分解 易错点：顺序搞反，不先提公因式直接套公式；提完公因式剩余还能分解却直接结束；提公因式符号处理错误 22．把多项式分解因式，结果正确的是（   ） A． B． C． D． 23．因式分解：_________． 24．分解因式与解不等式组 (1)； (2) (3)解不等式组，并求出它的整数解． 易错必刷题型09.十字相乘法分解因式 典题特征：二次三项式，拆首尾常数，交叉相乘凑中间项系数 易错点：数字拆分搭配错误；交叉凑对，横向写因式正负写反；凑不对中间项强行乱写答案 25．分解因式，结果正确的是（    ） A． B． C． D． 26．因式分解：______． 27．因式分解： 易错必刷题型10.分组分解法分解因式 典题特征：四项及以上多项式，先分组再分别提公因式分解 易错点：分组方式选错导致分解不开；分组移项正负号写错；分解完不合并整理最终因式 28．用分组分解的因式，分组正确的是（　　） A． B． C． D． 29．因式分解后，一个因式为，则另一个因式是______． 30．阅读材料，要将多项式分解因式，可以先把它的前两项分成一组，提出公因式，再把它的后两项分成一组，提出公因式，从而得到：，这时中又有公因式，于是可以提出，从而得到，因此有，这种方法称为分组分解法．请回答下列问题： (1)尝试填空：_________； (2)解决问题：因式分解； (3)拓展应用：已知三角形的三边长分别是，且满足试判断这个三角形的形状，并说明理由． 易错必刷题型11.实数范围内分解因式 典题特征：有理数范围分解不完，实数范围带根式继续分解 易错点：分不清有理数和实数分解区别；题目要求实数分解，只做基础分解；带根号分解正负号出错 31．下列各式在实数范围内，不能进行因式分解的是（   ） A． B． C． D． 32．在实数范围内进行因式分解______． 33．在实数范围内分解因式： (1)； (2)． 易错必刷题型12.因式分解在有理数简算中的应用 典题特征：大数运算，用因式分解提公因式做简便计算 易错点：不会观察式子特点想不到简算方法；简算过程数字、正负号抄写错误；基础计算粗心算错 34．是（    ）． A．10600 B．10400 C．10800 D．9986 35．______． 36．利用因式分解计算： (1)； (2)． 易错必刷题型13.利用因式分解判断三角形形状 典题特征：给三角形三边关系式，因式分解后判断等腰、等边、直角三角形 易错点：分解出边长相等，不会判断对应三角形类型；平方移项变号出错；忽略边长是正数的隐藏条件 37．已知为的三边，且满足，则的形状是______三角形． 38．已知的三边长a，b，c满足，则的形状是（   ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．不等边三角形 39．按要求解答下列问题： (1)若关于，的二元一次方程组的解满足，求的取值范围； (2)已知a，b，c是的三条边，且满足，请判断的形状并说明理由． 易错必刷题型14.因式分解整除性相关证明 典题特征：因式分解后，证明式子能被某个整数、整式整除 易错点：分解不彻底，看不出整除倍数关系；证明步骤跳步不完整；倍数关系判断出错 40．已知能被20到30之间的两个整数整除，则这两个整数的和是__________． 41．若正整数满足整除．请写出符合条件的的一组数：____________________ ． 42．如果一个正整数能表示为两个连续奇数的平方差，那我们称这个正整数为和谐数，如，则96是和谐数； (1)请判断56是否是和谐数？如果是，请直接写出平方差为56的连续的两个奇数； (2)求证：任何一个和谐数一定能被8整除． 易错必刷题型15.因式分解整体代入求值 典题特征：先因式分解化简式子，不单独求字母，直接整体代值计算 易错点：非要单独求字母，不会整体代换思路；分解变形时符号写错；没化简完就直接代入计算 43．已知，，则的值为___________． 44．如果，，那么的值为（  ） A．1 B．3 C．4 D．8 45．已知，，求的值． 易错必刷题型16.因式分解结果正误辨析 典题特征：给出多个已经分解好的式子，判断对错、是否分解彻底 易错点：看不出分解不彻底的问题；分辨不出公式套用错误；看不出符号处理错误，误判答案正确 46．下列因式分解正确的是（    ） A． B． C． D． 47．下列因式分解正确的是（    ） A． B． C． D． 48．下列因式分解正确的是（   ） A． B． C． D． 49．分解因式的正确结果是（ ） A． B． C． D． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07因式分解易错必刷题型专项训练 本专题汇总因式分解全章节考试高频、易失分、易混淆经典题型，梳理对应易错扣分关键点，针对性刷题练习，扫清考试易错盲区 题型01.判断能否为因式分解 题型02.已知因式分解结果求参数 题型03.提公因式法分解因式 题型04.判断能否用公式法分解因式 题型05.平方差公式分解因式 题型06.完全平方公式分解因式 题型07.综合运用公式法分解因式 题型08.综合提公因式和公式法分解因式 题型09.十字相乘法分解因式 题型10.分组分解法分解因式 题型11.实数范围内分解因式 题型12.因式分解在有理数简算中的应用 题型13.利用因式分解判断三角形形状 题型14.因式分解整除性相关证明 题型15.因式分解整体代入求值 题型16.因式分解结果正误辨析 易错必刷题型01.判断能否为因式分解 典题特征：给出多个代数式变形，辨析判断是否属于因式分解 易错点：分不清因式分解和整式乘法互逆关系；结果不是乘积形式还误判；没分解彻底就当作分解完成 1．下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：因式分解需满足两个条件：变形结果是几个整式的积，且等式左右两边相等． A．从左到右是整式乘法，结果是多项式和的形式，不是整式积，故不符合题意； B．等式右边为 ，不是整式积的形式，故不符合题意； C．从左到右是整式乘法，将整式积化为多项式，不是因式分解，故不符合题意； D．，左边是多项式，右边是整式的积，且等式左右相等，故符合题意． 2．对于式子：①；②，从左到右的变形，下列说法正确的是（    ） A．都是因式分解 B．都是整式乘法 C．①是因式分解，②是整式乘法 D．①是整式乘法，②是因式分解 【答案】C 【分析】根据因式分解和整式乘法的定义进行判断即可． 【详解】解：①左边多项式，右边整式乘积形式，属于因式分解； ②左边整式乘积，右边多项式，属于整式乘法． 综上，①是因式分解，②是整式乘法． 3．下列各等式中，从左到右的变形是因式分解且分解正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了因式分解，根据因式分解的定义（把一个多项式化为几个整式的积的形式），结合因式分解的方法逐一判断选项． 【详解】解：∴A选项是整式乘法，从整式的积化为多项式，不符合因式分解定义，错误； ∵B选项右边是整式与常数的和，不是整式的积的形式，不符合因式分解定义，错误； ∵C选项中，原式分解错误，错误； ∵D选项中，提取公因式，，符合因式分解定义且分解正确； ∴故选：D． 易错必刷题型02.已知因式分解结果求参数 典题特征：给出分解后的因式，反向求多项式里字母系数、常数 易错点：展开对应系数计算粗心出错；正负号对应匹配混乱；做题容易遗漏多解情况 4．若多项式可分解为，则的值为（   ） A． B．1 C．7 D． 【答案】B 【分析】将分解后的因式展开，对比原多项式对应项的系数，即可求出的值． 【详解】解： ∵ 多项式可分解为 ∴将展开结果与对比，对应项系数相等，可得． 5．若多项式能分解成两个因式的积，且其中一个因式为，则的值为__________． 【答案】 【分析】本题主要考查了因式分解，根据题意可得当时，的值为0，则，解之即可得到答案． 【详解】解：∵多项式能分解成两个因式的积，且其中一个因式为， ∴当时，的值也为0， ∴当时，的值也为0， ∴， ∴， 故答案为：． 6．因为，这说明多项式有一个因式为，我们把代入此多项式发现能使多项式的值为0．利用上述阅读材料求解： (1)若是多项式的一个因式，求的值； (2)若和是多项式的两个因式，试求m，n的值； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题干信息把代入求解即可； （2）根据题干信息把和分别代入得到关于m，n的二元一次方程组，进而求解即可． 【详解】（1）解：依题意，把代入得 解得：； （2）解：把和分别代入， 即 解得： 易错必刷题型03.提公因式法分解因式 典题特征：多项式提取公因式分解，含带负号、多字母、多项多项式 易错点：首项为负忘记先提取负号；某项提完公因式，括号内漏写1；找不对字母最低次幂，公因式提取不全 7．如果，，那么的值是（   ） A． B．1 C．5 D．6 【答案】D 【分析】本题先对所求多项式因式分解，再利用整体代入法代入已知条件计算即可． 【详解】解：， 当，时， ． 8．把多项式提取公因式后，另一个因式为_____． 【答案】 【分析】先将多项式中的变形为，使两项都含有公因式，再提取公因式，即可得到另一个因式． 【详解】解： 提取公因式后，另一个因式为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了因式分解中的提取公因式法，解题关键是通过符号变形统一公因式，再完成提取，从而确定另一个因式． 9．因式分解： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 易错必刷题型04.判断能否用公式法分解因式 典题特征：给出各式子，分辨能不能用平方差、完全平方公式分解 易错点：记混两个公式结构；平方和式子硬套平方差；中间项不满足2倍乘积，强行乱用完全平方公式 10．下列各式中，能用平方差公式进行因式分解的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式的结构特征是解题的关键．根据平方差公式分析判断即可． 【详解】解：A、不能用平方差公式进行因式分解，故此选项不符合题意； B、，能用平方差公式进行因式分解，故此选项符合题意； C、不能用平方差公式进行因式分解，故此选项不符合题意； D、不能用平方差公式进行因式分解，故此选项不符合题意； 故选：B． 11．下列多项式中，不能用公式法因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平方差公式、完全平方公式的结构特征判断即可． 【详解】解：A、，故此选项不符合题意； B、，故此选项不符合题意； C、，故此选项不符合题意； D、，不能用公式法分解因式，故此选项符合题意； 12．下列各式可以用平方差公式分解因式吗？如果可以，请分解因式；如果不可以，请说明理由． (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)不可以，因为不是平方差形式 (2)可以，分解为 (3)不可以，因为不是平方差形式 (4)可以，分解为 【分析】本题考查利用平方差公式分解因式： （1）先判断是否是平方差形式，如果是再进行因式分解； （2）先判断是否是平方差形式，如果是再进行因式分解； （3）先判断是否是平方差形式，如果是再进行因式分解； （4）先判断是否是平方差形式，如果是再进行因式分解． 【详解】（1）解：不可以用平方差公式分解因式，因为不是平方差形式； （2）解：可以用平方差公式分解因式， ； （3）解：不可以用平方差公式分解因式，因为不是平方差形式； （4）解：可以用平方差公式分解因式， ． 易错必刷题型05.平方差公式分解因式 典题特征：两项为平方形式、一正一负，套用平方差公式分解 易错点：分解不彻底一步就停；不是标准平方形式还硬套公式；正负号看反、符号判断错误 13．琪琪借助某AI工具命制了如下①～④四道试题，星星发现其中有一道不能按要求分解因式，则该题是（   ） 用平方差公式分解下列各式： ①；②；③；④． A．①题 B．②题 C．③题 D．④题 【答案】B 【详解】解：①； ②，无法使用平方差公式进行因式分解； ③； ④， 该题是②无法使用平方差公式进行因式分解． 14．若，则___________． 【答案】72 【分析】利用平方差公式分解因式后化简可求解． 【详解】解：∵， ∴ = ． 15．将下列各式因式分解： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查多项式乘多项式，利用公式法进行因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． （1）先算多项式乘多项式，合并同类项后利用完全平方公式进行因式分解； （2）先提取负号，利用完全平方公式进行因式分解，然后再用平方差公式进行因式分解即可． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 易错必刷题型06.完全平方公式分解因式 典题特征：二次三项式，首尾是平方项，用完全平方和、差公式分解 易错点：中间项忘记乘2倍；完全平方和、差公式符号混淆；首项负号不提前，直接套公式出错 16．因式分解：为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据完全平方公式进行分解即可． 【详解】解： ． 17．分解因式： （1）______； （2）_______． 【答案】 【详解】（1）解： ； （2）解：设， 则 ． 18．求代数式的最小值． 解：原式． ， ， 的最小值为3. (1)仿照例题，用配方法求代数式的最小值． (2)若，求，的值 【答案】(1)； (2)，． 【分析】（1）用配方法，将改写为，由，可得，即可求解； （2）移项，配方可得，由，，可得，，即可求解． 【详解】（1）解：， ∵ ， ∴， ∴代数式的最小值为． （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴，， ∴ ，． 易错必刷题型07.综合运用公式法分解因式 典题特征：同一个式子，需要多次连续套用公式分步分解 易错点：分解中途停止不化到最简；多次套用公式正负号错乱；两个公式交叉乱用混乱 19．已知，则的值为（　　） A．36 B．25 C．5 D．无法确定 【答案】B 【分析】本题考查了因式分解的应用．能通过对已知条件的变形得出的值是解题的关键．先由已知条件得出的值，再把化成完全平方的形式，再进行计算即可． 【详解】解：∵，， ∴， 即， ∵， ∴， ∴． 故选：B． 20．分解因式：________ 【答案】 【分析】本题主要考查因式分解，分别运用因式分解法和公式法求解即可． 【详解】解： 21．【阅读理解】 对于不能直接用公式分解的多项式，可通过以下方式分解因式： 例如：分解因式． 解：原式 ． 像这样分解因式的方法叫做拆项法．请用以上方法分解因式：． 【答案】 【分析】本题考查了拆项法分解因式． 通过拆项法将原式中的项拆分成两部分，使一部分形成完全平方式，另一部分构成平方差公式中的平方项，从而应用平方差公式进行因式分解即可． 【详解】解：原式 ． 易错必刷题型08.综合提公因式和公式法分解因式 典题特征：需要先提公因式，再套公式才能完整分解 易错点：顺序搞反，不先提公因式直接套公式；提完公因式剩余还能分解却直接结束；提公因式符号处理错误 22．把多项式分解因式，结果正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先运用提公因式法，再利用完全平方公式分解即可． 【详解】解： 23．因式分解：_________． 【答案】 【分析】先提取公因式，再利用完全平方公式进行因式分解即可． 【详解】解：原式． 24．分解因式与解不等式组 (1)； (2) (3)解不等式组，并求出它的整数解． 【答案】(1) (2) (3)；整数解为：，0，1 【分析】（1）先提公因数，再利用完全平方公式进行因式分解即可； （2）先提公因数，再利用平方差公式进行因式分解即可； （3）分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集，即可求解． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． （3）解：， 解不等式①得， 解不等式②得， ∴不等式组的解集为， ∴不等式组的整数解为：，0，1． 易错必刷题型09.十字相乘法分解因式 典题特征：二次三项式，拆首尾常数，交叉相乘凑中间项系数 易错点：数字拆分搭配错误；交叉凑对，横向写因式正负写反；凑不对中间项强行乱写答案 25．分解因式，结果正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查二次三项式的因式分解，利用十字相乘法分解二次三项式，需找到两个数，使其和为一次项系数、积为常数项，再完成因式分解即可． 【详解】解：∵要分解，需找两个数满足和为，积为， ∴这两个数是和， ∴． 故选：D． 26．因式分解：______． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解中的换元法与十字相乘法，解题的关键是通过换元将含多项式的二次式转化为常见的二次三项式，再利用十字相乘法分解因式． 设，则原多项式转化为二次三项式；用十字相乘法分解该二次式（寻找两个数，积为且和为，即和），得到；最后将换回，得到原多项式的因式分解结果． 【详解】解：设，则原多项式可化为： 用十字相乘法分解：寻找两个数，使其积为，和为，这两个数为和， 故： 将代回，得： 故答案为：． 27．因式分解： 【答案】 【分析】本题考查因式分解的综合运用，涉及十字相乘法分解因式．先将看作一个整体，把原式转化为关于该整体的二次三项式，用十字相乘法分解；再对分解后得到的因式中可继续分解的部分，再次用十字相乘法分解，直至所有因式在有理数范围内均不能再分解． 【详解】解：原式， ． 易错必刷题型10.分组分解法分解因式 典题特征：四项及以上多项式，先分组再分别提公因式分解 易错点：分组方式选错导致分解不开；分组移项正负号写错；分解完不合并整理最终因式 28．用分组分解的因式，分组正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】把二、三、四项作为一组，第一项作为一组，然后根据完全平方公式和平方差公式分解即可． 【详解】解： ． 故选：D． 【点睛】本题考查了分组分解法分解因式，正确分组是解答本题的关键． 29．因式分解后，一个因式为，则另一个因式是______． 【答案】 【分析】本题考查因式分解，根据一个因式为添加项凑即可得到答案； 【详解】解：原式 ， 故答案为：． 30．阅读材料，要将多项式分解因式，可以先把它的前两项分成一组，提出公因式，再把它的后两项分成一组，提出公因式，从而得到：，这时中又有公因式，于是可以提出，从而得到，因此有，这种方法称为分组分解法．请回答下列问题： (1)尝试填空：_________； (2)解决问题：因式分解； (3)拓展应用：已知三角形的三边长分别是，且满足试判断这个三角形的形状，并说明理由． 【答案】(1) (2) (3)等边三角形，证明见解析 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式； （3）解：， ， ， ，， ，， ， 这个三角形是等边三角形． 易错必刷题型11.实数范围内分解因式 典题特征：有理数范围分解不完，实数范围带根式继续分解 易错点：分不清有理数和实数分解区别；题目要求实数分解，只做基础分解；带根号分解正负号出错 31．下列各式在实数范围内，不能进行因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了实数范围内分解因式，分别分解因式判断即可得出结果 【详解】A. 不能进行因式分解，故符合题意； B. ，故不符合题意； C. ，故不符合题意； D. ，故不符合题意； 故选：A 32．在实数范围内进行因式分解______． 【答案】 【分析】本题考查了在实数范围内对二次三项式因式分解． 先提取公因数2，再对括号内的二次三项式进行配方法，转化为平方差形式，最后结合整体写出因式分解结果． 【详解】解： 故答案为：． 33．在实数范围内分解因式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了因式分解． （1）首先利用完全平方公式变形，然后利用平方差公式因式分解即可． （2）首先利用完全平方公式变形，然后利用平方差公式因式分解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 易错必刷题型12.因式分解在有理数简算中的应用 典题特征：大数运算，用因式分解提公因式做简便计算 易错点：不会观察式子特点想不到简算方法；简算过程数字、正负号抄写错误；基础计算粗心算错 34．是（    ）． A．10600 B．10400 C．10800 D．9986 【答案】B 【分析】本题考查了因式分解在有理数简算中的应用，熟练掌握运算法则是解此题的关键．利用平方差公式或直接计算 再减 4即可． 【详解】解： ． 故选：B． 35．______． 【答案】2025 【分析】先提取公因式2026，再利用裂项相消法拆分括号内的分数，抵消中间项后通过有理数运算求解． 【详解】解： ． 36．利用因式分解计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 易错必刷题型13.利用因式分解判断三角形形状 典题特征：给三角形三边关系式，因式分解后判断等腰、等边、直角三角形 易错点：分解出边长相等，不会判断对应三角形类型；平方移项变号出错；忽略边长是正数的隐藏条件 37．已知为的三边，且满足，则的形状是______三角形． 【答案】等腰 【分析】将已知等式因式分解后，结合三角形三边关系得到三角形边的等量关系，即可判断三角形形状． 【详解】解：， ， 移项得， 提取公因式得， 为的三边， 根据三角形三边关系可知，即， ，即， 是等腰三角形． 38．已知的三边长a，b，c满足，则的形状是（   ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．不等边三角形 【答案】A 【分析】本题考查了等腰三角形的定义、因式分解的应用和三角形三边关系的应用，熟练掌握等腰三角形的定义是解题关键． 通过因式分解给定方程，得出只有符合三角形三边关系，进而即可判断． 【详解】解：由题意得， ∴或， ∴或． ∵是的三边长， ∴由三角形三边关系，（两边之和大于第三边）， ∴不成立， ∴只有成立， ∴是等腰三角形． 故选：A． 39．按要求解答下列问题： (1)若关于，的二元一次方程组的解满足，求的取值范围； (2)已知a，b，c是的三条边，且满足，请判断的形状并说明理由． 【答案】(1) (2)是等腰三角形，理由见解析 【分析】（1）先解关于，的二元一次方程组，得出，，再代入，得出，最后解不等式即可； （2）先对进行因式分解，再利用三角形边长性质即可判断三角形的形状． 【详解】（1）解：， 将两个方程相加消去，可得， 解得，， 把代入方程， 解得，． ， ， 解得，． （2）解：是等腰三角形，理由如下： ， ， ． a，b，c是的三条边， ． 且， ，即， 是等腰三角形． 易错必刷题型14.因式分解整除性相关证明 典题特征：因式分解后，证明式子能被某个整数、整式整除 易错点：分解不彻底，看不出整除倍数关系；证明步骤跳步不完整；倍数关系判断出错 40．已知能被20到30之间的两个整数整除，则这两个整数的和是__________． 【答案】50 【分析】此题考查因式分解的应用，利用平方差公式把变形为，即可求解． 【详解】解： ∵能被20 到 30 之间的两个整数整除，则这两个整数的和是， 故答案为：50． 41．若正整数满足整除．请写出符合条件的的一组数：____________________ ． 【答案】1，1，1，1，1，1，1，2，2 【分析】本题主要考查了数的整除，熟练掌握整除的意义是解题的关键．通过构造以1为主的特殊正整数组合，结合整除的定义验证是否满足条件． 【详解】解：设7个正整数为1，2个正整数为2， ∴， ∴， 因为，即15能整除120，满足题设中“正整数的平方和整除和的平方减1”的条件， 故答案为：1，1，1，1，1，1，1，2，2． 42．如果一个正整数能表示为两个连续奇数的平方差，那我们称这个正整数为和谐数，如，则96是和谐数； (1)请判断56是否是和谐数？如果是，请直接写出平方差为56的连续的两个奇数； (2)求证：任何一个和谐数一定能被8整除． 【答案】(1)56是和谐数，两个连续奇数是13和15 (2)见解析 【分析】解决本道题的关键是利用平方差公式将 “两个连续奇数的平方差” 转化为含参数的代数式，再进行计算或证明； （1）利用平方差公式设出两个连续奇数，列方程求解，判断 56 是否能表示为两个连续奇数的平方差； （2）设两个连续奇数为含整数参数的代数式，利用平方差公式展开并化简，证明结果是 8 的倍数． 【详解】（1）解：设任意两个连续奇数分别为和（为正整数）， ， 56是和谐数，两个连续奇数是13和15； （2）证明：设任意两个连续奇数分别为和（为正整数），对应的和谐数为， ∵ ∴ ∵为正整数，即是8的倍数， ∴任何一个和谐数一定能被8整除． 易错必刷题型15.因式分解整体代入求值 典题特征：先因式分解化简式子，不单独求字母，直接整体代值计算 易错点：非要单独求字母，不会整体代换思路；分解变形时符号写错；没化简完就直接代入计算 43．已知，，则的值为___________． 【答案】 【分析】本题主要考查了用整体代入法求代数式的值、提公因式法分解因式，先对所求代数式用提取公因式法因式分解，再将已知条件整体代入计算即可. 【详解】解： ，， 可得：原式． 44．如果，，那么的值为（  ） A．1 B．3 C．4 D．8 【答案】C 【分析】本题考查因式分解的应用，关键是将所求代数式通过提取公因式和完全平方公式进行变形，转化为用已知条件和表示的形式，再代入计算即可． 【详解】解： ， ， 将，代入得：原式； 故选：C． 45．已知，，求的值． 【答案】 【分析】先把分解因式，再把，代入计算． 【详解】解：∵，， ∴ ． 易错必刷题型16.因式分解结果正误辨析 典题特征：给出多个已经分解好的式子，判断对错、是否分解彻底 易错点：看不出分解不彻底的问题；分辨不出公式套用错误；看不出符号处理错误，误判答案正确 46．下列因式分解正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据因式分解的定义排除不符合形式要求的选项，再结合提取公因式法、平方差公式验证剩余选项即可． 【详解】解：A．不是整式乘积的形式，故A错误； B．是将整式乘积展开为多项式，属于整式乘法，不是因式分解，故B错误； C．对提取公因式，可得，符合因式分解的要求，故C正确； D．，故D错误． 47．下列因式分解正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据因式分解的概念与计算，对各选项逐一验证即可得到正确答案． 【详解】A．，错误，不符合题意； B． 不是整式乘积的形式，不符合因式分解定义，错误，不符合题意； C．是分式，不是整式，结果不符合要求，错误，不符合题意； D．，符合因式分解要求，符合题意． 48．下列因式分解正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用提公因式法、公式法逐项进行判断即可解答． 【详解】解：A．不是因式分解，因此选项不符合题意； B．，因式分解正确，因此选项符合题意； C．，不符合因式分解的意义，是整式的乘法，因此选项不符合题意； D．，因此选项不符合题意． 49．分解因式的正确结果是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查因式分解，通过提取公因式后，再对进行因式分解，得到完全分解形式即可． 【详解】解： 故选：B． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $