第六章 平面向量及其应用（基础巩固卷）-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

第六章 平面向量及其应用（基础巩固卷） 考试时间：120分钟；满分：150分 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共19题，单选8题，多选3题，填空3题，解答5题，满分150分，限时120分钟，试卷紧扣教材，细分题组，精选一年好题，两年真题，练基础，提能力！ 1． 选择题（共8小题，满分40分，每小题5分） 1．（24-25高一下·辽宁·期末）若向量，，向量与垂直，则实数m的值为（    ） A． B．12 C． D．3 2．（24-25高二下·河南郑州·期末）设，向量，且，则（   ） A．-4 B． C． D．20 3．（25-26高一下·河南·月考）已知▱的三个顶点则顶点D的坐标（    ） A． B． C． D． 4．（2026高二·全国·课后作业）已知，，，若，则（ ） A． B． C． D． 5．（2026高二下·天津红桥·学业考试）如图，为测量山高MN，选择A和另一座山的山顶C为测量观测点，从A点测得M点的仰角∠MAN＝60°，C点的仰角∠CAB＝45°以及∠MAC＝75°，从C点测得∠MCA＝60°，已知山高BC＝100 m，则山高MN＝（    ） A．150 m B．150 m C．150 m D．50 m 6．（25-26高三下·重庆沙坪坝·月考）设向量，，则与夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 7．（24-25高一下·北京延庆·期末）已知中，是上的点，平分，且面积是面积的2倍，，则的长度为（    ） A． B．2 C． D．3 8．（24-25高一下·河北秦皇岛·期中）已知的内角 ，， 所对的边分别为 ，，，下列四个命题中错误的命题是（   ） A．在 中，若 ，则 B．若 ，，，则有唯一解 C．若，则是等腰三角形或直角三角形 D．若 ，则角 2． 多选题（共3小题，满分18分，每小题6分） 9．（25-26高一·全国·单元测试）下列命题中不正确的是（    ） A．两个有共同始点且相等的向量，其终点可能不同 B．若非零向量与共线，则A、B、C、D四点共线 C．若非零向量 与 共线，则 D．四边形ABCD是平行四边形，则必有 10．（24-25高一下·浙江台州·期中）已知向量，，，则下列正确的是（    ） A．与同向的单位向量坐标是 B．若，则 C．在上的投影向量坐标是 D．若，则 11．（24-25高一下·福建龙岩·期末）在平行四边形中，，则下列选项正确的是（    ） A．的最小值是 B．的最小值是 C．的最大值是 D．的最大值是 3． 填空题（共3小题，满分15分，每小题5分） 12．（25-26高一下·河南·月考）在中，已知，则角________(用弧度制表示) ． 13．（24-25高三上·湖北武汉·期中）已知向量，为单位向量，且在上的投影向量为，则______． 14．（24-25高一下·新疆伊犁·期末）如图，在中，为边上的中线，为所在平面上一点，满足，设，若，则的值为_________． 4． 解答题（共5小题，第15题13分，第16、17题15分，第18、19题17分，满分77分） 15．（25-26高一下·贵州遵义·月考）已知，， (1)若，且，求． (2)若四边形为平行四边形，求点的坐标． 16．（25-26高一下·江苏苏州·月考）已知向量，满足，向量的夹角为． (1)求的值； (2)求向量与的夹角的余弦值． 17．（河南许昌市襄城县实验高级中学等校2025-2026学年高一下学期3月阶段检测数学试题）已知向量满足，，且与的夹角为． (1)若，求实数的值； (2)求与的夹角的余弦值． 18．（2026·山东东营·一模）已知的角A，B，C所对的边分别是a，b，c， 向量 (1)若 求A； (2)若 求的面积. 19．（2026·河北邢台·一模）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，点D在边BC上，且． (1)求的值； (2)若，求AD的长． 第 1 页 共 9 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第六章 平面向量及其应用（基础巩固卷） 考试时间：120分钟；满分：150分 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共19题，单选8题，多选3题，填空3题，解答5题，满分150分，限时120分钟，试卷紧扣教材，细分题组，精选一年好题，两年真题，练基础，提能力！ 1． 选择题（共8小题，满分40分，每小题5分） 1．（24-25高一下·辽宁·期末）若向量，，向量与垂直，则实数m的值为（    ） A． B．12 C． D．3 【答案】B 【分析】向量与垂直得，解出即可. 【详解】因为向量与垂直， ， 即， . 故选：B. 【点睛】本题考查向量垂直的坐标表示，属于基础题. 2．（24-25高二下·河南郑州·期末）设，向量，且，则（   ） A．-4 B． C． D．20 【答案】D 【分析】根据向量平行的坐标表示求出，再由向量数量积的坐标运算求解. 【详解】因为，， 所以，解得， 故，. 故选：D． 3．（25-26高一下·河南·月考）已知▱的三个顶点则顶点D的坐标（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，设，利用平行四边形对边向量相等，根据向量坐标运算，即可求解. 【详解】设 则则由题意得，， 由平行四边形的性质知， 所以， 故选：B 4．（2026高二·全国·课后作业）已知，，，若，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平面向量线性运算的坐标表示求出的坐标，即可得到方程组，解得即可. 【详解】解：因为，，， 所以， 又， ∴，∴，所以. 故选：D 5．（2026高二下·天津红桥·学业考试）如图，为测量山高MN，选择A和另一座山的山顶C为测量观测点，从A点测得M点的仰角∠MAN＝60°，C点的仰角∠CAB＝45°以及∠MAC＝75°，从C点测得∠MCA＝60°，已知山高BC＝100 m，则山高MN＝（    ） A．150 m B．150 m C．150 m D．50 m 【答案】A 【分析】根据C点的仰角∠CAB＝45°，山高BC＝100 m，可求出AC，正弦定理求出AM，在三角形MAN中即可解出山高. 【详解】由题意∠CAB＝45°，BC＝100 m，三角形ABC为直角三角形，可得， 在中，∠MAC＝75°，∠MCA＝60°，则∠AMC＝45°， 由正弦定理有：，即， 故， 在直角三角形中，， 可得（m） 故选：A 6．（25-26高三下·重庆沙坪坝·月考）设向量，，则与夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由向量夹角的坐标运算可直接求得结果. 【详解】，. 故选：B. 7．（24-25高一下·北京延庆·期末）已知中，是上的点，平分，且面积是面积的2倍，，则的长度为（    ） A． B．2 C． D．3 【答案】A 【分析】根据角平分线定理，可得，利用面积关系可得，然后结合计算即可. 【详解】设的三个内角对应的边分别为 由题可知，平分，所以，即， 又面积是面积的2倍，所以， 由，所以，， 又，则，又， 所以， 故选：A 8．（24-25高一下·河北秦皇岛·期中）已知的内角 ，， 所对的边分别为 ，，，下列四个命题中错误的命题是（   ） A．在 中，若 ，则 B．若 ，，，则有唯一解 C．若，则是等腰三角形或直角三角形 D．若 ，则角 【答案】D 【分析】对于A：利用正弦定理边化角即可得结果；对于B：利用正弦定理可得，结合即可得结果；对于C：由倍角公式可得，即可得结果；对于D：利用余弦定理边化角即可得结果. 【详解】对于A，在中，由正弦定理知，， 结合大边对大角可得，故命题正确，A不符合题意； 对于B，因为，，， 由正弦定理，得， 由知，只有一解，所以有一个解，故命题正确，B不符合题意； 对于C，因为，由正弦定理得：，则， 因为，可知或，即或， 所以是等腰三角形或直角三角形，故命题正确，C不符合题意； 对于D，因为， 由余弦定理得：，即， 因为，所以或，故命题错误，D符合题意. 故选：D. 2． 多选题（共3小题，满分18分，每小题6分） 9．（25-26高一·全国·单元测试）下列命题中不正确的是（    ） A．两个有共同始点且相等的向量，其终点可能不同 B．若非零向量与共线，则A、B、C、D四点共线 C．若非零向量 与 共线，则 D．四边形ABCD是平行四边形，则必有 【答案】ABC 【分析】根据相等向量,相反向量,共线向量的概念逐一分析可得. 【详解】A中，相等向量的始点相同，则终点一定也相同，所以A中命题不正确； B中，向量与共线，只能说明、所在直线平行或在同一条直线上，所以B中命题不正确； C中，向量 与 共线，说明 与方向相同或相反， 与不一定相等，所以C中命题不正确； D中，因为四边形ABCD是平行四边形，所以与是相反向量，所以，所以D中命题正确. 故选:ABC 【点睛】本题考查了相等向量,相反向量,共线向量的概念,属于基础题. 10．（24-25高一下·浙江台州·期中）已知向量，，，则下列正确的是（    ） A．与同向的单位向量坐标是 B．若，则 C．在上的投影向量坐标是 D．若，则 【答案】ACD 【分析】根据题意，由平面向量的坐标运算代入计算，逐一判断，即可得到结果. 【详解】与同向的单位向量是，故A正确； ，且，由可得， 解得，故B错误； 在上的投影向量为，故C正确； ，且，由可得， 解得，故D正确； 故选：ACD 11．（24-25高一下·福建龙岩·期末）在平行四边形中，，则下列选项正确的是（    ） A．的最小值是 B．的最小值是 C．的最大值是 D．的最大值是 【答案】BC 【分析】用为基底向量，将向量分别表示出来，由向量数量积的运算性质结合的范围可得答案. 【详解】 所以 由，则 所以的最小值是，最大值为10. 故选：BC . 3． 填空题（共3小题，满分15分，每小题5分） 12．（25-26高一下·河南·月考）在中，已知，则角________(用弧度制表示) ． 【答案】 【分析】利用余弦定理求解即可. 【详解】因为， 所以， 又，所以. 故答案为：. 13．（24-25高三上·湖北武汉·期中）已知向量，为单位向量，且在上的投影向量为，则______． 【答案】 【分析】利用投影向量得到，先计算出，求出模长. 【详解】由题意得，故， ， 故. 故答案为： 14．（24-25高一下·新疆伊犁·期末）如图，在中，为边上的中线，为所在平面上一点，满足，设，若，则的值为_________． 【答案】/1.2 【分析】由题可得为的重心，进而可得，然后利用向量共线定理可设，进而可得，结合条件即得. 【详解】∵，为边上的中线， ∴，即， ∴为的重心， ∴，又， ∴可设， ∴， 又， ∴， ∴，. 故答案为：. 4． 解答题（共5小题，第15题13分，第16、17题15分，第18、19题17分，满分77分） 15．（25-26高一下·贵州遵义·月考）已知，， (1)若，且，求． (2)若四边形为平行四边形，求点的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求出的坐标，然后利用共线向量坐标满足的条件列出方程求解出，再计算. （2）先设出点的坐标，再根据是平行四边形可得，列方程求解. 【详解】（1），， 又且， . （2）设， 四边形为平行四边形，,，. 故点的坐标为. 16．（25-26高一下·江苏苏州·月考）已知向量，满足，向量的夹角为． (1)求的值； (2)求向量与的夹角的余弦值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由题意可得，， 则； （2）由已知，， ， 则向量与的夹角的余弦值为. 17．（河南许昌市襄城县实验高级中学等校2025-2026学年高一下学期3月阶段检测数学试题）已知向量满足，，且与的夹角为． (1)若，求实数的值； (2)求与的夹角的余弦值． 【答案】(1)． (2) 【分析】（1）根据两个向量垂直，则它们的数量积为0，并利用向量数量积公式计算. （2）先计算，再计算，最后根据向量夹角的余弦公式求解. 【详解】（1）由题意可得， 因为，所以， 即， 解得． （2）设与的夹角为，由（1）可知，， 由题意可得， 由，得， 所以． 18．（2026·山东东营·一模）已知的角A，B，C所对的边分别是a，b，c， 向量 (1)若 求A； (2)若 求的面积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）通过向量平行转化为边角关系，再用正弦定理和三角恒等变换求解即可. （2）通过向量垂直得到边的关系，结合余弦定理和面积公式求解即可. 【详解】（1）因为所以①. 又由正弦定理，即，代入①式， 可得，整理得， 又，所以，解得. （2）因为，所以， 即，又，所以. 因为，由余弦定理可得， 即，解得或（舍去）. 故. 19．（2026·河北邢台·一模）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，点D在边BC上，且． (1)求的值； (2)若，求AD的长． 【答案】(1)1 (2)2 【分析】（1）通过正弦定理建立与的比例关系，结合已知的正弦比和边比求得比值； （2）由条件结合为中点求出边长，再通过余弦定理建立等量关系即可求解. 【详解】（1）由正弦定理得， 设， 在中，由正弦定理得， 在中由正弦定理得， 因为，则， 所以. （2）由，， 可得，解得，所以， 由（1）知为的中点，， ， ， 因为，则， 即 ，解得. 第 1 页 共 9 页 学科网（北京）股份有限公司 $