第九章 平面直角坐标系 单元题型训练 2025-2026学年人教版七年级数学下册

**基本信息** 平面直角坐标系单元复习卷，涵盖平方根解题技巧、图形面积计算、规律探究及几何综合，通过分层题型培养几何直观、推理意识与模型意识，适配初中数学单元巩固与能力提升。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |选择/填空|1-10,11,16-19|平方根非负性、坐标系规律|基础巩固，体现抽象能力| |解答题|12-15,20-21|图形面积（割补法）、几何综合|能力提升，融合推理能力与应用意识|

第九章 平面直角坐标系 单元题型训练 与平方根有关的解题技巧 坐标系中的图形面积问题 坐标系与规律探究坐标系内的几何综合题 与平方根有关的解题技巧 类型一 巧用非负性求值 1.若 则 的值为 ( ) A.-1 B.0 C.1 D.2 025 2.若 与|x-3|互为相反数,则x+y的值为 ( ) A.3 B.9 C.12 D.27 3.若实数x,y,z满足 则 xyz的算术平方根是 ( ) A.3 B.±4 C.±3 D.4 类型二巧用正数的平方根求值 4.一个正数的平方根是a-3和a+7，求这个正数. 5.若一个正数a 的两个平方根分别是3b-5和-2b+2. (1)求a 和b的值; (2)求a+3b的平方根. 类型三巧用算术平方根的非负性求值 6.当 的值最小时，x的值为 . 7.代数式 的最大值是 . 8.当x= 时,式子 有最小值，且最小值是 类型四巧用平方根的概念求值 9.求x的值: 10.已知一个正数的两个平方根分别是a-6与3a-10. (1)求a 的值; (2)求等式 中x的值. 坐标系中的图形面积问题 类型一利用图形面积求点的坐标 11.在直角坐标系中，已知点 A 的坐标为(-5,0),点 B 的坐标为(3，0)，三角形ABC 的面积为12，试写出一个满足条件的点 C的坐标为 . 12.如图，把三角形ABC向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度，得到三角形A'B'C'. (1)写出点.A',B',C'的坐标，并画出平移后的三角形A'B'C'; (2)求出三角形ABC的面积； (3)点 P 在y 轴上,且三角形 BCP 与三角形ABC 的面积相等，求点 P 的坐标. 13.如图，以直角三角形AOB 的直角顶点O为原点，以两条直角边所在直线为x轴和y 轴建立平面直角坐标系，点A(0，a)，B(b,0)满足 (1)点A的坐标为 ，点B 的坐标为 . (2)在坐标轴上是否存在一点 P，使得 若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由. 类型二利用割补法求图形面积 14.已知A(0,1),B(2,0),C(4,3). (1)在如图所示的坐标系中描出各点，画出三角形ABC； (2)求三角形ABC 的面积. 15.四边形 ABCD 如图所示. (1)请建立恰当的平面直角坐标系，并在平面直角坐标系中标出这个四边形各顶点的坐标； (2)计算四边形ABCD 的面积. 坐标系与规律探究 类型一循环规律 16.如图，长方形 BCDE 的各边分别平行于x轴、y轴，物体甲和物体乙由点A(2，0)同时出发，沿长方形 BCDE 的边做环绕运动，物体甲按逆时针方向以每秒1个单位长度的速度匀速运动，物体乙按顺时针方向以每秒2个单位长度的速度匀速运动，则两个物体出发后第 2 026次相遇时的位置的坐标为( ) A.(-1,-1) B.(2,0) C.(1,-1) D.(-1,1) 17.如图，在平面直角坐标系中， 轴， 轴,点D,C,P,H在x轴上,A(1,2),B(-1,2),D(-3,0),E(-3,-2),G(3,-2),把一条长为2 026个单位长度且无弹性的细线(线的粗细忽略不计)的一端固定在点A 处,并按A—B—C—D—E—F—G—H—P—A—…的方向缠绕在图形“凸”的边上，则细线另一端所在位置的点的坐标为 . 类型二 递进规律 18.如图,将点. 向上平移1个单位长度，再向右平移2个单位长度，得到点 将点 向上平移2个单位长度，再向右平移4个单位长度，得到点 将点 向上平移4个单位长度，再向右平移8个单位长度，得到点A₄……按照这个规律平移得到点. 则点 的横坐标为 ( ) A. B.2²⁰²⁵-1 C. D. 19.如图，在平面直角坐标系中，设一质点 M 自点 处向上运动1个单位长度至点 处，然后向左运动2个单位长度至点. 处，再向下运动3个单位长度至点 处，再向右运动4个单位长度至点 P₄处，再向上运动5个单位长度至点 P₅处……如此继续运动下去，则点 的坐标为 ( ) A.(-1013,-1013) B.(-506,-507) C.(-506,506) D.(-1013,-1014) 坐标系内的几何综合题 20. 如图1,在平面直角坐标系中,A(a,0),C(b,2),且满足 过点 C作 轴于点 B. (1)求A,B,C三点的坐标. (2)如图2,若过点B 作. 交y轴于点D,且AE,DE分别平分 求 的度数. (3)在y轴上是否存在点 P，使得三角形ACP 和三角形ABC的面积相等?若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由. 21.如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为(26，0)，(0，8)，将点 B 向右平移24个单位长度得到点 C. (1)P,Q 分别为线段 BC,OA 上的两个动点,点 P 以每秒1个单位长度的速度自点B 向点C 运动，同时点 Q 以每秒2个单位长度的速度自点 A 向点O 运动.设运动时间为ts(0<t<13)，连接PQ，当PQ恰好将四边形BOAC 分成面积相等的两部分时，求t 的值. (2)D 是直线AC 上一点,连接QD,作DE 与 弥BC的延长线相交于点E，DM平分DN 平分 问：在点Q 运动过程中， 的度数是否发生变化?若变化，请求出变化范围；若不变，请求出 的度数. 1. A 由题意可知,a+3=0,b-2=0,解得a=-3,b=2, 2. B ∵ 与|x-3|互为相反数，且两数都是非负数， ∴x-2y+9=0,x-3=0,解得x=3,y=6, ∴x+y=3+6=9. 3. D ∵ ∴x+4=0,y-2=0,z+2=0, ∴x=-4,y=2,z=-2, ∴xyz=-4×2×(-2)=16. ∵16的算术平方根是4， ∴xyz的算术平方根是4. 4.解：由一个正数的两个平方根互为相反数可知，a-3+a+7=0,解得a=-2, 则这个正数的平方根为-5和5，∴这个正数为 5.解:(1)由题意可知,3b-5+(-2b+2)=0,∴b=3, (2)∵a=16,b=3,∴a+3b=16+3×3=16+9=25. ∵25的平方根是±5,∴a+3b的平方根是±5. 的值最小， ∴-8x-4=0,解得 即代数式 的最大值是3. ∴当x=4时, 有最小值，且最小值是3. 9.解：整理，得 开方，得 解得 或 10.解：(1)∵一个正数的两个平方根分别是a-6与3a-10，∴a-6+3a-10=0,解得a=4. (2)当a=4时, 即 解得 11.(-4,3)(答案不唯一) ∵点A 的坐标为(-5,0),点 B的坐标为(3,0), ∴点A 与点B 均在x轴上. 设点C的坐标为(x，y)，则 ∴y=±3, ∴点C的坐标为(x,3)或(x,-3),其中x为任意实数, ∴点C的坐标可以为(-4，3).(答案不唯一) 12.解:(1)A'(0,4),B'(-1,1),C'(3,1).如图,三角形A'B'C'即为所求. (3)设点 P 的坐标为(0,y). ∵BC=4,点 P 到BC 的距离为|y+2|, 解得y=1或y=-5, ∴点 P 的坐标为(0,1)或(0,-5). 13.解: ∴a-2b=0,b-2=0,∴a=4,b=2, ∴A(0,4),B(2,0). 故答案为(0,4),(2,0). (2)存在.∵A(0,4),B(2,0),∴OA=4,OB=2, 如图,当点 P 在x轴上时,设P(p,0), ∴PB=|p-2|, 或 ∴点 P 的坐标为 或 如图,当点P 在 y轴上时,设P(0,p), 或 ∴点 P 的坐标为(0, )或(0, ). 综上所述，点P 的坐标为( ,0)或( ,o0)或(0, )或(0, ). 14.解:(1)如图,三角形ABC即为所求. 3=4. 15.解:(1)取点E为坐标原点,AB 所在直线为x轴,ED 所在直线为y轴，建立平面直角坐标系如图所示， 则A(-1,0),B(2,0),C(2.5,1.5),D(0,3.5).(答案不唯一) (2)如图,连接. 16. D 由题图可知，矩形的周长为12. ∵物体甲按逆时针方向以每秒1个单位长度的速度匀速运动，物体乙按顺时针方向以每秒2个单位长度的速度匀速运动， ∴甲、乙两个物体每次相遇的时间间隔为 ∴甲、乙两个物体相遇的位置坐标依次为(-1，1)，(-1,-1),(2,0),(-1,1)…… ∴相遇的位置每3次为一个循环. ∵2 026=3×675+1, ∴第2026次相遇时的位置的坐标为(一1，1). 17.(-3,0) 由题意可得,点C 的坐标为(-1,0),点 P 的坐标为(1,0), ∴AB=2,BC=AP=2,CD=PH=2,DE=HG=2,EG=6, ∴按A-B-C-D-E-F-G-H-P-A的方向缠绕一周的总长度为2+2+2+2+6+2+2+2=20. ∵2026÷20=101……6, ∴细线另一端所在的位置在点 D 处， ∴细线另一端所在位置的点的坐标为(-3，0). 18. B 根据题意,得点 A₁的横坐标为1=2¹-1, 点A₂的横坐标为 点A₃的横坐标为 点A₄的横坐标为 …… 按这个规律平移得到点Aₙ，则点Aₙ的横坐标为2″-1，∴点 A₂₀₂₅的横坐标为 19. D 点 M 自点 P₀(1,0)处向上运动1个单位长度至点P₁(1,1)处, 向左运动2个单位长度至点P₂(-1，1)处， 再向下运动3个单位长度至点P₃(-1，-2)处， 再向右运动4个单位长度至点P₄(3，—2)处， 再向上运动5个单位长度至点P₅(3，3)处， 再向左运动6个单位长度至点P₆(-3，3)处， 再向下运动7个单位长度至点P₇(-3，-4)处， 再向右运动8个单位长度至点P₈(5，一4)处， 再向上运动9个单位长度至点P₉(5，5)处， 再向左运动10个单位长度至点P₁₀(-5，5)处， 由规律可知，点M 每运动4次就会回到原来的象限. ∵2027÷4=506……3, ∴点P₂₀₂₇在第三象限. 观察第三象限的点的坐标：P₃(-1,-2),P₇(-3,-4),P₁₀(-5,5)……可知, ∴点P₂₀₂₇的坐标为 即P₂₀₂₇(—1013,—1014). 20.解:( ∴a+2=0,b-2=0,∴a=-2,b=2. ∵CB⊥AB，∴点 B 的横坐标与点C的横坐标相同， ∴A(-2,0),B(2,0),C(2,2). (2)如图,过点 E作EF∥AC交AB于点F. ∵CB⊥x轴,BD∥AC,∴∠CAB=∠5,CB∥y轴, ∴∠ODB=∠6,∴∠CAB+∠ODB=∠5+∠6=90°. ∵BD∥AC,∴BD∥AC∥EF. ∵AE,DE 分别平分∠CAB,∠ODB, (3)存在. 如图，当点 P 在y轴正半轴上时. 设点 P(0,t),分别过点 P,A,B 作 MN∥x轴,AN∥y轴,BM∥y轴,交于点 N,M,则AN=t,CM=t-2,MN=4,PM=PN=2. 解得t=3,即点 P 的坐标为(0,3). 如图，当点 P 在y轴负半轴上时. 设点 P(0,m),分别过点 P,A,B 作MN∥x轴,AN∥y轴,BM∥y轴,交于点N,M,则AN=-m,CM=-m+2,PM=PN=2. m)=4, 解得m=-1,即点 P 的坐标为(0,-1). 综上所述,点 P 的坐标为(0,3)或(0,-1). 21.解:(1)∵BC∥x轴,BC=24,B(0,8),A(26,0),∴C(24,8),AO=26,BO=8, 当运动时间为 ts时,BP=t,PC=24-t,AQ=2t,OQ=26-2t. ∵PQ恰好将四边形BOAC 分成面积相等的两部分， 解得t=1. (2)在点 Q运动过程中，∠MDN 的度数不变. 如图，当点 D 在线段CA 的延长线上或AC 的延长线上时. ∵DM平分∠CDE,DN 平分∠ADQ, 如图，当点 D 在线段AC上时. ∵DM平分∠CDE,DN平分∠ADQ, 设∠CDE=α,则 综上所述,∠MDN 的度数为 60°或150°. 学科网（北京）股份有限公司 $