命题大赛 海南省海口市2025-2026学年下学期高一数学综合检测题（第一章--第八章8.5空间直线、平面的平行）（人教A版）

**基本信息** 本卷聚焦人教A版必修二内容，原创题占比高，融合赵爽弦图、牡丹亭组合体等文化与现实情境，通过空间几何、函数应用等梯度设计，考查数学抽象、几何直观与运算能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|8/40|集合、复数、斜二测画法、解三角形、三角恒等变换、正六棱柱表面积、线面平行、组合体外接球|原创题融入赵爽弦图（文化）、牡丹亭组合体（现实情境），考查空间观念与创新意识| |多项选择题|3/18|向量运算、三角函数图像、正方体动点问题|结合图像分析向量投影、三角函数平移，培养推理能力与几何直观| |填空题|3/15|正四棱台体积、纯虚数、三角形向量与外接圆|通过向量垂直条件求角与周长，体现数学语言表达现实问题| |解答题|5/77|向量数量积、解三角形、三角函数性质、立体几何平行证明与存在性、函数单调性与零点|立体几何存在性问题（第18题）、函数最值探究（第19题），注重逻辑推理与运算能力，适配月考综合检测需求|

命题双向细目表 海南省海口市2025-2026学年下学期高一数学综合检测题 （第一章--第八章8.5空间直线、平面的平行）（人教A版高中数学必修第二册）（细目表） 题号 题型 考查知识点 难度系数 分值 1 选择题 集合的基本运算 0.85 5 2 选择题 复数的概念、几何意义与基本运算 0.80 5 3 选择题 空间几何体的直观图（斜二测画法） 0.75 5 4 选择题 解三角形（正余弦定理的应用） 0.75 5 5 选择题 平面向量的线性运算与数量积 0.70 5 6 选择题 正六棱柱的结构特征、表面积与体对角线计算 0.70 5 7 选择题 空间直线、平面的平行与垂直的判定定理 0.70 5 8 选择题 空间组合体的体积、外接球半径计算 0.60 5 9 多项选择题 平面向量的线性运算、数量积、投影向量与夹角 0.75 6 10 多项选择题 三角函数的图像与性质、解析式求解、图像平移、零点问题 0.65 6 11 多项选择题 正方体中的空间位置关系、几何体体积、外接球、表面最短路径 0.60 6 12 填空题 正四棱台的体积公式与计算 0.80 5 13 填空题 复数的分类（纯虚数的定义） 0.85 5 14 填空题 解三角形（正弦定理、余弦定理、周长的最值问题） 0.60 5 15 解答题 平面向量的数量积、模长、夹角的综合计算与证明 0.75 13 16 解答题 解三角形（三角恒等变换、面积公式的综合应用） 0.70 15 17 解答题 三角函数的图像与性质、单调性、最值、给值求值 0.65 15 18 解答题 空间直线、平面的平行的判定与性质、面面平行的判定 0.60 17 19 解答题 函数的单调性、零点、最值问题、基本不等式 0.35 17 合计 150 $ 海南省海口市2025-2026学年下学期高一数学综合检测题 （第一章--第八章8.5空间直线、平面的平行）（人教A版高中数学必修第二册） 学校：_________ 姓名：___________ 班级：___________ 分数：___________ 时间：120分钟 满分：150分 一、选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 1．已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 2．下列关于复数的四个命题，其中为假命题的是（  ） A． B．在复平面内对应的点在第三象限 C．的虚部为 D． 3．如图，是用斜二测画法得到的直观图，其中，， 则的值为（    ） A． B． C． D． 4．如图，一块三角形铁皮，其一角已破裂，小明为了了解原铁皮的规格，现测得如下数据： ，，，，则破裂点C，D两点间的距离为（   ） A．28cm B． C．26cm D． 5．（原创）如图是体现中国古代数学智慧的“赵爽弦图”，它由4个全等直角三角形和中心小 正方形构成.若，则（    ） A． B． C． D． 6．如图所示的正六棱柱，其底面边长是2，体对角线，则它的表面积为（    ）． A． B． C． D． 7．设表示两条不重合的直线，表示两个不重合的平面，则下列说法正确的是（ ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 8．（原创）图1是菏泽牡丹园中的一座仿古牡丹亭，它的主体部分可看作是一个正四棱柱和一个正四棱锥拼接而成的组合体，如图2所示.已知正四棱柱和正四棱锥的底面边长为4，体积之比为，且该几何体的所有顶点都在球O的表面上，则球O的半径为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 二、多项选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 题号 9 10 11 答案 9．已知向量，，，则下列说法正确的是（     ） A． B．，则 C．在方向上的投影向量为 D．若，的夹角为锐角，则 10．已知函数的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（     ） A． B．若，，则 C．将函数的图象向右平移个单位长度得到函数 D．当时，曲线与有4个交点 11．（原创）如图，正方体的棱长为分别是的中点，点是底面内一动点，则下列结论正确的为（    ） A．不存在点，使得平面 B．一蚂蚁从点出发，沿正方体的表面爬行，到达点的最短距离为 C．三棱锥的体积为 D．三棱锥的外接球表面积为 三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分) 12．已知正四棱台的体积为14，若，则正四棱台的高为___________． 13．设，若复数是纯虚数，则_____. 14．（原创）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量，，且，△ABC外接圆面积为则∠A=______，△ABC周长的最大值为______. 四、解答题(本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15．（13分）已知非零向量满足，且． (1)求的值；(2)证明：；(3)设与的夹角为，求及的值． 16．（原创）（15分）在中，角的对边分别为． (1)证明：； (2)若，，，求的面积． 17．（15分）已知函数，． (1)求在的单调递减区间； (2)当时，求的最大值和最小值； (3)若，，求的值． 18．（17分） 如图所示，已知点是平行四边形所在平面外一点，分别为的中点，平面平面. (1)证明：； (2)求证：平面； (3)直线上是否存在点，使得平面平面？若存在，求出点的位置，并加以证明；若不存在，请说明理由. 19.（原创）（17分）已知函数． (1)求函数的单调性； (2)设，若函数在上有且仅有一个零点，求实数的取值范围； (3)设，是否存在正实数，使得函数在内的最小值为6？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 海南省海口市2025-2026学年下学期高一数学综合检测题 （第一章--第八章8.5空间直线、平面的平行）（人教A版高中数学必修第二册） 学校：_________ 姓名：___________ 班级：___________ 分数：___________ 时间：120分钟 满分：150分 一、选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】集合，易知函数的值域为，即， 集合，即，， 因此. 2．下列关于复数的四个命题，其中为假命题的是（  ） A． B．在复平面内对应的点在第三象限 C．的虚部为 D． 【答案】B 【分析】根据复数除法、模、坐标、虚部、乘方等知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】首先化简复数， 对于A，根据复数模的计算公式，，故A正确； 对于B，在复平面内对应的点坐标为，位于第一象限，故B错误； 对于C，，其中虚部为的系数，故C正确； 对于D，根据完全平方公式计算，故D正确. 3．如图，是用斜二测画法得到的直观图，其中，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据斜二测画法即可得解. 【详解】因为是用斜二测画法得到的直观图， 且其中， ， 所以 ， 所以中，， ， 所以． 4．如图，一块三角形铁皮，其一角已破裂，小明为了了解原铁皮的规格，现测得如下数据：，，，，则破裂点C，D两点间的距离为（   ） A．28cm B． C．26cm D． 【答案】A 【分析】考查正弦定理和余弦定理的应用，解题的关键是先将AC与BD延长交于点P，由正弦定理可求出其他边长度，最后在中用余弦定理可求出CD. 【详解】 如图，将AC与BD延长交于点P 在中，由正弦定理可知，，则，即，解得：，则，，在中，由余弦定理得：，则. 5．如图是体现中国古代数学智慧的“赵爽弦图”，它由4个全等直角三角形和中心小正方形构成.若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为该图由4个全等直角三角形和中心小正方形构成，且， 所以， 故， 所以， 所以. 6．如图所示的正六棱柱，其底面边长是2，体对角线，则它的表面积为（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据正六棱柱的结构特征，求出棱柱的高，再计算它的表面积. 【详解】正六棱柱的底面边长为2，体对角线， 则高为，它的表面积为 . 故选：C. 7．设表示两条不重合的直线，表示两个不重合的平面，则下列说法正确的是（ ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】根据线、面的位置关系有关的概念和定理，对四个选项逐一分析，由此确定正确选项. 【详解】对于A，由 ，得直线与可能平行、也可能是异面直线，A错误； 对于B，由，得可能平行，也可能相交，B错误； 对于C，由线面平行的判定定理可知C错误； 对于D，过直线作平面，且， 因为，所以， 过直线作平面，且， 同理可得， 所以， 因为，（若，则与重合） 所以， 因为，且， 所以，，故D正确.    8．图1是菏泽牡丹园中的一座仿古牡丹亭，它的主体部分可看作是一个正四棱柱和一个正四棱锥拼接而成的组合体，如图2所示.已知正四棱柱和正四棱锥的底面边长为4，体积之比为，且该几何体的所有顶点都在球O的表面上，则球O的半径为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】由体积关系可知正四棱柱和正四棱锥的高相等，依题意可得，即可求解． 【详解】因为正四棱柱和正四棱锥的体积之比为， 所以正四棱柱和正四棱锥的高相等，设为，如图， 则， 则其外接球的半径为, 解得，所以. 二、多项选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9．已知向量，，，则下列说法正确的是（     ） A． B．，则 C．在方向上的投影向量为 D．若，的夹角为锐角，则 【答案】AC 【分析】根据向量的和差运算、模长公式、垂直条件、投影向量公式以及向量夹角为锐角的充要条件逐一分析：选项A根据向量加法和模长公式验证；选项B根据向量垂直的点积为零列方程求解；选项C根据投影向量公式，先计算点积和模长平方再化简；选项D根据同时满足点积为正且向量不共线两个条件判断即可. 【详解】选项A：因为， 所以，故A 正确； 选项B：因为， 又因为，所以：， 即：，解得 ，故B 错误； 选项C：因为， ， 所以在方向上的投影向量为，故C 正确； 选项D：若 的夹角为锐角，则  ，且 与 不共线 因为，解得 ， 若 ，则 ，解得 ， 当 时， 与 同向共线，夹角为 ，不是锐角，故需排除 ， 因此，夹角为锐角的条件是 且 ，并非 ，故D 错误. 10．已知函数的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（     ） A． B．若，，则 C．将函数的图象向右平移个单位长度得到函数 D．当时，曲线与有4个交点 【答案】ABD 【分析】选项A，根据图象最高点、最低点及周期性，特殊点确定解析式；选项B，解三角方程，求出通解，计算相邻解的最小距离；选项C，利用函数图象平移变换规则进行验证；选项D，画出两个函数的图象可得. 【详解】由函数图象得， 最小正周期为，， 由，得, ，因为，所以， 所以，选项A正确； 令，则， 解得或， 即或， 因为，所以， 选项B正确； 将函数的图象向右平移个单位长度得到， 选项C错误； 在同一坐标系中绘出曲线与在的图象，可得函数图象有4个交点，选项D正确. 11．如图，正方体的棱长为分别是的中点，点是底面内一动点，则下列结论正确的为（    ） A．不存在点，使得平面 B．一蚂蚁从点出发，沿正方体的表面爬行，到达点的最短距离为 C．三棱锥的体积为 D．三棱锥的外接球表面积为 【答案】BCD 【分析】取中点，利用面面平行判定定理可得平面平面，则可利用面面平行性质定理得A；将平面展开后计算可得B；借助等积转换计算可得C；将三棱锥补形后可得D. 【详解】对A：取中点，连接、，由为中点，则， 又平面，平面，故平面， 由为中点，则，又平面， 平面，故平面，又， 、平面，则平面平面， 则当点在线段上时，由平面，可得平面， 故存在点，使得平面，故A错误； 对B：将平面与平面沿展开，使其位于同一平面如下图： 则从到的最短距离为，故B正确； 对C：，故C正确； 对D：取、、中点、、，连接成四边形， 三棱锥的外接球与长方体的外接球相同， 故即为该外接球直径，故半径为， 则外接球表面积为，故D正确. 三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分) 12．已知正四棱台的体积为14，若，则正四棱台的高为___________． 【答案】 【分析】根据正四棱台的体积公式，代入已知上下底边长和体积求解高即可。 【详解】正四棱台的上下底面均为正方形，因此下底面面积，上底面面积， 设正四棱台的高为，根据棱台体积公式 ，. 13．设，若复数是纯虚数，则_____. 【答案】1 【详解】， 又为纯虚数，所以， 解得． 14．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量，，且，△ABC外接圆面积为则∠A=______，△ABC周长的最大值为______. 【答案】 9 【分析】根据向量的数量积运算、正弦定理、三角恒等变换等知识化简已知条件，求得，利用三角形外接圆的面积求得，利用余弦定理、基本不等式等知识求得三角形周长的最大值. 【详解】已知向量， 则，则， 所以， 则，所以， 又，故且， 所以，又，则； 由余弦定理有：，则， 由正弦定理可得：的外接圆半径为，则，即， 所以， 则，当且仅当且，即时等号成立， 故三角形周长的最大值为 故答案为：； 四、解答题(本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15．（13分）已知非零向量满足，且． (1)求的值； (2)证明：； (3)设与的夹角为，求及的值． 【详解】（1）因为 ， 所以 ，...........2分 故 ．..........3分 又，所以．...........4分 (2)证明：因为，所以，...........5分 又，所以，...........6分 所以 ，所以...........8分 （3）因为 ，...........9分 所以．...........10分 因为，...........11分 又 ， 所以．...........13分 16．（15分）在中，角的对边分别为． (1)证明：； (2)若，，，求的面积． 【详解】（1）在中，由正弦、余弦定理得 ...........2分 ............7分 （2）由（1）得，又， 则，...........8分 而，于是（*），..........9分 即，由余弦定理得，...........10分 因，故，...........11分 又由（*）可得，因，，则，...........13分 所以的面积为............15分 17．（15分）已知函数，． (1)求在的单调递减区间； (2)当时，求的最大值和最小值； (3)若，，求的值． 【答案】(1) (2)最大值为，最小值为 (3) 【分析】（1）根据降幂公式，二倍角公式及辅助角公式化简，再根据正弦函数的性质即可求解； （2）根据三角函数的性质即可求解最值； （3）由已知得出，结合及同角三角函数的平方关系得出，由两角和的正弦公式即可求解． 【详解】（1），...........3分 由，解得，...........5分 又，所以的单调递减区间为．...........6分 （2）因为，所以，...........7分 则， 所以，...........9分 所以的最大值为，最小值为．...........10分 （3）由，所以，所以，...........11分 又，所以，...........12分 所以，...........13分 所以...........14分 ．...........15分 18．（17分）如图所示，已知点是平行四边形所在平面外一点，分别为的中点，平面平面. (1)证明：； (2)求证：平面； (3)直线上是否存在点，使得平面平面？若存在，求出点的位置，并加以证明；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)因为平面平面，...........2分 所以平面，...........3分 又平面平面平面，所以............5分 (2)取中点，连接， 则在中，，...........7分 又在中，， 则，...........9分 即四边形为平行四边形，所以，...........10分 又平面平面，所以平面............11分 (3)存在，为中点； 当为中点时，平面平面............12分 证明如下：取的中点为，连接， 则在中，，...........13分 又平面平面，则平面，...........14分 同理可证，平面，...........15分 又平面 ， 所以平面平面............17分 19．（17分）已知函数． (1)求函数的单调性； (2)设，若函数在上有且仅有一个零点，求实数的取值范围； (3)设，是否存在正实数，使得函数在内的最小值为6？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)在上单调递增； (2)； (3)存在，. 【分析】（1）根据对数函数的定义结合复合函数单调性求解； （2）利用零点存在定理列式结合对数运算及一元二次不等式求解； （3）利用基本不等式和函数的单调性分类求函数的最小值，确定结论. 【详解】（1）因为，所以解得，所以函数的定义域为；...........2分 因为在上单调递增，且在上单调递增， ...........3分 所以函数在上单调递增；...........4分 （2）由已知，是增函数，...........5分 因为函数在上有且仅有一个零点， 所以，...........7分 解得， 所以的范围是；...........8分 （3）假设存在正实数满足题意， ，则，，...........10分 设，则， ，...........11分 由基本不等式有，当且仅当时等号成立， 若，则，此时满足题意，...........12分 若，即， ...........13分 设，， ，...........14分 因为，所以，，...........15分 所以时，，，是增函数，时，，，不合题意；...........16分 当时，，，是减函数，时，，，不合题意；...........17分 综上，存在正实数，使得函数在内的最小值为6，满足条件时. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $