精品解析：海南省海口市龙华区海口黄冈金盘学校2024-2025学年高一下学期阶段性教学检测（四）数学试题

2024—2025学年海南高一年级阶段性教学检测（四） 数学 1.本试卷满分150分，测试时间120分钟，共4页. 2.考查范围：必修第二册第六至九章. 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知i是虚数单位，则复数在复平面内对应点位于（ ） A 坐标轴上 B. 第一象限 C. 第二象限 D. 第三象限 2. 已知不重合的直线，和平面，下列命题中真命题是（ ） A. 若，，则m，n是异面直线 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 3. 如图，构成九宫格各个正方形方格的边长为1，向量，，的起点和终点均在格点上，则（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 4. 定义：若不相等的两个向量，满足条件：且，，，均为整数，则称向量，互为“等模整向量”，则与向量互为“等模整向量”的向量个数有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 5. 如图是一个在圆柱顶部挖去一个与该圆柱同底面的圆锥的几何模型，已知圆柱的母线长为16，底面半径为6，若圆锥的高为8，则该实体模型的表面积为（ ） A B. C. D. 6. 海南省是中国重要的热带水果生产基地，2025年计划对全省5个主要种植区的1.2万户果农进行年收入调查.东部（3000户）：以芒果、莲雾为主，年收入较高；西部（2500户）：以香蕉、火龙果为主，收入中等；南部（2000户）：椰子、槟榔等传统作物，收入较低但稳定；北部（2800户）：荔枝、龙眼为主，收入波动较大；中部（1700户）：热带特色小众水果（如红毛丹），收入差异大.现需通过分层随机抽样抽取600户样本，分析全省果农年收入分布，为农业补贴政策提供依据，则东部、西部、南部、北部、中部分别被抽取的户数的极差是（ ） A. 65 B. 85 C. 100 D. 150 7. 如图1，三棱锥的高，底面在斜二测画法下的直观图如图2所示，其中为的中点，且，.则三棱锥的体积为（ ） A. B. 1 C. D. 2 8. 已知一组数据a，b，c，d，e，f的第40百分位数与方差分别为m，n，则新数据，，，，，的第40百分位数与方差分别为（ ） A. m，n B. 2m， C. ， D. ，4n 二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知复数（，为虚数单位），记复数的共轭复数为.若为纯虚数，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 复数在复平面内所对应的点位于第一象限 10. 如图，由两平行线上的点A，B，C，D，O，，，所构成的三个平行四边形，，全等，其中为锐角.则下列结论正确的有（ ） A. 若，则 B. C. D. 11. 某校在一次学生体测中规定，每个男生进行5次跳绳（每次跳绳限定时间为1分钟），每次跳绳次数都大于等于140次时，记为及格.现已知小张、小李、小王、小卓四位男同学分别进行了5次跳绳，其成绩的部分统计数据如下表： 中位数 平均数 方差 众数 下四分位数 小张同学 142 140 小李同学 144 142 小王同学 145 145 小卓同学 143 145 2 则依据表格中统计数据，可以判定这5次成绩一定都及格的同学有（ ） A. 小张 B. 小李 C. 小王 D. 小卓 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知在复平面内复数，，对应的点分别为，.若复数是实数，则实数a的值为________. 13. 某企业为了更好地监测设备运转，引进了一套温控系统，通过物联网传感器每分钟记录一次设备温度值．如图，以下是根据某天记录1000个温度值（记录的温度值均为整数）（单位：）作出的频率分布直方图，则直方图中实数________，若该企业规定设备温度超过为异常，试估计该天记录的这1000个温度值中异常的温度值的频率为________． 14. 如图，在三棱锥中，，，，，若三棱锥的体积为，则二面角的大小为________. 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 如图1，椰子树是海南最具代表性的树木之一，树干笔直无分枝，叶片形似巨大的羽毛伞.如图2，、两处观测点与树干底部点在同一水平面内，树干垂直于水平面，某同学在地面处，测得树干顶端处的仰角为，、两处相距米，，. （1）求观测点到树干底部点的距离的长度； （2）求在树干顶端处观测到、两点的夹角的余弦值. 16. 如图，三棱锥的各顶点都在球的表面上，底面中，，，侧棱底面ABC. （1）求三棱锥的表面积； （2）求球的体积. 17. 年，国家统计局海南调查总队为制定自贸港民生政策，从海南省某城乡区随机抽取户居民的单户收入作为样本数据，将这户居民的单户收入（，单位：万元）分成六段：、、、，并作出如图所示的频率分布直方图，其中. （1）求、的值； （2）若要对单户收入高于第百分位数的居民进行个税统计，则应对单户收入多少以上的居民进行统计？ （3）已知落在上的样本数据的平均数是，方差是，上的样本数据的平均数是，方差是.求这两组数据的总平均数和总方差. 参考公式：分层随机抽样抽取的两层的样本量为、，若这两层的平均数和方差分别为、与、，记总的样本平均数为，样本方差为，则①；②. 18. 如图，在中，，是边上的点. （1）若，，求； （2）若，，且的面积为，求. 19. 如图，在直三棱柱中，底面为以为斜边的直角三角形，D为棱上的一点且满足，E为棱的中点，F为棱上一点，． （1）证明：平面； （2）若M为的中点，证明：平面； （3）若，直线与平面所成角的正切值为，求三棱柱的体积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024—2025学年海南高一年级阶段性教学检测（四） 数学 1.本试卷满分150分，测试时间120分钟，共4页. 2.考查范围：必修第二册第六至九章. 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知i是虚数单位，则复数在复平面内对应的点位于（ ） A. 坐标轴上 B. 第一象限 C. 第二象限 D. 第三象限 【答案】C 【解析】 【分析】利用两个复数代数形式的乘除法法则化简复数为，由此可得它对应点所在的象限． 【详解】，故它对应点在第二象限. 故选：C. 2. 已知不重合的直线，和平面，下列命题中真命题是（ ） A. 若，，则m，n是异面直线 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 【答案】D 【解析】 【分析】理解选项中条件与结论的逻辑关系，运用反例排除错误选项. 【详解】A、若与相交，则可能与在交点处相交，A错误； B、若,则与可能平行也可能异面，所以不能得出，B错误； C、两平行于同一平面的直线可能相交、异面或平行，C错误； D、若一条直线垂直于一个平面，另一条直线与这条直线平行，那么另一条直线也垂直于这个平面， 因为，所以；D正确. 故选：D. 3. 如图，构成九宫格的各个正方形方格的边长为1，向量，，的起点和终点均在格点上，则（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】B 【解析】 【分析】如图建系，写出向量，，的坐标，利用向量的加法运算及数量积运算计算即可得解. 【详解】 如图建立平面直角坐标系，则，，， 则，. 故选：B. 4. 定义：若不相等的两个向量，满足条件：且，，，均为整数，则称向量，互为“等模整向量”，则与向量互为“等模整向量”的向量个数有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】B 【解析】 【分析】设与互为“等模整向量”的向量，根据定义求解即可. 【详解】设与互为“等模整向量”的向量， 则，所以，令，则，则（舍去）， 令，则，则或， 令，则，则， 故与向量互为“等模整向量”的向量个数有3个. 故选：B. 5. 如图是一个在圆柱顶部挖去一个与该圆柱同底面的圆锥的几何模型，已知圆柱的母线长为16，底面半径为6，若圆锥的高为8，则该实体模型的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由图知该模型的表面积由三个部分组成：圆柱的下底面积，圆柱的侧面积，圆锥的侧面积，分别求出，即可得到该模型的表面积． 【详解】由图知该模型的表面积由三个部分组成：圆柱的底面积，圆柱的侧面积，圆锥的侧面积. 所以圆柱的下底面积为;圆柱的侧面积为;圆锥的母线，所以圆锥的侧面积为. 所以该模型的表面积为. 故选：C 6. 海南省是中国重要的热带水果生产基地，2025年计划对全省5个主要种植区的1.2万户果农进行年收入调查.东部（3000户）：以芒果、莲雾为主，年收入较高；西部（2500户）：以香蕉、火龙果为主，收入中等；南部（2000户）：椰子、槟榔等传统作物，收入较低但稳定；北部（2800户）：荔枝、龙眼为主，收入波动较大；中部（1700户）：热带特色小众水果（如红毛丹），收入差异大.现需通过分层随机抽样抽取600户样本，分析全省果农年收入分布，为农业补贴政策提供依据，则东部、西部、南部、北部、中部分别被抽取的户数的极差是（ ） A. 65 B. 85 C. 100 D. 150 【答案】A 【解析】 【分析】根据分层抽样求出户数最多和最少的地区应抽取的样本量，再根据极差的概念计算即可. 【详解】各区域户数之和为：（户）， 东部、西部、南部、北部、中部被抽取的户数中最多的为东部，最少的为中部， 东部抽取：（户）， 中部抽取：（户）， 所以东部、西部、南部、北部、中部分别被抽取的户数的极差是. 故选：A 7. 如图1，三棱锥的高，底面在斜二测画法下的直观图如图2所示，其中为的中点，且，.则三棱锥的体积为（ ） A. B. 1 C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】根据斜二测画法的知识，求出三棱锥的底面面积，再根据三棱锥的体积公式即可求解. 【详解】由斜二测画法原理可知中，，边上的高, 由勾股定理得， 故为等边三角形，所以, 故. 故选：B. 8. 已知一组数据a，b，c，d，e，f的第40百分位数与方差分别为m，n，则新数据，，，，，的第40百分位数与方差分别为（ ） A. m，n B. 2m， C. ， D. ，4n 【答案】D 【解析】 【分析】根据百分位数定义及方差性质计算求解. 【详解】一组数据a，b，c，d，e，f的第40百分位数为m，则新数据，，，，，的第40百分位数为； 一组数据a，b，c，d，e，f的第40百分位数与方差为n，则新数据，，，，，的方差为. 故选：D. 二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知复数（，为虚数单位），记复数的共轭复数为.若为纯虚数，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 复数在复平面内所对应的点位于第一象限 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据复数，再由为纯虚数，求出的值，求出，求出，进而求解，得到在复平面对应的点，判断选项. 【详解】由复数，为纯虚数， 则， 故，则，故A正确； 所以，故，故B错误； ，故C正确； ，则在复平面对应的点为，故D正确. 故选：ACD 10. 如图，由两平行线上的点A，B，C，D，O，，，所构成的三个平行四边形，，全等，其中为锐角.则下列结论正确的有（ ） A 若，则 B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】根据平面向量基本定理，平面向量加法的几何方法，和三点共线的判定方法，分别判断各选项正误. 【详解】 由图可知，，所以，因为三点共线，所以，所以A正确； 因为四边形和四边形是平行四边形，所以在方向上的射影，只有四边形为矩形时才相等，即为矩形时成立，所以B错误； 由图可知，，所以，所以C错误； 由图可知，，，，， 所以，， 即，所以D正确. 故选：AD. 11. 某校在一次学生体测中规定，每个男生进行5次跳绳（每次跳绳限定时间为1分钟），每次跳绳次数都大于等于140次时，记为及格.现已知小张、小李、小王、小卓四位男同学分别进行了5次跳绳，其成绩的部分统计数据如下表： 中位数 平均数 方差 众数 下四分位数 小张同学 142 140 小李同学 144 142 小王同学 145 145 小卓同学 143 145 2 则依据表格中统计数据，可以判定这5次成绩一定都及格的同学有（ ） A. 小张 B. 小李 C. 小王 D. 小卓 【答案】AD 【解析】 【分析】利用统计量（中位数、众数、下四分位数、平均数、方差）的定义和性质逐一分析：小张，由中位数142知第3次成绩为142，众数为140说明前两个成绩为140，后两个成绩均大于142，判定均合格；小李成绩的第2位数据为142，其余成绩无法确定是否大于140；小王成绩的中位数和平均数均反映中间的平均水平，无法确定最低两次成绩是否大于140；小卓成绩的第3位为143，结合平均数算出总分，再由方差限制，利用反证法推出其成绩均及格. 【详解】由表格知小张同学的跳绳次数数据按从小到大排列前三个数据为：140、140、142，后两个数据均大于140，可以判定小张这5次成绩一定都及格； 因为小李同学的下四分位数为142，所以成绩按从小到大的顺序排列第2位数据为142，无法确定其他成绩是否都大于140，例如：139,142,143,144,152. 小王同学的中位数为145，平均数为145，其成绩按从小到大的顺序排列第3位数据为145，其余四个数据之和为580，无法确定其他成绩是否都大于140，例如：138,139,145,150,153. 设小卓同学的成绩从小到大排列为，中位数为143，则，平均数为145，所以，，方差为2，所以，即 ， 又因为，所以， 因为，若，则，不满足上式，所以， 又因为，所以小卓同学5次成绩都及格. 故选：AD 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知在复平面内复数，，对应点分别为，.若复数是实数，则实数a的值为________. 【答案】1 【解析】 【分析】首先可通过对应的点得出，再根据实数的定义得出. 【详解】因为复平面内复数，，对应的点分别为，， 所以复数，则，因为复数实数， 所以，解得； 故答案为：1. 13. 某企业为了更好地监测设备运转，引进了一套温控系统，通过物联网传感器每分钟记录一次设备温度值．如图，以下是根据某天记录的1000个温度值（记录的温度值均为整数）（单位：）作出的频率分布直方图，则直方图中实数________，若该企业规定设备温度超过为异常，试估计该天记录的这1000个温度值中异常的温度值的频率为________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】（1）根据所有小矩形的面积之和等于1列方程求解即可； （2）根据频率分布直方图估计温度超过部分的小长方形的面积之和即得． 【详解】由图知， 解得：； 超过的频率为：. 故答案为：，． 14. 如图，在三棱锥中，，，，，若三棱锥的体积为，则二面角的大小为________. 【答案】## 【解析】 【分析】取的中点为，利用线面垂直的判定定理可得平面，为二面角的平面角，设点到的距离为，利用三棱锥的体积求出，再由可得答案. 【详解】取的中点为，连接，因为，所以， 又，，平面，所以平面， 平面，则，所以为二面角的平面角， 且，因为，， 所以，，， 设点到的距离为，则， 三棱锥的体积为，解得， 所以，因为，所以， 则二面角的大小为. 故答案为：. 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 如图1，椰子树是海南最具代表性的树木之一，树干笔直无分枝，叶片形似巨大的羽毛伞.如图2，、两处观测点与树干底部点在同一水平面内，树干垂直于水平面，某同学在地面处，测得树干顶端处的仰角为，、两处相距米，，. （1）求观测点到树干底部点的距离的长度； （2）求在树干顶端处观测到、两点的夹角的余弦值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理结合可得出的长； （2）求出、、、的长，然后利用余弦定理可求得的值，即为所求. 【小问1详解】 在中，由正弦定理可得， 因为，所以. 又两处相距米，故，所以的长为米. 【小问2详解】 在中，由在处测得树干顶端处的仰角为， 可得，则. 由（1）知，由，得， 由，得. 在中，由，得. 在中，由余弦定理得. 故在处观测到、两点的夹角的余弦值为. 16. 如图，三棱锥的各顶点都在球的表面上，底面中，，，侧棱底面ABC. （1）求三棱锥的表面积； （2）求球的体积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）首先根据余弦定理求出，然后求出底面三角形的面积，然后根据垂直关系求出其它三角形的面积，进而得到三棱锥的表面积. （2）首先求出球的半径，然后根据球的体积公式进而可求出球的体积. 小问1详解】 在底面中，由，可得， 又，由余弦定理可得，， 所以，即， 故. 又，侧棱底面， 所以， . 又，且， 则为等腰三角形，设边上的高为， 则， 所以三棱锥的表面积为. 【小问2详解】 设球的半径为.因为，，， 所以三棱锥外接球与以为棱的长方体的外接球是同一个球， 即球O的直径恰好是以为棱的长方体的体对角线， 故，故球的半径， 所以球的体积为. 17. 年，国家统计局海南调查总队为制定自贸港民生政策，从海南省某城乡区随机抽取户居民的单户收入作为样本数据，将这户居民的单户收入（，单位：万元）分成六段：、、、，并作出如图所示的频率分布直方图，其中. （1）求、的值； （2）若要对单户收入高于第百分位数的居民进行个税统计，则应对单户收入多少以上的居民进行统计？ （3）已知落在上的样本数据的平均数是，方差是，上的样本数据的平均数是，方差是.求这两组数据的总平均数和总方差. 参考公式：分层随机抽样抽取的两层的样本量为、，若这两层的平均数和方差分别为、与、，记总的样本平均数为，样本方差为，则①；②. 【答案】（1）， （2）万元 （3）， 【解析】 【分析】（1）根据所有直方图面积之和为，结合可得出、的值； （2）根据频率直方图结合百分位数的定义可求得百分位数，即可得解； （3）利用分层抽样的平均数和方差公式可求得、的值. 【小问1详解】 由题意知，， 所以，又，则，. 【小问2详解】 由直方图知，第组的频率为，第组的频率为， 故前组的频率之和为，前组的频率之和为， 故第百分位数在第组内， 则第百分位数为， 故应对单户收入万元以上的居民进行个税统计. 【小问3详解】 样本数据在区间的样本数为，在区间上的样本数为， 所以， . 18. 如图，在中，，是边上的点. （1）若，，求； （2）若，，且的面积为，求. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）设，，可得、，应用正弦定理、诱导公式、二倍角的余弦公式列方程可求角的大小； （2）由正弦定理得，根据三角形面积公式可得、，结合余弦定理求边长. 【小问1详解】 设，， 在中，因为，所以，故， 又，所以， 在中，由正弦定理得， 由，可得，即. 又，所以， 解得或， 因为为锐角，所以，所以. 【小问2详解】 在中，由正弦定理得， 因为，所以，由得. 因为的面积， 所以， 又为锐角，所以. 在中，由余弦定理得 . 19. 如图，在直三棱柱中，底面为以为斜边的直角三角形，D为棱上的一点且满足，E为棱的中点，F为棱上一点，． （1）证明：平面； （2）若M为的中点，证明：平面； （3）若，直线与平面所成角的正切值为，求三棱柱的体积． 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 （3）1或 【解析】 【分析】（1）利用面面垂直的性质得出线面垂直，由线面垂直得到线线垂直，再由线线垂直证明线面垂直； （2）利用中位线证明，再利用线面平行的判定定理证明即可； （3）先得出是直线与平面所成的角，再证明三棱柱的高，设，利用勾股定理和正切函数建立关于的等式求解；然后根据有两种解分别利用体积公式求出体积即可． 【小问1详解】 因为为的斜边，所以， 由直棱柱的性质知，平面平面，又平面平面，平面， 所以平面，又平面ABD，所以． 又因为，平面BCD，平面BCD，， 故平面． 【小问2详解】 如图，连接， 易得平面，因为在中，E为的中点，M为的中点，所以， 又平面，平面， 所以由直线与平面平行判定定理， 可得平面． 【小问3详解】 如图，过点D作，垂足为N，连接， 则由直棱柱的性质可得平面，故是直线与平面所成的角，由，可得． 不妨设，因为，， 所以，即． 又，所以，即， 所以， 化简得，解得或． 当时，，即三棱柱的高为1， 此时三棱柱的体积． 当时，，即三棱柱的高为， 此时三棱柱的体积． 综上，三棱柱的体积为1或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $