安徽临泉田家炳实验中学（临泉县教师进修学校）2026届高三下学期模拟预测数学试题

**基本信息** 高三数学预测卷以单叶双曲面、零件结构等创新情境为载体，融合函数、几何、概率等知识，考查抽象能力、空间观念与推理能力，适配高考模拟需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11题58分|函数性质、立体几何、概率统计|单叶双曲面轴截面结合双曲线离心率，体现数学眼光| |填空题|3题15分|复数运算、正态分布、不等式|正态分布应用于早餐店销售，培养数据意识| |解答题|5题77分|数列、解析几何、定积分|定积分几何意义证明数列不等式，强化数学思维与表达|

高三数学预测卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.若g(x)=为偶函数，则f(-2)= A.4 B.3 C.- D.2 2.在(x+2y)5的展开式中，含x2y3项的系数为 A.40 B.64 C.80 D.120 3.已知p：∈{x∈N|-1<x<2}，q：∃x>1，log2x=1，则 A.p和q都是真命题 B.¬p和q都是真命题 C.p和􀱑q都是真命题 D.¬p和¬q都是真命题 4.若|a|=|b|=1，且向量a在b方向上的投影向量为b，则|a+3b|= A.3 B.2 C. D. 5.如图，这是单叶双曲面的立体结构图，且为中心对称图形，其轴截面为双曲线的一部分.若该几何体的高为4，上底面圆的直径为6，垂直于旋转轴的截面圆的面积的最小值为π，则在下列双曲线的方程中，与该轴截面双曲线的离心率相同的方程是 A.-=1 B.-=1 C.-=1 D.-=1 6.已知x1+1=64，x2+lg x2=64，则x1+x2= A.40 B.32 C.72 D.64 7.如图，在函数f(x)=sin(2x+φ)的部分图象中，A(x1，y1)为线段TB的中点，则f(x1)= A. B. C. D. 8.如图，这是某零件的结构模型，中间大球为正四面体的内切球，小球与大球、正四面体的三个面均相切.若AB=12，则该模型中一个小球的表面积为 A.6π B.π C.2π D.8π 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9.如图所示，下列频率分布直方图显示了三种不同的形态.图(1)形成对称形态，图(2)形成“右拖尾”形态，图(3)形成“左拖尾”形态.根据所给的直方图，下列结论正确的有 A.图(1)的平均数=中位数=众数 B.图(2)的众数<中位数<平均数 C.图(2)的平均数<众数<中位数 D.图(3)的平均数<中位数<众数 10.已知函数f(x)=x+a(1-ex)(a∈R)，则下列结论正确的有 A.曲线y=f(x)恒过定点 B.若a=1，则f(x)的极小值为0 C.若a=4，则f(x)的最大值大于2 D.若a<0，则f(x)<fx2+ 11.如图所示，这是某机场给旅客提供的圆锥形纸杯.该纸杯母线长AC=12 cm，开口直径BC=8 cm.若旅客使用该纸杯喝水，当水面与纸杯内壁所形成的椭圆经过母线AC的中点D时，设∠BCD=α，则下列结论正确的有 A.cos α= B.BD=2 cm C.此时直线BC与水面所成线面角的正弦值为 D.此时水面椭圆的离心率为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.已知i为虚数单位，则=　　　　.  13.某早餐店加入网络平台后，若每天小笼包的销售量满足X~N(1000，2500)(单位：个)，则300天内小笼包的日销售量在950到1100个的天数大约为　　　　(精确到整数).  (若随机变量X~N(μ，σ2)，则P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.6827，P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.9545，P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈0.9973) 14.若a>0，b>0，则mina，的最大值是　　　　.(其中min{a，b}表示a，b中的较小值)  四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(13分)已知数列{an}满足an=2n-1(n∈N*). (1)求数列{an}的前n项和Sn； (2)设Tn=1-1-1-·…·1-，证明：<Tn≤. 16.(15分)如图，由半圆x2+y2=r2(y≤0，r>0)和部分抛物线y=a(x2-1)(y≥0，a>0)合成的曲线C称为“羽毛球开线”，曲线C与x轴有A，B两个交点，且经过点Q(2，3). (1)求a，r的值； (2)设N(0，2)，M为曲线C上的动点，求|MN|的最小值. 17.(15分)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，∠ADC=90°，平面PAD⊥底面ABCD，Q为AD的中点，M是棱PC上的点，AP=PD=2，BC=AD=1，CD=. (1)求证：平面PQB⊥平面PAD. (2)若PM=3MC，求二面角M-BQ-C的余弦值. 18.(17分)在某校高三体育课中，甲、乙两同学比赛投篮，比赛规则是甲、乙每人投3个球，进球多的一方获得胜利，胜利1次获得1个积分，平局或者输方不得分.已知甲和乙每次进球的概率分别是和p，且每人、每次进球与否都互不影响. (1)若p=，求在进行一轮比赛后甲比乙多投进2球的概率. (2)若≤p≤，且每轮比赛互不影响，乙要想获得至少3个积分且每轮比赛至少要赢甲2个球，求： ①设事件C表示乙每轮比赛至少要赢甲2个球，求P(C)；(结果用含p的式子表示) ②从数学期望的角度分析，理论上至少要进行多少轮比赛? 19.(17分)一般地，设函数f(x)在[a，b]上连续，用分点a=x0<x1<…<xi-1<xi<…<xn=b将[a，b]分成n个小区间，每个小区间的长度为Δx(Δx=xi-xi-1)，在每个小区间[xi-1，xi]上任取一点ξi(i=1，2，…，n)，作和式Sn=f(ξi)Δx=f(ξi)(xi-xi-1).如果Δx无限接近于0(亦即n→+∞)时，上述和式Sn无限趋近于常数S，那么称该常数S为函数f(x)在[a，b]上的定积分，记S=f(x)dx.当f(x)≥0时，定积分f(x)dx的几何意义表示由曲线y=f(x)，两直线x=a，x=b与x轴所围成的曲边梯形的面积.如果f(x)是[a，b]上的连续函数，且F'(x)=f(x)，那么=F(b)-F(a). (1)求cos x+dx； (2)如果函数f(x)在[a，b]上连续，可设函数g(x)=f(t)dt，a≤x≤b， 当x≥0时，若dt≥恒成立，求实数m的取值范围； (3)若数列{an}满足an=(n∈N*)，利用定积分的几何意义，证明：ai<ln n<ai. 参考答案 题序 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 B C B D C D A A BD AD BCD 1.【答案】B 【解题分析】∵g(x)为偶函数，∴f(-2)=g(-2)=g(2)=3. 2.【答案】C 【解题分析】含x2y3项的系数为23=80. 3.【答案】B 【解题分析】∵{x∈N|-1<x<2}={0，1}，∴∉{x∈N|-1<x<2}，∴p是假命题，¬p是真命题； ∵当x=2时，log2x=1，∴q是真命题，¬q是假命题. 综上可知，¬p和q都是真命题. 4.【答案】D 【解题分析】∵向量a在b方向上的投影向量为·=(a·b)·b=b， ∴a·b=，∴|a+3b|====. 5.【答案】C 【解题分析】设轴截面双曲线所在的方程为-=1(a>0，b>0)， ∵垂直于旋转轴的截面圆的面积的最小值为π，∴a=1， 又由该几何体的高为4，上底面圆的直径为6，得到双曲线上一点的坐标为(3，2)， 代入-=1，可得b2=，∴a2=2b2，∴选C. 6.【答案】D 【解题分析】令f(x)=x+10x，则f(x1)=x1+1=64， f(lg x2)=lg x2+1=lg x2+x2=64.∵函数f(x)在R上单调递增， ∴x1=lg x2，又∵x2+lg x2=64，∴x1+x2=64. 7.【答案】A 【解题分析】不妨令2x+φ=，∵x=-，∴T-，0，设B(x2，y2). ∵=，∴可得∴解得 ∴2y1=y2=f(x2)=f2x1-+=sin4x1-+2φ =cos(4x1+2φ)=1-2sin2(2x1+φ)=1-2，∴2+2y1-1=0. ∵由题图可知y1>0，∴解得y1=，即f(x1)=. 8.【答案】A 【解题分析】如图所示，设大球的球心为O，大球的半径为R，大正四面体的底面中心为E，高为h，CD的中点为F，连接OA，OB，OC，OD，OE，BF. 棱长AB=12，则BE=BF=×12=4，正四面体的高h=AE==×12=4. 因为V正四面体=4V三棱锥O -ABC，所以×S△ABC×h=4××S△ABC×R，所以R=h=. 设小球的半径为r，小球也可看作一个小的正四面体的内切球， 且小正四面体的高h小=h-2R=2，所以r=h小=×2=， 所以小球的表面积为4πr2=4π×2=6π. 9.【答案】BD 【解题分析】虽然图(1)的分布直方图是对称的，但是平均数、中位数和众数不一定相等，故A项错误； 图(2)中众数最小，平均数大于中位数，故B项正确，C项错误； 图(3)中众数最大，平均数小于中位数，故D项正确. 10.【答案】AD 【解题分析】∵f(0)=0，∴曲线y=f(x)恒过定点(0，0)，A项正确. 若a=1，f(x)=x-ex+1，则f'(x)=1-ex， 当x<0时，f'(x)>0，则f(x)在(-∞，0)上单调递增； 当x>0时，f'(x)<0，则f(x)在(0，+∞)上单调递减. 故f(x)的极大值f(0)=0，B项错误. 若a=4，则f'(x)=1-4ex=0，解得x=-ln 4， ∴当x<-ln 4时，f'(x)>0，则f(x)在(-∞，-ln 4)上单调递增， 当x>-ln 4，f'(x)<0，则f(x)在(-ln 4，+∞)上单调递减， ∴f(x)max=f(-ln 4)=-ln 4+4(1-e-ln 4)=-ln 4+3<2，C项错误. ∵f'(x)=1-aex，∴当a<0时，f'(x)=1-aex>0，∴f(x)在R上单调递增， ∵x2+-x=x-2+>0，∴x2+>x，∴f(x)<fx2+，D项正确. 11.【答案】BCD 【解题分析】∵cos α==，∴A项错误； ∵CD=6，∴BD2=CD2+BC2-2CD·BCcos α=36+64-2×6×8×=68，∴BD=2，∴B项正确； ∵此时直线BC与水面所成的线面角为∠CBD，且sin α=，∴=，∴解得sin∠CBD=，∴C项正确； 设椭圆的中心为O，作圆锥的轴截面AMN，与底面直径BC交于点E，与椭圆交于点P，Q，连接AE交BD于点G，以O为原点、DB所在的直线为x轴，建立平面直角坐标系， 则=，又由△APQ∽△AMN，得PQ=MN=，DG=DB=， 从而OG=-=，则点P的坐标为-，， 不妨设椭圆的方程为+=1，把a=和点P-，的坐标代入方程， 解得b=2，∵c==3，∴e===，∴D项正确. 12.【答案】-1-i 【解题分析】===-1-i. 13.【答案】246 【解题分析】∵μ=1000，σ=50，∴P(950≤X≤1100)=P(μ-σ≤X≤μ+2σ)≈+=0.8186，300×0.8186=245.58≈246， ∴300天内小笼包的日销售量在950到1100个的天数大约为246. 14.【答案】 【解题分析】∵mina，=·≤·=·≤·=， ∴当a=1，b=时，mina，=min，=， ∴mina，的最大值是. 15.【解题分析】(1)∵an=2n-1(n∈N*)，∴Sn==n2. 3分 (2)∵1-=1-==， ∴Tn=1-1-1-·…·1- =×××…××=×=×1+， ∵<×1+≤，∴<Tn≤. 13分 16.【解题分析】(1)∵将点Q(2，3)的坐标代入y=a(x2-1)，可得a=1，∴抛物线y=x2-1. 又∵y=x2-1的图象与x轴交于点(-1，0)，(1，0)，∴A(1，0)，B(-1，0)， 把点A，B的坐标代入半圆x2+y2=r2(y≤0，r>0)，可得r=1. 6分 (2)设M(x0，y0)，∵N(0，2)，∴|MN|=. ∵当y0≤0时，=1-，∴|MN|==， ∴当y0=0时，|MN|min=； ∵当y0>0时，=1+y0，∴|MN|===， ∴当y0=时，|MN|min=.∵<，∴|MN|的最小值为. 15分 17.【解题分析】(1)∵AD∥BC，BC=AD，Q为AD的中点， ∴BC∥DQ且BC=DQ，则四边形BCDQ为平行四边形，∴CD∥BQ. ∵∠ADC=90°，∴∠AQB=90°，∴BQ⊥AD. ∵平面PAD⊥底面ABCD，且平面PAD∩底面ABCD=AD，∴BQ⊥平面PAD. 又BQ⊂平面PQB，∴平面PQB⊥平面PAD. 6分 (2)由AP=PD，Q为AD的中点，知PQ⊥AD， 由(1)可知BQ⊥平面PAD，故QA，QB，QP两两垂直，则分别以QA，QB，QP所在直线为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则Q(0，0，0)，P(0，0，)，B(0，，0)，C(-1，，0). 设M(x，y，z)，则=(x，y，z-)，=(-1-x，-y，-z)， ∵=3，∴∴ ∴=(0，，0)，=-，，. 设平面MQB的法向量为m=(x1，y1，z1)，则 ∴∴可取m=(，0，3). 令平面BQC的法向量为n=(0，0，1)， 设二面角M-BQ-C为θ，∴cos θ===. 15分 18.【解题分析】(1)设事件Ai表示甲在一轮比赛中投进i个球， Bi表示乙在一轮比赛中投进i个球，i=0，1，2，3， D表示进行一轮比赛后甲比乙多投进2球，∵D=A2B0+A3B1， ∴P(D)=P(A2B0)+P(A3B1)=×2×××3+×3×××2=. 5分 (2)①P(C)=P(B2A0)+P(B3A0)+P(B3A1) =p2(1-p)×3+p33+3=p3+p2. 9分 ②设随机变量X表示n轮比赛后，乙在每轮比赛至少要赢甲2个球的情况下获得的积分， 则X~Bn，p3+p2，∵E(X)=np3+p2，∴要满足题意E(X)≥3. ∴np3+p2≥3，∵p∈，，∴n≥. 令f(x)=x3+x2，x∈，，∵f'(x)=x(x+2)>0在，上恒成立， ∴f(x)在，上单调递增，∴f(x)的最大值f=， ∴p3+p2的最大值为，∴的最小值为， ∵14<<15，∴理论上至少要进行15轮比赛. 17分 19.【解题分析】(1)dx=sin x-=sin-2-sin-6=. 3分 (2)∵当x≥0时，dt≥恒成立，∴ln(t+1)≥， ∴ln(x+1)≥，∴当x≥0时，ln(x+1)≥恒成立. 令φ(x)=ln(x+1)-，则φ'(x)=-=. ∵当m≤1时，φ'(x)≥0，∴φ(x)在[0，+∞)上单调递增，又φ(0)=0， ∴φ(x)≥0在[0，+∞)上恒成立，∴当m≤1时，ln(x+1)≥恒成立； ∵当m>1时，对x∈(0，m-1)，有φ'(x)<0，∴φ(x)在(0，m-1)上单调递减， ∴φ(m-1)<φ(0)=0，∴当m>1时，存在x>0，使φ(x)<0，∴ln(x+1)≥不恒成立. ∴综上可知，m≤1，∴实数m的取值范围为(-∞，1]. 11分 (3)∵dx是由曲线y=，直线x=1，x=n及x轴所围成的曲边梯形的面积， ∴ai=++…+是图一中阴影所示的各矩形的面积和，∴++…+<dx=ln n，不等式左边得证. ∵ai=1+++…+是图二中阴影所示的各矩形的面积和，∴1+++…+>dx=ln n，不等式右边得证. ∴ai<ln n<ai成立. 17分 ( 第 12 页 共 12 页 ) 学科网（北京）股份有限公司 $