安徽省淮北市第一中学等校2025-2026学年高三下学期5月最后一卷数学试题

高三数学 满分：150分 考试时间：120分钟 注意事项： 1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘 贴区。 2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹签字笔书写，字体工整、笔迹 清晰。 3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿 纸、试卷上答题无效。 4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。 5.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的， 1.若体积为3π的圆锥SO的高为1，则该圆锥的母线长为 A.√10 B.23 C.2√2 D.√6 2.已知平面直角坐标系中，角α的顶点在坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边过点 (3,-7),则tan2a= A. 20 20 B.21 c别 D. 21 20 3.若集合A={x58>1},B={x2x2-3x-2<0},则AUB= A.{x1<x<2} B. c.-2<x<1 D.{xx>-2} 4.已知一组数据：x1,x2,x3,…,x10的平均数为m,方差为2，在这组数据中的任意位置插人 数字m,则插入后这11个数的方差为 A.s2 c D.11s2 5.已知虚数之满足x2·(22-1)=2-4x,则2x一3= A.3 B.4 C.23 D.11 6.用笔从空间多面体的一个顶点出发，沿棱连续划线，要求笔尖不离开纸面（或模型表面）、不 重复经过任何一条棱，最终停止在起点或任意其他顶点的过程称为“1笔”.则遍历一个正五 棱柱的所有棱，至少需要 A.3笔 B.4笔 C.5笔 D.6笔 7.已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,过点F且倾斜角为120°的直线1与抛物线C 交于M,N两点.O为坐标原点，若MN-,则△OMN的面积为 A.43 3 c D.43 【高三数学第1页（共4页）】 8.在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知c=3,且A,B是函数f(x)= 2c0s2x-认sm+)十以-1的两个不同的零点.若-1心X<-,则△ABC的外接因 半径为 B.2 C.23 D.3 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9.已知空间中有两条不同的直线11，l2,三个不同的平面α，3，Y,则下列说法正确的是 A.若l1∥a,l1∥l2,则l2∥a B.若l1⊥a,a∥3，l2LB,则l1l C.若a⊥B,B∥y,l1∥a,l2⊥y,则l1∥l2 D.若l1⊥a,a⊥B,l1中B,则l1∥9 10.已知定义拔为R的两数了)的图象关于直线x-对称，且对任意的x∈R,恒有f口)+ f(x+3)=f(2031).若f(7)=1,则下列说法正确的是 A.f(x)的一个周期为3 B.直线x=号为了口)的图象的一条对称轴 C.f(3)=0 D.罗f)=1 知双曲线C:-1a>0,6>0)的左，右顶点分别为P1,P2,离心率为，2， (3,一2√2).点M(xo,yo)(xo>0,y>0)在双曲线C上，线段P1M与C的两条渐近线分 别交于点A,B.O为坐标原点，△MPP2的面积记为S,则 A.C的实轴长为1 B.不存在点M,使得P1M⊥OA C.PA=BM D.S·tan∠P,MP2+tan∠MP2P1tan∠MPP2=0 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.已知向量a,b,c在正方形网格中的位置如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，则向量 a一b在向量c上的投影向量= 【高三数学第2页（共4页）】 13.某超市为了回馈消费者，现举行大额消费返现活动，规则如下：现有A、B两个不透明的盒 子，其中A盒中放有2,5,7三张卡牌，B盒中放有4,10,14三张卡牌.现进行三轮抽取，每 一轮从A、B两个盒子中各随机抽取1张卡牌，抽取的卡牌均不放回原盒中；每轮抽取中， 若抽出的两张卡牌互质，则小明获得20元现金奖励，否则该轮无奖励.三轮抽取结束后，小 明获得的返现奖励为40元的概率为 14.已知a>0,若关于x的方程ln(Inx+a.x)+a(lnx十ax)=x在区间[2,4幻上有解，则实数a 的取值范围为 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(13分) 甲、乙两人同时竞聘某公司的主播岗位，面试采取三场两胜制进行，假设甲每场面试获胜 的概率为。，且每场面试不存在平局的情况，每场面试的结果相互独立. (1)求乙最终获得主播岗位的概率； (2)面试结束时，记甲获胜的场数为随机变量X,求随机变量X的分布列以及数学期望 E(X). 16.(15分) 已知等差数列{an}的前n项和为Sm,其中a2十as=26,S13=78. (1)求数列{an}的通项公式； (2若6，=4·2-，1十3，求26：的值： 4·2 1=1 -2am十35，n为奇数， (3)若cn= 求数列{cn}的前n项和Tn· am-19,n为偶数， 17.(15分) 已知函数f(x)=(2x-1)e2x-1-2mx3. (1)若曲线y=f(x)在x=2处的切线1与y轴垂直，求fx)的单调区间； (2)若函数f(x)在(0，+∞)上不单调，求实数m的取值范围. 【高三数学第3页（共4页）】 18.(17分) 如图所示的平面四边形ABCD,其中AB⊥AD,CB⊥CD,AB=√3AD=J6,CB=CD, (1)求AC+BD的值； (2)现将平面四边形ABCD沿BD进行翻折，使得点A翻折至A'的位置，且A'C=AB. ()求平面A'BD与平面BCD所成角的余弦值； (i)依次过点A',D,C,B作四个相互平行的平面，使得任意两个相邻平面之间的距离均 为d,求d的值. 19.(17分) x2,y2 已知椭圆C:a2十-1a>b>o)的左、右焦点分别为F,F2,且椭圆C过点P(2,1),直 线PF2的倾斜角为75° (1)求椭圆C的方程； (2)过点P作两条不重合直线l1,l2:l1与椭圆C交于另一点A,与y轴交于点M;12与椭 圆C交于另一点B,与y轴交于点N. ()若直线l1的斜率为2，求△OPA的面积； ()若M,N关于坐标原点O对称，过点P作AB的垂线，垂足为Q,探究：是否存在定点 R使得RQ是定值？若存在，求出RQ的值；若不存在，请说明理由. 【高三数学第4页（共4页）】高三数学参考答案 选择题：1-8题，每题5分；9-11题，每题6分，共58分。 2 3 5 6 7 8 9 10 11 C B D C A D BD BCD BCD 填空题：每题5分，共15分。 2.层》 18司 14 15.(13分) 【答】器6分) （器s分 【解析】(1)记面试结束的时候乙最终获得主播岗位为事件A, 乙获胜分为两种情况： 乙2：0胜（前两场乙连胜）：概率为(》厂， 乙2：1胜（前两场一胜一负，第三场乙胜）：概率为C×2》 3 3 5 ，…(3分)） Pa)-()+2x号××-吴+器-器： (5分) (2)依题意，X的所有可能取值为0,1,2，…(6分) PX=0=1-含》-号PX=1D- 2、3、33、2、336 555 5X5×5=125 P(X=2)=1-P(X=0)-P(X=1)= 4 12 ………(10分） ∴X的分布列为 X 0 1 2 9 36 44 P (X) 25 125 125 ……………………(11分） 则E(X)=1X 36 ……… 125 +×葛离 (13分) 16.(15分) n2 2 2n为奇数， 【答案】(1)an=-2n十20(4分) (2)63(4分) (3)T. (7分) 3n,n为偶数. 【解析】(1)依题意， a2+as=2a1+5d=26, …………………………………………(1分) S13=13a1+78d=78, 解得118， ………………………………………………………(3分) d=-2, 故an=-2n十20；…(4分） (2)bn=22n+22-22m-2+3, 36,=(2”-2+3)+(2-20+3)+…+(25-2+3)+(20-20+3)…(6分) =(220+218+…十218+20)-(220十218+…十218十220)十63=63；…(8分) 【高三数学参考答案第1页（共8页）】 f4n-5,n为奇数， (3)依题意，cn= 一2n+1,n为偶数， (9分) 当n为偶数时，cm-1十cn=4n-9-2n十1=2n-8, 此时T,=-4-0+4+…+2m-8=n26-”2 -3n;… (12分) 2 2 当n为奇数时，Tn=Tm+1一cm+1= a+1)2,66m+1D+2+1)-1=n2,3-?2-3 2 2 2-2 n23 2一2n为奇数， 故Tn= …（15分) 2 -3n,n为偶数. 17.(15分) 【答案】(1)f(x)的单调递增区间为(0，十m),递减区间为(-m,0)(7分) 2停+小8分) 【解析】(1)由题意得，f'(x)=2e2x1+2(2x-1)e2x-1-6m.x2=2.x(2e2x-1-3m.x),…(1分) 放了'（兮）=2-昌m=0,解料m=子 ……………………(2分) 则f'(x)=4.xe红-1-8x2=4x(e2x-1-2x), 令h(x)=e2x-1-2.x,则h'(x）=2e2x-1-2, 令'()=0，解得x=. (4分) 放当x(n,号)时，h'(<0.即h()在(-，)上单减： 当x∈（分，+时，'）>0，即h)在（分，十n)上单增： 故)≥h(号)=0恒成立， …(6分) 故当x∈(-o,0)时，f'(x)<0,f(x)单调递减；当x∈(0，十m)时，f'(x)>0,f(x)单调递塔； 所以f(x)的单调递塔区间为(0，十叨)，递减区间为（一叨，0）；…(7分) (2)由(1)知，f'(x)=2x(2e2-1-3mx)(x>0), f(x)在(0，十∞)上不单调台方程2x(2e2r-1-3m.x)=0在(0，十m)上有变号解， 即m=2e 3x(x>0)在(0，十∞)上有解，且解的两侧函数值符号相反.…(8分) 3xx∈(0，+m),则g'(x)=名.2-1)e21 令gx)=2 令g'(x)=0,解得x=2, 故当x∈0，号)时，gx)<0,gx)单调递减。 当x∈（分十）时gx)>0g(x)单调递增…（12分）) 所以gx)m=g(分）=专， ………………………………(13分） m=g时，2e1-3mx=2(e--2x)≥0，f'（x)≥0，f(x)在(0，+∞)上单调递培，不符合题意，舍去. 当x→0时，g(x)→十，当x→十叨，g(x)→十叨，…（14分) 故实数m的取值范围为（传十o)小： ……（15分）) 【高三数学参考答案第2页（共8页）】 18.(17分) 【答案】(1)1+√3+2√2(4分) 209:分 （1)2正6分 11 【解析】(1)Rt△ABD中，因为AB=√6，AD=√2， 故∠ABD=30°，故BD=√AB+AD=2√2， 所以BC=CD=2;…(1分) 而∠CBD=45,Os∠ABC=cos(∠ABD+∠CBD)=6-2 ………………………………(2分) 4 由余弦定理，AC2=AB2+BC2-2AB·BC·cos∠ABC=4+2W3=(5十1)2， 所以AC=3+1. 故AC十BD=1十√5十2W2;…(4分) (2)(i)法一：以BD的中点O为坐标原点，OB,OC方向为x,y轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标 系O-xyz, 则B(2,0,0),C(0,√2,0)，D(-√2,0,0），…(5分) 设A'(x,y,之)，由(1)可知，AB=6,A'C=6,A'D=√2， f(x-√2)2+y2+x2=6, 故+(y-)°+=6，解得x=-, 2=1， (x+√2)2+y2+x2=2, 则ar-竖号小 (7分) 则-(-99-小而d-(-2260 设n1=(x,y,x)为平面A'BD的法向量， n1·BD=-22x=0, n·A'⑦=一2，+ 则 2x十 2y一之=0， 令y=2,则n=(0,2,1)；……(9分) 取平面BCD的一个法向量n2=(0,0,1),设平面A'BD与平面BCD所成角为0， n1·n2√5 则co0=n1·na=3 …(11分） 法二：如图，作A'F⊥BD,CE⊥BD, 易知：AP-EF-号C-E 从而：A心-A+屈+民，两边平方：6=号+号+1+a,武。 B----- .E 解得sAF,1- (ⅱ)因为四个平面相互平行且相邻间距均为d,所以直线A'B被这四个 平面截得的三段线段长度相等， 即平面a2(过D)必过A'B靠近A'的三等分点P,平面a(过C)必过A'B靠近B的三等分点Q. 同时，因为平面a2过点D,平面a4过点B,且a2,a3,a4平行等距， 由平行线分线段成比例可知，中间的平面α3必过线段BD的中点O(即坐标原点).…(12分) 0可知N(-号.-号小B万0,0)C0w万.0 【高三数学参考答案第3页（共8页）】 成-丽+=区0o+{--竖.)-停》 …（13分) m·OC=0, 平面a3经过点O,C,Q,设平面a3的法向量为m=(a,b,c),则 m·OQ=0, W2b=0, 故厄+1取m=(E,0-3).…15分) 2a-6b+3c=0, 因为平面a4过点B且平行于a3, 所以相邻平面间的距离d等于点B到平面a3的距离. d=10·ml_2T 111 (注：同理可验证平面a2过D和P,且与a3平行，距离也为d,故四个平面满足题意.) 故相邻两个平面间的距离为2y ………………………………………(17分)》 11 19.(17分) 【答案6十3-4分) (2)(1)2(5分) (i)存在定点R(1,-1),使得RQ为定值V5(8分) 1 【解析】(1)tan75°=tan(45°+30°)= 35+1-2+3, 1-5-1 3 则2之=2+5，解得c=5,即a-8=3: 而。+1联立两式解得a2=6,b2二3 放糖图C的方程为后+号-1： ……………………………………………………(4分) (2)(i)依题意，直线l1:y-1=2(x-2),即y=2x-3;…(5分) y=2x-3, 得3x2一8x十4=0，解得x=2(对应点P)或x= 2 39 ……………………………(7分） 将=号代人直线方程得y=一，放A停，-》， 5 故0PA的面积S=宁×号×1+号）-2：m9分 (ⅱ)依题意，直线AB存在斜率，设直线AB方程是y=kx十b, 联立十号=1，消去y得，1十2k)2计hx十2沙2-6=0，…（10分） △=16kb2-4(2b2-6)(1+2k2)>0, -4kb 2b2-6 设A(x1y1),B(x2y2),则x1+x2=1十21x=1+2k2 ……………………………(11分) 直线PA:y-1=二：-2，令=0，得w 2Zy2十1…2分） 同理yNx2一2 【高三数学参考答案第4页（共8页）】 依题意知ym十yN=0,即2一2+2一2十2=0， x1-2x2-2 (1-y1)(x2-2)+(1-y2)(x1-2)+(x1-2)(x2-2)=0, (1-k.x1-b)(x2-2)+(1-kx2-b)(x1-2)+(x1-2)(x2-2)=0, (1-2k)x1x2+(2k-b-1)(x1十x2)+4b=0, …(13分) (1-2k)(2b2-6)+(2k-b-1)(-4kb)+4b(1+2k2)=0, 整理得b2十2kb十6k十2b-3=0,即(b十3)(2k十b-1)=0,…(14分) 若2k十b一1=0，则直线AB过点P(2,1),不合题意，舍去；…（15分) 若b十3=0，则直线AB过点(0，-3)， 令D(0,一3)，则点Q在以PD为直径的圆上，…（16分) 所以当R为PD的中点，即以PD为直径的圆的圆心时，RQ|等于圆的半径， 故存在定点R(1,-1),使得|RQ为定值5.…(17分) 【注】：以上各解答题，如有不同解法并且正确，请按相应步骤给分。 【高三数学参考答案第5页（共8页）】 【详解】 1.【答案】A 1 3r2·h= 32=3π，解得r=3,故所求母线长为3+1 1 【解析】设圆锥SO的底面半径为r,则V= =√10，故选A. 2.【答案】C 14 【解析】依题意，aa=一号放m2a 2tana -321 1-tama1-49-26,故选C 9 3.【答案】B 【解析】依题意，A=(x5%>1}={(x1og2.x>0=log1}=(xx>1}, B=er+1c-2)<0=-<2则AUB=女e>-司引，放选 4.【答案】C x,-m) 【解析】 依题意，10 =1 =m, =s2, 10 m-m)+点c,-m) 则加入m后，平均数保持不变，方差为 11 吕，散运C 5.【答案】D 【解析】法一：设复数x=a+bi(a,b∈R),由已知(a2+b2)(2a-1-2bi)=2-4(a+bi), 1 (a2+b2)(2a-1)=2-4a' a-2 从而 →2z-3=√/11： 2b(a2+b2)=4b, 7 4 法二：显然之≠ 号则2-1=-专2s-10.则eg-10=号2x-1小·则|：1=区：设 2x-1=bi(b∈R),从而b=7,则2x-3=-2+bi=√11，故选D. 6.【答案】C 【解析】正五棱柱共10个顶点，每个顶点连3条棱，均为奇顶点」 根据欧拉笔画定理：连通图最少笔画数=奇顶点数+2.代入得：10÷2=5，故至少需要5笔. 7.【答案】A 【解析】设直线1：y=-5(x-), (y2=2pa, 6-会》.则8- 联立 40, 3p= 段M(xy)Ny2故MN=x+x+力=不，则力2 则ty:=-5+-2)=5y=31-g-1)=1-0+1)=- 则|-=+)-4y2-8. 31 因|y1|+|y2|=y1-y2|, 故saw=·or1小+)=×1x8-44g5, 3,故选A. 【高三数学参考答案第6页（共8页）】 8.【答案】D 【解析】令f)=0,即4c0sx+以c0sx+4以2-3=0，则c0sA+c0sB=-X,c0sAc0sB=入2一 则sinAsinB=√(1-cosA)(1-cosB) =v1-(cosA+cosB)2+2cosAcosB+cos2Acos2B =√-) 因为-1x<9,故sinAsinB-=A21】 4 cos (A+B)=cosA cosB-sinA sinB=-1 故oC-则C=吾则nC- 2 则△ABC的外接圆半径r 2sinC=3,放选D. AB 9.【答案】BD 【解析】A中可能有l2Ca,故A错误；C中l1,l2还可能异面或者相交，故C错误；故选BD. 10.【答案】BCD 【解析】依题意，f(x)+f(x+3)=f(2031),f(x十3)+f(x+6)=f(2031), 两式相减可得，f(x)=f(x十6)，故f(x)的周期T=6,故A错误； 已知直线x-是对称轴，则fx)=f3-x) f(x)=f(x十6)，则f(3-x)=f(x+6), 故=号为了(x)的图象的一条对称轴，故B正确： f(2031)=f(6×338)=f(3),则原式变为f(x)+f(x+3)=f(3), 令x=0,可得f(0)+f(3)=f(3),则f(0)=0,f(3)=0,故C正确； 由f(x)十f(x+3)=f(3)=0,可知f(x)与f(x+3)互为相反数. 所以f(1)+f(4)=f(2)+f(5)=f(3)+f(6)=0, 已知f(7)=1→f(1)=1→f(2)=f(1)=1, 由f(1)+f(4)=0→f(4)=-1, 则登f)=f1)+f2)+f(3)+f4)=1,故D正确；故选BCD. 11.【答案】BCD 【银折】g-后架用a=6将，-2项)代人号 ,b2 2=1(a>0)中，解得a=1, 故所求实轴长为2，故A错误： 若P1M⊥OA,又OB⊥OA,OB∥P1M,与题设矛盾，故B正确； 直线PM过P1(-1,0)和M(xoyo), 直线P1My=,y红十1)，与x一y=0联立化简可得， [(xo+1)2-y]x2-2yx-y6=0, 2y8 故+xBCo十D-店0-1⅓+yB=o即x1十1=Byn=。一yg, 故P1A=BM,故C正确； 记∠NM,P=,∠MP,P=8由条件，g>a则ama9=行·(=-1，故月-a=受 而tan(a十B)= tana+yo 1-tanatanB 2xo+1 xo-1 yo =-tan∠PMP2, 【高三数学参考答案第7页（共8页）】 而S△Mr,P,=yo,所以S·tan∠P1MP2十tan∠MP,P1tan∠MP1P2=0,故D正确；故选BCD. 12.【答案】 合》 【解析】建系如下，则a=(4,2),b=(5,0),c=(-1,-1),则a-b=(-1,2), 影向玉--合》 2 13.【答秦】 【解析】不妨设小明从A盒中抽到的卡牌的顺序为2,5,7，则从B盒中抽到的卡牌的顺序共有A=6 种等可能情况如下： 抽奖顺序 A B 第一次 2 4 4 10 10 14 14 第二次 5 10 14 4 14 4 10 第三次 14 9 14 4 10 甲总奖励 0 40 20 40 4020 故三轮过后小明获得的返现奖励为40元的概率为号 14.【答案】 1 【解析】设f(x)=ln.x十a.x,则原式化为f(f(xo)=xo在[2,4幻上有解； 令f(x)=t,则原式化为f(t)=x,那么(x,t),(t,x)都在函数y=f(x)的图象上； 假设x>t,因为y=f(x)单调递增，所以f(x)>f(t),即t>x,与假设矛盾； 假设t>x,因为y=f(x)单调递增，所以f(x)>f(t),即x>t,与假设矛盾； 故1=，则了x)=x在2，上有解，即1-a在2，日上有解。 令g)-严则g(x)-1-0,则x=,则g)在2日上单河港蜡，在c,自上单调造藏， ge0=g2-号g0--竖所以g号1<e得1-1- 2 【高三数学参考答案第8页（共8页）】