专题03 概率初步（5大考点期末真题汇编，四川成都专用）七年级数学下学期北师大版

**基本信息** 成都各区县七年级下期末概率专题汇编，覆盖感受可能性、频率稳定性等5大考点，选择填空巩固基础与解答题综合应用结合，融入生活情境与统计实践，适配期末复习。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |选择题|约26道|感受可能性（事件类型判断）、频率稳定性（频率估计概率）等|结合“清明时节雨纷纷”考随机事件，电影票房数据考统计事件| |填空题|约17道|等可能事件概率（球的摸取）、几何概型（面积比）等|正二十面体骰子考可能性大小，七巧板图案考几何概率| |解答题|约18道|概率与统计综合（图表分析）、等可能事件（摸球问题）等|电子产品使用时间调查考统计与概率综合，绿豆发芽试验考频率估计概率|

专题03 概率初步 5大高频考点概览 考点01感受可能性 考点02频率的稳定性 考点03等可能事件的概率 考点04 几何概型 考点05 概率与统计综合运用（解答题） ( 地 城 考点01 感受可能性 )一、选择题 1．（24-25七年级下·四川成都锦江区·期末）下列说法不正确的是（　　） A．你最喜爱的球队将夺得冠军是随机事件 B．太阳从东方升起是确定事件 C．直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短 D．等腰三角形的角平分线、中线、高线互相重合 2．（24-25七年级下·四川成都新都区·期末）下列事件中，属于随机事件的有（    ） A．任意画一个三角形，其内角和是 B．投一枚质地均匀的骰子，朝上一面的点数是7 C．经过有交通信号灯的路口，刚好是绿灯 D．从只装有红球和黄球的袋中，掏出一个球是白球 3．（24-25七年级下·四川成都天府新区·期末）下列说法正确的是（   ） A．“购买一张彩票就中奖”是不可能事件 B．“随意翻到一本书的某页，这页的页码是奇数”是必然事件 C．“投掷一枚质地均匀的硬币，硬币落下后正面朝上”是不可能事件 D．“将花生油滴入水中，油会浮在水面上”是必然事件 4．（24-25七年级下·四川成都金牛区·期末）下列事件是随机事件的是（    ） A．清明时节雨纷纷 B．掷一枚质地均匀的正方体骰子，正面朝上的数字大于6 C．画一个三角形，其内角和为 D．从地面向上踢出的足球会落下 5．（24-25七年级下·四川成都成华区·期末）下列事件中，属于必然事件的是（    ） A．检测一批圆珠笔芯的质量，从中随机抽出的一支不合格 B．在同一平面内，所有三角形内角和均为 C．小明投篮训练中，投出一球投中篮框 D．掷一枚质地均匀的骰子，掷出正面向上的点数为1 6．（24-25七年级下·四川成都武侯区·期末）下列说法正确的是（   ） A．“买一张彩票，中奖”是随机事件 B．“将花生油滴入水中，油会浮在水面上”是不可能事件 C．小明做了3次抛瓶盖的试验，其中有2次盖口向上，由此他说盖口向上的概率一定是 D．某射击运动员射击一次只有“中靶”与“不中靶”两种结果，所以他射击一次“中靶”的概率是 7．（24-25七年级下·四川成都·校考期末）转动转盘，当转盘停止转动时，指针落在红色区域的可能性最大的是（    ） A．   B．   C．   D．   8．（24-25七年级下·四川成都都江堰市·校考期末）事件“任意画一个三角形，它的内角和是”是（   ） A．不可能事件 B．随机事件 C．必然事件 D．以上答案都不对 9．（24-25七年级下·四川成都青白江区·期末）“抛一枚均匀硬币，落地后正面朝上”这一事件是（ ） A．必然事件 B．随机事件 C．确定事件 D．不可能事件 10．（22-23七年级下·四川成都青羊区石室联中·期末）下列事件中，是必然事件的是（    ） A．任意掷一枚质地均匀的骰子，掷出的点数为偶数 B．车辆随机到达一个路口，遇到红灯 C．三角形的三条中线交于一点 D．两直线被第三条直线所截，同位角相等 11．（24-25七年级下·四川成都崇州市·期末）据网络平台数据，截至2025年5月5日，电影《哪吒之魔童闹海》总票房突破158亿元，排名全球电影票房榜第五，则（　　） A．想要调查初一（2）班学生有多少人看过《哪吒之魔童闹海》，选择抽样调查 B．随机抽本市一名学生，看过《哪吒之魔童闹海》是随机事件 C．随机抽本市一名学生，看过《哪吒之魔童闹海》的概率为1 D．随机抽本市一名学生，看过《哪吒之魔童闹海》是不可能事件 12．（24-25七年级下·四川成都邛崃市·期末）下列成语反映的事件中，发生的可能性最大的是（   ） A．守株待兔 B．大海捞针 C．返老还童 D．旭日东升 二、填空题 13．（24-25七年级下·四川成都彭州市·校考期末）杜牧《清明》诗中写道“清明时节雨纷纷”，从数学的观点看，诗句中描述的事件是____事件．（填“必然”、“不可能”或“随机”） 14．（24-25七年级下·四川成都青白江区·期末）如图，有一枚质地均匀的正二十面体形状的骰子，其中的1个面标有“1”，2个面标有“2”，3个面标有“3”，4个面标有“4”，5个面标有“5”，其余的面标有“6”，则任意掷这枚骰子，掷出的数字为_____的可能性最大． 三、解答题 15．（24-25七年级下·四川成都青羊区·校考期末）乒乓球馆有20盒白色乒乓球，但在整理过程中，发现其中混入了若干黄色乒乓球．经过统计后，发现每盒白色乒乓球中最多混入了2个黄色乒乓球，具体数据见下表： 黄色乒乓球数 0 1 2 盒数 8 m n (1)事件“从20盒白色乒乓球中任意抽取1盒，盒中没有黄色乒乓球”是___事件（填“必然”“不可能”或“随机”）； (2)从20盒白色乒乓球中任意抽取1盒，求所抽取的盒中有黄色乒乓球的概率； (3)从20盒白色乒乓球中任意抽取1盒，若所抽取的盒中有1个黄色乒乓球的概率为，求m和n的值． ( 地 城 考点02 频率的稳定性 )一、选择题 1．（24-25七年级下·四川成都锦江区·期末）在一次大量重复试验中，统计了某一结果出现的频率．绘制出的统计图如图所示，符合这一试验结果的可能是（　　） A．一个袋中有3个红球，7个白球，除颜色外都相同，随机取一球，取到红球 B．任意掷一枚均匀的骰子，掷出的点数大于3 C．从分别标有1，1，2，2，3，4，5的7张纸条中，随机抽出一张，抽到2的倍数概率 D．在玩“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是剪刀 2．（24-25七年级下·四川成都高新区·期末）一个不透明的袋子中有红球、白球共30个，这些球除颜色外都相同．将袋子中的球搅拌均匀，从中随意摸出1个球，记下它的颜色后放回袋中．不断重复这个过程，共摸了100次球，其中有40次摸到红球，由此可以估计袋子中红球的个数约为（    ） A．8 B．12 C．15 D．18 3．（24-25七年级下·四川成都龙泉驿区·期末）下列说法合理的是（ ） A．小明做了3次抛瓶盖的实验，发现2次盖口向上，由此他说盖口向上的概率是 B．某彩票的中奖概率是，因此买100张彩票一定会有5张中奖 C．某射击运动员射击一次只有“中靶”与“不中靶”两种可能的结果，所以它们发生的概率都是 D．小明掷一枚质地均匀的硬币，他掷了3次，其中1次正面朝上、2次正面朝下．他认为再掷一次，正面朝上的概率是 4．（24-25七年级下·四川成都新津区·期末）在相同条件下的多次重复试验中，一个随机事件发生的频率为，该事件的概率为．下列说法正确的是（   ） A．试验次数越多，越大 B．试验次数越多，越大 C．与都可能发生变化 D．试验次数大量增加时，在附近摆动，并趋于稳定 5．（24-25七年级下·四川成都郫都区·期末）如图，是由边长为个单位长度的小正方形组成的的网格，其中有一“心形”图案．数学小组为了探究“心形”图案的面积，进行了计算机模拟试验，得到如下数据： 试验总次数 落在“心形线”内部的次数 落在“心形线”内部的频率 根据表中的数据，估计“心形”图案的面积为（   ） A． B． C． D． 6．（24-25七年级下·四川成都温江区·期末）质监局对一批口罩进行质量抽检的相关数据统计如下： 抽检数量个 合格数量个 口罩合格率 下面四个推断合理的是（   ） A．当抽检口罩的数量是个时，口罩合格的数量是个，所以这批口罩中口罩合格的概率是 B．由于抽检口罩的数量分别是和个时，口罩合格率均是，所以可以估计这批口罩中口罩合格的概率是 C．随着抽检数量的增加，“口罩合格”的频率总在附近摆动，显示出一定的稳定性，所以可以估计这批口罩中“口罩合格”的概率是 D．当抽检口罩的数量达到个时，“口罩合格”的频率一定是 二、填空题 7．（24-25七年级下·四川成都温江区·期末）一个不透明的袋子里装有白球、黄球共35个，这些球除颜色外都相同，小明通过多次试验发现，摸出黄球的频率稳定在0.6左右，则袋子中白球的个数最有可能是_个． 8．（24-25七年级下·四川成都青羊区树德实验中学·期末）一个不透明口袋中装有8个白球和若干个黑球，这些球除颜色外其余均相同，在不允许将球倒出来的前提下，为估计口袋中黑球的个数，采用了如下的方法：从口袋中随机摸出1个球记下颜色后放回摇匀，不断重复上述过程多次，发现摸到黑球的频率稳定在0.6，根据上述数据，可估计口袋中大约有___________个黑球． 9．（24-25七年级下·四川成都武侯区·期末）在一个不透明的袋子里装有黑、白两种颜色的球共10只，这些球除颜色外都相同．某数学小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复．下表是活动进行中的一组统计数据：则从袋子中随机摸出一球，这只球是白球的概率是________．（精确到0.1） 摸球的次数n 100 150 200 500 800 1000 摸到白球次数m 58 96 116 295 484 598 摸到白球的频率 0.58 0.64 0.58 0.59 0.605 0.598 10．（24-25七年级下·四川成都青白江区·期末）某校生物兴趣小组在老师的指导下进行了多项有意义的生物研究并取得成果．这个兴趣小组在相同的试验条件下，对某植物种子发芽率进行研究时所得到的数据如下表： 种子总颗数 种子发芽的颗数 种子发芽的频率 根据上表，估计这种植物种子在该试验条件下发芽的概率是___________．（结果精确到） 11．（24-25七年级下·四川成都浦江县·期末）在同样条件下对某种小麦种子进行发芽试验，统计发芽种子数，获得如下频率表：估计该麦种10000粒的发芽数是______粒． 试验种子数（粒） 100 200 500 1000 2000 3000 发芽频率 0.82 0.852 0.849 0.851 0.85 0.85 三、解答题 12．（24-25七年级下·四川成都·校考期末）某校生物兴趣小组用某种绿豆在相同条件下做发芽试验的结果如下表： 绿豆总粒数 绿豆发芽的粒数 绿豆发芽的频率（精确到） (1)______．(2)根据表中的数据，估计该种绿豆在相同条件下发芽的概率为_______．（结果精确到） (3)若该生物兴趣小组准备了粒绿豆在相同条件下做发芽试验，估计有多少粒绿豆没有发芽？ 13．（24-25七年级下·四川成都·期末）在一个不透明的盒子里装有黑、白两种颜色的球，这些球除颜色外其余完全相同．小颗做摸球试验，搅匀后，她从盒子里随机摸出一只球记下颜色后，再把球放回盒子中，不断重复上述过程，如表是实验中的一组统计数据： 摸球的次数 100 200 300 500 800 1000 3000 摸到白球的次数 71 129 207 334 537 2010 摸到白球的频率 (1)填空：______，______；若从盒子里随机摸出一只球，则摸到白球的概率的估计值为______（精确到） (2)某小组在“用频率估计概率”的试验中，符合（1）中概率估计值结果的试验最有可能的是______． A．掷一枚质地均匀的硬币，落地时结果是“正面朝上”． B．掷一个质地均匀的正六面体骰子（点数标记分别为1到6），落地时面朝上的点数小于5． C．在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀”． (3)若盒子中一共有100个球，要使摸到白球的概率为，需要往盒子里再放入多少个白球？ ( 地 城 考点0 3 等可能事件的概率 )一、选择题 1．（24-25七年级下·四川成都成华区·期末）在九张质地都相同的卡片上分别写有，，，，0，1，2，3，4．从中任意抽取一张卡片，则所抽卡片上的数的绝对值大于2的概率是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·四川成都双流区·期末）用12个球设计一个摸球游戏，下面设计的四种方案中，不恰当的设计是（   ） A．摸到红球、白球、黄球的概率均为 B．摸到红球的概率，摸到白球的概率是，摸到黄球的概率是 C．摸到红球的概率是，摸到白球、黄球的概率都是 D．摸到红球的概率是，摸到黄球的概率也是 3．（24-25七年级下·四川成都青羊区·期末）一个不透明的袋子里装有白球和黑球共20个，这些球除颜色外都相同，从袋子中随机摸一个球记下颜色后放回搅匀，不断重复这一过程，统计发现摸到白球的概率为0.2，由此估计袋子里黑球的个数为（   ） A．4 B．16 C．12 D．8 4．（24-25七年级下·四川成都成华区·期末）小明掷一枚硬币，前5次都是正面朝上，掷第6次时正面朝上的概率是（    ） A．1 B． C． D．0 5．（24-25七年级下·四川成都双流区·期末）泡泡玛特“《哪吒之魔童闹海》天生羁绊系列”手办盲盒中有个基本款，分别是“捣蛋哪吒”、“牵手哪吒”、“藕粉哪吒”、“战斗敖丙”、“牵手敖丙”、“乖巧敖丙”、“藕粉敖丙”、“太乙真人”，在每个盲盒中随机放入其中一款，小亮购买一个盲盒，买中“藕粉哪吒”的概率是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 6．（24-25七年级下·四川成都邛崃市·期末）和两个纸箱中装有苹果和梨．中苹果有个，梨8个，中苹果有10个，梨个，从两个纸箱中摸出苹果的概率均为，则______． 7．（24-25七年级下·四川成都天府新区·期末）在一个不透明的口袋中装有6个红球和若干个白球，每个球除颜色外都相同，随机摸出一个球是红球的概率为，则白球的个数为______． 8．（24-25七年级下·四川成都新都区·期末）个盒子里放了2个白球和3个黑球，若每个球除颜色外都相同，若从盒子中摸出一个球，则这个球是白球的概率是______． 三、解答题 9．（24-25七年级下·四川成都青白江区·期末）在一个口袋中只装有4个白球和6个红球，它们除颜色外完全相同．(1)“从口袋中随机摸出一个球是红球”发生的概率是 ；(2)现从口袋中取走若干个红球，并放入相同数量的白球，充分摇匀后，要使从口袋中随机摸出一个球是白球的概率是，求取走了多少个红球？ 10．（24-25七年级下·四川成都高新区·期末）在一个不透明的盒子里装有除颜色外完全相同的红、白、黑三种颜色的球，其中红球4个，黑球比白球多4个，从盒子随机摸出一个球是白球的概率是． (1)求盒子中白球的个数；(2)能否通过只改变盒子中红球的数量，使得任意摸出一个球是白球的概率为，若能，请问如何调整红球数量；若不能，请说明理由． 11．（24-25七年级下·四川成都双流区·期末）一个袋中装有8个球，除颜色外都相同，其中有a个红球，b个白球（，），没有其他颜色的球，混合均匀后任意摸出一个球． (1)将“摸出红球”记为事件A，“摸出白球”记为事件B． ①如果事件A是必然事件，则 ， ；②如果，则 ， ； (2)在（1）②的条件下，现从布袋中取走若干个白球，并放入相同数目的红球，搅拌均匀后，从袋中摸出一个球是红球的概率是，求取走多少个白球． 12．（24-25七年级下·四川成都青羊区·期末）在一个不透明的袋子里，装有6个红球、3个黑球、1个白球，它们除颜色外都相同．(1)求从袋中任意摸出一个球为红球的概率；(2)现从袋中取走若干个红球，并放入相同数量的白球，充分摇匀后，要使从袋中随机摸出一个球是白球的概率是，问取走了多少个红球？ 13．（24-25七年级下·四川成都温江区·期末）（1）两个相邻整数的“平均数的平方”与这两个整数的“平方的平均数”相等吗？若不相等，相差多少？ （2）在一个不透明的盒子里装有除颜色外完全相同的红、白、黑三种颜色的球，共20个．其中红球5个，白球9个．从中任意摸出一个球，求摸出的球是黑球的概率；小明从盒子里取出m个白球（其他颜色的球数量没有改变），使得从盒子里任意摸出一个球是黑球的概率为，请求出m的值． 14．（24-25七年级下·四川成都金牛区·期末）学习完概率知识后，某班的数学兴趣小组利用班会时间组织了一场“积分抽奖”活动．在不透明的抽奖箱中装有若干个写着获奖等级的质地均匀小球，分别是1个“一等奖”、3个“二等奖”、5个“三等奖”．同学们用自己的操行分，每10分获得摸一个球的机会（每人最多兑换5个球），每位同学一次性用完兑换的摸球次数（如甲同学用30分兑换摸3个球的机会，则1次性摸出3个球），记下获奖等级后将摸出的小球放回并摇匀．回答下列问题： (1)小明同学有10分的操行分，求他抽中二等奖的概率；(2)兴趣小组往箱子里再次放入个“感谢参与”的小球，小红同学想用20分的操行分参与活动，若她获奖为必然事件，求的值． 15．（24-25七年级下·四川成都成华区·期末）某超市为促销一批新品牌的商品，设立了一个不透明的纸箱，纸箱里装有2个红球、3个白球和10个黄球，并规定购买这类新品牌商品总金额为80元或超过80元，就能获得一次摸球的机会．如果摸到红球，顾客可以得到一把雨伞；摸到白球，可以得到一瓶水；摸到黄球，可以获得一支铅笔．小明购这类新品牌商品花了95元． (1)他获得奖品的概率是多少？(2)他得到一瓶水的概率是多少？ (3)若从纸箱中取出个黄球，其它条件不变，小明得到一把雨伞的概率是，则m的值是多少？ ( 地 城 考点0 4 几何概型 )一、选择题 1．（24-25七年级下·四川成都锦江区·期末）如果小球在如图所示的地板上自由地滚动，并随机停留在某块方砖上，那么小球最终停留在阴影区域的概率是（　　） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·四川成都青羊区·期末）小文根据“赵爽弦图”设计了一个如图所示的的正方形飞镖盘，则飞镖落在阴影区域的概率为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级下·四川成都武侯区·校考期末）如图，飞镖游戏板中的每一块小正方形都完全一样假设飞镖击中任何一个位置都是等可能的，任意投掷飞镖1次，则飞镖击中白色区域的概率是（   ）. A． B． C． D． 二、填空题 4．（23-24七年级下·四川成都·期末）如图所示是一圆形飞镖游戏板，大圆的半径是小圆半径的2倍，向游戏板随机投掷一枚飞镖(飞每次都落在游戏板上)，则击中阴影部分的概率是________． 5．（23-24七年级下·四川成都·期末）用两个腰长为a的等腰直角三角板及两个腰长为b的等腰直角三角板拼成如图所示的正方形，．现随机向该正方形内掷一枚小针，则针尖落在阴影区域的概率为______________． 6．（24-25七年级下·四川成都青羊区实室联中·期末）七巧板是我国古代劳动人民的发明之一，被誉为“东方魔板”，它是由五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形共七块板组成的．如图所示是一沄用七巧板拼成的正方形，如果在此正方形中随机取一点，那么此点取自黑色部分的概率为 ______________________． 7．（24-25七年级下·四川成都金堂县·校考期末）一只昆虫自由自在地在空中飞行，然后随意落在图中所示的某个方格中（每个方格除颜色外完全一样），昆虫停在阴影部分的概率为________________． 8．（24-25七年级下·四川成都龙泉驿区·期末）如图，正方形的边长为2，以各边为直径在正方形内画半圆，现随机向该正方形内掷一枚小针，则针尖落在阴影区域的概率为______结果保留 9．（24-25七年级下·四川成都·期末）如图的圆形铜钱半径为，中间有1个边长为的正方形小孔，随机向铜钱上滴一滴水（水滴大小忽略不计），则水恰好落入小孔中的概率是______．（结果保留） 10．（24-25七年级下·四川成都邛崃市·期末）如图，在正方形中，取四条边的中点E，F，G，H，并依次连接形成四边形．若随机向正方形内投掷一枚小针，则针尖落在四边形内的概率为_______． ( 地 城 考点0 5 概率与统计综合运用（解答题） )1．（24-25七年级下·四川成都锦江区·期末）“项目式学习”是一种新型学习方式，请根据下列材料，完成以下任务： 【背景】2024年国家对青少年电子产品的管理进一步细化，强制推行“青少年模式”：青少年应控制电子产品使用，非学习目的的使用单次不宜超过15分钟，周末累计不宜超过1小时． 【素材】某校调研了七年级（1）班同学周末电子产品的使用时间，并制作了如下两幅不完整的统计图（A．分钟，B．分钟，C．分钟，D．分钟）． 【问题任务】(1)求扇形统计图中 m 的值，并补全条形统计图 (2)若七年级共有 600 人，根据调查估算周末电子产品使用时长小于 15 分钟学生人数？ (3)若从 D 中随机抽取一名学生，抽到男生的概率为，则 D 中女生有多少人？ 2．（24-25七年级下·四川成都青羊区石室联中·期末）为了提高学生阅读能力，某校倡议七年级学生利用双休日加强课外阅读，为了解同学们阅读的情况，学校随机抽查了部分同学周末阅读时间，并且得到数据绘制了不完整的统计图，根据图中信息回答下列问题： (1)本次调查的学生有 人；请将条形统计图补充完整； (2)扇形统计图中，求出“小时”部分所对的扇形圆心角度数； (3)从本次调查的学生中，任意抽一名同学，抽到“周末阅读时间为小时的学生”的概率是 ； (4)若该校七年级同学有人，试估计该校七年级周末阅读时间不低于小时的学生有多少人？ 3．（24-25七年级下·四川成都新都区·期末）今年4月在某中学校园艺术节来临之际，为了更好地了解全校名学生最喜爱的节目类型，学校艺术节筹备组随机抽取了部分学生进行了问卷调查，并根据调查结果绘制了如下两幅不完整的统计图． (1)被抽取的问卷数量是 ，请将条形统计图补充完整；(2)扇形统计图中“舞蹈”对应的扇形圆心角的大小为 度；(3)请你估计全校最喜爱“歌曲”类节目的学生人数． 4．（24-25七年级下·四川成都实验外国语学校·期末）为了考查某校七年级学生参加体育活动的情况，该校德育处随机从七年级学生中选取了部分学生，并从乒乓球、篮球、排球、足球及其他等五个方面调查了他们的兴趣爱好（每人只能选其中一项），并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图，请根据图中提供的信息解答下列问题： (1)此次调查方式属于_____（选填“普查”或“抽样调查”），共调查了____名学生的兴趣爱好； (2)请补全条形统计图，并计算“乒乓球”部分所对应的圆心角的度数； (3)若该校七年级共有1140名学生，试估计该校喜欢篮球的学生约有多少人？ 5．（24-25七年级下·四川成都·校考期末）每年的6月14日是“世界献血日”，某地组织居民开展义务献血活动，参与的所有献血者的血型检测结果有“A”“B”“”“O”四种血型．在所有参与献血者中，随机抽取了部分献血者的血型结果进行统计，并制作了下面两幅不完整的统计图表． 血型 A B O 人数 a 10 5 b (1)这次随机抽取的献血者人数为多少？(2)图表中的___________，___________，___________； (3)若活动中该地有2000人参与义务献血，请根据抽样结果回答：①从所有献血者中随机抽取一人，其血型是O型的概率是多少？②估计这2000人中有多少人是O型血． 4 / 4 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 概率初步 5大高频考点概览 考点01感受可能性 考点02频率的稳定性 考点03等可能事件的概率 考点04 几何概型 考点05 概率与统计综合运用（解答题） ( 地 城 考点01 感受可能性 )一、选择题 1．（24-25七年级下·四川成都锦江区·期末）下列说法不正确的是（　　） A．你最喜爱的球队将夺得冠军是随机事件 B．太阳从东方升起是确定事件 C．直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短 D．等腰三角形的角平分线、中线、高线互相重合 【答案】D 【详解】解：A、球队夺冠的结果无法提前确定，属于可能发生也可能不发生的随机事件，正确； B、太阳东升是必然发生的自然现象，属于确定事件中的必然事件，正确； C、直线外一点到直线的所有连线中，垂线段最短是几何基本性质（垂线段公理），正确； D、等腰三角形中，只有顶角的角平分线、底边上的中线和高线互相重合。若未明确“顶角”或“底边”，则底角的角平分线与中线、高线不一定重合，因此该说法不严谨，错误；故选：D． 2．（24-25七年级下·四川成都新都区·期末）下列事件中，属于随机事件的有（    ） A．任意画一个三角形，其内角和是 B．投一枚质地均匀的骰子，朝上一面的点数是7 C．经过有交通信号灯的路口，刚好是绿灯 D．从只装有红球和黄球的袋中，掏出一个球是白球 【答案】C 【详解】解：A. 三角形的内角和恒为，是必然事件，不符合题意； B. 骰子只有1至6点，出现7点不可能，属于不可能事件，不符合题意； C. 交通信号灯有红、黄、绿三种可能，遇到绿灯是随机事件，符合题意； D. 袋中无白球，掏到白球不可能，属于不可能事件，不符合题意；故选：C. 3．（24-25七年级下·四川成都天府新区·期末）下列说法正确的是（   ） A．“购买一张彩票就中奖”是不可能事件 B．“随意翻到一本书的某页，这页的页码是奇数”是必然事件 C．“投掷一枚质地均匀的硬币，硬币落下后正面朝上”是不可能事件 D．“将花生油滴入水中，油会浮在水面上”是必然事件 【答案】D 【详解】解：A．“购买一张彩票就中奖”可能发生也有可能不发生，属于随机事件，故不符合题意； B．“随意翻到一本书的某页，这页的页码是奇数”可能发生也有可能不发生，属于随机事件，故不符合题意； C．“投掷一枚质地均匀的硬币，硬币落下后正面朝上”可能发生也可能不发生，属于随机事件，故不符合题意；D．花生油密度小于水，滴入水中必定浮于水面，故“将花生油滴入水中，油会浮在水面上” 属于必然事件，符合题意．故答案为：D． 4．（24-25七年级下·四川成都金牛区·期末）下列事件是随机事件的是（    ） A．清明时节雨纷纷 B．掷一枚质地均匀的正方体骰子，正面朝上的数字大于6 C．画一个三角形，其内角和为 D．从地面向上踢出的足球会落下 【答案】A 【详解】A、清明时节雨纷纷，是随机事件，符合题意； B、掷一枚质地均匀的正方体骰子，正面朝上的数字大于6，是不可能事件，不符合题意； C、画一个三角形，其内角和为，是必然事件，不符合题意； D、从地面向上踢出的足球会落下，是必然事件，不符合题意；故选：A． 5．（24-25七年级下·四川成都成华区·期末）下列事件中，属于必然事件的是（    ） A．检测一批圆珠笔芯的质量，从中随机抽出的一支不合格 B．在同一平面内，所有三角形内角和均为 C．小明投篮训练中，投出一球投中篮框 D．掷一枚质地均匀的骰子，掷出正面向上的点数为1 【答案】B 【详解】解：选项、、均为随机事件，不符合题意， 根据三角形内角和定理，所有平面三角形的内角和均为，∴选项为必然事件，符合题意，故选：． 6．（24-25七年级下·四川成都武侯区·期末）下列说法正确的是（   ） A．“买一张彩票，中奖”是随机事件 B．“将花生油滴入水中，油会浮在水面上”是不可能事件 C．小明做了3次抛瓶盖的试验，其中有2次盖口向上，由此他说盖口向上的概率一定是 D．某射击运动员射击一次只有“中靶”与“不中靶”两种结果，所以他射击一次“中靶”的概率是 【答案】A 【详解】解：A、买一张彩票，中奖是随机事件，正确，符合题意； B、将花生油滴入水中，油会浮在水面上是不可能事件，这是必然事件，不符合题意； C、小明通过3次抛瓶盖试验（2次盖口向上）得出概率为，概率需要通过大量重复试验才能估计，仅3次试验的结果无法准确反映真实概率，且瓶盖的结构可能导致正反面概率不均等， 不符合题意； D、射击运动员射击一次中靶与不中靶的概率均为，虽然结果只有两种，但两种结果发生的概率不一定相等，实际概率与运动员水平等因素相关，不符合题意；故选：A 7．（24-25七年级下·四川成都·校考期末）转动转盘，当转盘停止转动时，指针落在红色区域的可能性最大的是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】D 【详解】解：在转盘中的4等份中，A中红色区域为1份，B中红色区域为1份，C中红色区域为2份，D中红色区域为3份，当转盘停止转动时，D中指针指向红色区域的可能性最大，故选：D． 8．（24-25七年级下·四川成都都江堰市·校考期末）事件“任意画一个三角形，它的内角和是”是（   ） A．不可能事件 B．随机事件 C．必然事件 D．以上答案都不对 【答案】C 【详解】解：事件“任意画一个三角形，它的内角和是”是必然事件，故选：． 9．（24-25七年级下·四川成都青白江区·期末）“抛一枚均匀硬币，落地后正面朝上”这一事件是（ ） A．必然事件 B．随机事件 C．确定事件 D．不可能事件 【答案】B 【详解】随机事件. 根据随机事件的定义，随机事件就是可能发生，也可能不发生的事件，即可判断： 抛1枚均匀硬币，落地后可能正面朝上，也可能反面朝上，故抛1枚均匀硬币，落地后正面朝上是随机事件.故选B. 10．（22-23七年级下·四川成都青羊区石室联中·期末）下列事件中，是必然事件的是（    ） A．任意掷一枚质地均匀的骰子，掷出的点数为偶数 B．车辆随机到达一个路口，遇到红灯 C．三角形的三条中线交于一点 D．两直线被第三条直线所截，同位角相等 【答案】C 【详解】解：A、任意掷一枚质地均匀的骰子，掷出的点数是偶数是随机事件； B、车辆随机到达一个路口，遇到红灯是随机事件； C、三角形的三条中线交于一点是必然事件； D、两直线被第三条直线所截，同位角相等是随机事件；故选：C． 11．（24-25七年级下·四川成都崇州市·期末）据网络平台数据，截至2025年5月5日，电影《哪吒之魔童闹海》总票房突破158亿元，排名全球电影票房榜第五，则（　　） A．想要调查初一（2）班学生有多少人看过《哪吒之魔童闹海》，选择抽样调查 B．随机抽本市一名学生，看过《哪吒之魔童闹海》是随机事件 C．随机抽本市一名学生，看过《哪吒之魔童闹海》的概率为1 D．随机抽本市一名学生，看过《哪吒之魔童闹海》是不可能事件 【答案】B 【详解】选项A：调查初一（2）班学生人数较少，全面调查更易操作且结果准确，因此应选择全面调查而非抽样调查，选项A错误． 选项B：随机抽取学生是否看过电影存在不确定性，可能发生也可能不发生，属于随机事件，选项B正确． 选项C：概率为1表示必然事件，但并非所有学生都看过该电影，因此概率不可能为1，选项C错误． 选项D：不可能事件指一定不会发生，但存在学生看过该电影的情况，因此选项D错误． 综上，正确答案为B．故选B． 12．（24-25七年级下·四川成都邛崃市·期末）下列成语反映的事件中，发生的可能性最大的是（   ） A．守株待兔 B．大海捞针 C．返老还童 D．旭日东升 【答案】D 【详解】解∶A．守株待兔是极小概率事件，不符合题意；B．大海捞针是不可能事件，不符合题意； C．返老还童是不可能事件，不符合题意；D．旭日东升是必然事件，符合题意；故选：D． 二、填空题 13．（24-25七年级下·四川成都彭州市·校考期末）杜牧《清明》诗中写道“清明时节雨纷纷”，从数学的观点看，诗句中描述的事件是____事件．（填“必然”、“不可能”或“随机”） 【答案】随机 【详解】“清明时节雨纷纷”描述的是清明时节下雨的情况，在现实中，清明时节可能下雨，也可能不下雨，其发生具有不确定性，符合随机事件的定义．因此，诗句中描述的事件是随机事件．故答案为：随机． 14．（24-25七年级下·四川成都青白江区·期末）如图，有一枚质地均匀的正二十面体形状的骰子，其中的1个面标有“1”，2个面标有“2”，3个面标有“3”，4个面标有“4”，5个面标有“5”，其余的面标有“6”，则任意掷这枚骰子，掷出的数字为_____的可能性最大． 【答案】5和6 【详解】解：标“6”的面有：（个）， ，，，，，， ∵，∴掷出的数字为5和6的可能性最大．故答案为：5和6． 三、解答题 15．（24-25七年级下·四川成都青羊区·校考期末）乒乓球馆有20盒白色乒乓球，但在整理过程中，发现其中混入了若干黄色乒乓球．经过统计后，发现每盒白色乒乓球中最多混入了2个黄色乒乓球，具体数据见下表： 黄色乒乓球数 0 1 2 盒数 8 m n (1)事件“从20盒白色乒乓球中任意抽取1盒，盒中没有黄色乒乓球”是___事件（填“必然”“不可能”或“随机”）； (2)从20盒白色乒乓球中任意抽取1盒，求所抽取的盒中有黄色乒乓球的概率； (3)从20盒白色乒乓球中任意抽取1盒，若所抽取的盒中有1个黄色乒乓球的概率为，求m和n的值． 【答案】(1)随机(2)(3)， 【详解】（1）解：因为20盒白色乒乓球中，有的盒有黄色乒乓球，有的盒没有，所以“从20盒白色乒乓球中任意抽取1盒，盒中没有黄色乒乓球”这件事可能发生，也可能不发生，根据随机事件的定义，该事件是随机事件．故答案为：随机． （2）解：“盒中有黄色乒乓球”的盒数为（盒）， 所以所抽取的盒中有黄色乒乓球的概率为． （3）解：因为“盒中有1个黄色乒乓球”的概率为，所以，即，所以． ( 地 城 考点02 频率的稳定性 ) 一、选择题 1．（24-25七年级下·四川成都锦江区·期末）在一次大量重复试验中，统计了某一结果出现的频率．绘制出的统计图如图所示，符合这一试验结果的可能是（　　） A．一个袋中有3个红球，7个白球，除颜色外都相同，随机取一球，取到红球 B．任意掷一枚均匀的骰子，掷出的点数大于3 C．从分别标有1，1，2，2，3，4，5的7张纸条中，随机抽出一张，抽到2的倍数概率 D．在玩“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是剪刀 【答案】D 【详解】解：统计图可知，试验结果在0.33附近波动，即其概率， A、一个袋中有3个红球，7个白球，除颜色外都相同，随机取一球，取到红球的概率为，故此选项不符合题意；B、任意掷一枚均匀的骰子，掷出的点数大于3的概率为，故此选项不符合题意；C、从分别标有1，1，2，2，3，4，5的7张纸条中，随机抽出一张，抽到2的倍数概率的概率为，故此选项不符合题意；D、在玩“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是剪刀的概率为，故此选项符合题意．故选：D． 2．（24-25七年级下·四川成都高新区·期末）一个不透明的袋子中有红球、白球共30个，这些球除颜色外都相同．将袋子中的球搅拌均匀，从中随意摸出1个球，记下它的颜色后放回袋中．不断重复这个过程，共摸了100次球，其中有40次摸到红球，由此可以估计袋子中红球的个数约为（    ） A．8 B．12 C．15 D．18 【答案】B 【详解】解：∵共摸了100次球，其中有40次摸到红球，∴摸到红球的频率， ∴估计袋子中红球的数量为（个）．故选：B． 3．（24-25七年级下·四川成都龙泉驿区·期末）下列说法合理的是（ ） A．小明做了3次抛瓶盖的实验，发现2次盖口向上，由此他说盖口向上的概率是 B．某彩票的中奖概率是，因此买100张彩票一定会有5张中奖 C．某射击运动员射击一次只有“中靶”与“不中靶”两种可能的结果，所以它们发生的概率都是 D．小明掷一枚质地均匀的硬币，他掷了3次，其中1次正面朝上、2次正面朝下．他认为再掷一次，正面朝上的概率是 【答案】D 【详解】解：A、小明做了3次抛瓶盖的实验，发现2次盖口向上，由此他说盖口向上的概率是，是错误的，3次试验不能总结出概率，故A不符合题意； B、某彩票的中奖概率是，因此买100张彩票不一定会有5张中奖，故B不符合题意； C、某射击运动员射击一次只有“中靶”与“不中靶”两种可能的结果，所以它们发生的概率都是，是错误的，“中靶”与“不中靶”不是等可能事件，故C不符合题意； D、小明掷一枚质地均匀的硬币，他掷了3次，其中1次正面朝上、2次正面朝下．他认为再掷一次，正面朝上的概率是，故D符合题意；故选：D． 4．（24-25七年级下·四川成都新津区·期末）在相同条件下的多次重复试验中，一个随机事件发生的频率为，该事件的概率为．下列说法正确的是（   ） A．试验次数越多，越大 B．试验次数越多，越大 C．与都可能发生变化 D．试验次数大量增加时，在附近摆动，并趋于稳定 【答案】D 【详解】解：∵ 概率P是常数，不随试验次数改变； 频率f随试验次数增加而逐渐稳定于P附近.∴ 选项D正确.故选：D. 5．（24-25七年级下·四川成都郫都区·期末）如图，是由边长为个单位长度的小正方形组成的的网格，其中有一“心形”图案．数学小组为了探究“心形”图案的面积，进行了计算机模拟试验，得到如下数据： 试验总次数 落在“心形线”内部的次数 落在“心形线”内部的频率 根据表中的数据，估计“心形”图案的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵当试验次数逐渐增大时，落在“心形线”内部的频率稳定在附近， ∴估计随机投放一点落在“心形线”内部的概率为， ∴估计“心形”图案的面积为，故选：． 6．（24-25七年级下·四川成都温江区·期末）质监局对一批口罩进行质量抽检的相关数据统计如下： 抽检数量个 合格数量个 口罩合格率 下面四个推断合理的是（   ） A．当抽检口罩的数量是个时，口罩合格的数量是个，所以这批口罩中口罩合格的概率是 B．由于抽检口罩的数量分别是和个时，口罩合格率均是，所以可以估计这批口罩中口罩合格的概率是 C．随着抽检数量的增加，“口罩合格”的频率总在附近摆动，显示出一定的稳定性，所以可以估计这批口罩中“口罩合格”的概率是 D．当抽检口罩的数量达到个时，“口罩合格”的频率一定是 【答案】C 【详解】解：观察表格发现：随着试验的次数的增多，口罩合格率的频率逐渐稳定在附近， 所以可以估计这批口罩中合格的概率是．故选：C． 二、填空题 7．（24-25七年级下·四川成都温江区·期末）一个不透明的袋子里装有白球、黄球共35个，这些球除颜色外都相同，小明通过多次试验发现，摸出黄球的频率稳定在0.6左右，则袋子中白球的个数最有可能是_个． 【答案】14 【详解】解：由题意可得：（个），即袋子中白球的个数最有可能是14个，故答案为：14． 8．（24-25七年级下·四川成都青羊区树德实验中学·期末）一个不透明口袋中装有8个白球和若干个黑球，这些球除颜色外其余均相同，在不允许将球倒出来的前提下，为估计口袋中黑球的个数，采用了如下的方法：从口袋中随机摸出1个球记下颜色后放回摇匀，不断重复上述过程多次，发现摸到黑球的频率稳定在0.6，根据上述数据，可估计口袋中大约有___________个黑球． 【答案】12 【详解】解：∵摸到黑球的频率稳定在0.6，∴摸到黑球的概率为0.6， 设黑球有个，则：，解得：；故答案为：12． 9．（24-25七年级下·四川成都武侯区·期末）在一个不透明的袋子里装有黑、白两种颜色的球共10只，这些球除颜色外都相同．某数学小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复．下表是活动进行中的一组统计数据：则从袋子中随机摸出一球，这只球是白球的概率是________．（精确到0.1） 摸球的次数n 100 150 200 500 800 1000 摸到白球次数m 58 96 116 295 484 598 摸到白球的频率 0.58 0.64 0.58 0.59 0.605 0.598 【答案】0.6 【详解】解：根据摸到白球的频率稳定在0.6左右，所以摸一次，摸到白球的概率为0.6．故答案为：0.6． 10．（24-25七年级下·四川成都青白江区·期末）某校生物兴趣小组在老师的指导下进行了多项有意义的生物研究并取得成果．这个兴趣小组在相同的试验条件下，对某植物种子发芽率进行研究时所得到的数据如下表： 种子总颗数 种子发芽的颗数 种子发芽的频率 根据上表，估计这种植物种子在该试验条件下发芽的概率是___________．（结果精确到） 【答案】 【详解】解：概率是大量重复试验的情况下，频率的稳定值可以作为概率的估计值，即次数越多的频率越接近于概率∴这种种子在此条件下发芽的概率约为．故答案为 11．（24-25七年级下·四川成都浦江县·期末）在同样条件下对某种小麦种子进行发芽试验，统计发芽种子数，获得如下频率表：估计该麦种10000粒的发芽数是______粒． 试验种子数（粒） 100 200 500 1000 2000 3000 发芽频率 0.82 0.852 0.849 0.851 0.85 0.85 【答案】8500 【详解】解：利用图表中数据可得估计种子发芽的概率为0.85，（粒）， 估计该麦种10000粒的发芽数是8500粒．故答案为：8500． 三、解答题 12．（24-25七年级下·四川成都·校考期末）某校生物兴趣小组用某种绿豆在相同条件下做发芽试验的结果如下表： 绿豆总粒数 绿豆发芽的粒数 绿豆发芽的频率（精确到） (1)______．(2)根据表中的数据，估计该种绿豆在相同条件下发芽的概率为_______．（结果精确到） (3)若该生物兴趣小组准备了粒绿豆在相同条件下做发芽试验，估计有多少粒绿豆没有发芽？ 【答案】(1)；(2)；(3)粒． 【详解】（1）解：，故答案为：； （2）解：根据表中的数据，估计该种绿豆在相同条件下发芽的概率为，故答案为：； （3）解：根据表中的数据，估计该种绿豆在相同条件下发芽的概率为， ∴该种绿豆在相同条件下不发芽的概率为，∴（粒）， 答：估计有粒绿豆没有发芽． 13．（24-25七年级下·四川成都·期末）在一个不透明的盒子里装有黑、白两种颜色的球，这些球除颜色外其余完全相同．小颗做摸球试验，搅匀后，她从盒子里随机摸出一只球记下颜色后，再把球放回盒子中，不断重复上述过程，如表是实验中的一组统计数据： 摸球的次数 100 200 300 500 800 1000 3000 摸到白球的次数 71 129 207 334 537 2010 摸到白球的频率 (1)填空：______，______；若从盒子里随机摸出一只球，则摸到白球的概率的估计值为______（精确到） (2)某小组在“用频率估计概率”的试验中，符合（1）中概率估计值结果的试验最有可能的是______． A．掷一枚质地均匀的硬币，落地时结果是“正面朝上”． B．掷一个质地均匀的正六面体骰子（点数标记分别为1到6），落地时面朝上的点数小于5． C．在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀”． (3)若盒子中一共有100个球，要使摸到白球的概率为，需要往盒子里再放入多少个白球？ 【答案】(1)，摸到白球的概率估计值为(2)B(3)需要往盒子里再放入65个白球 【详解】（1）解：， 若从盒子里随机摸出一只球，摸到白球的概率估计值为； （2）解：A、掷一枚质地均匀的硬币，落地时结果是“正面朝上”的概率是；B、掷一个质地均匀的正六面体骰子（点数标记分别为1到6），落地时面朝上的点数小于5的概率是． C、在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀”的概率是；故最有可能的是B； （3）解：若盒子中一共有100个球，摸到白球的概率的估计值，则盒子中的白球有个， 设需要往盒子里再放入x个白球后摸到白球的概率为， ，解得：，经检验，是原方程的解，答：需要往盒子里再放入65个白球． ( 地 城 考点0 3 等可能事件的概率 ) 一、选择题 1．（24-25七年级下·四川成都成华区·期末）在九张质地都相同的卡片上分别写有，，，，0，1，2，3，4．从中任意抽取一张卡片，则所抽卡片上的数的绝对值大于2的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵共有9张卡片，绝对值大于2的有、、、，共4个，∴所求概率为，故选：． 2．（24-25七年级下·四川成都双流区·期末）用12个球设计一个摸球游戏，下面设计的四种方案中，不恰当的设计是（   ） A．摸到红球、白球、黄球的概率均为 B．摸到红球的概率，摸到白球的概率是，摸到黄球的概率是 C．摸到红球的概率是，摸到白球、黄球的概率都是 D．摸到红球的概率是，摸到黄球的概率也是 【答案】C 【详解】解：选项A：红、白、黄球的概率均为．总概率为，符合要求．对应球数为个（每种颜色），总和为，设计合理． 选项B：红球概率，白球，黄球．总概率为，符合要求．对应球数为红球个，白球个，黄球个，总和为，设计合理． 选项C：红球概率，白球和黄球概率均为．总概率为，超过1，不符合概率的基本性质，设计不恰当． 选项D：红球和黄球概率均为．总概率为，符合要求．对应球数为红球个，黄球6个，总和为12，设计合理．综上，选项C的设计不恰当．故选：C 3．（24-25七年级下·四川成都青羊区·期末）一个不透明的袋子里装有白球和黑球共20个，这些球除颜色外都相同，从袋子中随机摸一个球记下颜色后放回搅匀，不断重复这一过程，统计发现摸到白球的概率为0.2，由此估计袋子里黑球的个数为（   ） A．4 B．16 C．12 D．8 【答案】B 【详解】解：设袋子里白球的数量为个，摸到白球的概率为0.2，即：解得： 因此，白球有4个，黑球的数量为总球数减去白球数：故袋子里黑球的个数为16个，故选：B． 4．（24-25七年级下·四川成都成华区·期末）小明掷一枚硬币，前5次都是正面朝上，掷第6次时正面朝上的概率是（    ） A．1 B． C． D．0 【答案】C 【详解】解：小明掷一枚硬币，前5次都是正面朝上，掷第6次时正面朝上的概率是，故选：C． 5．（24-25七年级下·四川成都双流区·期末）泡泡玛特“《哪吒之魔童闹海》天生羁绊系列”手办盲盒中有个基本款，分别是“捣蛋哪吒”、“牵手哪吒”、“藕粉哪吒”、“战斗敖丙”、“牵手敖丙”、“乖巧敖丙”、“藕粉敖丙”、“太乙真人”，在每个盲盒中随机放入其中一款，小亮购买一个盲盒，买中“藕粉哪吒”的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵盲盒中共有个基本款，其中“藕粉哪吒”只有个，∴买中“藕粉哪吒”的概率为，故选：A． 二、填空题 6．（24-25七年级下·四川成都邛崃市·期末）和两个纸箱中装有苹果和梨．中苹果有个，梨8个，中苹果有10个，梨个，从两个纸箱中摸出苹果的概率均为，则______． 【答案】18 【详解】解：∵从两个纸箱中摸出苹果的概率均为，∴，解得， 经检验，是原方程的解且符合题意，∴．故答案为：18． 7．（24-25七年级下·四川成都天府新区·期末）在一个不透明的口袋中装有6个红球和若干个白球，每个球除颜色外都相同，随机摸出一个球是红球的概率为，则白球的个数为______． 【答案】 【详解】解：由题意知，袋中球的总个数为（个）， 则白球的个数为（个），故答案为：． 8．（24-25七年级下·四川成都新都区·期末）个盒子里放了2个白球和3个黑球，若每个球除颜色外都相同，若从盒子中摸出一个球，则这个球是白球的概率是______． 【答案】 【详解】解：∵一个盒子里放了2个白球和3个黑球，若每个球除颜色外都相同， ∴从盒子中摸出一个球，则这个球是白球的概率是，故答案为：． 三、解答题 9．（24-25七年级下·四川成都青白江区·期末）在一个口袋中只装有4个白球和6个红球，它们除颜色外完全相同．(1)“从口袋中随机摸出一个球是红球”发生的概率是 ；(2)现从口袋中取走若干个红球，并放入相同数量的白球，充分摇匀后，要使从口袋中随机摸出一个球是白球的概率是，求取走了多少个红球？ 【答案】(1)(2)4个 【详解】解：（1），故答案为： （2）设取走了x个红球，则放入白球的数量也为 解得答：取走了4个红球． 10．（24-25七年级下·四川成都高新区·期末）在一个不透明的盒子里装有除颜色外完全相同的红、白、黑三种颜色的球，其中红球4个，黑球比白球多4个，从盒子随机摸出一个球是白球的概率是． (1)求盒子中白球的个数；(2)能否通过只改变盒子中红球的数量，使得任意摸出一个球是白球的概率为，若能，请问如何调整红球数量；若不能，请说明理由． 【答案】(1)盒子中白球的个数为4；(2)盒子还要增加4个红球． 【详解】（1）解：设白球的个数为x， 由题可得：，解得：，经检验：是分式方程的解，∴盒子中白球的个数为4； （2）解：设增加红球的个数为y，由题可得：，解得：， 经检验：是分式方程的解，∴盒子还要增加4个红球． 11．（24-25七年级下·四川成都双流区·期末）一个袋中装有8个球，除颜色外都相同，其中有a个红球，b个白球（，），没有其他颜色的球，混合均匀后任意摸出一个球． (1)将“摸出红球”记为事件A，“摸出白球”记为事件B． ①如果事件A是必然事件，则 ， ；②如果，则 ， ； (2)在（1）②的条件下，现从布袋中取走若干个白球，并放入相同数目的红球，搅拌均匀后，从袋中摸出一个球是红球的概率是，求取走多少个白球． 【答案】(1)①，②，(2)取走个白球 【详解】（1）解：①事件A是必然事件，8个球都是红球，，，故答案为：，； ②，，红球和白球各占一半，，，故答案为：，； （2）解：设取走个白球，则红球的个数为（）个， 从袋中摸出一个球是红球的概率是，，解得：， 答：取走个白球． 12．（24-25七年级下·四川成都青羊区·期末）在一个不透明的袋子里，装有6个红球、3个黑球、1个白球，它们除颜色外都相同．(1)求从袋中任意摸出一个球为红球的概率；(2)现从袋中取走若干个红球，并放入相同数量的白球，充分摇匀后，要使从袋中随机摸出一个球是白球的概率是，问取走了多少个红球？ 【答案】(1)(2)5个 【详解】（1）解：由题意得，从袋中任意摸出一个球为红球的概率为； （2）解：设取走了x个红球，由题意得，，解得， 答：取走了5个红球． 13．（24-25七年级下·四川成都温江区·期末）（1）两个相邻整数的“平均数的平方”与这两个整数的“平方的平均数”相等吗？若不相等，相差多少？ （2）在一个不透明的盒子里装有除颜色外完全相同的红、白、黑三种颜色的球，共20个．其中红球5个，白球9个．从中任意摸出一个球，求摸出的球是黑球的概率；小明从盒子里取出m个白球（其他颜色的球数量没有改变），使得从盒子里任意摸出一个球是黑球的概率为，请求出m的值． 【答案】（1）不相等，两个相邻整数的平均数的平方与它们平方的平均数相差（2）；5 【详解】解：（1）设两个相邻整数为n，，则这两个整数的平均数的平方为 两个整数的平方的平均数为 因为所以，两个相邻整数的平均数的平方与它们平方的平均数不相等 ． 所以，两个相邻整数的平均数的平方与它们平方的平均数相差 （2）①由题意可知，黑球的个数为，P（摸出的球是黑球）= ②任意摸出一个球是黑球的概率为盒子中球的总量为：（个）， 可以将盒子中的白球取出（个） 14．（24-25七年级下·四川成都金牛区·期末）学习完概率知识后，某班的数学兴趣小组利用班会时间组织了一场“积分抽奖”活动．在不透明的抽奖箱中装有若干个写着获奖等级的质地均匀小球，分别是1个“一等奖”、3个“二等奖”、5个“三等奖”．同学们用自己的操行分，每10分获得摸一个球的机会（每人最多兑换5个球），每位同学一次性用完兑换的摸球次数（如甲同学用30分兑换摸3个球的机会，则1次性摸出3个球），记下获奖等级后将摸出的小球放回并摇匀．回答下列问题： (1)小明同学有10分的操行分，求他抽中二等奖的概率；(2)兴趣小组往箱子里再次放入个“感谢参与”的小球，小红同学想用20分的操行分参与活动，若她获奖为必然事件，求的值． 【答案】(1)(2)1 【详解】（1）解：抽奖箱中小球总数：1（一等奖）+ 3（二等奖）+ 5（三等奖）= 9 个． 小明有 10 分操行分，可摸一个球．故抽中二等奖的概率为 答∶ 小明同学有10分的操行分，求他抽中二等奖的概率为． （2）解：当袋子中“感谢参与”的小球数量小于摸球的机会时，获奖才是必然事件； 小红用 20 分操行分，可摸 2 个球（每 10 分摸一个球）． 要确保不可能摸到两个“感谢参与”小球，则“感谢参与”小球数量 必须小于 2．的值为1． 15．（24-25七年级下·四川成都成华区·期末）某超市为促销一批新品牌的商品，设立了一个不透明的纸箱，纸箱里装有2个红球、3个白球和10个黄球，并规定购买这类新品牌商品总金额为80元或超过80元，就能获得一次摸球的机会．如果摸到红球，顾客可以得到一把雨伞；摸到白球，可以得到一瓶水；摸到黄球，可以获得一支铅笔．小明购这类新品牌商品花了95元． (1)他获得奖品的概率是多少？(2)他得到一瓶水的概率是多少？ (3)若从纸箱中取出个黄球，其它条件不变，小明得到一把雨伞的概率是，则m的值是多少？ 【答案】(1)他获得奖品的概率是为1(2)他得到一瓶水的概率为(3) 【详解】（1）解：他获得奖品的概率是为1； （2）解：他得到一瓶水的概率是； （3）解：依题意，；解得：． ( 地 城 考点0 4 几何概型 ) 一、选择题 1．（24-25七年级下·四川成都锦江区·期末）如果小球在如图所示的地板上自由地滚动，并随机停留在某块方砖上，那么小球最终停留在阴影区域的概率是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：根据题意得：总面积为18个小三角形的面积，其中阴影区域的面积为6个小三角形的面积， 所以小球最终停留在阴影区域的概率是．故选：C 2．（24-25七年级下·四川成都青羊区·期末）小文根据“赵爽弦图”设计了一个如图所示的的正方形飞镖盘，则飞镖落在阴影区域的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵阴影部分的面积占总面积的，∴飞镖落在阴影区域的概率为．故选：B． 3．（24-25七年级下·四川成都武侯区·校考期末）如图，飞镖游戏板中的每一块小正方形都完全一样假设飞镖击中任何一个位置都是等可能的，任意投掷飞镖1次，则飞镖击中白色区域的概率是（   ）. A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵整个正方形的面积为，空白部分的面积为：， ∴飞镖击中阴影区域的概率是．故选：B． 二、填空题 4．（23-24七年级下·四川成都·期末）如图所示是一圆形飞镖游戏板，大圆的半径是小圆半径的2倍，向游戏板随机投掷一枚飞镖(飞每次都落在游戏板上)，则击中阴影部分的概率是________． 【答案】 【详解】解：由题意，不妨设大圆的半径为2，小圆的半径为1， ∴；故答案为：． 5．（23-24七年级下·四川成都·期末）用两个腰长为a的等腰直角三角板及两个腰长为b的等腰直角三角板拼成如图所示的正方形，．现随机向该正方形内掷一枚小针，则针尖落在阴影区域的概率为______________． 【答案】 【详解】设则 ；故答案为：． 6．（24-25七年级下·四川成都青羊区实室联中·期末）七巧板是我国古代劳动人民的发明之一，被誉为“东方魔板”，它是由五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形共七块板组成的．如图所示是一沄用七巧板拼成的正方形，如果在此正方形中随机取一点，那么此点取自黑色部分的概率为 ______________________． 【答案】/0.375 【详解】解：设“东方模板”的面积为4份，则阴影部分三角形面积为1份，平行四边形面积为份， 则点取自黑色部分的概率为：．故答案为：． 7．（24-25七年级下·四川成都金堂县·校考期末）一只昆虫自由自在地在空中飞行，然后随意落在图中所示的某个方格中（每个方格除颜色外完全一样），昆虫停在阴影部分的概率为________________． 【答案】 【详解】由图得，阴影部分的面积为：，整个图形的面积为， 昆虫停在阴影部分的概率为．故答案为：． 8．（24-25七年级下·四川成都龙泉驿区·期末）如图，正方形的边长为2，以各边为直径在正方形内画半圆，现随机向该正方形内掷一枚小针，则针尖落在阴影区域的概率为______结果保留 【答案】 【详解】解：正方形的边长为2，阴影部分的面积，正方形的面积为4， 随机向该正方形内掷一枚小针，则针尖落在阴影区域的概率为故答案为： 9．（24-25七年级下·四川成都·期末）如图的圆形铜钱半径为，中间有1个边长为的正方形小孔，随机向铜钱上滴一滴水（水滴大小忽略不计），则水恰好落入小孔中的概率是______．（结果保留） 【答案】 【详解】解：，∴水恰好落入小孔中的概率是，故答案为：． 10．（24-25七年级下·四川成都邛崃市·期末）如图，在正方形中，取四条边的中点E，F，G，H，并依次连接形成四边形．若随机向正方形内投掷一枚小针，则针尖落在四边形内的概率为_______． 【答案】 【详解】解：设正方形的边长为2，∵点E，F，G，H是四条边的中点，∴， ∴，同理：，∵正方形的面积为， ∴四边形的面积为：， ∴针尖落在四边形内的概率为故答案为：． ( 地 城 考点0 5 概率与统计综合运用（解答题） ) 1．（24-25七年级下·四川成都锦江区·期末）“项目式学习”是一种新型学习方式，请根据下列材料，完成以下任务： 【背景】2024年国家对青少年电子产品的管理进一步细化，强制推行“青少年模式”：青少年应控制电子产品使用，非学习目的的使用单次不宜超过15分钟，周末累计不宜超过1小时． 【素材】某校调研了七年级（1）班同学周末电子产品的使用时间，并制作了如下两幅不完整的统计图（A．分钟，B．分钟，C．分钟，D．分钟）． 【问题任务】(1)求扇形统计图中 m 的值，并补全条形统计图 (2)若七年级共有 600 人，根据调查估算周末电子产品使用时长小于 15 分钟学生人数？ (3)若从 D 中随机抽取一名学生，抽到男生的概率为，则 D 中女生有多少人？ 【答案】(1)，图见解析(2)120人(3)3人 【详解】（1）解：被调查的总人数为（人），则，∴； A组人数为（人），补全图形如下： （2）解：（人）， 答：估算周末电子产品使用时长小于15分钟学生人数约为120人； （3）解：（人），答：D中女生有3人． 2．（24-25七年级下·四川成都青羊区石室联中·期末）为了提高学生阅读能力，某校倡议七年级学生利用双休日加强课外阅读，为了解同学们阅读的情况，学校随机抽查了部分同学周末阅读时间，并且得到数据绘制了不完整的统计图，根据图中信息回答下列问题： (1)本次调查的学生有 人；请将条形统计图补充完整； (2)扇形统计图中，求出“小时”部分所对的扇形圆心角度数； (3)从本次调查的学生中，任意抽一名同学，抽到“周末阅读时间为小时的学生”的概率是 ； (4)若该校七年级同学有人，试估计该校七年级周末阅读时间不低于小时的学生有多少人？ 【答案】(1)；统计图见解析(2)(3)(4) 【详解】（1）解：本次调查的学生有（人）． “小时”的人数为（人）．补全条形统计图如图所示．故答案为：． （2）扇形统计图中，“小时”部分所对的扇形圆心角度数为 （3）由题意得，抽到“周末阅读时间为小时的学生”的概率是，故答案为：． （4）（人）． 答：估计该校七年级周末阅读时间不低于小时的学生约有464人． 3．（24-25七年级下·四川成都新都区·期末）今年4月在某中学校园艺术节来临之际，为了更好地了解全校名学生最喜爱的节目类型，学校艺术节筹备组随机抽取了部分学生进行了问卷调查，并根据调查结果绘制了如下两幅不完整的统计图． (1)被抽取的问卷数量是 ，请将条形统计图补充完整；(2)扇形统计图中“舞蹈”对应的扇形圆心角的大小为 度；(3)请你估计全校最喜爱“歌曲”类节目的学生人数． 【答案】(1)，补全图形见解析(2)(3) 【详解】（1）解：被抽取的问卷数量是（份）， “舞蹈”人数为（人），补全图形如下： 故答案为：； （2）扇形统计图中“舞蹈”对应的扇形圆心角的大小为，故答案为：； （3）（名）， 答：估计全校最喜爱“歌曲”类节目的学生人数约为名． 4．（24-25七年级下·四川成都实验外国语学校·期末）为了考查某校七年级学生参加体育活动的情况，该校德育处随机从七年级学生中选取了部分学生，并从乒乓球、篮球、排球、足球及其他等五个方面调查了他们的兴趣爱好（每人只能选其中一项），并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图，请根据图中提供的信息解答下列问题： (1)此次调查方式属于_____（选填“普查”或“抽样调查”），共调查了____名学生的兴趣爱好； (2)请补全条形统计图，并计算“乒乓球”部分所对应的圆心角的度数； (3)若该校七年级共有1140名学生，试估计该校喜欢篮球的学生约有多少人？ 【答案】(1)抽样调查；120(2)图见解析，(3)380人 【详解】（1）解：由该校德育处随机从七年级学生中选取了部分学生，可知此次调查方式属于抽样调查； 这次一共调查了名学生，故答案为：抽样调查；120； （2）解：篮球的人数是为名，补图如下： ∵，∴在扇形统计图中，“乒乓球”部分所对应的圆心角为度； （3）解：， ∴估计该校学生喜欢篮球活动的约有380人． 5．（24-25七年级下·四川成都·校考期末）每年的6月14日是“世界献血日”，某地组织居民开展义务献血活动，参与的所有献血者的血型检测结果有“A”“B”“”“O”四种血型．在所有参与献血者中，随机抽取了部分献血者的血型结果进行统计，并制作了下面两幅不完整的统计图表． 血型 A B O 人数 a 10 5 b (1)这次随机抽取的献血者人数为多少？(2)图表中的___________，___________，___________； (3)若活动中该地有2000人参与义务献血，请根据抽样结果回答：①从所有献血者中随机抽取一人，其血型是O型的概率是多少？②估计这2000人中有多少人是O型血． 【答案】(1)50(2)12，23，20(3)血型是O型的概率是，估计这2000人中O型血的人数大约有920人 【详解】（1）解：这次随机抽取的献血者人数为（人）； （2）解：O型献血的人数（人）； A型献血的人数（人），，∴； 故答案为12，23，20； （3）解：从献血者人群中任抽取一人，其血型是O型的概率， （人），估计这2000人中大约有920人是O型血． 2 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 概率初步 5大高频考点概览 考点01感受可能性 考点02频率的稳定性 考点03等可能事件的概率 考点04 几何概型 考点05 概率与统计综合运用（解答题） ( 地 城 考点01 感受可能性 )一、选择题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 D C D A B A D C B C B D 二、填空题 13．【答案】随机 【详解】“清明时节雨纷纷”描述的是清明时节下雨的情况，在现实中，清明时节可能下雨，也可能不下雨，其发生具有不确定性，符合随机事件的定义．因此，诗句中描述的事件是随机事件．故答案为：随机． 14．【答案】5和6 三、解答题 15．【答案】(1)随机(2)(3)， 【详解】（1）解：因为20盒白色乒乓球中，有的盒有黄色乒乓球，有的盒没有，所以“从20盒白色乒乓球中任意抽取1盒，盒中没有黄色乒乓球”这件事可能发生，也可能不发生，根据随机事件的定义，该事件是随机事件．故答案为：随机． （2）解：“盒中有黄色乒乓球”的盒数为（盒）， 所以所抽取的盒中有黄色乒乓球的概率为． （3）解：因为“盒中有1个黄色乒乓球”的概率为，所以，即，所以． ( 地 城 考点02 频率的稳定性 ) 一、选择题 1 2 3 4 5 6 D B D D B C 二、填空题 7．【答案】14 8．【答案】12 9．【答案】0.6 10．【答案】 11．【答案】8500 三、解答题 12．【答案】(1)；(2)；(3)粒． 【详解】（1）解：，故答案为：； （2）解：根据表中的数据，估计该种绿豆在相同条件下发芽的概率为，故答案为：； （3）解：根据表中的数据，估计该种绿豆在相同条件下发芽的概率为， ∴该种绿豆在相同条件下不发芽的概率为，∴（粒）， 答：估计有粒绿豆没有发芽． 13．【答案】(1)，摸到白球的概率估计值为(2)B(3)需要往盒子里再放入65个白球 【详解】（1）解：， 若从盒子里随机摸出一只球，摸到白球的概率估计值为； （2）解：A、掷一枚质地均匀的硬币，落地时结果是“正面朝上”的概率是；B、掷一个质地均匀的正六面体骰子（点数标记分别为1到6），落地时面朝上的点数小于5的概率是． C、在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀”的概率是；故最有可能的是B； （3）解：若盒子中一共有100个球，摸到白球的概率的估计值，则盒子中的白球有个， 设需要往盒子里再放入x个白球后摸到白球的概率为， ，解得：，经检验，是原方程的解，答：需要往盒子里再放入65个白球． ( 地 城 考点0 3 等可能事件的概率 ) 一、选择题 1 2 3 4 5 A C B C A 二、填空题 6．【答案】18 7．【答案】 8．【答案】 三、解答题 9．【答案】(1)(2)4个 【详解】解：（1），故答案为： （2）设取走了x个红球，则放入白球的数量也为 解得答：取走了4个红球． 10．【答案】(1)盒子中白球的个数为4；(2)盒子还要增加4个红球． 【详解】（1）解：设白球的个数为x， 由题可得：，解得：，经检验：是分式方程的解，∴盒子中白球的个数为4； （2）解：设增加红球的个数为y，由题可得：，解得：， 经检验：是分式方程的解，∴盒子还要增加4个红球． 11．【答案】(1)①，②，(2)取走个白球 【详解】（1）解：①事件A是必然事件，8个球都是红球，，，故答案为：，； ②，，红球和白球各占一半，，，故答案为：，； （2）解：设取走个白球，则红球的个数为（）个， 从袋中摸出一个球是红球的概率是，，解得：， 答：取走个白球． 12．【答案】(1)(2)5个 【详解】（1）解：由题意得，从袋中任意摸出一个球为红球的概率为； （2）解：设取走了x个红球，由题意得，，解得， 答：取走了5个红球． 13．【答案】（1）不相等，两个相邻整数的平均数的平方与它们平方的平均数相差（2）；5 【详解】解：（1）设两个相邻整数为n，，则这两个整数的平均数的平方为 两个整数的平方的平均数为 因为所以，两个相邻整数的平均数的平方与它们平方的平均数不相等 ． 所以，两个相邻整数的平均数的平方与它们平方的平均数相差 （2）①由题意可知，黑球的个数为，P（摸出的球是黑球）= ②任意摸出一个球是黑球的概率为盒子中球的总量为：（个）， 可以将盒子中的白球取出（个） 14．【答案】(1)(2)1 【详解】（1）解：抽奖箱中小球总数：1（一等奖）+ 3（二等奖）+ 5（三等奖）= 9 个． 小明有 10 分操行分，可摸一个球．故抽中二等奖的概率为 答∶ 小明同学有10分的操行分，求他抽中二等奖的概率为． （2）解：当袋子中“感谢参与”的小球数量小于摸球的机会时，获奖才是必然事件； 小红用 20 分操行分，可摸 2 个球（每 10 分摸一个球）． 要确保不可能摸到两个“感谢参与”小球，则“感谢参与”小球数量 必须小于 2．的值为1． 15．【答案】(1)他获得奖品的概率是为1(2)他得到一瓶水的概率为(3) 【详解】（1）解：他获得奖品的概率是为1； （2）解：他得到一瓶水的概率是； （3）解：依题意，；解得：． ( 地 城 考点0 4 几何概型 ) 一、选择题 1 2 3 C B B 二、填空题 4．【答案】 5．【答案】 6．【答案】 7．【答案】 8．【答案】 9．【答案】 10．【答案】 ( 地 城 考点0 5 概率与统计综合运用（解答题） ) 1．【答案】(1)，图见解析(2)120人(3)3人 【详解】（1）解：被调查的总人数为（人），则，∴； A组人数为（人），补全图形如下： （2）解：（人）， 答：估算周末电子产品使用时长小于15分钟学生人数约为120人； （3）解：（人），答：D中女生有3人． 2．【答案】(1)；统计图见解析(2)(3)(4) 【详解】（1）解：本次调查的学生有（人）． “小时”的人数为（人）．补全条形统计图如图所示．故答案为：． （2）扇形统计图中，“小时”部分所对的扇形圆心角度数为 （3）由题意得，抽到“周末阅读时间为小时的学生”的概率是，故答案为：． （4）（人）． 答：估计该校七年级周末阅读时间不低于小时的学生约有464人． 3．【答案】(1)，补全图形见解析(2)(3) 【详解】（1）解：被抽取的问卷数量是（份）， “舞蹈”人数为（人），补全图形如下： 故答案为：； （2）扇形统计图中“舞蹈”对应的扇形圆心角的大小为，故答案为：； （3）（名）， 答：估计全校最喜爱“歌曲”类节目的学生人数约为名． 4．【答案】(1)抽样调查；120(2)图见解析，(3)380人 【详解】（1）解：由该校德育处随机从七年级学生中选取了部分学生，可知此次调查方式属于抽样调查； 这次一共调查了名学生，故答案为：抽样调查；120； （2）解：篮球的人数是为名，补图如下： ∵，∴在扇形统计图中，“乒乓球”部分所对应的圆心角为度； （3）解：， ∴估计该校学生喜欢篮球活动的约有380人． 5．【答案】(1)50(2)12，23，20(3)血型是O型的概率是，估计这2000人中O型血的人数大约有920人 【详解】（1）解：这次随机抽取的献血者人数为（人）； （2）解：O型献血的人数（人）； A型献血的人数（人），，∴； 故答案为12，23，20； （3）解：从献血者人群中任抽取一人，其血型是O型的概率， （人），估计这2000人中大约有920人是O型血． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $