学易金卷：高二数学下学期期末模拟卷（北师大版，范围：数列、函数与导数、集合、常用逻辑用语与不等式）

**基本信息** 以太空舱储液罐设计（导数应用）、高斯函数（数学文化）为情境载体，覆盖数列、函数与导数等核心知识，通过基础判断（如充要条件）、创新探究（如集合元素关系）等多梯度问题，考查数学抽象、逻辑推理与数学建模素养。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11题/58分|集合运算、数列性质、导数几何意义|第5题结合科技情境考查导数求最值，第11题以高斯函数体现数学文化| |填空题|3题/15分|等差数列性质、函数奇偶性与不等式|第14题集合创新题考查逻辑推理| |解答题|5题/77分|数列证明与求和、函数单调区间与方程根|第19题函数证明与数列不等式结合，第18题导数与方程根综合考查数学建模|

………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年高二数学下学期期末模拟卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：数列、函数与导数、集合、常用逻辑用语与不等式。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．若集合，，则（    ） A． B． C． D． 2．已知等差数列，则“”是“”成立的（    ）条件. A．充分不必要 B．必要不充分 C．充分必要 D．既不充分也不必要 3．已知曲线在处的切线方程是，则的值为（   ） A． B． C． D． 4．函数的图象大致为（    ） A． B． C． D． 5．在新型太空舱生命维持系统的储液罐设计中，采用一种胶囊形结构：中间部分为圆柱体，左、右两端均为半球形封头，圆柱底面半径和半球半径均为.已知储液罐外表面积为定值，当储液罐的体积取最大值时（    ） A． B． C． D． 6．已知等比数列的各项均为正数；是函数的两个极值点，则（   ） A．2026 B．2025 C．1014 D．1013 7．已知函数，当时，恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．若实数，，满足，则，，的大小关系不可能是（   ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列求导运算正确的有（ ） A． B． C． D． 10．已知正数满足，则（    ） A． B． C． D． 11．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的美称.函数称为高斯函数，其中表示不超过的最大整数.如：，函数，则（    ） A．最大值为1 B．不等式的解集为 C．若，则或 D．函数有2026个零点 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知数列，均为等差数列，若，，则________． 13．已知定义在上的奇函数满足，当时，，则的解集为___________． 14．设集合，若对于满足的任意k个元素的集合，都存在，使得，则k的最小值是______． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 已知数列满足. (1)求证：是等比数列，并求； (2)设，求数列的前项和． 16．（15分） 已知，函数. (1)若，求函数的表达式及定义域； (2)若关于的方程的解集中恰好只有一个元素，求实数的取值范围． 17．（15分） 已知是单调递增数列，记为数列的前n项和，且． (1)证明：是等差数列； (2)令，求． 18．（17分） 已知，，是自然对数的底数. (1)求函数的单调区间； (2)若关于的方程有两个不等实根，求的取值范围； (3)当时，若满足，求证：． 19．（17分） 已知函数． (1)证明：； (2)已知数列满足：，，．记． （i）证明：; （ii）是否存在小于的实数，使得对任意的正整数成立？若存在，求的取值范围；若不存在，请说明理由．（参考数据：） 试题 第3页（共4页） 试题 第4页（共4页） 试题 第1页（共4页） 试题 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高二数学下学期期末模拟卷 全解全析 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：数列、函数与导数、集合、常用逻辑用语与不等式。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．若集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为，所以,由， 所以，所以， 解不等式，可得，所以， 所以. 故选：B. 2．已知等差数列，则“”是“”成立的（    ）条件. A．充分不必要 B．必要不充分 C．充分必要 D．既不充分也不必要 【答案】A 【解析】当时，由等差数列下标和性质得显然成立，故充分性成立， 设等差数列首项为，公差为，当时，无论取何值，一定成立， 无法推出，可得必要性不成立， 则“”是“”成立的充分不必要条件. 故选：A. 3．已知曲线在处的切线方程是，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】直线的斜率为，由导数的几何意义可得， 因为点在直线上，则， 因此，. 故选：A. 4．函数的图象大致为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意，函数的定义域为， 因为，所以，所以是偶函数，排除C和D； 当时，，，令，则， 令，，所以在单调递增， 因为，所以由可得， 所以时，，所以在上单调递减，在上单调递增，所以B错误. 故选：A. 5．在新型太空舱生命维持系统的储液罐设计中，采用一种胶囊形结构：中间部分为圆柱体，左、右两端均为半球形封头，圆柱底面半径和半球半径均为.已知储液罐外表面积为定值，当储液罐的体积取最大值时（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设圆柱的高为，则储液罐的表面积为，所以， 则由得，储液罐的体积为， 所以，所以函数在定义域上单调递增， 所以时，取最大值. 故选：C. 6．已知等比数列的各项均为正数；是函数的两个极值点，则（   ） A．2026 B．2025 C．1014 D．1013 【答案】D 【解析】， 令，解得或， 所以函数的单调递增区间为和， 令，解得，所以函数的单调递减区间为， 因此是函数的两个极值点，因此， 故选：D. 7．已知函数，当时，恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】，则， ，即， 由，，则在上单调递增， 由，得， 根据函数单调性可得， ，，在上恒成立， 即，，解得. 故选：B. 8．若实数，，满足，则，，的大小关系不可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由可得， 与互为反函数，故其交点在直线上，且交点横坐标小于1， 而与交点的横坐标等于1， 从而，，在同一直角坐标系中的大致图象如图所示： 与的图像交点为,与的图像交点为, 且 当直线位于点的上方时，此时直线与三个函数的交点横坐标满足， 当直线位于点的上方，的下方时，此时直线与三个函数的交点横坐标满足， 当直线位于点的上方，的下方时，此时直线与三个函数的交点横坐标满足， 当直线位于点的下方时，此时直线与三个函数的交点横坐标满足， 故选：C. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列求导运算正确的有（ ） A． B． C． D． 【答案】BC 【解析】对于A，，A选项错误； 对于B，，B选项正确； 对于C，，C选项正确； 对于D，，D选项错误. 故选：BC. 10．已知正数满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【解析】， ，解得， 指数函数单调递增， ，即，故A正确； 由基本不等式得， 两边平方得，解得，当且仅当时等号成立，故B错误； ， ，当且仅当时取等号， ，故C正确； ，则， ， 由于函数的图象开口向上，对称轴， 故的最小值为，则，故D正确． 故选：ACD. 11．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的美称.函数称为高斯函数，其中表示不超过的最大整数.如：，函数，则（    ） A．最大值为1 B．不等式的解集为 C．若，则或 D．函数有2026个零点 【答案】BC 【解析】对于A，由高斯函数的定义可知，所以，即，所以无最大值，故A错误； 对于B，令，原不等式化为，解得， 又为整数，故或，所以，即不等式的解集为，故B正确； 对于C，令，则，故， 设，则，即，所以， 因为，所以，解不等式组得， 又，所以或1，对应的或，故C正确； 对于D，，则， 令，得，即，为整数， 所以设，则， 解不等式，得；解不等式，得， 所以不等式的解集为，所以的取值为，共2025个， 即函数有2025个零点，故D错误. 故选：BC. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知数列，均为等差数列，若，，则________． 【答案】 【解析】因为数列，均为等差数列，由等差数列的性质得数列也为等差数列， 所以为，的等差中项，所以， 所以． 故答案为：. 13．已知定义在上的奇函数满足，当时，，则的解集为___________． 【答案】 【解析】设，，则其导数， 而当时，所以，即在上为减函数， 又由，为定义在上的奇函数，则， 则， 所以在区间上，，在区间上，， 则在区间上，，在区间上，， 又由是定义在上的奇函数，则， 且在区间上，，在区间上，， 综合可得：不等式的解集为． 故答案为：. 14．设集合，若对于满足的任意k个元素的集合，都存在，使得，则k的最小值是______． 【答案】 【解析】根据题意，， 设集合，对于任意，，， 现计算此时的最大值， 要使最大，则数列的增长速度应该尽可能的慢，首先尽可能小， 所以，则应该是满足的最小整数，故， ， 则数列是首项为，公比为的等比数列， 所以，，即， 又且， 的最大值为，例如， 则k的最小值是． 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 已知数列满足. (1)求证：是等比数列，并求； (2)设，求数列的前项和. 15．（13分） 【解析】（1）由题意，得时，， 又，所以， 所以数列是以4为首项，公比为4的等比数列， 所以，所以. （2）因为，所以. 所以 . 16．（15分） 已知，函数. (1)若，求函数的表达式及定义域； (2)若关于的方程的解集中恰好只有一个元素，求实数的取值范围. 16．（15分） 【解析】（1），令， 则， 因为，所以， 又得，解得或， 则函数的定义域为. （2）由（1）得, 方程，即 可转化为，且 ①当即时，，符合题意； ②当即时，， （i）当时，符合题意； （ii）当时，且时，要满足题意，则有 或无解. 综上可得，的取值范围. 17．（15分） 已知是单调递增数列，记为数列的前n项和，且． (1)证明：是等差数列； (2)令，求． 17．（15分） 【解析】（1）令，得，所以； 由题意得， 所以当时，，即， 所以或 所以或. 因为数列是单调递增数列，所以当时，， 所以， 所以，，即是首项为，公差为的等差数列. （2）由（1）知，所以. 令， 则① 两边同乘以2，得② ②-①，得, 所以. 18．（17分） 已知，，是自然对数的底数. (1)求函数的单调区间； (2)若关于的方程有两个不等实根，求的取值范围； (3)当时，若满足，求证：. 18．（17分） 【解析】（1）函数的定义域为，求导得， 当时，恒有，则函数在上单调递增； 当时，由，得，由，得， 即函数在上单调递减，在上单调递增； 所以当时，函数的单调递增区间为，无单调递减区间； 当时，函数的单调递减区间为，单调递增区间为. （2）方程，即，当时，方程不成立，则； 令，依题意，方程有两个不等实根，即直线与的图象有两个交点， 求导得，当或时，，当时，， 所以函数在，上单调递减，在上单调递增， 而当时，，当时，，且当时，取得极小值， 作出函数，的大致图象，如图，    观察图象，当时，直线与函数的图象有两个交点， 所以的取值范围为. （3）当时，，求导得， 由（1）知，函数在上单调递减，在上单调递增； 由，且，得， 令函数，， 求导得， 则函数在上单调递增，有，于是， 而，因此，即， 又，， 函数在上单调递增，所以， 所以. 19．（17分） 已知函数． (1)证明：； (2)已知数列满足：，，．记． （i）证明：; （ii）是否存在小于的实数，使得对任意的正整数成立？若存在，求的取值范围；若不存在，请说明理由．（参考数据：） 19．（17分） 【解析】（1）， 设，，， 令，得，令，得， 在上单调递增，在上单调递减， ，，，. （2）（i）由题，， 故所证不等式等价于． 法一：设，，即证， ， 令，， 令，则， 在上单调递增，，， 存在使得，在上单调递减，在上单调递增． ，，，在上单调递减， ． 法二：所证不等式等价于， 设，，即证， ， 在上单调递增，． （ii）若存在使得，由（i）可得 ，其中， 累加可得， ，， 由得， 对固定的，当时，，，， 另一方面由（1）知， ， 但当充分大时，，矛盾， 故不存在小于的常数，使得对任意的正整数成立． / 学科网（北京）股份有限公司 $ 学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 2025-2026学年高二数学下学期期末模拟卷 答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 一、选择题（每小题5分，共40分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、选择题（全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，共18分） 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．____________________ 13．____________________ 14．____________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $■■■■ ■■■■ 2025-2026学年高二数学下学期期末模拟卷 答题卡 姓 名： 准考证号： 注意事项 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清 贴条形码区 楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用 n 0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答 题；字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出 巢 区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题 缺考 无效。 此栏考生禁填 4.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 标记 5.正确填涂■ 一、 选择题（每小题5分，共40分） 1[A][B][C][D] 5[A][B][C][D] 2[A]B][C][D] 6[A[B][C][D] 3[A][B][C][D] 7[A][B][C][D] 双阙 4[A][B][C][D] 8[A][B][C][D] 二、选择题（全部选对的得6分， 部分选对的得部分分，有选错的得0 分，共18分) 9[A][B][C][D] 10[A]B][C][D] 11[A][B][C]D] 三、填空题（每小题5分，共15分） 12 妇 13 14 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效： 数学第1页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15.(13分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第2页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16.(15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第3页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17.(15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第4页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18.(17分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第5页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19.(17分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第6页（共6页） 2025-2026学年高二数学下学期期末模拟卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：数列、函数与导数、集合、常用逻辑用语与不等式。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．若集合，，则（    ） A． B． C． D． 2．已知等差数列，则“”是“”成立的（    ）条件. A．充分不必要 B．必要不充分 C．充分必要 D．既不充分也不必要 3．已知曲线在处的切线方程是，则的值为（   ） A． B． C． D． 4．函数的图象大致为（    ） A． B． C． D． 5．在新型太空舱生命维持系统的储液罐设计中，采用一种胶囊形结构：中间部分为圆柱体，左、右两端均为半球形封头，圆柱底面半径和半球半径均为.已知储液罐外表面积为定值，当储液罐的体积取最大值时（    ） A． B． C． D． 6．已知等比数列的各项均为正数；是函数的两个极值点，则（   ） A．2026 B．2025 C．1014 D．1013 7．已知函数，当时，恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．若实数，，满足，则，，的大小关系不可能是（   ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列求导运算正确的有（ ） A． B． C． D． 10．已知正数满足，则（    ） A． B． C． D． 11．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的美称.函数称为高斯函数，其中表示不超过的最大整数.如：，函数，则（    ） A．最大值为1 B．不等式的解集为 C．若，则或 D．函数有2026个零点 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知数列，均为等差数列，若，，则________． 13．已知定义在上的奇函数满足，当时，，则的解集为___________． 14．设集合，若对于满足的任意k个元素的集合，都存在，使得，则k的最小值是______． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 已知数列满足. (1)求证：是等比数列，并求； (2)设，求数列的前项和． 16．（15分） 已知，函数. (1)若，求函数的表达式及定义域； (2)若关于的方程的解集中恰好只有一个元素，求实数的取值范围． 17．（15分） 已知是单调递增数列，记为数列的前n项和，且． (1)证明：是等差数列； (2)令，求． 18．（17分） 已知，，是自然对数的底数. (1)求函数的单调区间； (2)若关于的方程有两个不等实根，求的取值范围； (3)当时，若满足，求证：． 19．（17分） 已知函数． (1)证明：； (2)已知数列满足：，，．记． （i）证明：; （ii）是否存在小于的实数，使得对任意的正整数成立？若存在，求的取值范围；若不存在，请说明理由．（参考数据：） / 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高二数学下学期期末模拟卷 参考答案 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 B A A A C D B C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 10 11 BC ACD BC 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12． 13． 14． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 【解析】（1）由题意，得时，， 又，所以， 所以数列是以4为首项，公比为4的等比数列，（4分） 所以，所以.（6分） （2）因为，所以.（9分） 所以 .（13分） 16．（15分） 【解析】（1），令， 则，（3分） 因为，所以，（4分） 又得，解得或， 则函数的定义域为.（6分） （2）由（1）得, 方程，即 可转化为，且，（10分） ①当即时，，符合题意；（11分） ②当即时， （i）当时，符合题意；（12分） （ii）当时，且时，要满足题意，则有 或无解.（14分） 综上可得，的取值范围.（15分） 17．（15分） 【解析】（1）令，得，所以；（1分） 由题意得， 所以当时，，即， 所以或 所以或.（5分） 因为数列是单调递增数列，所以当时，， 所以， 所以，，即是首项为，公差为的等差数列.（7分） （2）由（1）知，所以.（8分） 令， 则① 两边同乘以2，得② ②-①，得, 所以.（15分） 18．（17分） 【解析】（1）函数的定义域为，求导得，（1分） 当时，恒有，则函数在上单调递增；（2分） 当时，由，得，由，得， 即函数在上单调递减，在上单调递增； 所以当时，函数的单调递增区间为，无单调递减区间； 当时，函数的单调递减区间为，单调递增区间为.（4分） （2）方程，即，当时，方程不成立，则； 令，依题意，方程有两个不等实根， 即直线与的图象有两个交点，（5分） 求导得，当或时，，当时，， 所以函数在，上单调递减，在上单调递增，（7分） 而当时，，当时，，且当时，取得极小值， 作出函数，的大致图象，如图，    观察图象，当时，直线与函数的图象有两个交点， 所以的取值范围为.（10分） （3）当时，，求导得， 由（1）知，函数在上单调递减，在上单调递增； 由，且，得， 令函数，，（13分） 求导得， 则函数在上单调递增，有，于是， 而，因此，即， 又，， 函数在上单调递增，所以， 所以.（17分） 19．（17分） 【解析】（1）， 设，，， 令，得，令，得， 在上单调递增，在上单调递减， ，，，.（4分） （2）（i）由题，， 故所证不等式等价于．（5分） 法一：设，，即证， ， 令，， 令，则， 在上单调递增，，， 存在使得，在上单调递减，在上单调递增． ，，，在上单调递减， ．（10分） 法二：所证不等式等价于，（5分） 设，，即证， ， 在上单调递增，．（10分） （ii）若存在使得，由（i）可得 ，其中， 累加可得， ，，（13分） 由得， 对固定的，当时，，，，（15分） 另一方面由（1）知， ， 但当充分大时，，矛盾， 故不存在小于的常数，使得对任意的正整数成立．（17分） 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $