专题04 因式分解（4大考点期末真题汇编，四川成都专用）八年级数学下学期北师大版

**基本信息** 成都多区期末校考汇编，聚焦因式分解四大高频考点，分层设题适配八年级期末复习 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |选择题|18题|含因式分解定义、提公因式法等4大考点|多区期末真题，基础概念辨析为主| |填空题|15题|涉及因式分解参数求解、公式逆用|结合代数变形，考查逆向思维| |解答题|20题|含提公因式法与公式法综合、分组分解法等|设置阅读材料题（如拆项补项法），融合推理与创新应用|

专题04 因式分解 4大高频考点概览 考点01因式分解 考点02提公因式法 考点03公式法 考点04 十字相乘法与分组分解法 ( 地 城 考点01 因式分解 )一、选择题 1．（24-25八年级下·四川成都青羊区·期末）下列各式属于因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A、，结果不是整式乘积的性质，不属于因式分解，是多项式乘多项式，本选项不符合题意； B、，结果不是整式乘积的形式，不属于因式分解，本选项不符合题意； C、，属于因式分解，本选项符合题意； D、，不属于因式分解，本选项不符合题意；故选：C． 2．（24-25八年级下·四川成都高新区·期末）下列各式从左到右的变形中，属于因式分解的是（） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】A．左边为单项式，右边是与的积，但分解对象应为多项式，不符合因式分解定义； B．左边是乘积形式，右边展开为，属于整式乘法而非因式分解； C．因为展开后，所以左边无法分解为，故不属于因式分解； D．左边是完全平方式，可分解为，符合因式分解的定义，故选D． 3．（24-25八年级下·四川成都锦江区·期末）下列从左到右的变形中，是因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A、，这个变形从左到右是整式乘法、不是因式分解，不符合题意； B、，这个变形的右边不是积的形式，不属于因式分解，不符合题意； C、，这个变形从左到右属于因式分解，符合题意； D、，式子左边不是多项式，不属于因式分解，不符合题意．故选：C． 4．（24-25八年级下·四川成都成华区嘉祥外国语学校·期末）下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A、是整式的乘法，不是因式分解，不符合题意； B、，因式分解错误，不符合题意； C、等式右边不是整式的积的形式，不是因式分解，不符合题意； D、是因式分解，符合题意；故选D． 5．（24-25八年级下·四川成都武侯区·校考期末）下列因式分解正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：,故A不符合题意； ，故B不符合题意； ，分解正确，故C符合题意； ，故D不符合题意；故选C 6．（24-25八年级下·四川成都高新区·校考期末）下列因式分解正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A、，选项错误，不符合题意； B、不能进行因式分解，选项错误，不符合题意； C、不能进行因式分解，选项错误，不符合题意； D、，选项正确，符合题意．故选：D． 7．（24-25八年级下·四川成都双流区·校考期末）把多项式分解因式，结果是，则a，b的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】∵，∴，∴，故选：D． 8．（24-25八年级下·四川成都实验外国语学校·校考期末）对于①，②，从左到右的变形，表述正确的是（   ） A．都是因式分解 B．都是乘法运算 C．①是因式分解，②是乘法运算 D．①是乘法运算，②是因式分解 【答案】C 【详解】解：①，从左到右的变形是因式分解； ，从左到右的变形是整式的乘法，不是因式分解； 所以①是因式分解，②是乘法运算．故选：C． 二、填空题 9．（24-25八年级下·四川成都邛崃市·期末）若是多项式的一个因式，则常数k的值为________． 【答案】 【详解】解：∵是多项式的一个因式， ∴由二次项和一次项可得另一个因式为， ∴，∴．故答案为：． 10．（24-25八年级下·四川成都实验外国语学校·校考期末）把多项式因式分解得(x+3)(x+2)，则m＝_____． 【答案】5 【详解】解：∵＝（x+3）（x+2）＝，∴m＝5，故答案为：5． 11．（24-25八年级下·四川成都郫都区·期末）若，则的值为______． 【答案】35 【详解】解：∵，∴， ∴，，∴，故答案为： ． 12．（24-25八年级下·四川成都彭州市·期末）若，则a的值为________． 【答案】7 【详解】解：，则，故答案为：7． 13．（24-25八年级下·四川成都天府石室中学·校考期末）已知二次三项式（k为常数）有一个因式是，则另一个因式为__________． 【答案】 【详解】解：设另一个因式为，得， 则，，解得，∴另一个因式为．故答案为：． 三、解答题 14．（23-24八年级下·四川成都大邑县·校考期末）仔细阅读下面例题，解答问题： 例已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及的值． 解：设另一个因式为，得 则，，解得：， 另一个因式为，的值为． 仿照以上方法解答下面问题： 已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及的值． 【答案】另一个因式为，的值为 【详解】解：设另一个因式为，则． ，． ．由，，．把代入，，． 另一个因式为，的值为． ( 地 城 考点02 提公因式法 ) 一、选择题 1．（24-25八年级下·四川成都郫都区·校考期末）若，，则的值为（   ） A．4 B．8 C．12 D．16 【答案】B 【详解】解：，故选：B． 2．（24-25八年级下·四川成都龙泉驿区·期末）已知长方形的长和宽分别是a，b，周长是20，面积是15．则的值是（　　） A．35 B．150 C．300 D．600 【答案】B 【详解】解：∵长方形周长为20， ∴，∴． ∵长方形的面积为15， ∴， ∴． 故选：B． 3．（24-25八年级下·四川成都邛崃市·校考期末）用提公因式法分解因式2x2﹣x时，应提取的公因式是（　　） A．x B．2x C．x2 D．2 【答案】A 【详解】解：用提公因式法分解因式时，应提取的公因式是，故选：A． 4．（24-25八年级下·四川成都武侯区·校考期末）把多项式a3b4﹣abnc因式分解时，提取的公因式是ab4，则n的值可能为（　　） A．5 B．3 C．2 D．1 【答案】A 【详解】解：∵多项式的公因式是各项的数字因式的最大公约数与同底数幂的最低次幂的乘积，∴n≥4． 又∵5＞4，∴A符合题意，B、C、D不合题意．故选：A． 5．（24-25八年级下·四川成都浦江县·校考期末）多项式中，各项的公因式是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：由题意可得：系数的公因式为4，字母a的公因式为，字母b的公因式为b，, 字母c无公因式，所以各项的公因式是．故选：C． 二、填空题 6．（24-25八年级下·四川成都金堂县·校考期末）因式分解：__________． 【答案】 【详解】解：；故答案为： 7．（24-25八年级下·四川成都金牛区·校考期末）已知，，则______． 【答案】6 【详解】解：，，．故答案为：6． 8．（24-25八年级下·四川成都青白江区·校考期末）分解因式：______． 【答案】 【详解】故答案为： 9．（24-25八年级下·四川成都锦江区七中育才学校·校考期末）若，则括号内应填的代数式是_______． 【答案】3m-2 【详解】∵，∴括号内的代数式为3m-2，故答案为：3m-2． 10．（24-25八年级下·四川成都金牛区·校考期末）请你写出一个二次三项式A，使得多项式能因式分解，那么，这个整式A可以是____________． 【答案】（答案不唯一） 【详解】解：这个整式可以是：（答案不唯一）． 故答案为：（答案不唯一）． 三、解答题 11．（24-25八年级下·四川成都武侯区·期末）因式分解 (1)；(2)． 【答案】(1)；(2)． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 12．（24-25八年级下·四川成都高新区·期末）因式分解： (1)；(2)． 【答案】(1)(2) 【详解】（1）解： （2）解： 13．（24-25八年级下·四川成都郫都区·期末）（1）若，求的值； （2）分解因式：． 【答案】（1）8；（2） 【详解】解：（1）∵， ∴； （2）原式. 14．（24-25八年级下·四川成都温江区·期末）（1）分解因式：； （2）解不等式组：． 【答案】（1）；（2） 【详解】解：（1） ； （2） 解不等式①得，， 解不等式②得，， 所以不等式组的解集为． 15．（24-25八年级下·四川成都邛崃市·期末）（1）因式分解：；（2）解方程：． 【答案】（1）（2） 【详解】（1） （2）将方程变形为； 然后，合并左边的分式，得到； 两边同乘去分母，得； 展开并整理可得，解得； 检验：当时，，所以是原方程的解．∴原方程的解是． ( 地 城 考点0 3 公式法 ) 一、选择题 1．（24-25八年级下·四川成都郫都区·期末）下列多项式中不能用平方差公式分解因式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A．，能利用平方差公式分解因式，故本选项不符合题意． B．，不能利用平方差公式分解因式，故本选项符合题意． C．，能利用平方差公式分解因式，故本选项不符合题意． D．，能利用平方差公式分解因式，故本选项不符合题意．故选B． 2．（24-25八年级下·四川成都成华区·期末）如果，那么的值为（   ） A．0 B．1 C．3 D．9 【答案】D 【详解】解：， 当时，原式，故选：D． 3．（24-25八年级下·四川成都锦江区·校考期末）若k为任意整数，则的值总能（   ） A．被2整除 B．被3整除 C．被5整除 D．被7整除 【答案】C 【详解】解：， ∵为任意整数，∴是整数，∴的值总能被5整除，故选：C． 二、填空题 4．（24-25八年级下·四川成都武侯区·期末）已知点在直线上，则代数式的值为__________． 【答案】 【详解】解：∵点在直线上，∴，∴即， ∴，故答案为：． 5．（24-25八年级下·四川成都青羊区·校考期末）已知，，则______． 【答案】6 【详解】解：∵，， ∴故答案为：6 6．（24-25八年级下·四川成都四川大学附属中学新城分校·期中）把因式分解的结果是________． 【答案】 【详解】解：．故答案为：． 7．（24-25八年级下·四川成都天府新区·期末）若，，则______． 【答案】8 【详解】解：，. ，故答案为：8. 8．（24-25八年级下·四川成都邛崃市·校考期末）已知可以被21和30之间的某两个数整除，则这两个数为______． 【答案】28和26 【详解】解：， 可以被28和26两个数整除，故答案为：28和26． 9．（24-25八年级下·四川成都金堂县·校考期末）若，则______． 【答案】10000 【详解】解：， ．故答案为：10000． 三、解答题 10．（24-25八年级下·四川成都青白江区·校考期末）因式分解：(1)；(2)． 【答案】(1)；(2)． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 11．（24-25八年级下·四川成都武侯区·校考期末）因式分解(1) (2) 【答案】(1)；(2)． 【详解】（1）解： ； （2）解： 12．（24-25八年级下·四川成都浦江县·校考期末）分解因式：(1) (2) 【答案】(1)(2) 【详解】（1）解：原式． （2）解：原式， ． 13．（24-25八年级下·四川成都青羊区·期末）观察下列各式：；；，不难发现规律：比任意一个偶数大3的数与此偶数的平方差能被3整除． (1)的结果是3的_____倍；(2)设偶数为，请证明：比大5的数与的平方差能被5整除． 【答案】(1)(2)见详解 【详解】（1）解：由题意得，故答案为：； （2）证明：， 能被5整除，能被5整除，故：比大5的数与的平方差能被5整除． 14．（24-25八年级下·四川成都金苹果锦城第一中学·期末）先阅读下列材料，再解答下列问题： 材料：． 解：将“”看成整体，令，则原式； 再将“A”还原，得：原式． 上述解题用到的是“整体思想”，整体思想是数学解题中常用的一种思想方法，请你解下列问题： (1)类比应用，求______； (2)若n为正整数，判断式子的值是否是某一个整数的平方，并说明理由． 【答案】(1) (2)式子的值是某一个整数的平方，理由见详解 【详解】（1）解：将“”看成整体，令，则原式， 再将“”还原，得：原式，故答案为：； （2）证明：式子的值是某一个整数的平方， 理由如下：， 令，则上式， ∵为正整数，∴是整数，∴式子的值是某一个整数的平方． 15．（24-25八年级下·四川成都简阳市·校考期末）阅读材料：我们把多项式及叫做完全平方式，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法，配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式的最大值、最小值等． 例1：因式分解：． 例2：求代数式的最小值．由，可知当时，有最小值，最小值是． 根据阅读材料用配方法解决下列问题： (1)因式分解：_____； (2)若满足，求的值； (3)当为何值时，多项式有最小值，并求出这个最小值． 【答案】(1)(2)(3)，最小值为16 【详解】（1）解：； （2）解：∵， ∴， ∴，，，． （3）解：∵ ， 又∵，， ∴当，原式有最小值，即时，有最小值为16． ( 地 城 考点0 4 十字相乘法与分组分解法 ) 一、填空题 1．（24-25八年级下·四川成都金牛区·期末）已知，，则代数式的值是______． 【答案】 【详解】解：， 已知，将其代入可得：原式．故答案为：． 2．（24-25八年级下·四川成都七中育才学校·校考期末）因式分解是中学数学中最重要的恒等变形之一，是解决许多数学问题的有力工具，七中育才帅虎同学设计了一种“因式分解密码”：对多项式进行因式分解得到，若取，则2→2，x→12，y→7，→14，可得密码为，对于代数式，若取，可能得到的密码是 ___________．（写出满足条件的一个答案即可） 【答案】（答案不唯一） 【详解】解： 当时，即3→3，a→15，→3，→11， 可得密码为：．故答案为：（答案不唯一） 3．（24-25八年级下·四川成都郫都区西川汇锦都学校·期末）因式分解：______． 【答案】 【详解】解：，故答案为：． 4．（24-25八年级下·四川成都北京第二外国语学院成都附属中学·期末）已知，，则代数式的值为______． 【答案】 【详解】解：∵，，∴两式相加可得， ∵， ∴.，故答案为：． 5．（24-25八年级下·四川成都崇州市·校考期末）因式分解时，甲看错了m的值，分解的结果是，乙看错了n的值，分解的结果是．则分解因式的正确结果 ． 【答案】 【详解】解：甲分解结果，甲看错，故； 乙分解结果，乙看错，故． 则原式为，分解为． 6．（24-25八年级下·四川成都温江区·校考期末）因式分解：= 【答案】 【详解】解：原式，． 三、解答题 7．（24-25八年级下·四川成都龙泉驿区·校考期末）义务教育数学课程标准（年版）关于运算能力的解释为：运算能力主要是指根据法则和运算律进行正确运算的能力．因此，我们面对没有学过的数学题时，方法可以创新，但在创新中要遵循法则和运算律，才能正确解答，下面介绍一种分解因式的新方法拆项补项法：把多项式的某一项拆开或填补上互为相反数的两项（或几项），使原式适合于已学过的方法进行分解． 例题：用拆项补项法分解因式． 解：添加两项． 原式 请你结合自己的思考和理解完成下列各题： (1)分解因式：；(2)分解因式：；(3)分解因式：． 【答案】(1)(2)(3) 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 8．（24-25八年级下·四川成都邛崃市·校考期末）常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法，但还有其他多项式只用上述方法无法分解，如，观察这个式子就会发现：前两项符合平方差公式，后两项可提取公因式，前后两部分分别分解因式后会产生公因式，然后提取公因式就可以完成整个式子的分解因式了．过程为：，这种分解因式的方法叫分组分解法．利用这种方法解决下列问题． (1)分解因式：；(2)已知，，分别为的三条边，求证：． 【答案】(1)(2)见解析 【详解】（1）解：； （2）解：， 因为a，b，c为的三边，所以，， 因此，即． 9．（24-25八年级下·四川成都金堂县·校考期末）阅读下列材料：分解因式的常用方法有提取公因式法、公式法，但有部分项数多于3的多项式只单纯用上述方法就无法分解，如，我们细心观察这个式子就会发现，前三项符合完全平方公式，进行变形后可以与第四项结合再运用平方差公式进行分解．过程如下：，这种分解因式的方法叫分组分解法．利用这种分组的思想方法解决问题：（1）分解因式：． （2）已知，，为的三边，且，试判断的形状，并说明理由． 【答案】（1）；（2）等腰三角形，见解析 【详解】解：（1）原式． （2）是等腰三角形． 理由：，， ，． ∵，∴，即，∴是等腰三角形． 10．（24-25八年级下·四川成都新津区·校考期末）阅读材料：常用的分解因式方法有提公因式、公式法等，但有的多项式只有上述方法就无法分解，如，细心观察这个式子会发现，前两项符合平方差公式，后两项可提取公因式，前后两部分分别分解因式后会产生公因式，然后提取公因式就可以完成整个式子的分解因式，过程为： 这种分解因式的方法叫分组分解法，利用这种方法解决下列问题： （1）分解因式： （2）的三边满足，判断的形状． 【答案】（1）；（2）等腰三角形 【详解】解：（1） ； （2），， ，， 是三角的三边，，，得，是等腰三角形． 11．（24-25八年级下·四川成都简阳市·校考期末）【教材呈现】人教版八年级上册数学教材121页有“阅读与思考”：根据多项式的乘法法则，可知． 那么，反过来，也有 这就是将某些二次项系数是1的二次三项式进行的分解因式． 例如，因式分解．这个式子的二次项系数是1，常数项，一次项系数，符合类型，于是有这个过程，也可以用十字相乘的形式形象地表示：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角；再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角；然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数． 这样，我们也可以得到． 利用上面的方法，可以直接将某些二次项系数为1的二次三项式分解因式： （1）分解因式：① ；② ； 【知识应用】（2）请用上述方法，因式分解：； 【拓展提升】（3）因式分解：． 【答案】（1）①；②；（2）；（3） 【详解】解：（1）依题意，①； ②；故答案为：①；②； （2）依题意，； （3）依题意， ． 12．（23-24八年级下·四川成都浦江县·校考期末）【阅读思考】 材料1：整式乘法与因式分解是相反的变形，如是整式乘法，反过来为，恰好是因式分解．基于上述原理，将式子分解因式如下： 一次项，①分解二次项和常数项；②交叉相乘再相加验证一次项；③横向写出两因式：． 材料2：分解因式： 解：将“”看成一个整体，令， 则原式，再将“K”还原，得：原式． 请仔细阅读材料，回答下列问题： 【迁移运用】(1)利用上述的十字相乘法，将下列多项式分解因式：_______________ (2)结合材料1和材料2，完成下面小题： ①分解因式：；②分解因式：． 【答案】(1)；(2)①；② 【详解】（1）解： 中，常数项，一次项系数， ． （2）①解：令，则原式 将还原，得 原式． ②解：令，则原式 将还原，得：原式 又 ，， 原式． 13．（24-25八年级下·四川成都青白江区·校考期末）【阅读理解】 以上分解因式的方法称为分组分解法，分组的方式可以任意两项组合成一组，也可以是其中若干项分成一组． 【问题解决】(1)分解因式：；(2)的三边，，满足，判断的形状． 【答案】(1)(2)是等腰三角形 【详解】（1）解：； （2）∵，∴， ∴，∴， ∵，，是的三边，∴， ∴，即，∴是等腰三角形． 14．（24-25八年级下·四川成都都江堰市·校考期末）【阅读材料】：将四项及四项以上的多项式进行因式分解，我们一般使用分组分解去，对于四项多项式的分组分解法有两种分法：一是“”分组，二是“”分组．两种分组的主要区别在于多项式中是否存在三项可以构成完全平方，若可以构成完全平方，则采用“”分组；若无法构成，则采用“”分组． 例如： 像这种将一个多项式适当分组后，再分解因式的方法叫做分组分解法． 【学以致用】：因式分解：（1）；（2）． 【拓展延伸】：对于四项以上的多项式，我们可以据其特征适当地将某一项拆成两项，再进行分组，进而因式分解来解决问题，请你利用这样的思路试一试． ①已知为等腰的三边长，且满足，求等腰的面积； ②如图，长方形ABCD，已知，其中，且，求长方形ABCD的边AD，AB的长度．（，用含的式子表示） 【答案】学以致用：（1）；（2）；拓展延伸：①48或；② 【详解】解：学以致用： （1）． （2） 拓展延伸：① ； ；； 等腰的三边为或 ，， 等腰的面积为48或． ② 且；； ；． 15．（23-24八年级下·四川成都双流区·校考期末）我们已经学过多项式因式分解的方法有提公因式法和公式法，其实因式分解的方法还有分组分解法、拆项法等． ①分组分解法：将一个多项式适当分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法叫做分组分解法： 例如：． ②拆项法：将一个多项式的某一项拆成两项后，可提公因式或运用公式继续分解的方法叫做拆项法．例如：． (1)仿照以上方法，按照要求因式分解：①分组分解法：_________ ②拆项法（写出计算过程）：；(2)应用：若，求a、b、c的值． 【答案】(1)①，；②；(2) 【详解】（1）解：①； ②； （2）解：由得：， 即，∴ ，∴． 2 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题04 因式分解 ☆4大高频考点概览 考点01因式分解 考点02提公因式法 考点03公式法 考点04十字相乘法与分组分解法 目目 考点01 因式分解 选择题 2 3 4 5 6 8 C D C D D D C 二、填空题 9.【答案】-6 10.【答案】5 11.【答案】35 12.【答案】7 13.【答案】(2x-5) 三、解答题 14.【答案】另一个因式为(x+4),k的值为20 【详解】解：设另一个因式为(x+a,则2x2+3x-k=(2x-5)(x+a): :(2x-5)(x+a=2x2+2a-5)x-5a,.2x2+3x-k=2x2+(2a-5)x-5a. [2a-5=3 由2a-5=3,2a=8,a=4.把a=4代入-k=-5a,-k=-20,k=20 -k=-5a 另一个因式为x+4,k的值为20. 目目 考点02 提公因式法 一、 选择题 1/9 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 2 3 4 5 B B A 二、填空题 6.【答案】m(m-4 7.【答案】6 8.【答案】7x2(x-3】 9.【答案】3m-2 10.【答案】y(答案不唯一) 三、解答题 11. 【答案】(1)2a(x+2(x-2)；(2)4(x-1)2. 【详解】(1)解：2ar2-8a =2ax2-4 =2ax+2)(x-2: (2)解：4xx-2)+4 =4x2-8x+4 =4x2-2x+1 =4x-1)2. 12.【答案】(1)y-1)(x-1(2)y(2x+y)2 【详解】(1)解：x(y-1-(y-1) =(y-1x-1 (2)解：4xy2+4x2y+y =y(4y+4x2+y2） =x(2x+y)2 2/9 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 13.【答案】(1)8；(2)a(m-3)2 【详解】解：(1)：a-b=4,ab=2, .a2b-ab2=ab(a-b)=4×2=8; (2)原式=a(m2-6m+9)=a(m-3) 14.【答案】(1)-2xyx+y);(2)-1<x≤3 【详解】解：(1)x(x+y)(x-y)-x(x+y)2 =x(x+y)[x-y-(x+y)] =x(x+y)(x-y-x-y) =-2xy(x+y): 2x+1>x① (2) x+5 -x≥1② 2 解不等式①得，x>-1, 解不等式②得，x≤3， 所以不等式组的解集为-1<x≤3， 15.【答案】(1)2x(x+6y-4)(2)x=1 【详解】(1)2x2+12xy-8x=2x(x+6y-4) (2)将方程变形为，x。-5 2x-32r-34: 然后，合并左边的分式、得乳4： 两边同乘2x-3去分母，得x-5=4(2x-3): 展开并整理可得7x=7,解得x=1; 检验：当x=1时，2x-3=-1≠0，所以x=1是原方程的解.原方程的解是x=1. 目目 考点03 公式法 选择题 2 3 3/9 命学科网 www.zx×k.com 让教与学更高效 D C 二、填空题 4.【答案】16 5.【答案】6 6.【答案】aa-1)(a+1 7.【答案】8 8.【答案】28和26 9.【答案】10000 三、解答题 10.【答案】(1)aba+1)(a-1);(2)(a-b)2(a+b) 【详解】(1)解：ab-ab =ab(a2-1) =aba+1)(a-1); (2)解：a2(a-b)+b2(b-a) =a2(a-b)-b2(a-b) =(a-b(a2-b2) =(a-b)2(a+b). 11.【答案】(1)(x+2)2;(2)y(x-2)x+2)(x2+4 【详解】(1)解：xx+4)+4 =x2+4x+4 =(x+2)2: (2)解：x4y-16y =y(x4-16j =yx2-4)x2+4) 4/9 丽学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 =y(x-2)(x+2)(x2+4 12.【答案】()(m+3n(m-3m)(2)3a(x-y) 【详解】(1)解：原式=(m+3n)(m-3n. (2)解：原式=3ax2-2xy+y2), =3ax-y)2. 13.【答案】(1)19(2)见详解 【详解】(1)解：由题意得(8+3)2-82=19×3，故答案为：19： (2)证明：(2n+5)2-(2m)=(2n+5+2n)(2n+5-2n)=54n+5), :5(4n+5)能被5整除，：(2n+5)2-(2n2能被5整除，故：比2n大5的数与2n的平方差能被5整除. 14.【答案】(1)(x-y+3)2(2)式子(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)+1的值是某一个整数的平方，理由见详解 【详解】(1)解：将“x-y”看成整体，令x-y=A,则原式=9+6A+A2=(A+3)2, 再将“A”还原，得：原式=(x-y+3)2,故答案为：(x-y+3)2; (2)证明：式子(n+)(n+2)(n+3)n+4)+1的值是某一个整数的平方， 理由如下：(n+10(n+2)(n+3)(n+4)+1=(n+1)(n+4)(n+3)(n+2)+1=(n2+5n+4)n2+5n+6)+1, 令n2+5n=A,则上式=(A+4)(A+6)+1=A2+10A+25=(4+5》2=(n2+5n+5}, :n为正整数，n2+5n+5是整数，.式子(n+1)(n+2)(n+3)n+4)+1的值是某一个整数的平方. 15.【答案】(1)m-8(m+2)(2)b=9(3)x=1,y=3,最小值为16 【详解】(1)解：m2-6m-16=m2-6m+9-9-16=(m-32-25=(m-3-5)(m-3+5=(m-8)(m+2); (2)解：：a2+b2-4a+6b+13=0, .a2-4a+4+b2+6b+9=0, (a-2)2+(b+32=0,a=2,b=-3,b°=(-3)2=9 (3)解：：x2-2xy+2y2+4x-10y+29=x2-2xy+y2+y2-6y+9+4x-4y+20 =(x-y)2+4x-y)+4+(y-32+16=(x-y+2}2+(y-3)2+16, 5/9 丽学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 又：(x-y+2≥0，(y-3)2≥0， :.当x-y+2=0,y-3=0,原式有最小值，即x=1,y=3时，有最小值为16. 目目 考点04 十字相乘法与分组分解法 一、 填空题 1.【答案】-3 2.【答案】315311（答案不唯一） 3.【答案】x-3)(x-6) 4.【答案】-3 5.【答案】x+2(x+7） 6.【答案】(a+4)(a-1)(a2+3a-5 二、解答题 7.【答案】(1)(x-1(x2+x+10)(2(x-1(x-3(x+2)(3)x+2)x3+3x2-5x-10) 【详解】(1)解：x3+9x-10=x3-x+10x-10=xx2-1+10(x-1 =x(x+1(x-1+10(x-1=(x-1)(x2+x+10): (2)解：x2-2x2-5x+6=x3-2x2+x-6x+6=x(x2-2x+1-6x-1) =x(x-1)2-6x-1=(x-1)(x2-x-6)=(x-1(x-3)(x+2): (3)解：x4+5x23+x2-20x-20=x4+2x3+3x3+6x2-5x2-10x-10x-20 =x3(x+2+3x2(x+2-5x(x+2-10(x+2=(x+2)(x3+3x2-5x-10). 8.【答案】(1)(x-3y)x+3y-2)(2)见解析 【详解】(1)：x2-9y2-2x+6y=(x+3y)x-3y)-2(x-3y)=(x-3y)x+3y-2)； (2)解：b2+c2-d2-2bc=b2+c2-2bc-a2=(b-c)-a2=(b-c+ab-c-a), 因为a,b,c为△ABC的三边，所以b+a-c>0,b-a-c<0, 因此(b-c+a)川b-c-a)<0,即b2+c2-a2-2bc<0. 6/9 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 9.【答案】(1)(x+y+z(x-y);(2)等腰三角形，见解析 【详解】解：(1)原式=(x+y)(x-y)+zx-y)=（x+y+z(x-y). (2)ABC是等腰三角形. 理由：b2+2ab=c2+2ac,b2-c2+2ab-2ac=0, (b+c)(b-c)+2a(b-c)=0,(2a+b+c)(b-c)=0. :2a+b+c≠0，.b-c=0,即b=c,.ABC是等腰三角形. 10.【答案】(1)(x-3y(x-3y-3);(2)等腰三角形 【详解】解：(1)x2-6xy+9y2-3x+9y=(x2-6xy+9y2)-(3x-9y) =(x-3y)2-3(x-3y)=(x-3y)x-3y-3): (2)a2-b2-ac+bc=0,(a2-b2)-(ac-bc)=0, ∴.(a+b)(a-b)-c(a-b)=0,∴.(a-b)[(a+b)-c]=0, a,b,c是三角△ABC的三边，.(a+b)-c>0,a-b=0,得a=b,△ABC是等腰三角形. 11. 【答案】(1)①(x-8)(x+3；②(x+2y)(x+6y);(2)（x2+x+1(x-1(x+2);(3) (x+y)(xy+x-4y) 【详解】解：(1)依题意，①x2-5x-24=(x-8)(x+3); ②x2+8y+12y=(x+2y)(x+6y);故答案为：①(x-8)x+3);②(x+2y)a+6y); (2)依题意，(x2+x)2-(x2+x)-2=(x2+x+1)(x2+x-2)=(x2+x+1)x-10(x+2); (3)依题意，x2y+x2-3xy+xy2-4y2=(x2y+xy2)+(2-3xy-4y2) =xy(x+y)+(x+y)(x-4y)=(x+y)(xy+x-4y). 12.【答案】(1)x-4)(x-5);(2)①x-y+3)(x-y+1);②(m+1)2(m-1)(m+3 【详解】(1)解：：x2-9x+20中，常数项20=(-4)×(-5)，一次项系数-9=(-4)+(-5)， :x2-9x+20=(x-4)(x-5). (2)①解：令K=x-y,则原式=K2+4K+3=(K+3)K+1) 将K=x-y还原，得原式=(x-y+3)x-y+). ②解：令B=m2+2m,则原式=B(B-2)-3=B2-2B-3=(B+1)(B-3) 7/9 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 将B=m2+2m还原，得：原式=(m2+2m+1)(m2+2m-3) 又：m2+2m+1=(m+1)2,m2+2m-3=(m-1)(m+3),:原式=(m+1)2(m-1)(m+3). 13.【答案】()x-2+y)(x-2-y)(2)ABC是等腰三角形 【详解】(1)解：x2-y2-4x+4=(x2-4x+4)-y2=(x-22-y2=(x-2+y(x-2-y: (2):a2-2bc-c2+2ab=0,a2-c2）+(2ab-2bc)=0, .(a+c(a-c+2ba-c=0,(a-c(a+c+2b=0, :a,b,c是ABC的三边，a+c+2b≠0， .a-c=0,即a=C,.ABC是等腰三角形. 14.【答案】学以致用：(1)(p-9)(m-n);(2)(9+2x-3y)(9-2x+3y);拓展延伸：①48或5√19； ②AD=x+y,AB=x-2y 【详解】解：学以致用： (1)mp+ng-mq-np=(mp-mg)+(nq-np)=m(p-q)-n(p-q)=(p-q)(m-n). (2)81-4x2+12xy-9y2=81-4x2-12xy+9y2）=81-(2x-3y)2=(9+2x-3y)(9-2x+3y) 拓展延伸：①a2+b2=20a+24b-244 a2-20a+100+(b2-24b+144=0;(a-10)2+(b-12)2=0 (a-10)220,(b-12)2≥0；.a-10=0,b-12=0;∴.a=10,b=12 :等腰ABC的三边为10,10,12或10,12,12 5ac-12x0-6-48,5we-10x2-S=5m, 2 2 等腰ABC的面积为48或5√119. ②x2-y-2y2=x2+2xy-3xy+y2-3y2=x2+2xy+y2-3xy-3y2=(x+y)2-3y(x+y)=(x+y)x-2y) x>2y且y>0;.x-2y>0;(x+y)-x-2y)=x+y-x+2y=3y>0 ..x+y>x-2y;..AD=x+y,AB=x-2y. 15.【答案】(1)①x+3,(x+y+3)(x-y+3);②x-2)x-6)；(2)a=3,b=5,c=4 【详解】(1)解：①x2+6.x+9-y2=x2+6x+9-y2=(x+3)2-y2=(x+y+3)(x-y+3): 8/9 丽学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ②x2-8x+12=x2-8x+16-4=(x-4)-4=(x-4+2)x-4-2)=(x-2)x-6); (2)解：由a2+b2+c2-6a=10b+8c-50得：a2-6a+9+b2-10b+25+c2-8c+16=0, 即(a-3)2+(b-5)2+(c-4)2=0,.a-3=0,b-5=0,c-4=0,.a=3,b=5,c=4. 9/9 专题04 因式分解 4大高频考点概览 考点01因式分解 考点02提公因式法 考点03公式法 考点04 十字相乘法与分组分解法 ( 地 城 考点01 因式分解 )一、选择题 1．（24-25八年级下·四川成都青羊区·期末）下列各式属于因式分解的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·四川成都高新区·期末）下列各式从左到右的变形中，属于因式分解的是（） A． B． C． D． 3．（24-25八年级下·四川成都锦江区·期末）下列从左到右的变形中，是因式分解的是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级下·四川成都成华区嘉祥外国语学校·期末）下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（   ） A． B． C． D． 5．（24-25八年级下·四川成都武侯区·校考期末）下列因式分解正确的是（　　） A． B． C． D． 6．（24-25八年级下·四川成都高新区·校考期末）下列因式分解正确的是（   ） A． B． C． D． 7．（24-25八年级下·四川成都双流区·校考期末）把多项式分解因式，结果是，则a，b的值为（   ） A． B． C． D． 8．（24-25八年级下·四川成都实验外国语学校·校考期末）对于①，②，从左到右的变形，表述正确的是（   ） A．都是因式分解 B．都是乘法运算 C．①是因式分解，②是乘法运算 D．①是乘法运算，②是因式分解 二、填空题 9．（24-25八年级下·四川成都邛崃市·期末）若是多项式的一个因式，则常数k的值为________． 10．（24-25八年级下·四川成都实验外国语学校·校考期末）把多项式因式分解得(x+3)(x+2)，则m＝_____． 11．（24-25八年级下·四川成都郫都区·期末）若，则的值为______． 12．（24-25八年级下·四川成都彭州市·期末）若，则a的值为________． 13．（24-25八年级下·四川成都天府石室中学·校考期末）已知二次三项式（k为常数）有一个因式是，则另一个因式为__________． 三、解答题 14．（23-24八年级下·四川成都大邑县·校考期末）仔细阅读下面例题，解答问题： 例已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及的值． 解：设另一个因式为，得 则，，解得：， 另一个因式为，的值为． 仿照以上方法解答下面问题： 已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及的值． ( 地 城 考点02 提公因式法 )一、选择题 1．（24-25八年级下·四川成都郫都区·校考期末）若，，则的值为（   ） A．4 B．8 C．12 D．16 2．（24-25八年级下·四川成都龙泉驿区·期末）已知长方形的长和宽分别是a，b，周长是20，面积是15．则的值是（　　） A．35 B．150 C．300 D．600 3．（24-25八年级下·四川成都邛崃市·校考期末）用提公因式法分解因式2x2﹣x时，应提取的公因式是（　　） A．x B．2x C．x2 D．2 4．（24-25八年级下·四川成都武侯区·校考期末）把多项式a3b4﹣abnc因式分解时，提取的公因式是ab4，则n的值可能为（　　） A．5 B．3 C．2 D．1 5．（24-25八年级下·四川成都浦江县·校考期末）多项式中，各项的公因式是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 6．（24-25八年级下·四川成都金堂县·校考期末）因式分解：__________． 7．（24-25八年级下·四川成都金牛区·校考期末）已知，，则______． 8．（24-25八年级下·四川成都青白江区·校考期末）分解因式：______． 9．（24-25八年级下·四川成都锦江区七中育才学校·校考期末）若，则括号内应填的代数式是_______． 10．（24-25八年级下·四川成都金牛区·校考期末）请你写出一个二次三项式A，使得多项式能因式分解，那么，这个整式A可以是____________． 三、解答题 11．（24-25八年级下·四川成都武侯区·期末）因式分解(1)；(2)． 12．（24-25八年级下·四川成都高新区·期末）因式分解：(1)；(2)． 13．（24-25八年级下·四川成都郫都区·期末）（1）若，求的值； （2）分解因式：． 14．（24-25八年级下·四川成都温江区·期末）（1）分解因式：； （2）解不等式组：． 15．（24-25八年级下·四川成都邛崃市·期末）（1）因式分解：；（2）解方程：． ( 地 城 考点0 3 公式法 )一、选择题 1．（24-25八年级下·四川成都郫都区·期末）下列多项式中不能用平方差公式分解因式的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·四川成都成华区·期末）如果，那么的值为（   ） A．0 B．1 C．3 D．9 3．（24-25八年级下·四川成都锦江区·校考期末）若k为任意整数，则的值总能（   ） A．被2整除 B．被3整除 C．被5整除 D．被7整除 二、填空题 4．（24-25八年级下·四川成都武侯区·期末）已知点在直线上，则代数式的值为__________． 5．（24-25八年级下·四川成都青羊区·校考期末）已知，，则______． 6．（24-25八年级下·四川成都四川大学附属中学新城分校·期中）把因式分解的结果是________． 7．（24-25八年级下·四川成都天府新区·期末）若，，则______． 8．（24-25八年级下·四川成都邛崃市·校考期末）已知可以被21和30之间的某两个数整除，则这两个数为______． 9．（24-25八年级下·四川成都金堂县·校考期末）若，则______． 三、解答题 10．（24-25八年级下·四川成都青白江区·校考期末）因式分解：(1)；(2)． 11．（24-25八年级下·四川成都武侯区·校考期末）因式分解(1) (2) 12．（24-25八年级下·四川成都浦江县·校考期末）分解因式：(1) (2) 13．（24-25八年级下·四川成都青羊区·期末）观察下列各式：；；，不难发现规律：比任意一个偶数大3的数与此偶数的平方差能被3整除． (1)的结果是3的_____倍；(2)设偶数为，请证明：比大5的数与的平方差能被5整除． 14．（24-25八年级下·四川成都金苹果锦城第一中学·期末）先阅读下列材料，再解答下列问题： 材料：． 解：将“”看成整体，令，则原式； 再将“A”还原，得：原式． 上述解题用到的是“整体思想”，整体思想是数学解题中常用的一种思想方法，请你解下列问题： (1)类比应用，求______； (2)若n为正整数，判断式子的值是否是某一个整数的平方，并说明理由． 15．（24-25八年级下·四川成都简阳市·校考期末）阅读材料：我们把多项式及叫做完全平方式，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法，配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式的最大值、最小值等． 例1：因式分解：． 例2：求代数式的最小值．由，可知当时，有最小值，最小值是． 根据阅读材料用配方法解决下列问题： (1)因式分解：_____； (2)若满足，求的值； (3)当为何值时，多项式有最小值，并求出这个最小值． ( 地 城 考点0 4 十字相乘法与分组分解法 )一、填空题 1．（24-25八年级下·四川成都金牛区·期末）已知，，则代数式的值是______． 2．（24-25八年级下·四川成都七中育才学校·校考期末）因式分解是中学数学中最重要的恒等变形之一，是解决许多数学问题的有力工具，七中育才帅虎同学设计了一种“因式分解密码”：对多项式进行因式分解得到，若取，则2→2，x→12，y→7，→14，可得密码为，对于代数式，若取，可能得到的密码是 ______．（写出满足条件的一个答案即可） 3．（24-25八年级下·四川成都郫都区西川汇锦都学校·期末）因式分解：______． 4．（24-25八年级下·四川成都北京第二外国语学院成都附属中学·期末）已知，，则代数式的值为______． 5．（24-25八年级下·四川成都崇州市·校考期末）因式分解时，甲看错了m的值，分解的结果是，乙看错了n的值，分解的结果是．则分解因式的正确结果 ． 6．（24-25八年级下·四川成都温江区·校考期末）因式分解：= 三、解答题 7．（24-25八年级下·四川成都龙泉驿区·校考期末）义务教育数学课程标准（年版）关于运算能力的解释为：运算能力主要是指根据法则和运算律进行正确运算的能力．因此，我们面对没有学过的数学题时，方法可以创新，但在创新中要遵循法则和运算律，才能正确解答，下面介绍一种分解因式的新方法拆项补项法：把多项式的某一项拆开或填补上互为相反数的两项（或几项），使原式适合于已学过的方法进行分解． 例题：用拆项补项法分解因式． 解：添加两项． 原式 请你结合自己的思考和理解完成下列各题： (1)分解因式：；(2)分解因式：；(3)分解因式：． 8．（24-25八年级下·四川成都邛崃市·校考期末）常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法，但还有其他多项式只用上述方法无法分解，如，观察这个式子就会发现：前两项符合平方差公式，后两项可提取公因式，前后两部分分别分解因式后会产生公因式，然后提取公因式就可以完成整个式子的分解因式了．过程为：，这种分解因式的方法叫分组分解法．利用这种方法解决下列问题． (1)分解因式：；(2)已知，，分别为的三条边，求证：． 9．（24-25八年级下·四川成都金堂县·校考期末）阅读下列材料：分解因式的常用方法有提取公因式法、公式法，但有部分项数多于3的多项式只单纯用上述方法就无法分解，如，我们细心观察这个式子就会发现，前三项符合完全平方公式，进行变形后可以与第四项结合再运用平方差公式进行分解．过程如下：，这种分解因式的方法叫分组分解法．利用这种分组的思想方法解决问题：（1）分解因式：． （2）已知，，为的三边，且，试判断的形状，并说明理由． 10．（24-25八年级下·四川成都新津区·校考期末）阅读材料：常用的分解因式方法有提公因式、公式法等，但有的多项式只有上述方法就无法分解，如，细心观察这个式子会发现，前两项符合平方差公式，后两项可提取公因式，前后两部分分别分解因式后会产生公因式，然后提取公因式就可以完成整个式子的分解因式，过程为： 这种分解因式的方法叫分组分解法，利用这种方法解决下列问题： （1）分解因式： （2）的三边满足，判断的形状． 11．（24-25八年级下·四川成都简阳市·校考期末）【教材呈现】人教版八年级上册数学教材121页有“阅读与思考”：根据多项式的乘法法则，可知． 那么，反过来，也有 这就是将某些二次项系数是1的二次三项式进行的分解因式． 例如，因式分解．这个式子的二次项系数是1，常数项，一次项系数，符合类型，于是有这个过程，也可以用十字相乘的形式形象地表示：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角；再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角；然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数． 这样，我们也可以得到． 利用上面的方法，可以直接将某些二次项系数为1的二次三项式分解因式： （1）分解因式：① ；② ； 【知识应用】（2）请用上述方法，因式分解：； 【拓展提升】（3）因式分解：． 12．（23-24八年级下·四川成都浦江县·校考期末）【阅读思考】 材料1：整式乘法与因式分解是相反的变形，如是整式乘法，反过来为，恰好是因式分解．基于上述原理，将式子分解因式如下： 一次项，①分解二次项和常数项；②交叉相乘再相加验证一次项；③横向写出两因式：． 材料2：分解因式： 解：将“”看成一个整体，令， 则原式，再将“K”还原，得：原式． 请仔细阅读材料，回答下列问题： 【迁移运用】(1)利用上述的十字相乘法，将下列多项式分解因式：_______________ (2)结合材料1和材料2，完成下面小题： ①分解因式：；②分解因式：． 13．（24-25八年级下·四川成都青白江区·校考期末）【阅读理解】 以上分解因式的方法称为分组分解法，分组的方式可以任意两项组合成一组，也可以是其中若干项分成一组． 【问题解决】(1)分解因式：；(2)的三边，，满足，判断的形状． 14．（24-25八年级下·四川成都都江堰市·校考期末）【阅读材料】：将四项及四项以上的多项式进行因式分解，我们一般使用分组分解去，对于四项多项式的分组分解法有两种分法：一是“”分组，二是“”分组．两种分组的主要区别在于多项式中是否存在三项可以构成完全平方，若可以构成完全平方，则采用“”分组；若无法构成，则采用“”分组． 例如： 像这种将一个多项式适当分组后，再分解因式的方法叫做分组分解法． 【学以致用】：因式分解：（1）；（2）． 【拓展延伸】：对于四项以上的多项式，我们可以据其特征适当地将某一项拆成两项，再进行分组，进而因式分解来解决问题，请你利用这样的思路试一试． ①已知为等腰的三边长，且满足，求等腰的面积； ②如图，长方形ABCD，已知，其中，且，求长方形ABCD的边AD，AB的长度．（，用含的式子表示） 15．（23-24八年级下·四川成都双流区·校考期末）我们已经学过多项式因式分解的方法有提公因式法和公式法，其实因式分解的方法还有分组分解法、拆项法等． ①分组分解法：将一个多项式适当分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法叫做分组分解法： 例如：． ②拆项法：将一个多项式的某一项拆成两项后，可提公因式或运用公式继续分解的方法叫做拆项法．例如：． (1)仿照以上方法，按照要求因式分解：①分组分解法：_________ ②拆项法（写出计算过程）：；(2)应用：若，求a、b、c的值． 4 / 4 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $