专题03 四边形（5大考点期末真题汇编，四川专用）八年级数学下学期新教材人教版

**基本信息** 聚焦四边形专题，整合四川多地期末真题，覆盖多边形、平行四边形、矩形、菱形、正方形五大考点，基础题与综合题结合，适配期末复习需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|约30题|多边形内角和（题2）、平行四边形性质（题1）、特殊四边形判定（题1）|结合生活情境（伸缩门、地砖镶嵌），真题改编| |填空题|约15题|矩形折叠（题5）、菱形面积（题8）、动点问题（题11）|注重性质应用，渗透空间观念| |解答题|约20题|平行四边形证明（题13）、正方形综合计算（题10）、动态几何（题14）|分层设计，综合考查推理与运算能力|

专题03 四边形 5大高频考点概览 考点01四边形与多边形 考点02平行四边形 考点03矩形 考点04 菱形 考点05 正方形 ( 地 城 考点01 四边形与多边形 )一、选择题 1．（24-25八年级下·四川绵阳江油市·期末）下列物体应用了四边形的不稳定性的是（   ） A．木质梯子 B．学校门口的伸缩门 C．矩形门框 D．正方形地砖 【答案】B 【详解】解：四边形的不稳定性是指四边形边长固定时形状容易改变，只有需要灵活改变形状的场景才会利用该性质． A选项木质梯子需要保持固定形状保障安全，利用的是结构稳定性，不符合要求； B选项学校门口的伸缩门需要改变形状实现伸缩开合，正是利用了四边形的不稳定性，符合要求； C选项矩形门框和D选项正方形地砖都需要保持固定形状，不符合要求． 2．（24-25八年级下·四川德阳·期末）若正多边形的内角和是，则该正多边形的一个外角为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：设该正多边形的边数为， 正多边形的内角和是，多边形内角和公式为，，解得， 又任意多边形的外角和为，正多边形的每个外角相等，该正多边形的一个外角为． 3．（24-25八年级下·四川绵阳·校考期末）一个多边形截去一个角后，形成的另一个多边形的内角和是，则原来多边形的边数是（    ） A．8或9 B．9或10 C．8或9或10 D．9或10或11 【答案】D 【详解】解：设内角和为的新多边形的边数是，根据多边形内角和公式可得 ，解得， ∵多边形截去一个角共有三种情况， ①截线不过原多边形顶点时，新多边形边数比原多边形多， ②截线过原多边形一个顶点时，新多边形边数与原多边形相等， ③截线过原多边形两个顶点时，新多边形边数比原多边形少， ∴原多边形边数为或或，即原来多边形的边数是或或． 4．（24-25八年级下·四川南充·校考期末））如图是我国在2025年发行的一枚纪念币，其外形为正十二边形，则这枚纪念币外边缘十二个角的大小均为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解： 该纪念币外形为正十二边形 其边数 方法一：∵正十二边形的内角和为 每个内角的大小为 方法二：∵正十二边形的每个外角为；每个内角的大小为 5．（24-25八年级下·四川广元·期末）关于多边形有以下描述：（    ） ①六边形内角和为；②十二边形每个外角度数均为；③边形从一个顶点最多可引出条对角线；④多边形内角和等于外角和，这个多边形是四边形．⑤一个多边形切去一个角后，形成的另一个多边形的内角和为，原来这个多边形的边数是．根据描述判断，其中描述正确的个数有（    ）个． A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：①当多边形边数为六时，∵，∴六边形内角和为，∴①正确； ②多边形外角和360°，但无法确定每个外角的度数∴②错误； ③∵边形从一个顶点最多可引出条对角线，∴③错误； ④设多边形边数为，∴，解得，∴多边形的边数为∴④正确； ⑤设多边形边数为，∴，解得，∴多边形的边数为， ∴一个多边形切去一个角后，形成一个七边形时，原来这个多边形的边数是或或．∴⑤错误； 综上所述，其中描述的描述正确的个数有①④．故选：B． 6．（24-25八年级下·四川绵阳三台·校考期末）下列说法中，错误的有（    ） A．三角形是边数最少的多边形 B．等边三角形和长方形都是正多边形 C．边形有条边、个顶点、个内角、个外角 D．六边形从一个顶点出发可以画条对角线，所有的对角线共有条 【答案】B 【详解】解：．三角形是边数最少的多边形，该选项说法正确； ．长方形不是正多边形，该选项说法错误； ．边形有条边、个顶点、个内角、个外角，该选项说法确； ．六边形从一个顶点出发可以画条对角线，所有的对角线共有条，该选项说法正确；故选：． 7．（24-25八年级下·四川广安·校考期末）平面图形的镶嵌在生活中的应用非常广泛，从简单的地板和墙纸设计到复杂的艺术品创作，都展现了其独特的魅力和实用性．下列几组多边形组合不能进行平面图形镶嵌的是（    ） A．正三角形与正方形 B．正三角形与正六边形 C．正方形与正八边形 D．正方形与正六边形 【答案】D 【详解】解：A、正三角形的每个内角是，正方形的每个内角是，，能铺满地面； B、正三角形的每个内角是，正六边形的每个内角是，，能铺满地面； C、正方形的每个内角是，正八边形的每个内角是，，能铺满地面； D、正方形的每个内角是，正六边形的每个内角是，，，显然取任何整数时，不能得正整数，故不能铺满．故选：D 8．（24-25八年级下·四川绵阳平武县·校考期末）在学习多边形内角和的课上，老师让同学们计算一个多边形的内角和，小凯非常积极地举手回答说：“我计算出这个多边形的内角和为”．老师说：“小凯同学回答问题非常积极，值得大家好好学习，但你的计算不对呀，你可能少加了一个角！”请问小凯同学少加的这个角的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：由多边形内角和公式 知多边形的内角和是的整数倍 故选：． 9．（24-25八年级下·四川德阳旌阳区·校考期末）下图是用边长相等的正三角形和正n边形两种地砖铺设的部分地面示意图，则正n边形的内角和为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：如图，由题意可得是等边三角形，∴， 延长交于点E，则，∴，即正n边形的一个外角是， ∴这个多边形是边形，∴正n边形的内角和为；故选：A.    10．（24-25八年级下·四川绵阳游仙区·校考期末）小明家住黄山市，小明的爸爸刚在市区买了一套住房，带着小明去选地砖准备装修，看着满目美丽的正三角形，正方形、正六边形、正八边形地砖，不知道选哪种好，但是爸爸告诉小明：有一种地砖是不能单独铺满地面的，必须与另外一种形状的地砖混合使用，让小明指出这种地砖，小明略加思考便选出来了，小明选择的地砖的形状是（     ） A．正三角形 B．正方形 C．正八边形 D．正六边形 【答案】C 【详解】解：A、正三角形的每个内角是，能整除，能密铺，故A不符合题意; B、正方形的每个内角是，4个能密铺，故B不符合题意; C、正八边形每个内角是，不能整除，不能密铺，故C符合题意; D、正六边形的每个内角是，能整除，能密铺，故D不符合题意．故选C． 二、填空题 11．（24-25八年级下·四川南充·期末）如图，以正六边形一边为边向外作正方形，连接．则____________． 【答案】/150度 【详解】解：∵六边形为正六边形，∴， ∵四边形为正方形，∴，∴． 12．（24-25八年级下·四川绵阳北川县·校考期末）给出下面四个说法： ①三角形三个内角的和为；②三角形一个外角大于它的任何一个内角； ③三角形一个外角等于它任意两个内角的和； ④三角形的外角和等于．其中说法正确的是_______． 【答案】④ 【详解】解：①三角形三个内角的和为，原说法错误，不合题意． ②三角形一个外角大于与它不相邻的任何一个内角，原说法错误，不合题意． ③三角形一个外角等于与它不相邻两个内角的和，原说法错误，不合题意． ④三角形的外角和等于，正确，符合题意．故答案为：④． 三、解答题 13．（24-25八年级下·四川绵阳实验外国语学校·校考期末）解答下列问题． (1)一个正n边形的每个内角都为，求这个正n边形的边数． (2)已知一个多边形的内角和的一半比外角和多，求这个多边形边数及对角线的条数． 【答案】(1)6(2)边数为，对角线条数为 【详解】（1）解：∵正边形每个内角为，∴每个外角的度数为 ， ∵任意多边形的外角和为，∴边数 ； （2）设这个多边形的边数为，多边形内角和为，任意多边形外角和为， 根据题意列方程得 ，解得 ， ∴边形对角线条数公式为，将代入得 ， ∴因此这个多边形边数为，对角线条数为． ( 地 城 考点02 平行四边形 ) 一、选择题 1．（24-25八年级下·四川广安邻水县·期末）若平行四边形中两个邻角的度数比为，则其中较小的内角是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：设两个邻角较小的内角为，则较大的内角为， 由平行四边形对边平行得：，解得：，故选：C． 2．（24-25八年级下·四川自贡富顺县·期末）如图，在平行四边形中，E为边上的一个点，将沿折叠至处，与交于点F，若，，（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵四边形是平行四边形，， ，，， ∵将沿折叠至处，， ，故选：A． 3．（24-25八年级下·四川绵阳涪城区·期末）如图，已知四边形是平行四边形，，，，点是上一动点，为的中点，连接，，当时，点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵平行四边形中，，，，且（为坐标原点 ）， ∴，∵为中点，，，∴．设 ∵， ∴，解得，∴，故选：D． 4．（24-25八年级下·四川广安邻水县·期末）如图，在中，，，，则的周长为（   ） A．8 B．1 C．13 D．16 【答案】D 【详解】解：∵是平行四边形，∴，，， 又∵，∴，∴的周长为，故选：D． 5．（24-25八年级下·四川绵阳·期末）如图，在平行四边形中，，对角线的交点为，，则平行四边形的面积为（） A．4 B．6 C．8 D．12 【答案】D 【详解】过作，交延长线于． ∵四边形是平行四边形，对角线互相平分，，∴， 在中，，∴， ∵，∴，∴平行四边形的面积．故选：D． 6．（23-24八年级下·四川绵阳游仙区·期末）如图，在中，，分别是和的平分线，，分别与相交于点，，，，则的长为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【详解】∵四边形是平行四边形，∴，，∴， ∵平分，∴．∴，∴，同理， ∵，∴，∴．故选：B． 7．（23-24八年级下·四川绵阳·期末）下面给出的条件中，能判定四边形是平行四边形的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【详解】解：如图， A、若，，无法判断四边形是平行四边形，故本选项不符合题意； B、∵，∴，∵，∴， ∴，∴四边形是平行四边形，故本选项符合题意； C、∵，∴， ∵，∴，无法判断四边形是平行四边形，故本选项不符合题意； D、若，，无法判断四边形是平行四边形，故本选项不符合题意；故选：B 二、填空题 8．（24-25八年级下·四川广安武胜县·期末）如图，在四边形中，，，，为线段的中点，为线段上的动点（含端点），，分别为，的中点，则的长的最大值为________． 【答案】2 【详解】解：连接， ∵点，分别为，的中点，∴为的中位线， ∴，∴最大时，最大， ∵为线段上的动点（含端点），∴当点与点重合时，最大，为的长， ∵，，，∴，∴的最大值为2．故答案为：2． 9．（24-25八年级下·四川南充仪陇县·期末）如图，E是平行四边形的对角线上一点，延长到F，使．若，，则的长为________． 【答案】 【详解】解：连接，交于点，如图所示， 四边形是平行四边形， 是的中位线 ∵，， 故答案为：． 10．（23-24八年级下·四川绵阳安州区·期末）如图，在中，，点M，N分别是边的中点，连接，并取的中点，分别记为点E，F，连接，则的长为 _____． 【答案】5 【详解】解：连接交于点G，连接，过点G作于点H，如图所示： ∵四边形是平行四边形，∴， ∵点M，N分别是边的中点，， ，，∵点E是的中点，∴， 在和中，，， ，， ，， ，， ，是的中位线，，故答案为：5． 11．（24-25八年级下·四川绵阳北川县·期末）如图，在四边形中，，，，，．动点从点出发，沿射线以每秒的速度运动．动点同时从点出发，在线段上以每秒的速度向点运动；当动点到达点时，动点也同时停止运动．设点的运动时间为秒，当以点、、、为顶点的四边形是平行四边形时，的值为__________． 【答案】或 【详解】解：∵，动点同时从点出发，在线段上以每秒的速度向终点运动， ∴运动时间为（秒），，的速度为每秒，到达的时间为（秒）， 当在点以及点的左边时，即时，， 当在的右边时，即时，，以点、、、为顶点的四边形是平行四边形， ①当四边形为平行四边形时，，，∴，解得：； ②当四边形为平行四边形时，，，∴，解得， 综合上述，当或时，以点、、、为顶点的四边形是平行四边形．故答案为：或． 12．（24-25八年级下·四川自贡市·期末）如图，平行四边形中，对角线相交于点，过点的直线分别交于点，若平行四边形的面积为6，则图中阴影部分的面积是__________．    【答案】3 【详解】解：平行四边形中，对角线相交于点，， 阴影部分面积等于的面积，即为面积的一半，阴影部分面积为，故答案为：3． 三、解答题 13．（24-25八年级下·四川广安武胜县·期末））如图，四边形是平行四边形，点E，F分别在和上，．(1)求证：四边形是平行四边形；(2)若，，，求的长． 【答案】(1)证明见解析(2) 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵，∴，∴， ∵，∴四边形是平行四边形． （2）解：∵，∴， 在中，根据勾股定理得，， ∵，四边形是平行四边形，∴四边形是矩形，∴． 14．（24-25八年级下·四川绵阳市北川县·期末）如图，在中，E为的中点，延长交的延长线于点F，连接、．(1)求证：；(2)若，，，求的长． 【答案】(1)见解析(2) 【详解】（1）证明：∵为的中点，∴， ∵四边形为平行四边形，∴，，∴， 在和中，，∴； （2）解：∵，四边形为平行四边形，，∴， 又∵，∴，∵，∴， ∵，∴， ∵且，∴四边形为平行四边形，∴． 15．（24-25八年级下·四川绵阳三台·期末）如图，在中，于点E，于点F． (1)求证：；(2)如果求的长． 【答案】(1)见解析(2) 【详解】（1）证明：于点于点，， 四边形是平行四边形，，， 在和中，，． （2）解：， ，，， ，的长为． ( 地 城 考点0 3 矩形 ) 一、选择题 1．（24-25八年级下·四川广安邻水县·期末）下列叙述错误的是（   ） A．平行四边形的对角线互相平分 B．矩形的对角线相等 C．菱形的对角线互相垂直 D．对角线相等的四边形是平行四边形 【答案】D 【详解】解：A. 平行四边形的对角线互相平分，正确，不符合题意； B. 矩形的对角线相等，正确，不符合题意；C. 菱形的对角线互相垂直，正确，不符合题意； D. 对角线相等的四边形不一定是平行四边形，原叙述错误，符合题意；故选：D． 2．（24-25八年级下·四川绵阳市北川县·期末）如图，在中，，点是斜边上一动点，于点，于点，连接，则的最小值为（    ） A． B． C．2 D．1 【答案】B 【详解】解：连接，如图所示： ，，，四边形是矩形，则，即则的最小值为最小值， 是斜边上一动点，为平面内一定点，当时，有最小值，如图所示： 在中，，则由勾股定理可得， ，则，解得， 此时，的最小值为，故选：B． 3．（23-24八年级下·四川绵阳涪城区·期末）如图，在矩形中，对角线、相交于点，，点在上，若，则的度数等于（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：如图，以为边作等边三角形，连接，，， ，， 由矩形的性质可得，， ，， 在和中，，，， ，， ，， ，，故选：B． 4．（24-25八年级下·四川绵阳市涪城区·期末）如图，在矩形中，，的平分线交于点，于点，连接并延长交于点，连接交于点，有下列结论：①平分；②；③；④．其中正确的结论有（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【详解】解：在矩形中，平分，， 是等腰直角三角形，，，， 在和中，，，， ，， ，，平分，故①正确； ，，，， ，，， ，，，故②正确； ，，又，， 在和中，，，，，故③正确； ，，不是等边三角形，， 即，故④错误；综上所述，正确的结论是①②③，共3个．故选：B． 二、填空题 5．（24-25八年级下·四川广安武胜县·期末）如图，矩形中，点H，F分别在边上，连接，将沿折叠，点D恰好落在线段上的点E处，同时将沿折叠，点B恰好落在线段上的点G处．连接，若，则_______ ， _______． 【答案】 10 【详解】解：设，由折叠的性质可得， ∵四边形是矩形，∴，， ∵，∴，在中，由勾股定理得， ∴，解得，∴，由折叠的性质可得， ∴，设，则， 由折叠的性质可得， 在中，由勾股定理得，∴，解得， ∴，∴FG；故答案为：10，． 6．（24-25八年级下·四川凉山·期末）如图，依次连结第一个矩形各边的中点得到一个菱形，再依次连结菱形各边的中点得到第二个矩形，…，按此方法继续下去．已知第一个矩形的面积为1，则第n个矩形的面积为_______请用含的式子写出你猜想的规律． 【答案】 【详解】解：∵第个矩形的面积为，第个矩形的面积为， 第个矩形的面积为……第个矩形的面积为，故答案为：． 7．（24-25八年级下·四川绵阳·期末）如图，矩形的对角线相交于点，，则的长为____________． 【答案】 【详解】解：∵四边形是矩形，∴， 又∵，∴为等边三角形，∴ ∴．故答案为：． 8．（24-25八年级下·四川绵阳·期末）如图，在四边形ABCD中，，，垂足为，延长EF交AD于点，与互余，则____________． 【答案】 【详解】解：过点作，且，连接，如图 ∵，，∴， ∴，∵，∴， ，即与关于对称，∴， ∵，∴F，E，共线，且，在中，， ∴，∵，，， ∴四边形是矩形，且D，C，F共线，∴，即，， ∴，∴，， ∴，∴，∴， ∴．故答案为：． 9．（23-24八年级下·四川绵阳江油市·期末）如图，P是正方形对角线上的一点，直线m，n经过点P且，若四边形与四边形的面积分别是，，那么四边形与四边形的面积之和是________． 【答案】 【详解】解：过点P作于点M，的延长线与相交于点R，过点P作于点N，的延长线与相交于点S， ∵P是正方形对角线上的一点， ∴，， ∴四边形、都是矩形，，，∴，∴四边形是正方形，∴ ∵直线m，n经过点P且，∴∴， ∵，∴∴， ∴四边形的面积正方形的面积∴， 同理可证，是正方形，， 则四边形的面积正方形的面积，， ∴四边形与四边形的面积之和矩形和矩形的面积之和，即四边形与四边形的面积之和故答案为： 10．（23-24八年级下·四川绵阳·期末）如图，在矩形中，为边上点，，沿直线将翻折得到，且点在边上，那么______． 【答案】/ 【详解】解：在矩形中，， 由折叠的性质得：， ∵，∴可设，则， 在中，在中，， ∴，解得：，∴．故答案为：． 11．（24-25八年级下·四川凉山州·期末）如图，在矩形中，于E，，则的度数为______度． 【答案】45 【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，AC、BD是矩形的对角线且相交于O， ∴OA=OB，∴∠BAC=∠ABD， ∵∠DAE=3∠BAE，∠DAE+∠BAE=90°，∴∠BAE=22.5°，∠DAE=67.5°． ∵在矩形ABCD，∠DAE+∠ADB=90°，∠ADB+∠ABD=90°， ∴∠ABD=∠DAE=67.5°，即∠BAC=∠ABD=67.5°， ∴∠EAC=∠BAC-∠BAE=67.5°-22.5°=45°，故答案为：45． 三、解答题 12．（24-25八年级下·四川南充仪陇县·期末）如图，点M在平行四边形的边上，，请从以下两个选项，①，②，选择一个作为已知条件，使得平行四边形为矩形． (1)你添加的条件是_________．（填序号）． (2)添加条件后，请证明平行四边形为矩形． 【答案】(1)①(2)证明见解析 【详解】（1）解：∵，∴， ∵四边形是平行四边形，∴，∴，， ∴，即根据已知条件可推导出条件②，∴添加的条件是①，故答案为：①． （2）证明：添加条件①后，∵，∴， ∵四边形是平行四边形，∴，∴， ∴，∴，∴，即， 又∵四边形是平行四边形，∴平行四边形为矩形． 13．（24-25八年级下·四川自贡·期末）如图，在矩形中，E、F为上两点，且，连接、交于点O．(1)求证：是等腰三角形；(2)若，，求矩形的周长． 【答案】(1)见解析(2) 【详解】（1）证明：∵四边形是矩形，∴， ∵，∴，∴， ∴，∴，， ∴，∴，∴是等腰三角形； （2）解：∵，∴，∴， ∵，∴，∴， ∵矩形中，，∴， ∴，∴，∵，∴， ∴矩形的周长为． 14．（23-24八年级下·四川绵阳市梓潼县·期末）如图，矩形中，，，M是边上一点，将沿直线翻折，得到． (1)当平分时，求的长；(2)连接，当时，求的面积． 【答案】(1)(2) 【详解】（1）解：由折叠的性质得，， 平分，，， 四边形是矩形，，，，， 设，，，， ，； （2）解：延长交的延长线于点， 四边形是矩形，，， 由折叠的性质得，，，，， ，，设，则， ，，在中，， 即，，，， ，，，． 15．（24-25八年级下·四川绵阳三台·期末）已知四边形是矩形，E是射线上一点，与关于直线成轴对称． (1)当点E在线段上时，的延长线交于点G．①如图1，求证：；②如图2，延长，交的延长线于点H，连接，若，判断四边形的形状，并说明理由； (2)若，当点F落在的垂直平分线上时，连接，直接写出线段的长． 【答案】(1)①见解析；②菱形，见解析(2)或 【详解】（1）①证明：∵四边形是矩形，∴，∴， ∵与关于直线成轴对称， ∴，∴，∴，∴； ②四边形是菱形，理由如下： ∵四边形是矩形，∴，∴， ∵，∴，∴，∴四边形是平行四边形， ∵与关于直线成轴对称，∴， ∴，∴四边形是菱形； （2）解：由题意可分：①当点E在线段上时，如图所示： ∵四边形是矩形，∴， 作的垂直平分线，分别交于，则由题意可知点在上，连接， ∴， ∴是等边三角形，∴，∴，∴； ②当点E在线段外时，如图所示： 同理①可得：，∴，∴． ( 地 城 考点0 4 菱形 ) 一、选择题 1．（24-25八年级下·四川德阳市·期末）下列说法正确的是（    ） A．平行四边形的对角线互相垂直 B．对角线互相垂直的四边形是菱形 C．菱形的对角线相等 D．对角线互相平分的四边形是平行四边形 【答案】D 【详解】A.平行四边形的对角线不一定互相垂直，故A错误； B.对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故B错误；C.菱形的对角线互相垂直，故C错误； D.对角线互相平分的四边形是平行四边形，故D正确．故选：D． 2．（24-25八年级下·四川绵阳·期末）在菱形中，对角线，则该菱形的周长为（   ） A．15 B．20 C．22 D．25 【答案】B 【详解】解：如图所示，在菱形中，对角线， ∴,，， ，菱形的周长．故选：B． 3．（24-25八年级下·四川绵阳市北川县·期末）如图，在矩形中，，，点E在边上，点F在边上，点G，H在对角线上．若四边形是菱形，则的长为（　　） A．2 B．3 C．5 D．6 【答案】C ∵四边形是菱形，∴， ∵四边形是矩形，∴，∴， ∵，∴，∴，， ∵，∴垂直平分，∴，∴， 设，则，在中，由勾股定理得， ∴，解得，∴．故选：C． 4．（24-25八年级下·四川自贡·期末）如图，菱形盒子底部有一面平面镜，从点处射入一道平行于的光线，入射光线经过镜面反射后恰好经过点（法线与平面镜垂直，反射角等于入射角），若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵四边形是菱形，∴，， ∵，∴，， ∵法线垂直于，反射角等于入射角，， ∵，． 5．（24-25八年级下·四川南充仪陇县·期末）新定义：若四边形一组对边平行且有一组邻边相等，称为“准菱形”．已知平行四边形为准菱形，则该四边形一定是（　　） A．矩形 B．菱形 C．正方形 D．无法确定 【答案】B 【详解】解：∵四边形是平行四边形，∴， ∵平行四边形为准菱形（四边形一组对边平行且有一组邻边相等）， ∴或或或，∴平行四边形一定是菱形． 6．（24-25八年级下·四川广安邻水县·期末）如图，在菱形中，与相交于点O，的垂直平分线交于点F，连接．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：如下图所示，连接， ∵的垂直平分线是，∴， ∵在菱形中，∴， ∵，，∴，∴，∴, ∴,故选：D． 7．（23-24八年级下·四川绵阳·期末）中，为边上点，平分，过点作，与交于点，作，与交于点，连接．现有以下结论：①；②当时，四边形是平行四边形；③当是正三角形时，四边形是菱形；④保持的长度不变，改变大小，一定可以使得点是中点．其中正确的有（   ）个 A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：，，四边形是平行四边形，， 平分，，， ，四边形是菱形，，故①正确； 当时，，四边形是菱形， ，，，， 在和中，，，，即是的中点， ，是的中位线，， 四边形是平行四边形，故②正确；当是正三角形时，， 四边形是菱形，，， ，,，又，四边形是平行四边形， ，，是正三角形， ，四边形是菱形，故③正确； 当点是中点时，，四边形是菱形，，，， ，四边形是平行四边形，，， 又平分，，故④错误；故选：C． 二、填空题 8．（24-25八年级下·四川广安邻水县·期末）菱形的面积为，一条对角线是，那么菱形的另一条对角线长为_____． 【答案】4 【详解】解：∵菱形的面积为，一条对角线是， 设另一条对角线为x，∴，解得：， ∴菱形的另一条对角线长为．故答案为：4 9.（23-24八年级下·四川绵阳游仙区·期末）如图，四边形为菱形，点，菱形的对角线相交于点E，连接，则的长是______． 【答案】 【详解】解：在中，， ∵菱形的对角线相交于点E，∴, ∴，∴， 在中，可得， ∵菱形的对角线相交于点E， ∴,∴．故答案为：． 10．（24-25八年级下·四川广安武胜县·期末）如图，两张等宽的纸条交叉重叠在一起，重叠的部分为四边形，若测得A，D之间的距离为，点A，C之间的距离为，则四边形的面积为__________． 【答案】/24平方厘米 【详解】解：连接、，设交点为O，由题意，，， ∵，，∴四边形是平行四边形， 设两张等宽的纸条的宽为，则，∴，∴四边形是菱形， ∴，，， ∴，则， ∴，故答案为：． 三、解答题 11．（24-25八年级下·四川广安武胜县·期末）在学习了平行四边形的性质后，小爱同学和小艺同学进行了拓展探究．如图，在平行四边形中，点E是上的一点，且，连接． (1)尺规作图：作的平分线交于点F，连接（不写作法，保留作图痕迹）； (2)根据（1）中作图，小爱同学猜测四边形是菱形，小艺同学写出了如下不完整的证明过程，请你帮助她们把证明过程补充完整． 证明：∵平分，∴① ∵在中，，∴，∴② ∴， ∵，∴③ ∵在平行四边形中，，∴，∴四边形是平行四边形， 又∵，∴四边形是菱形． 小爱同学和小艺同学经过进一步探究发现，与具有特殊的位置关系，并且与的内角大小无关．她们总结出了以下结论：平行四边形的任意一组相邻内角的平分线④ ． 【答案】(1)见解析(2)；；；互相垂直 【详解】（1）解：图形如图所示： （2）证明：∵平分，∴①， ∵在中，，∴，∴②，∴， ∵，∴③， ∵在平行四边形中，，∴，∴四边形是平行四边形， 又∵，∴四边形是菱形． 小爱同学和小艺同学经过进一步探究发现，与具有特殊的位置关系，并且与的内角大小无关．她们总结出了以下结论：平行四边形的任意一组相邻内角的平分线④互相垂直． 故答案为：，，．互相垂直． 12．（24-25八年级下·四川绵阳·期末）如图，的对角线，相交于点，，，．(1)请判断是否是菱形？为什么？(2)请直接写出的面积为______；边和之间的距离为______． 【答案】(1)是菱形，理由见解析(2)，． 【详解】（1）解：∵的对角线，相交于点，，，， ∴，， ∵，∴， ∴是直角三角形，且，∴，∴是菱形； （2）解：∵是菱形，，，∴的面积 ， 设边和之间的距离为，则， ∵，∴，故答案为：，． 13．（24-25八年级下·四川南充仪陇县·期末）菱形的对角线相交于O，是的中点，于F，于G．(1)求证：四边形是矩形；(2)若，，求的长． 【答案】(1)证明见解析(2) 【详解】（1）证明：∵四边形是菱形，∴，即点是的中点， ∵是的中点，∴是的中位线，∴， ∵，，∴，∴四边形是平行四边形， 又∵，∴四边形是矩形． （2）解：∵四边形是菱形，∴，，， ∵在中，是的中点，，∴，，∴， 由（1）已证：四边形是矩形，有，∴， ∵，∴，∴， ∵，∴，∴． 14．（24-25八年级下·四川广元·期末）在中，，，，点D是边上的一点，连接．作，，连接．(1)若点D为中点，试判断四边形的形状，并说明理由；(2)四边形能否为矩形，若能，求出的长，若不能，请说明理由． 【答案】(1)四边形是菱形，见解析(2)能， 【详解】（1）解：若点为中点，四边形是菱形． 证明： ，四边形是平行四边形， 又为中点，，，是菱形 （2）解：能，由（1）知：四边形是平行四边形， ∴当时，四边形成为矩形． 中，，， 又，，． 15．（24-25八年级下·四川自贡·期末）已知在菱形中，与交于点O，，垂足为M，E是延长线上一点，连接交于点F，G是上一点，，H是上一点，．(1)求证：；(2)若①试确定与的数量关系，并说明理由；②取中点N，连接并求线段的长． 【答案】(1)见解析(2)①，理由见解析；② 【详解】（1）证明：在菱形中，, 又，，， 在和中，，； （2）解：①，理由如下，，， ，，则，， 由（1）知，，，则， 在和中，，，； ②，，， ，， 则，， 在中，，即，解得， 则，，设菱形的边长为，在中，， ，解得，即菱形的边长为，连接，过作于点I， ，解得，，， ，， 在菱形中，为中点，又为中点，为的中位线，． ( 地 城 考点0 5 正方形 ) 一、选择题 1．（24-25八年级下·四川绵阳市三台县·期末）如图，四边形是平行四边形，下列结论错误的是（  ） A．当时，是菱形 B．当时，是菱形 C．当时，是矩形 D．当时，是正方形 【答案】D 【详解】解：A、当时，可根据“一组邻边相等的平行四边形是菱形”可判定是菱形，故不符合题意； B、当时，可根据“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”可判定是菱形，故不符合题意； C、当时，可根据“有一个角为直角的平行四边形是矩形”可判定是矩形，故不符合题意； D、当时，可根据“对角线相等的平行四边形是矩形”可判定是矩形，不能得到是正方形，说法错误，故符合题意；故选D． 2．（24-25八年级下·四川自贡·期末）下列性质中，矩形、正方形都具有，但是菱形却不具有的性质是（    ） A．对角线长度相等 B．对角线互相垂直 C．对角线互相平分 D．一组对角线平分一组对角 【答案】A 【详解】解：菱形具有的性质是：两组对边分别平行，对角线互相平分，对角线互相垂直； 矩形具有的性质是：两组对边分别平行，对角线互相平分，对角线相等； 正方形具有菱形和矩形的性质，故选项B，C，D不符合题意； 菱形不具有的性质为：对角线长度相等，故选项A符合题意．故选：A． 3．（24-25八年级下·四川广安武胜县·期末）如图，已知四边形为正方形，E为对角线上一点，连接，过点E作，交的延长线于点F，连接，若，，则的长为（　　） A．5 B． C．6 D． 【答案】B 【详解】解：过E作于点M，作于N， ∴ ∵四边形是正方形，∴，， ∴，∴四边形是矩形，∵在正方形中，平分， 又，∴，∴四边形是正方形， ∴∴，∴， ∵，∴， ∵在正方形中，，即，∴， 在和中，，∴，∴．故选：B． 4．（23-24八年级下·四川自贡·期末）如图，点在正方形的边上，若，，那么正方形的面积为（    ） A． B．6 C．8 D．10 【答案】C 【详解】解：四边形是正方形，， ，正方形的面积．故选：C． 5．（24-25八年级下·四川凉山州·期末）如图，点是正方形内部的一动点，连接，以为腰在的右侧作等腰直角三角形，连接，，为的中点，连接，随着点的运动，下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：如图，延长到点P，使得，连接， ∵四边形是正方形，∴，∴， ∵是等腰直角三角形，∴，∴， ∴，∴，∴， ∵点为的中点，点为的中点，∴是的中位线， ∴，∴，故选项A正确，选项B错误； 如图，当点E与点A重合时，点F与点C重合，∴，故选项C，D错误；故选：A． 二、填空题 6．（23-24八年级下·四川绵阳三台县·期末）如图，在边长为的正方形中，，，则的长是______．    【答案】1 【详解】解：在正方形中，，， ，，，， 在和中，，，， 在中，，，设，则； 由勾股定理得到；∴，∴，故答案为：1． 7．（24-25八年级下·四川自贡·期末）如图，点C是线段上的一点，分别以、为边在的同侧作正方形和正方形，连接、、．当时，的面积记为；当时，的面积记为；．．．；以此类推，当时，的面积记为，则的值为_______． 【答案】 【详解】解：连接，正方形和正方形，，， ，和是同底等高的三角形，即，当时，， ．故答案为：． 8．（24-25八年级下·四川广安武胜县·期末）如图，在正方形中，为对角线上一点，为边上一点，且，连接，若，则的度数为__________． 【答案】/ 【详解】解：连接，如图所示：四边形是正方形，，，，    ，，而，，， ，，，故答案为：． 9．（24-25八年级下·四川广元·期末）如图，在平面直角坐标系中，四边形是正方形，点的坐标是，为边上一点，沿折叠正方形，点的对应点为，若，则点的坐标是______． 【答案】 【详解】解：连接、，过点作轴于点，交于点， ∵四边形是正方形， ， ，轴， ，，， ， ，， ，， ∵沿折叠正方形，点的对应点为， ， 在中，， ， ． 三、解答题 10．（24-25八年级下·四川德阳旌阳区·期末）正方形中，点E，F分别在边和上（不与端点重合），连接，，，过点D作，交的延长线于点G，平分． (1)写出，和之间的数量关系，并说明理由；(2)若正方形的边长为8，．求的长． 【答案】(1)，详见解析(2)，详见解析 【详解】（1），理由如下， ∵四边形为正方形，∴，， ∴， ∵,∴， ∴，∴，， ∵平分，∴，∵∴， ∴，∴,∴； （2）设，由（1）知，，∵，∴， ∵正方形的边长为8，∴， 在中，，∴，∴，∴． 11．（24-25八年级下·四川绵阳三台·期末）如图，在正方形中，点在边上，连接交于点，连接．(1)求证：；(2)若，，求的长． 【答案】(1)证明见解析(2) 【详解】（1）证明：正方形，，， ， ，； （2）解：正方形，，， ，，设，则， 在中，，， ，（舍去）． 12．（24-25八年级下·四川德阳·期末）如图，正方形的边长为3，M为边上一点，，与交于点N，将沿翻折得到，延长与交于点D，与的延长线交于点E． (1)求证∶ ；(2)当时，求的长． 【答案】(1)见解析(2) 【详解】（1）证明：设于点G，则，∴， ∵正方形中，，∴， ∴，∴，∴； （2）解：连接，由（1）知，， ∵正方形的边长为3，∴， 由折叠知，，,∴， ∵，∴，∴，设，则， ∵，∴，∴，解得，∴． 13．（24-25八年级下·四川南充仪陇县·期末）如图，E是正方形内部一点，，延长到F，使得，连接．(1)求证：．(2)判断的形状．(3)若，求的长度． 【答案】(1)见解析(2)是等腰直角三角形(3)10 【详解】（1）证明：如图所示，设交于O， ∵四边形是正方形，∴，∵，， ，∴， ∵，∴，∴，∴； （2）解：如图所示，在上截取，连接， ∵四边形是正方形，∴， 又∵，，∴，∴， ∴，∴是等腰直角三角形，∴，又∵，∴是等腰直角三角形； （3）解：∵是等腰直角三角形，，∴， ∵，∴，∴． 14．（24-25八年级下·四川绵阳平武县·期末）如图，在正方形中，点在射线上（不与，重合），点为直线上一点，． (1)如图①，若，，的长是______，的长是______； (2)如图②，当在线段上时，猜想，，之间的数量关系并证明； (3)当在线段的延长线上时，第（2）问中的结论是否成立？若成立，说明理由：若不成立，请探究，，之间的数量关系． 【答案】(1)，(2)，证明见解析(3)不成立，，证明见解析 【详解】（1）解：∵，，∴， ∵正方形，，∴，，∴， 在中，，∴，∴， 在中，同理，∴；故答案为：，； （2）解：，理由如下：如图，在的延长线上截取，连接，如图： ∵四边形是正方形∴，，，∴， 在和中，，∴，∴，， 又∵，∴，又∵，∴，∴， 又∵，，∴； （3）解：数量关系：，理由如下：在线段上截取线段，如图所示， ∵四边形是正方形，∴，，∴，∴， ∵，∴，∵，∴，∴，∴， ∵，，，∴，即． 15．（24-25八年级下·四川自贡·期中）如图所示，正方形的边长为6，点C在x轴上，点A在y轴上．(1)如图 1，动点P从点B出发，沿方向以每秒1个单位的速度向点C匀速运动；同时动点Q从点C出发，沿方向以每秒2个单位的速度向点O匀速运动，当一个点停止运动时，另一个点也停止运动．设运动时间为．当为等腰三角形时，求t的值；(2)如图 2，正方形沿直线折叠，使得点A落在对角线上的点E 处，折痕与、x轴分别交于点D、F，求出点D的坐标； (3)在（2）的条件下，若点N是平面内任一点，在x 轴上是否存在点M，使M、N、E、O为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出满足条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)(2)(3)或或或 【详解】（1）解：由题意得，，，∴， 当为等腰三角形时，，∴，∴； （2）解：如图，由折叠的性质可知：，，， ∴，，设，则，， 在中，由勾股定理得：，∴， 解得：，∴； （3）解：在x轴上存在点M，使M、N、E、O为顶点的四边形是菱形； 分以下三种情况：①当、是菱形的边时， ∵，∴，∴或； ②当OE是对角线，OM是边长时， ∵，，∴，∴； ③当是对角线，是边长时，此时，∴，∴． 综上所述，点M的坐标为或或或． 4 / 4 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 四边形 5大高频考点概览 考点01四边形与多边形 考点02平行四边形 考点03矩形 考点04 菱形 考点05 正方形 ( 地 城 考点01 四边形与多边形 )一、选择题 1．（24-25八年级下·四川绵阳江油市·期末）下列物体应用了四边形的不稳定性的是（   ） A．木质梯子 B．学校门口的伸缩门 C．矩形门框 D．正方形地砖 2．（24-25八年级下·四川德阳·期末）若正多边形的内角和是，则该正多边形的一个外角为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级下·四川绵阳·校考期末）一个多边形截去一个角后，形成的另一个多边形的内角和是，则原来多边形的边数是（    ） A．8或9 B．9或10 C．8或9或10 D．9或10或11 4．（24-25八年级下·四川南充·校考期末））如图是我国在2025年发行的一枚纪念币，其外形为正十二边形，则这枚纪念币外边缘十二个角的大小均为（    ） A． B． C． D． 5．（24-25八年级下·四川广元·期末）关于多边形有以下描述：（    ） ①六边形内角和为；②十二边形每个外角度数均为；③边形从一个顶点最多可引出条对角线；④多边形内角和等于外角和，这个多边形是四边形．⑤一个多边形切去一个角后，形成的另一个多边形的内角和为，原来这个多边形的边数是．根据描述判断，其中描述正确的个数有（    ）个． A． B． C． D． 6．（24-25八年级下·四川绵阳三台·校考期末）下列说法中，错误的有（    ） A．三角形是边数最少的多边形 B．等边三角形和长方形都是正多边形 C．边形有条边、个顶点、个内角、个外角 D．六边形从一个顶点出发可以画条对角线，所有的对角线共有条 7．（24-25八年级下·四川广安·校考期末）平面图形的镶嵌在生活中的应用非常广泛，从简单的地板和墙纸设计到复杂的艺术品创作，都展现了其独特的魅力和实用性．下列几组多边形组合不能进行平面图形镶嵌的是（    ） A．正三角形与正方形 B．正三角形与正六边形 C．正方形与正八边形 D．正方形与正六边形 8．（24-25八年级下·四川绵阳平武县·校考期末）在学习多边形内角和的课上，老师让同学们计算一个多边形的内角和，小凯非常积极地举手回答说：“我计算出这个多边形的内角和为”．老师说：“小凯同学回答问题非常积极，值得大家好好学习，但你的计算不对呀，你可能少加了一个角！”请问小凯同学少加的这个角的度数是（    ） A． B． C． D． 9．（24-25八年级下·四川德阳旌阳区·校考期末）下图是用边长相等的正三角形和正n边形两种地砖铺设的部分地面示意图，则正n边形的内角和为（    ）    A． B． C． D． 10．（24-25八年级下·四川绵阳游仙区·校考期末）小明家住黄山市，小明的爸爸刚在市区买了一套住房，带着小明去选地砖准备装修，看着满目美丽的正三角形，正方形、正六边形、正八边形地砖，不知道选哪种好，但是爸爸告诉小明：有一种地砖是不能单独铺满地面的，必须与另外一种形状的地砖混合使用，让小明指出这种地砖，小明略加思考便选出来了，小明选择的地砖的形状是（     ） A．正三角形 B．正方形 C．正八边形 D．正六边形 二、填空题 11．（24-25八年级下·四川南充·期末）如图，以正六边形一边为边向外作正方形，连接．则____________． 12．（24-25八年级下·四川绵阳北川县·校考期末）给出下面四个说法： ①三角形三个内角的和为；②三角形一个外角大于它的任何一个内角； ③三角形一个外角等于它任意两个内角的和； ④三角形的外角和等于．其中说法正确的是_______． 三、解答题 13．（24-25八年级下·四川绵阳实验外国语学校·校考期末）解答下列问题． (1)一个正n边形的每个内角都为，求这个正n边形的边数． (2)已知一个多边形的内角和的一半比外角和多，求这个多边形边数及对角线的条数． ( 地 城 考点02 平行四边形 )一、选择题 1．（24-25八年级下·四川广安邻水县·期末）若平行四边形中两个邻角的度数比为，则其中较小的内角是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·四川自贡富顺县·期末）如图，在平行四边形中，E为边上的一个点，将沿折叠至处，与交于点F，若，，（    ）． A． B． C． D． 3．（24-25八年级下·四川绵阳涪城区·期末）如图，已知四边形是平行四边形，，，，点是上一动点，为的中点，连接，，当时，点的坐标为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级下·四川广安邻水县·期末）如图，在中，，，，则的周长为（   ） A．8 B．1 C．13 D．16 5．（24-25八年级下·四川绵阳·期末）如图，在平行四边形中，，对角线的交点为，，则平行四边形的面积为（） A．4 B．6 C．8 D．12 6．（23-24八年级下·四川绵阳游仙区·期末）如图，在中，，分别是和的平分线，，分别与相交于点，，，，则的长为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 7．（23-24八年级下·四川绵阳·期末）下面给出的条件中，能判定四边形是平行四边形的是（    ） A．， B．， C．， D．， 二、填空题 8．（24-25八年级下·四川广安武胜县·期末）如图，在四边形中，，，，为线段的中点，为线段上的动点（含端点），，分别为，的中点，则的长的最大值为________． 9．（24-25八年级下·四川南充仪陇县·期末）如图，E是平行四边形的对角线上一点，延长到F，使．若，，则的长为________． 10．（23-24八年级下·四川绵阳安州区·期末）如图，在中，，点M，N分别是边的中点，连接，并取的中点，分别记为点E，F，连接，则的长为 _____． 11．（24-25八年级下·四川绵阳北川县·期末）如图，在四边形中，，，，，．动点从点出发，沿射线以每秒的速度运动．动点同时从点出发，在线段上以每秒的速度向点运动；当动点到达点时，动点也同时停止运动．设点的运动时间为秒，当以点、、、为顶点的四边形是平行四边形时，的值为__________． 12．（24-25八年级下·四川自贡市·期末）如图，平行四边形中，对角线相交于点，过点的直线分别交于点，若平行四边形的面积为6，则图中阴影部分的面积是__________．    三、解答题 13．（24-25八年级下·四川广安武胜县·期末））如图，四边形是平行四边形，点E，F分别在和上，．(1)求证：四边形是平行四边形；(2)若，，，求的长． 14．（24-25八年级下·四川绵阳市北川县·期末）如图，在中，E为的中点，延长交的延长线于点F，连接、．(1)求证：；(2)若，，，求的长． 15．（24-25八年级下·四川绵阳三台·期末）如图，在中，于点E，于点F． (1)求证：；(2)如果求的长． ( 地 城 考点0 3 矩形 )一、选择题 1．（24-25八年级下·四川广安邻水县·期末）下列叙述错误的是（   ） A．平行四边形的对角线互相平分 B．矩形的对角线相等 C．菱形的对角线互相垂直 D．对角线相等的四边形是平行四边形 2．（24-25八年级下·四川绵阳市北川县·期末）如图，在中，，点是斜边上一动点，于点，于点，连接，则的最小值为（    ） A． B． C．2 D．1 3．（23-24八年级下·四川绵阳涪城区·期末）如图，在矩形中，对角线、相交于点，，点在上，若，则的度数等于（   ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级下·四川绵阳市涪城区·期末）如图，在矩形中，，的平分线交于点，于点，连接并延长交于点，连接交于点，有下列结论：①平分；②；③；④．其中正确的结论有（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 二、填空题 5．（24-25八年级下·四川广安武胜县·期末）如图，矩形中，点H，F分别在边上，连接，将沿折叠，点D恰好落在线段上的点E处，同时将沿折叠，点B恰好落在线段上的点G处．连接，若，则_______ ， _______． 6．（24-25八年级下·四川凉山·期末）如图，依次连结第一个矩形各边的中点得到一个菱形，再依次连结菱形各边的中点得到第二个矩形，…，按此方法继续下去．已知第一个矩形的面积为1，则第n个矩形的面积为_______请用含的式子写出你猜想的规律． 7．（24-25八年级下·四川绵阳·期末）如图，矩形的对角线相交于点，，则的长为____________． 8．（24-25八年级下·四川绵阳·期末）如图，在四边形ABCD中，，，垂足为，延长EF交AD于点，与互余，则______． 9．（23-24八年级下·四川绵阳江油市·期末）如图，P是正方形对角线上的一点，直线m，n经过点P且，若四边形与四边形的面积分别是，，那么四边形与四边形的面积之和是________． 10．（23-24八年级下·四川绵阳·期末）如图，在矩形中，为边上点，，沿直线将翻折得到，且点在边上，那么______． 11．（24-25八年级下·四川凉山州·期末）如图，在矩形中，于E，，则的度数为______度． 三、解答题 12．（24-25八年级下·四川南充仪陇县·期末）如图，点M在平行四边形的边上，，请从以下两个选项，①，②，选择一个作为已知条件，使得平行四边形为矩形． (1)你添加的条件是_________．（填序号）．(2)添加条件后，请证明平行四边形为矩形． 13．（24-25八年级下·四川自贡·期末）如图，在矩形中，E、F为上两点，且，连接、交于点O．(1)求证：是等腰三角形；(2)若，，求矩形的周长． 14．（23-24八年级下·四川绵阳市梓潼县·期末）如图，矩形中，，，M是边上一点，将沿直线翻折，得到．(1)当平分时，求的长；(2)连接，当时，求的面积． 15．（24-25八年级下·四川绵阳三台·期末）已知四边形是矩形，E是射线上一点，与关于直线成轴对称． (1)当点E在线段上时，的延长线交于点G．①如图1，求证：；②如图2，延长，交的延长线于点H，连接，若，判断四边形的形状，并说明理由； (2)若，当点F落在的垂直平分线上时，连接，直接写出线段的长． ( 地 城 考点0 4 菱形 )一、选择题 1．（24-25八年级下·四川德阳市·期末）下列说法正确的是（    ） A．平行四边形的对角线互相垂直 B．对角线互相垂直的四边形是菱形 C．菱形的对角线相等 D．对角线互相平分的四边形是平行四边形 2．（24-25八年级下·四川绵阳·期末）在菱形中，对角线，则该菱形的周长为（   ） A．15 B．20 C．22 D．25 3．（24-25八年级下·四川绵阳市北川县·期末）如图，在矩形中，，，点E在边上，点F在边上，点G，H在对角线上．若四边形是菱形，则的长为（　　） A．2 B．3 C．5 D．6 4．（24-25八年级下·四川自贡·期末）如图，菱形盒子底部有一面平面镜，从点处射入一道平行于的光线，入射光线经过镜面反射后恰好经过点（法线与平面镜垂直，反射角等于入射角），若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 5．（24-25八年级下·四川南充仪陇县·期末）新定义：若四边形一组对边平行且有一组邻边相等，称为“准菱形”．已知平行四边形为准菱形，则该四边形一定是（　　） A．矩形 B．菱形 C．正方形 D．无法确定 6．（24-25八年级下·四川广安邻水县·期末）如图，在菱形中，与相交于点O，的垂直平分线交于点F，连接．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 7．（23-24八年级下·四川绵阳·期末）中，为边上点，平分，过点作，与交于点，作，与交于点，连接．现有以下结论：①；②当时，四边形是平行四边形；③当是正三角形时，四边形是菱形；④保持的长度不变，改变大小，一定可以使得点是中点．其中正确的有（   ）个 A． B． C． D． 二、填空题 8．（24-25八年级下·四川广安邻水县·期末）菱形的面积为，一条对角线是，那么菱形的另一条对角线长为_____． 9.（23-24八年级下·四川绵阳游仙区·期末）如图，四边形为菱形，点，菱形的对角线相交于点E，连接，则的长是______． 10．（24-25八年级下·四川广安武胜县·期末）如图，两张等宽的纸条交叉重叠在一起，重叠的部分为四边形，若测得A，D之间的距离为，点A，C之间的距离为，则四边形的面积为__________． 三、解答题 11．（24-25八年级下·四川广安武胜县·期末）在学习了平行四边形的性质后，小爱同学和小艺同学进行了拓展探究．如图，在平行四边形中，点E是上的一点，且，连接． (1)尺规作图：作的平分线交于点F，连接（不写作法，保留作图痕迹）； (2)根据（1）中作图，小爱同学猜测四边形是菱形，小艺同学写出了如下不完整的证明过程，请你帮助她们把证明过程补充完整． 证明：∵平分，∴① ∵在中，，∴，∴② ∴， ∵，∴③ ∵在平行四边形中，，∴，∴四边形是平行四边形， 又∵，∴四边形是菱形． 小爱同学和小艺同学经过进一步探究发现，与具有特殊的位置关系，并且与的内角大小无关．她们总结出了以下结论：平行四边形的任意一组相邻内角的平分线④ ． 12．（24-25八年级下·四川绵阳·期末）如图，的对角线，相交于点，，，．(1)请判断是否是菱形？为什么？(2)请直接写出的面积为______；边和之间的距离为______． 13．（24-25八年级下·四川南充仪陇县·期末）菱形的对角线相交于O，是的中点，于F，于G．(1)求证：四边形是矩形；(2)若，，求的长． 14．（24-25八年级下·四川广元·期末）在中，，，，点D是边上的一点，连接．作，，连接．(1)若点D为中点，试判断四边形的形状，并说明理由；(2)四边形能否为矩形，若能，求出的长，若不能，请说明理由． 15．（24-25八年级下·四川自贡·期末）已知在菱形中，与交于点O，，垂足为M，E是延长线上一点，连接交于点F，G是上一点，，H是上一点，．(1)求证：；(2)若①试确定与的数量关系，并说明理由；②取中点N，连接并求线段的长． ( 地 城 考点0 5 正方形 )一、选择题 1．（24-25八年级下·四川绵阳市三台县·期末）如图，四边形是平行四边形，下列结论错误的是（  ） A．当时，是菱形 B．当时，是菱形 C．当时，是矩形 D．当时，是正方形 2．（24-25八年级下·四川自贡·期末）下列性质中，矩形、正方形都具有，但是菱形却不具有的性质是（    ） A．对角线长度相等 B．对角线互相垂直 C．对角线互相平分 D．一组对角线平分一组对角 3．（24-25八年级下·四川广安武胜县·期末）如图，已知四边形为正方形，E为对角线上一点，连接，过点E作，交的延长线于点F，连接，若，，则的长为（　　） A．5 B． C．6 D． 4．（23-24八年级下·四川自贡·期末）如图，点在正方形的边上，若，，那么正方形的面积为（    ） A． B．6 C．8 D．10 5．（24-25八年级下·四川凉山州·期末）如图，点是正方形内部的一动点，连接，以为腰在的右侧作等腰直角三角形，连接，，为的中点，连接，随着点的运动，下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 6．（23-24八年级下·四川绵阳三台县·期末）如图，在边长为的正方形中，，，则的长是______．    7．（24-25八年级下·四川自贡·期末）如图，点C是线段上的一点，分别以、为边在的同侧作正方形和正方形，连接、、．当时，的面积记为；当时，的面积记为；．．．；以此类推，当时，的面积记为，则的值为_______． 8．（24-25八年级下·四川广安武胜县·期末）如图，在正方形中，为对角线上一点，为边上一点，且，连接，若，则的度数为__________． 9．（24-25八年级下·四川广元·期末）如图，在平面直角坐标系中，四边形是正方形，点的坐标是，为边上一点，沿折叠正方形，点的对应点为，若，则点的坐标是______． 三、解答题 10．（24-25八年级下·四川德阳旌阳区·期末）正方形中，点E，F分别在边和上（不与端点重合），连接，，，过点D作，交的延长线于点G，平分． (1)写出，和之间的数量关系，并说明理由；(2)若正方形的边长为8，．求的长． 11．（24-25八年级下·四川绵阳三台·期末）如图，在正方形中，点在边上，连接交于点，连接．(1)求证：；(2)若，，求的长． 12．（24-25八年级下·四川德阳·期末）如图，正方形的边长为3，M为边上一点，，与交于点N，将沿翻折得到，延长与交于点D，与的延长线交于点E． (1)求证∶ ；(2)当时，求的长． 13．（24-25八年级下·四川南充仪陇县·期末）如图，E是正方形内部一点，，延长到F，使得，连接．(1)求证：．(2)判断的形状．(3)若，求的长度． 14．（24-25八年级下·四川绵阳平武县·期末）如图，在正方形中，点在射线上（不与，重合），点为直线上一点，． (1)如图①，若，，的长是______，的长是______； (2)如图②，当在线段上时，猜想，，之间的数量关系并证明； (3)当在线段的延长线上时，第（2）问中的结论是否成立？若成立，说明理由：若不成立，请探究，，之间的数量关系． 15．（24-25八年级下·四川自贡·期中）如图所示，正方形的边长为6，点C在x轴上，点A在y轴上．(1)如图 1，动点P从点B出发，沿方向以每秒1个单位的速度向点C匀速运动；同时动点Q从点C出发，沿方向以每秒2个单位的速度向点O匀速运动，当一个点停止运动时，另一个点也停止运动．设运动时间为．当为等腰三角形时，求t的值；(2)如图 2，正方形沿直线折叠，使得点A落在对角线上的点E 处，折痕与、x轴分别交于点D、F，求出点D的坐标； (3)在（2）的条件下，若点N是平面内任一点，在x 轴上是否存在点M，使M、N、E、O为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出满足条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由． 2 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 四边形 5大高频考点概览 考点01四边形与多边形 考点02平行四边形 考点03矩形 考点04 菱形 考点05 正方形 ( 地 城 考点01 四边形与多边形 )一、选择题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 B B D A B B D C A C 二、填空题 11．【答案】/150度 12．【答案】④ 三、解答题 13．【答案】(1)6(2)边数为，对角线条数为 【详解】（1）解：∵正边形每个内角为，∴每个外角的度数为 ， ∵任意多边形的外角和为，∴边数 ； （2）设这个多边形的边数为，多边形内角和为，任意多边形外角和为， 根据题意列方程得 ，解得 ， ∴边形对角线条数公式为，将代入得 ， ∴因此这个多边形边数为，对角线条数为． ( 地 城 考点02 平行四边形 ) 一、选择题 1 2 3 4 5 6 7 C A D D D B B 二、填空题 8．【答案】2 9．【答案】 10．【答案】5 11．【答案】或 12．  【答案】3 三、解答题 13．【答案】(1)证明见解析(2) 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵，∴，∴， ∵，∴四边形是平行四边形． （2）解：∵，∴， 在中，根据勾股定理得，， ∵，四边形是平行四边形，∴四边形是矩形，∴． 14．【答案】(1)见解析(2) 【详解】（1）证明：∵为的中点，∴， ∵四边形为平行四边形，∴，，∴， 在和中，，∴； （2）解：∵，四边形为平行四边形，，∴， 又∵，∴，∵，∴， ∵，∴， ∵且，∴四边形为平行四边形，∴． 15．【答案】(1)见解析(2) 【详解】（1）证明：于点于点，， 四边形是平行四边形，，， 在和中，，． （2）解：， ，，， ，的长为． ( 地 城 考点0 3 矩形 ) 一、选择题 1 2 3 4 D B B B 二、填空题 5．【答案】 10 6．【答案】 7．【答案】 8．【答案】 9．【答案】 10．【答案】 11．【答案】45 三、解答题 12．【答案】(1)①(2)证明见解析 【详解】（1）解：∵，∴， ∵四边形是平行四边形，∴，∴，， ∴，即根据已知条件可推导出条件②，∴添加的条件是①，故答案为：①． （2）证明：添加条件①后，∵，∴， ∵四边形是平行四边形，∴，∴， ∴，∴，∴，即， 又∵四边形是平行四边形，∴平行四边形为矩形． 13．【答案】(1)见解析(2) 【详解】（1）证明：∵四边形是矩形，∴， ∵，∴，∴， ∴，∴，， ∴，∴，∴是等腰三角形； （2）解：∵，∴，∴， ∵，∴，∴， ∵矩形中，，∴， ∴，∴，∵，∴， ∴矩形的周长为． 14．【答案】(1)(2) 【详解】（1）解：由折叠的性质得，， 平分，，， 四边形是矩形，，，，， 设，，，， ，； （2）解：延长交的延长线于点， 四边形是矩形，，， 由折叠的性质得，，，，， ，，设，则， ，，在中，， 即，，，， ，，，． 15．【答案】(1)①见解析；②菱形，见解析(2)或 【详解】（1）①证明：∵四边形是矩形，∴，∴， ∵与关于直线成轴对称， ∴，∴，∴，∴； ②四边形是菱形，理由如下： ∵四边形是矩形，∴，∴， ∵，∴，∴，∴四边形是平行四边形， ∵与关于直线成轴对称，∴， ∴，∴四边形是菱形； （2）解：由题意可分：①当点E在线段上时，如图所示： ∵四边形是矩形，∴， 作的垂直平分线，分别交于，则由题意可知点在上，连接， ∴， ∴是等边三角形，∴，∴，∴； ②当点E在线段外时，如图所示： 同理①可得：，∴，∴． ( 地 城 考点0 4 菱形 ) 一、选择题 1 2 3 4 5 6 7 D B C C B D C 二、填空题 8．【答案】4 9.【答案】 10．【答案】 三、解答题 11．【答案】(1)见解析(2)；；；互相垂直 【详解】（1）解：图形如图所示： （2）证明：∵平分，∴①， ∵在中，，∴，∴②，∴， ∵，∴③， ∵在平行四边形中，，∴，∴四边形是平行四边形， 又∵，∴四边形是菱形． 小爱同学和小艺同学经过进一步探究发现，与具有特殊的位置关系，并且与的内角大小无关．她们总结出了以下结论：平行四边形的任意一组相邻内角的平分线④互相垂直． 故答案为：，，．互相垂直． 12．【答案】(1)是菱形，理由见解析(2)，． 【详解】（1）解：∵的对角线，相交于点，，，， ∴，， ∵，∴， ∴是直角三角形，且，∴，∴是菱形； （2）解：∵是菱形，，，∴的面积 ， 设边和之间的距离为，则， ∵，∴，故答案为：，． 13．【答案】(1)证明见解析(2) 【详解】（1）证明：∵四边形是菱形，∴，即点是的中点， ∵是的中点，∴是的中位线，∴， ∵，，∴，∴四边形是平行四边形， 又∵，∴四边形是矩形． （2）解：∵四边形是菱形，∴，，， ∵在中，是的中点，，∴，，∴， 由（1）已证：四边形是矩形，有，∴， ∵，∴，∴， ∵，∴，∴． 14．【答案】(1)四边形是菱形，见解析(2)能， 【详解】（1）解：若点为中点，四边形是菱形． 证明： ，四边形是平行四边形， 又为中点，，，是菱形 （2）解：能，由（1）知：四边形是平行四边形， ∴当时，四边形成为矩形． 中，，， 又，，． 15．【答案】(1)见解析(2)①，理由见解析；② 【详解】（1）证明：在菱形中，, 又，，， 在和中，，； （2）解：①，理由如下，，， ，，则，， 由（1）知，，，则， 在和中，，，； ②，，， ，， 则，， 在中，，即，解得， 则，，设菱形的边长为，在中，， ，解得，即菱形的边长为，连接，过作于点I， ，解得，，， ，， 在菱形中，为中点，又为中点，为的中位线，． ( 地 城 考点0 5 正方形 ) 一、选择题 1 2 3 4 5 D A B C A 二、填空题 6．【答案】1 7．【答案】 8．【答案】 9．【答案】 三、解答题 10．【答案】(1)，详见解析(2)，详见解析 【详解】（1），理由如下， ∵四边形为正方形，∴，， ∴， ∵,∴， ∴，∴，， ∵平分，∴，∵∴， ∴，∴,∴； （2）设，由（1）知，，∵，∴， ∵正方形的边长为8，∴， 在中，，∴，∴，∴． 11．【答案】(1)证明见解析(2) 【详解】（1）证明：正方形，，， ， ，； （2）解：正方形，，， ，，设，则， 在中，，， ，（舍去）． 12．【答案】(1)见解析(2) 【详解】（1）证明：设于点G，则，∴， ∵正方形中，，∴， ∴，∴，∴； （2）解：连接，由（1）知，， ∵正方形的边长为3，∴， 由折叠知，，,∴， ∵，∴，∴，设，则， ∵，∴，∴，解得，∴． 13．【答案】(1)见解析(2)是等腰直角三角形(3)10 【详解】（1）证明：如图所示，设交于O， ∵四边形是正方形，∴，∵，， ，∴， ∵，∴，∴，∴； （2）解：如图所示，在上截取，连接， ∵四边形是正方形，∴， 又∵，，∴，∴， ∴，∴是等腰直角三角形，∴，又∵，∴是等腰直角三角形； （3）解：∵是等腰直角三角形，，∴， ∵，∴，∴． 14．【答案】(1)，(2)，证明见解析(3)不成立，，证明见解析 【详解】（1）解：∵，，∴， ∵正方形，，∴，，∴， 在中，，∴，∴， 在中，同理，∴；故答案为：，； （2）解：，理由如下：如图，在的延长线上截取，连接，如图： ∵四边形是正方形∴，，，∴， 在和中，，∴，∴，， 又∵，∴，又∵，∴，∴， 又∵，，∴； （3）解：数量关系：，理由如下：在线段上截取线段，如图所示， ∵四边形是正方形，∴，，∴，∴， ∵，∴，∵，∴，∴，∴， ∵，，，∴，即． 15．【答案】(1)(2)(3)或或或 【详解】（1）解：由题意得，，，∴， 当为等腰三角形时，，∴，∴； （2）解：如图，由折叠的性质可知：，，， ∴，，设，则，， 在中，由勾股定理得：，∴， 解得：，∴； （3）解：在x轴上存在点M，使M、N、E、O为顶点的四边形是菱形； 分以下三种情况：①当、是菱形的边时， ∵，∴，∴或； ②当OE是对角线，OM是边长时， ∵，，∴，∴； ③当是对角线，是边长时，此时，∴，∴． 综上所述，点M的坐标为或或或． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $