精品解析：四川省雅安市2023-2024学年八年级下学期期末数学试题

2024年雅安市义务教育阶段学业质量监测 八年级数学试题 全卷共4页，满分120分，考试时间120分钟 注意事项： 1．答题前，请考生务必在答题卡上正确填写自己的姓名和准考证号．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回． 2．选择题每小题选出的答案须用2B铅笔在答题卡上把对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦净后，再选涂其它答案．非选择题须用黑色墨水钢笔或0.5mm黑色签字笔在答题卡上对应题号位置作答，在试卷上作答，答案无效． A卷（共100分） 一、选择题：（本大题共12个小题，每小题3分，共36分）在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题意． 1. 9的平方根是（ ） A. B. 9 C. D. 3 2. 下列图形中，中心对称图形是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，为测量池塘边A、B两点的距离，小明在池塘的一侧选取一点O，测得 、 的中点分别是点D、E，且，则A、B间的距离是（ ） A. B. C. D. 4. 如果一个多边形的每一个外角都是60°，则这个多边形的边数是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 5. 下列等式由左边到右边的变形中，属于因式分解的是（ ） A. B. C. D. 6. 某校开设了航模、机器人、计算机编程三门特色课程，小雅同学从中随机选取两门课程，恰好选中航模和机器人的概率为 （ ） A. B. C. D. 7. 如图，四边形 中，对角线 ， 相交于点 ，下列条件不能判定这个四边形是平行四边形的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 8. 一次函数与的图像如图所示，下列说法： ①对于函数来说，y随x的增大而减小； ②函数的图像不经过第一象限； ③不等式的解集是 ； ④ 其中正确的有（ ） A. ①③ B. ②③④ C. ①②④ D. ②③ 9. 直角三角形的两边长m，n满足，则第三边长是（　　） A. 5 B. 5或 C. 4或 D. 4 10. 如图，在平行四边形 中，平分 ，对角线 ， 相交于点 ，连接 ，下列结论中正确的有（ ） ①；② ；③；④ A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 11. 若关于x的方程有正整数解，且关于x的不等式组有且只有3个整数解，则符合条件的所有整数a的和为（ ） A. B. C. D. 12. 如图，AD为△ABC中∠ BAC的外角平分线，BD⊥AD于D，E为BC中点，DE=5，AC=3，则AB长为（） A. 8.5 B. 8 C. 7.5 D. 7 13. 如图，在 中， ，按以下步骤作图： ①点C为圆心，以适当长为半径画弧交 于点 ，交 于点F； ②分别以E，F为圆心，大于 的长为半径画弧，两弧相交于点P； ③作射线 交 于点 D． 若 ， ，则 的面积为______． 二、填空题：（本大题共4个小题，每小题3分，共12分）将答案直接写在答题卡相应题号的横线上． 14. 因式分解：______． 15. 如图，点A、B、C、D、O都在方格纸的格点上，若 是由△AOB绕点O按逆时针方向旋转而得，则旋转的角度为_____． 16. 如图，函数y＝kx+b（k≠0）的图像经过点B（2，0），与函数y＝2x的图像交于点A，则不等式0＜kx+b＜2x的解集为 _____． 三、解答题：（本大题共6个小题，共52分）解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤． 17. （1）计算：； （2）解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来． 18. 先化简，再求值：，其中． 19. 4月23日是世界读书日．为了解学生的阅读喜好，丰富学校图书资源，某校将课外书籍设置了四类：文学类、科技类、艺术类、其他类，随机抽查了部分学生，要求每名学生从中选择自己最喜欢的类，将抽查结果绘制成如下统计图（不完整）． 被抽查学生最喜欢的书籍种类的 条形统计图 被抽查学生最喜欢的书籍种类的 扇形统计图 请根据图中信息解答下列问题： （1）求被抽查的学生人数，并求出扇形统计图中m的值． （2）请将条形统计图补充完整．（温馨提示：请画在答题卷相对应的图上） （3）若该校共有1200名学生，根据抽查结果，试估计全校最喜欢“文学类”书籍的学生人数． 20. 雅安市某旅游纪念品专卖店用2500元购进一批熊猫毛绒玩具，很受游客欢迎，熊猫毛绒玩具很快售完，接着又用4500元购进第二批这种熊猫毛绒玩具，所购数量是第一批数量的1.5倍，但每个进价多了5元． （1）求第一批熊猫毛绒玩具每个的进价是多少元； （2）如果这两批熊猫毛绒玩具每个售价相同，且全部售完后总利润不低于 ，那么每个熊猫毛绒玩具的售价至少是多少元？ 21. 阅读下列材料：通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”，而假分数都可化为带分数．如：．我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．如这样的分式就是假分式，这样的分式就是真分式．类似地，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式的和的形式），如：．解决下列问题： （1）分式是___________分式（填“真”或“假”）； （2）将假分式化为带分式； （3）如果 为整数，分式的值为整数，求所有符合条件的 的值． 22. 如图，四边形ABCD中， ,E是边CD的中点，连接BE并延长与AD的延长线相较于点F． （1）求证：四边形BDFC是平行四边形； （2）若△BCD是等腰三角形，求四边形BDFC的面积． B卷 四、填空题：（本大题共2个小题，每小题4分，共8分）将答案直接写在答题卡相应题号的横线上． 23. 关于 的分式方程无解，则 的值为________． 24. 等边 边长为4，点 是线段 上的动点，将线段 绕点 逆时针旋转得到线段 ，连接 ，点 在运动过程中， 的周长的最小值为___________． 五、解答题：（本大题共1个小题，共12分）解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 25. 在一次数学综合与实践活动中，老师给出如下探究任务：先画一个平行四边形，再画两条直线，将该平行四边形 分割成四个部分，使含有一组对顶角的两个图形全等．小安同学画了如下三种情形： （1）利用小安的分割方法：你认为两直线的交点 的位置在___________； （2）如图①，在平行四边形 中， ， 就是使含有一组对顶角的两个图形全等的两直线， 分别与 ， 的延长线交于点 ， ．请利用（1）的结论证明：； （3）如图②，将一张平行四边形的纸片 沿过对角线 的中点 的直线 折叠，折痕交边 于点，点 落在点处，点 落在点处，交于点 ，分别交于点．求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024年雅安市义务教育阶段学业质量监测 八年级数学试题 全卷共4页，满分120分，考试时间120分钟 注意事项： 1．答题前，请考生务必在答题卡上正确填写自己的姓名和准考证号．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回． 2．选择题每小题选出的答案须用2B铅笔在答题卡上把对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦净后，再选涂其它答案．非选择题须用黑色墨水钢笔或0.5mm黑色签字笔在答题卡上对应题号位置作答，在试卷上作答，答案无效． A卷（共100分） 一、选择题：（本大题共12个小题，每小题3分，共36分）在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题意． 1. 9的平方根是（ ） A. B. 9 C. D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了求平方根，熟练掌握平方根的定义是解此题的关键． 根据平方根的定义计算即可得解． 【详解】解：， 故9的平方根是， 故选：C． 2. 下列图形中，中心对称图形是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形的定义．中心对称图形是图形沿对称中心旋转180度后与原图重合的图形． 【详解】解：A是中心对称图形；B、C、D是轴对称图形，不是中心对称图形． 故选：A． 3. 如图，为测量池塘边A、B两点的距离，小明在池塘的一侧选取一点O，测得 、 的中点分别是点D、E，且，则A、B间的距离是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据 是 的中点，可得出 是 的中位线，得出，即可求解． 【详解】解：是 的中点， 是 的中位线， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了三角形的中位线定理应用，正确理解定理是解此题的关键． 4. 如果一个多边形的每一个外角都是60°，则这个多边形的边数是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】D 【解析】 【详解】解：由一个多边形的每一个外角都等于60°，且多边形的外角和等于360°，即求得这个多边形的边数为360÷60=6．故答案选D. 考点：多边形外角与边数的关系． 5. 下列等式由左边到右边的变形中，属于因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查因式分解的概念，需理解因式分解是将多项式化为整式乘积的变形． 因式分解是将多项式化为几个整式的乘积的形式．选项A右边不是乘积形式；选项B左边是单项式，且变形不是因式分解；选项C是整式乘法；选项D符合因式分解定义． 【详解】解：选项A：右边为，不是积的形式； 选项B：左边是单项式，右边是积，变形不是因式分解（因式分解针对多项式）； 选项C：左边是积，右边是多项式，属于整式乘法； 选项D：左边是多项式，右边是积的形式，属于因式分解． 故选：D． 6. 某校开设了航模、机器人、计算机编程三门特色课程，小雅同学从中随机选取两门课程，恰好选中航模和机器人的概率为 （ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查列表法求出概率，根据题意，用A，B，C分别表示航模、机器人、计算机编程三门特色课程，列出表格，利用概率公式进行计算即可． 【详解】解：用A，B，C分别表示航模、机器人、计算机编程三门特色课程，列表如下： A B C A A，B A，C B B，A B，C C C，A C，B 共有6种等可能的结果，其中恰好选中航模和机器人的结果有2种， ∴； 故选A． 7. 如图，四边形 中，对角线 ， 相交于点 ，下列条件不能判定这个四边形是平行四边形的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的判定，根据平行四边形的判定方法，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、两组对边分别相等的四边形为平行四边形，可以判定四边形 为平行四边形，不符合题意； B、∵， ，， ∴， ∴， ∴四边形 为平行四边形，不符合题意； C、对角线互相平分的四边形为平行四边形，可以判定四边形 为平行四边形，不符合题意； D、一组对边平行，另一组对边相等的四边形不一定是平行四边形，可能是等腰梯形，不可以判定四边形 为平行四边形，符合题意； 故选D． 8. 一次函数与的图像如图所示，下列说法： ①对于函数来说，y随x的增大而减小； ②函数的图像不经过第一象限； ③不等式的解集是 ； ④ 其中正确的有（ ） A. ①③ B. ②③④ C. ①②④ D. ②③ 【答案】C 【解析】 【分析】①由函数图像即可判定函数的增减性，进而判断正误；②观察函数图像可得a、d的正负，然后进行判定即可；③以两条直线的交点为分界，哪个函数图像在上面，则哪个函数值大，据此判定即可；④根据两直线交点可判定正误． 【详解】解：由图像可得：对于函数来说，y随x的增大而减小，故①说法正确； 由函数图像可得：，则函数的图像经过第二，三，四象限，即不经过第一象限，故②说法正确， 由图像可知：当时，一次函数图像在的图像上方， ∴的解集是，故③说法不正确； ∵一次函数与的图像的交点的横坐标为3， ∴ ∴， ∴．故④说法正确． 故选：C． 【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式、一次函数的图像与性质等知识点，灵活利用数形结合思想是解题的关键． 9. 直角三角形的两边长m，n满足，则第三边长是（　　） A. 5 B. 5或 C. 4或 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】利用非负数的性质求出m，n，再分两种情况根据勾股定理即可解决问题． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴． ∴． ① 为斜角边时，则第三边长为：； ② 为直角边时，则第三边长为：； 综上所述，第三边长为5或． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了完全平方公式，勾股定理，非负数的性质，利用分类讨论思想解答是解题的关键． 10. 如图，在平行四边形 中，平分 ，对角线 ， 相交于点 ，连接 ，下列结论中正确的有（ ） ①；② ；③；④ A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，等边三角形的判定与性质，角平分线的定义，根据平行四边形的性质得出， ，，，推出 是等边三角形，再证明 ，得出，得出 即可判断①④；根据， ，可判断②正确，根据，，，，可判断③错误． 【详解】解：在平行四边形 中， ∴，， ∵ 平分 ， ∴， ∴， ∴ 是等边三角形， ∴， ∵ ， ∴， ∴E是 的中点， ∴ ， ∵， ∴ ， ∴， ∴， ∴；， 故①、④正确； ∵， ∴ ， 故②正确； ∵，，， ∴， 故③错误， 正确的有3个， 故选：C． 11. 若关于x的方程有正整数解，且关于x的不等式组有且只有3个整数解，则符合条件的所有整数a的和为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是解分式方程，解一元一次不等式组，掌握相关解法是解题关键．先按照解分式方程的一般步骤解方程，求出，根据分式方程有正整数解，得到，且为奇数，，然后解一元一次不等式组，再根据不等式组有且只有3个整数解，列出关于a的不等式，求出a的取值范围，最后再求出符合条件的所有整数a，并求出它们的和即可． 【详解】解：， 去分母得：， 去括号得：， 移项、合并同类项得：， 解得：， ∵关于x的方程有正整数解， ∴ ，且为整数， ， ∴，为2的整数倍，， ∴，且为奇数，， ， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集为：， ∵关于x的不等式组有且只有3个整数解， ∴， ∴， ∴符合条件的所有整数a为或 ， ∴符合条件的所有整数a的和为：， 故选：A． 12. 如图，AD为△ABC中∠ BAC的外角平分线，BD⊥AD于D，E为BC中点，DE=5，AC=3，则AB长为（） A. 8.5 B. 8 C. 7.5 D. 7 【答案】D 【解析】 【分析】延长BD、CA交于点F，易证△ADF △ADB（ASA），则BD=DF，AB=AF，得到点D为BF中点，即DE为△BCF的中位线，再根据已知线段的长度，即可顺利求得AB的长． 【详解】解：如图，分别延长BD、AC交于点F， ∵AD为△ABC中∠BAC的外角平分线， ∴∠FAD=∠BAD， ∵BD⊥AD， ∴∠FDA=∠BDA=90°， 在△BDA和△FDA中，， ∴△BDA △FDA（ASA）， ∴AB=AF，BD=FD，即D为BF的中点， ∵E为BC中点， ∴DE为△BCF的中位线， ∵DE=5，AC=3， ∴CF=2DE=2 5=10， ∴AF=CF-AC=10-3=7． ∴AB=AF=7． 故选D． 【点睛】本题考查三角形的综合，涉及的知识点有全等三角形的判定，中位线定理等，难度一般，是中考的常考知识点，正确作出辅助线并证明全等是顺利解题的关键． 13. 如图，在 中， ，按以下步骤作图： ①点C为圆心，以适当长为半径画弧交 于点 ，交 于点F； ②分别以E，F为圆心，大于 的长为半径画弧，两弧相交于点P； ③作射线 交 于点 D． 若 ， ，则 的面积为______． 【答案】## 【解析】 【分析】过点 作，，垂足分别为 、 ，由题意可知 是的平分线，根据角平分线的性质可知 ，再由三角形的面积公式求出 的值，进而可得出结论． 【详解】解：过点 作，，垂足分别为 、 ， 由题意可知 是的平分线， ． 在 中， ， ， ， ，即， 解得， 的面积． 故答案为：． 【点睛】本题考查的是作图基本作图，熟知角平分线的作法和性质是解答此题的关键． 二、填空题：（本大题共4个小题，每小题3分，共12分）将答案直接写在答题卡相应题号的横线上． 14. 因式分解：______． 【答案】 【解析】 【详解】解：． 15. 如图，点A、B、C、D、O都在方格纸的格点上，若 是由△AOB绕点O按逆时针方向旋转而得，则旋转的角度为_____． 【答案】 ##90度 【解析】 【分析】由 是由 绕点O按逆时针方向旋转而得，可知旋转的角度是 的大小，然后由图形即可求得答案． 【详解】解：∵ 是由 绕点O按逆时针方向旋转而得， ∴ ， ∴旋转的角度是 的大小， ∵， ∴旋转的角度为 ． 故答案为： ． 【点睛】此题考查了旋转的性质．解此题的关键是理解 是由 绕点O按逆时针方向旋转而得的含义，找到旋转角． 16. 如图，函数y＝kx+b（k≠0）的图像经过点B（2，0），与函数y＝2x的图像交于点A，则不等式0＜kx+b＜2x的解集为 _____． 【答案】1<x<2##2＞x＞1 【解析】 【分析】先利用正比例函数解析式确定A点坐标，然后观察函数图象得到，当x>1时，直线y=2x都在直线y=kx+b的上方，当x<2时，直线y=kx+b在x轴上方，于是可得到不等式0<kx+b<2x的解集． 【详解】解：当y=2时，2=2x，解得x=1 ∴点A(1，2)， ∴当x>1时，2x>kx+b， ∵函数y=kx+b（k 0）的图象经过点B（2，0）， ∴x<2时，kx+b>0， ∴不等式0<kx+b<2x的解集为1<x<2． 故答案为：1<x<2． 【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系，解题关键是能够从图象上看出函数值的取值范围与自变量的取值范围的对应关系． 三、解答题：（本大题共6个小题，共52分）解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤． 17. （1）计算：； （2）解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来． 【答案】（1）；（2），见解析 【解析】 【分析】此题考查了化简绝对值，二次根式，零指数幂和负整数指数幂，解一元一次不等式组，解题的关键是掌握以上运算法则． （1）首先化简绝对值，二次根式，零指数幂和负整数指数幂，然后计算加减即可； （2）分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集，然后在数轴表示即可． 【详解】（1） ； （2） 解不等式①得， ， 解不等式②得， ∴不等式组的解集为：． 在数轴上表示如下： 18. 先化简，再求值：，其中． 【答案】，. 【解析】 【分析】先将括号里面进行通分，再将能分解因式的分解因式，约分化简即可． 【详解】 把代入得： 原式 【点睛】考点：分式的化简求值，二次根式的计算． 19. 4月23日是世界读书日．为了解学生的阅读喜好，丰富学校图书资源，某校将课外书籍设置了四类：文学类、科技类、艺术类、其他类，随机抽查了部分学生，要求每名学生从中选择自己最喜欢的类，将抽查结果绘制成如下统计图（不完整）． 被抽查学生最喜欢的书籍种类的 条形统计图 被抽查学生最喜欢的书籍种类的 扇形统计图 请根据图中信息解答下列问题： （1）求被抽查的学生人数，并求出扇形统计图中m的值． （2）请将条形统计图补充完整．（温馨提示：请画在答题卷相对应的图上） （3）若该校共有1200名学生，根据抽查结果，试估计全校最喜欢“文学类”书籍的学生人数． 【答案】（1）200人，40 （2） 补全的条形统计图如图所示                                         （3）360人 【解析】 【分析】（1）根据其它类的人数和所占的百分比求出调查的总人数，用科技类的人数比上总人数，即可得出科技类的学生人数占抽样人数的百分比； （2）用总人数减去文学类、科技类和其他的人数，求出艺术类的人数，补条形统计图即可； （3）用1200乘以文学类书籍所占的百分比，即可得出答案． 【小问1详解】 被抽查的学生人数是（人） ∵， ∴扇形统计图中m的值是40． 【小问2详解】 ∵（人）， ∴补全的条形统计图如图所示 【小问3详解】 ∵（人）， ∴估计全校最喜欢“文学类”书籍的学生人数共有360人． 【点睛】本题考查的是条形统计图及其应用与用样本估计总体的知识，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据，能够根据各个数据进行正确计算． 20. 雅安市某旅游纪念品专卖店用2500元购进一批熊猫毛绒玩具，很受游客欢迎，熊猫毛绒玩具很快售完，接着又用4500元购进第二批这种熊猫毛绒玩具，所购数量是第一批数量的1.5倍，但每个进价多了5元． （1）求第一批熊猫毛绒玩具每个的进价是多少元； （2）如果这两批熊猫毛绒玩具每个售价相同，且全部售完后总利润不低于 ，那么每个熊猫毛绒玩具的售价至少是多少元？ 【答案】（1）第一批熊猫毛绒玩具每个的进价是 25 元 （2）每个熊猫毛绒玩具的售价至少是 35 元 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式． （1）设第一批熊猫毛绒玩具每个的进价是 元，则第二批熊猫毛绒玩具每个的进价是元，根据第二批所购数量是第一批数量的倍，列出分式方程，解方程即可； （2）设每个熊猫毛绒玩具的售价为 元，根据两批熊猫毛绒玩具每个售价相同，且全部售完后总利润不低于 ，列出一元一次不等式，解不等式即可． 【小问1详解】 解：设第一批熊猫毛绒玩具每个的进价是 元，则第二批熊猫毛绒玩具每个的进价是元， 根据题意得：， 解得： ， 经检验， 是原分式方程的解． 答：第一批熊猫毛绒玩具每个的进价是 25 元； 【小问2详解】 解：设每个熊猫毛绒玩具的售价为 元， 根据题意得：， 解得：． 答：每个熊猫毛绒玩具的售价至少是 35 元． 21. 阅读下列材料：通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”，而假分数都可化为带分数．如：．我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．如这样的分式就是假分式，这样的分式就是真分式．类似地，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式的和的形式），如：．解决下列问题： （1）分式是___________分式（填“真”或“假”）； （2）将假分式化为带分式； （3）如果 为整数，分式的值为整数，求所有符合条件的 的值． 【答案】（1）真 （2）答案见详解 （3） 或 或 或 【解析】 【分析】本题考查了分式的真分式与假分式的定义、假分式化为带分式的方法以及分式值为整数的求解，熟练掌握分式次数的判断、多项式变形技巧是解答本题的关键． （1）利用真分式与假分式的定义，比较分子和分母的次数确定分式类型； （2）通过多项式配方法将假分式化为整式与真分式的和的形式（带分式）； （3）先将分式化为带分式，再根据分式值为整数的条件，分析分母的约数情况求解整数 的值． 【小问1详解】 解：分式的分子可以看作，次数为 ，而分母次数为 ， 故分式是真分式． 【小问2详解】 解：． 【小问3详解】 解：， 为整数，分式的值为整数， 或， 或 或 或． 22. 如图，四边形ABCD中， ,E是边CD的中点，连接BE并延长与AD的延长线相较于点F． （1）求证：四边形BDFC是平行四边形； （2）若△BCD是等腰三角形，求四边形BDFC的面积． 【答案】 （1）证明：∵∠A=∠ABC=90°， ∴AF∥BC． ∴∠CBE=∠DFE,∠BCE=∠FDE． ∵E是边CD的中点， ∴CE=DE． ∴△BCE≌△FDE（AAS）． ∴BE=EF． ∴四边形BDFC是平行四边形． （2）6或 【解析】 【分析】（1）根据平行线的性质和中点的性质证明三角形全等，然后根据对角线互相平分的四边形是平行四边形完成证明； （2）由等腰三角形的性质，分三种情况：①BD=BC,②BD=CD,③BC=CD,分别求四边形的面积． 【详解】解：（1）略 （2）若△BCD是等腰三角形， ①若BD=BC=3 ． 在Rt△ABD中，AB=． ∴四边形BDFC的面积为S=×3=6； ②若BC=DC=3， 过点C作CG⊥AF于G，则四边形AGCB是矩形， 所以，AG=BC=3， 所以，DG=AG-AD=3-1=2， 在Rt△CDG中，由勾股定理得， ， ∴四边形BDFC的面积为S=． ③BD=CD时，BC边上的中线应该与BC垂直，从而得到BC=2AD=2，矛盾，此时不成立； 综上所述，四边形BDFC的面积是6或． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，（1）确定出全等三角形是解题的关键，（2）难点在于分情况讨论． B卷 四、填空题：（本大题共2个小题，每小题4分，共8分）将答案直接写在答题卡相应题号的横线上． 23. 关于 的分式方程无解，则的值为________． 【答案】 或 或 【解析】 【分析】本题考查分式方程的解法，解题的关键是熟练运用分式方程的解法，本题属于基础题型．根据分式方程无解的两种情况即可求出的值． 【详解】解： 去分母得， ， 当增根为 或 时， 或 解得或 ， 即或 时，分式方程无解， 当时，即 时，整式方程无解，分式方程无解， 综上可知，当的值为 或 或 ． 故答案为： 或 或 24. 等边 边长为4，点 是线段 上的动点，将线段 绕点 逆时针旋转得到线段 ，连接 ，点 在运动过程中， 的周长的最小值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，旋转的性质，等边三角形的判定和性质，垂线段最短等知识．连接 ，由旋转可得 ，，则 是等边三角形，所以，证明 ，所以 的周长，所以当 最小时， 的周长最小，最小值，当 时， 最小，此时 的周长最小，由勾股定理得，即可求解． 【详解】解：连接 ，如图， 由旋转可得， ∴ 是等边三角形， ∴ ，， ∵ 是等边三角形， ∴， ∴， 在 和中， ， ∴， ∴ ， ∴ 的周长， ∴当 最小时， 的周长最小，最小值， ∴当 时， 最小，此时 的周长最小， ∵ ， 是等边三角形， ∴， 由勾股定理，得， ∴ 的周长最小值． 故答案为：． 五、解答题：（本大题共1个小题，共12分）解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 25. 在一次数学综合与实践活动中，老师给出如下探究任务：先画一个平行四边形，再画两条直线，将该平行四边形 分割成四个部分，使含有一组对顶角的两个图形全等．小安同学画了如下三种情形： （1）利用小安的分割方法：你认为两直线的交点 的位置在___________； （2）如图①，在平行四边形 中， ， 就是使含有一组对顶角的两个图形全等的两直线， 分别与 ， 的延长线交于点 ， ．请利用（1）的结论证明：； （3）如图②，将一张平行四边形的纸片 沿过对角线 的中点 的直线 折叠，折痕交边 于点，点 落在点处，点 落在点处，交 于点 ，分别交于点．求证：． 【答案】（1）平行四边形的对称中心（或对角线的交点） （2）证明见解析 （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）由平行四边形是中心对称图形可得出结论； （2）连接 ，则 经过点 ，证明，得出； （3）由平行四边形的性质得，再由 证得，得出 ，然后由折叠性质得，最后证得，即可得出结论． 【小问1详解】 解：这两条直线过平行四边形的对称中心（或对角线的交点）． 故答案为：平行四边形的对称中心（或对角线的交点）； 【小问2详解】 证明：连接 ，则 经过点 ， ∵四边形 是平行四边形， ， ， ， ， ． 【小问3详解】 证明：∵四边形 是平行四边形， ， ， 在 和中， ， ， ， 由折叠的性质得：， ， ， ， ， ， 在与 中， ， ， ． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了平行四边形的性质、折叠的性质、全等三角形的判定与性质、平行线的性质等知识，熟练掌握平行四边形是中心对称图形，平行四边形的两条对角线交于一点，这个点是平行四边形的中心，也是两条对角线的中点，经过中心的任意一条直线可将平行四边形分成完全重合的两个图形是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $