精品解析：江西九江市同文中学2025-2026学年高一下学期阶段二考试数学试卷

九江市同文中学2025-2026学年度下学期阶段二考试 高一年级数学试卷 考试时间：120分钟 试卷总分：150分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知复数，其中i是虚数单位，则z的虚部为（ ） A. B. 3 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用复数的乘法运算化简，可得的虚部. 【详解】解：，则的虚部为. 故选：A. 【点睛】关键点点睛：本题计算的关键是复数的运算法则.本题考查了复数的计算，属于简单题. 2. 若，则（ ） A. 0.6 B. C. 0.8 D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用诱导公式化简，再根据同角三角函数基本关系求出的值，进而得到的值. 【详解】因为，所以 故选：D． 3. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，则（ ） A. B. C. 6 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】由正弦定理可得，即可求出，再由余弦定理计算可得； 【详解】解：因为，由正弦定理可得，又，所以，， 因为 所以，即，解得， 故选：B 4. 如图，在中，， ，若，，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据向量的线性运算法则，准确运算，即可求解. 【详解】因为，所以，所以， 又因为，所以，所以, 可得，所以, 即，即. 故选：B. 5. 已知，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用换元法，结合三角函数的诱导公式与倍角公式即可得解. 【详解】因为，令，则，， 所以 . 故选：D. 6. 中国古代四大名楼之首黄鹤楼，位于湖北省武汉市武昌区，因唐代诗人崔颢登楼所题《黄鹤楼》一诗而名扬四海.如图，某同学为测量黄鹤楼的高度，在黄鹤楼的正东方向找到一座建筑物，高约为26，在地面上点处（三点共线）测得建筑物顶部，黄鹤楼顶部的仰角分别为和，在处测得楼顶部的仰角为，则黄鹤楼的高度约为（ ） A. 64 B. 74 C. 52 D. 91 【答案】C 【解析】 【分析】求出，，，在中，由正弦定理求出，从而得到的长度. 【详解】在中，， ，， 在中，， 由，， 在中，m. 故选：C. 7. 设，，，则，，大小关系正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】通过三角恒等变形得到，结合的单调性即可比较大小. 【详解】， ， ， 由于在单调递增，故， 故. 故选：A 8. 设函数与函数的图象在内交点的横坐标依次是，且，则实数（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用诱导公式、二倍角公式、同角三角函数的基本关系式化简已知条件，从而求得正确答案. 【详解】由题意可知， 所以，又， 所以，则， 所以 ， 因为，解得. 故选：C 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列等式中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】利用两角和的正弦公式判断A，利用二倍角的余弦公式判断B，利用两角和的正切公式判断C，利用两角差的正切公式判断D即可. 【详解】对于A，由两角和的正弦公式得 ，故A正确， 对于B，由二倍角的余弦公式得，故B错误， 对于C，由题意得， 由两角和的正切公式得， 则，代入可得 ，故C正确， 对于D，由题意结合两角差的正切公式得 ，故D错误. 故选：AC 10. 已知平面向量，，则下列说法正确的是（ ） A. B. 与方向相反的单位向量是 C. 与的夹角的余弦值为 D. 在方向上的投影向量为 【答案】AC 【解析】 【分析】对于选项A，由向量的坐标运算结合模长公式可直接判断；对于选项B，由相反的单位向量为可直接得答案；对于选项C，可求出，，，根据数量积的公式即可判断出选项C项的正误；对于选项D，根据投影向量的计算公式即可判断出选项D的正误. 【详解】选项A，因为，所以，所以选项A正确； 选项B，与相反的单位向量为，故B错误； 选项C，因，所以，所以选项C正确； 选项D，由投影向量的定义知，在方向上的投影向量为，所以选项D错误. 故选：AC. 11. 已知锐角三个内角，，的对应边分别为，，，且，，则下列结论正确的是（ ） A. 的取值范围为 B. 外接圆半径的范围为 C. 的面积最小值为 D. 的周长范围为 【答案】ABD 【解析】 【分析】对A：根据三角形是锐角三角形，则每个角均为锐角，列出不等式组，求解即可；对B：根据正弦定理可得：，结合的范围，求得函数值域，即可求得范围；对C：根据正弦定理，求得三角形面积关于的函数，也即，再求该函数值域，即可求得面积的范围；对D：求得三角形周长关于的函数，也即，再求该函数值域，即可求得周长范围. 【详解】对A：因为△为锐角三角形，故可得：，也即，解得，故A正确； 对B：设外接圆半径为，由正弦定理可得：，也即， 由A可知：，故，故，故B正确； 对C：由正弦定理，也即可得：， 故△的面积， 由A可知：，故，故，故，没有最小值，故C错误； 对D：由C可知：，， 设△的周长为，则 也即，由A可知：，故，则， 则，故，故D正确； 故选：ABD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 计算：________． 【答案】 【解析】 【详解】因为  ，  ， 所以 . 13. 《易经》是阐述天地世间关于万象变化的古老经典，如图所示的是《易经》中记载的几何图形——八卦图.图中正八边形代表八卦，中间的圆代表阴阳太极图，其余八块面积相等的图形代表八卦田.已知正八边形的边长为，点P是正八边形边上的一点，则的最大值为_________. 【答案】 【解析】 【分析】作垂直的延长线于点M，根据正八边形的特征求出，根据的定义，即可求出的最大值. 【详解】由题意知，每个三角形的顶角为，， 作垂直的延长线于点M，根据正八边形的特征知，， 设与所成的角为，则， 所以， 由的最大值为， 所以的最大值为. 故答案为：. 14. 已知函数满足：．若函数在区间上单调，且，则当取得最小值时，________． 【答案】 【解析】 【分析】利用辅助角公式化简函数式，三角函数的图象与性质先计算得，再计算何时取最小值即可得结果. 【详解】易知， 若，由辅助角公式得， 其中， 因为，则， 则，所以， 若，则， 其中，同上，与前提矛盾，舍去， 故， 易知以为对称中心， 根据题意函数在区间上单调，且，则 则当取得最小值时，. 故答案为：. 【点睛】难点点睛：现根据确定的值，得出解析式，利用三角函数的单调性、对称性计算即可. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知复数，，其中为虚数单位． （1）若是纯虚数，求实数的值； （2）若，设，，求的值． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据纯虚数的定义列出关于方程，求解即可； （2）根据题意得出复数及共轭复数，利用复数的乘除法计算即可. 【小问1详解】 由题意，因为z是纯虚数，所以有， 解得. 【小问2详解】 因为，所以，， 则， 所以，. 则. 16. 已知函数，图象的相邻对称轴之间的距离为. （1）求的解析式和函数的单调递增区间； （2）将函数图象上所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标伸长为原来的2倍，再向左平移个单位得的图象，若关于的方程在上只有一个解，求实数的取值范围. 【答案】（1）；的单调递增区间为 （2） 【解析】 【分析】（1）利用正余弦的二倍角公式、两角和的正弦公式化简；根据的最小正周期为求出可得；再求单调递增区间即可； （2）利用图象平移可得，令，转化为在上只有一个解，结合图象可得答案. 【小问1详解】 ， ，因为图象的相邻对称轴之间的距离为， 所以的最小正周期为， 所以，得，所以， 令， 则，所以的单调递增区间为； 【小问2详解】 由（1）知， 将图象上所有点的横坐标缩短为原来的， 纵坐标伸长为原来的2倍，得到函数的图象， 再向左平移个单位得的图象. 令，，则，所以， 因为在上只有一个解，由的图象（如图）可得，或，所以的取值范围是. 17. 已知分别为三个内角的对边，向量，. （1）求； （2）若.求的面积. 【答案】（1） （2）. 【解析】 【分析】（1）根据数量积的坐标表示可得，利用正弦定理把边化为角，再利用三角形内角和定理、和差公式及辅助角公式即可求解； （2）利用向量的线性运算可得，结合题意由、向量数量积及面积公式即可求解. 【小问1详解】 因为，所以， 所以， 所以， 所以， ，即， 又，故，即. 【小问2详解】 ，所以， ， , 又,即, , 或（舍）, 故. 18. 如图1所示，在中，点在线段BC上，满足是线段AB上的点，且满足，线段CG与线段AD交于点． （1）若，求实数x，y的值； （2）若，求实数的值； （3）如图2，过点的直线与边AB，AC分别交于点E，F，设，，求的最小值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据向量的线性运算以为基底表示，进而求解； （2）根据向量的线性运算以为基底表示,又因为两向量共线所以具有倍数关系，求出的值； （3）根据向量的线性运算以为基底表示，又因为三点共线，所以系数之和为1，得出，然后应用基本不等式中1的代换求出的最小值. 【小问1详解】 因为所以， 所以, 所以. 【小问2详解】 由题意可知：， ， 又因为三点共线，所以存在实数使得, ， 所以，解得：， 所以. 【小问3详解】 易知， 由（2）知， 又因为三点共线,所以，又， 所以：， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为. 19. 对于定义在上的连续函数，若存在常数（），使得对任意的实数都成立，则称是阶数为的回旋函数. （1）试判断函数是否是一个阶数为-1的回旋函数，并说明理由； （2）若是回旋函数，求实数的值； （3）若回旋函数（）在上恰有2026个零点，求的值. 【答案】（1）不是，理由见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据定义代入计算即可； （2）求解，令，求出，再代入化简即可； （3）令，得出，分奇偶性讨论得出，结合（2）写出解析式，求出零点的通解，解不等式即可. 【小问1详解】 因为， 所以， 所以不恒成立，如， 所以函数不是一个阶数为的回旋函数． 【小问2详解】 设是阶数为t的回旋函数， 则对都成立， 则当时，，则； 则可变形为， 若为偶数，则对都成立，则，， 显然对都成立，； 若为奇数，则对都成立，则，， 显然； 综上所述，； 【小问3详解】 因为（）是回旋函数， 所以对任意的x都成立， 令，则， 若为奇数，则；若为偶数，则； 则，得， 则可变形为， 由（2）可知上式对任意的x都成立，故符合题意，故 所以， 令，解得， 因为（）在上恰有2026个零点， 则，得， 因为，所以，故. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九江市同文中学2025-2026学年度下学期阶段二考试 高一年级数学试卷 考试时间：120分钟 试卷总分：150分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知复数，其中i是虚数单位，则z的虚部为（ ） A. B. 3 C. D. 2. 若，则（ ） A. 0.6 B. C. 0.8 D. 3. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，则（ ） A. B. C. 6 D. 5 4. 如图，在中，， ，若，，则等于（ ） A. B. C. D. 5. 已知，则的值为（ ） A. B. C. D. 6. 中国古代四大名楼之首黄鹤楼，位于湖北省武汉市武昌区，因唐代诗人崔颢登楼所题《黄鹤楼》一诗而名扬四海.如图，某同学为测量黄鹤楼的高度，在黄鹤楼的正东方向找到一座建筑物，高约为26，在地面上点处（三点共线）测得建筑物顶部，黄鹤楼顶部的仰角分别为和，在处测得楼顶部的仰角为，则黄鹤楼的高度约为（ ） A. 64 B. 74 C. 52 D. 91 7. 设，，，则，，大小关系正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 设函数与函数的图象在内交点的横坐标依次是，且，则实数（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列等式中，正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知平面向量，，则下列说法正确的是（ ） A. B. 与方向相反的单位向量是 C. 与的夹角的余弦值为 D. 在方向上的投影向量为 11. 已知锐角三个内角，，的对应边分别为，，，且，，则下列结论正确的是（ ） A. 的取值范围为 B. 外接圆半径的范围为 C. 的面积最小值为 D. 的周长范围为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 计算：________． 13. 《易经》是阐述天地世间关于万象变化的古老经典，如图所示的是《易经》中记载的几何图形——八卦图.图中正八边形代表八卦，中间的圆代表阴阳太极图，其余八块面积相等的图形代表八卦田.已知正八边形的边长为，点P是正八边形边上的一点，则的最大值为_________. 14. 已知函数满足：．若函数在区间上单调，且，则当取得最小值时，________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知复数，，其中为虚数单位． （1）若是纯虚数，求实数的值； （2）若，设，，求的值． 16. 已知函数，图象的相邻对称轴之间的距离为. （1）求的解析式和函数的单调递增区间； （2）将函数图象上所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标伸长为原来的2倍，再向左平移个单位得的图象，若关于的方程在上只有一个解，求实数的取值范围. 17. 已知分别为三个内角的对边，向量，. （1）求； （2）若.求的面积. 18. 如图1所示，在中，点在线段BC上，满足是线段AB上的点，且满足，线段CG与线段AD交于点． （1）若，求实数x，y的值； （2）若，求实数的值； （3）如图2，过点的直线与边AB，AC分别交于点E，F，设，，求的最小值． 19. 对于定义在上的连续函数，若存在常数（），使得对任意的实数都成立，则称是阶数为的回旋函数. （1）试判断函数是否是一个阶数为-1的回旋函数，并说明理由； （2）若是回旋函数，求实数的值； （3）若回旋函数（）在上恰有2026个零点，求的值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $