精品解析：江西吉安市五所重点二中2024年-2025学年下学期高一4月联考数学试卷

江西吉安市五所重点二中2024年-2025年 下学期高一4月联考数学试卷 一、单选题 1. 下列说法正确的是（ ） A. 第二象限角都比第一象限角大 B. 将表的分针拨快10分钟，分针转过的角为 C. 角和角是终边相同的角 D. 若是第二象限角，则是第一象限或第三象限的角 【答案】D 【解析】 【分析】由任意角的周期性的概念结合正负角即可求解. 【详解】对于A，由任意角的概念，第二象限角不一定比第一象限角大， 例如是第二象限角，是第一象限角，但，故A错误； 对于B，数学中规定逆时针为正角， 故表的分针拨快10分钟，分针转过的角为，故B错误； 对于C，角和角相差，不是的整数倍，终边不同，故C错误； 对于D，若是第二象限角，则有，， 则，， 当时，，的终边在第一象限， 当时，，的终边在第三象限， 当时，，即，的终边在第一象限， 当k为偶数时，是第一象限角； 当k为奇数时，是第三象限角， 所以是第一象限或第三象限的角，故D正确. 2. 已知角的始边为轴的非负半轴，则“角的终边在第二象限”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】本题利用三角函数在四个象限的符号和命题的逻辑关系从正反推导即可。 【详解】当角的终边在第二象限时，有,所以，充分性成立； 反之当时,角可能在第二或者第四象限，必要性不成立; 故选：A 3. 已知，且，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】令，则． 因为，所以， 所以. 4. 如果角的终边过点，则的值等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求出点，再根据三角函数的定义求解即可. 【详解】由，则， 又，所以． 5. 设，，，则a，b，c的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据指数函数、对数函数以及余弦函数的单调性分析可知. 【详解】，即， ，即， ，则，可得， 即，所以，即. 6. 函数的单调递增区间是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先由真数大于零求出的定义域，再利用整体角范围求解单调增区间可得. 【详解】由题意可得， 首先有，解得. 故的定义域为， 要使单调递增，则单调递增， 故令，解得. 则的单调递增区间是. 故选：B. 7. 某机器上有相互啮合的大小两个齿轮（如图所示），大轮有20个齿，小轮有12个齿，大轮每分钟转6圈，若小轮的半径为4cm，则小轮每秒转过的弧长是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求出小轮每分钟转的圈数，进而求得小轮每秒钟转的弧度数，从而求出小轮每秒转过的弧长. 【详解】由大轮有20个齿，小轮有12个齿，大轮每分钟转6圈， 得小轮每分钟转的圈数为，因此小轮每秒钟转的弧度数为， 所以小轮每秒转过的弧长是. 故选：B. 8. 已知函数，．若函数有3个不同的零点，则实数的取值范围是（ ） A. B. (0，1) C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用函数零点的意义变形并构造函数，作出函数图象，数形结合求出范围. 【详解】函数，由，得， 令函数，由函数有3个不同的零点， 得方程有3个不同的解，即直线与函数的图象有3个交点， 函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递减， 在同一坐标系内作出直线与函数的图象，如图： 观察图象，当且仅当时，直线与函数的图象有3个交点， 所以的取值范围是. 二、多选题 9. （多选题）如图，，，分别是的边，，的中点，则下列等式中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据题意可得四边形均为平行四边形，结合平面向量加法运算和向量相等的定义逐个选项计算并判断. 【详解】，故A正确； ，故B正确； ，故C正确， 由，故D错误． 故选：ABC. 10. 设函数，则（ ） A. 的最小正周期为 B. C. 图像的对称中心为 D. 不等式的解集为 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据正切函数周期性可判断A的正误；直接代入计算可判断B的正误；根据正切函数的对称性，整体代入求解，可判断C的正误；利用正切函数单调性解不等式，可判断D的正误. 【详解】选项A：最小正周期为，A错误. 选项B：，B正确. 选项C：正切函数的对称中心为. 令，，解得，. 所以的对称中心为， 又图像可由向上平移1个单位长度得到， 所以图像的对称中心为，C正确. 选项D：，，所以. 结合正切函数的性质可得，，. 解得，， 所以不等式的解集为，D正确. 11. 已知函数的图象连续不断，且，均有，，当时，，若，则（ ） A. 的图象关于直线对称 B. 的图象关于点对称 C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据推出的图象关于点对称，根据推出的图象关于直线对称，进而推导出函数的周期，结合函数的周期性及对称性求出、的值，进而求出的值. 【详解】选项A：由得，，则的图象关于直线对称，故A正确. 选项B：由得，，则的图象关于点对称， 又的图象关于直线对称，所以的图象关于点对称， 由，可得，，即， 所以，即的周期为4，所以的图象关于点对称，故B正确. 选项C：由B知，的图象关于点对称，所以， 又，所以，又的周期为4，所以， 又，所以，， 则，. 当时，，所以，解得， 所以，故C错误. 选项D：因为的周期为4， 所以，故D正确. 三、填空题 12. 已知某扇形的弧长为2，面积为3，则该扇形的圆心角（正角）为___________． 【答案】 【解析】 【分析】由扇形的弧长与面积公式即可求解. 【详解】由题意得扇形的弧长，面积，设扇形的半径为，圆心角为， 则有，解得. 13. 已知函数是偶函数，则___________． 【答案】2 【解析】 【分析】由偶函数的定义恒成立，化简得到恒成立，即可求解. 【详解】因为为偶函数，所以， ， 即， 化简可得对于任意恒成立， 所以，所以． 14. 函数的图像是由函数（大于零）的图像向左平移个单位所得，若函数在范围内单调，则的范围是___________. 【答案】 【解析】 【分析】由函数图象平移可得，根据在给定区间上单调，结合余弦函数的性质求参数的范围. 【详解】是由（大于零）向左平移个单位所得，故， 又在即上单调， ∴， ,， 由或， 或， 综上，的范围为. 故答案为：. 四、解答题 15. 已知 （1）若角的终边过点，求的值； （2）若，且，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由诱导公式先化简，再结合三角函数的定义即可求解； （2）由的关系求得，进而可求解. 【小问1详解】 ． 因为角的终边过点，则， 所以． 【小问2详解】 由，所以， 所以， 又且，所以， 故． 由，解得， 所以． 16. 已知． （1）求函数的最小正周期和图象的对称轴方程； （2）当时，求函数的单调增区间； （3）当时，求函数的最大值和最小值，并写出所对应的取值． 【答案】（1）最小正周期，对称轴方程是 （2） （3）时，函数具有最大值为1；时，函数具有最小值为 【解析】 【分析】（1）根据正弦函数的周期性和对称轴方程，通过换元法求出对称轴方程即可； （2）根据正弦函数的单调增区间，运用换元法，求出函数在定义域上的单调增区间即可； （3）根据正弦函数的最值性质，运用换元法，求出函数在定义域上的最大值和最小值即此时的自变量的值即可. 【小问1详解】 ，最小正周期， 令，则， ∴函数图象的对称轴方程是； 【小问2详解】 令， 则，故的单调增区间为； 时，， ∴在的单调增区间为； 【小问3详解】 由， 令，则， 当时，即时，； 当时，即时，； 故时，函数具有最大值，最大值为1； 时，函数具有最小值，最小值为． 17. 如图，一个半径为5米的筒车按逆时针每分钟转2圈，筒车的轴心距离水面的高度为2.5米.设筒车上的某个盛水筒到水面的高度为（单位：m）（在水面下为负数），若以盛水筒刚浮出水面时开始计算时间，则与时间（单位：s）之间的关系为. （1）在筒车转动的一周内，求点距离水面高度关于时间的函数解析式； （2）5分钟内，盛水筒在水面下的时间累计为多少秒？ （3）若盛水筒P在，时刻距离水面的高度相等，求的最小值. 【答案】（1），. （2）100秒 （3）20 【解析】 【分析】（1）由的最大值和最小值求出，再由周期求出，结合初始条件和相位范围确定，从而得到完整解析式。 （2）先求解的区间，计算一个个周期内盛水筒在水面下的时间，再结合总时长包含的周期数求出累计时间。 （3）由，化简可得或，即可求出的最小值. 【小问1详解】 由图可知，的最大值为，的最小值为， 则，, 因为筒车按逆时针每分钟转2圈，故，所以， 所以， 当时，，所以，则， 因为，所以，所以，. 【小问2详解】 由（1）得， 令，则，得， 则， 解得， 5分钟秒，则令，，得， 故5分钟内，盛水筒在水面下的时间累计为秒. 【小问3详解】 不妨设，由题意得， 故， ①，，解得，， 故，当且仅当，时，等号成立， ②，，解得， 显然当时，取得最小值，最小值为, 综上，的最小值为20. 18. 已知和为的两条对称轴，的最小值为．将的图象向左平移个单位长度，得到的图象，再将图象上所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到的图象． （1）求的解析式； （2）若，求的值； （3）设，若，，使得，求的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由题意求得函数的最小正周期，从而求得的值，根据，求出，从而得到的解析式，再根据图象变换法则求得的解析式； （2)根据诱导公式及同角三角函数关系式可求得的值； （3）由题意得，.根据函数单调性，分别求得的取值范围，从而求得的取值范围． 【小问1详解】 因为的最小值为，所以函数的最小正周期. 所以，所以 因为，所以 因为，所以，所以， 所以，所以， 所以. 由题意可得， 所以. 【小问2详解】 因为， 所以， . 所以. 【小问3详解】 由题意得，. ，单调递增， 所以. 当时，，. ①当时，，不成立，所以不合题意； ②当时，，所以，解得； ③当时，，所以，解得. 综上，的取值范围为. 19. 某同学用“五点法”画函数，在某一周期内的图象时，列表并填入的部分数据如下表： 0 0 1 0 0 0 0 0 （1）请填写上表的空格处，并写出函数的解析式； （2）将函数的图象向右平移个单位，再所得图象上各点的横坐标缩小为原来的，纵坐标不变，得到函数的图象，求的单调递增区间； （3）在（2）的条件下，若在上恰有奇数个零点，求实数的值. 【答案】（1）表格见解析， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据表中的数据列方程组可求出的值，由函数的最值可求出，从而可求出函数解析式和表格中的数据； （2）先根据三角函数图象变换规律求出，然后得，求出函数定义域后，再利用换元法可求出函数的增区间； （3）由于的周期为，所以当时，令，考虑方程的根情况，设在必有两个不同的实数根，，，然后分，且，，且三种情况分析可得或，从而可求得结果. 【小问1详解】 解：根据表中的数据可得，解得， 令表格空格从左到右依次为，故，所以， 又，所以完表如下： 0 0 1 0 0 0 0 0 所以. 【小问2详解】 解：将函数的图象向右平移个单位，所得图象的解析式为：， 再将所得图象上各点的横坐标缩小为原来的，纵坐标不变，得到函数的图象，故. 此时， 令，则，故. 当时，为增函数，故为减函数； 当时，为减函数，故为增函数. 所以的增区间为. 【小问3详解】 解：，的周期为， 当时，令，考虑方程的根情况， 因为，故在必有两个不同的实数根， 因为在有奇数个零点，故. 若，则方程，在共有4个不同的实数根，在有0个实数根或2个实数根， 故在有个根或个根，与有奇数个零点矛盾，舍去. 若，，则在共有2个不同的实数根，在有0个实数根或2个实数根， 故在有个根或，与有奇数个零点矛盾，舍去. 同理,，也不成立，所以或， 若，则，此时的根为， 方程在共有3个不同的实数根，而在上，有两个不同的根，无解， 所以在有个根，与有奇数个零点矛盾，舍去； 若，则，方程的根， 方程在共有3个不同的实数根，而在上，无解，有一个根， 所以在有个根，符合题意. 综上，，在共有3031个不同的零点. 【点睛】关键点点睛：此题考查三角函数的图象与性质，考查复合函数的单调性，考查函数与方程的综合问题，第（3）问题解题的关键是分类讨论在一个周期上零点的情况，考查计算能力和分类思想，属于难题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 江西吉安市五所重点二中2024年-2025年 下学期高一4月联考数学试卷 一、单选题 1. 下列说法正确的是（ ） A. 第二象限角都比第一象限角大 B. 将表的分针拨快10分钟，分针转过的角为 C. 角和角是终边相同的角 D. 若是第二象限角，则是第一象限或第三象限的角 2. 已知角的始边为轴的非负半轴，则“角的终边在第二象限”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 已知，且，则的值为（ ） A. B. C. D. 4. 如果角的终边过点，则的值等于（ ） A. B. C. D. 5. 设，，，则a，b，c的大小关系为（ ） A. B. C. D. 6. 函数的单调递增区间是（ ） A. B. C. D. 7. 某机器上有相互啮合的大小两个齿轮（如图所示），大轮有20个齿，小轮有12个齿，大轮每分钟转6圈，若小轮的半径为4cm，则小轮每秒转过的弧长是（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，．若函数有3个不同的零点，则实数的取值范围是（ ） A. B. (0，1) C. D. 二、多选题 9. （多选题）如图，，，分别是的边，，的中点，则下列等式中正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 设函数，则（ ） A. 的最小正周期为 B. C. 图像的对称中心为 D. 不等式的解集为 11. 已知函数的图象连续不断，且，均有，，当时，，若，则（ ） A. 的图象关于直线对称 B. 的图象关于点对称 C. D. 三、填空题 12. 已知某扇形的弧长为2，面积为3，则该扇形的圆心角（正角）为___________． 13. 已知函数是偶函数，则___________． 14. 函数的图像是由函数（大于零）的图像向左平移个单位所得，若函数在范围内单调，则的范围是___________. 四、解答题 15. 已知 （1）若角的终边过点，求的值； （2）若，且，求的值． 16. 已知． （1）求函数的最小正周期和图象的对称轴方程； （2）当时，求函数的单调增区间； （3）当时，求函数的最大值和最小值，并写出所对应的取值． 17. 如图，一个半径为5米的筒车按逆时针每分钟转2圈，筒车的轴心距离水面的高度为2.5米.设筒车上的某个盛水筒到水面的高度为（单位：m）（在水面下为负数），若以盛水筒刚浮出水面时开始计算时间，则与时间（单位：s）之间的关系为. （1）在筒车转动的一周内，求点距离水面高度关于时间的函数解析式； （2）5分钟内，盛水筒在水面下的时间累计为多少秒？ （3）若盛水筒P在，时刻距离水面的高度相等，求的最小值. 18. 已知和为的两条对称轴，的最小值为．将的图象向左平移个单位长度，得到的图象，再将图象上所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到的图象． （1）求的解析式； （2）若，求的值； （3）设，若，，使得，求的取值范围． 19. 某同学用“五点法”画函数，在某一周期内的图象时，列表并填入的部分数据如下表： 0 0 1 0 0 0 0 0 （1）请填写上表的空格处，并写出函数的解析式； （2）将函数的图象向右平移个单位，再所得图象上各点的横坐标缩小为原来的，纵坐标不变，得到函数的图象，求的单调递增区间； （3）在（2）的条件下，若在上恰有奇数个零点，求实数的值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $