解答题专训20 利用导数证明不等式（专项训练）（北京专用）2027年高考数学一轮复习讲练测

**基本信息** 以导数研究函数性质为核心，构建“原理-方法-题型”三级体系，系统提炼作差构造、隔离转化等方法，分层突破单双变量不等式证明，培养数学推理与模型观念。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |解题方法及技巧提炼|4类核心方法|核心原理（单调性/最值）、作差构造法（3步骤）、隔离转化法（双函数最值）、放缩技巧（基本不等式/e^x/lnx）|从导数几何意义到函数性质研究，建立“概念-方法”推导链| |题型通法及变式提升|2类题型（含例+变式）|单变量用构造法，双变量用隔离转化|题型与方法对应，通过变式强化方法迁移| |重难专题分层过关练|16题（巩固12+提升4）|综合应用上述方法解决复杂问题|从基础巩固到创新提升，形成“应用-拓展”逻辑链|

解答题专训20 利用导数证明不等式 内容导航 解题方法及技巧提炼 1 题型通法及变式提升 1 题型1 单变量不等式的证明 2 题型2 双变量不等式的证明 2 重难专题分层过关练 3 巩固过关 3 创新提升 4 解题方法及技巧提炼 1.核心解题原理 利用导数证明不等式的核心是将不等式证明转化为函数单调性、极值、最值的研究，本质是借助导数的几何意义（函数切线斜率）判断函数的增减趋势，通过确定函数在指定区间的最值，建立函数值的不等关系，从而推导出原不等式。 核心依据： 1. 若函数在区间上可导，且，则在上单调递增；若，则在上单调递减。 2. 若在处取得区间上的最小值，则对，有；若取得最大值，则。 3. 若要证（），等价于证（），只需证在上的最小值大于0。 2.作差构造法证明不等式的基本步骤 （1）作差或变形：将不等式f（x）＞g（x）（或f（x）＜g（x））变形为f（x）－g（x）＞0（或f（x）－g（x）＜0）； （2）构造新的函数：h（x）＝f（x）－g（x）； （3）利用导数研究函数h（x）的性质，得到所证不等式. 3.隔离转化法的一般思路 （1）在证明不等式中，若无法转化为一个函数的最值问题，则可以考虑转化为两个函数的最值问题； （2）在证明过程中，“隔离”转化是关键，将不等式不等号两端分别“隔离”出两个函数式f（x），g（x），使f（x）min＞g（x）max恒成立，从而f（x）＞g（x），但f（x）与g（x）取到最值的条件不是同一个“x”的值； （3）对于较复杂的不等式，也可将不等式的某一部分“隔离”开，单独进行研究，然后再纳入整体进行论证. 4.适当放缩法证明不等式常见的放缩技巧 （1）利用基本不等式进行放缩，如：a2＋b2≥2ab（a，b∈R）；a＋b≥2（a≥0，b≥0）； （2）ex≥1＋x，当且仅当x＝0时取等号； （3）ln x≤x－1，当且仅当x＝1时取等号. 题型通法及变式提升 题型1 单变量不等式的证明 【例1】（25-26高三下·北京西城期末）已知函数，且. (1)求函数的定义域及的值； (2)若曲线在点处的切线方程为，求证：. 【变式1】（25-26高三下·北京通州·期中）已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求证：． 【变式2】（2025高三上·山西太远期末）已知函数． (1)求的极值； (2)求证：． 题型2 双变量不等式的证明 【例2】（25-26高三下·北京顺义·期中）已知函数，其中． (1)求的单调区间； (2)当且时，判断与的大小，并说明理由． 【变式1】（24-25高三下·北京房山期末）已知函数. (1)设， 讨论函数的单调性； (2)证明： 对任意的， 有. 【变式2】（24-25高三上·北京通州·期末）已知在点处与轴相切. (1)求的值； (2)求的单调区间； (3)若，求证. 重难专题分层过关练 巩固过关 1．（2026·北京房山·模拟预测）已知函数． (1)若函数在点处的切线平行于直线，求切点P的坐标及此切线方程； (2)求证：当时，．（其中） 2．（2026·北京·模拟预测）已知． (1)当时，判断函数零点的个数； (2)求证：. 3．已知函数. (1)求函数的极值； (2)若函数，求证：当时，. 4．（2026·北京密云·三模）已知函数. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)证明：. 5．（25-26高三下·北京海淀·阶段检测）已知函数，. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求函数的单调区间； (3)证明：任意，. 6．（25-26高三上·北京·阶段检测）已知函数． (1)求曲线的斜率为1的切线方程； (2)当时，求证：． 7．已知函数，e为自然对数的底数. (1)若函数在上有零点，求的取值范围； (2)当，，且，求证：. 8．已知函数. (1)证明：. (2)若函数，若存在使，证明：. 9．已知函数. (1)讨论函数的单调性； (2)当时，证明：. 10．已知函数. （1）求曲线在点处的切线方程； （2）当时，求证：. 11.（2026·河北邯郸·二模）已知函数，. (1)讨论函数的单调性； (2)证明：. 12．（25-26高三下·北京西城·期中）已知函数． (1)若，求的取值范围； (2)证明：若有两个零点，，则． 创新提升 13．（2026·北京·三模）已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若存在极值，求实数的取值范围； (3)求证：对任意，都存在，使得． 14．（25-26高三下·北京西城·期末）已知函数，其中． (1)当时，求函数的单调区间； (2)若函数存在两个不同的极值点，，证明：． 15．（2026·北京·模拟预测）已知函数. （1）若，求的图象在处的切线方程； （2）讨论的单调性； （3）若存在两个极值点，求证：. 16．（2026·北京大兴·三模）设，函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)求的单调区间； (3)若函数有两个相异零点，，求证：. 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $ 解答题专训20 利用导数证明不等式 内容导航 解题方法及技巧提炼 1 题型通法及变式提升 1 题型1 单变量不等式的证明 1 题型2 双变量不等式的证明 3 重难专题分层过关练 8 巩固过关 8 创新提升 18 解题方法及技巧提炼 1.核心解题原理 利用导数证明不等式的核心是将不等式证明转化为函数单调性、极值、最值的研究，本质是借助导数的几何意义（函数切线斜率）判断函数的增减趋势，通过确定函数在指定区间的最值，建立函数值的不等关系，从而推导出原不等式。 核心依据： 1. 若函数在区间上可导，且，则在上单调递增；若，则在上单调递减。 2. 若在处取得区间上的最小值，则对，有；若取得最大值，则。 3. 若要证（），等价于证（），只需证在上的最小值大于0。 2.作差构造法证明不等式的基本步骤 （1）作差或变形：将不等式f（x）＞g（x）（或f（x）＜g（x））变形为f（x）－g（x）＞0（或f（x）－g（x）＜0）； （2）构造新的函数：h（x）＝f（x）－g（x）； （3）利用导数研究函数h（x）的性质，得到所证不等式. 3.隔离转化法的一般思路 （1）在证明不等式中，若无法转化为一个函数的最值问题，则可以考虑转化为两个函数的最值问题； （2）在证明过程中，“隔离”转化是关键，将不等式不等号两端分别“隔离”出两个函数式f（x），g（x），使f（x）min＞g（x）max恒成立，从而f（x）＞g（x），但f（x）与g（x）取到最值的条件不是同一个“x”的值； （3）对于较复杂的不等式，也可将不等式的某一部分“隔离”开，单独进行研究，然后再纳入整体进行论证. 4.适当放缩法证明不等式常见的放缩技巧 （1）利用基本不等式进行放缩，如：a2＋b2≥2ab（a，b∈R）；a＋b≥2（a≥0，b≥0）； （2）ex≥1＋x，当且仅当x＝0时取等号； （3）ln x≤x－1，当且仅当x＝1时取等号. 题型通法及变式提升 题型1 单变量不等式的证明 【例1】（25-26高三下·北京西城期末）已知函数，且. (1)求函数的定义域及的值； (2)若曲线在点处的切线方程为，求证：. 【解】（1）因为，解得，所以函数的定义域为， 已知，所以，解得， （2），则， 切线斜率， 则切线方程为， 当时，，当时，， 要证，只需证： 当时，，当时，， 设，即， ， 因为，，所以，且， 因此在上单调递增，且， 当时，，即， 当时，，即， 所以得证. 【变式1】（25-26高三下·北京通州·期中）已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求证：． 【解】（1）解：由函数，可得， 所以，且，即切点坐标为，切线的斜率为， 所以曲线在点处的切线方程为，即. （2）证明：由函数，可得函数的定义域为， 由不等式，即， 要证，即证，即证， 令， 可得，其中， 当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 当时，取值最大值，所以， 即在恒成立，所以． 【变式2】（2025高三上·山西太远期末）已知函数． (1)求的极值； (2)求证：． 【解】（1）由题意可知：的定义域为， 且， 因为在定义域内单调递增， 所以在上单调递增，又， 当时，；当时，； 可知在内单调递减，在内单调递增， 所以函数的极小值为，无极大值. （2）， 令， 则在上恒成立， 可知为上的增函数，且， 当时，，则； 当时，，则． 当时，． 综上所述：，即． 题型2 双变量不等式的证明 【例2】（25-26高三下·北京顺义·期中）已知函数，其中． (1)求的单调区间； (2)当且时，判断与的大小，并说明理由． 【解】（1）的定义域为，且． 令，得． 与的情况如下： - - 0 + 所以的单调递增区间为；单调递减区间为和． （2）当且时，，证明如下： 令，则． 设，则． 所以当时，；当时，． 所以在上单调递减，在上单调递增． 从而，即． 所以的单调递增区间为和． 当时，，即； 当时，，即． 综上，当且时，． 【变式1】（24-25高三下·北京房山期末）已知函数. (1)设， 讨论函数的单调性； (2)证明： 对任意的， 有. 【解】（1）由题意可得，则， 令则， 当时，恒成立，则单调递增， 又，所以恒成立， 则在上恒成立，即在上单调递增， 也即在上单调递增. （2）令，其中， 可得 又根据在上单调递增，且，， 有，即恒成立， 即在上单调递增，则， 即对任意恒成立， 综上所述，原命题得证. 【变式2】（24-25高三上·北京通州·期末）已知在点处与轴相切. (1)求的值； (2)求的单调区间； (3)若，求证. 【解】（1）因为在点处与轴相切，， 所以，，解得. （2）由（1）得，，定义域为，， 令，则， 令，则， 当时，，单调递增，所以，所以单调递减， 当时，，单调递减，，所以单调递减， 所以的单调递减区间为，无单调递增区间. （3）因为，则，要证， 即证， 即证， 设，则， 即证， 即证， 令，， 又， 所以在上单调递增，， 即，故不等式成立. 重难专题分层过关练 巩固过关 1．（2026·北京房山·模拟预测）已知函数． (1)若函数在点处的切线平行于直线，求切点P的坐标及此切线方程； (2)求证：当时，．（其中） 【解】（1）由题意得，，所以切线斜率， 所以，即，此时切线方程为； （2）令，，则， 当时，，单调递增，当时，，单调递减， 又，， 所以，即恒成立， 所以当时，． 2．（2026·北京·模拟预测）已知． (1)当时，判断函数零点的个数； (2)求证：. 【解】（1）当时，，， 当且仅当时取“=”， 所以在R上单调递增，而，即0是的唯一零点， 所以函数零点的个数是1. （2），令，则， 因，则， 因此，函数在上单调递增，，， 所以当时，成立. 3．已知函数. (1)求函数的极值； (2)若函数，求证：当时，. 【解】（1）解：，． 令，解得． 2 0 单调递增 极大值 单调递减 在内是增函数，在内是减函数． 当时，取得极大值，无极小值． （2）证明：，， ． 当时，，，从而， ，在是增函数． ，即当时，． 4．（2026·北京密云·三模）已知函数. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)证明：. 【解】（1）解：因为，则， 所以，，， 所以，曲线在点处的切线方程为， 即. （2）解：令，其中， ， 令，其中， 则， 当时，且不恒为零，所以，函数在上单调递增， 所以，当时，，此时函数单调递减， 当时，，此时函数单调递增， 所以，，即. 5．（25-26高三下·北京海淀·阶段检测）已知函数，. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求函数的单调区间； (3)证明：任意，. 【解】（1），，又， 在点处的切线方程为. （2）， 当时，；当时，； 的单调递减区间为，单调递增区间为. （3）由（2）得：当时，，； ， 当时，；当时，； 在上单调递增，在上单调递减，； 又与不同时取得，当时，. 6．（25-26高三上·北京·阶段检测）已知函数． (1)求曲线的斜率为1的切线方程； (2)当时，求证：． 【解】（1）， 令，即，解得或， 又，， 所以曲线的斜率为1的切线方程为：与，即与． （2）证明：令，， 则，， 令，得或， 当变化时，，的变化情况如下： 0 6 0 0 单调递增 0 单调递减 单调递增 18 所以的最小值为，最大值为18， 所以，所以． 7．已知函数，e为自然对数的底数. (1)若函数在上有零点，求的取值范围； (2)当，，且，求证：. 【解】（1）令，即，则 函数在上有零点等价于方程在上有解， 设，则， 故函数在上是减函数，在上是增函数，故 所以a的范围是. （2）因为，故， 因为，所以得， 故在上是减函数，在上是增函数 因为，， 所以不妨设，， 设（）， 故， 所以在上是增函数， 所以，即， 故，即， 因为，，且， 所以， 因为在上是减函数， 所以，故. 8．已知函数. (1)证明：. (2)若函数，若存在使，证明：. 【解】（1）令，，， 令，解得：；令，解得：， ∴在递增，在递减，则， ∴恒成立，即. （2）∵，，∴， 令，解得：；令，解得：； ∴在递增，在递减. 又∵，，，，且，. 要证，即证. ∵，∴， 又∵，∴只证即可. 令，， 恒成立， ∴在单调递增. 又∵，∴，∴， 即，∴. 9．已知函数. (1)讨论函数的单调性； (2)当时，证明：. 【解】（1）依题意知，， 令得， 当时，在上，单调递减，在单调递增； 当时，在上，单调递增，在单调递减. （2）依题意，要证， ①当时，，，故原不等式成立， ②当时，要证：，即证：， 令，则，， ∴在单调递减，∴，∴在单调递减，∴，即， 故原不等式成立. 10．已知函数. （1）求曲线在点处的切线方程； （2）当时，求证：. 【解】(1)由，得，则， 即曲线在点处的切线方程为， 所以所求切线方程为； (2)设，则， 当时，，当时，，即在上单调递减，在上单调递增， 于是得当时，， 因此，(当且仅当时取等号)， 令，则， 则当时，，当时，，即有在上为减函数，在上为增函数， 于是得当时，， 因此，(当且仅当时取等号)， 所以，当时，. 11.（2026·河北邯郸·二模）已知函数，. (1)讨论函数的单调性； (2)证明：. 【解】（1）由题知：，其定义域为，. 当时，则，在上单调递减； 当时，令，解得；令，解得， ∴函数在上单调递减，在上单调递增. 综上所述，当时，函数在上单调递减； 当时，函数在上单调递减，在上单调递增. （2）要证，即证. 由（1）知：当时，在上单调递减，在上单调递增， ∴，即， ，. 令， ， ∴在上单调递增， ∴当时，，即， ∴，即， ∴原不等式成立. 12．（25-26高三下·北京西城·期中）已知函数． (1)若，求的取值范围； (2)证明：若有两个零点，，则． 【解】（1）由题意知函数的定义域为， 解得，解得， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 所以， 又，所以，解得， 所以的取值范围为． （2）不妨设，则由（）知，， 构造函数， 则， 所以函数在上单调递增， 所以当时，，即当时，， 所以， 又在上单调递减， 所以，即． 创新提升 13．（2026·北京·三模）已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若存在极值，求实数的取值范围； (3)求证：对任意，都存在，使得． 【解】（1）当时，，， ，又， 曲线在点处的切线方程为：； （2），， 当时，，在上单调递减，无极值； 当时，令，即， 解得， 当时，， 0 0 极大值 极小值 的单调递增区间为，单调递减区间为，为函数的两个极值点， 故符合题意； 当时，， 在上单调递增，无极值. 综上，实数的取值范围为； （3）①当时，由（2）知，在上单调递减， 令，则，； ②当时，为极大值，为极小值， ， 令，则； ③当时，在上单调递增，令， ，； 综上，对任意，都存在，使． 14．（25-26高三下·北京西城·期末）已知函数，其中． (1)当时，求函数的单调区间； (2)若函数存在两个不同的极值点，，证明：． 【解】（1）当时,函数的定义域为，           且．           由，得．           随着的变化，，的变化情况如下： 2 _ 0 + 极小值 所以的单调递增区间为，单调递减区间为． （2）由题意，得，． 由存在两个不同的极值点，得存在两个不同的正实数根， 即方程存在两个不同的正实数根，，           所以，即．           又因为，，，， 所以 ．           令，其中，           由，得在上单调递增， 所以，即 15．（2026·北京·模拟预测）已知函数. （1）若，求的图象在处的切线方程； （2）讨论的单调性； （3）若存在两个极值点，求证：. 【解】（1）因为，所以， 所以，， 所以切线方程为：，即； （2），记， 当时，，，所以在上单调递增； 当时，，令，所以且， 时，，单调递增， 时，单调递减， 时，，单调递增， 综上可知：时，在上单调递增；时，在上单调递增， 在上单调递减，在上单调递增； （3）因为 由题意可知：的两个根为且，所以， 所以， 所以， 所以，令， 所以，时，所以在上单调递减， 所以， 所以成立. 16．（2026·北京大兴·三模）设，函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)求的单调区间； (3)若函数有两个相异零点，，求证：. 【解】（1）当时，， ，，又， 所以曲线在点处的切线方程为，即. （2）由函数定义域是， ， 当时，，单调递增， 所以函数单调递增区间为，无单调递减区间； 当时，可得， 令，可得， 由，可得，由，可得， 所以，函数单调递增区间为，单调递减区间为. 综上，时，单调递增区间为，单调递减区间为， 时，单调递增区间为，无单调递减区间. （3）因为有两个相异的零点， 由（2）可得，当时，由连续单调递增，至多一个零点； 当时，函数单调递增区间为，单调递减区间为， 所以， 当时，即时，方程无解，此时a的范围是， 当的范围是时，结合函数图象可知，方程有两个不等解， 由于，不妨令，则有，， 所以，，所以， 要证，只需，即，， 即证，即， 即，只需， 令，则，所以只要证明在上成立， 令，可得， 由，所以恒成立，所以在递增， 又由，所以时，恒成立，即恒成立， 即恒成立，从而可得. 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $