解答题专训21 利用导数研究函数的零点（专项训练）（北京专用）2027年高考数学一轮复习讲练测

**基本信息** 以导数为工具，构建“定义-判定-应用”三阶方法体系，通过分层题型训练实现函数零点问题的系统性突破，培养抽象能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |解题方法提炼|3大核心方法|零点存在定理+单调性判定，极值与趋势分析四步流程|从零点定义出发，以导数为工具建立判定依据| |题型通法及变式|3题型（1典例+2变式/题型）|分离参数数形结合、隐零点设而不求等技巧|按“零点个数-参数范围-证明问题”梯度递进| |重难专题分层过关练|16题（巩固12+创新4）|综合应用导数工具解决复杂零点问题|融合北京期中/模拟真题，强化模型观念与应用意识|

解答题专训21 利用导数研究函数的零点 内容导航 解题方法及技巧提炼 1 题型通法及变式提升 1 题型1 利用导数研究函数的零点个数 2 题型2 根据零点情况求参数范围 2 题型3 函数零点的证明问题 3 重难专题分层过关练 4 巩固过关 4 创新提升 5 解题方法及技巧提炼 1.利用导数研究函数零点数量问题 （1）零点定义：的根，等价于函数图像与轴交点横坐标 （2）核心工具：导数求单调区间、极值、最值、极限趋势 （3）判定依据：零点存在定理 + 单调性，确定零点个数 2.利用导数研究函数零点解题原理 通过导数判断函数增减区间，求出极值正负，结合端点与无穷处函数值，依据图像走势判定交点个数。 3.利用导数研究函数零点解题思路 （1）求导确定单调区间与极大、极小值； （2）计算极值、区间端点函数值； （3）判断极值正负，结合函数趋势； （4）结合零点存在定理，确定零点总数。 题型通法及变式提升 题型1 利用导数研究函数的零点个数 【典例1】（25-26高二下·北京·期中）已知函数． (1)当时，求证：直线是曲线的切线 (2)当时，求证：函数存在极小值； (3)直接写出函数的零点个数 利用导数判断函数零点个数的方法 （1）函数的性质和零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间上是连续不断的曲线，且，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点． （2）数形结合法：将函数的零点转化为方程解的个数，若能分离参数，将参数分离出来后，用表示参数的函数，作出该函数的图像，利用数形结合研究函数零点问题. （3）利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点． 【变式1】（25-26高三下·北京海淀·期中）设函数． (1)若，求曲线在处的切线方程； (2)求函数的单调区间： (3)当时，求零点的个数． 【变式2】（25-26高三下·北京密云期末）已知函数. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)证明：； (3)设函数，当时，讨论零点的个数. 题型2 根据零点情况求参数范围 【典例2】（25-26高三下·北京门头沟·期中）函数，其中． (1)讨论函数的单调区间； (2)若函数在区间上有两个零点，求的取值范围． 已知函数(方程)零点的个数求参数范围常见方法 ①函数在定义域上是单调函数，满足零点存在性定理． ②若函数不是严格的单调函数，则求最小值或最大值结合图象分析． ③分离参数后，数形结合，讨论参数所在直线与函数图象交点的个数． 【变式1】（25-26高三下·北京房山·期中）已知函数. (1)若曲线在点处的切线平行于轴，求的值； (2)求的极值； (3)当时，曲线与直线没有公共点，求的取值范围. 【变式2】（25-26高三上·北京通州·期中）已知函数. (1)当时，求的极值； (2)当时，求在上的最小值； (3)若在上存在零点，求的取值范围. 题型3 隐零点问题 【典例3】已知函数．（是自然对数的底数） (1)若，求的单调区间； (2)若，试讨论在上的零点个数．（参考数据：） 隐零点问题是指一个函数的零点存在但无法直接解出.在函数、不等式与导数的综合题目中经常会遇到.涉及隐零点问题，一般对函数的零点设而不求，借助整体代换和过渡，再结合题目条件，利用函数的性质巧妙求解. 【变式1】已知函数，. （1）若直线与函数的图象相切，求实数的值； （2）当时，求证：. 【变式2】（2026·江西萍乡·三模）已知函数． (1)讨论函数的极值点个数； (2)若恒成立，求实数a的取值范围． 重难专题分层过关练 巩固过关 1．（2026·北京延庆·模拟预测）已知函数． （1）求曲线的斜率等于的切线方程； （2）求函数的极值； （3）设，判断函数的零点个数，并说明理由． 2．（2026·北京·模拟预测）已知函数，． （1）求曲线在点处的切线方程； （2）求函数的极小值； （3）求函数的零点个数． 3．（25-26高三下·北京密云·期中）已知函数. (1)若，求的极值 (2)若恒成立，求的取值范围 (3)判断函数的零点个数.（直接写出结论） 4．（25-26高三上·陕西西安·期末）已知函数，在处切线的斜率为. (1)求的值； (2)求的极小值； (3)讨论方程的实数解的个数. 5．（25-26高三上·北京·阶段检测）已知函数 . (1)求证：曲线在点 处的切线总与直线平行； (2)函数在区间上存在极值点， （i）求的取值范围； （ii）求在区间上的零点个数. 6．（25-26高三上·北京平谷·开学考试）已知函数 (1)求函数在处的切线方程； (2)求函数的单调性区间； (3)若函数，有2个零点，求a的取值范围. 7．（2026·北京西城·一模）已知函数，. (1)当时， ①求曲线在处的切线方程； ②求证：在上有唯一极大值点； (2)若没有零点，求的取值范围. 8．（2026·北京房山·一模）已知函数. （1）求曲线在点处的切线方程； （2）若，求证：； （3）设，是否存在唯一的自然数，使得与的图象在区间上有两个不同的公共点？若存在，试求出的值，若不存在，请说明理由. 9．（2026·北京延庆·模拟预测）已知函数. （Ⅰ）当时，求函数在点处的切线方程； （Ⅱ）当，时，求函数的最大值； （Ⅲ）当，时，判断函数的零点个数，并说明理由. 10．（2025·北京东城·模拟预测）设函数f（x）＝mex﹣x2+3，其中m∈R. （1）如果f（x）同时满足下面三个条件中的两个：①f（x）是偶函数；②m＝1；③f（x）在（0，1）单调递减.指出这两个条件，并求函数h（x）＝xf（x）的极值； （2）若函数f（x）在区间[﹣2，4]上有三个零点，求m的取值范围. 11.（24-25高三下·北京顺义·阶段检测）已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)当时，求函数的极值； (3)若函数在区间上有零点，求的取值范围． 12．（2026·北京西城·二模）设函数，其中． （Ⅰ）已知函数为偶函数，求的值； （Ⅱ）若，证明：当时，； （Ⅲ）若在区间内有两个不同的零点，求的取值范围． 创新提升 13.（25-26高三上·北京·开学考试）已知函数． (1)求函数的单调区间； (2)求的零点个数． (3)在区间上有两个零点，求m的范围？ 14.（2026·广东珠海二模）已知函数 (1)若，判断函数的单调性，并求出函数的最值. (2)若函数有两个零点，求实数的取值范围. 15．（24-25高二下·北京·期中）已知函数，. (1)若1是的极值点，求实数的值； (2)若，求证：； (3)已知函数在上无零点，求的取值范围. 16．（2025·湖北黄冈·模拟预测）已知函数． (1)若，证明：函数在上单调递增； (2)若函数有三个零点，求的取值范围． 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $ 解答题专训21 利用导数研究函数的零点 内容导航 解题方法及技巧提炼 1 题型通法及变式提升 1 题型1 利用导数研究函数的零点个数 2 题型2 根据零点情况求参数范围 5 题型3 函数零点的证明问题 9 重难专题分层过关练 12 巩固过关 12 创新提升 24 解题方法及技巧提炼 1.利用导数研究函数零点数量问题 （1）零点定义：的根，等价于函数图像与轴交点横坐标 （2）核心工具：导数求单调区间、极值、最值、极限趋势 （3）判定依据：零点存在定理 + 单调性，确定零点个数 2.利用导数研究函数零点解题原理 通过导数判断函数增减区间，求出极值正负，结合端点与无穷处函数值，依据图像走势判定交点个数。 3.利用导数研究函数零点解题思路 （1）求导确定单调区间与极大、极小值； （2）计算极值、区间端点函数值； （3）判断极值正负，结合函数趋势； （4）结合零点存在定理，确定零点总数。 题型通法及变式提升 题型1 利用导数研究函数的零点个数 【典例1】1．（25-26高二下·北京·期中）已知函数． (1)当时，求证：直线是曲线的切线 (2)当时，求证：函数存在极小值； (3)直接写出函数的零点个数 【解】（1）的定义域为，， 因为，所以， 所以曲线在处的切线方程为， 所以直线是曲线的切线． （2）令，， 因为且， 所以在上恒成立， 所以在上单调递增，且， 所以在区间的变化情况如下表： ↘ 极小值 ↗ 所以当时，取得极小值，问题得证． （3）函数的定义域为，， 显然是函数的零点，当时，函数的零点即为方程的解， 令，，则， 令，则， 当时，；当时，， 函数在上单调递增，在上单调递减， ，， 即有，函数在，上都单调递减， 令，， 当时，；当时，， 函数在上单调递增，在上单调递减，， 即，恒有，当且仅当时，等号成立， 当时，，当时，， 所以在上单调递减，取值集合为， 在上单调递减，取值集合为， 于是得当且时，方程有唯一解，当或时，此方程无解， 所以当或时，函数有一个零点；当且时，函数有两个零点． 利用导数判断函数零点个数的方法 （1）函数的性质和零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间上是连续不断的曲线，且，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点． （2）数形结合法：将函数的零点转化为方程解的个数，若能分离参数，将参数分离出来后，用表示参数的函数，作出该函数的图像，利用数形结合研究函数零点问题. （3）利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点． 【变式1】（25-26高三下·北京海淀·期中）设函数． (1)若，求曲线在处的切线方程； (2)求函数的单调区间： (3)当时，求零点的个数． 【解】（1）若，则，则， 因为，所以曲线在处的切线方程为； （2），令，解得， 因为， 所以，当，即时，在区间，，单调递减； 当时，在区间，，单调递增， 在区间，，单调递减； 综上所述：当时，的单调递减区间是，无增区间； 当时，的单调递增区间是，单调递减区间是. （3）由（2）可知，当时，在单调递增，在单调递减， 则， 令，则， 因为，所以，此时单调递减，则， 所以， 因为，且 ，所以在存在一个零点， 因为， 所以在存在一个零点， 故当时，有2个零点. 【变式2】（25-26高三下·北京密云期末）已知函数. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)证明：； (3)设函数，当时，讨论零点的个数. 【解】（1）因为，所以切点为， 又因为， 所以， 所以在点处的切线方程：， 即； （2）令， 则， 令，得， 所以当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 所以， 即， 所以； （3）， 所以， 令，得， 所以当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 所以， 令， 则， 所以在上单调递减， 所以， 所以当时，， 此时只有一个零点； 当时，， 且趋于、时，趋于， 此时有两个零点； 综上，当时，只有一个零点；当时，有两个零点. 题型2 根据零点情况求参数范围 【典例2】（25-26高三下·北京门头沟·期中）函数，其中． (1)讨论函数的单调区间； (2)若函数在区间上有两个零点，求的取值范围． 【解】（1）由题可知的定义域为，. 当时，恒成立，因此在上单调递增，无递减区间； 当时，令，解得. 时，，单调递增； 时，，单调递减. 综上，时，的单调递增区间为，无递减区间； 时，递增区间为，递减区间为. （2）在上有两个零点，即方程在上有两个不同实根， 变形得. 令，求导得. 当时，，单调递减；时，，单调递增. 则，，，且. 即与在有两个交点，需满足， 综上，. 已知函数(方程)零点的个数求参数范围常见方法 ①函数在定义域上是单调函数，满足零点存在性定理． ②若函数不是严格的单调函数，则求最小值或最大值结合图象分析． ③分离参数后，数形结合，讨论参数所在直线与函数图象交点的个数． 【变式1】（25-26高三下·北京房山·期中）已知函数. (1)若曲线在点处的切线平行于轴，求的值； (2)求的极值； (3)当时，曲线与直线没有公共点，求的取值范围. 【解】（1），，解得； （2）由（1）知， 当时，恒成立， 单调递增，无极值， 当时，令，解得， 所以当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 所以有极大值，为，无极小值； 综上：当时，无极值， 当时，的极大值为，无极小值； （3）当时，， 令，当时，方程无解，所以， 令，则， 所以当且时，，单调递减，当时，，单调递增， 所以，当时，当时，， 当时，，当时，， 所以的值域为， 因为曲线与直线没有公共点，所以， 所以的取值范围为. 【变式2】（25-26高三上·北京通州·期中）已知函数. (1)当时，求的极值； (2)当时，求在上的最小值； (3)若在上存在零点，求的取值范围. 【解】（1）当时，，定义域是 求导可得 令，解得， 当变化时，，的变化情况如下表： 0 单调递增 极大值 单调递减 由此可得的极大值为，没有极小值. （2）当时，，定义域是 求导可得 令，定义域是，则 求导可得，当时，，因此在上是增函数， 所以，即在上是增函数，. （3），定义域是 求导可得， 令，定义域是 求导可得 分类讨论， 当时，，因此在上是减函数，； 当时，是负数，因此，在上是减函数，，不符合题目要求； 当时，，，因此存在，使得，即， 当变化时，，的变化情况如下表： 0 单调递增 极大值 单调递减 因此，只需要，即时，在上存在零点； 当时，由第一问可知在上是增函数，，不符合题目要求； 当时，，即，在上是增函数，，不符合题目要求， 综上所述，的取值范围是. 题型3 隐零点问题 【典例3】已知函数．（是自然对数的底数） (1)若，求的单调区间； (2)若，试讨论在上的零点个数．（参考数据：） 【解】（1）解：，则，定义域为，， 由，解得，可得， 解得， 由，解得，可得， 解得， 的单调递增区间为，单调递减区间为； （2）解：由已知， ，令，则． ，∴当时，；当时，， 在上单调递增，在上单调递减，即在上单调递增，在上单调递减． ，，． ①当时，即时，， ，使得， ∴当时，；当时，， 在上单调递增，上单调递减． ，，又， ∴由函数零点存在性定理可得，此时在上仅有一个零点； ②若时，， 又在上单调递增，在上单调递减，而， ，，使得，， 且当、时，；当时，． 在和上单调递减，在上单调递增． ，， ，， 又， ∴由零点存在性定理可得，在和内各有一个零点，即此时在上有两个零点． 综上所述，当时，在上仅有一个零点；当时，在上有两个零点． 隐零点问题是指一个函数的零点存在但无法直接解出.在函数、不等式与导数的综合题目中经常会遇到.涉及隐零点问题，一般对函数的零点设而不求，借助整体代换和过渡，再结合题目条件，利用函数的性质巧妙求解. 【变式1】已知函数，. （1）若直线与函数的图象相切，求实数的值； （2）当时，求证：. 【解】（1）设切点为，由，∴. ∴切线方程为：.即. ∵直线与函数的图象相切，∴，. 解得，. （2）证明：当时，， 令， . 令，.则， ∴函数在上单调递增. ∵，. ∴函数在区间上存在一个零点，即函数在区间上存在唯一零点. ∴当时，，即，此时函数单调递减； 当时，，即，此时函数单调递增. ∴，由可得：. 两边取对数可得：. 故， ∴，即. 【变式2】（2026·江西萍乡·三模）已知函数． (1)讨论函数的极值点个数； (2)若恒成立，求实数a的取值范围． 【解】（1）由，可知定义域为，则． 当时，恒成立，所以在上是减函数，则无极值点． 当时，，则， 所以在上单调递增． 当，即时，， 当，即时，， 所以存在唯一的实数，使得． 当时，，单调递减； 当时，，单调递增． 所以是函数的极小值点，无极大值点． 综上所述，当时，的极值点个数为0；当时，的极值点个数为1． （2）由得，故．① 设函数，由，可知在R上单调递增． 由于①式可化为，即有， 所以对恒成立． 设函数，则，令，得． 当时，，单调递增； 当时，，单调递减． 所以当时，取得极大值也是最大值， 即最大值为．故． 重难专题分层过关练 巩固过关 1．（2026·北京延庆·模拟预测）已知函数． （1）求曲线的斜率等于的切线方程； （2）求函数的极值； （3）设，判断函数的零点个数，并说明理由． 【解】（1）设切点为，因为， 所以，，， 所以切线方程为，即． （2）的定义域为． 令即，， 令，得，令，得，故在上单调递减， 在上单调递增， 所以存在极小值，无极大值， （3）函数有三个零点，理由如下： 由（2）知在上单调递减，在上单调递增， 由且，， 所以存在唯一，使得， 又因为，， 且三个零点互不相同，所以函数有三个零点． 2．（2026·北京·模拟预测）已知函数，． （1）求曲线在点处的切线方程； （2）求函数的极小值； （3）求函数的零点个数． 【解】（1）因为，所以． 所以，． 所以曲线在点处的切线为； （2）因为，令，得或． 列表如下： a 0 极大值 极小值 所以，函数的单调递增区间为和，单调递减区间为， 所以，当时，函数有极小值； （3）因为，， 所以由（2）得，当时，，又． 由（2）可知，函数在上单调递增，所以函数的零点个数为． 3．（25-26高三下·北京密云·期中）已知函数. (1)若，求的极值 (2)若恒成立，求的取值范围 (3)判断函数的零点个数.（直接写出结论） 【解】（1）解：当时，，其定义域为， 所以，令，得，令，得. 所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为， 所以，的极大值为，无极小值. （2）解：由题意知在恒成立，即在恒成立， 所以在恒成立，即，， 令，， 则，令，解得. 当在内变化时，，的变化情况如下表： 0 单调递增 单调递减 由表知，当时，函数有最大值，且最大值为， 所以，即实数的取值范围为. （3）解：函数的零点即为的实数根，即方程的实数根， 由（2）知，当时，；当时，；当时，； 又因为当时，，当时，， 所以，当时，方程无实数根，即函数的零点个数为0个； 当或时，方程有1个实数根，即函数的零点个数为1个； 当时，方程有2个实数根，即函数的零点个数为2个； 综上，当时，函数的零点个数为0个；当或时，函数的零点个数为1个；当时，函数的零点个数为2个. 4．（25-26高三上·陕西西安·期末）已知函数，在处切线的斜率为. (1)求的值； (2)求的极小值； (3)讨论方程的实数解的个数. 【解】（1）， 因为在处切线的斜率为， 所以，则. （2）， 令，解得或， 当变化时，，变化情况如下： 1 0 0 单调递增 单调递减 单调递增 故的极小值为. （3）由（2）知，在上单调递增，上单调递减，上单调递增. 当时，；当时，， 图象如下图所示，数形结合可得： 当或时，方程有1个实数解； 当或时，方程有2个实数解 当时，方程有3个实数解. 5．（25-26高三上·北京·阶段检测）已知函数 . (1)求证：曲线在点 处的切线总与直线平行； (2)函数在区间上存在极值点， （i）求的取值范围； （ii）求在区间上的零点个数. 【解】（1）由，得， ， ， 所以曲线在点处的切线的斜率为0，切线方程为， 所以曲线在点处的切线总与直线平行. （2）（i）由（1）知，因为， 所以，令， 当时，，在区间上单调递增，且， 所以在区间上恒成立，即在区间上恒成立， 在区间上单调递增，无极值点. 当时，在区间上递减，令，得. 若，即时，在区间上恒成立， 即在区间上恒成立，在区间上单调递减，无极值点. 若，即时， 当时，，则，单调递增； 当时，，则，单调递减， 所以在处取得极大值，满足函数在区间上存在极值点. 综上，的取值范围是. （ii）由（i）知当时， 在区间上单调递增，在区间上单调递减，且， 当时，函数的趋势由起决定作用的项决定， 因为，所以， 因此在区间上有且仅有1个零点. 6．（25-26高三上·北京平谷·开学考试）已知函数 (1)求函数在处的切线方程； (2)求函数的单调性区间； (3)若函数，有2个零点，求a的取值范围. 【解】（1）因为， 所以切线斜率为， 又因为， 所以切线方程为，即； （2）因为， 所以当在上单调递减； 当在上单调递增； 所以的单调递减区间为，的单调递增区间为； （3）因为函数有2个零点，所以有两个解， 转化为函数图象与直线有两个交点， 由（2）知，的单调递减区间为，的单调递增区间为； 所以， 又因为时，时 ， 且；， 所以当时，函数图象与直线有两个交点， 即函数有2个零点时，. 7．（2026·北京西城·一模）已知函数，. (1)当时， ①求曲线在处的切线方程； ②求证：在上有唯一极大值点； (2)若没有零点，求的取值范围. 【解】（1）若，则，. ①在处，，. 所以曲线在处的切线方程为. ②令，， 在区间上，，则在区间上是减函数. 又， 所以在上有唯一零点. 列表得： + - 极大值 所以在上有唯一极大值点. （2）， 令，则. ①若，则，在上是增函数. 因为，， 所以恰有一个零点. 令，得. 代入，得， 解得. 所以当时，的唯一零点为0，此时无零点，符合题意. ②若，此时的定义域为. 当时，，在区间上是减函数； 当时，，在区间上是增函数. 所以. 又， 由题意，当，即时，无零点，符合题意. 综上，的取值范围是. 8．（2026·北京房山·一模）已知函数. （1）求曲线在点处的切线方程； （2）若，求证：； （3）设，是否存在唯一的自然数，使得与的图象在区间上有两个不同的公共点？若存在，试求出的值，若不存在，请说明理由. 【解】（1）因为，所以； 因为， 所以切线方程为，即； （2）设， 即， 令，则或 随变化情况如下表： 极小值 故=， 故， （3）由于，设 ，， 随变化情况如下表： 极大值 极小值 由表可知，，因为，， ，， 所以在，分别有唯一零点， 所以在内有两个零点，在，内无零点，内有唯一零点. 所以存在唯一的自然数，使得与的图象在上有两个不同公共点. 9．（2026·北京延庆·模拟预测）已知函数. （Ⅰ）当时，求函数在点处的切线方程； （Ⅱ）当，时，求函数的最大值； （Ⅲ）当，时，判断函数的零点个数，并说明理由. 【解】（Ⅰ）当时，函数， ， 切线的斜率， 曲线在原点处的切线方程为. （Ⅱ）， 令， 则， 当，时，，所以在上单调递. 所以，即，仅在处，其余各处， 所以在上单调递增， 所以当时，的最大值为. （Ⅲ）， 因为，当时，，仅在处，其余各处， 所以在上单调递减， 因为， 所以存在唯一，使得， 即在上有且只有一个零点， 因为， 所以是偶函数，其图像关于轴对称， 所以在上有且只有一个零点， 所以在上有2个零点. 10．（2025·北京东城·模拟预测）设函数f（x）＝mex﹣x2+3，其中m∈R. （1）如果f（x）同时满足下面三个条件中的两个：①f（x）是偶函数；②m＝1；③f（x）在（0，1）单调递减.指出这两个条件，并求函数h（x）＝xf（x）的极值； （2）若函数f（x）在区间[﹣2，4]上有三个零点，求m的取值范围. 【解】（1）若满足条件①是偶函数，则， 且函数的定义域为，， 对恒成立，， 此时函数，在单调递减， 满足条件③在单调递减； 若不满足①，则， ， 所以f（x）在（0，1）不可能单调递减，即不满足③， 同时满足条件：①是偶函数；③在单调递减， 此时，则， 当时，，函数单调递减； 当时，，函数单调递增； 当时，，函数单调递减， 时，函数取到极大值，极大值为（1）， 时，函数取到极小值，极小值为； （2）令，则有， 函数在区间，上有三个零点， 等价于直线与曲线在区间，上有三个交点， ，，， 令，则或， 令，则， 令，则或， 函数在区间，上单调递增；在上单调递减，在，上单调递增， 又，，（3），（4）， 画出函数在，上的大致图象，如图所示： ， 由图可知，当时， 直线与曲线在区间，上有三个交点， 即函数在区间，上有三个零点， 的取值范围为：，． 11.（24-25高三下·北京顺义·阶段检测）已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)当时，求函数的极值； (3)若函数在区间上有零点，求的取值范围． 【解】（1）当时，，，， 因为，所以曲线在处的切线方程为， 即. （2）， 当时，由得，， 随着的变化，、的变化情况如下表： 单调递减 单调递增 所以的极小值为，无极大值. （3）， 当时，因为，所以， 在区间上单调递减，且， 因为在区间上有零点， 所以， 解得 ，所以； 当时，，     因为在区间上有零点， 由（1）可知，， 因为函数、在上是增函数， 所以函数在上是增函数， 又，所以， 综上所述，的取值范围是. 12．（2026·北京西城·二模）设函数，其中． （Ⅰ）已知函数为偶函数，求的值； （Ⅱ）若，证明：当时，； （Ⅲ）若在区间内有两个不同的零点，求的取值范围． 【解】（Ⅰ）函数为偶函数，所以，即，                   整理得对任意的恒成立，； （Ⅱ）当时，，则， ，则，，， 所以，函数在上单调递增， 当时，； （Ⅲ）由，得，设函数，，                       则，令，得． 随着变化，与的变化情况如下表所示： 极大值 所以，函数在上单调递增，在上单调递减． 又因为，，，且，如下图所示：    所以，当时，方程在区间内有两个不同解， 因此，所求实数的取值范围为． 创新提升 13.（25-26高三上·北京·开学考试）已知函数． (1)求函数的单调区间； (2)求的零点个数． (3)在区间上有两个零点，求m的范围？ 【解】（1）由题可得， 令，解得或， 令，解得， 令，解得或， 所以的单调减区间为；单调增区间为，. （2）因为的单调减区间为，单调增区间为，， 由于，则在上无零点； 由于，则在上无零点； 由于，则在上存在唯一零点； 综上，函数在上存在唯一零点. （3）若在区间上有两个零点， 则函数与在区间上有两个交点； 由(1)知，在上单调递增，上单调递减； ，，， 所以函数与在区间上有两个交点，则， 即在区间上有两个零点，则的范围为 14.（2026·广东珠海二模）已知函数 (1)若，判断函数的单调性，并求出函数的最值. (2)若函数有两个零点，求实数的取值范围. 【解】（1）易知函数的定义域为， 当时，， 所以， 当时，；当，； 所以在上单调递减，在上单调递增； 由此可得，的最小值为，无最大值. （2）因为，所以. 当时，在上恒成立，所以在上单调递增， 故可得函数至多只有一个零点，不符合题意； 当时，令，设该方程的解为， 则在上，；在上，， 所以在上单调递减，在上单调递增； 为了满足有两个零点，则有  ① 因为是方程的解，所以，两边取对数可得  ②， 将②式代入①式可得，所以的取值范围为. 且当时，由②式得，所以在上仅有1个零点；当时，，故可得在上仅有1个零点； 综上，若函数存在两个零点，则实数的取值范围是. 15．（24-25高二下·北京·期中）已知函数，. (1)若1是的极值点，求实数的值； (2)若，求证：； (3)已知函数在上无零点，求的取值范围. 【解】（1）函数的定义域为，， 因为1是的极值点，所以，即， 当时，， 当时，，在上单调递减， 当时，，在上单调递增， 所以是的极小值点，符合题意，所以. （2）当时，，记. ，令，有， 当时，，在上单调递增， 当时，，在上单调递减， 从而，所以，即. （3）因为，， 当，即时，， 所以在上单调递减， 因为， 所以在上无零点，符合题意； 当时，令，则， 当时，；当时，， 所以的单调递减区间是；单调递增区间是， 的最小值为， 当，即时，无零点，符合题意； 当时，有一个零点，不符合题意； 当时，，的最小值， 因为， 所以，使得，不符合题意； 综上，. 16．（2025·湖北黄冈·模拟预测）已知函数． (1)若，证明：函数在上单调递增； (2)若函数有三个零点，求的取值范围． 【解】（1）当时，，则， 要证函数在上单调递增，只要证明在上恒成立， 令， 因为，令， 解得， 由，得，此时函数单调递增， 由，得，此时函数单调递减， 所以当时，取得最小值， 因为，所以恒成立， 即在上单调递增； （2）方法一：令，等价于， 设， 当时，没有零点； 当时，， 当时，，函数单调递增， 因为， 所以函数在上有一个零点； 当时，，函数单调递增， 当时，，函数单调递减， 所以当时，的最小值为， 若．即在上没有零点； 若，即在上有一个零点； 若，即， 因为，当时，， 所以在上有两个零点； 综上，当时，有3个零点. 方法二：当时，恒成立，没有零点，故， 当时，单调递增，单调递减， 故在上单调递增， 且当时，， 故在上有唯一零点， 所以在上有三个零点等价于在上有两个零点， 当时，由， 即，得， 令，则， 当时，单调递减； 当时，单调递增， 故当时，， 且当时，，当时，， 故要使在上有两个零点， 则只要即可，解得； 综上，当时，有3个零点. 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $