解答题专训16 圆锥曲线的切线与切点弦问题（专项训练）（北京专用）2027年高考数学一轮复习讲练测

解答题专训16 圆锥曲线的切线与切点弦问题 内容导航 解题方法及技巧提炼 1 题型通法及变式提升 1 题型1 与切点弦有关的面积问题 2 题型2 与切点弦有关的定点问题 3 题型3 与切点弦有关的定值问题 3 题型4 与切点弦有关的最值问题 4 重难专题分层过关练 4 巩固过关 4 创新提升 7 解题方法及技巧提炼 1．圆锥曲线的切线和切点弦 (1)切线方程： 过圆锥曲线Ax2+Cy2+Dx+Ey+F=0(A、C不全为0)上的点M(x0,y0)的切线的方程为 . (2)切点弦方程： 当M(x0,y0)在曲线外时，过M可引该二次曲线的两条切线，过这两个切点的弦所在直线的方程为：. 上述两条为一般结论.特别地： ①对于椭圆+=1(a>b>0)，其上有一点M(x0,y0)，则过该点作切线得到的切线方程. 当M在椭圆外时，过M引两条切线得到两个切点，则过这两个切点的直线方程为. ②更为一般地，当二次曲线有交叉项时，即圆锥曲线形式为Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0(B≠0)时，过点M(x0,y0)有对应的一条直线为；当M在原圆锥曲线上时，这条直线为过M的切线；当M在曲线外时，过M可引该二次曲线的两条切线，这条直线为过这两个切点的弦的直线. 2．圆锥曲线的切线和切点弦的相关结论 (1)过椭圆+=1上一点的切线方程为； (2)过椭圆+=1外一点的切点弦方程为； (3)过双曲线=1上一点的切线方程为； (4)过双曲线=1外一点的切点弦方程为. 题型通法及变式提升 题型1 与切点弦有关的面积问题 【典例1】已知抛物线的焦点为，椭圆的右焦点为，离心率． (1)求椭圆的方程； (2)动直线恒过定点，过点作抛物线的切线与椭圆交于两点，求的面积． 【变式1】已知：若点是双曲线上一点，则双曲线在点处的切线方程为．如图，过点分别作双曲线两支的切线，切点分别为P，Q，连结P，Q两点，并过线段的中点F分别再作双曲线两支的切线，切点分别为D，E，记与的面积分别为，． (1)求直线的方程（含m）； (2)证明直线过点C，并比较与的大小． 【变式2】已知抛物线的焦点为，是上一点，且，以为直径的圆截轴所得的弦长为3． (1)求； (2)若点是抛物线上一动点（除原点外），过点作的切线，切点为，，当的面积为时，求直线的方程． 题型2 与切点弦有关的定点问题 【典例2】已知椭圆C：的焦距为2，，分别为其左，右焦点，过的直线l与椭圆C交于M，N两点，的周长为8． (1)求椭圆C的方程； (2)已知结论：若点为椭圆C上一点，则椭圆C在该点的切线方程为．点T为直线上的动点，过点T作椭圆C的两条不同切线，切点分别为A，B，直线AB交x轴于点Q．证明：Q为定点． 【变式1】已知双曲线的两个焦点为、，一条渐近线方程为，且双曲线经过点，． (1)求双曲线C的方程； (2)设点在直线，，且为常数)上，过点作双曲线的两条切线、，切点为、，求证：直线过某一个定点． 【变式2】如图，已知抛物线：与点，过点作的两条切线，切点分别为，．    (1)若，求切线的方程； (2)若，求证：直线恒过定点． 题型3 与切点弦有关的定值问题 【典例3】过椭圆上异于其顶点的任一点．作圆的切线，切点分别为、（、不在坐标轴上)，若直线的横纵截距分别为、，求证：为定值． 【变式1】已知是双曲线的左右焦点，，点在双曲线上. (1)求双曲线的标准方程； (2)若直线与双曲线相切与于点，与双曲线的两条渐近线分别相交于两点，当点在双曲线上运动时，的值是否为定值？若是，求出定值；否则，请说明理由. 【变式2】已知椭圆过两点，椭圆的所有外切矩形的顶点在一个定圆上，称此圆为椭圆的蒙日圆． (1)求椭圆的标准方程； (2)矩形为椭圆的外切矩形，求矩形面积的取值范围； (3)过椭圆的蒙日圆上一点作椭圆的两条切线，切点分别为，且直线的斜率都存在，证明：为定值． 题型4 与切点弦有关的最值问题 【典例4】已知点F为抛物线的焦点，点在抛物线E上，且到原点的距离为.过抛物线焦点F的直线l交抛物线于A，B两点，分别在点A，B处作抛物线的切线，两条切线交于P点. (1)证明：点P在一条定直线上； (2)求的面积最小值． 【变式1】‌经过圆上一动点作椭圆的两条切线，切点分别记为，求面积的取值范围． 【变式2】以椭圆的长轴为直径作圆，过直线上的动点，作圆的两条切线，设切点分别为，则直线与椭圆交于不同的两点，求的取值范围． 重难专题分层过关练 巩固过关 1.已知椭圆的左焦点为，离心率为，过点与轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为3. (1)求椭圆的方程； (2)过点向椭圆引两条切线，切点分别为，.求证：平分. 2.已知椭圆：上一点处的切线为，两焦点，在上的射影分别为，我们常常把过切点且与切线垂直的直线叫做法线，它平分，因此从一个焦点射出的光线经过切点反射后会经过另一个焦点如图记，，当点不在轴上时，记的面积为若.    (1)求证：； (2)试探究 是否为定值，如果为定值，求此定值；如果不为定值，请说明理由； (3)若椭圆的离心率为，且当时，四边形的面积，求椭圆的方程. 3．（2026·湖南常德·一模）已知抛物线的焦点为，点在上，且. (1)求抛物线的方程； (2)过点作圆的两条切线，且分别与相交于点，（异于点）. （ⅰ）若，求.面积； （ⅱ）证明：直线过定点. 4.直线过抛物线的焦点，与交于两点，当线段中点的纵坐标为2时，． (1)求； (2)证明：直线的斜率之积为定值，并求出该定值； (3)设在点处的切线相交于点，若，求的面积． 5.如图，双曲线的左右焦点分别为，，双曲线与有相同的渐近线和焦距．过上一点作的两条切线，切点分别为A，B，A在轴上方，连接AB交于点M． （注：过曲线外一点作曲线的两条切线，则两切点所在直线方程为）    (1)求双曲线的方程； (2)证明：直线AB与切于点M，且； (3)当点在第三象限，且时，求的值． 6．已知椭圆：经过点，且离心率为. (1)求的方程； (2)若直线与交于点，，且线段的中点为，求的方程； (3)过动点作的两条切线，切点分别为，，求证：直线过定点，并求出定点的坐标. 7．（25-26高三上·湖南长沙·开学考试）已知椭圆，为的右焦点，为上的动点，当直线与轴垂直时，，是直线上一动点，的最小值为1． (1)求的方程； (2)过作的两条切线分别交轴于两点，求面积的取值范围． 8.（23-24高三·全国·三轮复习）已知椭圆的离心率为，椭圆上的点与两个焦点构成的三角形的最大面积为1． (1)求椭圆的方程； (2)若点为直线上的任意一点，过点作椭圆的两条切线（切点分别为），试证明动直线恒过一定点，并求出该定点的坐标． 9.（2024·河北邢台·二模）已知定点，轴于点H，F是直线OA上任意一点，轴于点D，于点E，OE与FD相交于点G． (1)求点G的轨迹方程C； (2)过的直线交C于P，Q两点，直线AP，AQ的斜率分别为和，证明：为定值； (3)在直线上任取一点，过点B分别作曲线C：的两条切线，切点分别为M和N，设的面积为S，求S的最小值. 10.已知P是抛物线的准线上任意一点，过点P作抛物线C的两条切线，切点分别为． (1)若点P纵坐标为0，求此时抛物线C的切线方程； (2)设直线的斜率分别为，求证：为定值． 11.（2026·河北·三模）已知椭圆：的离心率为，是椭圆的短轴的一个顶点． (1)求椭圆的方程． (2)设圆：，过圆上一动点作椭圆的两条切线，切点分别为，．设两切线的斜率均存在，分别为，，问：是否为定值？若不是，说明理由；若是，求出定值． 12.已知直线与双曲线及其渐近线分别交于点，和点，. (1)求实数的取值范围； (2)证明：； (3)若，过双曲线上一点向双曲线作切线，，其斜率分别为，，问是否存在这样的，使得为定值？若存在，求出的值及定值；若不存在，请说明理由. 创新提升 13.已知为坐标原点，抛物线：，过点（0，4）的直线与相交于M，N两点. (1)求； (2)过M，N分别作的两条切线，，记，的交点为P. （i）求面积的最小值； （ii）设A，B分别为，与x轴的交点，证明：的外接圆过定点. 14.已知椭圆E：的左、右焦点分别为,焦距与短轴长均为4. 设过F2的直线l交E于M,N,过M,N分别作E在点M,N上的两条切线,记它们的交点为P,MN的中点为Q. (1)证明：O,P,Q三点共线； (2)过F1作平行于l的直线分别交PM,PN于A,B,求的取值范围. 参考结论：点T(,)为椭圆()上一点,则过点T(,)的椭圆的切线方程为. 15．（24-25高二上·福建宁德·阶段检测）已知椭圆的右顶点为M，左、右焦点分别为，离心率为为E上任意一点，且． (1)求E的方程． (2)设过点的直线l与E有两个不同的交点A，B（均不与点M重合）．以线段为直径的圆恒过点M，求t的值； (3)由椭圆的两个焦点和短轴的一个顶点组成的三角形称为该椭圆的“特征三角形”．如果椭圆的“特征三角形”为，椭圆的“特征三角形”为，若，则称椭圆与“相似”，并将与的相似比称为椭圆与的相似比．已知椭圆与椭圆相似．若椭圆与椭圆的相似比为，设P为上异于其左、右顶点的一点．当时，过P分别作椭圆的两条切线，切点分别为，设直线的斜率为，证明：为定值； 16.关于椭圆有如下结论：“过椭圆上一点作该椭圆的切线，切线方程为”.已知离心率都为的椭圆，的对称中心都是原点.焦点都在轴上，且椭圆的焦距是椭圆的焦距的倍，椭圆的长轴长为4. (1)分别求椭圆，的标准方程； (2)已知点是椭圆上的任意一点，过点分别作椭圆的两条切线.切点分别为，，直线，分别与椭圆相交于异于点的，两点. （i）证明：线段是的中位线： （ii）证明：直线经过原点. 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 解答题专训16 圆锥曲线的切线与切点弦问题 内容导航 解题方法及技巧提炼 1 题型通法及变式提升 1 题型1 与切点弦有关的面积问题 2 题型2 与切点弦有关的定点问题 6 题型3 与切点弦有关的定值问题 9 题型4 与切点弦有关的最值问题 13 重难专题分层过关练 15 巩固过关 15 创新提升 30 解题方法及技巧提炼 1．圆锥曲线的切线和切点弦 (1)切线方程： 过圆锥曲线Ax2+Cy2+Dx+Ey+F=0(A、C不全为0)上的点M(x0,y0)的切线的方程为 . (2)切点弦方程： 当M(x0,y0)在曲线外时，过M可引该二次曲线的两条切线，过这两个切点的弦所在直线的方程为：. 上述两条为一般结论.特别地： ①对于椭圆+=1(a>b>0)，其上有一点M(x0,y0)，则过该点作切线得到的切线方程. 当M在椭圆外时，过M引两条切线得到两个切点，则过这两个切点的直线方程为. ②更为一般地，当二次曲线有交叉项时，即圆锥曲线形式为Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0(B≠0)时，过点M(x0,y0)有对应的一条直线为；当M在原圆锥曲线上时，这条直线为过M的切线；当M在曲线外时，过M可引该二次曲线的两条切线，这条直线为过这两个切点的弦的直线. 2．圆锥曲线的切线和切点弦的相关结论 (1)过椭圆+=1上一点的切线方程为； (2)过椭圆+=1外一点的切点弦方程为； (3)过双曲线=1上一点的切线方程为； (4)过双曲线=1外一点的切点弦方程为. 题型通法及变式提升 题型1 与切点弦有关的面积问题 【典例1】已知抛物线的焦点为，椭圆的右焦点为，离心率． (1)求椭圆的方程； (2)动直线恒过定点，过点作抛物线的切线与椭圆交于两点，求的面积． 【解】（1）由抛物线的方程，得焦点，所以在椭圆中，， 因为椭圆的离心率，所以，所以， 所以椭圆的方程为． （2）由直线的方程，得直线恒过定点， 由题意，得点在抛物线上，设切线的方程为， 由，消去，整理得， 因为直线与抛物线相切，所以，即，解得， 所以直线的方程为， 由，消去，整理得， ，所以，， 因为点到直线的距离， ， 所以的面积． 【变式1】已知：若点是双曲线上一点，则双曲线在点处的切线方程为．如图，过点分别作双曲线两支的切线，切点分别为P，Q，连结P，Q两点，并过线段的中点F分别再作双曲线两支的切线，切点分别为D，E，记与的面积分别为，． (1)求直线的方程（含m）； (2)证明直线过点C，并比较与的大小． 【解】（1）根据题意可设， 由已知可得双曲线在处的切线方程为， 同理，在处的切线方程为； 又两切线交点为，所以满足， 即同时满足方程， 所以直线的方程为. （2）联立整理可得， 所以, 即可得线段的中点， 设， 根据已知可得在两点处的切线方程分别为，； 两切线交点为，所以 可得直线的方程为，整理可得； 易知满足直线方程， 即直线过点C； 联立双曲线与直线方程， 整理可得， 所以，可得， 所以的中点坐标为，即为的中点，即； 易知的面积为， 的面积； 又，可得； 即与的大小关系为. 【变式2】已知抛物线的焦点为，是上一点，且，以为直径的圆截轴所得的弦长为3． (1)求； (2)若点是抛物线上一动点（除原点外），过点作的切线，切点为，，当的面积为时，求直线的方程． 【解】（1）设， 则有，可得， 因为以为直径的圆截轴所得的弦长为3，设弦长为，    过圆心作轴，则连接，则为边的中点， 所以轴，所以，得， 解得或8（舍去），故的值为2． （2）由（1）知，抛物线， 易知直线的斜率存在，且不为零，设直线的方程为，，，由，得， 所以直线的方程为，即， 同理，直线的方程为， 由，可得：，， 所以． 由得，， 所以，，则． 由在抛物线上，得，满足， 所以． 点到直线的距离， 所以， 所以或， 所以直线的方程为或． 题型2 与切点弦有关的定点问题 【典例2】已知椭圆C：的焦距为2，，分别为其左，右焦点，过的直线l与椭圆C交于M，N两点，的周长为8． (1)求椭圆C的方程； (2)已知结论：若点为椭圆C上一点，则椭圆C在该点的切线方程为．点T为直线上的动点，过点T作椭圆C的两条不同切线，切点分别为A，B，直线AB交x轴于点Q．证明：Q为定点． 【解】（1）如图1，由已知可得，， 所以.又，所以，. 所以，椭圆的标准方程为. （2）设，，. 则由已知可得，方程为：，方程为：. 将代入、方程整理可得， ，. 显然、点坐标都满足方程. 即直线的方程为， 令，可得，即点坐标为. 所以，为定点. 【变式1】已知双曲线的两个焦点为、，一条渐近线方程为，且双曲线经过点，． (1)求双曲线C的方程； (2)设点在直线，，且为常数)上，过点作双曲线的两条切线、，切点为、，求证：直线过某一个定点． 【解】（1）依题意，，解得， ：； （2）设，，，，直线， 由得，， 直线与双曲线相切， 且， ， ，即， 又， ， ， ，则， 直线，即， 同理，切线的方程为， 在切线、上， ， 、满足直线方程，而两点确定唯一一条直线， 直线，则当时，无论取何值，等式均成立， 点恒在直线上，故无论点在何处，直线恒过定点． 【变式2】如图，已知抛物线：与点，过点作的两条切线，切点分别为，．    (1)若，求切线的方程； (2)若，求证：直线恒过定点． 【解】（1）显然切线的斜率存在且不为0，设切线：， 代入，得， 由，解得 所以直线的方程为，即． （2）若直线PA的斜率存在，设，，：， 代入，得 由，解得． 所以直线的方程为，即 同理直线的方程为 因为在直线和上， 所以， 可得点，在直线上， 所以直线的方程为，因为， 所以，则直线的方程为， 由，得，故直线过定点. 若直线PA的斜率不存在，则，设直线， 代入，得，由，解得， 此时，解得，得， 即，所以，恒过定点； 综上：直线过定点.    题型3 与切点弦有关的定值问题 【典例3】过椭圆上异于其顶点的任一点．作圆的切线，切点分别为、（、不在坐标轴上)，若直线的横纵截距分别为、，求证：为定值． 【解】设点、，先证明出直线的方程为， 由题意可知，联立可得， 故，所以，直线的方程为， 同理可知，直线的方程为， 由题意可得， 所以，点、的坐标满足方程， 所以，直线的方程为， 由题意可知，直线经过点、，所以，即， 由题意可知，即， ，即为定值． 【变式1】已知是双曲线的左右焦点，，点在双曲线上. (1)求双曲线的标准方程； (2)若直线与双曲线相切与于点，与双曲线的两条渐近线分别相交于两点，当点在双曲线上运动时，的值是否为定值？若是，求出定值；否则，请说明理由. 【解】（1）由题意可得，即，即有， 又点在双曲线上，可得，解得， 即有双曲线的方程为. （2）假设为双曲线的顶点，设，切线为， 代入双曲线的渐近线方程，可得， 即有； 设，且切线的斜率存在，且有，    对双曲线的方程两边对x求导，可得， 求得切线的斜率为，切线的方程为， 化为， 联立渐近线方程，可得， 即有. 则当点在双曲线上运动时，的值为定值3. 【变式2】已知椭圆过两点，椭圆的所有外切矩形的顶点在一个定圆上，称此圆为椭圆的蒙日圆． (1)求椭圆的标准方程； (2)矩形为椭圆的外切矩形，求矩形面积的取值范围； (3)过椭圆的蒙日圆上一点作椭圆的两条切线，切点分别为，且直线的斜率都存在，证明：为定值． 【解】（1）由题得， 所以椭圆的标准方程为. （2）当外切矩形四边所在切线存在斜率不存在时，此时矩形面积为； 当外切矩形四边所在切线斜率都存在时， 则可设切线， 联立， 则， 由题可设切线，同理可得， 切线和距离为； 由题可设切线， 联立， 则， 由题可设切线，同理可得， 切线和距离为； 所以由对称性可得矩形面积为， 令，当且仅当即等号成立时， 所以， 则， 综上，矩形面积的取值范围为. （3）证明：设切线， 联立， 则， 此时，所以斜率， 同理可得，所以为定值 题型4 与切点弦有关的最值问题 【典例4】已知点F为抛物线的焦点，点在抛物线E上，且到原点的距离为.过抛物线焦点F的直线l交抛物线于A，B两点，分别在点A，B处作抛物线的切线，两条切线交于P点. (1)证明：点P在一条定直线上； (2)求的面积最小值． 【解】（1）由题意可得:，解得：，所以抛物线的方程为； 由抛物线焦点，易知直线l的斜率存在，则设直线l的方程为． 由，消去y并整理，得．． 设，，则，． 对求导，得，∴直线的斜率，则直线AP的方程为，即． 同理得直线的方程为． 设点，联立直线与的方程，，即． 即点P在直线上； （2）由， 点P到直线的距离， 得的面积，当且仅当时等号成立． 所以面积的最小值为16，此时直线l的方程为． 【变式1】‌经过圆上一动点作椭圆的两条切线，切点分别记为，求面积的取值范围． 【解】由切点弦公式得直线的方程为． 由，结合，利用，同时消得， ∴， ∴． 又∵点到直线的距离． ， 又，∴记，∴． 【变式2】以椭圆的长轴为直径作圆，过直线上的动点，作圆的两条切线，设切点分别为，则直线与椭圆交于不同的两点，求的取值范围． 【解】由题意可得圆的方程为． 设点，由切点弦公式得点满足方程， 则到的距离，， 下面计算：联立方程组，则， 设点，点，， ， ， 不妨设，则， 设，， 设，，令，则， 在单调递增，，即 重难专题分层过关练 巩固过关 1.已知椭圆的左焦点为，离心率为，过点与轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为3. (1)求椭圆的方程； (2)过点向椭圆引两条切线，切点分别为，.求证：平分. 【解】（1）由题意可得，解得， 所以椭圆方程为. （2）证明：易知与椭圆相切，不妨设切点为，设另一条切线为， 由得， 所以， 所以，则， 所以直线的斜率，所以直线的斜率， 所以， 所以，即平分. 2.已知椭圆：上一点处的切线为，两焦点，在上的射影分别为，我们常常把过切点且与切线垂直的直线叫做法线，它平分，因此从一个焦点射出的光线经过切点反射后会经过另一个焦点如图记，，当点不在轴上时，记的面积为若.    (1)求证：； (2)试探究 是否为定值，如果为定值，求此定值；如果不为定值，请说明理由； (3)若椭圆的离心率为，且当时，四边形的面积，求椭圆的方程. 【解】（1）记，，，则，. 在中， 又，两式相减，得， （2）题意得 故，，则， 由（1）得，，则. 当为椭圆左右顶点时，也满足上式 故，为定值； （3） ， ， ， 则， 由，知，故椭圆的方程为 3．（2026·湖南常德·一模）已知抛物线的焦点为，点在上，且. (1)求抛物线的方程； (2)过点作圆的两条切线，且分别与相交于点，（异于点）. （ⅰ）若，求.面积； （ⅱ）证明：直线过定点. 【解】（1）点在上，且. 由题意得：，解得， 所以抛物线C的方程为； （2）（ⅰ）因为，设， 设圆心O到直线的距离为， 又因为，所以，所以，化简得出， 所以或； 联立直线与，得出， 所以； 联立直线与，得出， 所以； 所以 所以； （ⅱ）设直线， 联立得，得，则， 的切线斜率为， 是切线，所以 即，计算得， 所以，化简得， 直线，过定点. 4.直线过抛物线的焦点，与交于两点，当线段中点的纵坐标为2时，． (1)求； (2)证明：直线的斜率之积为定值，并求出该定值； (3)设在点处的切线相交于点，若，求的面积． 【解】（1）设，，线段中点设为，则， 由题意，抛物线的焦点为， 根据抛物线的定义得，所以； （2）当直线斜率不存在时，，与抛物线只有一个交点，不符合题意. 所以直线斜率必存在，设为， 与抛物线联立得：，所以，得， 所以直线的斜率之积为，所以直线的斜率之积为定值，该定值为； （3）由（1）知，，由题意，所以， 所以或，当时，，此时，，由得， 所以过点A的切线方程为，即， 过点B的切线方程为，即， 联立得， 又的斜率，即，即， 所以到的距离，因为， 所以的面积为； 当时，， 此时，，由得， 所以过点A的切线方程为，即， 过点B的切线方程为，即， 联立得， 又的斜率，即，即， 所以到的距离，因为， 所以的面积为； 综上，的面积为 5.如图，双曲线的左右焦点分别为，，双曲线与有相同的渐近线和焦距．过上一点作的两条切线，切点分别为A，B，A在轴上方，连接AB交于点M． （注：过曲线外一点作曲线的两条切线，则两切点所在直线方程为）    (1)求双曲线的方程； (2)证明：直线AB与切于点M，且； (3)当点在第三象限，且时，求的值． 【解】（1）的渐近线方程为，， 的渐近线方程为，， 所以，得，，所以双曲线的方程为． （2）已知，且满足， 设切点，，， 根据题意得，直线AB方程为． 直线AB与联立，得， 化简得，， 所以直线AB与切于点． 所以，． 直线AB与联立，得，即， 得， 所以，即为中点， 所以． （3）法一：因为，则， 直线与直线联立， 得，即， 将点代入， 得，化简得， 由得，， 所以． 法二：因为，，点与点关于原点对称，所以． 因为，所以， 因为，所以，所以， ， 所以． 6．已知椭圆：经过点，且离心率为. (1)求的方程； (2)若直线与交于点，，且线段的中点为，求的方程； (3)过动点作的两条切线，切点分别为，，求证：直线过定点，并求出定点的坐标. 【解】（1）由椭圆经过点，且离心率为， 得到，解得，，故的方程为. （2）设，，由题意得， 因为线段PQ的中点为，所以，， 因为，，两式相减得， 所以，即，解得， 即直线的斜率为，故的方程为，即. （3）如图，设，当时， 可设切线的方程为，， 将与联立，得， 则，即， 且，， 所以，，代入，得， 将的坐标代入，得. 当时，，；当时，，， 而满足. 设，同理可得， 则点，都在直线上， 故直线的方程为，即， 由得，故直线恒过定点. 7．（25-26高三上·湖南长沙·开学考试）已知椭圆，为的右焦点，为上的动点，当直线与轴垂直时，，是直线上一动点，的最小值为1． (1)求的方程； (2)过作的两条切线分别交轴于两点，求面积的取值范围． 【解】（1）设点，当直线与轴垂直时，， 所以设点，则，因为的最小值为， 所以，又由，可解得， 故的方程为． （2）如图，    设点，注意到斜率不为0， 设， 联立，得， 因为与相切，所以， 于是， 化简得，又与相切，同理有， 故是一元二次方程的两根，则， 所以， 又，所以， 所以面积的取值范围为． 8.（23-24高三·全国·三轮复习）已知椭圆的离心率为，椭圆上的点与两个焦点构成的三角形的最大面积为1． (1)求椭圆的方程； (2)若点为直线上的任意一点，过点作椭圆的两条切线（切点分别为），试证明动直线恒过一定点，并求出该定点的坐标． 【解】（1）∵椭圆的离心率为， 椭圆上的点与两个焦点构成的三角形的最大面积为1， ∴， 解得， ∴椭圆的方程为． （2）证明：设切点为，则切线方程为， ∵两条切线都过上任意一点， ∴得到， ∴都在直线上， 又， 由，得， 即对任意的，直线始终经过定点． ∴动直线恒过一定点． 9.（2024·河北邢台·二模）已知定点，轴于点H，F是直线OA上任意一点，轴于点D，于点E，OE与FD相交于点G． (1)求点G的轨迹方程C； (2)过的直线交C于P，Q两点，直线AP，AQ的斜率分别为和，证明：为定值； (3)在直线上任取一点，过点B分别作曲线C：的两条切线，切点分别为M和N，设的面积为S，求S的最小值. 【解】（1）设，易知直线，则，因为三点共线， 则；    （2）设，过的直线为 与联立得，则， 又，同理， 故；    （3）设，因为，所以， 所以处切线方程为方程为：，处切线方程为：， 整理得，和， 代入上述方程，得，，因此直线的方程为， 由，整理得， 易知，所以，， 所以 ， 点到直线的距离为， ， 当且仅当时，取得最小值4．    10.已知P是抛物线的准线上任意一点，过点P作抛物线C的两条切线，切点分别为． (1)若点P纵坐标为0，求此时抛物线C的切线方程； (2)设直线的斜率分别为，求证：为定值． 【解】（1）由抛物线C的方程为，则其准线方程为 由于点P的纵坐标为0，所以点P为，过P作抛物线C的切线，由题意知斜率存在且不为0，设其斜率为k则切线方程为 联立 由于直线与抛物线C相切，可知，即 此时抛物线C的两条切线方程分别为和. （2） 点P在抛物线C的准线上，设 由题意知过点P作抛物线C的切线，斜率存在且不为0， 设其斜率为k则切线方程为 联立 由于直线与抛物线C相切，可知，即 而抛物线C的两条切线的斜率，即为方程的两根 故. 11.（2026·河北·三模）已知椭圆：的离心率为，是椭圆的短轴的一个顶点． (1)求椭圆的方程． (2)设圆：，过圆上一动点作椭圆的两条切线，切点分别为，．设两切线的斜率均存在，分别为，，问：是否为定值？若不是，说明理由；若是，求出定值． 【解】（1）由题意得，又， 解得，故椭圆方程为； （2）是，，理由如下： 设，当时，此时两切线中的一条切线斜率不存在，舍去， 故，， 设过点与椭圆相切的直线为， 与联立得， 由得，， 整理得， 过点与椭圆相切的两直线斜率分别为，， 所以 12.已知直线与双曲线及其渐近线分别交于点，和点，. (1)求实数的取值范围； (2)证明：； (3)若，过双曲线上一点向双曲线作切线，，其斜率分别为，，问是否存在这样的，使得为定值？若存在，求出的值及定值；若不存在，请说明理由. 【解】（1）联立，得， 由题意可得，，解得或； （2）证明：设，，    由（1）可得， 设的中点为，则， 从而，即， 又双曲线的渐近线方程为， 联立，解得， 同理可得， 则的中点为，故与的中点重合， 则，，即； （3）设过且与双曲线相切的直线方程为， 即，联立， 得， 由题意可知， 化简可得， 由题意可知，为方程的两个根， 则，， 故， 若为定值，则有，化简得，此时， 但此时， 故不存在，使得为定值． 创新提升 13.已知为坐标原点，抛物线：，过点（0，4）的直线与相交于M，N两点. (1)求； (2)过M，N分别作的两条切线，，记，的交点为P. （i）求面积的最小值； （ii）设A，B分别为，与x轴的交点，证明：的外接圆过定点. 【解】（1）根据题意直线斜率存在，设直线，，， 联立抛物线：得， 方程的判别式， ，， ， 所以. （2）（i）抛物线，，所以，的斜率分别为， 则，，交点即， 点到直线的距离，，，当时取等， 所以面积的最小值为32. （ii）证明：，与x轴的交点坐标，， ，，的中点为， 所以垂直平分线方程为， 又垂直平分线方程为，所以的外接圆圆心为即，半径， 所以外接圆方程为， 即，故， 所以恒过定点和， 故的外接圆过定点. 14.已知椭圆E：的左、右焦点分别为,焦距与短轴长均为4. 设过F2的直线l交E于M,N,过M,N分别作E在点M,N上的两条切线,记它们的交点为P,MN的中点为Q. (1)证明：O,P,Q三点共线； (2)过F1作平行于l的直线分别交PM,PN于A,B,求的取值范围. 参考结论：点T(,)为椭圆()上一点,则过点T(,)的椭圆的切线方程为. 【解】（1）由题意,,,解得,,故椭圆的方程为. 又,显然的斜率不为0,故设的方程为,, 则,即,故,. 联立过的切线方程,即, 相减可得,即,化简可得. 代入可得,故. 设的中点为,则,,故. 因为,,故,所以三点共线. （2）由作平行于l的直线分别交于,易得,取中点,根据三角形的性质有四点共线,    结合椭圆的对称性有,当且仅当时取等号.故. 15．（24-25高二上·福建宁德·阶段检测）已知椭圆的右顶点为M，左、右焦点分别为，离心率为为E上任意一点，且． (1)求E的方程． (2)设过点的直线l与E有两个不同的交点A，B（均不与点M重合）．以线段为直径的圆恒过点M，求t的值； (3)由椭圆的两个焦点和短轴的一个顶点组成的三角形称为该椭圆的“特征三角形”．如果椭圆的“特征三角形”为，椭圆的“特征三角形”为，若，则称椭圆与“相似”，并将与的相似比称为椭圆与的相似比．已知椭圆与椭圆相似．若椭圆与椭圆的相似比为，设P为上异于其左、右顶点的一点．当时，过P分别作椭圆的两条切线，切点分别为，设直线的斜率为，证明：为定值； 【解】（1）椭圆的半焦距为， 因为为E上任意一点，且，所以，解得， 又因为椭圆的离心率为，所以，所以， 所以椭圆的方程为； （2）设直线l的方程为，， 由，消去，得， 所以， ，，所以， ， 因为以线段为直径的圆恒过点， 所以，即， 所以， 即，即， 解得或（舍去），满足，所以； （3）对于椭圆，则长轴长为，短轴长为，焦距为， 椭圆的长轴长为，短轴长为，焦距为， 由相似比可知，，解得，所以椭圆， 设，则直线的方程为，即， 记，则的方程为， 将其代入椭圆的方程，消去，得， 因为直线与椭圆有且只有一个公共点， 所以，即， 将代入上式，整理得， 同理可得， 所以为关于的方程的两根， 所以． 又点在椭圆上，所以，所以， 所以为定值. 16.关于椭圆有如下结论：“过椭圆上一点作该椭圆的切线，切线方程为”.已知离心率都为的椭圆，的对称中心都是原点.焦点都在轴上，且椭圆的焦距是椭圆的焦距的倍，椭圆的长轴长为4. (1)分别求椭圆，的标准方程； (2)已知点是椭圆上的任意一点，过点分别作椭圆的两条切线.切点分别为，，直线，分别与椭圆相交于异于点的，两点. （i）证明：线段是的中位线： （ii）证明：直线经过原点. 【解】（1）设椭圆的方程为，焦距为， 椭圆的方程为，焦距为， 由椭圆的长轴长为4，离心率都为，可得，，， 又由椭圆的焦距是椭圆的焦距的倍，可得，，， 故椭圆的标准方程为，椭圆的标准方程为. （2）设，，，，，有，，. （i）证明：直线的方程为， 联立方程，消去有， 代入，上述方程可化为， 又由一元二次方程根与系数的关系，有，可得， 由中点坐标公式可知是线段的中点，同理可得是线段的中点， 故线段是的中位线. （ii）证明：由直线的方程为，直线的方程为， 又由点在直线和上，有，可得点，都在直线上， 可得直线的方程为， 联立方程，消去有， 代入，上述方程可化为， 又由一元二次方程根与系数的关系，有，可得， 又由， 当时，，，线段的中点为，即， 当时，有，可得，可得线段的中点为， 又由线段的中点为，可得四边形为平行四边形， 记平行四边形的对角线的交点为， 又由，，，可得，， 又由，，三点共线，故，，三点共线， 故直线经过原点. 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $