解答题专训14 圆锥曲线的定点，定值及定线问题（专项训练）（北京专用）2027年高考数学一轮复习讲练测

解答题专训14 圆锥曲线的定点，定值及定线问题 内容导航 解题方法及技巧提炼 1 题型通法及变式提升 1 题型1 圆锥曲线的定点问题 2 题型2 圆锥曲线的定值问题 3 题型3 圆锥曲线的定线问题 4 重难专题分层过关练 4 巩固过关 4 创新提升 6 解题方法及技巧提炼 1. 定点问题解题思路 （1）设动直线/动点：设直线方程（斜截式 或参数式）、设交点坐标，联立圆锥曲线方程； （2）联立消元，韦达定理：联立直线与曲线，整理一元二次方程，写出根与系数关系； （3）表示目标条件：利用斜率、向量、弦中点、角度、面积等题干条件，构造含参代数式； （4）分离参数，恒成立分析：整理为「参数×代数式 + 常数式 = 0」形式，令参数系数=0、常数项=0，解方程组； （5）求出定点并检验：解得固定点坐标，验证特殊位置（斜率不存在、特殊直线）也满足。 2. 定值问题解题思路 （1）设参列式：设直线斜率、点坐标、参数，写出待求表达式； （2）联立方程+韦达定理：直线与圆锥曲线联立，利用 整体代换； （3）整体代入化简：将目标式全部转化为根与系数的整体形式，展开、通分、合并； （4）消去变量，得出常数：化简后消去所有参量，结果为具体数值； （5）规避变量限制：注意判别式、定义域、斜率存在性等限制条件。 3.定直线问题解题思路 （1）设动点与参数：设动点 ，引入核心参数（斜率、点横坐标等）； （2）翻译几何条件：将垂直、平行、共线、距离、角度、相切等条件转化为代数方程； （3）联立、代换、消参：借助韦达、坐标关系，逐步消去所有动态参数； （4）得到固定直线方程：最终得到只含 的直线方程，即为定直线； （5）验证边界情况：考虑斜率不存在、特殊位置，保证完备性。 题型通法及变式提升 题型1 圆锥曲线的定点问题 【典例1】（2026·北京丰台·二模）已知椭圆的离心率为，以椭圆的焦点和短轴顶点为顶点的四边形是边长为2的菱形. (1)求椭圆的标准方程； (2)已知为椭圆的左顶点，，为椭圆上两个不同的动点（均不与点重合），且满足直线与直线的斜率之积为.求证：直线过定点. 圆锥曲线中定点问题的两种解法 （1）引进参数法：引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量，再研究变化的量与参数何时没有关系，找到定点.或以曲线上的点为参数，设点P（x1，y1），利用点在曲线f（x，y）＝0上，即f（x1，y1）＝0消参； （2）特殊到一般法：定点问题，先猜后证，可先考虑运动图形是否有对称性及特殊（或极端）位置猜想，如直线的水平或竖直位置，即k＝0或k不存在. 【变式1】（2026·北京朝阳·一模）已知椭圆：（）的离心率为，，分别为椭圆的上、下顶点，且. (1)求椭圆的方程； (2)过点的斜率存在且不为1的直线与椭圆交于不同的两点，（均不与点重合），点与点关于原点对称，直线与直线交于点.求证：直线经过点. 【变式2】（2026·北京·模拟预测）已知椭圆，的下顶点为，左、右焦点分别为和，离心率为，过的直线与椭圆相交于，两点．若直线垂直于，则的周长为． (1)求椭圆的方程； (2)若直线与坐标轴不垂直，点关于轴的对称点为，试判断直线是否过定点，并说明理由． 题型2 圆锥曲线的定值问题 【典例2】（2026·北京顺义·二模）已知椭圆的离心率为分别是椭圆的上､下顶点，. (1)求椭圆的方程； (2)设是椭圆的左顶点，过点作斜率为的直线与椭圆交于点（不同于点），且与轴交于点，点在直线上，且.求证：的面积为定值. 定值问题的解题思路 (1) 引出变量法，解题步骤为先选择适当的量为变量，再把要证明为定值的量用上述变量表示，最后把得到的式子化简，得到定值． (2) 特例法，从特殊情况入手，求出定值，再证明这个值与变量无关． 【变式1】（25-26高三·北京延庆期末）在平面直角坐标系中，点A，B分别是椭圆的右顶点，上顶点，若C的离心率为，且O到直线AB的距离为. (1)求椭圆C的标准方程； (2)过点的直线l与椭圆C交于M，N两点，其中点M在第一象限，点N在x轴下方且不在y轴上，设直线BM，BN的斜率分别为，，求证：为定值，并求出该定值； 【变式2】（2026·北京丰台·二模）已知椭圆：的短轴长为，离心率为. (1)求椭圆的方程； (2)记点为椭圆的左顶点，点为椭圆的下顶点，动点是第一象限内椭圆上的一点，直线与轴交于点，直线与轴交于点.证明：四边形的面积为定值. 题型3 圆锥曲线的定线问题 【典例3】（2026·北京石景山·一模）已知椭圆过点，短轴长为4． (1)求椭圆的方程； (2)椭圆与轴的交点为，（点位于点的上方），直线与椭圆交于不同的两点，．设直线与直线相交于点．试问点是否在某定直线上？若是，求出该直线方程；若不是，说明理由． 1.动点在定直线上是圆锥曲线的常规题型，设点法：通过已知点轨迹，消去参数，从而得到轨迹方程. 2.待定系数法：设出含参数的直线方程，待定系数求解出系数. 3.面对复杂问题时，可从特殊情况入手，以确定可能的定直线，然后再验证该直线对一般情况是否符合，属于“先猜再证”. 【变式1】已知椭圆的离心率为，右焦点，且，直线交椭圆于，两点，交轴于点． (1)求椭圆的标准方程； (2)若直线过右焦点，设，，求的值； (3)若已知，椭圆上下顶点分别为C，D，直线交直线于点，证明：点在定直线上． 重难专题分层过关练 巩固过关 1．（25-26高三上·北京丰台·期末）已知抛物线：（）经过点. (1)求抛物线的方程及其准线方程； (2)经过抛物线焦点的直线与抛物线交于不同的两点，，经过点作准线的垂线，垂足为，求证：直线经过原点. 2．（25-26高三下·北京海淀·期中）已知椭圆的离心率，点在上，直线与椭圆交于两点． (1)求椭圆的标准方程； (2)当为何值时，为定值． 3．（25-26高三下·北京·开学考试）已知椭圆的离心率是，点和点分别是椭圆的下顶点和右顶点，点是坐标原点，的面积为3． (1)求椭圆的方程； (2)斜率为的直线与椭圆交于不同的两点和（和不与椭圆顶点重合）．直线分别交轴于点，且满足．证明：直线过定点． 4.（25-26高三下·北京·阶段检测）已知点，，动点在轴下方，且满足，记点的轨迹为．已知是上一点，，分别是的左、右顶点，，分别交直线和于，两点，以为直径的圆记为圆． (1)求的方程； (2)判断圆是否过定点．若过定点，求出定点的坐标；若不过，请说明理由． 5．（25-26高三下·北京·阶段检测）已知椭圆：的焦距为2，且过点. (1)求C的标准方程； (2)过点作两条斜率存在且不为零的直线，分别交于和，满足.证明：，的斜率之和为定值. 6．（2026高三·北京·专题练习）已知椭圆的中心在原点，离心率为，且过点. (1)求椭圆的标准方程； (2)已知点，为坐标原点，直线与椭圆交于两点（直线斜率存在且在轴两侧），且满足.求证：直线过定点，并求出该定点坐标. 7.（2026·安徽蚌埠一模）已知椭圆的离心率为，点在椭圆C上，直线l与椭圆C交于不同于A的两点M，N． (1)求椭圆C的方程； (2)若，证明：直线l恒过定点． 8．（25-26高二上·北京西城·期末）已知椭圆：的左、右焦点分别为，，上顶点为，是边长为2的等边三角形. (1)求椭圆的标准方程； (2)过点的直线与椭圆交于，两点，点是线段上一点，且满足.求证：点在一条定直线上. 9．（25-26高二上·北京东城·期末）已知椭圆：的左焦点，. (1)求椭圆的方程； (2)设为坐标原点，过点作斜率为且不经过焦点的直线，直线与椭圆交于不同两点，，直线，与轴正半轴分别交于点，.求证：的值为定值. 10.（2026·江西·二模）已知抛物线与双曲线的渐近线在第一象限的交点为，且点的横坐标为6． (1)求抛物线的方程； (2)过点的直线与抛物线相交于，两点，关于轴的对称点为，证明：直线必过定点． 11.（25-26高二上·北京·阶段检测）已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，离心率为，右顶点坐标． (1)求椭圆的标准方程； (2)直线与椭圆交于两点，是椭圆上位于直线两侧的动点，且直线的斜率为． （i）求四边形面积的最大值； （ii）设直线的斜率为，直线的斜率为，判断的值是否为常数，并说明理由． 12.（2026·山东泰安·模拟预测）已知椭圆的离心率为，斜率为的直线过原点且与椭圆相交所得弦长为. (1)求椭圆的标准方程； (2)若椭圆的内接四边形为菱形，且该四边形的周长为，面积为，判断是否为定值，若是求出该定值，否则说明理由. 创新提升 13.（2025·河北秦皇岛·三模）已知双曲线的左、右顶点为，右焦点为，离心率为． (1)求双曲线的标准方程及其渐近线方程； (2)过点的直线交双曲线于点（点在第一象限），记直线的斜率为，直线的斜率为，求证：为定值． 14.（2026·江苏·一模）已知双曲线的右顶点到其渐近线的距离为．点在的渐近线上，过的直线与交于两点，直线分别与轴交于两点． (1)求的方程； (2)若的面积为，求的方程； (3)证明：线段的中点为定点． 15.（河北省NT20名校联合体2025-2026学年高三下学期第二次调研）平面直角坐标系中，圆A的方程为，点B的坐标为，点P是圆上任意一点，线段的垂直平分线交半径于点Q，当点P在圆上运动时，点Q的轨迹为曲线E． (1)求点Q的轨迹E的方程； (2)过点A作一条直线与点Q的轨迹E相交于M，N两点，满足，点H满足，问：点H是否在一条定直线上，若是，求出这条直线方程，若不是，请说明理由． 16.（24-25高三上·山东潍坊·月考）已知点，圆，点是圆上的任意一点.动圆过点，且与相切，点的轨迹为曲线. (1)求曲线的方程； (2)若与轴不垂直的直线与曲线交于、两点，点为与轴的交点，且，若在轴上存在异于点的一点，使得为定值，求点的坐标； (3)过点的直线与曲线交于、两点，且曲线在、两点处的切线交于点，证明：在定直线上. 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $ 解答题专训14 圆锥曲线的定点，定值及定线问题 内容导航 解题方法及技巧提炼 1 题型通法及变式提升 1 题型1 圆锥曲线的定点问题 2 题型2 圆锥曲线的定值问题 6 题型3 圆锥曲线的定线问题 9 重难专题分层过关练 12 巩固过关 12 创新提升 26 解题方法及技巧提炼 1. 定点问题解题思路 （1）设动直线/动点：设直线方程（斜截式 或参数式）、设交点坐标，联立圆锥曲线方程； （2）联立消元，韦达定理：联立直线与曲线，整理一元二次方程，写出根与系数关系； （3）表示目标条件：利用斜率、向量、弦中点、角度、面积等题干条件，构造含参代数式； （4）分离参数，恒成立分析：整理为「参数×代数式 + 常数式 = 0」形式，令参数系数=0、常数项=0，解方程组； （5）求出定点并检验：解得固定点坐标，验证特殊位置（斜率不存在、特殊直线）也满足。 2. 定值问题解题思路 （1）设参列式：设直线斜率、点坐标、参数，写出待求表达式； （2）联立方程+韦达定理：直线与圆锥曲线联立，利用 整体代换； （3）整体代入化简：将目标式全部转化为根与系数的整体形式，展开、通分、合并； （4）消去变量，得出常数：化简后消去所有参量，结果为具体数值； （5）规避变量限制：注意判别式、定义域、斜率存在性等限制条件。 3.定直线问题解题思路 （1）设动点与参数：设动点 ，引入核心参数（斜率、点横坐标等）； （2）翻译几何条件：将垂直、平行、共线、距离、角度、相切等条件转化为代数方程； （3）联立、代换、消参：借助韦达、坐标关系，逐步消去所有动态参数； （4）得到固定直线方程：最终得到只含 的直线方程，即为定直线； （5）验证边界情况：考虑斜率不存在、特殊位置，保证完备性。 题型通法及变式提升 题型1 圆锥曲线的定点问题 【典例1】（2026·北京丰台·二模）已知椭圆的离心率为，以椭圆的焦点和短轴顶点为顶点的四边形是边长为2的菱形. (1)求椭圆的标准方程； (2)已知为椭圆的左顶点，，为椭圆上两个不同的动点（均不与点重合），且满足直线与直线的斜率之积为.求证：直线过定点. 【解】（1）由题意可得：，，可得，， 所以椭圆的标准方程为. （2）由题意可知：，直线的斜率存在， 设直线，，， 联立方程，消去y可得， 则，可得， 则，， 因为， 整理可得， 即， 整理可得，解得或， 若，则直线过定点，不合题意； 若，则直线过定点，符合题意； 综上所述：直线过定点. 圆锥曲线中定点问题的两种解法 （1）引进参数法：引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量，再研究变化的量与参数何时没有关系，找到定点.或以曲线上的点为参数，设点P（x1，y1），利用点在曲线f（x，y）＝0上，即f（x1，y1）＝0消参； （2）特殊到一般法：定点问题，先猜后证，可先考虑运动图形是否有对称性及特殊（或极端）位置猜想，如直线的水平或竖直位置，即k＝0或k不存在. 【变式1】（2026·北京朝阳·一模）已知椭圆：（）的离心率为，，分别为椭圆的上、下顶点，且. (1)求椭圆的方程； (2)过点的斜率存在且不为1的直线与椭圆交于不同的两点，（均不与点重合），点与点关于原点对称，直线与直线交于点.求证：直线经过点. 【解】（1）由椭圆：的下顶点为，得， 由的离心率为，得，解得， 所以椭圆的方程为. （2）设直线的方程为，点，则点， 直线的方程为，直线的方程为，联立解得点， 由消去得， 则，， 而点，则， ， 即，又有公共点，则点三点共线， 所以直线经过点. 【变式2】（2026·北京·模拟预测）已知椭圆，的下顶点为，左、右焦点分别为和，离心率为，过的直线与椭圆相交于，两点．若直线垂直于，则的周长为． (1)求椭圆的方程； (2)若直线与坐标轴不垂直，点关于轴的对称点为，试判断直线是否过定点，并说明理由． 【解】（1）由题意可知， 因为离心率为， 所以， 所以，故是正三角形，如图所示： 若直线，则直线垂直平分线段， 所以， 由于的周长为，故的周长为， 由定义可知：， 所以的周长为，故， 所以，故， 所以椭圆的方程：. （2）由题意可设直线的方程为，，则，如图所示： 可得直线的方程为：， 因为， 将其代入直线方程，可得， 可整理得：， 联立方程得， 则， 所以，即， 将其代入式中，可得直线方程为：， 可见直线过定点， 所以直线过定点，坐标为. 题型2 圆锥曲线的定值问题 【典例2】（2026·北京顺义·二模）已知椭圆的离心率为分别是椭圆的上､下顶点，. (1)求椭圆的方程； (2)设是椭圆的左顶点，过点作斜率为的直线与椭圆交于点（不同于点），且与轴交于点，点在直线上，且.求证：的面积为定值. 【解】（1）由题意，上、下顶点 ，故，得， 离心率，且 ， 代入 ，得 ，解得 ，故 ，所以椭圆方程为 . （2）依题意，，，过斜率为的直线（）， 与椭圆方程联立： 解得（对应）或，则. 得， 直线与轴交于点，令得，故. 点，直线的斜率，所以直线方程为， 点在上，可设 ，由 ，即， ， 所以垂直条件等价于 ，即 ，解得， 于是，因此点的纵坐标为定值， 而 ，所以的面积 所以的面积为定值. 定值问题的解题思路 (1) 引出变量法，解题步骤为先选择适当的量为变量，再把要证明为定值的量用上述变量表示，最后把得到的式子化简，得到定值． (2) 特例法，从特殊情况入手，求出定值，再证明这个值与变量无关． 【变式1】（25-26高三·北京延庆期末）在平面直角坐标系中，点A，B分别是椭圆的右顶点，上顶点，若C的离心率为，且O到直线AB的距离为. (1)求椭圆C的标准方程； (2)过点的直线l与椭圆C交于M，N两点，其中点M在第一象限，点N在x轴下方且不在y轴上，设直线BM，BN的斜率分别为，，求证：为定值，并求出该定值； 【解】（1）设椭圆的焦距为， 因为椭圆的离心率为，所以，即， 据，得，即. 所以直线的方程为，即， 因为原点到直线的距离为， 故，解得， 所以， 所以椭圆的标准方程为； （2）设直线的方程为，其中，且，即， 设直线与椭圆交于点， 联立方程组整理得， 所以，， 所以 为定值，得证； 【变式2】（2026·北京丰台·二模）已知椭圆：的短轴长为，离心率为. (1)求椭圆的方程； (2)记点为椭圆的左顶点，点为椭圆的下顶点，动点是第一象限内椭圆上的一点，直线与轴交于点，直线与轴交于点.证明：四边形的面积为定值. 【解】（1）因为离心率为，椭圆的短轴长为， 所以，解得，所以椭圆的方程为． （2）由（1）可知点，，设（，）， 则，即①， 则直线的方程为，令，得，所以， 直线的方程为，令，得，所以， 所以， ， 所以四边形的面积为：又因为，所以 ， 所以四边形ABCD的面积为定值． 题型3 圆锥曲线的定线问题 【典例3】（2026·北京石景山·一模）已知椭圆过点，短轴长为4． (1)求椭圆的方程； (2)椭圆与轴的交点为，（点位于点的上方），直线与椭圆交于不同的两点，．设直线与直线相交于点．试问点是否在某定直线上？若是，求出该直线方程；若不是，说明理由． 【解】（1）依题意可得，解得， 所以椭圆的方程为； （2）在定直线上，理由如下： 设点与直线联立消去整理得， 由，且， 所以， 易知，，则，， 两式作商得，解得， 故在定直线上. 1.动点在定直线上是圆锥曲线的常规题型，设点法：通过已知点轨迹，消去参数，从而得到轨迹方程. 2.待定系数法：设出含参数的直线方程，待定系数求解出系数. 3.面对复杂问题时，可从特殊情况入手，以确定可能的定直线，然后再验证该直线对一般情况是否符合，属于“先猜再证”. 【变式1】已知椭圆的离心率为，右焦点，且，直线交椭圆于，两点，交轴于点． (1)求椭圆的标准方程； (2)若直线过右焦点，设，，求的值； (3)若已知，椭圆上下顶点分别为C，D，直线交直线于点，证明：点在定直线上． 【解】（1）依题意可得，解得， 所以椭圆的标准方程为． （2）由（1）可得椭圆的右焦点， 由题意知直线的斜率存在，则设直线的方程为， ， ，， 联立，得， ∴，， 又，，，， ，， 则，， ∴，， ∴ ． （3）依题意直线的斜率存在，设直线的方程为， 由（1）可得，， 设，， 由，得， ∴，，， 则，， 又直线的方程为，直线的方程为， 解，即， 即， 得，所以，即， 所以 ， 所以点在定直线上． 重难专题分层过关练 巩固过关 1．（25-26高三上·北京丰台·期末）已知抛物线：（）经过点. (1)求抛物线的方程及其准线方程； (2)经过抛物线焦点的直线与抛物线交于不同的两点，，经过点作准线的垂线，垂足为，求证：直线经过原点. 【解】（1）解：将代入可得，解得， 所以抛物线C的方程为，准线方程为； （2）证明：由题得，设直线方程为， 设，则， 联立方程，可得， 则，， ， ，即， ，即三点共线， 故直线经过原点． 2．（25-26高三下·北京海淀·期中）已知椭圆的离心率，点在上，直线与椭圆交于两点． (1)求椭圆的标准方程； (2)当为何值时，为定值． 【解】（1）依题意知， ，解得， 所以椭圆的方程为； （2） 联立，可得， 由，设． 则， 在上， ， ， 若为定值，则与无关， 故需使，解得，此时． 3．（25-26高三下·北京·开学考试）已知椭圆的离心率是，点和点分别是椭圆的下顶点和右顶点，点是坐标原点，的面积为3． (1)求椭圆的方程； (2)斜率为的直线与椭圆交于不同的两点和（和不与椭圆顶点重合）．直线分别交轴于点，且满足．证明：直线过定点． 【解】（1）由题意得，得. 又椭圆的离心率为，所以，即. 解得，，故椭圆C的方程为. （2）设直线l:，与椭圆C方程联立， 可得， 又直线与椭圆C交于不同的两点，则 设，，则， 因为点，所以直线AP方程为：， 令得点S的横坐标为，同理点T的横坐标为. 又，所以，即， 故，即，所以. 整理得. 化简得. 代入并乘以得：. . 化简得，又，所以， 即.所以， 故直线l过定点. 4.（25-26高三下·北京·阶段检测）已知点，，动点在轴下方，且满足，记点的轨迹为．已知是上一点，，分别是的左、右顶点，，分别交直线和于，两点，以为直径的圆记为圆． (1)求的方程； (2)判断圆是否过定点．若过定点，求出定点的坐标；若不过，请说明理由． 【解】（1）因为，，且， 所以由椭圆的定义得，，，则， 则，则椭圆的方程为， 又点在轴下方，所以的方程为. （2）设，由（1）得， 则直线的斜率为，则直线的方程为， 令，得，即， 同理直线的斜率为，则直线的方程为， 令，得，即， 则以MN为直径的圆D方程为， 则， 又，则， 所以，， 所以方程变形为，即， 令，则，解得，即定点为. 5．（25-26高三下·北京·阶段检测）已知椭圆：的焦距为2，且过点. (1)求C的标准方程； (2)过点作两条斜率存在且不为零的直线，分别交于和，满足.证明：，的斜率之和为定值. 【解】（1）由焦距，即，可知两焦点坐标分别为，， 则，即， 所以，所以的标准方程为. （2）设P，Q的坐标分别为，，设的方程为， 联立，整理得， 所以， ，， ， 设的方程为，同理有， 所以，即， 由于，所以，即，所以，的斜率之和为定值0. 6．（2026高三·北京·专题练习）已知椭圆的中心在原点，离心率为，且过点. (1)求椭圆的标准方程； (2)已知点，为坐标原点，直线与椭圆交于两点（直线斜率存在且在轴两侧），且满足.求证：直线过定点，并求出该定点坐标. 【解】（1）由题意可知， 解得，则， ∴椭圆的标准方程：. （2）①设， 联立方程组得，消元化简为， 即 设交点，则，， 由题意可知，即， ∵，∴ 则，即， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴ 即，， ∴. 故直线过定点.      7.（2026·安徽蚌埠一模）已知椭圆的离心率为，点在椭圆C上，直线l与椭圆C交于不同于A的两点M，N． (1)求椭圆C的方程； (2)若，证明：直线l恒过定点． 【解】（1）依题意，，解得， 所以椭圆C的方程为； （2）依题意，直线l的斜率存在， 设直线，，， 由，消去y得， 则，即， ，， 而，， 由，得， 即， 整理得， 则，而， 于是， 整理得，解得，且满足， 所以直线过定点． 8．（25-26高二上·北京西城·期末）已知椭圆：的左、右焦点分别为，，上顶点为，是边长为2的等边三角形. (1)求椭圆的标准方程； (2)过点的直线与椭圆交于，两点，点是线段上一点，且满足.求证：点在一条定直线上. 【解】（1）由题可得即， 所以， 所以椭圆的标准方程为； （2）证明：由题可知直线l斜率存在，设直线， 联立， 则，即， 由题可设，， 则，且， 所以， ， 同理，， 所以由得即， 又由题意可知， 所以，所以，整理得， 所以，整理并化简得， 所以，在定直线上.    9．（25-26高二上·北京东城·期末）已知椭圆：的左焦点，. (1)求椭圆的方程； (2)设为坐标原点，过点作斜率为且不经过焦点的直线，直线与椭圆交于不同两点，，直线，与轴正半轴分别交于点，.求证：的值为定值. 【解】（1）因为椭圆：的左焦点，所以， 又，所以，所以， 所以椭圆的方程为； （2）证明：设直线的方程为， 联立，消去并化简得， 又，其中， 且 设，则有， 所以 ， 即， 又，所以， 所以的值为定值. 10.（2026·江西·二模）已知抛物线与双曲线的渐近线在第一象限的交点为，且点的横坐标为6． (1)求抛物线的方程； (2)过点的直线与抛物线相交于，两点，关于轴的对称点为，证明：直线必过定点． 【解】（1）设点的坐标为，因为点在第一象限，所以， 双曲线的渐近线方程为，因为点在双曲线的渐近线上， 所以， 所以点的坐标为，又点在抛物线上， 所以，所以， 故抛物线的标准方程为：； （2）设直线的方程为，联立，消得，， 方程的判别式，即， 设，则， 设关于轴的对称点为， 则直线的方程为， 根据抛物线的对称性可知定点必定在轴上， 令得： ． 直线过定点． 11.（25-26高二上·北京·阶段检测）已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，离心率为，右顶点坐标． (1)求椭圆的标准方程； (2)直线与椭圆交于两点，是椭圆上位于直线两侧的动点，且直线的斜率为． （i）求四边形面积的最大值； （ii）设直线的斜率为，直线的斜率为，判断的值是否为常数，并说明理由． 【解】（1）设椭圆标准方程为，则由题意可得： ，解得， 所以椭圆的标准方程为； （2） （i）把代入椭圆，解得， 所以可得点的坐标为，，则， 设直线的方程为，设点， 联立，整理得：， 由，可得. 由韦达定理知：，， 四边形的面积， 故当时，； （ii）由题意知，直线的斜率，直线的斜率， 则 . 所以的值为常数． 12.（2026·山东泰安·模拟预测）已知椭圆的离心率为，斜率为的直线过原点且与椭圆相交所得弦长为. (1)求椭圆的标准方程； (2)若椭圆的内接四边形为菱形，且该四边形的周长为，面积为，判断是否为定值，若是求出该定值，否则说明理由. 【解】（1）由椭圆的离心率为，，可得， 由题意得，解得或， 则，解得，， 所以椭圆的标准方程为. （2）因为四边形是菱形，所以线段与互相垂直且平分， （ⅰ）当直线，的斜率一个不存在、一个为时， 显然，，，是椭圆的四个顶点， 所以周长，面积，此时； （ⅱ）当直线，的斜率均存在且不为0时， 下面证明菱形的对角线，都过原点： 设，，，，则，， 两式相减整理后得：① 同理可得② 显然，， 当，，，都不为0时， ，. 则，与矛盾， 所以必有， 即菱形的对角线，都过原点， 设直线的方程为，则直线的方程为， 由，可得，， 所以， 设，可得， 所以， ， 所以， 综上所述，是定值. 创新提升 13.（2025·河北秦皇岛·三模）已知双曲线的左、右顶点为，右焦点为，离心率为． (1)求双曲线的标准方程及其渐近线方程； (2)过点的直线交双曲线于点（点在第一象限），记直线的斜率为，直线的斜率为，求证：为定值． 【解】（1）由题意，双曲线的中心为坐标原点， 右焦点为，离心率为， 可得，解得，， 所以双曲线的标准方程为，其渐近线方程为． （2）由（1）知，，． 显然直线不垂直于轴，设直线的方程为， 设，，由，消去，得， 显然，，则，，， 直线的斜率，直线的斜率， 所以，为定值 14.（2026·江苏·一模）已知双曲线的右顶点到其渐近线的距离为．点在的渐近线上，过的直线与交于两点，直线分别与轴交于两点． (1)求的方程； (2)若的面积为，求的方程； (3)证明：线段的中点为定点． 【解】（1）因为的一条渐近线方程为， 到渐近线的距离为， 过得， 解得：， 所以的方程为①． （2）显然直线的斜率存在，设的方程为②， ①②联立得：． 则有③，④， 设， 则⑤，⑥， 把⑤⑥代入：， 所以， 得：，解得：． 满足③④式，则直线的方程为． （3）设，不妨设．则直线⑦， 联立①⑦得：， 则， 则； 同理：． 而，， 又三点共线，则有， 则， 得：， 所以的中点为定点． 15.（河北省NT20名校联合体2025-2026学年高三下学期第二次调研）平面直角坐标系中，圆A的方程为，点B的坐标为，点P是圆上任意一点，线段的垂直平分线交半径于点Q，当点P在圆上运动时，点Q的轨迹为曲线E． (1)求点Q的轨迹E的方程； (2)过点A作一条直线与点Q的轨迹E相交于M，N两点，满足，点H满足，问：点H是否在一条定直线上，若是，求出这条直线方程，若不是，请说明理由． 【解】（1）如图， 由题意知 所以Q点的轨迹是以，为焦点，长轴长为4的椭圆． 设椭圆的方程为， 则，，， 所以椭圆方程为． （2）如图， 解法一： 设，，，， 由可得， 则，即① 由可得 则，即② 所以，整理得③ 当直线的斜率存在时，设直线的方程为：，联立得， 消去得， ，， 代入③得，又因为，所以． 直线的斜率不存在时，不妨取，， 则，，则，，解得， 综上可得，点在一条定直线上，直线方程为． 解法二：设，，，， 由可得， 则，即① 由可得， 则，即② 所以，整理得③ 当直线的斜率不存在或不为0时，设直线方程为， 联立，消去得， ， 代入③得 当直线的斜率为0时，，， 则，恒成立，点H在上也成立， 综上可得，点H在一条定直线上，直线方程为． 16.（24-25高三上·山东潍坊·月考）已知点，圆，点是圆上的任意一点.动圆过点，且与相切，点的轨迹为曲线. (1)求曲线的方程； (2)若与轴不垂直的直线与曲线交于、两点，点为与轴的交点，且，若在轴上存在异于点的一点，使得为定值，求点的坐标； (3)过点的直线与曲线交于、两点，且曲线在、两点处的切线交于点，证明：在定直线上. 【解】（1）解：由题意知，点到点的距离和它到直线的距离相等， 所以，点的轨迹是以为焦点的抛物线，所以的方程为， （2）解：设、，设直线的方程为， 联立方程组，得，，可得，    所以①，② ， 即， 将①②代入得，因为，所以，所以点的坐标为， 设、，则， 使为定值，需满足，即， 因为，所以，则，所以点坐标为. （3）解：设直线的方程为，设、， 联立方程组得，则，可得， 则③，④， 接下来证明出抛物线在点处的切线方程为，    联立，可得，即， ， 又因为，即点在直线上， 所以，曲线在点处的切线方程为， 同理可得曲线在点处的切线方程为， 联立，解得， 则，所以点的坐标为， 所以点在定直线上. 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $