精品解析：广西百色高级中学2025-2026学年高一下学期期中自主检测练习数学试卷

广西百色高级中学2025-2026学年高一下学期期中自主检测练习 数学试卷 （考试时间：120分钟 满分：150分） 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号. 3.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知一个圆锥的底面半径为3，母线长，则该圆锥的表面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】圆锥的表面积为侧面积与底面积之和，分别代入对应公式计算后求和即可得到结果 【详解】圆锥的表面积由侧面积和底面积两部分组成，计算公式为。 已知圆锥底面半径，母线长： 计算底面积：由圆的面积公式得； 计算侧面积：由圆锥侧面积公式得； 计算表面积：将两部分面积相加得 2. 在中，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】因为，所以， 所以. 3. 如图所示，梯形是平面图形用斜二测画法得到的直观图， ，则平面图形中对角线的长度为（ ） A. B. C. D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】根据直观图特征，作出其平面图形直角梯形，求出相关边长再求长即可． 【详解】由直观图知原几何图形是直角梯形，如图， 由斜二测画法可知， 所以， 故选：C． 4. 已知复数为纯虚数，则的值为（ ） A. 或3 B. C. 3 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】根据纯虚数的定义，列出实部为0、虚部不为0的条件求解即可 【详解】对于复数，若为纯虚数，需满足. 本题中复数的实部为，虚部为， 因此：令实部为0：，因式分解得，解得或； 令虚部不为0：，即。 综上舍去，得； 综上所述， 5. 《九章算术》中将正四棱台体（棱台的上、下底面均为正方形）称为方亭.如图，现有一方亭，其上、下底面的周长分别为4，8，方亭的高为3，则方亭的体积为（ ） A. 10 B. 9 C. 8 D. 7 【答案】D 【解析】 【分析】根据台体体积公式求得正确答案. 【详解】上底面周长为，边长为，面积为. 下底面周长为，边长为，面积为. 所以方亭的体积为. 6. 已知，则向量与的夹角为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】结合向量的夹角公式，以及向量的夹角的范围，即可求解； 【详解】因为，设向量与的夹角为 所以， 又因为，所以 故选：B. 7. 如图，为平行四边形所在平面外一点，为上一点，且，为上一点，当平面时，（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】连接交于点，运用线面平行的性质定理，可得，再由平行线分线段成比例定理，可得结论． 【详解】连接交于点，连接． 平面，平面，平面平面， ， ， 故选：B． 【点睛】本题考查的知识点是线面平行的性质定理和平行线分线段成比例定理，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 8. 已知为边长为的等边三角形，设点为边的中点，点在边上（包括端点），则的最小值等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】建立平面直角坐标系，利用平面向量坐标法以及二次函数性质分析求解即可. 【详解】取的中点，连接，由题意为等边三角形，故以为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系， 因为等边的边长为，所以， 又点为边的中点，所以， 设，则， 所以， 设， 由二次函数开口向上，对称轴为， 故函数在上单调递减，在上单调递增， 所以. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知复数，则下列说法正确的是（ ） A. 的共轭复数的虚部是 B. 是方程的一个根 C. D. 表示的点在第一象限 【答案】ACD 【解析】 【分析】先将复数化简为标准代数形式，再结合共轭复数、复数的模、复数的几何意义、方程根的判定等知识点逐一判断选项 【详解】首先化简复数：, 选项A：，复数的虚部为的系数，故的虚部是，A正确; 选项B：将代入方程，左边，因此不是该方程的根，B错误; 选项C：复数模长公式为，故，C正确; 选项D：对应复平面的点坐标为，横、纵坐标均为正，位于第一象限，D正确。 10. 已知为空间中一点，，，为互不相同的直线，，，为互不相同的平面，则下列命题中正确的是（ ） A. ，或 B. 若，，则 C. ， D. ， 【答案】ABC 【解析】 【分析】结合线面、面面平行与垂直的判定及性质，逐一判断命题的正确性. 【详解】对于A，由，，若，则；若，也满足条件，故或，A正确. 对于B，由，，可得，B正确. 对于C，由，，结合面面平行的传递性，且互不相同，故，C正确. 对于D，由，，可知为两平面的公共点，故是过的直线，而非点，D错误. 11. 在中，内角，，所对的边分别为，，，的面积为，且，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. 当时， D. 的取值可能是 【答案】BCD 【解析】 【分析】本题结合平面向量数量积、三角形面积公式、余弦定理及基本不等式考查解三角形的综合应用，先通过已知条件求出角和的值，再逐一分析选项即可 【详解】选项A：由，三角形面积，两式相除得，即， 解得，又，故，A错误； 选项B：由，代入，得，B正确； 选项C：当时，由得，由余弦定理，故，C正确； 选项D：由余弦定理得，根据基本不等式，故， 即，，且当时，，结合，可解得正实数存在，故可以为2，D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 某个班共有54名学生，其中男女生人数比为，现采用等比例分层随机抽样的方法从全班学生中抽取18人参加合唱比赛，则应抽取男同学________人. 【答案】 【解析】 【分析】利用等比例分层抽样中样本与总体各层比例一致的性质，结合男生的总体占比计算抽取人数. 【详解】由男女生人数比为5：4，得男生占全班人数的比例为. 根据等比例分层抽样的性质，样本中男生的占比与总体一致， 因此应抽取的男同学人数为. 13. 已知一个圆柱的底面半径为3，高为8，则该圆柱的外接球的表面积等于________. 【答案】 【解析】 【分析】先确定圆柱外接球的球心位置，求出外接球半径，再代入球的表面积公式计算结果 【详解】圆柱的外接球的球心为圆柱上下底面圆心连线的中点，设外接球的半径为，已知圆柱底面半径，高， 球心到下底面圆周上任意一点的距离即为外接球半径，由勾股定理可得：  ， 根据球的表面积公式，代入得：  ，即该圆柱的外接球的表面积为 14. 如图，正方体的棱长为4，点为棱的中点，点为线段上的一个动点，设直线与平面所成角为，则的最大值为________. 【答案】 【解析】 【分析】作出直线与平面所成角，化简求最小值即可. 【详解】取线段的中点，易知平面， 则直线与平面所成角， 则， 在等腰直角三角形中，当时，最短， 此时， 故的最大值为. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知向量. （1）若，求； （2）若，求； （3）若，求. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用向量减法坐标运算以及向量模的坐标公式计算即可； （2）利用两向量垂直的充要条件建立等式求解即可； （3）利用向量加法坐标运算、数乘坐标运算以及两向量平行（共线）的充要条件建立等式求解即可； 【小问1详解】 当时，，则，所以. 【小问2详解】 因为，所以，又，所以，解得：. 【小问3详解】 因为，所以， 又，所以，解得：. 16. 如图，在正三棱柱中，，为棱的中点. （1）证明：平面； （2）求异面直线与所成角的余弦值； （3）求三棱锥的体积. 【答案】（1） 取的中点，连接， 由，得四边形为平行四边形，所以. 由， ， 得四边形为平行四边形，所以 . 因为平面，平面， 所以平面. 同理可得， 平面. 因为平面， 所以平面平面. 又平面，所以平面； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）取的中点，连接，由面面平行的判定定理可证平面平面，从而证得平面； （2）由（1）知异面直线与所成角为，求出各边长，根据余弦定理可得，即异面直线与所成角的余弦值； （3）先求得正三棱柱的体积，再根据三棱锥与正三棱柱的体积比求得三棱锥的体积. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知，所以为异面直线与所成的角， ， ， ， 所以，所以. 所以， 即异面直线与所成角的余弦值为. 【小问3详解】 三棱柱为正三棱柱， 所以其体积为 . 三棱锥的体积. 17. 如图，为了测量两山顶，间的距离，飞机沿水平方向在，两个位置进行测量，，，，在同一平面内且与水平面垂直.在点测得，的俯角分别为，，在点测得，的俯角分别为，，同时测得. （1）求的长度； （2）求，之间的距离. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1） 在中，利用三角形内角和定理求出，再结合正弦定理即可求得的长度； （2） 在中，利用正弦定理求出的长度，进而得到的大小，最后在中利用余弦定理求得的距离. 【小问1详解】 在中，由题意可知，， 所以． 由正弦定理得， 即． 故的长度为． 【小问2详解】 在中， 因为点测得的俯角为，所以， 则． 由正弦定理得， 即． 在中，， 由余弦定理得  ， 所以． 故之间的距离为． 18. 如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，，，，，，，平面. （1）求证：平面； （2）求证：平面平面； （3）求二面角所成角的余弦值. 【答案】（1）证明：因为，，所以， 又平面，平面，所以， 又，所以平面. （2）证明：因为，所以， 又，所以在中，，所以， 又平面，平面，所以， 又，所以平面，又平面， 所以平面平面. （3） 【解析】 【分析】（1）利用线面垂直的判定定理证明即可； （2）利用面面垂直的判定定理证明即可； （3）利用二面角的定义先找出角，然后利用公式求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由（2）平面，平面，所以， 又，所以为二面角所成角， 因为平面，平面，所以， 在中，由，则， 所以. 19. 在中，内角，，所对的边分别为，，，已知. （1）求角； （2）若，的面积为，求； （3）若为锐角三角形，，求的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）通过正弦定理将角的关系转化为边的关系，再利用余弦定理求解角； （2）结合三角形面积公式求出的值，再通过完全平方公式和余弦定理计算边； （3）利用正弦定理将边转化为角的正弦形式，结合锐角三角形条件确定角的范围，再通过辅助角公式化简，求出的取值范围. 【小问1详解】 由正弦定理得，展开并整理得. 结合余弦定理，可得，又，故. 【小问2详解】 由三角形面积公式，代入、，得，解得. 由，得. 结合余弦定理，代入得，故（负值舍去）. 【小问3详解】 由正弦定理，，故，. 由，得. 因为锐角三角形，故，解得. 则，展开并化简得. 由，得，故，因此. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 广西百色高级中学2025-2026学年高一下学期期中自主检测练习 数学试卷 （考试时间：120分钟 满分：150分） 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号. 3.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知一个圆锥的底面半径为3，母线长，则该圆锥的表面积是（ ） A. B. C. D. 2. 在中，，则（ ） A. B. C. D. 3. 如图所示，梯形是平面图形用斜二测画法得到的直观图， ，则平面图形中对角线的长度为（ ） A. B. C. D. 5 4. 已知复数为纯虚数，则的值为（ ） A. 或3 B. C. 3 D. 6 5. 《九章算术》中将正四棱台体（棱台的上、下底面均为正方形）称为方亭.如图，现有一方亭，其上、下底面的周长分别为4，8，方亭的高为3，则方亭的体积为（ ） A. 10 B. 9 C. 8 D. 7 6. 已知，则向量与的夹角为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，为平行四边形所在平面外一点，为上一点，且，为上一点，当平面时，（ ） A. B. C. D. 8. 已知为边长为的等边三角形，设点为边的中点，点在边上（包括端点），则的最小值等于（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知复数，则下列说法正确的是（ ） A. 的共轭复数的虚部是 B. 是方程的一个根 C. D. 表示的点在第一象限 10. 已知为空间中一点，，，为互不相同的直线，，，为互不相同的平面，则下列命题中正确的是（ ） A. ，或 B. 若，，则 C. ， D. ， 11. 在中，内角，，所对的边分别为，，，的面积为，且，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. 当时， D. 的取值可能是 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 某个班共有54名学生，其中男女生人数比为，现采用等比例分层随机抽样的方法从全班学生中抽取18人参加合唱比赛，则应抽取男同学________人. 13. 已知一个圆柱的底面半径为3，高为8，则该圆柱的外接球的表面积等于________. 14. 如图，正方体的棱长为4，点为棱的中点，点为线段上的一个动点，设直线与平面所成角为，则的最大值为________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知向量. （1）若，求； （2）若，求； （3）若，求. 16. 如图，在正三棱柱中，，为棱的中点. （1）证明：平面； （2）求异面直线与所成角的余弦值； （3）求三棱锥的体积. 17. 如图，为了测量两山顶，间的距离，飞机沿水平方向在，两个位置进行测量，，，，在同一平面内且与水平面垂直.在点测得，的俯角分别为，，在点测得，的俯角分别为，，同时测得. （1）求的长度； （2）求，之间的距离. 18. 如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，，，，，，，平面. （1）求证：平面； （2）求证：平面平面； （3）求二面角所成角的余弦值. 19. 在中，内角，，所对的边分别为，，，已知. （1）求角； （2）若，的面积为，求； （3）若为锐角三角形，，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $