专题01 轴对称与旋转的五种模型（高效培优专项训练）数学新教材湘教版七年级下册

专题01 轴对称与旋转的五种模型 目录 题型一：轴对称中的最值问题 1 题型二：轴对称中的光线反射问题 8 题型三：三角形的旋转问题 18 题型四：射线或线段的旋转问题 24 题型五：三角板的旋转问题 36 题型一：轴对称中的最值问题 1．（24-25七年级下·四川达州·期末）如图，在锐角三角形中，，的面积为18，平分，若E，F分别是，上的动点，则的最小值为（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】A 【分析】本题考查了轴对称-最短路线问题，关键是将的最小值转化为． 过点C作于点P，交于点E，过点E作于F，则即为的最小值，再根据三角形的面积公式求出的长，即为的最小值． 【详解】解：过点C作于点P，交于点E，过点E作于F，    ∵平分，，， ∴， ∴，此时取最小值． ∵的面积为18，， ∴， ∴． 即的最小值为6， 故选：A． 2．（23-24八年级上·江苏南京·期中）如图，在中，，如果点分别为上的动点，那么的最小值是______________． 【答案】//4.8 【分析】本题主要考查了轴对称-最短路径问题以及三角形面积公式的应用，熟练掌握利用轴对称转化线段是解题的关键． 通过作点关于的对称点，将转化为，则，当时，的长度即为的最小值，再利用三角形面积公式求解． 【详解】解：作点关于的对称点，连接，过作于，交于．则此时值最小，最小值为的长， ∵点与关于对称， ∴，， ∴． ∵，，，， ∴， ∴． 故答案为：． 3．（24-25七年级下·广东清远·期末） “白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，这是唐代诗人李颀《古从军行》里的一句诗，由此却引申出一系列非常有趣的数学问题，通常称为“将军饮马”问题． (1)如图1，若点A和点B分别在直线l的两侧，请作出示意图，在直线l上找到点C，使得有最小值，并说明作图依据： ； (2)如图2，若点A和点B在直线l的同侧，请在直线l上作出点P，使得有最小值，并说明理由． 【答案】(1)两点之间线段最短 (2)见解析 【分析】本题考查作图﹣应用与设计作图，轴对称﹣最短问题. （1）根据两点之间线段最短解决问题； （2）利用轴对称解决最短问题，作点A关于直线l的对称点，连接交直线l于点P，连接，点P即为所求． 【详解】（1）解：如图1中，点C即为所求，依据是两点之间线段最短． 故答案为：两点之间线段最短； （2）如图2中，点P即为所求． 理由：在直线l上任意取一点，连接， ． ∵A，关于直线l对称， ∴，， ∵， ∴点P即为所求的点P． 4．（25-26七年级上·上海虹口·期末）【提出问题】唐代诗人李颀的《古从军行》开头两句“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河，”中隐含着一个有趣的数学问题——将军饮马，如图，将军牵马从营地A出发，先到河流l边上一点饮马，再去河岸同侧的营地开会，应该怎样走才能使路程最短？ 【分析问题】 （1）为了解决这个问题，数学小组的同学提出了如下四种确定河边饮马点的方案． 正确的方案是_____（填序号），此方案中用到的求最短路程的数学知识是_____． 【解决问题】 （2）如图，在中，点与点关于直线成轴对称，点是直线上的动点．若，则周长的最小值为_____． 【类比探究】 （3）如图，点是内一定点，将军牵马从军营出发，先到河流边上一点饮马，再到草地边上一点吃草，最后回到军营 ①在上图上画图：使将军走过的路程最短．（保留画图痕迹，辅助线用虚线，最短路程用实线） ②当将军走过的路程最短，且时，则_____°． 【答案】（1）④，两点之间线段最短；（2）11；（3）①见解析；②70 【分析】本题主要考查了轴对称的性质，两点之间线段最短等知识点． （1）根据轴对称的性质以及两点之间线段最短即可求解； （2）过点A作直线m的对称点，连接与直线m的交点即为周长的最小值的点，由对称轴的性质可得，，则，则的周长最小值转化为的值； （3）①过点分别作的对称点，连接与交点即为点，则此时最短； ②由三角形内角和定理可得，由轴对称的性质可得，则，故，同理可得，再由三角形内角和定理求解． 【详解】解：（1）正确的方案是④， 因为由轴对称的性质可得， 所以当点三点共线时， 所以此方案中用到的求最短路程的数学知识是两点之间，线段最短； （2）过点A作直线m的对称点，连接与直线m的交点即为周长的最小值的点， 由对称轴的性质可得，， ∴， ∴， ∴的周长最小值为， 故答案为：11； （3）①如图，最短， 过点分别作的对称点，连接与交点即为点 则， ∴； ②如图： 因为， 所以， 由轴对称的性质可得， 因为， 所以， 所以， 同理可得， ∴ 故答案为：． 5．（23-24八年级下·广东深圳·期末）【综合实践活动】 【问题背景】如图，，表示两个村庄，要在，一侧的河岸边建造一个抽水站，使得它到两个村庄的距离和最短，抽水站应该修建在什么位置？ 【数学建模】小坤发现这个问题可以用轴对称知识解决，他先将实际问题抽象成如下数学问题： 如图，，是直线同侧的两个点，点在直线上．在何处时，的值最小． 画图：如图，作关于直线的对称点，连结与直线交于点，点的位置即为所求． 证明：和关于直线对称 直线垂直平分 ________， 根据“________”（填写序号：①两点之间，线段最短；②垂线段最短；③两点确定一条直线．）可得最小值为________（填线段名称），此时P点是线段和直线的交点． 【问题拓展】如图4，村庄的某物流公司在河的对岸有一个仓库（河流两侧河岸平行，即），为了方便渡河，需要在河上修建一座桥（桥的长度固定不变，等于河流的宽度且与河岸方向垂直），请问桥修建在何处才能使得到的路线最短？请你画出此时桥的位置（保留画图痕迹，否则不给分）． 【迁移应用】光明区某湿地公园如图5所示，四边形为花海景区，，米，米，长方形为人工湖景区，为了方便市民观景，公园决定修建一条步行观光路线（折线），为起点，终点在上，米，为湖边观景台，长度固定不变米），且需要修建在湖边所在直线上，步行观光路线的长度会随着观景台位置的变化而变化，请直接写出步行观光路线的最短长度． 【答案】【数学建模】， ① ，；【问题拓展】见解析【迁移应用】米 【分析】本题考查了轴对称—最短路径问题，要利用“两点之间线段最短”，但许多实际问题没这么简单，需要我们将一些线段进行转化，即用与它相等的线段替代，从而转化成两点之间线段最短的问题．目前，往往利用对称性、平行四边形的相关知识进行转化，以后还会学习一些线段转化的方法． 【数学建模】由垂直平分线的性质得，由两点之间线段最短得； 【问题拓展】解过作垂直于河岸，使得，连接交另一河岸于，过 作垂直河岸于，即为所求； 【迁移应用】过作，使得，作关于直线对称点，连接交直线于，此时使得最短，最后由勾股定理求解即可． 【详解】，①，； 解：【问题拓展】桥修建在如图所示的位置才能使得到的路线最短； 解：【迁移应用】如图所示， 过作，使得，作关于直线对称点，延长交于，连接交直线于，此时使得最短， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵关于直线对称点， ∴，，, ∴， 在△中，由勾股定理得 ， ∴， 故步行观光路线的最短长度为米． 题型二：轴对称中的光线反射问题 6．（24-25七年级下·山西晋中·期末）在制作万花筒活动中，小刚发现：如图，把一个正方形图片P放在张角为的（用两面平面镜制作而成）中间，可以看到完整的正方形（含原来的正方形P）的个数是（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【分析】本题主要考查了轴对称的性质．根据轴对称的性质，解答即可． 【详解】解：根据题意得：一次反射成像有2个，即， 两次反射成像有2个，即， 三次反射成像有1个，即， 如图， 即可以看到完整的正方形（含原来的正方形P）的个数是6个． 故选：C 7．（25-26七年级上·江苏无锡·期末）【发现】小明拿激光笔照射到水平桌面上的平面镜时，发现光线经过反射后投射到天花板上，当他改变激光笔的角度时，天花板上的光点也随之移动．经过查阅资料，小明了解到光线在镜面上反射时，如图1，入射光线与镜面的夹角等于反射光线与镜面的夹角，即． 【探究】如图2，小明将平面镜放置在水平桌面上，激光笔发出的光线射到平面镜上，反射光线射到天花板（直线）上，． (1)若平面镜水平放置于桌面上，当激光笔与桌面的夹角时，请在图2中，画出反射光线，并在图中标出反射光线与天花板所夹锐角的大小． (2)如图3，转动平面镜，若平面镜与桌面形成的夹角，，且． ①当，时，求的大小； ②直接用含，的代数式表示出的大小． (3)如图4，小明把平面镜水平放置，当时，再添一面平面镜，将两平面镜相对放置，光线经过两次反射，得到反射光线，当平面镜如何放置时，光线？请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)①；② (3)当平面镜水平放置时，光线 【分析】本题考查了平行线的性质与判定，轴对称的性质； （1）根据入射光线与镜面的夹角等于反射光线与镜面的夹角，即可求解； （2）①过点作，分别表示出，得出，进而根据平行线的性质，即可求解； ②根据①的结论，即可求解． （3）根据题意可得，根据得出，由，，得出，即可判断，即可求解． 【详解】（1）解：如图所示， （2）解：①如图所示，过点作， ∴， ∵ ∴， 又∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵， ∴ ②由①可得 （3）解：如图所示， 依题意， ∵， 又∵ ∴ ∴ ∴，即当平面镜水平放置时，光线 8．（25-26七年级上·江苏镇江·期末）小丁在观看台球比赛的过程中对小球的运动轨迹产生浓厚的兴趣，她将这一问题抽象为数学模型进行研究． 【探索模型】如图1所示，一个台球桌桌面，桌子两边视为两条挡板，分别为，，且，小球从点A滚向挡板，碰到上的点B后进行第一次反弹滚向挡板（A、B为定点），碰着上的点C后进行第二次反弹滚向点D．经过多次测量．她进一步发现，，且，． 【解决问题】小丁发现小球经过两次反弹后的路径平行于原来的路径，请你借助图2帮助小丁完善证明过程． （1）因为． 所以． 所以，． 又因为， 所以________（_____________） 同理， 又因为， 所以________（_____________） 所以（等量代换）． 又因为． 所以． 所以________ 所以（_____________） 【引申拓展】 （2）如图3，小丁把挡板固定，将挡板绕点B逆时针旋转（）至直线，若，球从A打到挡板和球从B打到挡板均按照【探索模型】中的规律反弹． ①则_______．（用含的代数式表示）； ②当______时，． 【答案】（1）；等角的余角相等；；两直线平行，内错角相等；；同位角相等，两直线平行；（2）①；② 【分析】本题考查了平行线的性质与判定、角平分线的定义以及角度的计算，解题的关键是利用“等角的余角相等”和“两直线平行，内错角相等”等定理，结合反弹规律进行角度推导． （1）利用等角的余角相等得到；再由得到，进而推出，最后根据内错角相等判定． （2）①根据平行线性质及反弹规律可求得结果； ②利用则同旁内角互补，可求出的表达式，再根据反弹规律与平行线性质可写出与的表达式，最后通过平角为建立方程求解． 【详解】（1）解：因为， 所以， 所以， 又因为， 所以（等角的余角相等）． 同理， 又因为， 所以（两直线平行，内错角相等）． 所以（等量代换）． 又因为， 所以， 所以， 所以（同位角相等，两直线平行）． 故答案为：；等角的余角相等；；两直线平行，内错角相等；；同位角相等，两直线平行． （2）① 解：如图， ， ，即， 根据“反弹规律”，， ∴， 故答案为：． ② 解：当时，， 由反弹规律，， ∴． 由，并结合反弹规律得， ∵， ∴， 解得，符合的范围， 故答案为：． 9．（25-26七年级上·江苏盐城·期末）【阅读材料】 日常生活中，光遇到水面、玻璃以及其他许多物体的表面都会发生反射．图1是光的反射示意图（反射角等于入射角，法线与平面镜垂直，垂足为入射点）． 【尝试探究】 （1）如图2，为法线，入射光线与镜面所夹的锐角为，反射光线与镜面所夹的锐角为，试探究和之间的数量关系？并说明理由． 【结论应用】请用（1）中获得的结论解决以下问题： （2）如图3，平面镜，点A在上，点B在上，光线被反射后再次被反射，入射光线经过两次反射后的光线为，其中点C在上，点D在上．请用无刻度的直尺与圆规补全图3中的反射光线（不写作法，保留作图痕迹）． （3）如图4，两平面镜，相交于点O，入射光线经两个平面镜两次反射后的反射光线为，若和相交，设交点为H．通过调整两个平面镜的夹角（）的大小，可以改变反射光线的方向．当时（即），求的大小． （4）如图5，，为两个足够长的平面镜，若，为一条入射光线，B为入射点，且，请问，入射光线经过_________次反射之后，光线将与其中一个平面镜平行射出． 【答案】（1）相等，见解析；（2）见解析；（3）；（4）8 【分析】（1）根据余角的性质，解答即可． （2）根据光的反射原理，作一个角等于已知角的基本作图，解答即可． （3）根据光的反射原理，三角形内角和，三角形外角性质，解答即可． （4）根据光的反射原理，平行线的判定，规律的探索解答即可． 本题考查了余角的性质，平角的定义，平行线的判定，三角形内角和，光的反射定律，熟练掌握平行线的判定，光的反射定律是解题的关键． 【详解】（1）证明：和之间的数量关系是，理由如下： 根据题意，得， 又， ， ． （2）解：根据光的反射原理，作一个角等于已知角的基本作图，画图如下： 则即为所求． （3）解：如图，连接， 根据题意，得， ， ， ， ， ， ， ， 解得． （4）解：如图，， ， ， , 根据反射原理，得第一次入射时，入射光线与平面镜的夹角为：， ， ， 根据反射原理，得第二次反射时，入射光线与平面镜的夹角为：， ， ， 根据光的反射原理，得第三次反射时，入射光线与平面镜的夹角为：， 由此得到规律，每次反射时，入射光线与平面镜的夹角依次为， 根据题意，当第八次时，反射光线与平面镜的夹角为， 故 ， 故答案为：8． 10．（24-25七年级下·山西晋中·期末）项目化学习：万花筒是一种通过光的反射产生对称图形的光学玩具．是1816年苏格兰物理学家大卫·布鲁斯特发明． 为了寻找万花筒成像完整的方法，项目化小组将两面镜的背面用胶带粘贴形成一个可以自由开合的“镜子门”，通过实验探究“镜子门”张角的大小对成像完整的影响，发现了一些规律，请你协助他们完成下列数据的填写． 【实验一】如图（1）当“镜子门”张角的大小为时，在两镜面夹角的平分线上放一个小球，可以在两平面镜中看到完整的2个小球． （1）【实验二】如图（2），当“镜子门”张角的大小为时，在两镜面夹角的平分线上放一个小球，可以在两平面镜中看到完整的______个小球． 项目化小组成员通过查阅资料，了解到其中的原理：左边的镜子成一个像，右边的镜子成一个像，这是两个基本像点，只要它们落在另一镜前就会相互反射形成多个镜像，因此左边的镜像在右边的镜子里又成一个像，右边的镜像在左边的镜子里也成一个像，但是由于角度问题这两个像是重合的． 如图（3），当镜子M，N形成的“镜子门”张角大小为时，在两镜面夹角的平分线上放一个小球S，小球S在平面镜中所成的像为，，像在镜面N里又成像同理在镜面M里又成像，由角度可以推算出，，是重合的． （2）【实验三】如图（4），当“镜子门”张角的大小为时，在两镜面夹角的平分线上放一个小球，它在两平面镜中所成完整像的个数为______． （3）【实验四】当“镜子门”张角的大小为时，在两镜面夹角的平分线上放一个小球，它在两平面镜中所成完整像的个数为______． …… （4）【规律总结】当“镜子门”张角的大小为（且能被整除）时，在两镜面夹角的平分线上放一个小球，它在两平面镜中所成完整像的个数为______．（用含n的式子表示） 【答案】 （1）3 （2）5 （3）7 （4） 【分析】本题考查了平面镜成像相关问题，在于观察生活以及对物体成像的理解，较为抽象，比较难懂，解题关键在于熟悉知识体系， 根据两个平面镜互相成像，所成像与小球将角分成几个均等的区域，并呈放射状，出现的像与小球就在每个区域上面，然后分别解答即可. 【详解】解：（1）原理：左边的镜子成一个像，右边的镜子成一个像，这是两个基本像点，只要它们落在另一镜前就会相互反射形成多个镜像，因此左边的镜像在右边的镜子里又成一个像，右边的镜像在左边的镜子里也成一个像，但是由于角度问题这两个像是重合的． 故答案为：3. （2）由题可知，当“镜子门”张角的大小为时，在两镜面夹角的平分线上放一个小球，它在两平面镜中所成完整像的个数为5． 故答案为：5. （3）如图：可知当“镜子门”张角的大小为时，在两镜面夹角的平分线上放一个小球，它在两平面镜中所成完整像的个数为7． 故答案为：7. （4）两个平面镜互相成像，所成像与小球将角分成几个均等的区域，并呈放射状，出现的像与小球就在每个区域上面，故当“镜子门”张角的大小为（且能被360整除）时，在两镜面夹角的平分线上放一个小球，它在两平面镜中所成完整像的个数为． 故答案为：. 题型三：三角形的旋转问题 11．（25-26九年级上·广东中山·期末）如图，把绕点顺时针旋转，得到，交边于点．若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据旋转的性质得到，，根据三角形内角和求出，可知，即可求出． 【详解】解：∵绕点顺时针旋转得到， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴． 12．（25-26九年级上·福建南平·期末）如图，将绕着点C逆时针旋转得到，使得点B的对应点E落在边上，若，则线段的长为_______． 【答案】6 【分析】本题考查旋转的性质，线段的和与差，根据旋转的性质，得到，再根据线段的和差关系进行计算即可． 【详解】解：∵旋转，， ∴， ∵点E落在边上， ∴； 故答案为：6． 13．（25-26九年级上·全国·期末）如图，中，，将绕点A逆时针旋转得到，与交于点D，与交于点，与交于点，当、、重合时停止旋转． (1)证明：在旋转过程中； (2)如图1，当平分时，证明：； (3)如图2，若，，在旋转过程中，当是等腰三角形时，求该等腰三角形底边的长度． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)等腰三角形底边的长度为3或或 【分析】本题属于几何变换综合题，主要考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的性质．解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． （1）根据旋转的性质得出，进而得到，再利用对顶角相等，等量代换后即可得证； （2）根据旋转的性质和角平分线的定义先证，得出，进而可得； （3）根据勾股定理求出的长，作，垂足为， 利用等面积法求得的长，再分三种情况讨论，①当时，②当时，③当时，分别计算出底边的长度即可． 【详解】（1）证明：∵将绕点逆时针旋转得到， ． ， ． ， ． （2）证明：∵将绕点逆时针旋转得到， ，，，． 平分， ． ． ． ． ． （3）解：在中，，，， ． 如图，作，垂足为， ， ． ． ①当时，则， ． ②当时，则， ． ③当时，则． 综上，该等腰三角形底边的长度为3或或． 14．（24-25九年级上·四川泸州·期末）如图，和都是等腰直角三角形，，，若绕某个点顺时针旋转后与重合． (1)旋转中心是______； (2)旋转的度数是______； (3)若，则______． 【答案】(1)点 (2) (3) 【分析】本题考查的是图形旋转的性质，即：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等． （1）找出两重合三角形的公共顶点即可得出其旋转中心； （2）根据两重合边所夹的角度即可求出旋转的度数； （3）根据图形旋转的性质，即对应边相等可直接进行解答． 【详解】（1）解：绕某个点顺时针旋转后与重合， 点即为两三角形的公共顶点， 旋转中心是点． 故答案为：点； （2）解：绕某个点顺时针旋转后与重合， 与重合， ， 旋转的度数为：． 故答案为：； （3）解：由题意知和是对应线段，根据旋转的性质可得． 故答案为：． 15．（24-25七年级下·江苏泰州·期中）已知直角三角板中，．将三角板绕着点旋转得到，旋转角记为． (1)当旋转方向为逆时针方向，且时（如图），求和的大小． (2)当旋转方向为逆时针方向，且时，在图中，画出旋转得到的． (3)当时， ①若，求的度数． ②如图，当旋转方向为逆时针方向时，点为上一点．．在旋转过程中，若与始终满足为定值，求常数的值． 【答案】(1)， (2)画图见解析 (3)①或；② 【分析】（）由旋转的性质可得，，，进而根据角的和差关系即可求解； （）根据题意画出图形即可； （）①分逆时针方向旋转和顺时针方向旋转两种情况，分别画出图形解答即可求解；②由旋转的性质得，即得，进而可得，，即得到，即可得，求出的值即可求解； 本题考查了旋转，角的和差，掌握旋转的性质是解题的关键． 【详解】（1）解：由旋转的性质可得，，， ∴， ； （2）解：如图，即为所求； （3）解：①如图，当旋转方向为逆时针方向时，， ∵， ∴， 解得； 如图，当旋转方向为顺时针方向时，， ， ∴， 解得； 综上，的度数为或； ②由旋转性质可得，， ∵，， ∴， ， ∴， ∵与始终满足为定值， ∴， 解得， ∴常数的值为． 题型四：射线或线段的旋转问题 16．（25-26六年级上·山东济南·期末）如图1，点是直线上一点．将射线绕点顺时针旋转，转速为每秒，得到射线；同时，将射线绕点逆时针旋转，转速为转速的倍，得到射线，设旋转时间为秒（）． (1)如图1，当秒时，求的度数； (2)如图2，当是的角平分线时，求的值； (3)是否存在的值，使得∠？如果存在，请求出的值；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题主要考查一元一次方程的应用、平角的定义、角的和与差． (1)当秒时，根据射线和的运动方向和运动速度，可得，把代入计算即可； (2)根据角平分线的定义可知当是的角平分线时，可得：，解方程即可求出的值； (3)若∠，应分和相遇前和和相遇后两种情况求解． 【详解】（1）解：射线绕点顺时针旋转，转速为每秒，射线绕点逆时针旋转，转速为转速的倍， 射线的旋转速度为每秒， ； （2）解：当是的角平分线时， 可得：， ，， ， 解得：； （3）解：当或时，， 理由如下： 当和相遇前时， 可得：， 解得：； 当和相遇后时， 可得：， 解得：； 综上所述，当或时，． 17．（25-26七年级上·江苏扬州·期末）定义：从一个角的顶点出发，在该角的内部引两条射线，若该角是这两条射线所成角的倍（为正整数），则这两条射线叫做该角的“倍分线”． (1)如图1，，射线是的“2倍分线”，且，则____________°； (2)如图2，，射线重合，绕点顺时针旋转，旋转的角度为． ①若，是的“4倍分线”，求的度数； ②若，在绕点顺时针旋转一周的过程中，射线中，存在两条射线是另两条射线所成的角的“3倍分线”，则满足条件的旋转的角度的度数为___________°． 【答案】(1)； (2)①或；②或或或． 【分析】本题主要考查旋转的性质及角度的计算，理解“倍分线”的概念及分类讨论是解题的关键． （1）根据“2倍分线”，的概念可得，再由代入计算即可； （2）①分射线未旋转过，射线旋转过两种情况，结合是的“4倍分线”，列出等式求解即可； ②根据题意，当射线是的“3倍分线”两种，当射线是的“3倍分线”两种，共四种情况进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：射线是的“2倍分线”， ，解得， ， 故答案为：； （2）解：①情况一：如图射线未旋转过， ， 是的“4倍分线”， ，即，解得， ； 情况二：如图射线旋转过， ， 是的“4倍分线”， ，即，解得， ； 综上，的度数或； ②情况一：如图，射线是的“3倍分线”， ， 是的“3倍分线”， ，即，解得； 情况二：如图，射线是的“3倍分线”， ， 是的“3倍分线”， ，即，解得； 情况三：如图，射线是的“3倍分线”， ， ， 是的“3倍分线”， ，即，解得； 情况四：如图，射线是的“3倍分线”， ， ， 是的“3倍分线”， ，即，解得； 综上，的度数为或或或． 故答案为：或或或． 18．（25-26七年级上·广东广州·期末）已知是的角平分线． (1)如图1，若，则______； (2)如图2，若是的角平分线，求的值； (3)在（1）的条件下，若射线从出发绕点以每秒的速度逆时针旋转，射线从出发绕点以每秒的速度顺时针旋转，若同时开始旋转秒后得到，直接写出所有满足条件的的值． 【答案】(1) (2) (3)秒或秒 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，角的计算、角的和差、角平分线的定义等知识，正确的识别图形是解题的关键． （1）由题意得，再求出，即可得出答案； （2）先由角平分线定义得，，再证，即可得出答案； （3）分三种情况：①当射线、在内部时，即时，则，，由角的关系得，解得（舍去）；②当射线在内部时，射线在外部时，即时，由角的关系得，解得：；③当射线、在外部时，即时，由角的关系得，解得：． 【详解】（1）解：， ， ， ， 平分， ， ； 故答案为：； （2）解：平分， ， 平分， ， ， ， ； （3）解：分三种情况： ①当射线、在内部时， ， ， 即时， 由题意得：，， ，， ， ， 解得：（舍去）； ②当射线在内部时，射线在外部时， ， ， 即时， 则，， ， 解得：； ③当射线、在外部时， ， ， 即时， 则，， ， 解得：； 综上所述，的值为秒或秒． 19．（25-26七年级上·陕西西安·期末）【阅读理解】射线是内部的一条射线，若，则我们称射线是射线的伴随线．例如，如图①，，，则，称射线是射线的伴随线；同时，由于，称射线是射线的伴随线． 【知识运用】 (1)如图②，，若射线是射线的伴随线，则______，若的度数是，射线是射线的伴随线，射线是的平分线，则的度数是____；（用含的代数式表示） (2)如图③，，射线与射线重合，并绕点O以每秒的速度逆时针旋转，射线与射线重合，并绕点O以每秒的速度顺时针旋转，当射线与射线重合时，运动停止． ①是否存在某个时刻t（秒），使得的度数是，若存在，求出t的值，若不存在，请说明理由； ②当t为多少秒时，射线，，中恰好有一条射线是其余两条射线中的任意一条射线的伴随线． 【答案】(1)； (2)①t的值为15或30，理由见解析；②t为12秒或秒或秒 【分析】本题主要考查了伴随线概念、角的和差运算以及方程思想的应用，熟练掌握伴随线定义，准确分析角之间的数量关系并合理运用方程求解是解题的关键． （1）根据伴随线定义即可求解； （2）①利用分类讨论思想，分相遇之前和之后进行列式计算即可；②利用分类讨论思想，分相遇之前和之后四个图形进行计算即可． 【详解】（1）解：∵射线是射线的伴随线， ∴， ∵， ∴ 解得， ∵射线是射线的伴随线， ∴， ∴ 解得， ∵射线是的平分线， ∴， ∴ ， 故答案为：40，； （2）解：当射线与重合时，（秒）， ①当的度数是时，有两种可能： 若在相遇之前，则， 解得； 若在相遇之后，则， 解得； ∴综上所述，当t的值为15或30时，的度数是． ②相遇之前：如图1， 是的伴随线时，则， 即， 解得， 如图2， 是的伴随线时，则， 即， 解得， 相遇之后：如图3， 是的伴随线时，则， 即， 解得， 如图4， 是的伴随线时，则， 即， 解得（舍去）， ∴综上所述，当t为12秒或秒或秒时，射线，，中恰好有一条射线是其余两条射线的伴随线． 20．（25-26七年级上·四川成都·期末）已知，射线平分，射线平分． (1)如图1，若，，则___________度：___________度． (2)与的位置关系如图2所示，用含与的式子表示． (3)如图3，若（其中），射线在直线的右侧按顺时针方向分布，从开始运动．将绕点以每秒的速度顺时针旋转，运动时间为，其中． （i）当与重合时，用与的代数式表示． （ii）猜想三个角之间的关系，并证明． 【答案】(1)； (2) (3)（i）；（ii）当时，；当时，；当时， 【分析】本题考查了几何图形中角度关系的分析与计算，特别是动态旋转背景下角度关系的探究．掌握角平分线的性质、角度和差的计算，并能够根据旋转的不同阶段进行准确的分类讨论是解题的关键． （1）在给定的条件下，直接应用角平分线定义和角度和差关系即可求出与的度数； （2）本小问探究静态图形中三个角（, , ）的数量关系．解题关键在于利用已知条件“”建立等量关系，通过代数推导消去中间量，最终得到． （3）本小问为综合探究题，涉及图形的旋转运动． （i）求特定位置（与重合）对应的时间t，通过角平分线定义与旋转角度建立方程即可求解． （ii）猜想并证明三个角在旋转过程中的关系。解题的核心是根据旋转角（即）的大小，划分三个不同的时间段（对应射线相对于和的不同位置），在每种情况下分别利用角平分线性质和全局角度关系（）进行推导，最终得到三种不同的关系式． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵射线平分， ∴， ∴， ∵射线平分， ∴， ∴． 故答案为：；． （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 将代入得： ， 化简得：． 故答案为：． （3）解：（i）当与重合时， ， ∵从开始运动．将绕点以每秒的速度顺时针旋转，运动时间为， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 即， ， 解得：． 故答案为：． （ii）①若， ∵， ∴， 化简得：， ∵， ∴， ∴， 将代入得： ， 化简得：； ②若， ∵， ∴， 化简得：， ∵， ∴， ∴， 将代入得： ， 化简得：； ③若， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 将代入得： ， 化简得：． 综上：当时，； 当时，； 当时，． 题型五：三角板的旋转问题 21．（25-26七年级上·福建龙岩·期末）数学活动小组在做角的拓展练习时，利用一副含有角的直角三角板和含有角的直角三角板尝试完成探究． (1)如图1，边，与直线重合，，，则的度数为___________； (2)如图2，在（1）的基础上，保持三角板不动，将三角板绕点逆时针旋转一个角度． ①当为直角时，求的度数； ②在转动过程中两块三角板都在直线的上方，当平分由其中任意两边组成的角时，请求出旋转角的度数． 【答案】(1) (2)①或；②或或 【分析】本题主要考查三角板中角的计算，角平分线的有关计算，旋转的性质，正确理解题意和画图是解题的关键． （1）根据平角的定义即可得出答案； （2）①根据平角的定义及角的和差，分两种情况即可得出答案； ②分为当平分时，当平分时，当平分时三种情况画图进行分析，进而得出答案． 【详解】（1）解：如图1，， ． 故答案为：； （2）①如图，当三角板绕点逆时针旋转到此位置时，， ，， ， ； 如图，当三角板绕点逆时针旋转到此位置时，， ，，， ， 则的度数为或； ②如下图，当平分时， 则， ， ； 如下图，当平分时， ， ； 如下图，当平分时， ，， ， ， ， 综上所述，旋转角的度数为或或． 22．（25-26七年级上·河北衡水·期末）操作探究如图1，点O为直线上一点，过点O作射线，使．将一直角三角板的直角顶点放在点O处，一边在射线上，另一边在直线的下方． (1)将图1中的三角板绕点O逆时针转至图2的位置，使在的内部，且恰好平分．问直线是否平分? 请说明理由； (2)将图1中的三角板绕点O顺时针旋转至图3的位置，使在的内部，请探究：与 之间的数量关系，并说明理由； (3)将图1中的三角板绕点O按每秒 的速度逆时针方向旋转一周，在旋转过程中，第t秒时，直线恰好三等分锐角 则t的值为 ． 【答案】(1)直线平分，理由见解析 (2)，理由见解析 (3)5或7或23或25 【分析】本题主要考查了利用邻补角互补求角度，角平分线的有关计算，一元一次方程的应用等知识点，熟练掌握角平分线的有关计算并运用分类讨论思想是解题的关键． （1）求出，，即可得出结论； （2）由角的和差关系可得答案； （3）分四种情况分别列方程并解方程即可得出答案． 【详解】（1）解：直线平分，理由如下： 延长至点D． 因为平分， 所以 因为，所以． 因为都与互补， 所以， 所以， 所以， 即直线平分； （2）解：，理由如下： 因为， 所以； （3）解：当射线与夹角为，与夹角为时，旋转了， 当射线的反向延长线与夹角为，与夹角为，旋转了， 当射线的反向延长线与夹角为20°，与夹角为40°，旋转了， 当射线的反向延长线与夹角为40°，与夹角为20°，旋转了， 综上所述，满足条件的t的值为：5、7、23、25． 23．（25-26七年级上·上海普陀·期末）已知一副三角板按如图的方式拼接在一起，边、与直线重合，其中，． (1)求图1中的度数． (2)如图2，三角板固定不动，将三角板绕点按顺时针方向旋转一个角度，其中． ①当三角板的一边平分时，求旋转角的度数． ②是否存在？若存在，请直接写出的度数；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)①或 ②或 【分析】本题考查了几何图形中的角度的计算、一元一次方程的几何应用、旋转的性质，解决本题的关键运用数形结合和分类讨论思想． (1)根据平角的定义可知，又因为，，即可求出的度数； (2)①分平分和平分两种情况求解； ②分在左侧、在右侧、在下方三种情况求解． 【详解】（1）解：由图可知， ，， ； （2）①解：，， ， 当平分时，如下图所示， 可得：， ， ； 当平分时，如下图所示， 可得：， ； 旋转角为或； ②解：，， ， 当在左侧，旋转角为时， 可得：，， ， ， (不符合题意)； 当在右侧，旋转角为时，如下图所示， 可得：，， ， ， ； 当在的下方，旋转角为时， 可得：，， ， ， ； 综上所述，旋转角的度数为或. 24．（25-26七年级上·云南昆明·期末）数学是研究数量关系和空间形式的科学．某节数学活动课上，同学们用一副三角尺开展如下探究活动． 【动手实践】 （1）如图1，三角尺和三角尺的边，重合，求的度数； 【深入探究】 如图2，三角尺从图1的位置出发，绕点O顺时针以每秒2度的速度旋转，三角尺的位置不变，设运动时间为t秒． （2）当平分时，求t的值； （3）若与满足：其中一个角的度数是另一个角的度数的2倍，求t的值． 【答案】（1），（2），（3）或 【分析】本题考查了角平分线的性质，三角尺的角度特征，角的和差运算及分类讨论． （1）根据题意利用三角尺的角度特征可得的度数； （2）根据角平分线的定义求得，再根据题中的信息可设，进而求得t的值； （3）先设，再利用三角尺的角度特征分别求得和的度数，最后分类讨论即可求得t的值． 【详解】解：（1）∵，重合，，， ∴， 即为； （2）∵平分， ∴， 又∵绕点O顺时针以每秒2度的速度旋转， ∴， ∴，解得， 即t的值为30； （3）由（2）知，， ∴，， ①当时， ，解得， ②当时， ，解得， 综上所述，t的值为30或． 25．（25-26七年级上·四川达州·期末）某校七（1）班数学活动小组在做角的拓展练习时，利用直角三角板和直角三角板按如图1摆放，边，与直线重合，，，保持三角板不动，将直角三角板绕着点O按每秒的速度顺时针旋转，当转到射线上时停止运动，设旋转时间为t秒，尝试完成探究． (1)在图1中，的度数为______； (2)在直角三角板从开始到与相交这一运动过程中，请判断的值是否为定值，如果是，求出这个值，如果不是，说明理由； (3)①如图2，当秒时，求的度数； ②如图3，在转动过程中，当t为何值时？平分由，，其中任意两边组成的角． 【答案】(1) (2)是定值，该值为 (3)①；②或18或21秒 【分析】本题考查了角的计算，正确理解题意是解题的关键． （1）根据平角的定义及角的和差，即可得出答案； （2）根据题意利用平角的定义及角的和差分别表示出和的表达式，再计算即可判断是否为定值； （3）①根据平角的定义及角的和差，即可得出答案； ②分为当平分时，当平分时，当平分时三种情况进行分析，进而得出答案． 【详解】（1）解：∵，， ∴， 故答案为：． （2）解：由题意知，， ∵直角三角板绕着点O按每秒的速度顺时针旋转， ∴， 又∵， ∴， 在直角三角板旋转的过程中，原来，旋转的角度为， ∴现在， ∴． （3）解：①当秒时，， ∴， ∵， ∴； ②（i）如图，当平分时， ∴， ∵， ∴， ∴； （ii）如图，当平分时， ∴， ∴， ∴； （iii）如图，当平分时， ∴， ∴， ∴， 综上所述，或18或21秒． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 轴对称与旋转的五种模型 目录 题型一：轴对称中的最值问题 1 题型二：轴对称中的光线反射问题 8 题型三：三角形的旋转问题 18 题型四：射线或线段的旋转问题 24 题型五：三角板的旋转问题 36 题型一：轴对称中的最值问题 1．（24-25七年级下·四川达州·期末）如图，在锐角三角形中，，的面积为18，平分，若E，F分别是，上的动点，则的最小值为（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 2．（23-24八年级上·江苏南京·期中）如图，在中，，如果点分别为上的动点，那么的最小值是______________． 3．（24-25七年级下·广东清远·期末） “白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，这是唐代诗人李颀《古从军行》里的一句诗，由此却引申出一系列非常有趣的数学问题，通常称为“将军饮马”问题． (1)如图1，若点A和点B分别在直线l的两侧，请作出示意图，在直线l上找到点C，使得有最小值，并说明作图依据： ； (2)如图2，若点A和点B在直线l的同侧，请在直线l上作出点P，使得有最小值，并说明理由． 4．（25-26七年级上·上海虹口·期末）【提出问题】唐代诗人李颀的《古从军行》开头两句“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河，”中隐含着一个有趣的数学问题——将军饮马，如图，将军牵马从营地A出发，先到河流l边上一点饮马，再去河岸同侧的营地开会，应该怎样走才能使路程最短？ 【分析问题】 （1）为了解决这个问题，数学小组的同学提出了如下四种确定河边饮马点的方案． 正确的方案是_____（填序号），此方案中用到的求最短路程的数学知识是_____． 【解决问题】 （2）如图，在中，点与点关于直线成轴对称，点是直线上的动点．若，则周长的最小值为_____． 【类比探究】 （3）如图，点是内一定点，将军牵马从军营出发，先到河流边上一点饮马，再到草地边上一点吃草，最后回到军营 ①在上图上画图：使将军走过的路程最短．（保留画图痕迹，辅助线用虚线，最短路程用实线） ②当将军走过的路程最短，且时，则_____°． 5．（23-24八年级下·广东深圳·期末）【综合实践活动】 【问题背景】如图，，表示两个村庄，要在，一侧的河岸边建造一个抽水站，使得它到两个村庄的距离和最短，抽水站应该修建在什么位置？ 【数学建模】小坤发现这个问题可以用轴对称知识解决，他先将实际问题抽象成如下数学问题： 如图，，是直线同侧的两个点，点在直线上．在何处时，的值最小． 画图：如图，作关于直线的对称点，连结与直线交于点，点的位置即为所求． 证明：和关于直线对称 直线垂直平分 ________， 根据“________”（填写序号：①两点之间，线段最短；②垂线段最短；③两点确定一条直线．）可得最小值为________（填线段名称），此时P点是线段和直线的交点． 【问题拓展】如图4，村庄的某物流公司在河的对岸有一个仓库（河流两侧河岸平行，即），为了方便渡河，需要在河上修建一座桥（桥的长度固定不变，等于河流的宽度且与河岸方向垂直），请问桥修建在何处才能使得到的路线最短？请你画出此时桥的位置（保留画图痕迹，否则不给分）． 【迁移应用】光明区某湿地公园如图5所示，四边形为花海景区，，米，米，长方形为人工湖景区，为了方便市民观景，公园决定修建一条步行观光路线（折线），为起点，终点在上，米，为湖边观景台，长度固定不变米），且需要修建在湖边所在直线上，步行观光路线的长度会随着观景台位置的变化而变化，请直接写出步行观光路线的最短长度． 题型二：轴对称中的光线反射问题 6．（24-25七年级下·山西晋中·期末）在制作万花筒活动中，小刚发现：如图，把一个正方形图片P放在张角为的（用两面平面镜制作而成）中间，可以看到完整的正方形（含原来的正方形P）的个数是（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 7．（25-26七年级上·江苏无锡·期末）【发现】小明拿激光笔照射到水平桌面上的平面镜时，发现光线经过反射后投射到天花板上，当他改变激光笔的角度时，天花板上的光点也随之移动．经过查阅资料，小明了解到光线在镜面上反射时，如图1，入射光线与镜面的夹角等于反射光线与镜面的夹角，即． 【探究】如图2，小明将平面镜放置在水平桌面上，激光笔发出的光线射到平面镜上，反射光线射到天花板（直线）上，． (1)若平面镜水平放置于桌面上，当激光笔与桌面的夹角时，请在图2中，画出反射光线，并在图中标出反射光线与天花板所夹锐角的大小． (2)如图3，转动平面镜，若平面镜与桌面形成的夹角，，且． ①当，时，求的大小； ②直接用含，的代数式表示出的大小． (3)如图4，小明把平面镜水平放置，当时，再添一面平面镜，将两平面镜相对放置，光线经过两次反射，得到反射光线，当平面镜如何放置时，光线？请说明理由． 8．（25-26七年级上·江苏镇江·期末）小丁在观看台球比赛的过程中对小球的运动轨迹产生浓厚的兴趣，她将这一问题抽象为数学模型进行研究． 【探索模型】如图1所示，一个台球桌桌面，桌子两边视为两条挡板，分别为，，且，小球从点A滚向挡板，碰到上的点B后进行第一次反弹滚向挡板（A、B为定点），碰着上的点C后进行第二次反弹滚向点D．经过多次测量．她进一步发现，，且，． 【解决问题】小丁发现小球经过两次反弹后的路径平行于原来的路径，请你借助图2帮助小丁完善证明过程． （1）因为． 所以． 所以，． 又因为， 所以________（_____________） 同理， 又因为， 所以________（_____________） 所以（等量代换）． 又因为． 所以． 所以________ 所以（_____________） 【引申拓展】 （2）如图3，小丁把挡板固定，将挡板绕点B逆时针旋转（）至直线，若，球从A打到挡板和球从B打到挡板均按照【探索模型】中的规律反弹． ①则_______．（用含的代数式表示）； ②当______时，． 9．（25-26七年级上·江苏盐城·期末）【阅读材料】 日常生活中，光遇到水面、玻璃以及其他许多物体的表面都会发生反射．图1是光的反射示意图（反射角等于入射角，法线与平面镜垂直，垂足为入射点）． 【尝试探究】 （1）如图2，为法线，入射光线与镜面所夹的锐角为，反射光线与镜面所夹的锐角为，试探究和之间的数量关系？并说明理由． 【结论应用】请用（1）中获得的结论解决以下问题： （2）如图3，平面镜，点A在上，点B在上，光线被反射后再次被反射，入射光线经过两次反射后的光线为，其中点C在上，点D在上．请用无刻度的直尺与圆规补全图3中的反射光线（不写作法，保留作图痕迹）． （3）如图4，两平面镜，相交于点O，入射光线经两个平面镜两次反射后的反射光线为，若和相交，设交点为H．通过调整两个平面镜的夹角（）的大小，可以改变反射光线的方向．当时（即），求的大小． （4）如图5，，为两个足够长的平面镜，若，为一条入射光线，B为入射点，且，请问，入射光线经过_________次反射之后，光线将与其中一个平面镜平行射出． 10．（24-25七年级下·山西晋中·期末）项目化学习：万花筒是一种通过光的反射产生对称图形的光学玩具．是1816年苏格兰物理学家大卫·布鲁斯特发明． 为了寻找万花筒成像完整的方法，项目化小组将两面镜的背面用胶带粘贴形成一个可以自由开合的“镜子门”，通过实验探究“镜子门”张角的大小对成像完整的影响，发现了一些规律，请你协助他们完成下列数据的填写． 【实验一】如图（1）当“镜子门”张角的大小为时，在两镜面夹角的平分线上放一个小球，可以在两平面镜中看到完整的2个小球． （1）【实验二】如图（2），当“镜子门”张角的大小为时，在两镜面夹角的平分线上放一个小球，可以在两平面镜中看到完整的______个小球． 项目化小组成员通过查阅资料，了解到其中的原理：左边的镜子成一个像，右边的镜子成一个像，这是两个基本像点，只要它们落在另一镜前就会相互反射形成多个镜像，因此左边的镜像在右边的镜子里又成一个像，右边的镜像在左边的镜子里也成一个像，但是由于角度问题这两个像是重合的． 如图（3），当镜子M，N形成的“镜子门”张角大小为时，在两镜面夹角的平分线上放一个小球S，小球S在平面镜中所成的像为，，像在镜面N里又成像同理在镜面M里又成像，由角度可以推算出，，是重合的． （2）【实验三】如图（4），当“镜子门”张角的大小为时，在两镜面夹角的平分线上放一个小球，它在两平面镜中所成完整像的个数为______． （3）【实验四】当“镜子门”张角的大小为时，在两镜面夹角的平分线上放一个小球，它在两平面镜中所成完整像的个数为______． …… （4）【规律总结】当“镜子门”张角的大小为（且能被整除）时，在两镜面夹角的平分线上放一个小球，它在两平面镜中所成完整像的个数为______．（用含n的式子表示） 题型三：三角形的旋转问题 11．（25-26九年级上·广东中山·期末）如图，把绕点顺时针旋转，得到，交边于点．若，则（    ） A． B． C． D． 12．（25-26九年级上·福建南平·期末）如图，将绕着点C逆时针旋转得到，使得点B的对应点E落在边上，若，则线段的长为_______． 13．（25-26九年级上·全国·期末）如图，中，，将绕点A逆时针旋转得到，与交于点D，与交于点，与交于点，当、、重合时停止旋转． (1)证明：在旋转过程中； (2)如图1，当平分时，证明：； (3)如图2，若，，在旋转过程中，当是等腰三角形时，求该等腰三角形底边的长度． 14．（24-25九年级上·四川泸州·期末）如图，和都是等腰直角三角形，，，若绕某个点顺时针旋转后与重合． (1)旋转中心是______； (2)旋转的度数是______； (3)若，则______． 15．（24-25七年级下·江苏泰州·期中）已知直角三角板中，．将三角板绕着点旋转得到，旋转角记为． (1)当旋转方向为逆时针方向，且时（如图），求和的大小． (2)当旋转方向为逆时针方向，且时，在图中，画出旋转得到的． (3)当时， ①若，求的度数． ②如图，当旋转方向为逆时针方向时，点为上一点．．在旋转过程中，若与始终满足为定值，求常数的值． 题型四：射线或线段的旋转问题 16．（25-26六年级上·山东济南·期末）如图1，点是直线上一点．将射线绕点顺时针旋转，转速为每秒，得到射线；同时，将射线绕点逆时针旋转，转速为转速的倍，得到射线，设旋转时间为秒（）． (1)如图1，当秒时，求的度数； (2)如图2，当是的角平分线时，求的值； (3)是否存在的值，使得∠？如果存在，请求出的值；如果不存在，请说明理由． 17．（25-26七年级上·江苏扬州·期末）定义：从一个角的顶点出发，在该角的内部引两条射线，若该角是这两条射线所成角的倍（为正整数），则这两条射线叫做该角的“倍分线”． (1)如图1，，射线是的“2倍分线”，且，则____________°； (2)如图2，，射线重合，绕点顺时针旋转，旋转的角度为． ①若，是的“4倍分线”，求的度数； ②若，在绕点顺时针旋转一周的过程中，射线中，存在两条射线是另两条射线所成的角的“3倍分线”，则满足条件的旋转的角度的度数为___________°． 18．（25-26七年级上·广东广州·期末）已知是的角平分线． (1)如图1，若，则______； (2)如图2，若是的角平分线，求的值； (3)在（1）的条件下，若射线从出发绕点以每秒的速度逆时针旋转，射线从出发绕点以每秒的速度顺时针旋转，若同时开始旋转秒后得到，直接写出所有满足条件的的值． 19．（25-26七年级上·陕西西安·期末）【阅读理解】射线是内部的一条射线，若，则我们称射线是射线的伴随线．例如，如图①，，，则，称射线是射线的伴随线；同时，由于，称射线是射线的伴随线． 【知识运用】 (1)如图②，，若射线是射线的伴随线，则______，若的度数是，射线是射线的伴随线，射线是的平分线，则的度数是____；（用含的代数式表示） (2)如图③，，射线与射线重合，并绕点O以每秒的速度逆时针旋转，射线与射线重合，并绕点O以每秒的速度顺时针旋转，当射线与射线重合时，运动停止． ①是否存在某个时刻t（秒），使得的度数是，若存在，求出t的值，若不存在，请说明理由； ②当t为多少秒时，射线，，中恰好有一条射线是其余两条射线中的任意一条射线的伴随线． 20．（25-26七年级上·四川成都·期末）已知，射线平分，射线平分． (1)如图1，若，，则___________度：___________度． (2)与的位置关系如图2所示，用含与的式子表示． (3)如图3，若（其中），射线在直线的右侧按顺时针方向分布，从开始运动．将绕点以每秒的速度顺时针旋转，运动时间为，其中． （i）当与重合时，用与的代数式表示． （ii）猜想三个角之间的关系，并证明． 题型五：三角板的旋转问题 21．（25-26七年级上·福建龙岩·期末）数学活动小组在做角的拓展练习时，利用一副含有角的直角三角板和含有角的直角三角板尝试完成探究． (1)如图1，边，与直线重合，，，则的度数为___________； (2)如图2，在（1）的基础上，保持三角板不动，将三角板绕点逆时针旋转一个角度． ①当为直角时，求的度数； ②在转动过程中两块三角板都在直线的上方，当平分由其中任意两边组成的角时，请求出旋转角的度数． 22．（25-26七年级上·河北衡水·期末）操作探究如图1，点O为直线上一点，过点O作射线，使．将一直角三角板的直角顶点放在点O处，一边在射线上，另一边在直线的下方． (1)将图1中的三角板绕点O逆时针转至图2的位置，使在的内部，且恰好平分．问直线是否平分? 请说明理由； (2)将图1中的三角板绕点O顺时针旋转至图3的位置，使在的内部，请探究：与 之间的数量关系，并说明理由； (3)将图1中的三角板绕点O按每秒 的速度逆时针方向旋转一周，在旋转过程中，第t秒时，直线恰好三等分锐角 则t的值为 ． 23．（25-26七年级上·上海普陀·期末）已知一副三角板按如图的方式拼接在一起，边、与直线重合，其中，． (1)求图1中的度数． (2)如图2，三角板固定不动，将三角板绕点按顺时针方向旋转一个角度，其中． ①当三角板的一边平分时，求旋转角的度数． ②是否存在？若存在，请直接写出的度数；若不存在，请说明理由． 24．（25-26七年级上·云南昆明·期末）数学是研究数量关系和空间形式的科学．某节数学活动课上，同学们用一副三角尺开展如下探究活动． 【动手实践】 （1）如图1，三角尺和三角尺的边，重合，求的度数； 【深入探究】 如图2，三角尺从图1的位置出发，绕点O顺时针以每秒2度的速度旋转，三角尺的位置不变，设运动时间为t秒． （2）当平分时，求t的值； （3）若与满足：其中一个角的度数是另一个角的度数的2倍，求t的值． 25．（25-26七年级上·四川达州·期末）某校七（1）班数学活动小组在做角的拓展练习时，利用直角三角板和直角三角板按如图1摆放，边，与直线重合，，，保持三角板不动，将直角三角板绕着点O按每秒的速度顺时针旋转，当转到射线上时停止运动，设旋转时间为t秒，尝试完成探究． (1)在图1中，的度数为______； (2)在直角三角板从开始到与相交这一运动过程中，请判断的值是否为定值，如果是，求出这个值，如果不是，说明理由； (3)①如图2，当秒时，求的度数； ②如图3，在转动过程中，当t为何值时？平分由，，其中任意两边组成的角． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $