专题01 利用轴对称的性质解决将军饮马问题的五种模型（高效培优专项训练）数学新教材北师大版七年级下册

**基本信息** 以轴对称性质为核心，系统构建将军饮马问题五种模型，通过分层题型实现从基础到综合应用的逻辑递进，培养几何直观与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |直线中线段和最小值|4题|作对称点转化线段和，利用两点之间线段最短|从基础对称作图到网格情境应用，构建模型认知| |三角形中线段和最小值|4题|结合垂直平分线、角平分线性质，转化动点路径|关联三角形性质，深化对称思想在封闭图形中的应用| |角中线段和最小值|4题|双对称点转化折线为直线，利用垂线段最短|拓展至角的两边动点问题，强化空间观念| |全等三角形中线段和最小值|2题|折叠全等转化对应点，迁移对称模型|综合全等性质与动态路径，提升方法迁移能力| |实际应用问题|2题|数学建模解决最短路径，联系生活情境|从数学问题到实际应用，发展应用意识与模型观念|

面学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题01利用轴对称的性质解决将军饮马问题的五种模型 题型归纳 目录 题型一：在一直线中找线段和最小值的点… .1 题型二：在三角形中找线段和最小值问题.5 题型三：在某一角中线段和最小值的问题…。 8 题型四：在全等三角形中线段和最小值的问题…12 题型五：实际应用问题中的最短路径问题16 题型专练 题型一：在一直线中找线段和最小值的点 1.(24-25八年级上福建厦门期中)如图，在4×4的正方形网格中，有A,B两点，在直线a上求一点 P,使PA+PB取最小值，则点P的位置应选在() B E D C A.C点 B.D点 C.E点 D.F点 2.(2425七年级下广东清远·期末)“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，这是唐代诗人李颀《古从 军行》里的一句诗，由此却引申出一系列非常有趣的数学问题，通常称为“将军饮马”问题. A· A· •B ·B 图1 图2 (I)如图1，若点A和点B分别在直线I的两侧，请作出示意图，在直线I上找到点C,使得CA+CB有最小 值，并说明作图依据：-： (2)如图2，若点A和点B在直线1的同侧，请在直线I上作出点P,使得PA+PB有最小值，并说明理由. 116 可学科网·上好课 www .zxxk.com 上好每一堂课 3.(2025浙江台州三模)如图，在正方形网格中，点A为格点（网格线的交点），点B在网格线上，仅 使用无刻度的直尺作图，保留作图痕迹. B m m 图1 图2 (I)如图1，在直线m上找到一点P,使得AP+BP的值最小： (2)如图2，部分网格被墨汁污染，在仅剩的网格中，标出格点Q,使线段BQ的长度等于(1)中的最小值 4. (25-26七年级上山东烟台期中)如图，每一个小正方形的边长为1 D E (I)画出格点△ABC关于直线DE的对称的△A'B'C': (②)在DE上画出点P,使PA+PC最小.求出(PA+PC)的最小值： 3)在DE上画出点Q,使2A-QB最大： (4)求点B到AC所在直线的距离. 题型二：在三角形中找线段和最小值问题 5.(25-26七年级上江苏苏州阶段检测)如图，AC=3,BC=4,AB=5,点D是平面内一点，且满足 AD=2CD,则2BD+AD的最小值是() B D A.6 B.7 C.8 D.9 6.(25-26八年级上广西崇左期末)如图，在△ABC中，BD平分∠ABC交AC于点D,点M,N分别 216 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 是线段BD、BC上的动点，AB>BD且S△MBC=10,AB=5,则CM+MN的最小值为 7.(25-26七年级下·全国·课后作业)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3,BC=4,AB=5,AD 是∠BAC的平分线，若P卫分别是AD和AC上的动点，则PC+P的最小值为一· B 8.(24-25八年级上山西吕梁期末)如图，直线m是△ABC中BC边的垂直平分线，点P是直线m上的 一动点，若AB=6,AC=4,BC=7. (I)求PA+PB的最小值，并说明理由. (2)求△APC周长的最小值. 题型三：在某一角中线段和最小值的问题 9.如图，已知∠AOB=15°，点M在边OB上，且OM=4,点N和点P分别是OM和OA上的一个动点，则 PM+PN的最小值为() A P M B A.1 B.2 C.3 D.4 10.如图，点C,D分别是角∠A0B两边OA、OB上的定点，∠A0OB=20°，OC=OD=4,点E,F分别 316 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 是边OB,OA上的动点，则CE+EF+FD的最小值是 11.点C为∠AOB内一点. ·C B (1)在OA上求作点D,OB上求作点E,使△CDE的周长最小，请画出图形： (2)在(1)的条件下，若∠A0B=30°，OC=10,求△CDE周长的最小值. 12.(25-26八年级上辽宁大连期中)综合与实践：如图1，数学活动课上，李老师带领学生在探究“将 军饮马问题”时抽象出数学模型：直线I同侧有两个定点A,B,在直线I上存在点C,使得CA+CB的值最 小 小明的作法是：如图2，作点B关于直线I的对称点B,连接AB',则AB'与直线I的交点即为点C,且 CA+CB的最小值为AB的长。 B 图1 图2 图3 图4 图5 如图3，为了证明点C的位置即为所求，小明经探究发现，在直线上另外取点C,连接AC',BC,BC」 证明AC+BC<AC'+BC'即可. (1)请完成图3中小明的证明； (②)如图4，在△ABC中，直线m是边BC的垂直平分线，点P是直线L上的动点.若AB=6,AC=5, BC=8,则△APC周长的最小值为 (3)如图5，己知∠MON=35°，P为∠MON内一定点，OM上有一点A,ON上有一点B,当△PAB的周长 取最小值时，∠APB的大小为 度 题型四：在全等三角形中线段和最小值的问题 13.直观感知和操作确认是几何学习中发现结论的重要方式，解决下列问题. 416 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 y B B D 图1 图2 图3 (1)问题情境：如图1，三个相同的三角尺拼成一个图形，直接写出图中的平行线： (2)问题理解：如图2，在三个相同的直角三角形拼成的一个图形中，若点M是线段BC的三等分点（其中 CBM),点P是线段AC上的一个动点，画出BP+PM取得最小值时点P的位置，并说明理由： (3)问题运用：如图3，在三个相同的直角三角形拼成的一个图形中，点M是直线BD上的一个动点，点P 是线段CE上的一个动点.若AC=a、CE=b、AE=c(其中a、b、c为常数)，求DP+PM的最小值， 14.如图，己知△ABC≌△CDA,将△ABC沿AC所在的直线折叠至△ABC的位置，点B的对应点为B',连 结BB (备用图1) (备用图2) (1)直接填空：BB与AC的位置关系是 (2)点P、9分别是线段AC、BC上的两个动点（不与点A、B、C重合），已知△BB'C的面积为36， BC=8,求PB+PO的最小值： (3)试探索：△ABC的内角满足什么条件时，△AB'E是直角三角形？ 题型五：实际应用问题中的最短路径问题 15.(25-26八年级上·山西忻州期中)综合与实践 问题情境 如图1，在太空探索中，宇航员需要从空间站A出发，先到陨石带边缘收集样本，再到能源站补充燃料， 最后返回空间站B,为了提高效率，宇航员需要设计一条最短路径. 问题解决 数学建模：如图2，若只需在能源站补充燃料，可作B关于能源站直线I的对称点B,连接AB',与直线I 的交点即为最优燃料点C,此时路径AC+CB最短， 推理论证：如图3，在直线I上另取任意一点C,连接AC',BC,B'C',只要说明AC+CB<AC'+CB 即可. 证明：“直线I是点B,B的对称轴，点C,C在I上，CB=,C"B'=,“AC+CB=AC+CB=_ 516 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :在△ACB'中，AB<AC'+CB,_<AC'+C"B,即AC+CB最小. 陨石带 图1 图2 图4 (1)本问题实际上是利用转化的思想，把在直线同侧的A,B转化为在直线的两侧，从而利用“两点之间线 段最短”及“三角形两边之和大于第三边”加以解决.请补全上述推理论证； (2)请你根据以上材料内容，帮助宇航员在图1中画出最短路径： 3)如图4，在△ABC中，AB=AC,AD LBC.若点P在AD上移动，点Q在AC上移动，如何确定 PC+P2的最小值？ 16.(1)唐朝诗人李顾的诗《古从军行》开头两句：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，诗中隐含着一 个有趣的数学问题：如图1所示，诗中大意是将军从山脚下的A点出发，带着马走到河边P点饮水后，再 回到B点宿营，请问将军怎样走才能使总路程最短？请你通过画图，在图中找出P点，使PA+PB的值最 小，不说明理由： A。 •B →河边 图1 (2)实践应用1，如图2，点P为∠MON内一点，请在射线OM、ON上分别找到两点A、B,使△PAB的 周长最小，不说明理由； M N 图2 (3)实践应用2：如图3，在△ABC中，AC=6,BC=8,AB=10,∠ACB=90°，AD平分∠BAC,M、 N分别是AD、AC边上的动点，求CM+MN的最小值. 图3 616 专题01 利用轴对称的性质解决将军饮马问题的五种模型 目录 题型一：在一直线中找线段和最小值的点 1 题型二：在三角形中找线段和最小值问题 5 题型三：在某一角中线段和最小值的问题 8 题型四：在全等三角形中线段和最小值的问题 12 题型五：实际应用问题中的最短路径问题 16 题型一：在一直线中找线段和最小值的点 1．（24-25八年级上·福建厦门·期中）如图，在的正方形网格中，有，两点，在直线上求一点，使取最小值，则点的位置应选在（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】A 【分析】本题考查了轴对称的最短路径问题，掌握轴对称的性质并正确作图是解题的关键．根据轴对称的性质作图即可求解． 【详解】解：如图，作点B关于直线a的对称点N，连接，则交直线a于点C， 由对称性可得，， ， 当三点共线时，最短， 点P的位置应选在点C处． 故选：A． 2．（24-25七年级下·广东清远·期末） “白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，这是唐代诗人李颀《古从军行》里的一句诗，由此却引申出一系列非常有趣的数学问题，通常称为“将军饮马”问题． (1)如图1，若点A和点B分别在直线l的两侧，请作出示意图，在直线l上找到点C，使得有最小值，并说明作图依据： ； (2)如图2，若点A和点B在直线l的同侧，请在直线l上作出点P，使得有最小值，并说明理由． 【答案】(1)两点之间线段最短 (2)见解析 【分析】本题考查作图﹣应用与设计作图，轴对称﹣最短问题. （1）根据两点之间线段最短解决问题； （2）利用轴对称解决最短问题，作点A关于直线l的对称点，连接交直线l于点P，连接，点P即为所求． 【详解】（1）解：如图1中，点C即为所求，依据是两点之间线段最短． 故答案为：两点之间线段最短； （2）如图2中，点P即为所求． 理由：在直线l上任意取一点，连接， ． ∵A，关于直线l对称， ∴，， ∵， ∴点P即为所求的点P． 3．（2025·浙江台州·三模）如图，在正方形网格中，点为格点（网格线的交点），点在网格线上，仅使用无刻度的直尺作图，保留作图痕迹． (1)如图，在直线上找到一点，使得的值最小； (2)如图，部分网格被墨汁污染，在仅剩的网格中，标出格点，使线段的长度等于（）中的最小值． 【答案】(1)作图见解析 (2)作图见解析 【分析】（）作点关于直线的对称点，连接交直线于点，连接，由轴对称可得，即得，由两点之间线段最短，可知此时的值最小，故点即为所求； （）取点，作点关于直线的对称点，连接，由轴对称可知，故线段即为所求； 本题考查了轴对称最短线段问题，作轴对称图形，掌握轴对称的性质是解题的关键． 【详解】（1）解：如图所示，点即为所求； （2）解：如图所示，线段即为所求． 4．（25-26七年级上·山东烟台·期中）如图，每一个小正方形的边长为1． (1)画出格点关于直线的对称的； (2)在上画出点，使最小．求出的最小值； (3)在上画出点，使最大； (4)求点到所在直线的距离． 【答案】(1)作图见详解 (2)作图见详解，最小值为 (3)作图见详解 (4)点到的距离为 【分析】本题考查对称作图、勾股定理、网格中求三角形面积及等面积法求三角形的高等知识，数形结合是解决问题的关键． （1）分别作出三个顶点关于直线的对称点，连接三个顶点即可得到； （2）连接交直线于点，使最小，此时的最小值就是线段，在网格中由勾股定理求解即可得到答案； （3）延长交直线于点，使最大； （4）由等面积法，根据，代值求解即可得到答案． 【详解】（1）解：如图所示： 即为所求； （2）解：如图所示： 点即为所求， 则最小值； （3）解：如图所示： 点即为所求； （4）解：过点作于点，如图所示： ∵， ∴， 解得， ∴点到的距离为． 题型二：在三角形中找线段和最小值问题 5．（25-26七年级上·江苏苏州·阶段检测）如图，，，，点D是平面内一点，且满足，则的最小值是（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】C 【分析】本题考查了线段之和最小值问题，将转化为求的最小值，当、、在同一直线上时，有最小值，最小值为，由此即可得出答案，解题的关键是学会灵活运用两点之间线段最短解决最小值问题． 【详解】解：， ， 当、、在同一直线上时，有最小值，最小值为， 的最小值为， 故答案为：． 6．（25-26八年级上·广西崇左·期末）如图，在中，平分交于点，点，分别是线段、上的动点，＞且，＝，则的最小值为 ______． 【答案】4 【分析】本题考查轴对称最短问题，垂线段最短，三角形的面积，作点关于的对称点，连接，过点作于点．证明，再根据，求出，可得结论．解题的关键是掌握利用轴对称解决最短问题． 【详解】解：作点关于的对称点，连接，过点作于点． 平分， 点关于的对称点在上， ， ， ，， ， ， ， 的最小值为4． 故答案为：4． 7．（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，在中，是的平分线，若分别是和上的动点，则的最小值为_____． 【答案】 【分析】按照动点最值问题的做法，作点关于的对称点，由对称性得，结合三角形三边关系及点到直线距离垂线段最短得出，由等面积法求出即可． 【详解】解：作点关于的对称点，连接，过点作于点，如图所示： 是的角平分线，与关于对称， ∴点在上，则， ，， ， ， 即的最小值为． 8．（24-25八年级上·山西吕梁·期末）如图，直线是中BC边的垂直平分线，点P是直线m上的一动点，若，，． (1)求的最小值，并说明理由． (2)求周长的最小值． 【答案】(1)6，理由见解析 (2)10 【分析】（1）根据线段的性质即可得到结论； （2）根据题意知点C关于直线m的对称点为点B，故当点P与点D重合时，AP+CP值的最小，求出AB长度即可得到结论． 【详解】（1）解：当A,B,P三点共线时，PA+PB最小 ； 原因：两点之间，线段最短． （2）∵直线m是BC的垂直平分线，点P在m上， ∴点C关于直线m的对称点是点B， 则， ∵， ∵， 要使周长最小， 即最小， 当点P是直线m与AB的交点时，最小， 即，此时． 题型三：在某一角中线段和最小值的问题 9.如图，已知，点M在边上，且，点N和点P分别是和上的一个动点，则的最小值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查轴对称的性质，垂线段最短及直角三角形角所对直角边等于斜边一半，作M关于的对称点，过作交于一点即为最小距离和点P，结合直角三角形角所对直角边等于斜边一半求解即可得到答案． 【详解】解：作M关于的对称点，过作交于一点P，如图所示， ∵是M关于的对称点，，， ∴，，， ∵， ∴，， ∴． ∴， 故选：B． 10.如图，点，分别是角两边、上的定点，，．点，分别是边，上的动点，则的最小值是 ．    【答案】4 【分析】如图所示，作点D关于的对称点H，作点C关于的对称点G，连接，由轴对称的性质可得，，证明是等边三角形，；推出当H、F、E、G四点共线时，最小，即最小，最小为的长，由此即可得到答案． 【详解】解：如图所示，作点D关于的对称点H，作点C关于的对称点G，连接， 由轴对称的性质可得，， ∴， ∴是等边三角形， ∴； ∵， ∴当H、F、E、G四点共线时，最小，即最小，最小为的长， ∴的最小值为4， 故答案为：4．        11.点为内一点．    (1)在上求作点上求作点，使的周长最小，请画出图形； (2)在（1）的条件下，若，，求周长的最小值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了轴对称作图和轴对称的性质、两点之间线段最短、等边三角形的性质等知识，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键． （1）根据两点之间线段最短和轴对称的性质可确定动点的位置，从而可得所求图形； （2）由轴对称的性质得对应线段和对应角相等，从而得出等边三角形并根据等边三角形的性质，结合条件即可求解． 【详解】（1）解：如图即为所作三角形    分别过点作、的对称点，连接分别交、于点、，连接、，则即为所求； （2）如图，由（1）知， ， ， ， 是等边三角形 周长的最小值为．    12．（25-26八年级上·辽宁大连·期中）综合与实践：如图1，数学活动课上，李老师带领学生在探究“将军饮马问题”时抽象出数学模型：直线l同侧有两个定点A，B，在直线l上存在点C，使得的值最小． 小明的作法是：如图2，作点B关于直线l的对称点，连接，则与直线l的交点即为点C，且的最小值为的长． 如图3，为了证明点C的位置即为所求，小明经探究发现，在直线上另外取点，连接，，，证明即可． (1)请完成图3中小明的证明； (2)如图4，在中，直线m是边的垂直平分线，点P是直线m上的动点．若，，，则周长的最小值为________； (3)如图5，已知，P为内一定点，上有一点A，上有一点B，当的周长取最小值时，的大小为________度． 【答案】(1)证明见解析 (2)11 (3)110 【分析】（1）由轴对称的性质可知，，，则，，可得，进而结论得证； （2）连接，则B是C关于m的对称点，当B、P、A三点共线时，即当P是与的交点时，的周长最小； （3）分别作关于、的对称点、，连接、，当、、四点共线时，的周长取最小值，根据轴对称的性质解题即可． 本题考查“将军饮马”问题的探究、轴对称性的应用． 【详解】（1）证明：由轴对称的性质可知，，， ∴，， ∴，， ∴当三点共线时，值最小， ∴点的位置即为所求； （2）解：如图，连接， ∵m是边的垂直平分线， ∴， ∴的周长为， 当且仅当B、P、A三点共线时，等号成立， 即当P是与的交点时，的周长最小，最小为11， 故答案为：11； （3）解：如图，分别作关于、的对称点、，连接、，当、、四点共线时，的周长取最小值， 根据对称性可知，， ∴， ， ， ， ， 故答案为：110． 题型四：在全等三角形中线段和最小值的问题 13.直观感知和操作确认是几何学习中发现结论的重要方式，解决下列问题． (1)问题情境：如图1，三个相同的三角尺拼成一个图形，直接写出图中的平行线； (2)问题理解：如图2，在三个相同的直角三角形拼成的一个图形中，若点M是线段BC的三等分点（其中CM>BM），点P是线段AC上的一个动点，画出BP＋PM取得最小值时点P的位置，并说明理由； (3)问题运用：如图3，在三个相同的直角三角形拼成的一个图形中，点M是直线BD上的一个动点，点P是线段CE上的一个动点．若AC＝a、CE＝b、AE＝c（其中a、b、c为常数），求DP＋PM的最小值． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）根据平行线的判定定理解答即可； （2）延长BA至点Q，使AQ=BA，连接MQ交AC于一点即为点P； （3）延长DE至点N，使EN=DE，连接AN，证得△NDB是直角三角形，且△NAE是可以由△ECD平移得到，连接DP，NP，PM，过N作NH⊥DB于H，求出DP=NP，得到DP+PM=NP+PM，当N、P、M三点共线，且NM⊥DB时DP+PM有最小值，最小值为NH的长度，利用S△BDN=×DN×BN=×BD×NH求出NH即可． 【详解】（1）解：∵∠DEC=∠ACE， ∴DE∥AC， ∵∠DCE=∠B， ∴CD∥AB， ∵∠EAC=∠ACB， ∴AE∥CB； （2）如图，延长BA至点Q，使AQ=BA，连接MQ交AC于一点即为点P， ∵AB=AQ，AC⊥BQ， ∴AC是BQ的垂直平分线， ∴BP=PQ， ∴BM+PM=PQ+PM=MQ； 即此时BP＋PM取得最小值； （3）如图，延长DE至点N，使EN=DE，连接AN， ∵AE∥DB， ∴∠NEA=∠NDC，∠NAE=∠B， ∴∠ENA=90°， ∴△NDB是直角三角形，且△NAE是可以由△ECD平移得到， ∴AN=CE， 连接DP，NP，PM，过N作NH⊥DB于H， ∵DE=NE，CE⊥DN， ∴DP=NP， ∴DP+PM=NP+PM， 当N、P、M三点共线，且NM⊥DB时DP+PM有最小值，最小值为NH的长度， ∵S△BDN=×DN×BN=×BD×NH， ∴2c×NH=2a×2b， 解得NH=， ∴DP+PM的最小值为． 14.如图，已知≌，将沿所在的直线折叠至的位置，点B的对应点为，连结．      (1)直接填空：与的位置关系是__________； (2)点P、Q分别是线段、上的两个动点（不与点A、B、C重合），已知的面积为36，，求的最小值； (3)试探索：的内角满足什么条件时，是直角三角形？ 【答案】(1) (2)9 (3)当时，；当时， 【分析】（1）根据轴对称的性质即可判断； （2）根据对称的性质，在上取点，使得，结合对称性质推出，确定三点共线且垂直于时，取得最小值，结合面积进行计算即可； （3）分和两种情况，根据翻折变换的性质和平行线的性质解答． 【详解】（1）解：∵沿所在的直线折叠至的位置，点B的对应点为， ∴， 故答案为：； （2）解：如图所示，在上取点，使得，连接， 根据对称的性质，，    ∴， 要求的最小值，求的最小值即可， ∴当B、P、M三点共线，且时，取得最小值， 此时，如图所示，    由对称的性质，， ∵取得最小值时，， ∴， 即：，解得：， ∴的最小值为9； （3）解：①当时，； ∵由翻折变换的性质可知，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； ②由翻折的性质，当时，． 题型五：实际应用问题中的最短路径问题 15．（25-26八年级上·山西忻州·期中）综合与实践 问题情境 如图1，在太空探索中，宇航员需要从空间站A出发，先到陨石带边缘收集样本，再到能源站补充燃料，最后返回空间站B．为了提高效率，宇航员需要设计一条最短路径． 问题解决 数学建模：如图2，若只需在能源站补充燃料，可作B关于能源站直线l的对称点，连接，与直线的交点即为最优燃料点，此时路径最短． 推理论证：如图3，在直线上另取任意一点，连接，，，只要说明即可． 证明：直线是点，的对称轴，点，在上， ， ， ． 在中，， ，即最小． (1)本问题实际上是利用转化的思想，把在直线同侧的A，B转化为在直线的两侧，从而利用“两点之间线段最短”及“三角形两边之和大于第三边”加以解决．请补全上述推理论证； (2)请你根据以上材料内容，帮助宇航员在图1中画出最短路径； (3)如图4，在中，，．若点在上移动，点在上移动，如何确定的最小值？ 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查了轴对称的性质以及三角形三边关系．通过作对称点，将同侧点转化为异侧，利用两点之间线段最短和三角形三边关系是解题的关键． （1）利用轴对称性质，得到对称点到对称轴上点的距离相等，将转化为，再结合三角形三边关系，证明该线段长度为最小值； （2）通过作两点关于两直线的对称点，将折线转化为连接两对对称点的线段，利用“两点之间线段最短”确定最短路径即可； （3）过点作的垂线，垂足为点，交于点，此时的最小值为的长． 【详解】（1）证明：直线是点，的对称轴，点，在上， ，， ． 在中，， ，即最小． 故答案为：，，，； （2）解：如图，即为最短路径； （3）解：过点作的垂线，垂足为点，交于点，此时的最小值为的长． 16.（1）唐朝诗人李顾的诗古从军行开头两句：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，诗中隐含着一个有趣的数学问题：如图所示，诗中大意是将军从山脚下的点出发，带着马走到河边点饮水后，再回到点宿营，请问将军怎样走才能使总路程最短？请你通过画图，在图中找出点，使的值最小，不说明理由； （2）实践应用，如图，点为内一点，请在射线、上分别找到两点、，使的周长最小，不说明理由； （3）实践应用：如图，在中，，，，，平分，、分别是、边上的动点，求的最小值． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）的最小值为 【分析】（1）作点关于直线小河的对称点，连接，交于，则最小； （2）分别作点关于，的对称点和，连接交于，于，连接，，，则的周长最小； （3）过点C作，交于，于，连接ME，则最小，证明≌，可得，，可证得△COM≌△EOM，从而得到当点N，M，E共线时，CM+MN最小，最小值为EN，且当EN⊥AC时，NE最小，再根据，可得，即可求解． 【详解】解：（1）如图，作点关于直线小河的对称点，连接，交于，则最小； 理由：根据作法得：， ∴， ∴当点共线时，最小； （2）如图，分别作点关于，的对称点和，连接交于，于，连接，，，则的周长最小； 理由：根据作法得：，， ∴， ∴当点共线时，的周长最小； （3）如图，过点C作，交于，于，连接ME，则最小， ， 平分， ， 在和中， ， ≌， ，， ∵，OM=OM， ∴△COM≌△EOM， ， ， ∴当点N，M，E共线时，CM+MN最小，最小值为EN，且当EN⊥AC时，NE最小， 过点C作CF⊥AB于点F， ∵，，，， ∴， 解得：， ∵， ， ∴的最小值为． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $