8.1平方根 8.2立方根 同步练习 2025-2026学年人教版七年级数学下册

**基本信息** 本同步练习围绕平方根与立方根，采用基础-能力-思维三级分层设计，通过教材变式巩固概念，迁移运用培养综合能力，拓展创新发展探究思维，适配新授课知识内化与能力进阶需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础测·教材变式|平方根、立方根的概念辨析、基本运算及简单应用|选择题考查概念辨析（如负数无平方根），填空题结合教材例题变式（如魔方棱长计算），解答题强化基本运算，培养运算能力与抽象能力| |能力测·迁移运用|平方根与立方根的综合应用、实际问题解决及符号推理|结合正方体表面积体积计算（如礼盒体积比较），数轴与绝对值综合题，解答题融入方程思想，发展模型意识与推理意识| |思维测·拓展创新|立方根估算方法、规律探究及跨知识点综合|通过立方根估算步骤迁移（如求-117649的立方根），定义“完美组合数”新情境，培养创新意识与数学眼光|

8.1平方根 8.2立方根 基础测·教材变式 一、选择题(每小题3分，共15分) 1. 的平方根是 ( ) A. B. C. D. 2.下列各数中，没有平方根的是 ( ) A.-3 B.0 C.48 D. 3.下列各式正确的是 ( ) A. B. C. D. 4.下列说法正确的是 ( ) A.0没有立方根 B.1的算术平方根是±1 C.4的平方根是2 D.-3是9的一个平方根 5.若 则a+b的值为 ( ) A.12 B.4 C.12或-4 D.12或4 二、填空题(每小题3分，共12分) 6. 所有比大且比小的整数的和为 . 7.如图，二阶魔方为2×2×2的正方体结构，本身只有8个小正方体，没有其他结构.已知一个二阶魔方的体积约为512 cm³(小正方体之间的缝隙忽略不计)，则每个小正方体的棱长为 cm. 8.已知一个正数的两个平方根分别是2m+1和m-7，则这个正数是 . 9.如下表，被开方数x的小数点位置的移动和它的算术平方根 的小数点位置的移动符合一定规律.若 则x的值为 . x … 0.000 1 0.01 1 100 10 000 0.01 0.1 1 10 100 三、解答题(共25分) 10.(8分)计算下列各式. 11.(8分)求下列各式中x 的值. 12.(9分)小明制作了一张面积为 的正方形贺卡.现有一个长方形信封如图所示，长方形信封的长、宽之比为3：2，面积为 (1)求长方形信封的长和宽. (2)小明不折叠该正方形贺卡，能将贺卡放入此信封吗?请通过计算说明理由. □□□□□□ □□□□□□ 能力测·迁移运用 一、选择题(每小题3分，共9分) 13.已知 则a+b= ( ) A.-8 B.-6 C.6 D.8 14.小美和小丽分别制作了一个正方体礼盒，已知小美制作的正方体礼盒的表面积为 而小丽制作的正方体礼盒的体积比小美制作的正方体礼盒的体积大 则小丽制作的正方体礼盒的表面积为 ( ) A. B. C. D. 15.实数a，b在数轴上的位置如图所示，那么化简 的结果为 ( ) A.-2a B.2b-2a C.0 D.2b 二、填空题(每小题3分，共6分) 16. 已知 则x的值为 . 17.已知|a|=5,b是49的平方根,且则a-b的值为 . 三、解答题(共33分) 18.(10分)已知某正数x的两个平方根分别是m+1与2m-13,且2n-1的算术平方根是5. (1)求x,m,n的值; (2)求x+3n的立方根. 19.(11分)我们知道，负数没有算术平方根，但对于三个互不相等的负整数，若两两乘积的算术平方根都是整数，则称这三个数是“完美组合数”.例如，-9,-4,-1这三个数， 因为6，3，2都是整数，所以称-1,-4,-9这三个数是“完美组合数”. (1)-18,-8,-2这三个数是“完美组合数”吗?请说明理由. (2)若三个数-3,m,-12是“完美组合数”，其中有两个数乘积的算术平方根是12，求m的值. 思维测·拓展创新 20.(12分)小明在学完立方根后研究了问题“如何求出-50 653的立方根?”他进行了如下操作： ①首先进行了估算.因为 所以 是两位数. ②其次观察了立方数1³=1,2³=8,3³=27,4³=64,5³=125,6³=216,7⁸=343,8⁸=512,9³=729.猜想 的个位数字是7. ③将50 653的小数点往前移动3位后得到的数约为50.因为 所以 的十位数字应为 3.猜想 经验证,50 653的立方根是37. ④最后再依据“负数的立方根是负数”得到 同时发现结论：若两个数互为相反数，则这两个数的立方根也互为相反数；反之也成立. 请你根据小明的方法和结论，完成下列问题： (2)若 则 (3)已知 且 与 互为相反数，求x，y的值. 的平方根是士 2. A∵负数没有平方根，∴-3没有平方根. 原式计算正确，故该选项符合题意； 原式计算错误，故该选项不符合题意； 原式计算错误，故该选项不符合题意； ，原式计算错误，故该选项不符合题意. 4. D A.0的立方根是0，原说法错误，故此选项不符合题意； B.1的算术平方根是1，原说法错误，故此选项不符合题意； C.4的平方根是±2，原说法错误，故此选项不符合题意；D.-3 是 9的一个平方根，原说法正确，故此选项符合题意. ∴a+b=4+8或a+b=-4+8, 即a+b=12或a+b=4. 6.9 比 大且比 小的整数有2,3,4,∴2+3+4=9. 7.4 根据题意可得,每个小正方体的体积为512÷8=64(cm²).根据立方根的定义可得，每个小正方体的棱长为 4(cm). 8.25 ∵一个正数的两个平方根分别是2m+1和m-7， ∴2m+1+m-7=0,解得m=2, ∴这个正数的平方根是±5，∴这个正数是25. 9.0.044 1 由题表可知，被开方数x的小数点向左(右)移动2n(n为正整数)位，则它的算术平方根 的小数点向左(右)移动n位. ∵210的小数点向左移动3位，可以得到0.21，且0. ∴44 100的小数点向左移动6位，可以得到x， ∴x 的值为0.044 1. 10.解: 2分 4分 6分 8分 易错警示 (1)求带分数的平方根时，需先将带分数转化为假分数； 11.解:( ∴x=4或x=-4. 4分 ∴x=-5. 8分 12.解:(1)设长方形信封的长为3x cm,宽为 2x cm. 根据题意,得3x·2x=420, 解得 或 (不合题意，舍去)， 答：长方形信封的长为 宽为 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 4分 (2)小明能将贺卡放入此信封.理由如下： 面积为 256 cm² 的正方形贺卡的边长是 即信封的宽大于正方形贺卡的边长， ∴小明不折叠该正方形贺卡，能将贺卡放入此信封.…⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 9分 13. B 由题意可得,a-1=0,7+b=0,解得a=1,b=-7,则a+b=1-7=-6. 14. B设小美制作的正方体礼盒的棱长为a cm. 由题意可得， 解得a=4, ∴小美制作的正方体礼盒的棱长为 4 cm，其体积为 64(cm³), ∴小丽制作的正方体礼盒的体积为则其棱长为 ∴小丽制作的正方体礼盒的表面积为 15. A 由题图可知,a<0<b,且|a|>|b|, ∴a+b<0,-a>0, ∴原式=-(a+b)+(-a)+b =-a-b-a+b =-2a. 16.0或1或 ∴x-1=-1或x-1=0或x-1=1, 解得x=0或x=1或x=2. 17.-2或-12 ∵|a|═5,∴a=±5. ∵b是49的平方根,∴b=±7. ∵|a+b|=a+b,∴a+b>0, ∴a=5,b=7或a=-5,b=7, ∴a-b=5-7=-2或a-b=-5-7=-12. 18.解:(1)由题意可得,m+1+2m-13=0,2n-1=25,解得m=4,n=13, . 5 分 (2)由(1)可知,x+3n=25+3×13=64, 10分 19.解:(1)-18,-8,-2这三个数是“完美组合数”.理由如下： 因为 所以-18，-8，-2这三个数是“完美组合数”⋯4分 (2)因为 所以分两种情况讨论： ①当 时,-3m=144,∴m=-48; ②当 时,-12m=144, ∴m=-12(不符合题意,舍去). 综上,m的值是-48. 11分 20.解:(1)-49 3分 提示：因为 ，所以 是两位数. 因为 所以猜想 的个位数字是 9. 将117 649的小数点往前移动3位后得到的数约为117.因为 所以 的十位数字应为4.猜想 经验证,117 649的立方根是 49. 最 后 再 依 据“负数 的 立 方 根 是 负 数 ”得到 (2)3 6分 提示：因为 所以 和 互为相反数，所以1-2x=-5,所以x=3. (3)因为 即 所以x-2=0或x-2=1或x-2=-1,解得x=2或x=3或x=1. 因为 与 互为相反数，即 所以3y-1+1-2x=0,即3y-2x=0,所以当x=1时， 当x=2时, 当x=3时,y=2. 12分 学科网（北京）股份有限公司 $