精品解析：上海市大同初级中学2025-2026学年九年级第二学期数学单元作业2

25学年第二学期数学单元作业2 （满分150分，100分钟完成） 考生注意： 1．本试卷含三个大题，共25题。答题时，务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本调研卷上答题一律无效． 2．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤． 一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分） [每小题只有一个正确选项，在答题纸相应题号的选项上用2B铅笔正确填涂] 1. 下列计算正确的是（　　） A. B. C. D. 2. 某公司三月份的产值为万元，比二月份减少了，那么二月份的产值（单位：万元）为（　　） A. B. C. D. 3. 某厂对一个班组生产的零件进行调查．该班组在16天中，生产出的次品数情况如下表： 次品数（个） 5 4 3 1 0 天数（天） 1 2 4 7 2 那么该班组在这16天中生产出的次品数的中位数与标准差分别是（　　） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 4. 如果点C是线段AB的中点，那么下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 某蓄水池的横断面示意图如图所示，分深水区和浅水区，如果以固定的流量把水蓄满蓄水池，下面的图像能大致表示水的深度和注水时间之间关系的是（ ） A. B. C. D. 6. 已知四边形中，对角线与相交于点O，，下列判断错误的是（　　） A. 如果，，那么四边形是矩形 B. 如果，，那么四边形是矩形 C. 如果，，那么四边形是菱形 D. 如果，，那么四边形是菱形 二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分） [在答题纸相应题号后的空格内直接填写答案] 7. 当时，________． 8. 不等式组的整数解是___________． 9. 如果关于x的方程有实数根，那么a的取值范围是________． 10. 在实数范围内分解因式，________． 11. 如果实数x满足，那么的值是________． 12. 如果一次函数的图像一定经过第二、三象限，那么常数m的取值范围为________． 13. 从1、2、3、4、5、6、7、8、9中，随机抽取2个数，那么抽到两个数互素的概率是___________． 14. 一斜坡的坡角为，坡长比坡高多6米，那么斜坡的高为___________（用的锐角三角比表示）． 15. 在中，，平分，，，那么的余弦值为___________． 16. 已知和的半径分别为5和1，，与都内切，那么半径的取值范围是___________． 17. 如图，在中，，，是中线，将沿直线翻折后，点落在点，那么的长为___________． 18. 已知的两条中线互相垂直，垂足为，，，那么边的长为___________． 三、解答题：（本大题共7题，满分78分） [将下列各题的解答过程，做在答题纸上] 19. 已知：，求：值． 20. 已知点在双曲线上． （1）求此双曲线的表达式与点的坐标； （2）如果点在此双曲线上，图像经过点、的一次函数的函数值随的增大而增大，求此一次函数的解析式． 21. 如图1，为旗杆，测角仪高为米，利用测角仪在点处可测得旗杆顶的仰角为． （1）如果再用皮尺量得旗杆与测角仪底部的距离为米，求旗杆的高度．（用含字母及的式子表示） （2）如果只有上述测角仪，没有皮尺等其他的测量工具，如何测量与计算旗杆高度？（在图2中，画出测量示意图、标出需测量的数据，并说明测量的方法和计算旗杆高度．） 22. 如图所示，堆放的一堆钢管共110根（下面的部分被遮挡），最上面的一层有5根，每往下一层就增加一根，如果每根钢管的直径是1米．求： （1）这堆钢管共有几层； （2）这堆钢管总高度． 23. 如图，在四边形中，如果，，这样特殊的四边形称为“筝形”． （1）类似于平行四边形、矩形等特殊的四边形的定义，请你给“筝形”下一个定义； （2）根据你给出的定义，在我们所学过的特殊四边形中，有没有“筝形”？如果有，说明四边形的形状；如果没有，请说明理由； （3）类似于平行四边形、矩形等特殊的四边形的性质的探究过程，探究“筝形”性质，给出三条“筝形”的性质，并证明； （4）类似于特殊的四边形判定探究过程，给出除定义之外的一种“筝形”的判定方法，并证明这一判定． 24. 在半径为的中，是直径，弦，垂足为，，点是射线上的任意一点，，与相交于点． （1）如图，当点在延长线上时，线段与之间有怎样的数量关系？ （2）如果以点为圆心、为半径的圆与相切，求线段的长． 25. 已知抛物线的顶点为，新抛物线顶点在上述抛物线上，且经过点（点与点不重合），新抛物线与轴右侧的交点为． （1）求的值； （2）当时，求新抛物线表达式； （3）如果与轴相交于点，，求新抛物线表达式． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 25学年第二学期数学单元作业2 （满分150分，100分钟完成） 考生注意： 1．本试卷含三个大题，共25题。答题时，务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本调研卷上答题一律无效． 2．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤． 一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分） [每小题只有一个正确选项，在答题纸相应题号的选项上用2B铅笔正确填涂] 1. 下列计算正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据合并同类项、同底数幂的乘除法则逐项判断即可． 【详解】解：A．与不是同类项，无法相加合并，故选项A错误； B．与不是同类项，无法相减合并，故选项B错误； C．，故选项C错误； D．，故选项D正确． 2. 某公司三月份的产值为万元，比二月份减少了，那么二月份的产值（单位：万元）为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设二月份的产值为万元，根据三月份产值与二月份产值的数量关系，列出关于x的方程求解即可． 【详解】解：设二月份的产值为万元， ∵三月份产值为万元，比二月份减少了， ∴ ， 解得：． 3. 某厂对一个班组生产的零件进行调查．该班组在16天中，生产出的次品数情况如下表： 次品数（个） 5 4 3 1 0 天数（天） 1 2 4 7 2 那么该班组在这16天中生产出的次品数的中位数与标准差分别是（　　） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 【答案】C 【解析】 【分析】先利用中位数的定义得到中位数，再依次计算平均数、方差，最终得到标准差即可解答．． 【详解】解：∵总共有16个数据，中位数是从小到大排列后第8个和第9个数据的平均数． 将数据按从小到大排序，次品数0共2天，对应第1~2位；次品数1共7天，对应第3~9位； ∴第8位和第9位的次品数都是1， 即中位数为； 计算平均数： ； 计算方差： ， ∴标准差， ∴中位数为，标准差为，即选项C符合题意． 4. 如果点C是线段AB的中点，那么下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据点C是线段AB的中点，可以判断，但它们的方向相反，继而即可得出答案． 【详解】解：由题意， ∵点C是线段AB的中点， ∴ ∵与为相反向量， ∴； 故选：C． 【点睛】本题考查了平面向量的知识，注意向量包括长度及方向，及0与的不同． 5. 某蓄水池的横断面示意图如图所示，分深水区和浅水区，如果以固定的流量把水蓄满蓄水池，下面的图像能大致表示水的深度和注水时间之间关系的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了函数图象的识别，首先看图可知，蓄水池的下部分比上部分的体积小，故h与t的关系为先快后慢． 【详解】解：根据题意和图形的形状，可知水的最大深度h与时间t之间的关系分为两段，每一段h随t的增大而增大，增大的速度是先快后慢． 故选C． 6. 已知四边形中，对角线与相交于点O，，下列判断错误的是（　　） A. 如果，，那么四边形是矩形 B. 如果，，那么四边形是矩形 C. 如果，，那么四边形是菱形 D. 如果，，那么四边形是菱形 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查平行四边形，矩形，菱形的判定，结合已知，根据各选项给出的条件逐一判定，即可得到错误选项． 【详解】解：∵已知， 对A选项，当时，满足，的四边形是等腰梯形，不是矩形，故A判断错误，符合题意； 对B选项，∵，，∴四边形是平行四边形，∴，，∵，∴，∴平行四边形是矩形，故B判断正确，不符合题意； 对C选项，∵，，∴四边形是平行四边形，∵，∴平行四边形是菱形，故C判断正确，不符合题意； 对D选项，∵，∴，又，，∴，∴，∴四边形是平行四边形，∵，∴平行四边形是菱形，故D判断正确，不符合题意； 综上，选项A错误． 二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分） [在答题纸相应题号后的空格内直接填写答案] 7. 当时，________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的性质与化简，熟练掌握是解题的关键． 根据的进行计算即可． 【详解】解：， ∵， ∴ ∴． 故答案为：． 8. 不等式组的整数解是___________． 【答案】 【解析】 【分析】先分别求出各不等式的解集，再确定不等式组的解集，再在解集中找出符合要求的整数即可． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， 所以不等式组的解集为， 所以不等式组的整数解为． 9. 如果关于x的方程有实数根，那么a的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的判别式，根据关于x的方程有实数根，得出，代入数值进行计算，即可作答． 【详解】解：∵关于x的方程有实数根， ∴， 解得， 故答案为：． 10. 在实数范围内分解因式，________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查因式分解，二次根式的乘法，熟练掌握公式法进行因式分解是解决本题的关键．根据题意，利用十字相乘因式分解． 【详解】解： ． 11. 如果实数x满足，那么的值是________． 【答案】3 【解析】 【分析】本题主要考查了用换元法解一元二次方程、解分式方程，利用完全平方公式把方程变形是解题的关键． 利用完全平方公式把方程变形为，利用换元法，设，则，转化为解一元二次方程，求出可能的值，分别得出分式方程，计算检验是否有解，即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴， ， 设，则， 因式分解得：， ∴或， 解得：或， 当时，则， 整理得：， ∴， 解得：，， 经检验，，都是方程的解， ∴的值为； 当时，则， 整理得：， ， ∴时，方程无解． 综上所述，的值为， 故答案为：． 12. 如果一次函数的图像一定经过第二、三象限，那么常数m的取值范围为________． 【答案】且 【解析】 【分析】本题考查一次函数的图像与性质，运用数形结合思想解题是解题的关键，根据“一次函数的图像一定经过第二、三象限”可知，此图像与x轴的交点在原点的左边，即与x轴交点的横坐标小于0，从而得解． 【详解】解：∵一次函数的图像一定经过第二、三象限， ∴此图像与x轴的交点在原点的左边，且，即， ∴此图像与与x轴交点的横坐标小于0， 令，解得：， 解得：， ∴常数m的取值范围为且， 故答案为：且． 13. 从1、2、3、4、5、6、7、8、9中，随机抽取2个数，那么抽到两个数互素的概率是___________． 【答案】## 【解析】 【分析】利用列表法，求得所有可能的结果数及2个数互素的结果数，则由概率公式即可求得概率． 【详解】解：列表如下： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 1，2 1，3 1，4 1，5 1，6 1，7 1，8 1，9 2 2，1 2，3 2，4 2，5 2，6 2，7 2，8 2，9 3 3，1 3，2 3，4 3，5 3，6 3，7 3，8 3，9 4 4，1 4，2 4，3 4，5 4，6 4，7 4，8 4，9 5 5，1 5，2 5，3 5，4 5，6 5，7 5，8 5，9 6 6，1 6，2 6，3 6，4 6，5 6，7 6，8 6，9 7 7，1 7，2 7，3 7，4 7，5 7，6 7，8 7，9 8 8，1 8，2 8，3 8，4 8，5 8，6 8，7 8，9 9 9，1 9，2 9，3 9，4 9，5 9，6 9，7 9，8 由列表可得，所有可能结果数是72种，其中这2个数互素的结果数是54种， ∴所求的概率为． 14. 一斜坡的坡角为，坡长比坡高多6米，那么斜坡的高为___________（用的锐角三角比表示）． 【答案】 【解析】 【分析】设斜坡的高为米，由题意得坡长为米，根据题意得到坡长的表达式，利用锐角正弦的定义列方程求解即可． 【详解】解：设斜坡的高为米，由题意得坡长为米， 在直角三角形中，坡角为，直角为，根据锐角正弦的定义可得， 整理方程： ，解得． 15. 在中，，平分，，，那么的余弦值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】由角平分线定义和已知条件得，可证，再由两角对应相等证，利用相似三角形性质求出，过作，设，利用勾股定理列方程求出，再根据余弦的定义计算即可． 【详解】解：过点作于点，如图， 平分， ， ， ， ， ，， ， 解得， 设，则， ∴ 解得， ∴， ． 16. 已知和的半径分别为5和1，，与都内切，那么半径的取值范围是___________． 【答案】 【解析】 【分析】先根据两圆内切的性质得到点到两圆圆心的距离，再结合的长度，利用三角形三边关系列不等式，分情况讨论排除无解情况，即可得到的取值范围． 【详解】解：设半径为， ∵与都内切， ∴，， ∵， ∴当时，，， ∴ ， 根据三角形三边关系，任意两边之差的绝对值小于等于第三边， ∴， ∴不成立，此情况无解； 当时，，， ∴，， ∴ ， ∴， 解得，符合条件； 当时，，， 则 ，不成立，此情况无解． 综上所述，半径的取值范围是． 17. 如图，在中，，，是中线，将沿直线翻折后，点落在点，那么的长为___________． 【答案】## 【解析】 【分析】在等腰中，过A作，由得，故；D为中点，作，由相似得，算得；翻折后垂直平分，用面积法求，勾股得，由是中位线，得． 【详解】解：∵， ∴是等腰三角形， 过点A作于点H，如图， ∴． 在中，， ∴， ∴， 过点D作于点G，如图， ∵，， ∴， ∴， ∵是边的中线， ∴， ∴， ∴，， ∴， 在中，， ∴， 在中，， 连接，交于点F，如图， ∴垂直平分， ∴，F是的中点． ∴， 又∵， ∴ 解得， 在中，， ∵D是中点，F是中点， ∴是的中位线， ∴． 18. 已知的两条中线互相垂直，垂足为，，，那么边的长为___________． 【答案】 【解析】 【分析】连接，可得的中位线，由中线互相垂直得，在中，由、，得、；由中位线性质得，相似比为，故，在中求得，则可求出． 【详解】解：连接，如图， 由题意得，、是的中线，且， ∴， 在中，，， ∴ 解得， ∴， ∵是的中点，是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴， ∴ ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴． 三、解答题：（本大题共7题，满分78分） [将下列各题的解答过程，做在答题纸上] 19. 已知：，求：值． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了负整数指数幂、分母有理化以及完全平方公式的运算，先整理得出，，，再运用完全平方公式展开代入数值，进行计算即可作答． 【详解】解：∵， ∴，，． ∴ 20. 已知点在双曲线上． （1）求此双曲线的表达式与点的坐标； （2）如果点在此双曲线上，图像经过点、的一次函数的函数值随的增大而增大，求此一次函数的解析式． 【答案】（1），；（2）． 【解析】 【分析】（1）把点A（2，m+3）代入求得m，即可求出结果； （2）把点B（a，5-a）代入求得a得到B点的坐标，根据A点坐标和函数的增减性排除掉不符合题意的点，再由待定系数法求出一次函数解析式． 【详解】解：（1）∵点A（2，m+3）在双曲线上， ∴， 解得：m=-6， ∴m+3=-3， ∴此双曲线的表达式为， 点A的坐标为（2，-3）； （2）∵点B（a，5-a）在此双曲线上， ∴， 解得：a=-1或a=6， 经检验：都是原方程的根，且符合题意， ∴点B的坐标为（-1，6）或（6，-1）， ∵一次函数的函数值随的增大而增大，由（1）知A（2，-3）， ∴点B的坐标只能为（6，-1）， 设一次函数的解析式为y=kx+b， ∴， 解得：， ∴一次函数的解析式为． 【点睛】本题主要考查了待定系数法求反比例函数解析式和一次函数解析式以及一次函数的性质，熟练掌握待定系数法求解析式是解题的关键． 21. 如图1，为旗杆，测角仪高为米，利用测角仪在点处可测得旗杆顶的仰角为． （1）如果再用皮尺量得旗杆与测角仪底部的距离为米，求旗杆的高度．（用含字母及的式子表示） （2）如果只有上述测角仪，没有皮尺等其他的测量工具，如何测量与计算旗杆高度？（在图2中，画出测量示意图、标出需测量的数据，并说明测量的方法和计算旗杆高度．） 【答案】（1）米 （2）解：如图：利用测角仪在点处可测得旗杆顶的仰角为，将测角仪平放量出，再利用测角仪在点处可测得旗杆顶的仰角为，即， ∴， 在中，， 在中，， ∴ ，解得：， ∴米． 【解析】 【分析】（1）由题意可得：，解直角三角形可得，再利用线段的和差即可解答； （2）如图：利用测角仪在点处可测得旗杆顶的仰角为，将测角仪平放量出，再利用测角仪在点处可测得旗杆顶的仰角为，易得，再解直角三角形可得、，再代入求得，进而求得的长即可． 【小问1详解】 解：由题意可得：四边形是矩形， ∴， 在中，， ∴，即， ∴米． 【小问2详解】 解：略 22. 如图所示，堆放的一堆钢管共110根（下面的部分被遮挡），最上面的一层有5根，每往下一层就增加一根，如果每根钢管的直径是1米．求： （1）这堆钢管共有几层； （2）这堆钢管总高度． 【答案】（1）堆放的一堆钢管共放11层． （2）这堆钢管的总高度是米． 【解析】 【分析】（1）设110根钢管共放x层，易得最底层有根，再根据题意列一元二次方程求解即可； （2）先据题意画出相应的图形，易得等边三角形的边长为10个钢管的直径，如图：过A作垂直于，根据三线合一得到D为中点，求出的长，根据勾股定理求出的长，用求出的长加上一根钢管的直径，即为这堆钢管的总高度． 【小问1详解】 解：设这堆钢管110根一共放x层，则最底层有根， 根据题意得： ，即 ， 解得：或 (不合题意舍去)， 答：堆放的一堆钢管共放11层． 【小问2详解】 解：如图： ∵每根钢管的直径为1米，一共11层， ∴为边长为10米的等边三角形， 如图：过A作垂直于，则D为中点， ∴米 ∴ (米)， ∴这堆钢管的总高度是米． 23. 如图，在四边形中，如果，，这样特殊的四边形称为“筝形”． （1）类似于平行四边形、矩形等特殊的四边形的定义，请你给“筝形”下一个定义； （2）根据你给出的定义，在我们所学过的特殊四边形中，有没有“筝形”？如果有，说明四边形的形状；如果没有，请说明理由； （3）类似于平行四边形、矩形等特殊的四边形的性质的探究过程，探究“筝形”性质，给出三条“筝形”的性质，并证明； （4）类似于特殊的四边形判定探究过程，给出除定义之外的一种“筝形”的判定方法，并证明这一判定． 【答案】（1）解：筝形定义：有两组邻边分别相等的四边形叫做筝形．即：四边形中，若，，则四边形为筝形． （2）解：特殊四边形中有筝形，菱形是特殊的筝形．理由如下：菱形的四条边都相等，因此必然满足 “两组邻边分别相等”，所以菱形属于筝形． （3）解：性质 1：筝形的一组对角相等； 证明：如图：连接， 在和中： ， ∴ ∴； 性质 2：筝形的对角线互相垂直，且其中一条对角线平分另一条对角线 证明：如图：连接相交于点O， 由， ∴． ∵， ∴， ∴，且平分． 性质 3：筝形是轴对称图形，对称轴为较长的对角线（所在直线） 证明：由性质 2 知，垂直平分，因此将四边形沿折叠，点B与点 D重合，两边完全重合，故筝形是轴对称图形，对称轴为对角线 所在直线． （4）解：判定方法：一条对角线垂直平分另一条对角线的四边形是筝形．证明如下： 设四边形中，对角线垂直平分，且交点为O． ∵ 垂直平分， ∴，， ∴四边形满足筝形的定义，故为筝形． 【解析】 【分析】（1）根据题干归纳筝形的定义即可； （2）从特殊的四边形中寻找满足筝形定义的四边形，并证明即可； （3）从角、对角线、对称性三个方面归纳性质，并证明即可； （4）从（3）的性质中寻找筝形的判定方法，并证明即可． 【小问1详解】 解：略． 【小问2详解】 解：略． 【小问3详解】 解：略． 【小问4详解】 解：略． 24. 在半径为的中，是直径，弦，垂足为，，点是射线上的任意一点，，与相交于点． （1）如图，当点在延长线上时，线段与之间有怎样的数量关系？ （2）如果以点为圆心、为半径的圆与相切，求线段的长． 【答案】（1） （2）或或 【解析】 【分析】（1）过点作于点，解求出，然后由平行线分线段成比例定理可得是的中位线，则，再由勾股定理表示，即可求解； （2）分内切和外切两种情况讨论，画出示意图，利用（1）的结论求解即可． 【小问1详解】 解：过点作于点， ∵，经过圆心， ∴ ∵ ∴ ∴， ∵ ∴， ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ 即； 【小问2详解】 解：当与外切时如图：此时 ， ∵， ∴ 整理得， 解得或（舍） ∵ ∴ ∴ ； 当与内切于点时，如图： 同理可求：，； 此时 ∵ ∴ 解得或（舍） ∴ ∴ ； 当与内切于点时，如图： 同理可求：，； 此时 ∵ ∴ 解得或（舍） ∴ ∴ 综上：线段的长为或或． 25. 已知抛物线的顶点为，新抛物线顶点在上述抛物线上，且经过点（点与点不重合），新抛物线与轴右侧的交点为． （1）求的值； （2）当时，求新抛物线表达式； （3）如果与轴相交于点，，求新抛物线表达式． 【答案】（1）； （2）； （3） 【解析】 【分析】（1）将原抛物线配方得，得顶点；设新抛物线顶点式，由在原抛物线上，代入点化简，因，约去，即可求解； （2）代入得新抛物线解析式，设，过作轴，由得，解得；将代入新抛物线，求得，得解析式； （3）先求直线解析式，得；由转化为，利用正切相等得，结合在抛物线上，分类去绝对值解方程，舍去不合理解，得，进而得新抛物线解析式． 【小问1详解】 解：由题意得， ∴， 设新抛物线顶点，即新抛物线顶点式为， ∵B在原抛物线上， ∴ ， 将代入得， ∴ ∵点B与A不重合，，即， ∴； 【小问2详解】 解：将代入新抛物线得，， 设且， 过A作轴于E，如图， ∵， ∴，，， 由， ∴ 解得或（舍去）， 将代入新抛物线得， 解得， ∴新抛物线表达式为； 【小问3详解】 解：如图， 由（1）知新抛物线二次项系数，原抛物线顶点， 设新抛物线顶点， ∵点B在原抛物线上， ∴， 设直线的解析式为， 将、代入， 得， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴直线的解析式为， 当时， 解得， ∴D点坐标为， 在中， ，， ∴， 由（2）得，， 设， 在中，， 在中，， ∵， ∴ ， ∴ ， ∵， ∴， ∴ ， ∵新抛物线解析式为， ∴将代入得， ， 当时，则， ∵， ∴ 解得， 将代入方程得， 解得或， 当时， ，符合条件， 当时， ，舍去； 当时，则， ∵， ∴ 解得， 将代入方程， ∴ ，无实根，舍去； ∵， ∴ ， ∴， ∴新抛物线顶点式为． 【点睛】本题核心技巧是利用顶点式设抛物线解析式，通过角度互余转化为等角，结合三角函数建立方程，分类讨论去绝对值求解；避免解完方程未验证、漏分类讨论绝对值的情况． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $