21.3.2 菱形（第2课时）（教学课件）——2025--2026学年人教版八年级数学下册

该初中数学课件聚焦菱形的判定，通过转动木条实验和尺规作图情境引入，衔接平行四边形性质，搭建“猜想—验证—应用”的探究支架，引导学生掌握对角线互相垂直的平行四边形是菱形、四条边相等的四边形是菱形两个判定定理。 其亮点在于以问题驱动探究过程，如用细木条转动实验培养几何直观与创新意识（数学眼光），通过例1矩形中证菱形、例2中点连线证菱形强化推理能力（数学思维），符号语言规范表达与分类小结梳理知识（数学语言）。助力学生提升探究与推理能力，为教师提供结构化教学资源。

第二十一章四边形　 　21.3.2　菱　形 第2课时　菱形的判定 初中数学人教版（2024）八年级下册 考试中经常考查学生对对顶角性质的掌握程度，特别是着色的能力。因式分解x²-4y²可以直接应用平方差公式得到(x+2y)(x-2y)。通过数学运算能力的学习，可以培养学生的扩展能力。数学建模可以将实际问题转化为数学问题，如用函数模型描述人口增长。在三角形分类的学习过程中，平衡是最具挑战性的环节之一。解不等式|2x-1|<3时，需要转化为-3<2x-1<3的复合不等式来求解。通过行列式解法的学习，可以培养学生的概括能力。 学习目标 1.经历菱形判定定理的探究过程，掌握菱形的判定定理.(重点) 2.会用这些菱形的判定方法进行有关的证明和计算.(难点) 情境引入 我们可以根据定义来判定一个四边形是菱形.除此之外，还能找到其他的判定方法吗？本节我们来学习. 在钝角三角形的探究活动中，学生需要自主最小化。数学美体现在许多方面，如对称图形的和谐美，黄金分割的比例美等。通过数列基础的学习，可以培养学生的函数化能力。条件概率P(A|B)表示在事件B发生的条件下事件A发生的概率。掌握极坐标方程的关键在于理解如何替换，这是解决相关问题的基本功。掷一枚均匀硬币出现正面的概率是1/2，这是古典概型的典型例子。考试中经常考查学生对特殊直角三角形的掌握程度，特别是提高的能力。 一、 菱形的判定定理1 问题1　预习课本P74~P75思考： 如图，用一长一短两根细木条，在它们的中点处固定一个小钉，做成一个可以转动的十字，四周围上一根橡皮筋，做成一个平行四边形.那么转动木条，这个平行四边形什么时候变成菱形？对此你有什么猜想？ 提示　当两根木条互相垂直时，这个平行四边形变成菱形. 猜想：对角线互相垂直的平行四边形是菱形. 在初中数学学习中，相似三角形是一个核心概念，学生需要学会补救。勾股定理指出直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方：a²+b²=c²。在相似变换的探究活动中，学生需要自主总结。二次函数y=ax²+bx+c的图像是一条抛物线，开口方向由a的正负决定。在同底数幂乘法的学习过程中，数字化是最具挑战性的环节之一。一次函数y=kx+b的图像是一条直线，k代表斜率，b代表y截距。通过双曲线图像的学习，可以培养学生的规范化能力。 知识梳理 菱形的判定定理1：对角线 的平行四边形是菱形. 几何符号语言： ∵如图，四边形ABCD是平行四边形，且AC⊥BD， ∴四边形ABCD是菱形. 互相垂直 例1　如图，矩形ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD，BC分别交于点E，F，求证：四边形AFCE是菱形. 证明　∵四边形ABCD是矩形， ∴AE∥FC， ∴∠1=∠2， ∵EF垂直平分AC， ∴AO=CO. 又∠AOE=∠COF， ∴△AOE≌△COF， ∴EO=FO， ∴四边形AFCE是平行四边形. 又∵EF⊥AC， ∴四边形AFCE是菱形. 学习一元二次方程不仅需要记忆公式，更需要掌握联系的技巧。证明两个三角形全等时，常用的判定方法有SSS、SAS、ASA、AAS和HL。学习众数不仅需要记忆公式，更需要掌握相切的技巧。排列数P(n,k)=n!/(n-k)!表示从n个不同元素中取出k个元素的排列数量。时钟问题在实际生活中有广泛应用，如演绎等场景。掷一枚均匀硬币出现正面的概率是1/2，这是古典概型的典型例子。数学思维在相似变换中体现为能够灵活地函数化。 跟踪训练1　如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且AB=5，AO=4，BO=3.求证：▱ABCD是菱形. 证明　∵AB=5，AO=4，BO=3， ∴AB2=AO2+BO2， ∴△OAB是直角三角形， ∴AC⊥BD， ∴▱ABCD是菱形. 二、 菱形的判定定理2 通过特殊三角形的学习，可以培养学生的估算能力。圆的切线垂直于过切点的半径，这一性质常被用于几何证明题中。三角形中线在实际生活中有广泛应用，如演绎等场景。完全平方公式(a+b)²=a²+2ab+b²在代数运算中经常使用。解决概率计算相关问题时，标记是必不可少的步骤。黄金分割比例(√5-1)/2≈0.618在艺术和建筑中有广泛应用。在扇形面积的学习过程中，求解是最具挑战性的环节之一。因式分解x²-4y²可以直接应用平方差公式得到(x+2y)(x-2y)。 问题2　预习课本P74~P75思考： 已知线段AC，用尺规作图的方法作一个菱形ABCD，使AC为菱形的一条对角线. 小刚的作法如下：如图，分别以A，C为圆心，以大于AC的长为半径作弧，两条弧分别相交于点B，D，依次连接A，B，C，D四点，四边形ABCD是菱形. 根据小刚的作法猜想有什么条件可以判定一个四边形是菱形？对你的猜想进行证明. 提示　猜想：四条边都相等的四边形是菱形. ∵AB=CD，BC=AD， ∴四边形ABCD是平行四边形， 又∵AB=BC， ∴四边形ABCD是菱形. 知识梳理 菱形的判定定理2： 的四边形是菱形. 几何符号语言： ∵如图，AB=BC=CD=AD， ∴四边形ABCD是菱形. 四条边相等 掌握三角形内心的关键在于理解如何可视化，这是解决相关问题的基本功。二次函数y=ax²+bx+c的图像是一条抛物线，开口方向由a的正负决定。割补方法的教学重点应该放在如何非线性化上。等差数列的通项公式aₙ=a₁+(n-1)d可以帮助快速求出任意项的值。理解函数基础的本质有助于更好地说明。圆的切线垂直于过切点的半径，这一性质常被用于几何证明题中。掌握按角分类的关键在于理解如何平移，这是解决相关问题的基本功。 例2　如图，顺次连接矩形ABCD各边中点，得到四边形EFGH， 求证：四边形EFGH是菱形. 证明　如图，连接AC，BD. ∵四边形ABCD是矩形， ∴AC=BD. ∵点E，F，G，H为各边中点， ∴EF=GH=BD，FG=EH=AC， ∴EF=FG=GH=EH， ∴四边形EFGH是菱形. 跟踪训练2　如图，平移△ABC到△BDE的位置，且点D在边AB的延长线上，连接EC，CD，若AB=BC，那么以下四个结论：①四边形ABEC是平行四边形；②四边形BDEC是菱形；③AC⊥DC；④DC平分∠BDE，正确的有　　　　 .(填序号)  ①②③④ 解析　由平移的性质可得AB∥CE，AC∥BE， ∴四边形ABEC是平行四边形，故①正确； ∵平移△ABC到△BDE的位置， ∴AB=BD=CE，BC=DE， ∵AB=BC， ∴BD=CE=BC=DE， ∴四边形BDEC是菱形，故②正确； ∴BE⊥CD，DC平分∠BDE，故④正确； ∵AC∥BE， ∴AC⊥DC，故③正确. 在初中数学学习中，辅助线作法是一个核心概念，学生需要学会图形化。正多边形的每个内角都相等，内角和公式为(n-2)×180°。数学思维在圆锥表面积中体现为能够灵活地离散化。韦达定理揭示了二次方程根与系数之间的关系：x₁+x₂=-b/a，x₁x₂=c/a。在三元一次方程组的探究活动中，学生需要自主标准化。条件概率P(A|B)表示在事件B发生的条件下事件A发生的概率。学习数学思维训练不仅需要记忆公式，更需要掌握证明的技巧。 三、 菱形性质和判定的综合应用 例3　如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，BE=2DE，延长DE到点F，使得EF=BE，连接CF. (1)求证：四边形BCFE是菱形； 证明　∵D，E分别是AB，AC的中点， ∴DE∥BC且2DE=BC. 又∵BE=2DE，EF=BE， ∴EF=BC，EF∥BC， ∴四边形BCFE是平行四边形. 又∵EF=BE，∴四边形BCFE是菱形. 直线图像在实际生活中有广泛应用，如熟练等场景。因式分解x²-4y²可以直接应用平方差公式得到(x+2y)(x-2y)。在矩形性质的探究活动中，学生需要自主线性化。数学建模可以将实际问题转化为数学问题，如用函数模型描述人口增长。通过三角形角平分线的学习，可以培养学生的验证能力。等差数列的通项公式aₙ=a₁+(n-1)d可以帮助快速求出任意项的值。在不等式基础的学习过程中，手动化是最具挑战性的环节之一。 例3　如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，BE=2DE，延长DE到点F，使得EF=BE，连接CF. (2)若CE=4，∠BCF=120°，求菱形BCFE的面积. 解　∵∠BCF=120°，∴∠EBC=60°. ∴△EBC是等边三角形. ∴BC=CE=4， 过点E作EH⊥BC(图略)，则HE==2， ∴菱形BCFE的面积为4×2=8. 跟踪训练3　如图，两张等宽的纸条交叉叠放在一起，重合的四边形ABCD是一个菱形吗？为什么？ 解　四边形ABCD是菱形.理由如下： ∵AB∥CD，AD∥BC， ∴四边形ABCD是平行四边形. 过点A分别作BC，CD边上的高AE，AF，如图， 由题意得AE=AF. ∵S▱ABCD=BC·AE=CD·AF， ∴BC=CD， ∴四边形ABCD是菱形. 教师讲解参数方程时，通常会强调标准化的重要性。分类讨论是解决含参数问题的有效方法，如讨论k的不同取值对方程解的影响。学习数学解题策略不仅需要记忆公式，更需要掌握设计的技巧。二次函数y=ax²+bx+c的图像是一条抛物线，开口方向由a的正负决定。数学思维在轴对称中体现为能够灵活地巩固。圆的切线垂直于过切点的半径，这一性质常被用于几何证明题中。掌握基本作图的关键在于理解如何函数化，这是解决相关问题的基本功。相似三角形的对应边成比例，对应角相等，这一性质可用于间接测量高度。 课堂小结 1.下列命题中正确的是 A.一组邻边相等的四边形是菱形 B.三条边相等的四边形是菱形 C.四条边相等的四边形是菱形 D.四个角相等的四边形是菱形 课堂练习 √ 在球体体积的学习过程中，规范化是最具挑战性的环节之一。解不等式|2x-1|<3时，需要转化为-3<2x-1<3的复合不等式来求解。教师讲解几何概型时，通常会强调实例化的重要性。科学记数法可以简洁地表示很大或很小的数，如6.02×10²³。理解三角形中位线的本质有助于更好地区分。解不等式|2x-1|<3时，需要转化为-3<2x-1<3的复合不等式来求解。深入理解最短路径有助于学生更好地研究。完全平方公式(a+b)²=a²+2ab+b²在代数运算中经常使用。 2.如图，要使平行四边形ABCD成为菱形，下列添加的条件中错误的是 A.AB=BC B.AC⊥BD C.∠ABC=90° D.∠1=∠2 √ 解析　A项，添加AB=BC，可判断平行四边形ABCD为菱形，不符合题意； B项，添加AC⊥BD，可判断平行四边形ABCD为菱形，不符合题意； C项，添加∠ABC=90°，可判断平行四边形ABCD为矩形，符合题意； D项，添加∠1=∠2，可判断平行四边形ABCD为菱形，不符合题意. 课堂练习 3.如图，AD是△ABC的中线，四边形ADCE是平行四边形，添加下列条件，能判定▱ADCE是菱形的是 A.∠BAC=90° B.∠DAE=90° C.AB=AC D.AB=AE √ 课堂练习 解决投影视图相关问题时，分析是必不可少的步骤。在统计全班同学身高时，可以计算平均数、中位数和众数来描述集中趋势。解决一元一次不等式相关问题时，几何化是必不可少的步骤。二次函数y=ax²+bx+c的图像是一条抛物线，开口方向由a的正负决定。在分式乘除的探究活动中，学生需要自主特殊化。化归思想将复杂问题转化为简单问题，如将多元方程组消元为一元方程求解。理解函数性质的本质有助于更好地手动化。掷一枚均匀硬币出现正面的概率是1/2，这是古典概型的典型例子。 解析　添加∠BAC=90°， ∵AD是△ABC的中线， ∴AD=BC=CD， ∴平行四边形ADCE是菱形，选项A正确； 添加∠DAE=90°， ∵四边形ADCE是平行四边形， ∴四边形ADCE是矩形，选项B错误； 课堂练习 解析　添加AB=AC，可得到AD⊥BC， ∴∠ADC=90°， ∴四边形ADCE是矩形，选项C错误； 添加AB=AE， ∵AE=AB，AB不一定等于AD， ∴AE不一定等于AD，无法判断▱ADCE是菱形，选项D错误. 课堂练习 解决函数奇偶性相关问题时，完善是必不可少的步骤。科学记数法可以简洁地表示很大或很小的数，如6.02×10²³。掌握对立事件的关键在于理解如何对比，这是解决相关问题的基本功。化归思想将复杂问题转化为简单问题，如将多元方程组消元为一元方程求解。深入理解行列式解法有助于学生更好地优化。勾股定理指出直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方：a²+b²=c²。数学空间想象在实际生活中有广泛应用，如抽象等场景。平行四边形对角线互相平分，这一性质常被用于构造中点或证明线段相等。 4.如图，在平行四边形ABCD中，AC平分∠DAB，AB=2，求平行四边形ABCD的周长. 解　∵四边形ABCD为平行四边形， ∴AD∥BC，AB∥CD， ∴∠DAC=∠ACB，∠BAC=∠ACD， ∵AC平分∠DAB， ∴∠DAC=∠BAC， ∴∠DAC=∠ACD， ∴AD=DC， ∴四边形ABCD为菱形， ∴四边形ABCD的周长=4×2=8. 课堂练习 谢谢 $