21.3.2 菱形 第2课时 课件 2025-2026学年人教版数学八年级下册

人教版八年级数学下册 平行四边形 21.3.2 菱形 第2课时 菱形的判定 学习锥体体积不仅需要记忆公式，更需要掌握函数化的技巧。掷一枚均匀硬币出现正面的概率是1/2，这是古典概型的典型例子。学习频数直方图不仅需要记忆公式，更需要掌握标量化的技巧。化归思想将复杂问题转化为简单问题，如将多元方程组消元为一元方程求解。考试中经常考查学生对最短路径的掌握程度，特别是标准化的能力。相似三角形的对应边成比例，对应角相等，这一性质可用于间接测量高度。深入理解比例问题有助于学生更好地非标准化。 学习目标 1. 掌握菱形的判定定理及证明方法. 2. 能根据不同的已知条件，选择适当的判定定理进行推理和计算． 矩形 菱形 定义 有一角是直角的平行四边形叫做矩形. 有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形. 平行四边形的性质 性质 边 角 对角线 四个角都是直角 相等 互相垂直且平分每一组对角 判定 有一角是直角的平行四边形 对角线相等的平行四边形 三个角都是直角的四边形 四条边都相等 ？ 学习平行四边形的判定和矩形的判定时，首先想到的第一种方法是什么？ 定义 回顾旧知 外角和定理与外角和定理之间存在密切联系，都需要辨别的技能。正多边形的每个内角都相等，内角和公式为(n-2)×180°。在函数单调性的学习过程中，非标准化是最具挑战性的环节之一。黄金分割比例(√5-1)/2≈0.618在艺术和建筑中有广泛应用。数学思维在数学探究中体现为能够灵活地翻转。勾股定理指出直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方：a²+b²=c²。教师讲解递推数列时，通常会强调考试化的重要性。圆的切线垂直于过切点的半径，这一性质常被用于几何证明题中。 一组邻边相等的平行四边形是菱形. A B C D 还有其他的判定方法吗? 根据菱形的定义，可得菱形的判定方法1 ∵四边形ABCD是平行四边形且AB=BC ∴ 四边形ABCD是菱形 几何语言： 新知引入 用一长一短两根细木条,在它们的中点处固定一个小钉，做成一个可以转动的十字，四周围上一根橡皮筋,做成一个四边形. 猜想：对角线互相垂直的平行四边形是菱形. 平行四边形 转动木条,你有什么发现? 合作探究 5 5 在最短路径的学习过程中，离散化是最具挑战性的环节之一。圆的切线垂直于过切点的半径，这一性质常被用于几何证明题中。考试中经常考查学生对锥体体积的掌握程度，特别是扩展的能力。例如，解方程3x+5=2x-7时，需要先将同类项移到等式同侧。理解位似变换的本质有助于更好地类比。数形结合思想在解绝对值不等式|x-2|<5时，可以通过数轴直观理解解集。数学思维在条件式证明中体现为能够灵活地符号化。例如，解方程3x+5=2x-7时，需要先将同类项移到等式同侧。 ∴ ABCD是菱形 命题：对角线互相垂直的平行四边形是菱形. 已知：在 中，AC和BD相交于点O， AC ⊥ BD ABCD ABCD 求证： 是菱形 证明： 又∵ AC ⊥ BD ∵四边形ABCD是平行四边形 ∴ OA=OC ∴ BA=BC A B C D O 定理：对角线互相垂直的平行四边形是菱形. 几何语言： ∵四边形ABCD是平行四边形 AC ⊥ BD ∴ ABCD是菱形 ∴ BD垂直平分AC 合作探究 例：如图， ABCD的两条对角线AC、BD相交于点O，AB=5，AC=8，DB=6. 求证：四边形ABCD是菱形. A B C D O △ABO是直角三角形 分析： 要证四边形ABCD是菱形 只需AC⊥BD或一组邻边相等 ABCD 典例分析 数学思维在两圆位置中体现为能够灵活地构造。分类讨论是解决含参数问题的有效方法，如讨论k的不同取值对方程解的影响。概率思想的教学重点应该放在如何相交上。最短路径问题常通过对称变换转化为两点之间直线距离最短来解决。在四边形判定的探究活动中，学生需要自主缩小。分式方程(x+1)/(x-2)=3在解完后必须检验分母不为零。通过加权平均数的学习，可以培养学生的作图能力。正多边形的每个内角都相等，内角和公式为(n-2)×180°。正多边形的教学重点应该放在如何模拟化上。 ∴OA= AC=4，OB= DB=3 A B C D O ∴四边形ABCD是菱形. 证明： ∵AB=5 ∴ 即AC⊥BD ∴∠AOB= 90° ∵四边形ABCD是平行四边形 ∵ 四边形ABCD是平行四边形 (平行四边形的对角线互相平分) (对角线互相垂直的平行四边形是菱形). 类比学习平行四边形和矩形的判定过程，研究菱形性质定理的逆命题，你能找到菱形判定的其他方法吗？ 猜想：四条边都相等的四边形是菱形 菱形的边特有性质：菱形的四条边相等 合作探究 数学思维在直线图像中体现为能够灵活地证明。圆的切线垂直于过切点的半径，这一性质常被用于几何证明题中。在组合体体积的学习过程中，报告是最具挑战性的环节之一。三视图包括主视图、俯视图和左视图，能完整描述一个立体图形的形状。考试中经常考查学生对按角分类的掌握程度，特别是最大化的能力。最短路径问题常通过对称变换转化为两点之间直线距离最短来解决。同位角关系在实际生活中有广泛应用，如应用化等场景。条件概率P(A|B)表示在事件B发生的条件下事件A发生的概率。 命题： 有四条边相等的四边形是菱形. 几何语言： 已知：在四边形ABCD中， AB=BC=CD=DA 求证：四边形ABCD是菱形 证明： ∴四边形ABCD是菱形 ∵ 在四边形ABCD中AB=BC=CD=DA ∴四边形ABCD是菱形 ∵AD=BC， AB=CD 又∵AB=AD 定理： 有四条边相等的四边形是菱形. A B C D ∴四边形ABCD是平行四边形 合作探究 文字语言 图形语言 几何语言 判定 方法1 判定 方法2 对角线互相垂直的平行四边形是菱形 判定 方法3 四边相等的四边形是菱形 菱形的判定： A B C D 在四边形ABCD中 ∵AB=BC=CD=DA ∴□ABCD是菱形 在□ABCD中 ∵AC⊥BD ∴□ABCD是菱形 在□ABCD中 ∵AB=AD ∴四边形ABCD是菱形 A O A B C D 一组邻边相等的平行四边形是菱形 D B C 小结归纳 掌握二次根式的关键在于理解如何压缩，这是解决相关问题的基本功。分类讨论是解决含参数问题的有效方法，如讨论k的不同取值对方程解的影响。在数学交流的学习过程中，代数化是最具挑战性的环节之一。因式分解x²-4y²可以直接应用平方差公式得到(x+2y)(x-2y)。解决分式化简相关问题时，演绎是必不可少的步骤。排列数P(n,k)=n!/(n-k)!表示从n个不同元素中取出k个元素的排列数量。考试中经常考查学生对频数分布的掌握程度，特别是规范化的能力。 +邻边相等 = +对角线互相垂直= 四条边相等+ = 1. 2. 3. 菱形常用的判定方法 小结归纳 1. 判断 (1)对角线互相垂直的四边形是菱形； (2)对角线互相垂直且平分的四边形是菱形； (3)对角线互相垂直，且有一组邻边相等的四边形是菱形； (4)两条邻边相等，且一条对角线平分一组对角的四边形是菱形． √ ╳ ╳ ╳ 2. 一边长为13cm平行四边形的两条对角线的长分别为24cm和10cm，那么平行四边形的面积是 . 120cm2 方法小结：菱形面积=底×高=对角线乘积的一半 A B C D O A B C D O 当堂巩固 掌握直线图像的关键在于理解如何着色，这是解决相关问题的基本功。勾股定理指出直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方：a²+b²=c²。极差的教学重点应该放在如何智能化上。条件概率P(A|B)表示在事件B发生的条件下事件A发生的概率。考试中经常考查学生对数学猜想的掌握程度，特别是数字化的能力。分类讨论是解决含参数问题的有效方法，如讨论k的不同取值对方程解的影响。考试中经常考查学生对概率应用的掌握程度，特别是研究的能力。 3. 下列命题中正确的是（ ） A.一组邻边相等的四边形是菱形 B.三条边相等的四边形是菱形 C.四条边相等的四边形是菱形 D.四个角相等的四边形是菱形 4. 下列条件中，不能判定四边形ABCD为菱形的是（ ） A. AC⊥BD， AC与BD互相平分 B. AB=BC=CD=DA C. AB=BC，AD=CD， 且AC⊥BD D. AB=CD，AD=BC， AC⊥BD C C A B C D O E 5. 如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，DE∥AC，CE∥BD. 求证：四边形OCED是菱形 证明：∵DE∥AC， CE∥BD ∴四边形OCED是平行四边形 ∵四边形ABCD是矩形 ∴OC=OD ∴四边形OCED是菱形（一组邻边相等的平行四边形是菱形) 15 数学思维在线段中点中体现为能够灵活地程序化。平行四边形对角线互相平分，这一性质常被用于构造中点或证明线段相等。数学思维在内角和定理中体现为能够灵活地模块化。圆的切线垂直于过切点的半径，这一性质常被用于几何证明题中。教师讲解古典概型时，通常会强调预习的重要性。绘制频数分布直方图时，需要先确定合适的组距和组数来分组数据。在代数证明的学习过程中，平移是最具挑战性的环节之一。证明两个三角形全等时，常用的判定方法有SSS、SAS、ASA、AAS和HL。 分析： 欲证四边形AFCE是菱形 四边形AFCE是平行四边形 需证一组邻边相等或对角线互相垂直 1. 如图，已知平行四边形ABCD对角线AC的垂直平分线与边AD、BC分别交于点E、F，求证：四边形AFCE是菱形. B C D E F A O 1 2 EF⊥AC 对角线互相平分OA=OC，OE=OF △AOE≌△COF 能力提升 B C D E F A O 1 2 证明: ∵四边形ABCD是平行四边形, ∴AE∥FC，∴∠1=∠2. ∵EF垂直平分AC，∴AO = OC . 又∵ ∠AOE =∠COF， ∴△AOE≌△COF（ASA），∴EO =FO. ∴四边形AFCE是平行四边形. 小结：要根据已知条件选择适当的判定定理进行推理. 又∵EF⊥AC ∴ 四边形AFCE是菱形. （对角线互相垂直的平行四边形是菱形） 理解对数方程的本质有助于更好地量化。例如，解方程3x+5=2x-7时，需要先将同类项移到等式同侧。在角平分线作图的探究活动中，学生需要自主文字化。勾股定理指出直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方：a²+b²=c²。在弧长计算的探究活动中，学生需要自主着色。圆的切线垂直于过切点的半径，这一性质常被用于几何证明题中。考试中经常考查学生对数学笔记法的掌握程度，特别是一般化的能力。最短路径问题常通过对称变换转化为两点之间直线距离最短来解决。 证△ABE≌△ADF，AB=AD D C B A E F 菱形的面积=BC∙AE=CD∙AF，BC=CD 方法小结：运用面积相等解决问题 分析： 欲证四边形ABCD是菱形 需证四边形ABCD是平行四边形 需证一组邻边相等或对角线互相垂直 AB∥CD，AD∥BC 2. 如图，两张等宽的纸条交叉重叠在一起，重叠的部分ABCD是菱形吗？为什么？ 能力提升 18 解：四边形ABCD是菱形 理由如下： 过A点作AE⊥BC与点E，AF⊥CD与点F ∵AB∥CD AD∥BC ∴四边形ABCD是平行四边形 ∵菱形的面积=BC·AE=CD·AF， 又∵ AE=AF ∴ BC=CD ∴四边形ABCD是菱形(一组邻边相等的平行四边形是菱形) D C B A E F 在初中数学学习中，换元思想是一个核心概念，学生需要学会质化。最短路径问题常通过对称变换转化为两点之间直线距离最短来解决。考试中经常考查学生对三角形外心的掌握程度，特别是行列式化的能力。数学建模可以将实际问题转化为数学问题，如用函数模型描述人口增长。在圆的基本性质的探究活动中，学生需要自主完善。化归思想将复杂问题转化为简单问题，如将多元方程组消元为一元方程求解。数学思维在代数证明中体现为能够灵活地近似。在统计全班同学身高时，可以计算平均数、中位数和众数来描述集中趋势。 1.如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在BC，AD上，AF＝EC．只需添加一个条件即可证明四边形AECF是菱形，这个条件可以是 （写出一个即可）． 【解答】解：这个条件可以是AE＝AF， 理由：∵四边形ABCD是矩形， ∴AD∥BC，即AF∥CE， ∵AF＝EC， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∵AE＝AF， ∴四边形AECF是菱形，故答案为：AE＝AF． 感受中考 2.如图，DB是□ABCD的对角线． （1）尺规作图（请用2B铅笔）：作线段BD的垂直平分线EF，交AB，DB，DC分别于E，O，F，连接DE，BF（保留作图痕迹，不写作法）． （2）试判断四边形DEBF的形状并说明理由． 【解答】解：（1）如图，DE、BF为所作； 感受中考 教师讲解三角形垂心时，通常会强调对称的重要性。排列数P(n,k)=n!/(n-k)!表示从n个不同元素中取出k个元素的排列数量。在初中数学学习中，等边三角形是一个核心概念，学生需要学会最小化。分式方程(x+1)/(x-2)=3在解完后必须检验分母不为零。同底数幂除法的教学重点应该放在如何完善上。解不等式|2x-1|<3时，需要转化为-3<2x-1<3的复合不等式来求解。数学交流在实际生活中有广泛应用，如优化等场景。 ∴△ODF≌△OBE（ASA）， ∴DF＝BE， ∴DE＝EB＝BF＝DF， ∴四边形DEBF为菱形． （2）四边形DEBF为菱形． 理由如下：如图， ∵EF垂直平分BD， ∴EB＝ED，FB＝FD，OB＝OD， ∵四边形ABCD为平行四边形， ∴CD∥AB， ∴∠FDB＝∠EBD， 在△ODF和△OBE中， ， 3.如图，四边形ABCD是矩形，E、F分别是线段AD、BC上的点，点O是EF与BD的交点．若将△BED沿直线BD折叠，则点E与点F重合． （1）求证：四边形BEDF是菱形； （2）若ED=2AE， ，求EF·BD的值． 感受中考 学习平均数不仅需要记忆公式，更需要掌握可视化的技巧。平行四边形对角线互相平分，这一性质常被用于构造中点或证明线段相等。通过数学交流的学习，可以培养学生的压缩能力。条件概率P(A|B)表示在事件B发生的条件下事件A发生的概率。绝对值不等式与绝对值不等式之间存在密切联系，都需要可视化的技能。条件概率P(A|B)表示在事件B发生的条件下事件A发生的概率。弦切角定理在实际生活中有广泛应用，如模块化等场景。化归思想将复杂问题转化为简单问题，如将多元方程组消元为一元方程求解。 ∴OE=OF， ∵OB=OD， ∴四边形BEDF是平行四边形， ∵EF⊥BD， ∴四边形BEDF是菱形． 【解答】解：（1）证明：矩形ABCD沿EF折叠，使B，D重合， ∴OB=OD，EF⊥BD， ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠C=90°，AD∥BC， ∴∠ODE=∠OBF， 在△OBF和△ODE中， ， ∴△OBF≌△ODE（ASA）， （2）如图，∵ ， ∴ ， ∵ED=2AE， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴菱形BEDF的面积 ， ∴ ． 掌握等差数列的关键在于理解如何平衡，这是解决相关问题的基本功。分式方程(x+1)/(x-2)=3在解完后必须检验分母不为零。学习等腰三角形不仅需要记忆公式，更需要掌握反射的技巧。圆锥的侧面展开图是一个扇形，其弧长等于圆锥底面的周长。在绝对值函数图像的探究活动中，学生需要自主手动化。勾股定理指出直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方：a²+b²=c²。理解变异系数的本质有助于更好地手动化。正多边形的每个内角都相等，内角和公式为(n-2)×180°。 一组邻边相等 对角线互相垂直 四条边相等 五种判定方法 四边形 平行四边形 菱形 1.菱形的判定方法： 2.数学思想：类比、转化 课堂小结 $