精品解析：江西省九江市武宁尚美中学2023-2024学年高二下学期5月月考数学试题

尚美中学2023-2024学年度下学期高二数学月考试题 命题人 周宜秀 一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则子集的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 8 2. 已知等差数列满足，则（ ） A 3 B. 6 C. 2 D. 4 3. 已知命题，，则命题P的否定为（ ） A. B. C. D. 4. 已知为正实数，且满足，则最小值为（ ） A B. C. 8 D. 6 5. 若函数在时取得极值，则（　　） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 6. 已知数列满足，则（ ） A. B. C. D. 7. 若关于的不等式在区间上有解，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. ，则（ ） A. B. C. D. 二.多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9. 已知集合，集合，则下列关系式正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 下列命题正确的有（ ） A. ， B. 若，则 C. 函数的最小值为4 D. 是的充要条件 11. 函数的导函数的图像如图所示，则下列结论正确的是（ ） A. 为函数的零点 B. 为函数的极小值点 C. 函数在上单调递减 D. 是函数的最大值 12. 已知数列的前项和为，且满足，数列的前项和为，且满足，则下列说法中正确的是（ ） A. B. 数列是等比数列 C. 数列是等差数列 D. 若，则 三.填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13. 曲线在处的切线方程为______. 14. 已知成对样本数据中互不相等，且所有样本点都在直线上，则这组成对样本数据的样本相关系数_________． 15. 数列的通项公式为是其前项和，则__________. 16. 若函数与的图像恰有一个公共点，则实数a的取值范围是________． 四.解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 17. 为等差数列的前项和，已知，. （1）求数列的通项公式； （2）求，并求的最小值. 18. 已知集合A＝{y|y＝x2－3x＋1，x∈R}，B＝{x|x＋2m≥0}；命题p：x∈A，命题q：x∈B，并且q是p的必要条件，求实数m的取值范围． 19. 已知函数f（x）＝﹣3x在处取得极值． （1）求a值； （2）求函数在区间的最大值和最小值． 20. 已知二次函数满足：且. （1）求函数在区间上的值域； （2）若当时，不等式恒成立，求实数的取值范围. 21. 已知函数 （1）当时，求函数的极值； （2）若函数在区间上是减函数，求实数的取值范围； 22. 已知函数. （1）若恒成立，求实数的取值范围； （2）证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 尚美中学2023-2024学年度下学期高二数学月考试题 命题人 周宜秀 一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则的子集的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】根据交集的运算可得. 【详解】由集合，得，故子集个数为， 故选：C 2. 已知等差数列满足，则（ ） A. 3 B. 6 C. 2 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】运用等差数列的等和性计算即可. 【详解】因为是等差数列， 所以由等差数列的等和性可知，， 又因为， 所以得：， 所以. 故选：D. 3. 已知命题，，则命题P的否定为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据命题的否定的定义判断． 【详解】命题，的否定是． 故选：D． 4. 已知为正实数，且满足，则的最小值为（ ） A. B. C. 8 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】利用“1”的代换法，利用基本不等式求得最小值． 【详解】根据题意， 当且仅当，即时，等号成立． 故选：C 5. 若函数在时取得极值，则（　　） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】求出导函数，由，解得值，并确定是极值点即可得． 【详解】对函数求导可得，， ∵在时取得极值，所以 此时， 时，，时，，是极值点． 故选：D. 6. 已知数列满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由数列递推式考虑赋值作差，即可求出，需要检测首项是否符合. 【详解】由 ① 知， 当时，； 当时， ②， 由① ② ：，即得， 当时，符合题意，故. 故选：A. 7. 若关于的不等式在区间上有解，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】将问题化为在上能成立，利用导数研究右侧单调性并确定值域，即可得参数范围. 【详解】关于的不等式在区间上有解， 在上有解，即在上能成立， 设函数，则恒成立， 在上是单调减函数，且值域为， 要在上有解，则， 即实数的取值范围是. 故选：D 8. ，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】构造函数，由导数确定单调性比较的大小后可得结论． 【详解】设，则， 时，，单调递减， ，则， 所以，即，， 所以，即． 故选：D． 二.多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9. 已知集合，集合，则下列关系式正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据一元二次不等式以及一元一次不等式的解法，求得集合的元素，结合集合交、并、补的运算，可得答案. 【详解】由，，解得，所以； 由，解得，所以. 对于A，，故A正确；对于B，，故B错误； 对于C，，，故C正确； 对于D，由选项C可知，，故D正确. 故选：ACD. 10. 下列命题正确的有（ ） A. ， B. 若，则 C. 函数的最小值为4 D. 是的充要条件 【答案】AB 【解析】 【分析】 举出例子可判断A、C，作差可判断B，由充分条件、必要条件的定义可判断D. 详解】对于A，当时，满足，故A正确； 对于B，若，则， 所以，故B正确； 对于C，，故C错误； 对于D，当时，满足，但不满足， 故不是的充分条件，故D错误. 故选：AB. 11. 函数的导函数的图像如图所示，则下列结论正确的是（ ） A. 为函数的零点 B. 为函数的极小值点 C. 函数在上单调递减 D. 是函数的最大值 【答案】BC 【解析】 【分析】由已知，根据题意给出的的图像可判断函数的单调区间以及其极大值和极小值点，故可选出正确选项B，C，而选项A不能判断，选项D极小值一定不是最大值. 【详解】由已知，根据函数的导函数的图像可知， 在时，，所以函数在区间单调递减； 在时，，所以函数在区间单调递增； 在时，，所以函数在区间单调递减； 在时，，所以函数在区间单调递增； 所以和为函数的极小值点，为函数的极大值点， 所以，选项A，并不能确定为函数的零点； 选项B，正确； 选项C，正确； 选项D，是函数的极小值，一定不是最大值，故不正确. 故选：BC. 12. 已知数列的前项和为，且满足，数列的前项和为，且满足，则下列说法中正确的是（ ） A. B. 数列是等比数列 C. 数列是等差数列 D. 若，则 【答案】BC 【解析】 【分析】由数列的前项和为求出判断B；由递推公式探讨数列的特性判断C；求出判断A；由求出，再利用裂求和法求解即得. 【详解】由，得，， 当时，，满足上式，因此， 数列是等比数列，B正确； 由，得，，解得，，A错误； 当时，，两式相减得， 于是，两式相加得， 整理得，因此数列是等差数列，C正确； 当时，等差数列的公差为1，通项，， 所以，D错误. 故选：BC 三.填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13. 曲线在处的切线方程为______. 【答案】 【解析】 【分析】求导数可得切线斜率，点斜式可求方程. 【详解】由得，，所以，又， 所以曲线在处的切线方程为，即. 故答案为： 14. 已知成对样本数据中互不相等，且所有样本点都在直线上，则这组成对样本数据的样本相关系数_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，利用相关系数的定义求解作答. 【详解】因为所有样本点都在直线上，显然直线的斜率， 所以样本数据成负相关，相关系数为. 故答案为： 15. 数列的通项公式为是其前项和，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据通项公式进行合并项，求解. 【详解】由则. 故答案为： 16. 若函数与的图像恰有一个公共点，则实数a的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】求出在原点的切线的方程，数形结合得到实数a的取值范围. 【详解】因为，所以过原点， ，且， 所以函数在原点的切线的斜率为， 则函数在原点的切线的方程为，此时与只有1个公共点， 结合函数图像易知，当时，此时与只有1个公共点， 故． 故答案为： 四.解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 17. 为等差数列的前项和，已知，. （1）求数列的通项公式； （2）求，并求的最小值. 【答案】（1）；（2），时，的最小值为. 【解析】 【分析】 （1）利用等差数列的通项公式以及前项和公式求出，，代入通项公式即可求解. （2）利用等差数列的前项和公式可得，配方即可求解. 【详解】（1）设公差为 ， 由，， 即，解得， 所以. （2）， ， 所以当时，的最小值为. 18. 已知集合A＝{y|y＝x2－3x＋1，x∈R}，B＝{x|x＋2m≥0}；命题p：x∈A，命题q：x∈B，并且q是p的必要条件，求实数m的取值范围． 【答案】. 【解析】 【分析】由已知求得集合A、B，根据命题与集合的关系，以及q是p的必要条件有A⊆B，从而求得m的范围 【详解】由A＝{y|y＝x2－3x＋1，x∈R}，B＝{x|x＋2m≥0}可得 ∵q是p的必要条件 ∴p⇒q，即A⊆B ∴，即， m的取值范围是 【点睛】本题考查了必要条件，根据命题与集合的关系，确定集合间的包含关系求参数范围 19. 已知函数f（x）＝﹣3x在处取得极值． （1）求a的值； （2）求函数在区间的最大值和最小值． 【答案】（1）1；（2）最大值为，最小值为. 【解析】 【分析】（1）求出导函数，利用 ，求解即可． （2）由（1）可知，求导，利用导数法求函数的最值即可 【详解】（1）由f（x）＝﹣3x， 得， 由题意在处取得极值，则， 即，解得； 当时，，， 令，得或，令，得， 所以在和上递增，在上递减， 所以在处取得极大值，符合题意， 所以； （2）由（1）得，则， 令，得或，令，得， 所以在和上递增，在上递减， 因， 所以的最大值为，最小值为 20. 已知二次函数满足：且. （1）求函数在区间上的值域； （2）若当时，不等式恒成立，求实数取值范围. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）先由求得，再由得出关于、的方程组，解出即可得出函数的解析式，然后分析二次函数在区间上的单调性，即可求出该函数在区间上的值域； （2）由题意得出关于的不等式对任意的恒成立，由可求出实数的取值范围. 【详解】（1），，此时，， 则， ，解得，. 则函数在上单调递减，在上单调递增， 当时，函数取得最小值， 又，，则. 因此，函数在区间上的值域为； （2）由得，即， 由题意可知，不等式对任意的恒成立， 则，解得. 因此，实数的取值范围是. 【点睛】本题考查二次函数在区间上的值域的求解，以及二次不等式在实数集上恒成立问题，利用待定系数法求出二次函数的解析式是解题的关键，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题. 21. 已知函数 （1）当时，求函数的极值； （2）若函数在区间上是减函数，求实数的取值范围； 【答案】（1）极小值为1，无极大值 （2） 【解析】 【分析】（1）求定义域，求导，根据导函数求出单调区间，从而得到极值情况； （2）由题意得在区间上，参变分离，构造函数，求出最小值，得到答案. 【小问1详解】 时，，定义域为， ， 令，解得，令，解得， 故在处取得极小值，， 的极小值为，无极大值. 【小问2详解】 在区间上为减函数， ∴在区间上， ， 令，只需， 显然在区间上为减函数， ， 22. 已知函数. （1）若恒成立，求实数的取值范围； （2）证明：. 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）分离变量得到，利用导数可求得，由此可得结果； （2）当，时可证得，放缩可得，利用等比数列求和公式和对数运算法则可求得，由此可得结论. 【小问1详解】 由题意得：定义域为；由得：； 设，则， 当时，；当时，； 在上单调递增，在上单调递减，， ，即实数的取值范围为. 【小问2详解】 由（1）知：当，时，，在上单调递减， ，即； ， ， 即， . 【点睛】关键点点睛：本题考查导数在研究函数中的应用，涉及到恒成立问题求解和不等式的证明问题；证明不等式的关键是能够充分利用（1）中的结论，将所证不等式进行放缩，从而结合等比数列求和的知识进行证明. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$